Apuntes Campo Magnetico

112

Unidad 7: Fuerza Magnética 7.1.- Introducción

El término magnetismo tiene su origen en el nombre que en la época de los filósofos griegos recibía una región del Asia Menor, entonces denominada Magnesia; en ella abundaba una piedra negra o piedra imán capaz de atraer objetos de hierro y de comunicarles por contacto un poder similar. A pesar de que ya en el siglo VI a. de C. se conocía un cierto número de fenómenos magnéticos, el magnetismo como disciplina no comienza a desarrollarse hasta más de veinte siglos después, cuando la experimentación se convierte en una herramienta esencial para el desarrollo del conocimiento científico. Gilbert (1544-1603), Ampére (1775-1836), Oersted (1777-1851), Faraday (1791-1867) y Maxwell (1831-1879), investigaron sobre las características de los fenómenos magnéticos, aportando una descripción en forma de leyes, cada vez más completa. Los fenómenos magnéticos habían permanecido durante mucho tiempo en la historia de la ciencia como independientes de los eléctricos. Pero el avance de la electricidad por un lado y del magnetismo por otro, preparó la síntesis de ambas partes de la física en una sola, el electromagnetismo, que reúne las relaciones mutuas existentes entre los campos magnéticos y las corrientes eléctricas. James Clark Maxwell fue el científico que cerró ese sistema de relaciones al elaborar su teoría electromagnética, una de las más bellas construcciones conceptuales de la física clásica. a) Tipos de imanes

Un imán natural está constituido por una sustancia que tiene la propiedad de atraer limaduras de hierro, denominándose a esta propiedad magnetismo o, más propiamente, ferromagnetismo. El elemento constitutivo más común de los imanes naturales es la magnetita: óxido ferroso férrico, mineral de color negro y brillo metálico.

Un imán artificial es un cuerpo metálico al que se ha comunicado la propiedad del magnetismo, mediante frotamiento con un imán natural, o bien por la acción de corrientes eléctricas aplicadas en forma conveniente (electroimanación).

Un electroimán es una bobina (en el caso mínimo, una espira) por la cual circula corriente eléctrica. Para que un imán pierda sus propiedades debe llegar a la llamada "temperatura de Curie" que es

diferente para cada composición. Por ejemplo para un imán cerámico es de 450 ºC, para uno de cobalto 800 ºC, etc.

También se produce la desimanación por contacto, cada vez que pegamos algo a un imán perdemos

parte de sus propiedades. Los golpes fuertes pueden descolocar las partículas haciendo que el imán pierda su potencia. b) Polos magnéticos

El estudio del comportamiento de los imanes pone de manifiesto la existencia en cualquier imán de dos zonas extremas o polos en donde la acción magnética es más intensa.

Para distinguir los dos polos de un imán se les denomina polo norte y polo sur. Esta referencia geográfica está relacionada con el hecho de que la Tierra se comporte como un gran imán. Las experiencias con brújulas indican que los polos del imán terrestre se encuentran próximos a los polos Sur y Norte geográficos respectivamente. Por tal motivo, el polo de la brújula que se orienta aproximadamente hacia el Norte terrestre se denomina polo Norte y el opuesto constituye el polo Sur. Tal distinción entre polos magnéticos se puede extender a cualquier tipo de imanes.

PROFESORES :M. CECILIA FUENTES V., JAIME O. CARTES M., ALFONSO LLANCAQUEO H.

113

Las experiencias con imanes ponen de manifiesto que polos del mismo tipo (N-N y S-S) se repelen y polos de distinto tipo (N-S y S-N) se atraen. Esta característica del magnetismo de los imanes fue explicada por los antiguos como la consecuencia de una propiedad más general de la naturaleza consistente en lo que ellos llamaron la « atracción de los opuestos ». Otra propiedad característica del comportamiento de los imanes consiste en la imposibilidad de aislar sus polos magnéticos. Así, si se corta un imán recto en dos mitades se reproducen otros dos imanes con sus respectivos polos norte y sur. Y lo mismo sucederá si se repite el procedimiento nuevamente con cada uno de ellos. No es posible, entonces, obtener un imán con un solo polo magnético semejante a un cuerpo cargado con electricidad de un solo signo. Un imán es un dipolo magnético c) Origen del magnetismo

