Ley Exponencial

Ley ExponencialLey Exponencial

Crecimiento PoblacionalCrecimiento PoblacionalDecaimiento RadioactivoDecaimiento Radioactivo

Ley de Enfriamiento de NewtonLey de Enfriamiento de Newton

Razones de CambioRazones de Cambio

• Sabemos que la derivadaSabemos que la derivada

• d y /d xd y /d x

• nos representa:nos representa:

• ““La Razón de Cambio de y con La Razón de Cambio de y con respecto a x”respecto a x”

• Si x se cambia por el tiempo “t”:Si x se cambia por el tiempo “t”:

• d y / d td y / d t

• nos representa nos representa

• ““La Rapidez de Cambio de y”La Rapidez de Cambio de y”

Rapidez de CambioRapidez de Cambio

• Entonces si una cantidad “y” varía Entonces si una cantidad “y” varía con el Tiempo, su derivada con con el Tiempo, su derivada con respecto al Tiemporespecto al Tiempo

• d y / d td y / d t

• nos representa nos representa

• “ “ La Rapidez de Cambio de la La Rapidez de Cambio de la Cantidad y”Cantidad y”

• Esta Razón de Cambio es muy Esta Razón de Cambio es muy importante, ya que se usa en la “ Ley importante, ya que se usa en la “ Ley Exponencial” Exponencial”


• Esta ley nos diceEsta ley nos dice

• ““La Rapidez de Cambio de la Cantidad La Rapidez de Cambio de la Cantidad es proporcional a esa Cantidad”es proporcional a esa Cantidad”

• Si y es la cantidad, esta Ley se puede Si y es la cantidad, esta Ley se puede escribir matemáticamente de la escribir matemáticamente de la siguiente formasiguiente forma

• d y / d t d y / d t y y

• para convertir esta ecuación en una para convertir esta ecuación en una igualdad, añadimos la Constante de igualdad, añadimos la Constante de


• Proporcionalidad “k”, entoncesProporcionalidad “k”, entonces

• d y / d t = k yd y / d t = k y

• que es la ecuación diferencial que nos que es la ecuación diferencial que nos representa la Ley Exponencial, que representa la Ley Exponencial, que nos permite MODELAR problemas de:nos permite MODELAR problemas de:

• Crecimiento PoblacionalCrecimiento Poblacional

• Decaimiento RadioactivoDecaimiento Radioactivo

• Enfriamiento de CuerposEnfriamiento de Cuerpos

• Descarga de un CondensadorDescarga de un Condensador


• y en general cualquier problema que y en general cualquier problema que cumpla la Ley Exponencial se puede cumpla la Ley Exponencial se puede modelar mediante la Ecuación modelar mediante la Ecuación DiferencialDiferencial

• d y / d t = k yd y / d t = k y

• donde y es una cantidad cualquiera.donde y es una cantidad cualquiera.

• Para encontrar la solución de este Para encontrar la solución de este problema, son necesarias DOS problema, son necesarias DOS CondicionesCondiciones

Condición Inicial y PosteriorCondición Inicial y Posterior

• La Condición InicialLa Condición Inicial

• La Condición PosteriorLa Condición Posterior

• La condición Inicial, nos indica cuanta La condición Inicial, nos indica cuanta cantidad se tenía INICIALMENTEcantidad se tenía INICIALMENTE

• La cantidad Posterior, nos da la La cantidad Posterior, nos da la cantidad en un tiempo Posteriorcantidad en un tiempo Posterior

• Usando estas dos condiciones, es Usando estas dos condiciones, es posible determinar completamente la posible determinar completamente la solución de la Ley Exponencialsolución de la Ley Exponencial

Solución de la Ley Solución de la Ley ExponencialExponencial

• Para resolver la Ley ExponencialPara resolver la Ley Exponencial

• d y / d t = k yd y / d t = k y

• separamos las variablesseparamos las variables

• d y / y = k d td y / y = k d t

• integrandointegrando d y / y = d y / y = k d t k d t

• calculando las integralescalculando las integrales

• ln y = k t + cln y = k t + c

• aplicando la exponencialaplicando la exponencial

Solución de la Ley Solución de la Ley ExponencialExponencial• ln y = k t + dln y = k t + d

• y = e y = e k t + dk t + d

• aplicando reglas de exponentesaplicando reglas de exponentes

• y = e y = e k tk t e e dd

• finalmente, la solución de la Ley finalmente, la solución de la Ley ExponencialExponencial

• d y / d t = k yd y / d t = k y

• está dada porestá dada por

• y = c e y = c e k tk t


• que contiene DOS Constantes que contiene DOS Constantes arbitrarias “k” y “c”arbitrarias “k” y “c”

• La constante “c” se determina de laLa constante “c” se determina de la

• Condición InicialCondición Inicial

• y (0) = yy (0) = yoo

• Aplicándola a la soluciónAplicándola a la solución


• tenemostenemos

• yyoo = c e = c e 0 0 = c= c


• es decires decir

• c = yc = yoo

• sustituyendo en la Soluciónsustituyendo en la Solución


• encontramosencontramos

• y = yy = yoo e e k tk t

• Finalmente, usando la Finalmente, usando la

• Condición PosteriorCondición Posterior

• y ( y ( ) = ) =


• podemos determinar la constante “k”podemos determinar la constante “k”• Aplicando la condición a la soluciónAplicando la condición a la solución

