Solución: Guía “Ley de Gauss”

Por: Ing. Samuel Adolfo Dueñas Aparicio

1. Una lámina plana tiene forma rectangular, con lados cuya longitud es de 0.400 m y 0.600 m. Se introduce la lámina en un campo eléctrico uniforme con una magnitud de 75.0 N/C y cuya dirección forma un ángulo de 20o con respecto al plano de la lámina (ver figura). Halle la magnitud del flujo eléctrico a través de la lámina.

Datos: E = 75 N/CBase = 0.6 mAltura = 0.4 m

Calcular la magnitud del flujo eléctrico.

ΦE = EA Senθ

ΦE = 75 (0.6 x 0.4) Sen (20)

ΦE = 6.16 Nm2/ C

2. Considere una caja triangular cerrada con un campo eléctrico horizontal de magnitud E=7.80x104 N/C, (ver figura) Calcule el flujo eléctrico a través a) la superficie vertical del rectángulo, b) la superficie inclinada y c) toda la superficie de la caja.R/ a) -2.34 KNm2/C b) 2.34 KNm2/C c) 0

a)la superficie vertical del rectángulo

∮E=¿−EA ¿

∮E=−(7.80×10−4¿)(0.3×0.1)¿

∮E=−¿2.34 kN m2

C¿

b) la superficie inclinada

Senθ=Coh

h= CoSen30

=0.2m

∮E=¿EASenθ¿

∮E=¿ (7.80×104 ) ( (0.3×0.2 )Sen30 ° )¿

∮E=¿2.34 kN m2

C¿

c) toda la superficie de la caja

∮E=¿∮ E1+E2 ¿

∮E=¿2.34−2.34¿

∮E=¿0¿

3.Calcule el flujo eléctrico total a través de la superficie del paraboloide debido a un campo eléctrico constante de magnitud E0 en la dirección mostrada en la figura.R/ E0 πr

∅ E=E . A

E=ε0

∅ E=ε0 . A

∅ E=ε0 . π r2

4- Una pirámide de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado y con una altura de 4.00 m está colocada en un campo eléctrico total vertical de 52.0 N/C. Calcule el flujo eléctrico total a través de las cuatro superficies inclinadas de la pirámide.

Datos: E = 52 N/CBase = 6mAltura = 6m

Calcular el flujo eléctrico total.ΦE = EAΦE = 52 (6x6)ΦE = 1872 Nm2/C

5. Una red para cazar mariposas se encuentra en un campo eléctrico uniforme (ver figura). El borde, un círculo de radio a, está alineado de manera perpendicular al campo. Determine elcampo eléctrico que cruza la red en relación con la normal hacia afuera.

R/ −πa^2E

∮E=¿−EA ¿

∮E=¿−E0π a2¿

6. Un campo eléctrico vale E = (200 N/C) i para x > 0 y E = (-200 N/C)i para x < 0. Un cilindro circular recto de 20 cm de longitud y 5 cm de radio tiene su centro en el origen y su eje está situado a lo largo del eje x de modo que una de las caras está en x = +10 cm y la otra en x = -10 cm. a) ¿Cuál es el flujo saliente que atraviesa cada cara? b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa la parte lateral del cilindro? c) ¿Cuál es el flujo neto saliente que atraviesa toda la superficie cilíndrica? d) ¿Cuál es la carga neta en el interior del cilindro?

R/ a) 1.57 Nm2/C, b) 0, c) 3.14 Nm2/C,d) 0

dA

x>0 E=200 NC

x<0 E=−200 NC

a¿∅ E=E . A

∅ E=(200 )¿

∅ E=1.57 N m2

C

b¿∅ E=E . A .cos90 °

∅ E=E . A . (0 )

∅ E=0

c ¿∅ E=−(−200)¿

∅ E=1.57+0+1.57

∅ E=3.14 N m2

C

d ¿∅ E=0

7-Un cubo con bordes de 1.4 m presenta la orientación que se ilustra, dentro de una región de un campo eléctrico uniforme. Calcule el flujo eléctrico que pasa por la cara derecha si el campo eléctrico está dado por a) (6 N/C) i , b) (-2 N/C) j , c) (-3N/C)i +(4 N/C) k , d) Calcule el flujo total a través del cubo para esos campos.

a) dato: E = (6 N/C) i

ΦE = 0

b) dato: E = (-2 N/C) j

ΦE = EAΦE = -2 (4x4)ΦE = -3.92 Nm2/C

c) dato: E = (-3 N/C) i + (4 N/C) k

ΦE= 0 no atraviesa el lado derecho del cubo

d) flujo total

Cero para cada uno de los campos.