Desde hace tiempo es conocido que una corriente eléctrica genera un campo magnético a su alrededor. En el interior de la materia existen pequeñas corrientes cerradas debidas al movimiento de los electrones que contienen los átomos, cada una de ellas origina un microscópico imán o dipolo. Cuando estos pequeños imanes están orientados en todas direcciones sus efectos se anulan mutuamente y el material no presenta propiedades magnéticas; en cambio si todos los imanes se alinean actúan como un único imán y en ese caso decimos que la sustancia se ha magnetizado. c) Clasificación de los materiales

Los materiales ferromagnéticos son los que muestran un comportamiento similar al del hierro, es decir, son atraídos intensamente por los imanes. Estos materiales pueden mantener las características que posee un imán natural luego del proceso de imantación .

Algunos materiales ferromagnéticos son el hierro, el gadolinio, el níquel, el calcio y compuestos de estos, de los cuales uno de los más conocidos es la magnetita (Fe3O4). Uno de los mejores imanes permanentes conocidos en estos momentos es un compuesto ferromagnético hecho de gadolinio, neodimio y boro.

Los materiales paramagnéticos también son atraídos por los imanes, aun débil (imantación débil), salvo a muy bajas temperaturas.

cuando el efecto es muy

Es posible imantarlos si se los sitúa junto a un imán; sin embargo, pierden rápidamente esta característica una vez que se ha retirado el imán. Algunos materiales paramagnéticos son el manganeso, paladio y el oxígeno en estado líquido.


114

Los materiales diamagnéticos interactúan magnéticamente con el imán, pero en vez de ser atraídos son repelidos en mayor o menor grado por este. En otras palabras, en vez de absorber las líneas de fuerzas magnéticas (como las ferromagnéticas), estos materiales las repelen. Algunos materiales diamagnéticos son el diamante, el bismuto, el cobre, el mercurio y el agua. 7.2.- Campo magnético

El hecho de que las fuerzas magnéticas sean fuerzas de acción a distancia permite recurrir a la idea física de campo para describir la influencia de un imán o de un conjunto de imanes sobre el espacio que les rodea. Al igual que en el caso del campo eléctrico, se recurre a la noción de líneas de fuerza para representar la estructura del campo. En cada punto las líneas de fuerza del campo magnético indican la dirección en la que se orientará una pequeña brújula (considerada como un elemento de prueba) situada en tal punto. Así las limaduras de hierro espolvoreadas sobre un imán se orientan a lo largo de las líneas de fuerza del campo magnético correspondiente y el espectro magnético resultante proporciona una representación espacial del campo. Por convenio se admite que las líneas de fuerza salen del polo Norte y se dirigen al polo Sur.

Cuando se espolvorea en una cartulina o en una lámina de vidrio, situadas sobre un imán, limaduras

de hierro, éstas se orientan de un modo regular a lo largo de líneas que unen entre sí los dos polos del imán. Lo que sucede es que cada limadura se comporta como una pequeña brújula que se orienta en cada punto como consecuencia de las fuerzas magnéticas que soporta. La imagen que forma este conjunto de limaduras alineadas constituye el espectro magnético del imán.

El espectro magnético de un imán permite no sólo distinguir con claridad los polos magnéticos, sino que además proporciona una representación de la influencia magnética del imán en el espacio que le rodea. Así una pareja de imanes enfrentados por sus polos de igual tipo dará lugar a un espectro magnético diferente al que se obtiene cuando se colocan de modo que sean los polos opuestos los más próximos. Esta imagen física de la influencia de los imanes sobre el espacio que les rodea hace posible una aproximación relativamente directa a la idea de campo magnético.


115

Recuerde que:

En cada punto de la línea la dirección del campo magnético es tangente a dicha línea.

La intensidad del campo magnético es directamente

proporcional con la densidad de líneas de campo.

Convencionalmente el sentido del campo magnético es desde el polo norte al polo sur.

