UNIDAD EDUCATIVA

TECNICO SALESIANO

NOMBRE: ANTHONY SERPA

CURSO: 1 “F” 2

MATERIA: GEOMETRIA

AÑO LECTIVO:

2012 – 2013

POLIGONOS

Definicion:

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita

desegmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio. Estos segmentos son

llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del

polígono es llamado a veces su cuerpo.

La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgonos), a su vez formado

por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’.1 2 3 Aunque hoy en día los polígonos

son usualmente entendidos por el número de sus lados.

El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para

cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se

denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama polícoro.

Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.

La noción geométrica elemental ha sido adaptada de distintas maneras para servir a

propósitos específicos. Los matemáticos a menudo les interesa solo la línea poligonal

cerrada y los polígonos simples, los cuales no se intersecan por sí mismos, y pueden definir

un polígono de acuerdo a ello. Es requisito geométrico que dos lados que se intersecan en

un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180º), ya que de otra manera los segmentos

se considerarían partes de un lado único, sin embargo, matemáticamente, esos vértices

podrían permitirse algunas veces. En el ámbito de la computación, la definición de

polígono ha sido ligeramente alterada debido a la manera en que las figuras son

almacenadas y manipuladas en la computación gráfica para la generación de imágenes.

Clasificacion:

Concavos:

Los "polígono cóncavos" son aquellas figuras en las que al menos uno de sus ángulos

interiores mide más de 180 grados ó radianes. En un polígono cóncavo al menos una de

sus diagonales es exterior al polígono. Los polígonos estrellados son polígonos cóncavos.

En todo polígono cóncavo hay al menos dos vértices que al ser unidos por un segmento,

este corta uno o más lados. Los polígonos de tres lados (triángulos) son los únicos

polígonos que no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar

los 180 grados ó radianes.

Convexo:

Un polígono convexo es una figura en la que todos los ángulos interiores miden menos de

180 grados o radianes y todas susdiagonales son interiores.

Cualquier recta que pase por un lado de un polígono convexo deja a todo el polígono

completamente en uno de los semiplanos definidos por la recta.

Un polígono es convexo solo si cualquier segmento entre dos puntos que estén dentro del

mismo esta dentro, es decir, el segmento no corta los lados.

En un polígono convexo, todos los vértices "apuntan" hacia el exterior del polígono.

Todos los triángulos son polígonos convexos. Todos los polígonos regulares son convexos.

Elementos del polígono

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.

Diagonal (D): es el segmento que une dos vértices no continuos.

Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.

Semiperímetro (SP): es la mitad perímetro.

Ángulo interior (AI): es el ángulo formado internamente por dos los lados

consecutivos.

Ángulo exterior (AE): es el formado por un lado y la prolongación de un lado

consecutivo.

En un polígono regular se puede distinguir, además:

Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.

Ángulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a

los extremos de un lado.

Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es

perpendicular a dicho lado.

Diagonales totales, , en un polígono de lados.

Formulas de Perímetro y Área

Definición de perímetro

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

Definición de área

El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.

Perímetro del triangulo

Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno

Área del triángulo

Hallar el área y el perímetro del siguiente triángulo:

P = 2 · 11 + 7.5 = 29.5 cm

Suma de los ángulos internos de los polígonos

En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los

exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los

exteriores son sus suplementarios.

Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es

180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá

calcular cuál es la suma total en cada caso.

Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un

hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En

definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y,

por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es

regular el valor de uno de los ángulos interiores es:

Porque en un cuadrado hay dos triángulos

Los ángulos

interiores de este

triángulo suman

180°

(90°+45°+45°=180°)

... y los de este

cuadrado360°

... ¡porque el

cuadrado está

hecho de dos

triángulos!

Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?

Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440°

Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°

Biografía de los padres de la geometría

Tales de mileto

(Mileto, actual Turquía, 624 a.C.-?, 548 a.C.) Filosófo y matemático griego. En su juventud

viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía, que

posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Dirigió en Mileto una escuela de

náutica, construyó un canal para desviar las aguas del Halis y dio acertados consejos

políticos. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímenes, y contemporáneo de Anaximandro.

Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física

del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente

desorden. Sin embargo, no buscó un Creador en dicha racionalidad,

pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del

que estaban hechas todas las cosas, pues se constituye en vapor, que

es aire, nubes y éter; del agua se forman los cuerpos sólidos al

condensarse, y la Tierra flota en ella. Tales se planteó la siguiente

cuestión: si una sustancia puede transformarse en otra, como un trozo de mineral azulado lo

hace en cobre rojo, ¿cuál es la naturaleza de la sustancia, piedra, cobre, ambas? ¿Cualquier

sustancia puede transformarse en otra de forma que finalmente todas las sustancias sean

aspectos diversos de una misma materia? Tales consideraba que esta última cuestión sería

afirmativa, puesto que de ser así podría introducirse en el Universo un orden básico;

quedaba determinar cuál era entonces esa materia o elemento básico.

Finalmente pensó que era el agua, pues es la que se encuentra en mayor cantidad, rodea la

Tierra, impregna la atmósfera en forma de vapor, corre a través de los continentes y la vida

no es posible sin ella. La Tierra, para él, era un disco plano cubierto por la semiesfera

celeste flotando en un océano infinito. Esta tesis sobre la existencia de un elemento del cual

estaban formadas todas las sustancias cobró gran aceptación entre filósofos posteriores, a

pesar de que no todos ellos aceptaron que el agua fuera tal elemento. Lo importante de su

tesis es la consideración de que todo ser proviene de un principio originario, sea el agua,

sea cualquier otro. El hecho de buscarlo de una forma científica es lo que le hace ser

considerado como el "padre de la filosofía".