8.Una esfera solida de radio 40.0 cm tiene una carga positiva total de 26 μC distribuida uniformemente en su volumen. Calcule la magnitud del campo eléctrico a las siguientes distancias del centro de la esfera: a) 0 cm, b) 10.0 cm, c) 40.0 cm y d) 60.0 cmR/ a) 0 , b) 365 KN/C, c) 1.46 MN/C , d) 649 KN/C

a) r = 0 cm ; E= 0

b) Cuando r = 10 cmε 0∮EdA=q '

E= 14 π ε0

4.06×10−7

r2

E= 14 π ε0

4.06×10−7

r2

E=kr qR3

E=9×109(0.10)(26)

(0.40)3

E= 14 π ε0

4.06×10−7

r2

E=365.625kN /C

9. Un trozo de Styrofoam de 10.0 g tiene una carga neta de -0.700 μC y flota por encima del centro de una gran lamina horizontal de plástico que tiene una densidad de carga uniforme en su superficie. ¿Cuál es la carga por unidad de superficie presente en la lámina de plástico? R/ - 2.48 μC/m2

Datos :

m=10 g

q=−0.700 μC

QA

=σ

E= σ2 ϵ 0

Fq

= σ2 ε0

mgq

= σ2 ε 0

σ=2 ε0mg

q

σ=2(8.85×10−12)(10×10−3)(9.8)

−0.700×10−6

σ=−2.478 μCm2

10. Una partícula con una carga de – 60.0 nC, está colocada en el centro de un cascaron esférico noconductor con radio interior igual a 20.0 cm y un radio exterior de 25.0 cm. El cascaron esférico tiene una carga con una densidad uniforme de – 1.33 μC/m3 . Un protón está en movimiento en una órbita circular justo en el exterior del cascaron esférico. Calcule la velocidad del protón.

Calcular campo eléctrico. Calcular Q cascaron

ε 0EA = -Q + Qcascaron Qcasc = ρV

E = −Q+Qcasε0 A

Qcasc = (-1.13x10−6) (4π/3Rext3 - 4π/3

Rint3)

E = −60 x10−9−4.25 x10−8

4 π (0.25)Qcasc = 4π/3 (-1.13x10−6) [0.253 - 0.203]

E = -14,746.6 N/C Qcasc = -4.24710−8 C

Calcular velocidad.

E = F

Qproton

Qpro E = mar

Qpro E = m V2

R

V = √Qp E RmV = √ (1.6 x 10−19 ) (14,746.6 )(0.25)

1.67 x10−27V = 594x103 m/s

11. Una coraza conductora esférica de radio interior a y radio exterior b tiene una carga puntual positiva Q en su centro. La carga total de la coraza es -3Q y está aislada de su entorno (ver figura) a) Deduzca expresiones de la magnitud del campo eléctrico en términos de la distancia r desde el centro correspondientes a las regiones r < a, a < r < b y r > b. b) ¿Cuál es la densidad de carga superficial en la superficie interior de la coraza conductora? c) ¿Cuál es la densidad superficial de carga en la superficie exterior de la coraza conductora?

a) r > a

ε 0∮EdA=Qε 0EA=Q

ε 0E (2π r2)=Q

E= 14 π ε0

Q

r2

a < r < bε 0∮EdA=qencE=0 (Nohay carga entre a yb )

r > bε 0∮EdA=q−3Qε 0EdA=2Q

ε 0E (4 π r2 )=2Q

E= 14 π ε0

2Q

r2

b) Densidad de carga

σ=QA

σ= −Q4 π a2

c) σ=QA

σ=Q−3Q4π r 2

σ=−2Q2π r2

12. Corazas esféricas concéntricas. Una coraza esférica conductora pequeña de radio interior a y radio exterior b es concéntrico con una coraza esférica conductora grande de radio interior c y radio exterior d (ver figura). La coraza interior tiene una carga total +2q, y la coraza exterior, una carga +4q. a) Calcule el campo eléctrico (magnitud y dirección) en términos de q y de la distancia r respecto al centro común de las dos corazas cuando i) r < a; ii) a < r < b; iii) b<r < c; iv) c < r < d; v) r > d. b) ¿Cuál es la carga total de i) la superficie interna de la coraza pequeña; ii) la superficie externa de la coraza pequeña; iii) la superficie interna de la coraza grande; iv) la superficie externa de la coraza grande?

a¿ r<a

ε 0∮ E .dA=qenc .