7.3.- Fuerza magnética y definición operacional de campo magnético

El campo eléctrico E en un punto del espacio se ha definido como la fuerza por unidad de carga que actúa sobre una carga de prueba colocada en ese punto. Similarmente, el campo gravitacional g en un punto dado del espacio es la fuerza de gravedad por unidad de masa que actúa sobre una masa de prueba.

Ahora se definirá el vector de campo magnético Br

(algunas veces llamado inducción magnética o densidad de flujo magnético) en un punto dado del espacio en términos de la magnitud de la fuerza que sería ejercida sobre un objeto de velocidad v . Por el momento, supongamos que no están presentes el campo eléctrico ni el gravitacional en la región de la carga.

Los experimentos realizados sobre el movimiento de diversas partículas cargadas que se desplazan en un campo magnético han proporcionado los siguientes resultados:

1. La fuerza magnética es proporcional a la carga q y a la velocidad v de la partícula. 2. La magnitud y la dirección de la fuerza magnética dependen de la velocidad de la partícula y de la

magnitud y dirección del campo magnético. 3. Cuando una partícula se mueve en dirección paralela al vector campo magnético, la fuerza

magnética F sobre la carga es cero. 4. Cuando la velocidad hace un ángulo θ con el campo

magnético, la fuerza magnética actúa en una dirección perpendicular tanto a v como a ; es decir, r B

rFr

es perpendicular al plano formado por vr y . B

r

5. La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene sentido opuesto a la fuerza que actúa sobre una carga negativa que se mueva en la misma dirección.

6. Si el vector velocidad hace un ángulo θ con el campo

magnético, la magnitud de la fuerza magnética es proporcional al θsen


116

Todas las observaciones anteriores se pueden resumir en la siguiente ecuación:

Diferencias entre fuerza eléctrica y fuerza magnética.

La fuerza eléctrica siempre está en la dirección del campo eléctrico, mientras que la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético.

La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada independientemente de la velocidad de la partícula, mientras que la fuerza magnética actúa solo si la partícula cargada está en movimiento.

La fuerza eléctrica realiza trabajo al desplazar una partícula cargada, mientras que la fuerza magnética asociada a un campo magnético estacionario no realiza trabajo cuando una partícula se desplaza.

Cuando una partícula cargada se mueve con velocidad v, el campo magnético aplicado sólo puede alterar la dirección del vector velocidad, pero no puede cambiar la rapidez de la partícula.


117

Conociendo la fuerza magnética sobre una partícula móvil se puede medir el campo magnético en una región considerando la siguiente definición operacional.

La unidad en el Sistema Internacional (S.I.) del campo magnético es la Tesla (T). El campo magnético generado en el entrehierro de un imán potente es del orden de las décimas de Tesla. El campo magnético de la Tierra es del orden de . )(10 5 T−

7.4.- Dinámica de una partícula en un campo magnético

Hemos visto que una partícula expuesta a un campo magnético Br

, experimenta una fuerza Fr

, dada por la relación:

BvqFrrr

×= Si la partícula esta libre al campo magnético, la fuerza magnética es la fuerza neta, aplicando la

ecuación de movimiento de Newton, se tiene que:

Bvqamrrr ×=

La ecuación anterior es una ecuación diferencial cuya solución puede ser muy simple o muy compleja dependiendo de las características del campo magnético - el cual puede ser uniforme o variable- y de las condiciones iniciales. En esta ocasión analizaremos la dinámica de la partícula cuando ingresa a una región de campo magnético uniforme. a) La partícula ingresa con una velocidad inicial paralela al campo magnético uniforme:

Si la partícula tiene una velocidad paralela al campo magnético, la fuerza magnética sobre ella es

cero, esto significa que la aceleración es cero, por lo tanto su trayectoria no es modificada por el campo magnético, la partícula se moverá en una trayectoria rectilínea con velocidad constante en la dirección del campo magnético.

b) La partícula ingresa con una velocidad inicial perpendicular al campo magnético uniforme:

Supongamos que tenemos una carga que entra en un campo magnético uniforme con una cierta

velocidad de tal forma que el campo magnético sea perpendicular a dicha velocidad. ¿Cómo se moverá la partícula en el seno de este campo?. Se puede entender de forma intuitiva que se ejercerá una fuerza sobre la carga que, debe ser perpendicular a la velocidad con la que se desplaza la carga, y por tanto tendrá una componente exclusivamente normal a la trayectoria. Como en todo momento la fuerza es perpendicular a la trayectoria, tendremos que la carga describirá una circunferencia, ya que estará sometida a una fuerza que


118

creará una aceleración normal constante y una aceleración tangencial nula. Podemos por tanto igualar la fuerza centrípeta de este movimiento con la fuerza. Además la fuerza magnética es también perpendicular al campo magnético, entonces la trayectoria circular estará en el plano normal al campo magnético.

qvBR

mv=

2

En la ecuación anterior se despeja R, donde R es el radio de la órbita de la partícula de carga q y masa m.

qBmvR =

Al analizar la ecuación, observamos que a mayor velocidad de la partícula el radio de la órbita es

mayor, en cambio a mayor intensidad del campo magnético, menor el radio de la órbita. Dado que v es la velocidad tangencial a la órbita se puede expresar en función del radio R:

RfvT

Rv ππ 22=→=

Reemplazando la velocidad en la ecuación del radio y luego despejando la frecuencia, se obtiene:

mqBfπ2

=

Es necesario resaltar que la frecuencia de la partícula no depende de su velocidad , solo depende de

la carga y masa de la partícula, y de la intensidad del campo magnético que la mantiene en órbita. Esta frecuencia es conocida como frecuencia ciclotrónica. Ejemplo Nº 1.-

Una partícula cargada (q=+5 µC; m=10-4 kg) penetra en un campo magnético de inducción B=10 T según indica la figura. En el punto A pasa a una zona de campo eléctrico vertical uniforme, E=103 V/m, y sale de éste por el punto S. Con los datos expresados: a) ¿Cuánto vale la velocidad con que entra la

partícula al campo eléctrico? b) ¿Cuál es el ángulo de salida de la partícula

del campo eléctrico ? a) Como se observa en la figura, en la zona de campo magnético- representado por cruces - , la partícula

describe un cuadrante de circunferencia de radio D, luego debe verificarse:

Dmv

Bqv20

0 =mqB

Dv

=0 reemplazando los datos: sD

v 15.00 =

En la zona de campo eléctrico la partícula está sometida a una fuerza vertical ascendente que le comunica una aceleración:


119

mqEa y = , reemplazando los datos 250

sma y =

Entonces las ecuaciones de movimiento de la partícula en la zona de campo eléctrico son, siendo t=0, el instante en que la partícula ingresa al campo eléctrico:

)1(5.05,05,0 00

00 tv

vttvtvx =→=→=→=

)2(255021

21 222 tDtDtay y =→=→=

Haciendo el cuociente entre las ecuaciones (1) y (2), se obtiene que el instante en el cual la partícula

emerge del campo eléctrico es t= 0.342 s, luego el radio de la cuadrante de circunferencia en el campo

magnético es D= 2.92 m y smv 462.10 =

b) El ángulo da salida del campo es:

º857.11462.1

342.050

0

=→=→×

=→=→= θθθθθ tgtgv

tatg

vv

tg y

x

y

7.6.- Aplicaciones a.- Selector de velocidades

El selector de velocidades es una región en la que existe un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de la velocidad del ión. En esta región los iones de una determinada velocidad no se desvían. El campo eléctrico ejerce una fuerza en la dirección del campo eléctrico cuyo módulo es:

qEFE = El campo magnético ejerce una fuerza cuya dirección y sentido vienen dados por el producto vectorial BvqFB

rrr×= cuyo módulo es , siempre que el

campo magnético sea perpendicular a la velocidad de la partícula. qvBFB =

Fuente

El ión no se desviará si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario. Por tanto, atravesarán el selector de velocidades sin desviarse solo aquellos iones cuya velocidad venga dada por el cociente entre la intensidad

del campo eléctrico y del campo magnético BEv =

b.- Espectrómetro de masas

Las partículas cargadas que emergen desde el selector de velocidades (con velocidad conocida se insertan en una cámara en la cual hay un campo magnético perpendicular a la velocidad.