= y= yoo e e k k

• despejando la exponencialdespejando la exponencial

• e e k k = = / y / yoo

• aplicando logaritmoaplicando logaritmo

• k k = ln ( = ln ( / y / yo o ))

• Finalmente, despejando kFinalmente, despejando k

• k = [ ln (k = [ ln ( / y / yo o )] / )] /


• Entonces, la solución de la Ley Entonces, la solución de la Ley Exponencial esExponencial es

• y = yy = yoo e e {[ ln ({[ ln ( / yo )] / / yo )] / } t} t

• oo

• y = yy = yoo ( ( / y / yo o ) ) t / t /

• de la primera solución, nos damos de la primera solución, nos damos cuenta de donde proviene el nombre cuenta de donde proviene el nombre de Ley Exponencial, proviene del de Ley Exponencial, proviene del hecho de que su SOLUCIÓN siempre hecho de que su SOLUCIÓN siempre es una función EXPONENCIAL. es una función EXPONENCIAL.

ResumenResumen

• ResumiendoResumiendo• La Ley ExponencialLa Ley Exponencial

• d y / d t = k yd y / d t = k y• con las condicionescon las condiciones

• y (0) = yy (0) = yoo, y (, y () = ) = • tiene como SOLUCIÓNtiene como SOLUCIÓN

• y = yy = yoo ( ( / y / yo o ) ) t / t /

• oo• y = yy = yoo e e {[ ln ({[ ln ( / yo )] / / yo )] / } t} t

Problemas de Crecimiento y Problemas de Crecimiento y DecrecimientoDecrecimiento

• La Ley Exponencial nos permite La Ley Exponencial nos permite modelar problemas de Crecimiento o modelar problemas de Crecimiento o Decrecimiento, ya que como su Decrecimiento, ya que como su solución es una función exponencial solución es una función exponencial de la formade la forma

• y = yy = yoo ( ( / y / yo o ) ) t / t /

• oo• y = yy = yoo e e {[ ln ({[ ln ( / yo )] / / yo )] / } t} t

• esto nos produce una función esto nos produce una función Creciente o Decreciente de acuerdo al Creciente o Decreciente de acuerdo al valor del Exponente de la Exponencialvalor del Exponente de la Exponencial

Exponencial Creciente y Exponencial Creciente y DecrecienteDecreciente

• SiSi

• k = [ ln (k = [ ln ( / y / yo o )] / )] /

• es Positiva, la es Positiva, la función exponencial función exponencial es Crecientees Creciente

• En el caso de que k En el caso de que k sea Negativa, la sea Negativa, la función exponencial función exponencial será Decrecienteserá Decreciente

t

y k 0k 0

CrecienteCrecienteDecrecienteDecreciente

e k te - k t

CRECIMIENTO POBLACIONALCRECIMIENTO POBLACIONAL

• Bajo determinadas condiciones es Bajo determinadas condiciones es posible hacer la siguiente suposición posible hacer la siguiente suposición en el crecimiento Poblacionalen el crecimiento Poblacional

• Si N (t) es el Número de Sujetos en Si N (t) es el Número de Sujetos en una Población, entonces:una Población, entonces:

• La Rapidez de Crecimiento o La Rapidez de Crecimiento o Multiplicación de la Población es Multiplicación de la Población es proporcional a la Población, es decir:proporcional a la Población, es decir:

• d N / d t = k N d N / d t = k N

• y se aplica la Ley Exponencial y se aplica la Ley Exponencial

Ejemplo 1 de Crecimiento Ejemplo 1 de Crecimiento PoblacionalPoblacional

• Un cultivo tiene inicialmente una Un cultivo tiene inicialmente una cantidad Ncantidad Noo de bacterias. Para t = de bacterias. Para t =

1 hora, el numero de bacterias 1 hora, el numero de bacterias medido es (3/2)Nmedido es (3/2)Noo. Si la rapidez de . Si la rapidez de

multiplicación es proporcional al multiplicación es proporcional al numero de bacterias presentes, numero de bacterias presentes, determine el tiempo necesario determine el tiempo necesario para que el número de bacterias para que el número de bacterias se triplique.se triplique.

