CAPITULO 3 LEY DE GAUSS

La ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga. Dicho con otras palabras la ley de Gauss estudia la relación que existe entre el campo eléctrico creado por cargas y el flujo que cruza una superficie denominada gaussiana que encierra a la fuente del campo.

Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

SUPERFICIE GAUSSIANA

La superficie gaussiana es una superficie cerrada y virtual, o sea que es una superficie hipotética e imaginaria, la cual puede ser regular o irregular; como ejemplos de superficies gaussianas regulares pueden ser: esferas, cilindros, cubos, pirámides, conos etc., en general cualquier cuerpo geométrico de forma regular y como ejemplos de forma irregular tenemos: una calabaza, un cacahuate, un acocote, un guaje o cualquier superficie cerrada irregular. Suele de preferencia escogerse una superficie gaussiana de tal manera que tanto el campo eléctrico como la superficie propuesta tengan la misma simetría; esto facilita la integración, en el momento de realizar los cálculos que haya lugar, porque asegura que el ángulo que formen el campo eléctrico y el vector superficie sean de cero, noventa o ciento ochenta grados.

FLUJO ELÉCTRICO

El flujo (símbolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo

eléctrico, el flujo ( ) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.

49

Para definir a con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.

La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como

vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.

En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.

y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.

El flujo, entonces, se define como sigue:

O sea:

50

Superficie Gaussiana

Que es la forma integral de la ley de Gauss

El flujo eléctrico es la medida del número de líneas del campo que atraviesan cierta superficie.

Si el campo E y el área A son paralelos, entonces el flujo eléctrico se calcula matemáticamente:

El número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. Por tanto el número de líneas que penetran en una superficie de área A es proporcional al producto EA, si E y A son paralelos.

Cuando las líneas de campo uniforme atraviesan una superficie que hace un ángulo con el campo la ecuación para el flujo queda como:

Cuando una superficie es curva o varia de un punto a otro el flujo se obtiene dividiendo la superficie en pequeños elementos tan pequeños que pueden considerarse planos. De esta manera el flujo total será la suma de estos pequeños flujos convirtiéndose en una integral.

De lo expuesto anteriormente podemos definir a la Ley de Gauss como:

“El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria, es igual a la carga neta encerrada por la superficie gaussiana, dividida por 0 “

Matemáticamente tenemos: = q / 0

APLICACIONES

51

La ley de gauss se puede usar para calcular la carga neta encerrada por una superficie gaussiana; a la suma de todas las cargas encerradas en la superficie gaussiana se le llama carga neta y se representa con la letra q minúscula. Si despejamos q de la ecuación anterior e integramos para una superficie gaussiana de forma esférica tenemos una expresión para determinar la carga neta encerrada que produjo el campo eléctrico manifiesto. Cuando tenemos un arreglo de varias cargas dentro de una superficie gaussiana, por el principio de superposición cada carga contribuye para formar el campo eléctrico resultante.

q = 0 E · dS

dS

E

Cabe mencionar que si la carga neta q de la ecuación da cero indica que no hay carga neta encerrada y que el flujo que entra es el mismo que sale.

La ley de Gauss puede usarse como herramienta matemáticamente para obtener algunas expresiones de campo eléctrico , producido por diferentes distribuciones uniformes de carga eléctrica principalmente si esta distribución presenta simetría, por ejemplo: una línea cargada, una carga puntual, una superficie finita o infinita cargada, etc. Cuando se da ésta simetría hay que proponer una superficie Gaussiana que tenga la forma del campo para asegurar que el producto escalar se desarrolle con un coseno de 0° ó 1800 y de 90°, que es 1 y -1 para los dos primeros y 0 para el último.

52

La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday sin cargas eléctricas en su interior. La ley de Gauss es la equivalente electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo. Ambas ecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones de Maxwell.

Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si esta fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen), también se pude decir que si el mismo flujo que entra a una superficie gaussiana es igual al que sale, entonces la carga neta encerrada es cero u nula. Además, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.

Aunque la ley de Gauss también se puede deducir de la ley de Coulomb, sin embargo la primera es más general que la segunda, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable. El flujo de la ley de Gauss puede ser un flujo magnético, gravitacional, o un flujo de aire, gas, líquido etc, ya que se trata de una ley universal.

Vemos algunos ejemplos de aplicación de la ley de Gauss como herramienta matemática para deducir expresiones de campo eléctrico.

Usando la Ley de Gauss se desea obtener una expresión para calcular el campo eléctrico E producido por una carga puntual a una distancia r.

Solución.

Como el campo producido por una carga puntual es de forma esférica conviene proponer una superficie Gaussiana esférica de radio r, ya que al desarrollar el producto escalar de la Ley de Gauss, se asegura que el ángulo entre el vector campo y el vector diferencial de superficie sea de 0°, si la carga es positiva, ya que ambos quedan paralelos en la misma dirección y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.

Como = q/ 0

53

Despejando E

Veamos otro ejemplo. Se desea obtener una expresión para calcular el campo eléctrico E producido por una distribución lineal infinita de carga a una distancia r.

Solución:

54

Como el campo eléctrico E es de forma cilíndrica se elige una superficie Gaussiana cilíndrica de radio r y altura h, esto nos asegura que el vector campo y el vector diferencial de superficie en la superficie lateral del cilindro sean paralelos o sea de 00 y el ángulo que formen las tapas con el campo sea de 90°.

como:

como q/h =

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 28

Se tiene 2 cilindros concéntricos largos de radio ra y rb. Los cilindros tienen cargas por unidad de longitud iguales y opuestas según la figura. Utilizando la Ley de Gauss calcule:

a) El campo eléctrico en un punto donde r=0.5cm.b) El campo eléctrico en un punto entre ra y rb r=1.5cm.c) El campo eléctrico en un punto de los dos cilindros r = 4cm.

55

+

+

+

+

+

+ + +

++++

+________

__________

ra

rb

a).

b).

c). r = 0.04 m

como son conductores no hay campo fuera. E=0.

PROBLEMA 29

Usando la Ley de Gauss, calcule el campo eléctrico E para los siguientes casos:

a) Carga puntual de 410-6 C. A una distancia de 20 cm.b) Carga puntual de 610-6 C. A una distancia de 10 cm.

56

dS = r d rsen dS

r

Sup. Gaussiana

a)

b).

PROBLEMA 30

Usando la ley de gauss determinar el campo eléctrico producido por una carga puntual positiva de 50 micro coulombios a una distancia de 2cm.

Solución: Como el campo eléctrico producido es de forma esférica , usaremos una superficie gaussiana de forma esférica para asegurar que el ángulo entre el campo y la superficie sea en todo momento de la integración de cero grados.

57

dS

E

como:

(dS en coordenadas esféricas)

Despejando E

E = 50X 10-6 /4X3.1416X 8.85X 10-12 X(2X 10-2 )2 E = 112.4X107 N/C

PROBLEMA 31

Deducir la expresión para determinar el campo eléctrico E en un punto P a una distancia r de un conductor recto muy largo que tiene carga eléctrica positiva uniformemente distribuida (Aplicar Ley de Gauss).

