Modulación exponencial
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Modulación de señalespara procesamiento
Transcript of Modulación exponencial
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Departamento de Telecomunicaciones
MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Universidad del Cauca
MODULACIÓN
EXPONENCIAL
Teoría de Telecomunicaciones
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IET
Departamento de Telecomunicaciones
MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Contenido
Modulación Exponencial
• Modulación de Fase y Frecuencia
• Análisis Espectral
• Ancho de Banda
• Potencia Transmitida
• Transmisores y Receptores
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Modulación de Fase y Frecuencia
En el estudio de la modulación exponencial, se
definen dos tipos de modulación, la modulación de
Fase (PM) y Modulación de Frecuencia (FM),
modulaciones en las cuales como sus nombres lo
indican, mantienen la amplitud de la portadora
constante y varían su fase o su frecuencia.
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Modulación de Fase y Frecuencia
Señales FM y PM
Considere la señal continua con envolvente constante
pero con fase variante en el tiempo:
Donde se define el ángulo total
Y representar la señal modulada como un fasor de la
forma:
)](cos[)( ttwAtx ccc
)()( ttwt cc
]Re[)(cos)()(tj
ccccceAtAtx
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Modulación de Fase y Frecuencia
Señales FM y PM
La señal de información esta contenida en ,
obteniéndose una relación no lineal entre la
portadora y la información.
Para el caso de la modulación de Fase (PM), se tiene
una fase instantánea igual a: con ,
obteniendo la siguiente expresión para la señal
modulada:
)(tc
º180)()( txt
)](cos[)( txtwAtx ccc
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Modulación de Fase y Frecuencia
Señales FM y PM
La constante se define como el coeficiente de
modulación de fase o la desviación de fase, representa
el máximo desplazamiento de fase producido por la
señal de información.
Del diagrama fasorial, se define la tasa
de rotación en ciclos por segundo.
)(2
1)(
2
1)( tfttf cc
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Modulación de Fase y Frecuencia
Señales FM y PM
se conoce como la frecuencia instantánea de la
señal modulada, que no se debe confundir con la
variable independiente del dominio de la frecuencia.
Para la modulación FM, se define la frecuencia
instantánea como:
Donde se muestra que la frecuencia instantánea varía
proporcionalmente con la señal de información.
)(tf
cc fftxfftf )()(
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Modulación de Fase y Frecuencia
Señales FM y PM
se denomina desviación de frecuencia la cual
representa el máximo desplazamiento con respecto a al
portadora .
La condición asegura que se siempre positiva
y en general se requiere que para conservar la
naturaleza pasa banda de la señal modulada.
f
cf
cff )(tf
cff
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Modulación de Fase y Frecuencia
Señales FM y PM
Se puede notar que para FM
y su integración produce
Tomando a tal que se tiene
Y la señal FM será
)(2)( txft
00 )()(2)(0
tttdxftt
t
0t 0)( 0 t t
dxft )(2)(
])(2cos[)( t
ccc dxftwAtx
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Señales FM y PM
Se puede notar que la relación entre estas modulaciones
es de una derivada o de una integral.
Esto indica que con circuitos integradores o derivadores, puede
pasarse de una PM a FM y viceversa.
Modulación
PM
FM
Modulación de Fase y Frecuencia
10
)(t )(tf
)(tx )(2
1txf c
t
dxf )(2 )(txffc
Fase Instantánea Frecuencia Instantánea
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Señales FM y PM
Por otro lado, como la
moduladora no altera la
amplitud de la portadora, la
potencia promedio de la señal
modulada será la establecida
por la portadora.
Modulación de Fase y Frecuencia
11
2
2
1
cT AP
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Señales FM y PM
Simulación
Modulación de Fase y Frecuencia
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FM y PM de banda estrecha
Para el análisis espectral se parte de la forma de onda
de una modulación lineal.
Donde
Bajo la condición
Análisis Espectral
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twtxtwtxtx ccqccic sen)(cos)()(
])(1[)(cos)( 2
!2
1 tAtAtx ccci
])()([)(sen)( 3
!3
1 ttAtAtx cccq
rad(t)| 1|
)()()( tAtxAtx ccqcci
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
FM y PM de banda estrecha
Con estas expresiones se facilita el cálculo del
espectro de la señal modulada.
Donde
Se puede notar que si tiene ancho de banda tal que
, entonces será una señal pasabanda de
ancho de banda 2W.
