Universidad de Los AndesFacultad de IngenieríaLaboratorio de Física 21

Campo Magnético

Fecha: 31 de agosto de 1999Integrantes: Glenda Noboa CI: 15031815

Laura I. Tolosa CI: 15031338Sección: 01Profesor: Gustavo MarcanoCurso Intensivo 99

Introducción. Conceptos teóricos.

Los imanes, las cargas eléctricas en movimiento, y las corrientes eléctricas, experimentan fuerzas magnéticas. Esas fuerzas se pueden describir en términos de un campo magnético, B, cuya dependencia espacial se puede determinar con limaduras de hierro, u observando su efecto sobre una carga eléctrica de prueba, en movimiento, o un elemento de corriente de prueba. En términos de ese campo, la fuerza magnética sobre una carga eléctrica, q, depende de la velocidad de la carga, según la ley de fuerza magnética,

FB = q· v B.

La unidad de campo magnético en el SI es el tesla, T: 1T = 1 kg/C·s.

En un campo magnético estático, el componente de la velocidad de una partícula cargada, paralelo al campo, no es afectado por ese campo. La magnitud de la fuerza sobre la partícula, debida al campo, es proporcional al componente de la velocidad perpendicular al campo, y la dirección de la fuerza es perpendicular a este componente, y al campo mismo. Por consiguiente, la energía cinética de una partícula con carga dentro de un campo magnético, no cambia.

El cálculo de la fuerza magnética infinetisimal sobre un tramo infinitesimal de alambre delgado, de longitud dl, que conduce una corriente I, en presencia de un campo magnético constante, difiere del empleado para calcular la fuerza sobre una carga, siendo de la forma:

dF = I · dl B

Para calcular la fuerza neta sobre un alambre de longitud finita dentro de un campo magnético, se integra la ecuación anterior.

Las corrientes eléctricas o, lo que es lo mismo, las cargas en movimiento, producen campos magnéticos. Las líneas de campo magnético alrededor de un alambre largo y recto que conduce una corriente constante forman círculos con centro en el alambre, en el plano perpendicular a él. La dirección de las líneas del campo en esos círculos se determina cuando el pulgar de la mano derecha apunta en dirección de la corriente; los demás dedos se doblan en dirección del campo magnético.

Los campos magnéticos producidos por corrientes invariables siguen la ley de Ampère:

En esta ecuación, la integral de línea sigue cualquier trayectoria cerrada a través de la cual pasa la corriente Iencerrada. La constante definida, 0 = 4·10-7 T·m/A es la permeabilidad del espacio vacío. Una segunda ley que obedece el campo magnético se origina por la ausencia de equivalentes magnéticos de la carga eléctrica. Como no hay cargas magnéticas en las cuales inicien o terminen las líneas del campo magnético, esas líneas se deben cerrar en sí mismas, así, el flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada, es cero. Esto es lo que se conoce como la ley de Gauss para el magnetismo.

La ley de Ampère es una herramienta práctica importante para determinar los campos magnéticos cuando hay la simetría suficiente para permitir seleccionar una trayectoria en la cual se

simplifique la integral, como por ejemplo, en la determinación del campo interior de un solenoide largo. Un solenoide es un alambre devanado uniformemente en un bobina, formando un tubo. Cuando pasa la corriente, se produce un campo magnético dentro del tubo, tiene magnitud constante, y está alineado con el eje del tubo. La magnitud de ese campo interior es:

B = 0· n·I

en la cual, n es el número de espiras de alambre por unidad de longitud del solenoide. Como su campo magnético interior es constante, un solenoide es en el magnetismo lo que un capacitor es en la electricidad.

Con el fin de determinar la magnitud del campo magnético interno de un solenoide, en la práctica se emplea una balanza magnética, que consta de un solenoide dentro del cual se coloca una espira. Esta espira está constituida de manera que es posible hacer circular una corriente, solamente por medio de la espira.

Cuando se coloca dentro del solenoide, el campo magnético uniforme ejercerá una fuerza Fm sobre la espira, si se coloca una masa m en ella, la masa ejercerá también una fuerza, esta vez de tipo gravitatoria Fg, de esta manera, se podrá encontrar un campo magnético tal que anule el efecto de la fuerza Fg y que lleve la espira a su posición original de equilibrio, en este momento ambas fuerzas se igualan en módulo. Conociéndose la masa colocada sobre la espira, así como la corriente que circula por ella será posible despejar de la igualdad de fuerzas la magnitud del campo B.