58

PROBLEMA 32

Un campo eléctrico constante uniforme dado por , cruza un hemisferio de radio “a”, determine el flujo E.

De la figura tenemos:

a r S

Z

X

Y

d1 = rd

dA

E

E

59

PROBLEMA 33

Se sabe que en el interior de una superficie cerrada de forma irregular existe una carga positiva y negativa; la magnitud de la carga negativa es 0.522x10 -8 C. Si el flujo eléctrico, a través de dicha superficie, es 2800 Nm2 /C, calcule la magnitud de la carga positiva que existe en el interior de la misma.

Q+ Q_

60

PROBLEMA 34

Una esfera dieléctrica maciza, de 10 cm. de radio, posee una carga uniforme

distribuida en todo su volumen. Si calcule la magnitud de intensidad

de campo para puntos que distan del centro de la esfera la cantidad r indicada.a).Centro de la esfera (r = 0).b).Punto inferior (r = 0.05 cm).c).En la superficie de la esfera (r=10cm).d).Punto exterior (r = 20 cm).

a = 1 0 c m

3/5.2

mC

a) Si r = 0 (No hay carga) entonces E = 0 porque quien crea el campo es la

carga.

b) Si r = 0.05m (r<<a)

61

c) Si r = 0.10m (a = r)

d) d) Si r = 20cm (r>a); CAPÍTULO

2. CAMPO ELÉCTRICO

e) El campo eléctrico es un concepto similar al de campo gravitacional, es aquella región del espacio en donde se dejan sentir los efectos de fuerzas a distancia. En ambos, existe una fuerza que actúa a distancia. El campo se extiende hacia fuera de toda carga e invade todo el espacio. Cuando se coloca una segunda carga cerca de la primera, "siente" una fuerza debido a que el campo eléctrico está allí.

f) Se puede medir y cuantificar el campo eléctrico que rodea una carga, un grupo de cargas o una distribución continua de cargas midiendo la fuerza sobre una carga de prueba positiva y pequeña colocada a una distancia r de la carga que produce el campo. Por carga de prueba debe entenderse una carga positiva tan pequeña que no altere la distribución de las demás cargas, que son las que provocan el campo que se está midiendo.

g) Se considera que el campo eléctrico interactúa directamente con la carga de prueba para producir la fuerza eléctrica de Coulomb, la carga de prueba se utiliza para cuantificar la magnitud y dirección del campo eléctrico en una región del espacio a una distancia r, pero el valor de la carga de prueba no influye para calcular el campo eléctrico estudiado. Se sabe que la dirección del campo producido por una carga positiva se aleja de la carga, mientras que la dirección del campo producido por una carga negativa entra a la región donde esta la carga.

h) Los cuerpos en su estado natural se encuentran balanceados eléctricamente, pero si por algún medio se le adicionan o quitan electrones, éste se carga negativo o positivamente según sea el caso. Cuando un cuerpo esta cargado, en su entorno se forma una región de fuerzas eléctricas que se manifiestan sobre cargas de prueba. En esta unidad se estudiará como se cuantifica el Campo Eléctrico creado por cargas puntuales ó por cargas distribuidas uniformemente.

i)

62

j) El campo eléctrico es aquel que nos sirve para describir a las fuerzas electrostáticas que actúan a través de un espacio libre, en otras palabras es aquella donde se dejan sentir las fuerzas eléctricas.

k)

l) La Ley de Atracción y Repulsión nos dice que cuerpos con cargas iguales se repelen y cuerpos con cargas distintas se atraen. La Ley Cuadrática Inversa o Ley de Coulomb nos permite hacer el cálculo de la magnitud y la dirección de una fuerza. Ley de Coulomb nos dice que la fuerza que actúa entre dos cargas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

m)

n) 1.- Matemáticamente podemos escribirla como:

o)

p)

q) donde F es la fuerza, q1 y q2 son las cargas y r es la distancia y la K dependerá de las unidades escogidas, en el MKSA

, la unidad de carga eléctrica negativa es la carga

de un electrón.

r)

s) El coulomb es un múltiplo de la carga del electrón.

t)

u) La carga del electrón = - 1.6021917x10-19 coulomb.

v)

w)1 coulomb = 6.241450 x 1018 electrones.

x)

y) Se puede escribir la Ley de Coulomb introduciendo 0 en la sustitución de k.

z)

aa)

63

bb)

cc) La ley de Coulomb quedara entonces como:

dd)

ee)

ff) donde

gg)

hh)Los signos que resulten al cálculo de la fuerza indicaran si se trata una atracción o de una repulsión, si la F es (-) la fuerza será de atracción si es (+) será de repulsión.

ii) El campo eléctrico es el modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica. Matemáticamente se lo describe como un campo vectorial en el cual una carga eléctrica puntual de valor "q" sufrirá los efectos de una fuerza mecánica "F" que vendrá dada por la siguiente ecuación:

jj)

kk)

ll) El campo eléctrico se representa con la letra E, y se mide en N/C ó Volts/ m.

mm) La intensidad de campo eléctrico E en un punto dado es igual a la fuerza que se ejercería sobre una carga eléctrica de prueba q0 colocada en ese punto, donde se quiere determinar el campo eléctrico. Esta definición indica que el campo eléctrico no es directamente medible, sino a través de la medición de la fuerza actuante sobre alguna carga. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Michael Faraday al demostrar el principio de inducción electromagnética en el año 1832.

nn)

oo)Cabe indicar que la carga de prueba siempre será positiva y más pequeña que la carga Q que genera el campo.

pp)Matemáticamente nos queda:

qq)

64

rr) Donde E es e campo eléctrico, F es la fuerza que ejerce la carga Q sobre la carga q0.

ss)

tt) Puesto que la fuerza es una magnitud vectorial, el campo eléctrico poseerá módulo, dirección y sentido.

uu)

vv) El campo que rodea una carga negativa es radial y hacia dentro y el campo que rodea una carga positiva es radial y hacia fuera. Las líneas que se utilizan para representar un campo eléctrico, las cuales nunca se contaran entre si y son imaginarias.

ww)

xx) Podemos utilizar la ley de Coulomb para encontrar nuestro campo eléctrico, sabiendo que:

yy)

zz)

aaa)

bbb)

ccc)

ddd) tenemos entonces:

eee)

fff)

ggg)

hhh) DIPOLO ELÉCTRICO.

iii) El dipolo eléctrico es un arreglo de dos cargas iguales en magnitud y de signo opuesto, separadas por una distancia 2a.

jjj)

65

kkk)

+

_

+q

-q

2a

P

lll)

mmm)MOMENTO DIPOLAR ELÉCTRICO P.

nnn)

ooo) Al producto 2aq se le denomina: momento dipolar eléctrico es una cantidad vectorial cuya magnitud es 2aq y apunte hacia la carga positiva.

ppp)

qqq) La expresión matemática es:

rrr)

sss)

ttt)

uuu) TORCA SOBRE UN DIPOLO ELÉCTRICO EN UN CAMPO ELÉCTRICO EXTENDIDO.

vvv)

www) El momento de una fuerza que actúa sobre un dipolo eléctrico en un campo uniforme E está dado por la siguiente ecuación matemática:

xxx)

yyy)

zzz)

aaaa) Que expresa el momento de una fuerza en una forma vectorial como el producto de los vectores .

bbbb)

cccc) CAMPO ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA.