Modelación de Crecimiento Modelación de Crecimiento PoblacionalPoblacional

• SiSi

• N (t) es el Número de Bacterias N (t) es el Número de Bacterias

• en el cultivoen el cultivo

• y por hipótesis, sabemos que:y por hipótesis, sabemos que:

• ““La rapidez de multiplicación de las La rapidez de multiplicación de las bacterias es proporcional al numero de bacterias es proporcional al numero de bacterias presentes”bacterias presentes”

• Entonces este problema se puede Entonces este problema se puede modelar mediante la Ley Exponencialmodelar mediante la Ley Exponencial

Modelación de Crecimiento Modelación de Crecimiento PoblacionalPoblacional• d N/ d t = k Nd N/ d t = k N

• Usando la Condición Inicial:Usando la Condición Inicial:

• “ “ La cantidad inicial de bacterias es NLa cantidad inicial de bacterias es Noo””

• N ( 0 ) = NN ( 0 ) = Noo

• y la condición Posteriory la condición Posterior

• ““La cantidad de bacterias en 1 hora es La cantidad de bacterias en 1 hora es 3/2 N3/2 Noo

””

• N (1) = 3/2 NN (1) = 3/2 Noo

• El problema se modela matemáticamenteEl problema se modela matemáticamente


• mediante el siguiente Problema de mediante el siguiente Problema de Valor InicialValor Inicial

• La Ecuación Diferencial esLa Ecuación Diferencial es

• d N/ d t = k Nd N/ d t = k N

• con la Condición Inicialcon la Condición Inicial

• N ( 0 ) = NN ( 0 ) = Noo

• y la Condición Posteriory la Condición Posterior

• N (1) = 3/2 NN (1) = 3/2 Noo


• Para contestar la pregunta, definimos Para contestar la pregunta, definimos la siguiente variablela siguiente variable

• Si Si

• ““ es el tiempo para que la es el tiempo para que la

• Población de Bacterias se Triplique”Población de Bacterias se Triplique”

• entonces la pregunta se modela entonces la pregunta se modela mediante la siguiente ecuaciónmediante la siguiente ecuación

• N (N () = 3N) = 3Noo

• La solución de la Ley Exponencial esLa solución de la Ley Exponencial es

Solución de Crecimiento Solución de Crecimiento PoblacionalPoblacional• N = NN = Noo ( ( / y / yo o ) ) t / t /

• oo• N = NN = Noo e e {[ ln ({[ ln ( / yo )] / / yo )] / } t} t

• dondedonde

= 3/2 N= 3/2 Noo, , = 1, y = 1, yoo = N = Noo, , • sustituyendo estas constantes en “N”sustituyendo estas constantes en “N”

• N = NN = Noo ( 3 / 2 ( 3 / 2 ) ) t t = N= No o e e ln(3/2)tln(3/2)t

• Para contestar la pregunta Para contestar la pregunta • ““El tiempo necesario para que el El tiempo necesario para que el

número de bacterias se triplique”número de bacterias se triplique”

Solución de Crecimiento Solución de Crecimiento PoblacionalPoblacional

• Si Si es el tiempo para que la Población es el tiempo para que la Población de Bacterias se Triplique, entoncesde Bacterias se Triplique, entonces

• N (N () = 3N) = 3Noo

• aplicando la condición en la ecuaciónaplicando la condición en la ecuación

• N = NN = No o e e ln(3/2)tln(3/2)t


• 3N3Noo = = NNo o e e ln(3/2)ln(3/2)

• 3 = e 3 = e ln(3/2)ln(3/2)

• ln 3 = [ln 3 – ln 2] ln 3 = [ln 3 – ln 2]


• ln 3 = [ln 3 – ln 2] ln 3 = [ln 3 – ln 2] • despejando despejando

= ln 3 / [ln 3 – ln 2] = ln 3 / [ln 3 – ln 2] ≈≈ 2.71 hrs. 2.71 hrs.

• es el tiempo necesario para que la es el tiempo necesario para que la población de bacterias en el población de bacterias en el cultivo se TRIPLIQUEcultivo se TRIPLIQUE

Ejemplo 2 de Crecimiento Ejemplo 2 de Crecimiento PoblacionalPoblacional

• El número de Bacterias en un El número de Bacterias en un cultivo aumenta de 600 a 1800 en cultivo aumenta de 600 a 1800 en 2 hrs., Encontrar una fórmula para 2 hrs., Encontrar una fórmula para el Número de Bacterias al tiempo el Número de Bacterias al tiempo t, suponiendo que en cada t, suponiendo que en cada momento la tasa de crecimiento momento la tasa de crecimiento es directamente proporcional al es directamente proporcional al Número de Bacterias. ¿Cuál será Número de Bacterias. ¿Cuál será el Número de Bacterias al cabo de el Número de Bacterias al cabo de cuatro horas? cuatro horas?


• SiSi

• N (t) es el Número de Bacterias N (t) es el Número de Bacterias

• en un cultivoen un cultivo


• ““La tasa de crecimiento es La tasa de crecimiento es directamente proporcional al directamente proporcional al Número de BacteriasNúmero de Bacterias””


Modelación de Crecimiento Modelación de Crecimiento PoblacionalPoblacional• d N/ d t = k Nd N/ d t = k N


• “ “ La cantidad inicial de bacterias es 600”La cantidad inicial de bacterias es 600”

• N ( 0 ) = 600N ( 0 ) = 600


• ““La cantidad de bacterias en 2 hora es La cantidad de bacterias en 2 hora es 18001800””