ε 0E . A=0

E= 0ε0 A

E=0

b¿a<r<b

ε 0∮ E .dA=qenc .

ε 0. E . A=0

E=0

c ¿b<r<cd ¿c<r<d

ε 0.∮EdA=qenc .ε0∮E .dA=qenc

ε 0E . A=+2qε0 E (4 π r2 )=−2q+2q

ε 0E (4 π r2 )=+2qE=0

E= +2qε04 π r

2

e ¿ r>d

ε 0.∮E .dA=qenc

ε 0. E (4 π r2 )=+4 q+2q−2q+2q

ε 0. E (4 π r2 )=+6q

E= +6qε0.4 π r

2haciaafuera

q total=0

q total=+2q

q total=−2q

q total=+4 q+2q−2q+2q

q total=+6q

13. Una esfera aislante solida de radio a tiene una carga positiva neta 3Q, distribuidauniformemente en su volumen. Concéntrica con esta esfera existe un cascaron esféricoconductor de radio interno b y de radio externo c, con una carga neta -Q (ver figura)a) Construya una superficie gaussiana esférica de radio r > c y determine la carga neta encerrada por esta superficie. b) Cual es la dirección del campo eléctrico en r > c? c) Encuentre el campo eléctrico en r > c. d) Encuentre el campo eléctrico en la región de radio r, donde c > r > b. e) Construya una superficie gaussiana esférica de radio r, donde c > r >b , y determine la carga neta encerrada por este superficie. f) Construya una superficie gaussiana esférica de radio r, donde b > r > a, y determine la carga neta encerrada por esta superficie. g) Encuentre el campo eléctrico en la región b > r > a. h) Construya una superficie gaussiana esférica de radio r <a , y encuentre una expresión en función de r para la carga neta encerrada en el interior de esta superficie. Note que la carga en el interior de esta superficie es menor a 3Q. i) Encuentre el campo eléctrico en la región r < a. j) Determine la carga en la superficie interna del cascaron conductor. k) Determine la carga en la superficie externa del cascaron conductor.

a) r > cQneta = -Q + 3QQneta = 2Q

b) r > cTiene una dirección radial hacia afuera porque el campo es positivo.

c) r > cε 0EA = 2Q

E = 1

4 π ε0

2Q

r2

E = 2KQ

r 2

d) c > r > bLa carga encerrada es cero. E = 0

e) c > r > bq = 0

f) b > r > aq = 3Q

g) b > r > a

ε 0EA = 3Q

E = 3KQ r4

r2radial hacia afuera

h) r < a

q’ = qr3

R3

q’ = 3Qr3

a3

i) E = Kq' r

a3E =

K ( 3Qr3

a3)r

a3E = 3KQ r4

a6

j) q = -3Q

k) q = 3Q –Q q = 2Q

14. Una esfera aislante sólida, de radio a , tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga total Q, colocada en forma concéntrica a esta esfera existe otra esfera hueca, conductora pero descargada, de radios interno y externo b y c, respectivamente (ver figura) a) Determine la magnitud del campo eléctrico en las regiones r < a , a < r < b, b < r < c y r > c. b) Determine

a) r > a

ε 0EA=Q( r3a3 )

E=Q( r 3a3 )4 π r2 ε0

E= 14 π ε0

Qr

a3

E= 14 π ε0

( ρ( 43 π a3)r )a3

E= 14 π ε0

( ρ( 43 π a3))a3

Cuando a < r

ε 0EA = Qenc

ε 0E (4πr2) = Q

E = 1

4 π ε0

Q

r2Radial hacia afuera

b > r < c

E = 0 (No hay carga)

r > c

E= 14 π ε0

Q

r2

15. En la siguiente figura se muestra una cascara esférica de carga con densidad de carga volumétrica uniforme ρ. Determine E debido a la cascara para distancias r desde el centro de la cascara que van de cero a 30. cm. Suponga que ρ = 1.0x10-6 C/m3, a = 10 cm y b = 20 cm.

Esfera=Volumen

Q=ρV

E=1

4 π ε0.ρ( 43πr 3)

r 2

E=(9×109 ).(1.0×10−6)¿¿

E= 720.09

E=800 NC

16. En la siguiente figura, una cascara esférica no conductora, de radio interior a y radio exterior b, tiene una densidad de carga volumétrica ρ = A/r (dentro de su grosor), donde A es una constante y r es la distancia desde el centro de la cascara. Además, una carga puntual positiva q está ubicada en ese centro. Qué valor debe tener A si el campo eléctrico en la cascara(a ≤ r ≤ b) debe ser uniforme? (Sugerencia: la constante A depende de a, pero no de b.)