66

dddd)

eeee) El campo establecido por la distribución de carga continua puede calcularse al dividir la distribución en elementos infinitesimales dq. Cada elemento de carga establece un campo en un punto P, y el campo resultante en P se determina a partir del principio de superposición al sumar las contribuciones de campo debidas a todos los elementos de carga.

ffff)

gggg)

hhhh)

iiii) Para elevar el campo de una distribución continua de carga se aplica el siguiente procedimiento. En primer lugar se divide la distribución de carga en pequeños elementos, cada uno de los cuales contiene una pequeña carga , como se ve en la figura.

jjjj)

kkkk)

P

E

r

r

q

llll)

mmmm) A continuación se aplica la ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a uno de estos elementos en el punto P. Por último se evalúa el campo total en P debido a la distribución de carga sumando las contribuciones de todos los elementos de carga (esto es, aplicando el principio de superposición).

nnnn)

oooo) El campo eléctrico en P debido a un elemento de carga está dado por:

67

pppp)

qqqq)

rrrr)

ssss) donde r es la distancia desde el elemento hasta P y es el vector unitario dirigido desde el elemento de carga hacia P.

tttt)

uuuu) El campo eléctrico en P a todos los elementos de distribución de carga está aproximadamente dado por:

vvvv)

wwww)

xxxx)

yyyy) donde el índice i indica al i -enésimo elemento en la distribución. Si la separación entre los elementos de distribución carga es pequeña comparada con la distancia a P, como una aproximación puede considerarse que la distribución de carga es continua.

zzzz)

aaaaa) De esta manera, el campo total en P en el límite viene a ser:

bbbbb)

ccccc)

ddddd)

eeeee) CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA LÍNEA CARGADA.

fffff)

ggggg) Si una carga Q está uniformemente distribuida a lo largo de una línea de longitud l, la densidad de carga lineal se define como:

68

hhhhh)

iiiii)

jjjjj)donde tiene unidades de C/m.

kkkkk)

lllll)

mmmmm)

nnnnn)

ooooo)

ppppp) LÍNEA CARGADA INFINITA.

qqqqq)

rrrrr) La figura muestra una sección de una línea infinita de carga cuya densidad de carga lineal tienen el valor constante .

sssss)

ttttt)

++++++++++

x

dz

z

dq

Pr

yy

dEz dE

dEy

uuuuu)

vvvvv)Para poder calcular el campo a un punto P hay que considerar la magnitud de la contribución del campo debida al elemento de carga dq

está dada, usando la ecuación:

wwwww)

69

xxxxx)

yyyyy)

zzzzz)El vector , tiene las siguientes componentes:

aaaaaa)

bbbbbb)

cccccc)

dddddd) Las componentes y y z del vector en el punto P están dadas por:

eeeeee)

ffffff)

gggggg)

hhhhhh)

iiiiii) Para cada elemento de carga en z positivo existe un elemento correspondiente en z negativo, de modo que las componentes z de sus campos se cancelan en P. Entonces E punta por completo en la dirección y. Debido a que las contribuciones a EY de las mitades superior e inferior de la barra son iguales podemos escribir:

jjjjjj)

kkkkkk)

llllll)

mmmmmm) Sustituyendo la expresión para en la ecuación anterior:

nnnnnn)

oooooo)

70

pppppp)

qqqqqq) donde z = y

rrrrrr)

ssssss) Cuando diferenciamos tenemos:

tttttt)

uuuuuu)

vvvvvv)

wwwwww) Substituyendo e integrando las dos expresiones se tiene:

xxxxxx)

yyyyyy)

zzzzzz)

aaaaaaa) Este problema tiene simetría cilíndrica con respecto al eje z. En todos los puntos del plano xy a una distancia r de la línea de carga, el campo vale:

bbbbbbb)

ccccccc)

ddddddd) Si la línea es finita la expresi

eeeeeee)

fffffff)

ggggggg)

hhhhhhh)

iiiiiii)

jjjjjjj)

kkkkkkk)

71

lllllll)

mmmmmmm)

nnnnnnn)

ooooooo) ANILLO CARGADO.

ppppppp)

qqqqqqq) En la figura muestra un anillo delgado de radio R por el cual fluye una densidad lineal de carga uniforme alrededor de su circunferencia. Consideremos un elemento diferencial del anillo de longitud ds localizado en una posición arbitraria en el anillo.

rrrrrrr) x

ds

r

R

P

y

dE

z

dE cos

z

sssssss)

ttttttt) El anillo contiene un elemento de carga por Este elemento determina un campo diferencial dE en el punto P, por lo tanto tenemos:

uuuuuuu)

vvvvvvv)

wwwwwww)

72

xxxxxxx) Para determinar el campo resultante en P debemos sumar vectorialmente, todas las contribuciones de campo de todos los elementos diferenciales del anillo. A causa de que existe únicamente una componente al campo total (por ser EX y EY cero), la adición vectorial se transforma en una adición escalar de componentes paralelas al eje. La componente z de es . Donde es igual a:

yyyyyyy)

zzzzzzz)

aaaaaaaa)

bbbbbbbb) Si realizamos el producto tenemos:

cccccccc)

dddddddd)

eeeeeeee)

ffffffff) Para sumar las diversas contribuciones, sólo necesitamos sumar las longitudes de los elementos, debido a que las demás cantidades son del mismo valor en todos los elementos de carga. Por lo tanto tenemos:

gggggggg)

hhhhhhhh)

iiiiiiii) donde la integral es , la circunferencia del anillo. Pero es q, la carga total en el anillo, do modo que queda la ecuación así:

jjjjjjjj)

kkkkkkkk)

llllllll)

mmmmmmmm)

nnnnnnnn) CAMPO ELÉCTRICO DE UNA SUPERFICIE INFINITA.