• N (2) = 1800N (2) = 1800





• d N/ d t = k Nd N/ d t = k N


• N ( 0 ) = 600N ( 0 ) = 600


• N (2) = 1800N (2) = 1800


• Para contestar la pregunta, Para contestar la pregunta, simplemente se evalúa la solución en simplemente se evalúa la solución en t = 4, es decirt = 4, es decir

• N (4)N (4)

• que nos permite obtenerque nos permite obtener

• ““El Número de Bacterias en el El Número de Bacterias en el cultivo al cabo de cuatro horas”cultivo al cabo de cuatro horas”

• La solución de la Ley Exponencial La solución de la Ley Exponencial esta dada poresta dada por

Solución de Crecimiento Solución de Crecimiento PoblacionalPoblacional• N = NN = Noo ( ( / N / No o ) ) t / t /

• oo• N = NN = Noo e e {[ ln ({[ ln ( / No )] / / No )] / } t} t

• dondedonde

• NNoo = 600, = 600, = 1800, = 1800, = 2, = 2,

• sustituyendo estas constantes en “N”sustituyendo estas constantes en “N”

• N = 600 ( 3 ) N = 600 ( 3 ) t/2 t/2 = 600= 600 e e (t/2)ln3(t/2)ln3

• Para contestar la pregunta Para contestar la pregunta

• ““¿Cuál será el Número de Bacterias al ¿Cuál será el Número de Bacterias al cabo de cuatro horas? cabo de cuatro horas? ””


• Simplemente evaluamos la funciónSimplemente evaluamos la función• N (t) = 600 ( 3 ) N (t) = 600 ( 3 ) t/2t/2

• en t = 4 hrs.en t = 4 hrs.• N (4) = 600 ( 3 )N (4) = 600 ( 3 )22

• elevando al cuadrado elevando al cuadrado • N (4) = 600 ( 9 )N (4) = 600 ( 9 )

• multiplicandomultiplicando• N (4) = 5400 N (4) = 5400

• que es el Número de Bacterias al cabo de 4 que es el Número de Bacterias al cabo de 4 horas. horas.

Ejemplo 1 de Decaimiento Ejemplo 1 de Decaimiento RadioactivoRadioactivo

• El Radio decrece exponencialmente y El Radio decrece exponencialmente y tiene una SEMIVIDA ( 0 “Vida Media”) tiene una SEMIVIDA ( 0 “Vida Media”) de aproximadamente 1600 años; es de aproximadamente 1600 años; es decir, dada una cantidad, al cabo de decir, dada una cantidad, al cabo de 1600 años se habrá desintegrado la 1600 años se habrá desintegrado la MITAD de la cantidad original de la MITAD de la cantidad original de la sustancia Radiactiva. Encontrar la sustancia Radiactiva. Encontrar la fórmula para la cantidad R de Radio fórmula para la cantidad R de Radio que queda a los t años de una que queda a los t años de una muestra de 50 mg. de Radio puro. muestra de 50 mg. de Radio puro.

• ¿ Cuando quedarán 20 mg.? ¿ Cuando quedarán 20 mg.?

Modelación de Decaimiento Modelación de Decaimiento Radioactivo Ejemplo 1 Radioactivo Ejemplo 1

• SiSi

• R (t) es la Cantidad de Radio PuroR (t) es la Cantidad de Radio Puro


• ““La rapidez de desintegración del Radio La rapidez de desintegración del Radio Puro es proporcional al Radio Puro Puro es proporcional al Radio Puro presente”presente”



• d R/ d t = k Rd R/ d t = k R


• “ “ La cantidad inicial de Radio es 50 mg.”La cantidad inicial de Radio es 50 mg.”

• R ( 0 ) = 50 mg.R ( 0 ) = 50 mg.


• ““La Vida Media es de 1600 añosLa Vida Media es de 1600 años””

• R ( 1600 ) = 25 mg.R ( 1600 ) = 25 mg.





• d R/ d t = k Rd R/ d t = k R


• R ( 0 ) = 50 mg.R ( 0 ) = 50 mg.


• R (1600) = 25 mg.R (1600) = 25 mg.



• Si Si

• ““ es el tiempo necesario para que la es el tiempo necesario para que la cantidad de Radio sea de 20 mg.”cantidad de Radio sea de 20 mg.”


• R (R () = 20 mg.) = 20 mg.


Solución de Decaimiento Solución de Decaimiento Radioactivo Ejemplo 1 Radioactivo Ejemplo 1

• R = R R = R oo ( ( / y / yo o ) ) t / t /

• oo• R = R R = R oo e e {[ ln ({[ ln ( / yo )] / / yo )] / } t} t

• dondedonde

• R R oo = 50 mg. , = 50 mg. , = 25 mg. , = 25 mg. , = 1600, = 1600, • sustituyendo estas constantes en “R”sustituyendo estas constantes en “R”• R = 50 ( 1 / 2R = 50 ( 1 / 2 ) ) t/1600 t/1600 = 50= 50 e e ( t/1600) ln(1/2)( t/1600) ln(1/2)

• Para contestar la pregunta Para contestar la pregunta • ““El tiempo necesario para que la El tiempo necesario para que la

cantidad de Radio sea de 20 mg.”cantidad de Radio sea de 20 mg.”


