INSTITUTO TECNOLOGICO DE LAZARO CARDENAS

Materia: Electromagnetismo.1.3 Ley de Gauss .

Equipo: 13Inv.1.3.Ley de Gauss 1

Contenido • Introducción 3 • Definición Ley de Gauss 4• Formula 7• Campo eléctrico E próximo a un plano infinito de carga 8• Campo eléctrico E próximo a una carga lineal infinita 10• Campo eléctrico E en el interior y en el exterior de una corteza cilíndrica de carga 12 • Campo eléctrico E en el interior y en el exterior de un cilindro sólido de carga

infinitamente largo 14• Ejemplo 16

Inv.1.3.Ley de Gauss 2

Ley de GaussPermite calcular de forma simple el campo eléctrico debido auna distribución de cargas cuando esta presenta buenaspropiedades de simetría. En estos casos, suele resultarmucho más simple usar la ley de Gauss que obtener E porintegración directa sobre la distribución de cargas.

Inv.1.3.Ley de Gauss 3

Definición. El número de líneas de campo que parten de una carga q0 es proporcional a dicha carga. De este modo, si una superficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el número total de líneas que pasan a través de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior.

Además, como se puede apreciar, el número de líneas debe serindependiente de la forma de la superficie que encierra a la carga. Entonces elsignificado de la ley de Gauss: el número de líneas de campo que atraviesanuna cierta superficie cerrada es directamente proporcional a la carga netaencerrada en su interior.

Inv.1.3.Ley de Gauss 4

La figura muestra una superficie esférica de radioR con su centro en la carga puntual Q. El campoeléctrico en un punto cualquiera de la superficie esperpendicular a la superficie y tiene la magnitud.

La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza queatraviesa una superficie recibe el nombre de flujo eléctrico, cuya definición es

El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada, que viene dado por

Inv.1.3.Ley de Gauss 5

El flujo neto a través de esta superficie esférica es

E es constante en todos los puntos. La integral de dA extendida a toda la superficie es precisamente el área total, igual a 𝐴𝐴 = 4𝜋𝜋𝑅𝑅2

Sustituyendo

Se obtiene

Si se trata de sistemas de más de una carga puntual

Inv.1.3.Ley de Gauss 6

Formula Ley de GaussConstante de Coulomb k en función de la permitividad del vacío:

Entonces obtenemos:

Inv.1.3.Ley de Gauss 7

Campo eléctrico E próximo a un plano infinito de carga Densidad de carga uniforme 𝜎𝜎. Por simetría el campoeléctrico debe:- ser perpendicular al plano.- depender sólo de la distancia z del plano al punto del

campo.- tener el mismo valor pero sentido opuesto en los

puntos situados a la misma distancia por arriba y pordebajo del plano

Como E es paralelo a la superficie cilíndrica, no existe flujo que la atraviese.Puesto que el flujo que sale por cada cara superior o inferior es EA, el flujo total es

Inv.1.3.Ley de Gauss 8

La carga neta en el interior de la superficie es

A partir de la ley de Gauss

De donde

Inv.1.3.Ley de Gauss 9

Campo eléctrico E próximo a una carga lineal infinita

Densidad de carga uniforme 𝝺𝝺.Por simetría el campo debe: - ser perpendicular al hilo. - depender sólo de la distancia r del hilo al punto.

El campo eléctrico es, perpendicular a la superficie cilíndrica y posee el mismovalor E, en cualquier punto de la superficie. No hay flujo a través de lassuperficies planas de los extremos del cilindro

El flujo eléctrico es, por tanto:

igual al producto del campo eléctrico por el área de la superficie cilíndrica. Inv.1.3.Ley de Gauss 10

La carga neta dentro de esta superficie es

Según la Ley de Gauss

de donde

Inv.1.3.Ley de Gauss 11

Campo eléctrico E en el interior y en el exterior de una corteza cilíndrica de carga

Densidad de carga superficial uniforme, 𝜎𝜎.a) Puntos interiores a la cortezaTomamos una superficie gaussiana cilíndrica delongitud L y radio r < R concéntrico con la corteza.Por simetría, el campo eléctrico es:-perpendicular a esta superficie gaussiana y-su magnitud Er es constante en todos los puntosde la superficie.

El flujo de E a través de la superficie es, por tanto

Inv.1.3.Ley de Gauss 12

La carga total dentro de esta superficie es cero

A partir de la ley de Gauss

de donde

b) Puntos interiores a la cortezaTomamos una superficie gaussiana cilíndrica de longitud L y radio r > R concéntrico con la corteza.

El flujo vuelve a ser

Pero la carga interior no sería nula, sino

y según la ley de Gauss

Inv.1.3.Ley de Gauss 13

Campo eléctrico E en el interior y en el exterior de un cilindro sólido de carga infinitamente largo

Inv.1.3.Ley de Gauss 14

Densidad de carga 𝜌𝜌 distribuida uniformemente por todo el volumen del cilindro Lo mismo que en el caso de la corteza cilíndrica de carga tomamos una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud L, el flujo será

a) Puntos exteriores al cilindro, es decir, si r > R,La carga total dentro de esta superficie es

Inv.1.3.Ley de Gauss 15

Y según la ley de Gauss

de donde

b) Puntos exteriores al cilindro, es decir, si r < R,

La carga total dentro de esta superficie es

Ley de Gauss

de donde

Ejemplo

• Una cáscara cilíndrica de radio 7,00 cm tiene su carga distribuida uniformementesobre su superficie. La magnitud del campo eléctrico en un punto 19 cmradialmente hacia afuere de su eje (medido desde el punto medio del cascarón) es36 kN/C. Use relaciones de aproximación para encontrar: (a) La carga neta(Qdentro)sobre el cascarón y (b) El campo eléctrico en un punto a 4 cm del eje, medidoradialmente hacia afuera desde el punto medio del cascarón.

Inv.1.3.Ley de Gauss 16

Solución.Debido a que el punto a 19 cm es mayor que el radio de la cáscara cilíndrica entonces escogemos una superficie gaussiana de radio r y longitud L, fuera de la distribución como se muestra en la figura.

Inv.1.3.Ley de Gauss 17

• Campo eléctrico E próximo a una carga lineal infinita (a)

Aplicando ley de gauss despejando

Remplazando valores se tiene

𝝺𝝺= E( ) = (3.6𝑥𝑥𝑥𝑥3 𝑁𝑁𝐶𝐶

)(2𝜋𝜋)(8.85𝑥𝑥𝑥𝑥−12 𝐶𝐶2

𝑁𝑁𝑚𝑚2)(0.19m)

𝝺𝝺=3.8𝑥𝑥𝑥𝑥−8 𝐶𝐶𝑚𝑚

La carga total que se ha distribuido será

Q= (3.8𝑥𝑥𝑥𝑥−8 𝐶𝐶𝑚𝑚

)(2.4m)= 9.1283𝑥𝑥𝑥𝑥−8𝐶𝐶Inv.1.3.Ley de Gauss 18

(b) Debido a que el punto r = 4 cm, es menor que el radio del cilindro, la carga neta dentro de la superficie gaussiana interior a la cáscara es , entonces se tiene

=0 = 0

Inv.1.3.Ley de Gauss 19