73

oooooooo)

pppppppp) La figura muestra una porción de una lámina infinita delgada cargada, no conductora de una densidad superficial de área Se calculará el campo eléctrico en los puntos cercanos a esta lámina.

qqqqqqqq)

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

A

r SuperficieGaussiana

E E

rrrrrrrr)

ssssssss) La superficie gaussiana en un cilindro cerrado de área de sección transversal A, dispuesta de tal modo que penetre el plano como se ve en la figura. Como es simétrico podemos concluir que apunta en ángulo recto en las etapas del cilindro y lejos del plano debido a que no entra en la superficie gaussiana no hay contribución al flujo de la pared curva del cilindro.

tttttttt)

uuuuuuuu) El campo tiene la misma magnitud en las etapas debido a que se consideran equidistantes.

vvvvvvvv)

wwwwwwww) El flujo que atraviesa a cada una de las tapas es EA y resulta positivo para las dos. Usando la ley de Gauss queda de la siguiente manera:

xxxxxxxx)

yyyyyyyy)

zzzzzzzz)

74

aaaaaaaaa) donde A es la carga encerrada. Al despejar E tenemos:

bbbbbbbbb)

ccccccccc) E es igual para todos lo puntos de cada lado de la lámina.

ddddddddd)

eeeeeeeee)

fffffffff)CAMPO ELÉCTRICO DE UNA SUPERFICIE FINITA

ggggggggg)

hhhhhhhhh)

iiiiiiiii)

dq

P

dr

R

jjjjjjjjj)

kkkkkkkkk)

lllllllll) Un disco de radio R que tiene una carga uniforme por unidad de área , produce un campo eléctrico a lo largo del eje del disco a una distancia x de su centro. Considerando al disco como un conjunto de anillos concéntricos, se puede calcular el campo para cada uno de estos anillos y después sumarlos. El anillo de radio r y anchura dr tiene un área igual a 2r dr. La carga dq sobre el anillo es igual al área del mismo multiplicada por la unidad de área, o sea, dq=2r dr. Aplicando este resultado en la ecuación del anillo se obtiene para el campo la siguiente expresión:

mmmmmmmmm)

nnnnnnnnn)

ooooooooo)

ppppppppp) Para obtener el campo total en P se integra entre los límites r = 0, y r = R, observando x= cte.

75

qqqqqqqqq)

rrrrrrrrr)

sssssssss)

ttttttttt)

uuuuuuuuu)

vvvvvvvvv)

wwwwwwwww)

xxxxxxxxx)

yyyyyyyyy)

zzzzzzzzz)

aaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbb)

cccccccccc)

dddddddddd)

eeeeeeeeee)

ffffffffff)

gggggggggg)

76

hhhhhhhhhh)

iiiiiiiiii)

jjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkk)

llllllllll)

mmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnn)

oooooooooo)

pppppppppp)

qqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrr) PROBLEMAS RESUELTOS

ssssssssss)

tttttttttt)

uuuuuuuuuu)PROBLEMA 14.

vvvvvvvvvv)

wwwwwwwwww) Un alambre delgado se dobla para formar un cuadrado de 6 cm de lado.

xxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyy) Considere el sistema de referencia mostrado en la figura suponga que el alambre posee una densidad de carga uniforme =1/3C/m y calcule el vector intensidad de campo eléctrico en los puntos 0 y A.

zzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaa)

77

bbbbbbbbbbb)

Y=5

= 36.8

3 Ey

E

12

34

E4E3

E2E1

X(cm)

Y (cm)A(0,4,0)

Z (cm)C/m

ccccccccccc)

ddddddddddd) Punto “0”

eeeeeeeeeee) (Cancelan por simetría)

fffffffffff)

ggggggggggg) Punto “A”

hhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkk)

lllllllllll)

mmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnn)

ooooooooooo) PROBLEMA 15.

78

ppppppppppp)

qqqqqqqqqqq) Determine el campo eléctrico resultante debido a las cargas q1 y q2 en el punto P. Considere que q1 = 5C localizado en (3,0,0)m; q2 = 10C ubicado en (0,4,0)m y que P parta en (0,0,5)m.

rrrrrrrrrrr)

sssssssssss)

Y (m)

Z (m)

X (m)

(3,0,0)

(0,4,0)

q2

q1

(0,0,5)

P

E1

E2

ttttttttttt)

uuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwww)

79

xxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyy)PROBLEMA 16

zzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaa) La magnitud de la intensidad de campo eléctrico entre las placas de la siguiente figura es de 4k N/C. ¿Cuál es la magnitud de la carga en la esfera de medula de sauco suspendida si su masa es de 3 mg.

bbbbbbbbbbbb)

cccccccccccc)

+++++++++

_________

q

=30°

E

TY

XFcTx

Ty

V

dddddddddddd)

eeeeeeeeeeee)

ffffffffffff)

gggggggggggg) (1)

hhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiii) (2)

jjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkk)

80

llllllllllll)

mmmmmmmmmmmm) PROBLEMA 17

nnnnnnnnnnnn)

oooooooooooo) Calcule el vector intensidad de campo eléctrico en los puntos P, Q y R de la figura, debido a la presencia de las cargas puntuales q1 = 8C colocada en A(0,0,0), q2 = 2C colocada en B(0,3,0)cm y q3=6C colocada en C(4,0,1)cm.

pppppppppppp)

qqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrr)

Y (cm)

Z (cm)

X (cm)

Q(4,3,0)cm

R(4,3,2)cm

q2

q3

P(0,0,1)cm

P

q1A B

Q

C R

ssssssssssss)

tttttttttttt) En “P”

uuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwww)

81

xxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyy) En “Q”

zzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaa) En “R”

bbbbbbbbbbbbb)

ccccccccccccc) PROBLEMA 18

ddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeee) Demuestre que la siguiente expresión es

valida para calcular el campo eléctrico, para cualquier punto colocado sobre el eje de un anillo de radio con carga eléctrica uniformemente distribuida q, donde x es la distancia desde el origen al punto.

fffffffffffff)

++++++++

++++

++++++++

d s

Y

X

Px

a

Z

d E

r

22

222

xa

xCos

xar

ggggggggggggg) LAS COMPONENTES EY, EZ CANCELAN POR SIMETRÍA

82

hhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkk) PROBLEMA 19

lllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmm) Deduzca la expresión que permita calcular el campo eléctrico sobre el eje de un dipolo, a una distancia x del origen.

nnnnnnnnnnnnn)

ooooooooooooo)

+

-

Y

+q

2a

-q

x PX

r

E-E+

ET

21

22

222

cosxa

a

xar

ppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrr)

83

sssssssssssss)

ttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuu) Como 2aq = p (momento dipolar)

vvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxx) Las componentes Ex+, Ex- cancelan por simetría.

yyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaa) PROBLEMA 20

bbbbbbbbbbbbbb)

cccccccccccccc) Suponga un anillo circular cargado y colocado en el plano yz, como se muestra en la figura. Si el vector intensidad de campo eléctrico en

el punto B es , cuando la intensidad lineal de carga es uniforme,

calcule:

dddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeee) a). El radio del anillo si su carga es Q=12pC

ffffffffffffff) b).El vector intensidad de campo eléctrico en el punto C(90,00)cm.

gggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhh) Use el resultado obtenido en el inciso (a) y compare el resultado con la aproximación que resulta al considerar el anillo como una carga puntual y concluya.

iiiiiiiiiiiiii)

84

jjjjjjjjjjjjjj)

++++++

+++++++++++ +

X(cm)

Y(cm)

Z(cm)

a

B(4,0,0)

kkkkkkkkkkkkkk)

llllllllllllll) a).

mmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnn)

oooooooooooooo) como x >>a

pppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrr)

ssssssssssssss) PROBLEMA 21

tttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuu) Suponga una superficie circular de radio a=20cm; con una carga Q=40C uniformemente distribuida entre ella. Considere el sistema de referencia de la figura, en el cual el eje Y coincide con la perpendicular a la superficie que pasa por el centro y calcule:

vvvvvvvvvvvvvv)

85

wwwwwwwwwwwwww) a). El vector intensidad del campo eléctrico E en los puntos A(0,1,0)cm; B(0,10,0)cm, y C(0.400,0)cm.

xxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyy) b). El error involucrado en el cálculo de E para cada punto del inciso anterior, considerando la superficie muy grande y concluya.

zzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaa) c). Lo mismo que en el inciso anterior, pero ahora considere la superficie como carga puntual.

bbbbbbbbbbbbbbb)

ccccccccccccccc)

ddddddddddddddd)

a

Z ( c m )

Y ( c m )

X ( c m )

+++

++ +++++

+ + +

++

+++

23 /103183.0

40

20

mC

Aq

CQ

cma

eeeeeeeeeeeeeee)

86

fffffffffffffff)

ggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhh) PROBLEMA 22

iiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjj) Calcule el campo eléctrico en el centro de la figura. Si la densidad lineal de carga es de 1x10-8 cm cuyo radio tiene una magnitud de 50 cm.

kkkkkkkkkkkkkkk)

r2cm

+++ +

+ + ++++++

+++++

+++

lllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnn) Si se aproxima a una carga puntual.

ooooooooooooooo)

87

ppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrr) PROBLEMA 23

sssssssssssssss)

ttttttttttttttt) Determinar la velocidad que adquiere un electrón que atraviesa una distancia de 8.3mm en un campo eléctrico uniforme de 4.0x103 N/C después de arrancar del reposo.

uuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvv) Tomando en cuenta el eje x a lo largo de E, de tal forma que E = Ei y aplicando la ecuación siguiente:

wwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyy) En este caso la x es negativa porque q(=-e). La dirección de la fuerza que actúa sobre el electrón es opuesta a la del campo por ser una partícula cargada negativamente.

zzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaa) PROBLEMA 24

bbbbbbbbbbbbbbbb)

88

cccccccccccccccc) ¿Cuál es la magnitud y sentido de un campo eléctrico vertical que soporta el peso de un electrón y un protón? (establecer el diagrama de los vectores).

dddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeee)

- +

mg mg

F FE E

-

ffffffffffffffff)

gggggggggggggggg) a). Electrón

hhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkk) b). Protón

llllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnn)

89

oooooooooooooooo) PROBLEMA 25

pppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqq) Determinar el campo eléctrico E en un punto “P” como lo indica la figura. Para el anillo que tiene un radio “a” de 5 cm y una densidad de carga de 300C/m el punto “P” se encuentra b=25 cm del centro del anillo.

rrrrrrrrrrrrrrrr)

ssssssssssssssss)

a

Z

Y

X

P

b= 0.25m

a = 5 cma = 0.05m

=300C/m

tttttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwwwwww)

90

xxxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyyy) PROBLEMA 26

zzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaa) Entre dos placas con cargas contrarias existe un campo eléctrico uniforme. De la superficie de la placa cargada negativamente se libera un electrón que se encontrará en reposos, haciendo incidir después de 1.5x10-8 seg. sobre la superficie de la placa opuesta, que se encuentra a 2.0 cm. de distancia.

bbbbbbbbbbbbbbbbb) a). ¿Cuál es la rapidez del electrón, cuando incide en la segunda placa?

ccccccccccccccccc)b). ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico?.

ddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeee)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + +

-E

fffffffffffffffff)

ggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiii) a).

91

jjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkk)b)

lllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnn)

ooooooooooooooooo) PROBLEMA 27

ppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqq) Un electrón se mueve de una placa de un condensador plano a otra. La diferencia de potencial entre las placas es de 3000V y la distancia entre ellas de 5mm. Hallar:

rrrrrrrrrrrrrrrrr) a). La fuerza que actúa sobre el electrón.

sssssssssssssssss)b). La velocidad con que electrón llega a la segunda placa.

ttttttttttttttttt) c). La densidad superficial de carga de las placas del condensador.

uuuuuuuuuuuuuuuuu)

92

vvvvvvvvvvvvvvvvv)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + +

-

V = 3000V d = 5 mm.

wwwwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxxxx)a)

yyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaaa) b)

bbbbbbbbbbbbbbbbbb)

cccccccccccccccccc)

dddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeee)

ffffffffffffffffff) c)

gggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiii)

93

jjjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkkk)

llllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnn)

oooooooooooooooooo)

pppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrr)

ssssssssssssssssss)

tttttttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuuuuuu) CAPÍTULO 2. CAMPO ELÉCTRICO

vvvvvvvvvvvvvvvvvv) El campo eléctrico es un concepto similar al de campo gravitacional, es aquella región del espacio en donde se dejan sentir los efectos de fuerzas a distancia. En ambos, existe una fuerza que actúa a distancia. El campo se extiende hacia fuera de toda carga e invade todo el espacio. Cuando se coloca una segunda carga cerca de la primera, "siente" una fuerza debido a que el campo eléctrico está allí.

wwwwwwwwwwwwwwwwww) Se puede medir y cuantificar el campo eléctrico que rodea una carga, un grupo de cargas o una distribución continua de cargas midiendo la fuerza sobre una carga de prueba positiva y pequeña colocada a una distancia r de la carga que produce el campo. Por carga de prueba debe entenderse una carga positiva tan pequeña que no altere la distribución de las demás cargas, que son las que provocan el campo que se está midiendo.

xxxxxxxxxxxxxxxxxx) Se considera que el campo eléctrico interactúa directamente con la carga de prueba para producir la fuerza eléctrica de Coulomb, la carga de prueba se utiliza para cuantificar la magnitud y dirección del campo eléctrico en una región del espacio a una distancia r, pero el valor de la carga de prueba no influye para calcular el campo eléctrico estudiado. Se sabe que la dirección del campo producido por una carga positiva se aleja de la carga, mientras que la dirección del campo producido por una carga negativa entra a la región donde esta la carga.

94

yyyyyyyyyyyyyyyyyy) Los cuerpos en su estado natural se encuentran balanceados eléctricamente, pero si por algún medio se le adicionan o quitan electrones, éste se carga negativo o positivamente según sea el caso. Cuando un cuerpo esta cargado, en su entorno se forma una región de fuerzas eléctricas que se manifiestan sobre cargas de prueba. En esta unidad se estudiará como se cuantifica el Campo Eléctrico creado por cargas puntuales ó por cargas distribuidas uniformemente.

zzzzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaa) El campo eléctrico es aquel que nos sirve para describir a las fuerzas electrostáticas que actúan a través de un espacio libre, en otras palabras es aquella donde se dejan sentir las fuerzas eléctricas.