Al igual que la capacitancia en los condensadores, la inductancia se puede calcular con facilidad tan sólo para unas pocas geometrías simples, pero importantes. La más importantes de ellas es el solenoide. Un solenoide de longitud l y radio R. Cuando l R, el campo magnético dentro del solenoide es longitudinal y constante, y está expresado por la ecuación:

El flujo magnético total es este valor multiplicado por el número de vueltas, N = nl.

Comparando con la definición de autoinductancia:

La autoinductancia es el coeficiente de la corriente,para un solenoide ideal: L = 0Aln2

Objetivos.

- Estudiar experimentalmente las propiedades del campo magnético generado en el interior de un solenoide.

- Conocer y entender el funcionamiento de una balanza magnética.- Determinar el número de espiras y la inductancia de un solenoide.

Materiales y equipos.Una balanza magnéticaDos reóstatos: uno de 0 - 11 Amp.

uno de 0 - 62 Amp.Dos amperímetros: uno de 0 - 1 Amp.

uno de 0 - 5 Amp.Dos fuentes de poder de 6v cada uno.Dos masas conocidasLas dimensiones y características del solenoide utlizado fueron los siguientes:

Longitud del solenoide = 15,5 cmDiámetro del solenoide = 3,72 cmInductancia del solenoide = 4 mHNº de vueltas = 540

Las dimensiones de la espira fueron:

2,58 cm

17 cm

Procedimiento experimental. Se montaron los siguientes circuitos:

A1

Figura 1: Circuito con el solenoide

A2

Figura 2: Circuito con la espira

donde: A1 = de 0 - 5 AmpA2 = de 0 - 1 Amp

Se equilibró la balanza sin hacer circular corriente. Se colocó la primera masa sobre la placa de la espira:

m1 = (0,0109 0,0001) g

Se fijo una corriente a través de la espira de

ie = (0,50 0,02) Amp

Se hizo pasar por el solenoide una corriente is de tal manera que la balanza volviera a su posición de equilibrio. Se anotó el valor de la corriente a través del solenoide.

De la misma manera se procedió a equilibrar la balanza a través de la corriente en el solenoide para diferentes valores de corriente ie en el espira. Las mediciones se realizaron dos veces para cada valor de ie y se halló un promedio ip de la corriente en el solenoide. Estos datos se muestran en la Tabla #1.

Tabla #1: Valor promedio (Ip) de la corriente Is en el solenoidepara diferentes valores de corriente Ie en la espira para m1

Ie (Amp) Is1 (Amp) Is2 (Amp) Ip (Amp)0,50 1,7 1,5 1,60,60 1,4 1,3 1,40,70 1,2 1,1 1,20,80 1,0 1,0 1,00,90 0,9 0,8 0,9

Ie = 0,02 Amp Is = 0,1 Amp

Con los datos obtenidos para las corrientes promedio en el solenoide, el valor de la masa utilizada y las dimensiones de la espira, se calculó la magnitud del campo magnético en el eje del solenoide para cada Ie, de acuerdo a la expresión:

;

donde m = masa conocidaL = longitud del lado de la espira perpendicular al eje del solenoideg = valor de la gravedadIe = corriente a través de la espira

Los resultados se muestran en la Tabla #2.

Tabla #2: Valor del campo magnético en el ejedel solenoide para cada Ie para m1

Ie (Amp) B (tesla) B (tesla)0,50 8,33·10-3 10-12 0,60 6,94·10-3 9·10-13 0,70 5,95·10-3 6·10-13 0,80 5,21·10-3 5·10-13 0,90 4,63·10-3 4·10-13

Ie = 0,02 Amp m = (0,0109 0,0001)·10-3 kg g = 9,86 m/s2 L = 2,58 cm

Se cambió la masa conocida a una de:

m2 = (0,0300 0,0001) g

Se procedió de la misma manera que como en el caso anterior, equilibrando la balanza con una corriente Is en el solenoide para cada valor de Ie a través de la espira. Las mediciones se realizaron dos veces y se calculó el promedio de la corriente en el solenoide. Los datos se muestran en la Tabla #3.

Tabla #3: Valor promedio (Ip) de la corriente (Is) en el solenoidepara diferentes valores de corriente (Ie) en la espira, con m2

Ie (Amp) Is1 (Amp) Is2 (Amp) Ip (Amp)0,50 4,5 4,4 4,50,60 3,8 3,6 3,70,70 3,3 3,2 3,30,80 2,8 2,8 2,80,90 2,5 2,5 2,5

Ie = 0,02 Amp Is = 0,1 Amp Ip = 0,1 Amp Con los datos obtenidos para las corrientes promedio en el solenoide, el valor de la masa

utilizada y las dimensiones de la espira, se calculó la magnitud del campo magnético en el eje del solenoide para cada Ie, de acuerdo a la expresión:

;

Los resultados se muestran en la Tabla #4.