En el campo magnético las partículas siguen una trayectoria semicircular de radio:qBmvR =


120

sustituyendo BEv = , se obtiene: 2qB

mER = , siempre que el

campo magnético en el selector de velocidades y en la cámara sea el mismo.

Placa Fotográfica

Si todas las partículas tienen la misma carga, los diferentes radios se deben a la masa de la partícula, la masa se puede obtener de la ecuación anterior:

mERqBm

2

=

El espectrógrafo de masas permite separar los diferentes isótopos de un mismo elemento, que no se podrían diferenciar por métodos químicos convencionales.

c.- Ciclotrón

El ciclotrón consta de dos placas semicirculares huecas llamadas "dees", por su similitud con la letra D, que se monta con sus bordes diametrales adyacentes, dentro de un campo magnético uniforme que es normal al plano de las placas, y en el vacío. A dichas placas se le aplican oscilaciones de alta frecuencia que producen un campo eléctrico oscilante en la región diametral entre ambas placas. En consecuencia, durante un semiciclo el campo eléctrico acelera los iones, insertados en la región diametral, hacia el interior de uno de estos dos electrodos, llamados dees, donde se les obliga a recorrer una trayectoria circular mediante un campo magnético para, finalmente, aparecer de nuevo en la región intermedia. El campo magnético se ajusta de modo que el tiempo que se necesita para recorrer la trayectoria semicircular dentro del electrodo sea igual al semiperíodo de las oscilaciones. En consecuencia, cuando los iones vuelven a la región intermedia, el campo eléctrico habrá invertido su sentido y los iones recibirán entonces un segundo aumento de la velocidad al pasar al interior de la otra 'Dee' . Como los radios de las trayectorias son proporcionales a las velocidades de los iones, el tiempo que se necesita para el recorrido de una trayectoria semicircular es independiente de sus velocidades.

qBmvR = entonces, si los iones emplean exactamente medio ciclo en una primera semicircunferencia en un

tiempo qBmT π

=2

, se comportarán de modo análogo en todas las sucesivas y, por tanto, se moverán en espiral

y en resonancia con el campo eléctrico oscilante hasta que emergen del aparato.


121

Cada vez que la partícula pasa entre las Ds, su energía cinética aumenta en qVK =∆ , donde V es la diferencia de potencial entre las placas. d.- Efecto Hall clásico

La figura anterior muestra dos cintas conductoras que transportan una corriente I con el sentido indicado. Ambas se encuentran en un campo magnético dirigido perpendicularmente hacia dentro de la página. Supongamos el caso "a", es decir, el caso en el que la corriente esta formada por partículas cargadas positivamente. La fuerza magnética que sobre ellas actúa viene dada por la expresión (donde

es la velocidad de desplazamiento de los portadores de carga) y esta dirigida hacia arriba. Por tanto, las partículas positivas se mueven hacia la parte alta de la cinta y dejan en el fondo de la misma un exceso de carga negativa, creando entonces un campo electrostático en la cinta que se opone a la fuerza magnética ejercida sobre los portadores de carga. Cuando las fuerzas magnética y electrostática se igualan, se habrá llegado a una situación de equilibrio, es decir, ya no habrá más movimiento de partículas positivas hacia la parte superior de la cinta. Una vez alcanzado este estado de equilibrio, la parte alta de la cinta quedará cargada positivamente mientras que la parte inferior habrá quedado cargada negativamente, de modo que una está a mayor potencial que la otra. Si por el contrario, la corriente está formada por partículas con carga negativa, es decir el caso "b", éstas no circularán hacia el extremo derecho de la cinta como ocurría en el caso anterior, sino que se desplazarán hacia el lado izquierdo del conductor. El resto del proceso es totalmente análogo al caso "a", con la salvedad de que en esta ocasión la parte alta de la cinta quedará cargada negativamente y la parte inferior positivamente.