• ““ es el tiempo necesario para que la es el tiempo necesario para que la cantidad de Radio sea de 20 mg.”, cantidad de Radio sea de 20 mg.”, entoncesentonces

• R (R () = 20 mg.) = 20 mg.• aplicando la condición en la ecuaciónaplicando la condición en la ecuación

• R = 50 ( 1 / 2R = 50 ( 1 / 2 ) ) t/1600t/1600

• encontramosencontramos• 20 =20 = 50 ( 1 / 250 ( 1 / 2 ) )

/1600/1600

• 2/5 = 2/5 = ( 1 / 2( 1 / 2 ) ) /1600/1600

• 5/2 = 2 5/2 = 2 /1600/1600



• 5/2 = 25/2 = 2/1600/1600

• ln 5/2 = (ln 5/2 = (/1600) (ln 2)/1600) (ln 2)

• despejando despejando = [1600 ln5/2]/ln2 = [1600 ln5/2]/ln2 ≈≈ 2115 años 2115 años

• es el tiempo necesario para que la es el tiempo necesario para que la cantidad de Radio Puro sea de 20 cantidad de Radio Puro sea de 20 mg.mg.

Ejemplo 2 de Decaimiento Ejemplo 2 de Decaimiento RadioactivoRadioactivo

• Un reactor transforma el uranio 238, Un reactor transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el que es relativamente estable, en el isótopo plutonio 239. Después de 15 isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que 0.043% de la años se determina que 0.043% de la cantidad inicial P cantidad inicial P oo de Plutonio se ha de Plutonio se ha

desintegrado. Determine la semivida desintegrado. Determine la semivida de este isótopo si la rapidez de de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la desintegración es proporcional a la cantidad restantecantidad restante

Modelación de Modelación de Decaimiento Radioactivo Decaimiento Radioactivo

Ejemplo 2 Ejemplo 2 • SiSi

• P (t) es la Cantidad de Plutonio RestanteP (t) es la Cantidad de Plutonio Restante


• ““La Rapidez de desintegración del La Rapidez de desintegración del Plutonio es proporcional a la cantidad Plutonio es proporcional a la cantidad restante”restante”



Ejemplo 2 Ejemplo 2 • d P/ d t = k Pd P/ d t = k P• Usando la Condición Inicial:Usando la Condición Inicial:• “ “ La cantidad inicial de Radio es P La cantidad inicial de Radio es P oo””

• P ( 0 ) = P P ( 0 ) = P o o

• y la condición Posteriory la condición Posterior• ““Después de 15 años se determina que Después de 15 años se determina que

0.043% de la cantidad inicial P 0.043% de la cantidad inicial P oo de de Plutonio se ha desintegradoPlutonio se ha desintegrado” ”

• P ( 15 ) = (1 - 0.00043)P P ( 15 ) = (1 - 0.00043)P oo = .99957P = .99957P oo



Ejemplo 2 Ejemplo 2 • mediante el siguiente Problema de mediante el siguiente Problema de

Valor InicialValor Inicial


• d P/ d t = k Pd P/ d t = k P


• P ( 0 ) = P P ( 0 ) = P oo


• P (15) = 0.99957P P (15) = 0.99957P oo


Ejemplo 2 Ejemplo 2 • Para contestar la pregunta, definimos Para contestar la pregunta, definimos

la siguiente variablela siguiente variable

• Si Si

• ““ es el tiempo necesario para que la es el tiempo necesario para que la cantidad de Plutonio sea de ½ P cantidad de Plutonio sea de ½ P oo””


• P (P () = ½ P ) = ½ P oo


Solución de Decaimiento Solución de Decaimiento Radioactivo Radioactivo Ejemplo 2 Ejemplo 2

• P = P P = P oo ( ( / P / P o o ) ) t / t /

• oo• P = P P = P oo e e {[ ln ({[ ln ( / P o )] / / P o )] / } t} t

• dondedonde

• P (0) = P P (0) = P oo , , = 0.99957 P = 0.99957 P oo , , = 15, = 15, • sustituyendo estas constantes en “P”sustituyendo estas constantes en “P”• P = P P = P oo ( 0.99957 ( 0.99957 ) ) t/15 t/15 = P = P o o e e ( t/15) ln(0.99957)( t/15) ln(0.99957)


cantidad de Radio sea de ½ P cantidad de Radio sea de ½ P oo.”.”


• ““ es el tiempo necesario para que la es el tiempo necesario para que la cantidad de Plutonio sea de ½ P cantidad de Plutonio sea de ½ P oo” ”

entoncesentonces

• P (P () = ½ P ) = ½ P oo..