Tabla #4: Valores del campo magnético en eleje del solenoide para cada Ie, con m2

Ie (Amp) B (tesla) B (tesla)0,50 2,29·10-2 8·10-12 0,60 1,91·10-2 6·10-12 0,70 1,64·10-2 4·10-12 0,80 1,43·10-2 3·10-12 0,90 1,27·10-2 3·10-12

Ie = 0,02 Amp m = (0,0300 0,0001) g g = 9,86 m/s2 L = 2,58 cm

Con los valores de Ip para cada masa se graficó B vs Ip. Con las gráficas obtenidas se encontró el número de vueltas en el solenoide, ya que la gráfica nos proporciona una recta de pendiente 0n.Como:

B = 0nIp y la pendiente de la recta :

entonces

;

Tabla #5: Datos para el cálculo de la pendiente y su error por el método de los mínimos cuadrados

Bi (tesla) Ipi (Amp) Ipi2 (Amp2) Bi·Ipi (tesla·Amp) (Bi-m·Ipi)2 (tesla2)8,33·10-3 1,6 2,56 0,013 6,6·10-6 6,94·10-3 1,4 1,96 0,009 3,6·10-6 5,95·10-3 1,2 1,44 0,007 2,7·10-6 5,21·10-3 1,0 1,0 0,005 2,6·10-6

4,63·10-3 0,9 0,81 0,004 1,9·10-6 = 3,1·10-2 = 6,1 = 7,77 = 0,039 = 1,7·10-5

m = (3,6 3,2)·10-3 tesla/AmpComo:

m = 0·n n = m/0 con n = m/0

n = (2864,79 2546,48) m-1 donde n = número de vueltas por unidad de longitud

Así, como la longitud del solenoide es h = 0,155 m, el número total de vueltas será

N = nh con N = h·n

N = (444,0 394,7)

Tabla #6: Datos para el cálculo de la pendiente y su error por el método de los mínimos cuadrados

Bi (tesla) Ipi (Amp) Ipi2 (Amp2) Bi·Ipi (tesla·Amp) (Bi-m·Ipi)2 (tesla2)2,29·10-2 4,5 20,25 0,103 2,5·10-7 1,91·10-2 3,7 13,69 0,071 2,0·10-8 1,62·10-2 3,3 10,89 0,053 9,2·10-7 1,43·10-2 2,8 7,84 0,040 6,8·10-8

1,27·10-2 2,5 6,25 0,032 9·10-8 = 8,52·10-2 = 16,8 = 58,92 = 0,299 = 1,3·10-6

m = (5,20 0,03)·10-3 tesla/Amp

Como: m = 0·nn = m/0 con n = m/0

n = (4138,03 159,15) m-1 donde n = número de vueltas por unidad de longitud

Así, como la longitud del solenoide es h = 0,155 m, el número total de vueltas será

N = nh con N = h·n

N = (641,39 24,67)

Se calculó un valor promedio del número de vueltas con los valores obtenidos anteriormente.

Np = (542,7 209,7)

Con el valor real del número de vueltas y la pendiente de la gráfica 1 se encontró el valor de la constante de permeabilidad 0

0 = (1,0 0,9)·10-6 weber/(m·Amp)

Se calculó la inductancia del solenoide mediante la ecuación:

Ls = 0·(N/h)2·L´A ;

donde: N = número de vueltas promedio = (542,7 209,7)A = área de la sección transversal del solenoide = ·D2/4 = 1,0 ·10-3 m2 L´= longitud del solenoide = 0,155 m

Ls = (2,7 1,8) mH

Cuestionario.1. Demuestre la ecuación (9) a partir del hecho que el campo magnético ejerce una fuerza lateral sobre cargas eléctricas en movimiento.

Se sabe que dF = dq (v x ), para un alambre recto de longitud l, y por el pasa una corriente i. Podemos sustituir dq= i · dt y v=dl/dt, quedando:

dF = idt (dl / dt x B) = i·dl x B

Integrando:F = i · l x B

Se estudia ahora el campo magnético entre dos alambres rectos : d

F2 = i2·l x B1 (1)

La magnitud de B1 se determina mediante la magnitud de la fuerza entre los conductores:

F = ( C·i2·i1·l ) / d

C es una constante, se utiliza 0 = 4 · 10-7 Weber / (Amp·m), entonces:

F = ( 0 · i1· i2· l ) / ( 2 d) (2)

Si i1= i2 entonces igualando (1) y (2) tenemos:

i2· l· B1 = ( 0 · i1· i2· l ) / ( 2 d)

Despejando B de la ecuación anterior (siendo B1= B2 ), se tiene:

i2i1 F2

Conductor 1 Conductor 2

L

B = (0 · i ) / (2 r) (3)

De la teoría explicada en la introducción de ésta práctica se sabe que:

(4)

Se puede igualar la ecuación (3) con la ecuación (4):

B ·l = 0 · i (5)

Para el caso que se estudia en la práctica, i es la corriente encerrada por el camino de integración, no es la corriente i0 que circula por el solenoide. Se sabe que el número de espiras por unidad de longitud es n, y que N es el número de espiras, entonces se tiene:

N = n·l , i = i0·N

sustituimos ambas expresiones en (5), quedando:

B·l = 0 · i0·N

Quedando así demostrada la ecuación (9).