Análisis Espectral
14
0)()()(22
1 fffAffAfX cc
j
ccc
FMffXjf
PMfXtf
/)(
)()]([)(
F
)(tx
cfW )(txc
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FM y PM de banda estrecha
Conclusión que es valida para valores pequeños,
y que describen así una modulación de frecuencia o
de fase de banda estrecha (NBFM y NBPM).
Para valores grandes de los términos , ,..
no pueden despreciarse y pueden incrementar el
ancho de banda de la señal modulada.
Análisis Espectral
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|)(| t
|)(| t 2)(t 3)(t
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Tono de Modulación
Para hacer una análisis generalizado se utiliza el tono
de modulación, el cual permite analizar
conjuntamente FM y PM.
De acuerdo a la señal modulada se tiene
Análisis Espectral
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FMtwA
PMtwAtx
mm
mm
cos
sen)(
twt msen)(
FMffA
PMA
mm
m
)/(
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Tono de Modulación
El parámetro sirve como índice de modulación para
FM y PM, con un tono de modulación. Equivale a la
desviación de fase o frecuencia y es proporcional a la
amplitud del tono de modulación.
La modulación de banda estrecha requiere que ,
entonces:
Análisis Espectral
17
1
twtwAtwAtx cmcccc sensencos)(
twwA
twwA
twAtx mc
c
mc
c
ccc )cos(2
)cos(2
cos)(
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Tono de Modulación
De aquí se obtiene el espectro de línea y el diagrama
fasorial para una modulación de banda estrecha:
Se puede observar que el fasor invertido de la banda
lateral inferior genera una componente perpendicular
o en cuadratura con relación al fasor de portadora.
Análisis Espectral
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Tono de Modulación
Para determinar el espectro de línea, se hace una
aproximación al banda estrecha, tal que:
Y aunque no es periódica, los términos
y si los son, y cada uno puede expandirse
en series de Fourier con .
Análisis Espectral
19
]sen)sen(sencos)sen[cos()(
]sen)(sencos)([cos)(
twtwtwtwAtx
twttwtAtx
cmcmcc
cccc
)(txc )sencos( twm
)sen(sen twm
mff 0
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Tono de Modulación
Entonces aplicando series se tiene:
Donde n toma valores positivos y
Los coeficientes corresponden a las funciones de Bessel de
primera clase de orden n y argumento .
Análisis Espectral
20
parn
mnm tnwJJtw cos)(2)()sen(cos 0
imparn
mnm tnwJtw sen)(2)sen(sen
deJ nsenj
n
)(
2
1)(
)(nJ
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Tono de Modulación
Substituyendo estos resultados en la expresión de la
señal modulada se tiene:
Tomando la propiedad de las funciones
de Bessel:
Análisis Espectral
21
parn
mcmcnc
imparn
mcmcncccc
tnwwtnwwJA
tnwwtnwwJAtwJAtx
])cos())[cos((
])cos())[cos((cos)()( 0
)()1()( n
n
n JJ
n
mcncc tnwwJAtx )cos()()(
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Tono de Modulación
Esta función representa una señal con amplitud
constante cuya frecuencia varía sinusoidalmente.
El espectro de FM consiste de una línea de la
frecuencia portadora más un infinito número de líneas
de banda lateral a frecuencias de , todas las líneas
son equidistantes. Además las líneas impares de bajo
orden están invertidas en fase relativamente a la
frecuencia de la señal portadora no modulada.
Análisis Espectral
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mc nff
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Tono de Modulación
El espectro de línea resultante
Se puede observar que las componentes se hacen mas
pequeñas a medida que las componentes se alejan de .
Análisis Espectral
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cm ff
cf
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Tono de Modulación
Entonces la amplitud de la componente a una
frecuencia esta dada por .
Entonces para obtener el espectro de una señal
modulada exponencialmente, es necesario estudiar el
comportamiento de las funciones de Bessel.
Análisis Espectral
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mc nff )(nJ
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Tono de Modulación
Función de Bessel n fijo.
Análisis Espectral
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Tono de Modulación
Función de Bessel n variable.
Análisis Espectral
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Tono de Modulación
Observaciones
1. La amplitud relativa a la línea de la portadora ,
varia con el índice de modulación, por lo tanto
depende de la señal modulante. De aquí, en contraste
con la modulación lineal, la componente en la
frecuencia de la portadora de una señal FM contiene
parte de la información del mensaje. Sin embargo esta
componente puede ser nula cuando =2.4, 5.5, como
lo muestra la primer gráfica.