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

ccccccccccccccccccc) La Ley de Atracción y Repulsión nos dice que cuerpos con cargas iguales se repelen y cuerpos con cargas distintas se atraen. La Ley Cuadrática Inversa o Ley de Coulomb nos permite hacer el cálculo de la magnitud y la dirección de una fuerza. Ley de Coulomb nos dice que la fuerza que actúa entre dos cargas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

ddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeee) 1.- Matemáticamente podemos escribirla como:

fffffffffffffffffff)

ggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhh) donde F es la fuerza, q1 y q2 son las cargas y r es la distancia y la K dependerá de las unidades escogidas, en el MKSA

, la unidad de carga eléctrica negativa es la carga

de un electrón.

iiiiiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjjjjj) El coulomb es un múltiplo de la carga del electrón.

kkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

lllllllllllllllllll) La carga del electrón = - 1.6021917x10-19 coulomb.

95

mmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnn) 1 coulomb = 6.241450 x 1018 electrones.

ooooooooooooooooooo)

ppppppppppppppppppp) Se puede escribir la Ley de Coulomb introduciendo 0 en la sustitución de k.

qqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

sssssssssssssssssss)

ttttttttttttttttttt) La ley de Coulomb quedara entonces como:

uuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwwwwwwwww) donde

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Los signos que resulten al cálculo de la fuerza indicaran si se trata una atracción o de una repulsión, si la F es (-) la fuerza será de atracción si es (+) será de repulsión.

zzzzzzzzzzzzzzzzzzz) El campo eléctrico es el modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica. Matemáticamente se lo describe como un campo vectorial en el cual una carga eléctrica puntual de valor "q" sufrirá los efectos de una fuerza mecánica "F" que vendrá dada por la siguiente ecuación:

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

cccccccccccccccccccc) El campo eléctrico se representa con la letra E, y se mide en N/C ó Volts/ m.

dddddddddddddddddddd) La intensidad de campo eléctrico E en un punto dado es igual a la fuerza que se ejercería sobre una carga eléctrica de prueba q0

colocada en ese punto, donde se quiere determinar el campo eléctrico. Esta

96

definición indica que el campo eléctrico no es directamente medible, sino a través de la medición de la fuerza actuante sobre alguna carga. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Michael Faraday al demostrar el principio de inducción electromagnética en el año 1832.

eeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

ffffffffffffffffffff)Cabe indicar que la carga de prueba siempre será positiva y más pequeña que la carga Q que genera el campo.

gggggggggggggggggggg) Matemáticamente nos queda:

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiiiii) Donde E es e campo eléctrico, F es la fuerza que ejerce la carga Q sobre la carga q0.

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) Puesto que la fuerza es una magnitud vectorial, el campo eléctrico poseerá módulo, dirección y sentido.

llllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) El campo que rodea una carga negativa es radial y hacia dentro y el campo que rodea una carga positiva es radial y hacia fuera. Las líneas que se utilizan para representar un campo eléctrico, las cuales nunca se contaran entre si y son imaginarias.

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

oooooooooooooooooooo) Podemos utilizar la ley de Coulomb para encontrar nuestro campo eléctrico, sabiendo que:

pppppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

ssssssssssssssssssss)

tttttttttttttttttttt)

97

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) tenemos entonces:

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) DIPOLO ELÉCTRICO.

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) El dipolo eléctrico es un arreglo de dos cargas iguales en magnitud y de signo opuesto, separadas por una distancia 2a.

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

+

_

+q

-q

2a

P

ccccccccccccccccccccc)

ddddddddddddddddddddd) MOMENTO DIPOLAR ELÉCTRICO P.

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

fffffffffffffffffffff) Al producto 2aq se le denomina: momento dipolar eléctrico es una cantidad vectorial cuya magnitud es 2aq y apunte hacia la carga positiva.

ggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) La expresión matemática es:

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

lllllllllllllllllllll) TORCA SOBRE UN DIPOLO ELÉCTRICO EN UN CAMPO ELÉCTRICO EXTENDIDO.

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

98

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) El momento de una fuerza que actúa sobre un dipolo eléctrico en un campo uniforme E está dado por la siguiente ecuación matemática:

ooooooooooooooooooooo)

ppppppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) Que expresa el momento de una fuerza en una forma vectorial como el producto de los vectores .

sssssssssssssssssssss)

ttttttttttttttttttttt) CAMPO ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA.

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) El campo establecido por la distribución de carga continua puede calcularse al dividir la distribución en elementos infinitesimales dq. Cada elemento de carga establece un campo en un punto P, y el campo resultante en P se determina a partir del principio de superposición al sumar las contribuciones de campo debidas a todos los elementos de carga.

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) Para elevar el campo de una distribución continua de carga se aplica el siguiente procedimiento. En primer lugar se divide la distribución de carga en pequeños elementos, cada uno de los cuales contiene una pequeña carga , como se ve en la figura.

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

99

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

P

E

r

r

q

cccccccccccccccccccccc)

dddddddddddddddddddddd) A continuación se aplica la ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a uno de estos elementos en el punto P. Por último se evalúa el campo total en P debido a la distribución de carga sumando las contribuciones de todos los elementos de carga (esto es, aplicando el principio de superposición).

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

ffffffffffffffffffffff) El campo eléctrico en P debido a un elemento de carga está dado por:

gggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) donde r es la distancia desde el elemento hasta P y es el vector unitario dirigido desde el elemento de carga hacia P.

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

llllllllllllllllllllll) El campo eléctrico en P a todos los elementos de distribución de carga está aproximadamente dado por:

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

oooooooooooooooooooooo)

100

pppppppppppppppppppppp) donde el índice i indica al i -enésimo elemento en la distribución. Si la separación entre los elementos de distribución carga es pequeña comparada con la distancia a P, como una aproximación puede considerarse que la distribución de carga es continua.

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) De esta manera, el campo total en P en el límite viene a ser:

ssssssssssssssssssssss)

tttttttttttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA LÍNEA CARGADA.

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Si una carga Q está uniformemente distribuida a lo largo de una línea de longitud l, la densidad de carga lineal se define como:

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) donde tiene unidades de C/m.

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

ccccccccccccccccccccccc)

ddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

fffffffffffffffffffffff)

ggggggggggggggggggggggg) LÍNEA CARGADA INFINITA.

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

101

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) La figura muestra una sección de una línea infinita de carga cuya densidad de carga lineal tienen el valor constante .