2. Suponiendo que coloca la masa m:a) A un punto cercano al centro de la espirab) En un punto cercano al extremo de la espira.

¿Esperaría que variaran sus resultados? Explique.Lógicamente, los valores cambiarían; porque el brazo de palanca del torque que aplica la

masa variaría y consecuentemente la fuerza sería menor, cerca del centro de la espira, y mayor a medida que se aleja de dicha posición. De esta forma al igualar el torque ejercido por la fuerza magnética con el ejercido por la masa, las longitudes "l" no podrían eliminarse y se tendría que incluir dichas longitudes en el cálculos siguiente:

FgL1 = FML2

3. ¿Cómo procedería ud. para determinar una masa desconocida con la balanza y la tabla de valores obtenida?

Se tienen dos ecuaciones que definen al campo magnético : = Mg/(ieL) con las incógnitas y M (la ultima constante); y = m0nis.

( se coloca r, porque un alambre ejerce un campo magnético alrededor del otro alambre en forma circular )

(B es constante para un mismo radio del campo magnético)

B = 0 · i0·n

Podemos igualar ambas ecuaciones:

Mg/(ieL) = 0nis , reagrupando términos se tiene: is = Mg/(L 0n) ·1/ie. Este gráfico demuestra una hipérbola.

Conocidos is e ie experimentalmente (haciendo el proceso que se hizo en las experiencias del laboratorio) y dados g, L, 0 y n como datos teóricos se procede al gráfico de la función is vs 1/ie que no es mas que una recta de cuya pendiente m= Mg/(L 0n) se procede al calculo de la masa M con su respectivo error. Debe mantenerse la masa constante y hacer medidas de ambas corrientes para el proceso descrito.

Discusión de resultados.

Para la determinación del campo magnético dentro de un solenoide se experimentó con dos

masas diferentes, dando resultados distintos del valor encontrado. Con la primera masa se obtuvo un valor menor de campo que con la segunda, pudiéndose apreciar la proporcionalidad directa entre el campo magnético y la masa utilizada cuando se emplea una balanza magnética.

En los gráficos 1 y 2 se observó también la relación directa entre el campo interno del solenoide y la corriente Ip promedio a través de la espira. Hallando la pendiente de las rectas se determinó el número de vueltas del solenoide, los dos resultados obtenidos no fueron muy próximos al valor real lo que se puede observar en la magnitud de su error. Sin embargo el promedio entre ambos valores sí se acercó al real aunque su error no lo hace muy preciso.

Al calcular el valor de la constante de permeabilidad 0 a través de la pendiente del gráfico 1 y del valor real del número de vueltas se obtuvo un resultado satisfactorio, es decir, fue muy cercano al valor de dicha constante.

Respecto al valor encontrado para la Inductancia del Solenoide, éste no se acercó mucho al valor real, encontrándose una discrepancia del 32,5 %. Esto se debió principalmente a la propagación del error introducido por el número de vueltas.

Conclusiones.El método de la balanza magnética permite calcular el campo magnético dentro de un

solenoide al igualar las fuerzas ejercidas sobre la espira ya sea por dicho campo o por la normal que

ejerce la masa sobre ella. Los valores encontrados por éste método fueron bastante aproximados, esto se puede comprobar con el valor promedio para el número de vueltas y la constante de permeabilidad 0 determinados.

A través del gráfico de B vs I se pudo comprobar la relación lineal entre ambos parámetros ya que la tendencia del conjunto de valores graficados fue una línea recta, permitiendo hallar a través de su pendiente el número de vueltas en el solenoide.

Partiendo de los valores obtenidos por el método de la balanza se pudo encontrar la Inductancia en el solenoide, es decir, la medida en que el solenoide induce una fuerza electromotriz en el circuito.

Bibliografía.

- Guía de Laboratorio de Física 21. Editado por la Facultad de Ciencias.

- Resnick, R. y Halliday, D. :Física, parte 2. Compañía Editorial Continental. México.

- Fishbane y otros.: Física para ciencias e ingeniería. Prentice-Hall Hispanoamericana. México.