Análisis Espectral
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)(0 J
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Tono de Modulación
2. El número de líneas de bandas laterales que tienen
amplitud relativamente apreciable, depende de . Con
<<1 solo y son significativas, entonces el
espectro estará conformado por la portadora y dos
bandas laterales, pero si >>1, el espectro tendrá
varias bandas laterales.
3. Un valor de grande implica un ancho de banda
grande, coincidiendo con una gran desviación.
Análisis Espectral
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0J
1J
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Tono de Modulación
Este espectro fue generado
a partir de la tabla de Bessel,
omitiendo la inversión de fase.
a. Incremento de y no
b. Incremento de y de-
cremento de . Solo FM
Análisis Espectral
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mf
mf
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Tono de Modulación
La representación fasorial se hace mediante una
aproximación a banda estrecha. La envolvente y la fase
se obtienen de la componente de portadora y el primer
par de bandas laterales.
Análisis Espectral
31
]2cos1[)2()(4
2
4
22
2
2 twAtsenwAAtA mcmcc
tsenwA
tsenwAt m
c
mc
2
2arctan)(
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Tono de Modulación
El primer par de componentes
generan el desplazamiento de-
seado pero hay una variación
adicional de amplitud, lo cual
se corrige con la inclusión de
las siguientes componentes,
pero esto genera distorsión de
fase.
Análisis Espectral
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Tono de Modulación - ejemplo
Se transmite la señal FM ,
determine la frecuencia instantánea y el índice de
modulación.
De donde: , y
A partir de estos resultados existen diferentes dos
maneras de determinar el índice de modulación
Análisis Espectral
33
]200205.050002cos[100)( tsenttxc
ttf
tttf
2002cos105000)(
]2002cos)2002(05.050002[2
1)(
2
1)(
Hzfc 5000 10f ttx 2002cos)(
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Tono de Modulación - ejemplo
i) Por NBFM con tono de modulación se conoce que:
Y como , se tiene
ii) Alternativamente
Análisis Espectral
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tsenwt m )(
)](cos[)( ttwAtx ccc 05.0
ff
A
m
m 05.0200
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El espectro de una señal modulada exponencialmente
tiene una gran extensión, entonces la generación o la
transmisión de FM puro, requiere un ancho de banda
infinito, independientemente de si la señal mensaje es
o no, limitada en banda.
Sin embargo, en la práctica existen sistemas FM con
ancho de banda finito que funcionan muy bien, esto se
debe a que las componentes que se encuentran alejadas
de la señal portadora no tienen niveles significativos y
pueden despreciarse.
Ancho de Banda
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Estimación
La estimación del ancho de banda depende de la
cantidad de componentes significativos del espectro de
la señal modulada.
Además se debe tener en cuenta la tolerancia a la
distorsión, de una determinada aplicación.
La aproximación se toma a partir del tono de
modulación.
Ancho de Banda
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Estimación
Del análisis de Bessel se observa que cae a medida
que y particularmente si .
Asumiendo grande, se puede decir que es
significativa solo para .
Entonces las componentes significativas están en el
rango de frecuencias .
Para pequeño , es decir las componentes
significativas están en .
Ancho de Banda
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)(nJ
1|/| n 1
|)(| nJ
mm ffAn /||
fAfff mcmc
)()( 00 nJJ
mc ff
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Estimación
Con este análisis se define las componentes
significativas son aquellas tales que , donde es
un valor entre 0.01 y 0.1 de acuerdo a una aplicación
específica.
Definamos un , indica que existen M pares
de componentes significativas y 2M+1 componentes
del espectro, entonces el ancho de banda será:
Ancho de Banda
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)(nJ
|)(| MJ
1)()(2 MfMB m
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Estimación
Este ancho de banda B corresponde al ancho de
banda mínimo necesario para la modulación generada
por un tono de modulación con parámetros
específicos.
Entonces se debe determinar el ancho de banda de
transmisión, tomando como base los valores máximos
de amplitud y ancho de banda.
Ancho de Banda
39
1mA Wfm
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Estimación
Con estas restricciones se debe cumplir que:
Entonces,
Utilizando los máximos valores
Note que el índice de modulación es , pero este no es su valor
máximo, es el que combina la máxima amplitud y la máxima
frecuencia, produciendo el máximo BW requerido.
