LECTURA Nº 06 TALA-CANELONES NOMBRE: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Profesor: GABRIEL BONOMI CASÁS FÍSICA Curso: 3º BACHILLERATO DIVERSIFICADO

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FLUJO Y LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO 2014

Observa con atención las siguientes ilustraciones y responde las siguientes preguntas:

2. ¿Para qué ángulos entre la dirección del agua y el mango del paraguas, recibe más y menos agua el paraguas?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. ¿De qué magnitudes depende la cantidad de agua que recibe el paraguas? Es necesario pensar en el tamaño del paraguas y en el

caudal de agua.

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Flujo eléctrico (E) Por analogía a la actividad anterior se pretende interpretar el concepto de flujo eléctrico, en el caso del paraguas la cantidad de agua que recibe depende de su tamaño, la cantidad de agua que está cayendo y la ubicación relativa entre la dirección del agua y el paraguas. En la situación que cae más agua sobre el paraguas es claramente que en la primera

situación, cuando el ángulo es 0º. El flujo eléctrico mide la cantidad de líneas de campo eléctrico que atraviesa una superficie. Semejante a la situación anterior, la figura 2 muestran situaciones relativas entre una superficie plana en un campo eléctrico uniforme. Si se nos pregunta en que situación es mayor la cantidad de líneas que atraviesan a la superficie (flujo eléctrico) según su ubicación, la respuesta es en la última situación. En esta analogía el tamaño del paraguas es el área de la superficie, el vector rojo es lo que se denomina vector superficie, la

dirección de la lluvia son las líneas de campo eléctrico y al igual que en la situación del paraguas, el flujo eléctrico o la cantidad de líneas que atraviesan a la superficie depende del campo eléctrico (cantidad de lluvia), el área de la superficie (tamaño del paraguas) y la ubicación relativa entre el vector superficie y las líneas de campo eléctrico (ángulo entre el mango del paraguas y la dirección de la lluvia).

Para superficie plana o regular Es una magnitud escalar que se define como el producto entre el campo eléctrico en

que está inmersa la superficie, el área de la misma y el coseno del ángulo que forman el campo con el vector superficie.

Sus unidades [ ] Newton metro cuadrado sobre Coulomb.

Siendo el ángulo es el formado entre el vector superficie que es perpendicular a la superficie y el campo eléctrico (figura 3).

Ejemplo 01: Suponiendo que en la figura dos el campo electrico uniforme es de 200 N/C y que la superficie tiene un área de 4,00m2.

Determinar el flujo electrico en cada una de las situaciones.

Primera figura: En esta situación no es necesario realizar este cálculo porque por la figura las líneas de campo elctrico no atraviesan a la suprfice.

Segunda figura:

Tercera figura:

Ejercicio 01: En una zona del espacio existe un campo eléctrico de 200 N/C uniforme y hacia la derecha y una caja triangular según figura 4.

a) Calcular el flujo a través de la superficie completa. b) Calcular el flujo a través de cada superficie.

R: a) Etotal=0 y b) E1=E2=E3=E4=0, E5=-6,00Nm2/C y E6=6,00Nm2/C.

1. ¿En cuál de las posiciones del paraguas, recibe mayor cantidad de gotas de lluvia? ¿En qué posición recibe menos?

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Figura 1: Lluvia sobre un paraguas

Figura 4

Figura 3

Figura 2

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Flujo eléctrico como producto escalar entre vectores:

La ley de Gauss se puede escribir en forma resumida definiendo a E.A.cos como el producto escalar entre vecotres como ⃗ ,

siendo ̂ el vector superficie. El vector superficie es el producto del área de la superfice por el versor normal (perpendicular a la superficie). De esta manera si bien el área es una magnitud escalar, el vector superfice es vectorial. Con esta definicion la definición de flujo

electrico queda como. ⃗⃗ ⃗⃗ .

Para superficie curva o irregular Cuando se tiene una superficie curva, para

calcular el flujo eléctrico se separa a la misma en pequeños fragmentos que se pueden considerar planos (superficie regular) como se muestra las figuras 5 y 6. El flujo en este caso, se calcula como la

suma de las contribuciones de los flujos eléctricos que aportan los pequeños fragmentos de superficie a la superficie total (es un trabajo tedioso). Cada fragmento es una aproximación al verdadero valor. Cuanto menor es la superficie del fragmento, mejor es la aproximación al flujo eléctrico total, al tender a cero estas superficies se representa como una integral o sea una suma de muy pequeños valores de flujos eléctricos.

∫ o ∫ ⃗⃗ ⃗⃗ (Superficie curva abierta)

∮ o ∮ ⃗⃗ ⃗⃗ (Superficie cerrada)

En donde ∫ es un símbolo (integral) que nos indica que se tienen que sumar todas las contribuciones de cada pequeño fragmento, “C” significa que la superficie es cerrada y ∮ (integral cerrada) significa que la suma es para una superficie cerrada.

La ley de Gauss para el campo eléctrico Establece una relación entre el flujo eléctrico en una superficie cerrada y la carga eléctrica que se encuentra dentro de la misma. Para visualizar esta relación se analizan las siguientes imágenes (figuras 7):

Figura 7

a. Carga externa a la superficie. b. Carga interna con varias superficies. c. Dos cargas, una externa y otra interna.

En la figura 7a se observa una partícula cargada externa a la superficie, donde las líneas de campo eléctrico la atraviesan, pero cada línea que entra a la superficie sale en otro lugar, por ello el flujo eléctrico en esta situación es cero.

Al analizar la figura 7b, aparecen tres superficies que envuelven a una partícula cargada positivamente, existiendo un flujo eléctrico positivo debido a que todas las líneas salen y no entran. Como la misma cantidad de líneas atraviesan a las diferentes superficies, el flujo eléctrico es el mismo para todas independiente de su forma y tamaño. Del análisis de estas figuras es claro que el flujo eléctrico solo tiene un valor cuando existe una partícula encerrada por la superficie.

La figura 7c es para que el lector conteste las siguientes cuestiones: i. ¿Cuál de las partículas cargadas genera un flujo eléctrico sobre la superficie cerrada?

ii. Explica cuál de las partículas no genera flujo eléctrico en la superficie y por qué. iii. Explica si es positivo o negativo el flujo eléctrico para la superficie y por qué.

La generalización del análisis anterior lo planteó Gauss en su ley, la dice que el flujo eléctrico en una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica de las partículas encerradas dentro de esa superficie. Para transformar este relación en una igualdad se agrega en la ecuación una constante denominada de constante de permitividad eléctrica en el

vacío (0=8,85x10-12

C2/Nm

2).

o ∮ ⃗⃗ ⃗

El flujo eléctrico es positivo cuando las líneas salen hacia afuera de la superficie cerrada (carga positiva).

Dos superficies que encierren la misma carga eléctrica, tienen el mismo flujo eléctrico.

A toda superficie cerrada utilizada para esta ley, se le denomina superficie gaussiana.

Ejercicio 02: La figura 8 tiene dos partículas cargadas –q = -3,0p C y +q = 6,0p C y una superficie azulada según la representación. Nota: pico: p=10

-12.

a) Calcular el flujo eléctrico a través de la superficie azulada generado por la partícula +q. b) Calcular el flujo eléctrico a través de la superficie azulada generado por la partícula +q. c) Represente una segunda superficie que envuelva a toda la representación y determine el flujo

eléctrico a través de la misma. R: a) E+=0; b) E-=-0,34Nm2/C y E3=0,34Nm2/C.

Figura 6

Figura 5

Figura 8