• aplicando la condición en la ecuaciónaplicando la condición en la ecuación

• P = P P = P oo ( 0.99957 ( 0.99957 ) ) t/15 t/15 = P = P o o e e ( t/15) ln(0.99957)( t/15) ln(0.99957)


• ½ P ½ P oo = = P P oo ( 0.99957 ( 0.99957 ) ) /15 /15

• 1/2 = 1/2 = ( 0.99957( 0.99957 ) ) /15 /15


• aplicando logaritmoaplicando logaritmo• ln (1/2) = (ln (1/2) = ( /15)ln(0.99957) /15)ln(0.99957)• ln 1- ln 2 = (ln 1- ln 2 = (/15) (ln 0.99957)/15) (ln 0.99957)

• despejando despejando = - [15 ln2]/[ln(0.99957)] = - [15 ln2]/[ln(0.99957)] ≈≈ 24174 24174

añosaños• es el tiempo necesario para que la es el tiempo necesario para que la

cantidad Restante de Plutonio cantidad Restante de Plutonio sea la mitad de la cantidad inicial.sea la mitad de la cantidad inicial.

Cálculo de Edades por el Cálculo de Edades por el Método del Carbono 14Método del Carbono 14

• Libby ideó un método en el cual se Libby ideó un método en el cual se usa carbono radiactivo para usa carbono radiactivo para determinar la edad aproximada de los determinar la edad aproximada de los fósiles. El método se basa en que la fósiles. El método se basa en que la semivida del C-14 radiactivo es de semivida del C-14 radiactivo es de aproximadamente 5600 años.aproximadamente 5600 años.

• Usando este método resuelva el Usando este método resuelva el siguiente problema de determinación siguiente problema de determinación de la edad de un fósil.de la edad de un fósil.

Ejemplo de Cálculo de Edades Ejemplo de Cálculo de Edades por el Método del Carbono 14por el Método del Carbono 14

• Se ha encontrado que un hueso Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la fosilizado contiene 1/1000 de la cantidad original de C-14. Determinar cantidad original de C-14. Determinar la edad del fósil.la edad del fósil.

Modelación de Cálculo de Edades Modelación de Cálculo de Edades por el Método del Carbono 14por el Método del Carbono 14

• SiSi

• C (t) es la Cantidad Original de Carbono C (t) es la Cantidad Original de Carbono 14 del Fósil14 del Fósil


• ““La rapidez de desintegración del La rapidez de desintegración del Carbono 14 es proporcional al Carbono Carbono 14 es proporcional al Carbono 14 presente”14 presente”



• d C/ d t = k Cd C/ d t = k C


• “ “ La cantidad inicial de Carbono 14 es C La cantidad inicial de Carbono 14 es C oo””

• C ( 0 ) = C C ( 0 ) = C oo


• ““La Vida Media es de 5600 añosLa Vida Media es de 5600 años””

• C ( 5600 ) = ½ C C ( 5600 ) = ½ C oo





• d C/ d t = k Cd C/ d t = k C


• C ( 0 ) = C C ( 0 ) = C oo


• C (5600) = ½ C C (5600) = ½ C oo


• Para contestar la pregunta, definimos la Para contestar la pregunta, definimos la siguiente variablesiguiente variable

• Si Si

• ““ es el tiempo necesario para que la es el tiempo necesario para que la cantidad de Carbono sea de 1/1000 C cantidad de Carbono sea de 1/1000 C oo ” ”


• C (C () = 1/1000 C ) = 1/1000 C oo


Solución de Cálculo de Edades Solución de Cálculo de Edades por el Método del Carbono 14por el Método del Carbono 14

• C = C C = C oo ( ( / C / C o o ) ) t / t /

• o o • C = C C = C oo e e {[ ln ({[ ln ( / C o )] / / C o )] / } t} t

• dondedonde

• C C oo , , = ½ C = ½ C oo , , = 5600, = 5600, • sustituyendo estas constantes en “R”sustituyendo estas constantes en “R”

• C = C C = C oo ( 1 / 2 ( 1 / 2 ) ) t/5600 t/5600 = 50= 50 e e ( t/5600) ln(1/2)( t/5600) ln(1/2)


cantidad de Carbono sea de 1/1000C cantidad de Carbono sea de 1/1000C oo.”.”


• ““ es el tiempo necesario para que la es el tiempo necesario para que la cantidad de Carbono sea de 1/1000 C cantidad de Carbono sea de 1/1000 C oo ”, ”, entoncesentonces

• C (C () = 1/1000 C ) = 1/1000 C oo

• aplicando la condición en la ecuaciónaplicando la condición en la ecuación• C = C C = C oo ( 1 / 2 ( 1 / 2 ) ) t/5600t/5600

• encontramosencontramos• 1/1000 C 1/1000 C o o == C C oo ( 1 / 2 ( 1 / 2 ) )

/5600/5600

• 1/10001/1000 = = ( 1 / 2( 1 / 2 ) ) /5600/5600

• 1000 = 2 1000 = 2 /5600/5600



• 1000 = 2 1000 = 2 /5600/5600

• ln 1000 = (ln 1000 = (/5600) (ln 2)/5600) (ln 2)

• despejando despejando = [5600 ln1000]/ln2 = [5600 ln1000]/ln2 ≈≈ 55808 años 55808 años

• es la Edad del Fósil.es la Edad del Fósil.