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

++++++++++

x

dz

z

dq

Pr

yy

dEz dE

dEy

lllllllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) Para poder calcular el campo a un punto P hay que considerar la magnitud de la contribución del campo debida al elemento de carga dq está dada, usando la ecuación:

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

ooooooooooooooooooooooo)

ppppppppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) El vector , tiene las siguientes componentes:

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

sssssssssssssssssssssss)

ttttttttttttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Las componentes y y z del vector en el punto P están dadas por:

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

102

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) Para cada elemento de carga en z positivo existe un elemento correspondiente en z negativo, de modo que las componentes z de sus campos se cancelan en P. Entonces E punta por completo en la dirección y. Debido a que las contribuciones a EY de las mitades superior e inferior de la barra son iguales podemos escribir:

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

cccccccccccccccccccccccc)

dddddddddddddddddddddddd) Sustituyendo la expresión para en la ecuación anterior:

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

ffffffffffffffffffffffff)

gggggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) donde z = y

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) Cuando diferenciamos tenemos:

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

llllllllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Substituyendo e integrando las dos expresiones se tiene:

oooooooooooooooooooooooo)

103

pppppppppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) Este problema tiene simetría cilíndrica con respecto al eje z. En todos los puntos del plano xy a una distancia r de la línea de carga, el campo vale:

ssssssssssssssssssssssss)

tttttttttttttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Si la línea es finita la expresi

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

ccccccccccccccccccccccccc)

ddddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

fffffffffffffffffffffffff) ANILLO CARGADO.

ggggggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) En la figura muestra un anillo delgado de radio R por el cual fluye una densidad lineal de carga uniforme alrededor de su circunferencia. Consideremos un elemento diferencial del anillo de longitud ds localizado en una posición arbitraria en el anillo.

104

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) x

ds

r

R

P

y

dE

z

dE cos

z

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) El anillo contiene un elemento de carga por Este elemento determina un campo diferencial dE en el punto P,

por lo tanto tenemos:

lllllllllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

ooooooooooooooooooooooooo) Para determinar el campo resultante en P debemos sumar vectorialmente, todas las contribuciones de campo de todos los elementos diferenciales del anillo. A causa de que existe únicamente una componente al campo total (por ser EX y EY cero), la adición vectorial se transforma en una adición escalar de componentes paralelas al eje. La componente z de es . Donde es igual a:

ppppppppppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

105

sssssssssssssssssssssssss) Si realizamos el producto tenemos:

ttttttttttttttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) Para sumar las diversas contribuciones, sólo necesitamos sumar las longitudes de los elementos, debido a que las demás cantidades son del mismo valor en todos los elementos de carga. Por lo tanto tenemos:

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) donde la integral es , la circunferencia del anillo. Pero es q, la carga total en el anillo, do modo que queda la ecuación así:

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

cccccccccccccccccccccccccc)

dddddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) CAMPO ELÉCTRICO DE UNA SUPERFICIE INFINITA.

ffffffffffffffffffffffffff)

gggggggggggggggggggggggggg) La figura muestra una porción de una lámina infinita delgada cargada, no conductora de una densidad superficial de área Se calculará el campo eléctrico en los puntos cercanos a esta lámina.

106

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

+++++++++++

A

r SuperficieGaussiana

E E

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) La superficie gaussiana en un cilindro cerrado de área de sección transversal A, dispuesta de tal modo que penetre el plano como se ve en la figura. Como es simétrico podemos concluir que apunta en ángulo recto en las etapas del cilindro y lejos del plano debido a que no entra en la superficie gaussiana no hay contribución al flujo de la pared curva del cilindro.

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

llllllllllllllllllllllllll) El campo tiene la misma magnitud en las etapas debido a que se consideran equidistantes.

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) El flujo que atraviesa a cada una de las tapas es EA y resulta positivo para las dos. Usando la ley de Gauss queda de la siguiente manera:

oooooooooooooooooooooooooo)

pppppppppppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) donde A es la carga encerrada. Al despejar E tenemos:

107

ssssssssssssssssssssssssss)

tttttttttttttttttttttttttt) E es igual para todos lo puntos de cada lado de la lámina.

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) CAMPO ELÉCTRICO DE UNA SUPERFICIE FINITA

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

dq

P

dr

R

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

ccccccccccccccccccccccccccc) Un disco de radio R que tiene una carga uniforme por unidad de área , produce un campo eléctrico a lo largo del eje del disco a una distancia x de su centro. Considerando al disco como un conjunto de anillos concéntricos, se puede calcular el campo para cada uno de estos anillos y después sumarlos. El anillo de radio r y anchura dr tiene un área igual a 2r dr. La carga dq sobre el anillo es igual al área del mismo multiplicada por la unidad de área, o sea, dq=2r dr. Aplicando este resultado en la ecuación del anillo se obtiene para el campo la siguiente expresión:

ddddddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

fffffffffffffffffffffffffff)

ggggggggggggggggggggggggggg) Para obtener el campo total en P se integra entre los límites r = 0, y r = R, observando x= cte.

108

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

lllllllllllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

ooooooooooooooooooooooooooo)

ppppppppppppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

sssssssssssssssssssssssssss)

ttttttttttttttttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

109

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

cccccccccccccccccccccccccccc)

dddddddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

ffffffffffffffffffffffffffff)

gggggggggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) PROBLEMAS RESUELTOS

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

llllllllllllllllllllllllllll) PROBLEMA 14.

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Un alambre delgado se dobla para formar un cuadrado de 6 cm de lado.

oooooooooooooooooooooooooooo)

pppppppppppppppppppppppppppp) Considere el sistema de referencia mostrado en la figura suponga que el alambre posee una densidad de carga uniforme =1/3C/m y calcule el vector intensidad de campo eléctrico en los puntos 0 y A.

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

110

ssssssssssssssssssssssssssss)

Y=5

= 36.8

3 Ey

E

12

34

E4E3

E2E1

X(cm)

Y (cm)A(0,4,0)

Z (cm)C/m

tttttttttttttttttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Punto “0”

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) (Cancelan por simetría)

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Punto “A”

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

ccccccccccccccccccccccccccccc)

ddddddddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

111

fffffffffffffffffffffffffffff) PROBLEMA 15.

ggggggggggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) Determine el campo eléctrico resultante debido a las cargas q1 y q2 en el punto P. Considere que q1 = 5C localizado en (3,0,0)m; q2 = 10C ubicado en (0,4,0)m y que P parta en (0,0,5)m.

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

Y (m)

Z (m)

X (m)

(3,0,0)

(0,4,0)

q2

q1

(0,0,5)

P

E1

E2

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

lllllllllllllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

112

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

ooooooooooooooooooooooooooooo)

ppppppppppppppppppppppppppppp) PROBLEMA 16

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) La magnitud de la intensidad de campo eléctrico entre las placas de la siguiente figura es de 4k N/C. ¿Cuál es la magnitud de la carga en la esfera de medula de sauco suspendida si su masa es de 3 mg.

sssssssssssssssssssssssssssss)

ttttttttttttttttttttttttttttt)

+++++++++

_________

q

=30°

E

TY

XFcTx

Ty

V

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) (1)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) (2)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

113

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

cccccccccccccccccccccccccccccc)

dddddddddddddddddddddddddddddd) PROBLEMA 17

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

ffffffffffffffffffffffffffffff) Calcule el vector intensidad de campo eléctrico en los puntos P, Q y R de la figura, debido a la presencia de las cargas puntuales q1 = 8C colocada en A(0,0,0), q2 = 2C colocada en B(0,3,0)cm y q3=6C colocada en C(4,0,1)cm.

gggggggggggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

Y (cm)

Z (cm)

X (cm)

Q(4,3,0)cm

R(4,3,2)cm

q2

q3

P(0,0,1)cm

P

q1A B

Q

C R

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) En “P”

llllllllllllllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

114

oooooooooooooooooooooooooooooo)

pppppppppppppppppppppppppppppp) En “Q”

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) En “R”

ssssssssssssssssssssssssssssss)

tttttttttttttttttttttttttttttt) PROBLEMA 18

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) Demuestre que la siguiente expresión

es valida para calcular el campo eléctrico, para cualquier

punto colocado sobre el eje de un anillo de radio con carga eléctrica uniformemente distribuida q, donde x es la distancia desde el origen al punto.