Calcular campo eléctrico. Valor del área.

ε 0EA = Qenc q = ρV

E = q+q

ε0(4 π a2)

q = (A/r) (4π/3 a3)

E = 2q

ε0(4 π a2)

q

(4 π /3a3) = A/r

E = q

ε0(2 π a2)

qr

(4 π /3a3)= A

17. Un cilindro conductor muy grande (longitud L) que tiene una carga total + q está rodeado por un cascarón cilíndrico conductor (también de longitud L), con una carga total -2q, como muestra en la sección transversal de la figura. Use la ley de Gauss para determinar a) el campo eléctrico en los puntos fuera del cascarón conductor, b) la distribución de carga en él c) campo eléctrico en la región situada entre los cilindros.

a¿ ε¿0EA=qenc

ε 0E (2πrL )=−2q+q

E= −Q2 π ε0 rL

E= Q2 π ε0 rL

(radial haciaafuera )

b) –q tanto afuera como adentro

c ¿ ε ¿0 EA=qenc

ε 0E (2πrL )=+q

E= q2 πε0 rL

(radialhacia afuera )

18. La figura muestra una sección a través de dos largos cilindros concéntricos delgados de radios a y b. Transportan cargas iguales y opuestas por unidad de longitud λ. Por medio de la ley de Gauss pruebe que a) E = 0 cuando r < a y que b) entre los cilindros E está dada por:

r<a

ε 0∮ E .dA=qenc .

ε 0. EA=q

E= 0ε0

E=0 porque en elinterior nohay carga .

b¿ ε0EA=qenc .

ε 0E (2πrL )=−Q

E= −Q2 π ε0 rL

E= −dL2 π ε0 rL

E= d2 π ε0 r

radial haciaadentro .

19. Dos láminas grandes de plástico, no conductoras, cada una con un espesor de 10.0 cm, tienen densidades de carga uniformes σ1 , σ2 , σ3 y σ4 en sus superficies (ver figura). Los valores de estas densidades superficiales de carga son σ1 = -6. 00 μ C/m2, σ2= +5. 00 μ C/m2, σ3 = +2. 00 μ C/m2y σ4 = +4. 00 μ C/m2 . Utilice la ley de Gauss, para hallar la magnitud y dirección del campo eléctrico en los puntos siguientes, alejados de los bordes de estas láminas. a) Punto A, a 5.00 cm de la cara izquierda de la lámina de la izquierda, b) Punto B, a 1.25 cm de la superficie interna de la lámina de la derecha, c) Punto C, en medio de la lámina de la derecha. R/ a) 2.82x105 N/C hacia la izquierda, b) 3.95x105 N/C hacia la izquierda , c) 1.69x105 N/C hacia la izquierda

E=ΣE

EA=G12 ε0

+G22 ε0

+G32 ε0

+G 4

2 ε0

EA=12 ε0

(G1+G2+G3+G4 )

EA=12 ε0

(−6 μ+5 μ+2 μ+4 μ )

EA=2.82 x105 N /C

b)

Eb=12 ε 0

(6+2−4−5 )

Eb=3.95 x105 NCHacia laizquierda

c)

Eb=μ2 ε 0

(G 4+G1 (−G2 )+G3 )

EB=μ2 ε0

(4+6−2−5 )

EB=1.69 x105 NCHacia laizquierda

20. Una carga positiva Q está distribuida de manera uniforme sobre cada uno de dos volúmenes esféricos con radio R. Una esfera de carga está centrada en el origen, y la otra en x = 2R (figura). Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico neto debido a estas dos distribuciones de carga en los siguientes puntos sobre el eje x: a) x = 0; b) x = R/2; c) x = R; d) x = 3R.

a) E=K Qr2

= Q

4 π ε0 (2 R )2= Q

16 π ε0 R2= Q

16 π ε 0R2→

b) COMO ES NO CONDUCTOR ε 0E (4 π r2 )=Q'

E=Q¿¿

R2

= Q

8π R2 ε0

E= Q

4 π ε0R2SIENDO R=3

2R

Q

8π R2 ε0− Q

9 π R2ε 0= Q

72π R2ε 0

c) X=KPARA E1E= Q

4 π ε0 R2

E=0

PARA E2E= Q

4 π ε0 R2

d)PARA E1E= Q

4 π ε0 R2

Q

36π ε0R2

PARA E2E= Q

4 π ε0 R2

Q+9Q36π ε0R

2 = 10Q

36π ε0R2 i =

5Q

18π ε 0R2 j