BvqF dB

rrr×=

dv

En equilibrio la fuerza magnética y eléctrica son iguales, de igual módulo, dirección pero de sentidos

opuestos, por lo tanto: 0=+ EB FFrr

0=− Hd qEBqv BvE dH = , donde w

VE HH = y

, es la diferencia de potencial entre la parte superior e inferior de la cinta, entonces , según

el modelo de conducción:

HV wBvV dH =

Avi dρ= -- wdivd ρ

= , donde d es el espesor de la cinta, luego la

diferencia de potencial Hall resulta ser:

diBVH ρ

= , donde i, es la corriente que circula a lo largo de la cinta, B es el campo magnético

perpendicular a la cinta, ρ es la densidad de carga móvil en la cinta y d es el espesor de la cinta. Dado que el potencial Hall es directamente proporcional con el campo magnético, es posible usar

este efecto para medir el campo magnético en una región del espacio.


122

7.7.- Ejercicios

1. Determinar la fuerza que actúa sobre un electrón situado en un campo kB ˆ102 2−×−=r

(T) cuando su velocidad es m/s iv ˆ102 2×=r

2. Un electrón penetra perpendicularmente a las líneas de fuerza de un campo magnético uniforme de

6·10-5 T. , con una velocidad de 1,5·106 m/s. Calcular el radio de la trayectoria.

3. Un electrón penetra en un campo eléctrico uniforme E = 100 î V/m con una v =2·106j m/s. Se desea calcular el campo magnético que, superpuesto al eléctrico permita al electrón mantener su dirección y sentido del movimiento.

4. Un protón se mueve con rapidez de 4x106 m/s a través de un campo magnético de 1.7 T, La fuerza

que el campo magnético ejerce sobre el protón es de 8.2x10-13 N ¿Cuál es el ángulo entre la velocidad del protón y el campo magnético?

5. Se dispara un protón dentro de una región donde existe un campo magnético uniforme. Describir el

movimiento del protón, si su velocidad es: a. Paralela al campo. b. Perpendicular al campo. c. Formando un ángulo de 45º con las líneas del campo. d. El campo vale cero.

6. Un electrón se acelera a través de una d.d.p. de 2400 V, luego entra en una región donde existe un

campo magnético uniforme de 1.5 T. ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de la fuerza magnética que experimenta el electrón?

7. Un ión con carga +e tiene una masa de 3.2x10-26 kg. Después de ser acelerado a través de una d.d.p.

de 833 V, el ión entra perpendicularmente a un campo magnético de 0.92 T, Calcule el radio de la trayectoria del ión en el campo magnético.

8. Calcule la frecuencia de ciclotrón de un protón en un campo magnético de 5.2 T

9. Un ión de masa m con carga e, se acelera desde el reposo por una d.d.p. V. Luego ingresa

perpendicularmente a un campo magnético, describiendo un semicírculo de radio R. Un segundo ión de carga 2e y masa m’ es acelerado a través del mismo potencial y desviado por el mismo campo magnético en un semicírculo de radio R’=2R ¿Cuál es la razón de las masas de los iones?

10. Un selector de velocidades de E y B cruzados tiene un campo magnético de 10-2 T. ¿Cuál es la

intensidad del campo eléctrico requerido para que los electrones de 10 keV pasen sin ser desviados?

11. ¿Cuál es el radio que requiere un ciclotrón diseñado para acelerar protones hasta energías de 34 MeV utilizando un campo magnético de 5.2 T?

12. Un ciclotrón diseñado para acelerar deuterones tiene

un campo magnético con una intensidad uniforme de 1.5 T sobre una región de 0.45 m de radio. Si el potencial alterno entre las “des” tiene un valor de 15 kV. ¿Qué tiempo requerirá el deuterón para adquirir la energía máxima que puede alcanzar?

13. Un campo magnético de 0.15 T está dirigido a lo largo

del eje x positivo. Un positrón que se mueve con rapidez de 5x106 m/s entra al campo a lo largo de una


123

dirección que forma un ángulo de 85º con el eje x. Se espera que el movimiento de la partícula sea una hélice. Calcule el radio y paso de la hélice.

14. Una partícula tiene una carga de 4x10-9 C. Cuando se mueve con una velocidad v1 de 3x104 m/s a 45º

por encima del eje Y en el plano YZ, un campo magnético uniforme ejerce una fuerza F1 según el eje X. Cuando la partícula se mueve con una velocidad v2 de 2x104 m/s según el eje X, se ejerce sobre ella una fuerza F2 de 4x10-5 N según el eje Y. ¿Cuáles son el módulo y la dirección del campo magnético?