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

++++++++

++++

++++++++

d s

Y

X

Px

a

Z

d E

r

22

222

xa

xCos

xar

115

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) LAS COMPONENTES EY, EZ

CANCELAN POR SIMETRÍA

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)PROBLEMA 19

ccccccccccccccccccccccccccccccc)

ddddddddddddddddddddddddddddddd)Deduzca la expresión que permita calcular el campo eléctrico sobre el eje de un dipolo, a una distancia x del origen.

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

fffffffffffffffffffffffffffffff)

+

-

Y

+q

2a

-q

x PX

r

E-E+

ET

21

22

222

cosxa

a

xar

ggggggggggggggggggggggggggggggg)

116

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

lllllllllllllllllllllllllllllll) Como 2aq = p (momento dipolar)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

ooooooooooooooooooooooooooooooo)Las componentes Ex+, Ex- cancelan por simetría.

ppppppppppppppppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) PROBLEMA 20

sssssssssssssssssssssssssssssss)

ttttttttttttttttttttttttttttttt) Suponga un anillo circular cargado y colocado en el plano yz, como se muestra en la figura. Si el vector intensidad de campo

eléctrico en el punto B es , cuando la intensidad lineal de carga es

uniforme, calcule:

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) a). El radio del anillo si su carga es Q=12pC

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) b).El vector intensidad de campo eléctrico en el punto C(90,00)cm.

117

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Use el resultado obtenido en el inciso (a) y compare el resultado con la aproximación que resulta al considerar el anillo como una carga puntual y concluya.

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

++++++

+++++++++++ +

X(cm)

Y(cm)

Z(cm)

a

B(4,0,0)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

cccccccccccccccccccccccccccccccc) a).

dddddddddddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

ffffffffffffffffffffffffffffffff) como x >>a

gggggggggggggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

118

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) PROBLEMA 21

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

llllllllllllllllllllllllllllllll) Suponga una superficie circular de radio a=20cm; con una carga Q=40C uniformemente distribuida entre ella. Considere el sistema de referencia de la figura, en el cual el eje Y coincide con la perpendicular a la superficie que pasa por el centro y calcule:

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) a). El vector intensidad del campo eléctrico E en los puntos A(0,1,0)cm; B(0,10,0)cm, y C(0.400,0)cm.

oooooooooooooooooooooooooooooooo)

pppppppppppppppppppppppppppppppp) b). El error involucrado en el cálculo de E para cada punto del inciso anterior, considerando la superficie muy grande y concluya.

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) c). Lo mismo que en el inciso anterior, pero ahora considere la superficie como carga puntual.

ssssssssssssssssssssssssssssssss)

tttttttttttttttttttttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

a

Z ( c m )

Y ( c m )

X ( c m )

+++

++ +++++

+ + +

++

+++

23 /103183.0

40

20

mC

Aq

CQ

cma

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

119

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) PROBLEMA 22

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) Calcule el campo eléctrico en el centro de la figura. Si la densidad lineal de carga es de 1x10 -8 cm cuyo radio tiene una magnitud de 50 cm.

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

r2cm

+++ +

+ + ++++++

+++++

+++

ccccccccccccccccccccccccccccccccc)

ddddddddddddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Si se aproxima a una carga puntual.

120

fffffffffffffffffffffffffffffffff)

ggggggggggggggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) PROBLEMA 23

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) Determinar la velocidad que adquiere un electrón que atraviesa una distancia de 8.3mm en un campo eléctrico uniforme de 4.0x103 N/C después de arrancar del reposo.

lllllllllllllllllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) Tomando en cuenta el eje x a lo largo de E, de tal forma que E = Ei y aplicando la ecuación siguiente:

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

ooooooooooooooooooooooooooooooooo)

ppppppppppppppppppppppppppppppppp) En este caso la x es negativa porque q(=-e). La dirección de la fuerza que actúa sobre el electrón es opuesta a la del campo por ser una partícula cargada negativamente.

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) PROBLEMA 24

121

sssssssssssssssssssssssssssssssss)

ttttttttttttttttttttttttttttttttt) ¿Cuál es la magnitud y sentido de un campo eléctrico vertical que soporta el peso de un electrón y un protón? (establecer el diagrama de los vectores).

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

- +

mg mg

F FE E

-

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) a). Electrón

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) b). Protón

cccccccccccccccccccccccccccccccccc)

dddddddddddddddddddddddddddddddddd)

122

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

ffffffffffffffffffffffffffffffffff) PROBLEMA 25

gggggggggggggggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) Determinar el campo eléctrico E en un punto “P” como lo indica la figura. Para el anillo que tiene un radio “a” de 5 cm y una densidad de carga de 300C/m el punto “P” se encuentra b=25 cm del centro del anillo.

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

a

Z

Y

X

P

b= 0.25m

a = 5 cma = 0.05m

=300C/m

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

llllllllllllllllllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

123

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

oooooooooooooooooooooooooooooooooo)

pppppppppppppppppppppppppppppppppp) PROBLEMA 26

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) Entre dos placas con cargas contrarias existe un campo eléctrico uniforme. De la superficie de la placa cargada negativamente se libera un electrón que se encontrará en reposos, haciendo incidir después de 1.5x10-8 seg. sobre la superficie de la placa opuesta, que se encuentra a 2.0 cm. de distancia.

ssssssssssssssssssssssssssssssssss) a). ¿Cuál es la rapidez del electrón, cuando incide en la segunda placa?

tttttttttttttttttttttttttttttttttt) b). ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico?.

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + +

-E

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) a).

124

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) b)

ccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

ddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

fffffffffffffffffffffffffffffffffff) PROBLEMA 27

ggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) Un electrón se mueve de una placa de un condensador plano a otra. La diferencia de potencial entre las placas es de 3000V y la distancia entre ellas de 5mm. Hallar:

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) a). La fuerza que actúa sobre el electrón.

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) b). La velocidad con que electrón llega a la segunda placa.

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) c). La densidad superficial de carga de las placas del condensador.

lllllllllllllllllllllllllllllllllll)

125

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + +

-

V = 3000V d = 5 mm.

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

ooooooooooooooooooooooooooooooooooo) a)

ppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) b)

sssssssssssssssssssssssssssssssssss)

ttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) c)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

126

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

dddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

ffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

gggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

llllllllllllllllllllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

127