Ley de Enfriamiento de Ley de Enfriamiento de NewtonNewton

• La ley de Newton del La ley de Newton del enfriamiento dice que en un enfriamiento dice que en un cuerpo que se está enfriando, la cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura rapidez con que la temperatura T ( t ) cambia es proporcional a T ( t ) cambia es proporcional a la diferencia entre la la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del cuerpo y la temperatura constante T temperatura constante T oo del del

medio ambiente que lo rodea. medio ambiente que lo rodea.


• Esto es,Esto es,

• d T /d t = k (T – T d T /d t = k (T – T oo) )

• donde donde

• k es la Constante de k es la Constante de ProporcionalidadProporcionalidad

• T (t) es la Temperatura del cuerpo en T (t) es la Temperatura del cuerpo en cualquier tiempocualquier tiempo

• T T oo es la Temperatura Constante del es la Temperatura Constante del

Medio Ambiente Medio Ambiente

Solución de la Ley de Solución de la Ley de Enfriamiento de NewtonEnfriamiento de Newton

• Para resolver la ley de Newton del Para resolver la ley de Newton del enfriamiento enfriamiento

• d T /d t = k (T – T d T /d t = k (T – T oo))

• separamos las variablesseparamos las variables

• d T / (T – T d T / (T – T oo) = k d t) = k d t

• integrandointegrando d T / (T – T o) = d T / (T – T o) = k d t k d t

• calculando las integralescalculando las integrales

• ln (T – T ln (T – T oo) = k t + d) = k t + d

• aplicando la exponencialaplicando la exponencial


• ln (T – T ln (T – T oo) = k t + d) = k t + d

• T – T T – T oo = e = e k t + dk t + d

• aplicando reglas de exponentesaplicando reglas de exponentes

• T – T T – T oo = e = e k tk t e e dd

• finalmente, la solución de la Ley de finalmente, la solución de la Ley de Enfriamiento de NewtonEnfriamiento de Newton

• d T / d t = k (T – T d T / d t = k (T – T oo))

• está dada porestá dada por

• T = T T = T o o + c e + c e k tk t


• que contiene DOS Constantes que contiene DOS Constantes arbitrarias “k” y “c”arbitrarias “k” y “c”

• La constante “c” se determina de laLa constante “c” se determina de la

• Condición InicialCondición Inicial

• T (0) = TT (0) = Tii

• Aplicándola a la soluciónAplicándola a la solución

• T = T T = T o o + c e + c e k t k t

• tenemostenemos

• T T ii = T = T oo + c e + c e 0 0 = T = T o o + c+ c


• es decires decir

• c = T c = T i i - T - T oo

• sustituyendo en la Soluciónsustituyendo en la SoluciónT = T T = T o o + c e + c e k t k t


• T = T T = T o o + (T + (T i i - T - T oo)) e e k t k t

• Finalmente, usando la Finalmente, usando la

• Condición PosteriorCondición Posterior

• T ( T ( ) = ) =


• podemos determinar la constante “k”podemos determinar la constante “k”• Aplicando la condición a la soluciónAplicando la condición a la solución

= T = T o o + (T + (T i i - T - T oo)) e e k k

• despejando la exponencialdespejando la exponencial

• e e k k = [( = [( - T - T oo)/ (T )/ (T i i - T - T oo)])]


• k k = ln [( = ln [( - T - T oo)/ (T )/ (T i i - T - T oo)])]

• Finalmente, despejando kFinalmente, despejando k

• k = {ln [(k = {ln [( - T - T oo)/ (T )/ (T i i - T - T oo)) ]}/ ]}/


• Entonces, la solución de la Ley Entonces, la solución de la Ley Exponencial esExponencial es

• T = T T = T o o + (T + (T i i - T - T oo)) e e t {ln [(t {ln [( - T o)/ (T i - T o) ]}/ - T o)/ (T i - T o) ]}/

• oo

• T = T T = T o o + (T + (T i i - T - T oo)[( )[( - T - T oo) / (T) / (Ti i - T - T o o )] )] t / t /

• de la primera solución, nos damos de la primera solución, nos damos cuenta de donde proviene el nombre de cuenta de donde proviene el nombre de Ley Exponencial, proviene del hecho de Ley Exponencial, proviene del hecho de que su SOLUCIÓN siempre es una que su SOLUCIÓN siempre es una función EXPONENCIAL. función EXPONENCIAL.

ResumenResumen

• ResumiendoResumiendo

• La Ley de Enfriamiento de NewtonLa Ley de Enfriamiento de Newton

• d T / d t = k (T – T o)d T / d t = k (T – T o)

• con las condicionescon las condiciones• T (0) = Ti, T ( T (0) = Ti, T ( ) = ) =

• tiene como SOLUCIÓNtiene como SOLUCIÓN• T = T T = T o o + (T + (T i i - T - T oo)) e e t {ln [(t {ln [( - T o)/ (T i - T o)]}/ - T o)/ (T i - T o)]}/

• oo• T = T T = T o o + (T + (T i i - T - T oo)[( )[( - T - T oo) / (T) / (Ti i - T - T o o )] )] t / t /

Ejemplo de Ley de Ejemplo de Ley de Enfriamiento de NewtonEnfriamiento de Newton

• Al sacar un pastel del Al sacar un pastel del horno, su temperatura es horno, su temperatura es de 300 ° F. Tres minutos de 300 ° F. Tres minutos después, su temperatura es después, su temperatura es de 200 ° F. ¿Cuánto de 200 ° F. ¿Cuánto demorará en enfriarse demorará en enfriarse hasta una temperatura hasta una temperatura ambiente de 70 ° F?ambiente de 70 ° F?