En geometría, y en base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto de

teoremas generales y de razonamientos deductivos a partir de estos. Todo ello fue

recopilado posteriormente por Euclides en su obra Elementos, pero se debe a Tales el

mérito de haber introducido en Grecia el interés por los estudios geométricos.

Ninguno de sus escritos ha llegado hasta nuestros días; a pesar de ello, son muy numerosas

las aportaciones que a lo largo de la historia, desde Herodoto, Jenófanes o Aristóteles, se le

han atribuido.

Pitágoras

(isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy

desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego.

Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan

considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta

religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en

torno a su persona.Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y

que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que

probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522

a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este

último país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios,

así como geometría y astronomía.

La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza

política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó

una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.

La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los

discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre

estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la

cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y

madre de una hija y de dos hijos del filósofo.

El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la

comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus

miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas

desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que,

según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la

sabiduría».También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una

enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia

del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso

del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un

triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de

otras civilizaciones anteriores a la griega.

El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su

cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y

perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el

universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes

guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en

proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un

sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico,

y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas.

Arquímedes

(Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C.-id., 212 a.C.) Matemático griego. Hijo

de un astrónomo, quien probablemente le introdujo en las matemáticas,

Arquímedes estudió en Alejandría, donde tuvo como maestro a Conón de

Samos y entró en contacto con Eratóstenes; a este último dedicó

Arquímedes su Método, en el que expuso su genial aplicación de la

mecánica a la geometría, en la que «pesaba» imaginariamente áreas y volúmenes

desconocidos para determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno

al trabajo científico.

La idea de Arquímedes está reflejada en una de las proposiciones iniciales de su obra Sobre

los cuerpos flotantes, pionera de la hidrostática; corresponde al famoso principio que lleva

su nombre y, como allí se explica, haciendo uso de él es posible calcular la ley de una

aleación, lo cual le permitió descubrir que el orfebre había cometido fraude. Según otra

anécdota famosa, recogida por Plutarco, entre otros, Arquímedes aseguró al tirano que, si le

daban un punto de apoyo, conseguiría mover la Tierra; se cree que, exhortado por el rey a

que pusiera en práctica su aseveración, logró sin esfuerzo aparente, mediante un

complicado sistema de poleas, poner en movimiento un navío de tres mástiles con su carga.

Son célebres los ingenios bélicos cuya paternidad le atribuye la tradición y que, según se

dice, permitieron a Siracusa resistir tres años el asedio romano, antes de caer en manos de

las tropas de Marcelo; también se cuenta que, contraviniendo órdenes expresas del general

romano, un soldado mató a Arquímedes por resistirse éste a abandonar la resolución de un

problema matemático en el que estaba inmerso, escena perpetuada en un mosaico hallado

en Herculano.

Esta pasión de Arquímedes por la erudición, que le causó la muerte, fue también la que, en

vida, se dice que hizo que hasta se olvidara de comer y que soliera entretenerse trazando

dibujos geométricos en las cenizas del hogar o incluso, al ungirse, en los aceites que

cubrían su piel. Esta imagen contrasta con la del inventor de máquinas de guerra del que

hablan Polibio y Tito Livio; pero, como señala Plutarco, su interés por esa maquinaria

estribó únicamente en el hecho de que planteó su diseño como mero entretenimiento

intelectual. El esfuerzo de Arquímedes por convertir la estática en un cuerpo doctrinal

riguroso es comparable al realizado por Euclides con el mismo propósito respecto a la

geometría; esfuerzo que se refleja de modo especial en dos de sus libros: en los Equilibrios

planos fundamentó la ley de la palanca, deduciéndola a partir de un número reducido de

postulados, y determinó el centro de gravedad de paralelogramos, triángulos, trapecios, y el

de un segmento de parábola. En la obra Sobre la esfera y el cilindro utilizó el método

denominado de exhaustión, precedente del cálculo integral, para determinar la superficie de

una esfera y para establecer la relación entre una esfera y el cilindro circunscrito en ella.

Este último resultado pasó por ser su teorema favorito, que por expreso deseo suyo se grabó

sobre su tumba, hecho gracias al cual Cicerón pudo recuperar la figura de Arquímedes

cuando ésta había sido ya olvidada.

Conclusiones y recomendaciones

Un polígono es una figura cerrada formada por segmentos que no se cruzan y se tocan

solamente en sus extremos

La enseñanza de las cualidades y características de los polígonos responde a la necesidad

de la enseñanza de la geometría y el papel que ella representa en la vida cotidiana.

El conocimiento de los polígonos favorece los ejercicios de estimaciones, los cálculos, el

conocimiento y la apreciación estética de las formas.

Este tema en particular favorece el desarrollo de habilidades prácticas creando un puente

entre la teoría y lo que podemos construir y hacer.

Los conocimientos adquiridos como se ha mencionado nos ayudan a resolver algunos

problemas de la vida cotidiana como aplicar el conocimiento en un terreno para verificar el

área, perímetro, etc.

Bibliografia

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono

http://www.geoka.net/geometria/area.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/angulos-interiores-poligonos.html

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Poligonos_regulares_y

_circulos/Polici3.htm

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/tales.htm

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/pitagoras.htm

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/arquimedes.htm

Dibujo