Ancho de Banda
40
2)( M
)2(222)2(2 mmmm
f
fm
A
m ffAffB
2)2(2 siWfBT
Wf /
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Estimación
Para generalizar estos resultados es necesario extrapolar
estos resultado definiendo la relación de desviación:
Entonces para una señal arbitraria el ancho de banda
estará dado por:
Ancho de Banda
41
modulanteseñalfrecuenciaMáxima
desviaciónMáxima
W
fD
WDMBT )(2
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Estimación
Con el valor máximo de la relación de desviación:
Combinando los resultados se expresa la regla de Carson
Comercialmente para FM 2<D<10, entonces se hace
una ajuste
Ancho de Banda
42
12
122
DW
DfDWBT
WDWfBT )1(2)(2 1
1
D
D
2)2(2)2(2 DWDWfBT
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Estimación
Físicamente D representa la máxima desviación de fase
de una señal FM en el peor de los casos.
Las expresiones encontradas son validas para PM,
cambiando D por , entonces:
Corresponde a una aproximación a la regla de Carson con la
diferencia de que no depende de W.
Ancho de Banda
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1)()(2 MWMBT WBT )1(2
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Estimación - ejercicio
Una estación radial de estados unidos, tiene una
desviación de frecuencia de 75khz, y frecuencias
modulantes de 30hz a 15khz. Determine el ancho de
banda de transmisión.
Si la señal modulante tiene una frecuencia fundamental
de 3khz, que ancho de banda genera esta señal al ser
transmitida en el sistema. Concluya.
Ancho de Banda
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Banda comercial de FM
La FCC asignó una banda de frecuencias de 20MHz al
servicio de FM, comprende el rango entre 88 a
108MHz, Esta banda se divide en canales de 100 y
200kHz de ancho, los cuales comienzan en 88.1MHz,
sigue 88.3MHz, 88.5MHz y así sucesivamente.
Para obtener un sonido de alta calidad y confiable, la
máxima desviación de frecuencia permitida es 75kHz
con una frecuencia máxima de señal moduladora de
15kHz.
Ancho de Banda
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Banda comercial de FM
Estas características definidas generan una ancho de
banda de transmisión de .
Este resultado muestra que los sistemas FM toleran un
cierto grado de distorsión, el cual no presenta
problemas, debido a la poca ocupación de la banda.
Ancho de Banda
46
kHzkHzxB 240)158(2
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Sabemos que la potencia transmitida se debe a la
amplitud de la portadora, pero esta potencia en realidad
se distribuye entre las componentes espectrales.
Tomando una señal sin modular, la componente
significativa es , generando .
Entonces para cada componente se tiene
La potencia total transmitida será:
Potencia transmitida
47
0.10 J Transc PJP 2
0
Transnn PJP )(2
TransTotal PJJJJP ))()(2)(2)(( 2
3
2
2
2
1
2
0
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Ejemplo
Un transmisor FM tiene una potencia de salida de 10W,
con un índice de modulación de 1.0, determine la
potencia de sus componentes espectrales y la potencia
total de la señal FM.
Potencia transmitida
48
02.011.044.0,77.0 3210 JJJJ
WxP 929.510)77.0( 2
0 WPyWPWP 004.0121.0936.1 321
WWWWWPTotal 051.10)004.0(2)121.0(2)936.1(2295.5
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Generación directa
Conceptualmente solo es necesario la utilización de un
oscilador controlado por voltaje, cuya frecuencia de
oscilación tiene una dependencia lineal con el voltaje
aplicado.
Es posible modular un circuito oscilador sintonizado
convencional introduciendo un elemento de reactancia
variable como parte de un circuito resonante LC.
Transmisores y Receptores
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Generación directa
Si la capacitancia equivalente tiene una dependencia
con el tiempo, de la forma: y si es lo
suficientemente pequeña y lenta, entonces el oscilador
produce una señal:
con
Transmisores y Receptores
50
)()( 0 tCxCtC )(tCx
)(cos)( tAtx ccc
2/1
0
)(11
)(
1)(
tx
C
C
RCtRCt
o
c
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Generación directa
Considerando y asumiendo , el
ángulo instantáneo puede descomponerse en serie
binomial.
Dando como resultado una modulación FM, siempre
que , con .
Transmisores y Receptores
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0/1 RCwc 1|)()/(| 0 txCC
)]()2/(1[)( 0 txCCwt cc
t
ccc dxfCCtft )()2/(22)( 0
1|)(| tx cfCCf )2/( 0
Un
ive
rsid
ad
de
l C
au
ca
-F
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Generación directa
El circuito muestra un modulador de este tipo.
El diodo varactor permite que , el transformador
de choque y el bloqueador de DC, aíslan las frecuencias
bajas, las altas y los niveles DC.