Modelación de Ley de Modelación de Ley de Enfriamiento de NewtonEnfriamiento de Newton

• SiSi• T (t) es la Temperatura del PastelT (t) es la Temperatura del Pastel

• y por hipótesis, sabemos que:y por hipótesis, sabemos que:• ““La Temperatura q la que el pastel se La Temperatura q la que el pastel se

enfría es proporcional a la diferencia enfría es proporcional a la diferencia entre la temperatura del pastel y la entre la temperatura del pastel y la temperatura constante T temperatura constante T o o del medio del medio ambiente que lo rodea”ambiente que lo rodea”

• Entonces este problema se puede Entonces este problema se puede modelar mediante la Ley de Enfriamiento modelar mediante la Ley de Enfriamiento de Newtonde Newton


• d T / d t = k (T – T o)d T / d t = k (T – T o)• Usando la Condición Inicial:Usando la Condición Inicial:• ““Al sacar un pastel del horno, su Al sacar un pastel del horno, su

temperatura es de 300 ° F”temperatura es de 300 ° F”• T ( 0 ) = 300T ( 0 ) = 300

• y la condición Posteriory la condición Posterior• ““Tres minutos después, su temperatura Tres minutos después, su temperatura

es de 200 ° Fes de 200 ° F””

• T (3) = 200T (3) = 200• El problema se modela matemáticamenteEl problema se modela matemáticamente




• d T / d t = k (T – T o)d T / d t = k (T – T o)


• T ( 0 ) = 300T ( 0 ) = 300


• T (3) = 200T (3) = 200



• Si Si

• ““ es el tiempo para que el pastel es el tiempo para que el pastel alcance la temperatura de 70 ° F”alcance la temperatura de 70 ° F”


• T (T () = 70) = 70


Solución de Ley de Solución de Ley de Enfriamiento de NewtonEnfriamiento de Newton• T = T T = T o o + (T + (T i i - T - T oo)) e e t {ln [(t {ln [( - T o)/ (T i - T o)]}/ - T o)/ (T i - T o)]}/

• oo• T = T T = T o o + (T + (T i i - T - T oo)[( )[( - T - T oo) / (T) / (Ti i - T - T o o )] )] t / t /

• dondedonde

= 200, = 200, = 3, T = 3, Tii = 300, T = 300, T oo = 70 = 70• sustituyendo estas constantes en “N”sustituyendo estas constantes en “N”

• T = 70 + 230 ( 130 / 230T = 70 + 230 ( 130 / 230 ) ) t/3t/3

• Para contestar la pregunta Para contestar la pregunta • ““El tiempo necesario para que el pastel El tiempo necesario para que el pastel

alcance la temperatura ambiente”alcance la temperatura ambiente”

Solución de Ley de Solución de Ley de Enfriamiento de NewtonEnfriamiento de Newton

• Si “Si “ es el tiempo para que el pastel es el tiempo para que el pastel alcance la temperatura de 70 ° F” alcance la temperatura de 70 ° F” entoncesentonces

• T (T () = 70) = 70• aplicando la condición en la ecuaciónaplicando la condición en la ecuación

• T = 70 + 230 ( 13 / 23T = 70 + 230 ( 13 / 23 ) ) t/3 t/3

• encontramosencontramos• 70 =70 = 70 + 370 ( 13 / 37 ) 70 + 370 ( 13 / 37 ) /3/3

• 0 = 0 = ( 13 / 37 ) ( 13 / 37 ) /3/3

• ln 0 = [ln 13 – ln 37] (ln 0 = [ln 13 – ln 37] (/3)/3)


• Que nos da una indeterminaciónQue nos da una indeterminación

• No obstante, de modo intuitivo se No obstante, de modo intuitivo se sabe que el pastel alcanzará la sabe que el pastel alcanzará la temperatura ambiente después de un temperatura ambiente después de un periodo razonablemente largo de periodo razonablemente largo de tiempo.tiempo.

• De la Tabulación y gráfica siguiente se De la Tabulación y gráfica siguiente se observa que se alcanza la observa que se alcanza la Temperatura Ambiente en un tiempo Temperatura Ambiente en un tiempo un poco mayor de media horaun poco mayor de media hora


T (t)T (t) tt

7575ºº 20.120.1

7474ºº 21.321.3

7373ºº 22.822.8

7272ºº 24.924.9

7171ºº 28.628.6

70.570.5oo 32.332.3

Ley Exponencial

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