Inconveniente la estabilidad.
Transmisores y Receptores
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)(tCx
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rsid
ad
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au
ca
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Generación indirecta de PM y FM
La modulación de fase es poco utilizada pero tiene 3
características importantes.
1.Su implementación es relativamente fácil.
2.La portadora puede ser remplazada por una fuente de
frecuencia estable, así como un oscilador controlado por cristal.
3.Integrando la señal de entrada al modulador de fase, se genera
una salida modulada en frecuencia.
Transmisores y Receptores
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Un
ive
rsid
ad
de
l C
au
ca
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Generación indirecta de PM y FM
Diagrama esquemático de modulador de
Esta aproximación depende de la condición
y que la desviación de fase no debe ser mayor a 10°, de
lo contrario se genera distorsión de la señal modulada.
Transmisores y Receptores
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tsenwtxAtwAtx ccccc )(cos)(
radtx 1|)(|
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Generación indirecta de PM y FM
La generación de FM utiliza el siguiente circuito
El integrador y el modulador de fase generan la señal
NBFM con frecuencia instantánea:
Transmisores y Receptores
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)(2
)(1 txT
ftf c
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Generación indirecta de PM y FM
La desviación de frecuencia inicial es , la cual debe
incrementarse hasta utilizando un multiplicador de
frecuencia, que multiplique por un factor n la
frecuencia instantánea.
donde
El proceso de multiplicación afecta el rango de
variación de frecuencia pero no la tasa
Transmisores y Receptores
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T
2
f
)()()(112 txfnftnftf c
T
nf
2
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Generación indirecta de PM y FM
Por lo general el proceso de multiplicación genera una
portadora con una frecuencia más alta que la deseada,
entonces es necesario la utilización de un convertidor
de frecuencia.
Se genera entonces una frecuencia instantánea de la
forma:
Transmisores y Receptores
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||||1 LOcc fff
)()( txfftf c
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Detección de frecuencia
Un detector de frecuencia o discriminador, produce
una salida que varía linealmente con la frecuencia
instantánea de la señal de entrada. Estos circuitos
pueden clasificarse en cuatro categorías:
• Conversión AM – FM
• Discriminación de desplazamiento de fase
• Detección de cruce por cero
• Realimentación de frecuencia
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Conversión AM-FM
“Cualquier dispositivo cuya salida sea la versión
derivada de la entrada realiza conversión FM-AM”
Dada con , entonces:
Se puede que la salida tiene la forma de una señal AM
Transmisores y Receptores
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))((2)( txfft cc )(cos)( tAtx ccc
]180)([)]([2)(
)()()(
tsentxffAtx
tsentAtx
cccc
cccc
Un
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l C
au
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Conversión AM-FM
Entonces, un detector de envolvente al cual se aplique
una señal , entregará una salida proporcional a:
Transmisores y Receptores
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)(txc
)()( txfftf c
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Discriminador de Desplazamiento de Fase
Este tipo de detectores involucra circuitos con
respuesta lineal de fase, su principio básico proviene de
la aproximación de la derivación.
Asumiendo que es pequeño comparado con la
variación de y conociendo que para una señal FM se
tiene que , entonces:
Transmisores y Receptores
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)]()([)( 1
1
1
ttvtvtvt
1t
)(tv
)(2)( txft
)(2)()()( 111 txtfttttt
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ca
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Discriminador de Desplazamiento de Fase
El término puede obtenerse con la ayuda de una
línea de retardo o lo que es equivalente una red lineal
de desplazamiento de fase.
Construido con retardo de grupo y de portadora ,
tal que , se conoce como detector en cuadratura.
Transmisores y Receptores
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)( 1tt
1t 0t
900twc
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Discriminador de Desplazamiento de Fase
El desplazamiento de fase es proporcional a:
al multiplicar con y filtrar, se obtiene una
salida proporcional a:
Transmisores y Receptores
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)]([)](º90cos[ 11 tttwsentttw cc
)](cos[ ttwc
)()()]()([ 11 ttttttsen
Un
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l C
au
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MODULACIÓN LEXPONENCIAL
Discriminador de Desplazamiento de Fase
Asumiendo que es lo suficientemente pequeño tal
que , finalmente:
Donde la constante de detección incluye a . A
pesar de esta aproximación un detector en cuadratura
provee una muy buena linealidad y es considerado un
detector de alta calidad, superior al conversor AM-
FM.
Transmisores y Receptores
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1t
|)()(| 1ttt
)()( txfKty DD
DK1t