15. Un tubo de rayos catódicos se coloca en un campo magnético uniforme B de modo que el eje del

tubo sea paralelo a las líneas de fuerza. Si los electrones que emergen del cañón con una velocidad v forman un ángulo θ con el eje cuando pasan por el origen 0, de modo que su trayectoria sea una

hélice, demostrar a) que tocarán nuevamente el eje al tiempo Bq

mt π2= , b) que la coordenada del

punto de intersección es Bq

mvx θπ cos2= y c) que para pequeños valores de θ la coordenada del

punto de intersección con el eje es independiente de θ, d) el dispositivo de este problema se denomina lente magnética ¿por qué?

16. El efecto Hall puede utilizarse para medir el número

de electrones de conducción por unidad de volumen n para una muestra desconocida. La muestra tiene 1,5mm de espesor, y cuando se coloca en un campo magnético de 0,18 T tal y como indica la figura, se produce un voltaje Hall de 0,122 µV mientras lleva una corriente de 12 A. ¿Cuál es el valor de n?

17. Una muestra de plata de 2 mm de espesor se utiliza

para medir el campo magnético en cierta región del es6,86·10

pacio. La plata tiene aproximadamente n = 28 e-/m3 . Si una corriente de 15 A en la muestra produce un voltaje Hall de 0,24 µV, ¿cuál es

la intensidad del campo magnético?


124

Unidad 7: Fuerza Magnética

7.8.- Fuerza magnética sobre un conductor que lleva corriente

Sabemos que un campo magnético ejerce fuerza sobre una partícula cargada móvil, fuerza que se puede determinar mediante la expresión:

BvqFB

rrr×= . Si q es la carga de una partícula libre en un campo

magnético uniforme B, la fuerza magnética es responsable de que la partícula siga una trayectoria circular en dicho campo.

¿Qué ocurre si la partícula no es libre, sino que es parte de una corriente eléctrica en un conductor?

Sea dq la carga móvil en elemento infinitesimal de volumen de

conductor, carga que tiene la velocidad de arrastre v por el conductor. El conductor está en una región de campo magnético externo B.

La fuerza que el campo magnético ejerce sobre el segmento de conductor es:

)( BvdqFd B

rrr×=

expresando dq en función de la densidad de carga móvil tenemos:

dvdq ρ= , donde dv es un elemento infinitesimal de volumen del conductor. Considerando que en la mayoría de los casos los conductores tienen forma de filamento: Adldv = , Donde A es la sección transversal del conductor y dl es el elemento infinitesimal de longitud del conductor, se tiene:

( )dlBvAFd B

rrr×= ρ

Si , donde , es un vector unitario tangente al

conductor, la ecuación toma la forma: nvv ˆ=r n

( )BnvAFd B

rr×= ˆρ , pero

vAi ρ= , es la corriente que circula en el conductor, entonces la fuerza magnética que un campo magnético ejerce en un filamento conductor por el que circula la corriente i es:

( )dlBniFf

B ∫ ×=rr

ˆ

Observe que la fuerza magnética

es perpendicular al vector unitario ,es decir es perpendicular a la corriente i y también es perpendicular al campo magnético B.

n

El sentido de la fuerza magnética

se invierte si cambia el sentido del campo magnético o el sentido de la corriente eléctrica.

PROFESORES : M. CECILIA FUENTES V., JAIME O. CARTES M., ALFONSO LLANCAQUEO H.

125

a) Ejemplo: Fuerza magnética sobre un marco conductor

Suponga que el plano del marco conductor es paralelo al campo magnético uniforme, como muestra la figura.

Considere que el marco es cuadrado de lado L. Aplicando la expresión: ( )dlBxniF

fB ∫=

rrˆ

Calculemos la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada lado del marco conductor:

El conductor 1, está orientado en laentonces:

dirección del eje x, y lleva la corriente en el sentido positivo,

( )0

ˆˆ

1

1

=

×= ∫F

dliBiiFr

r

El conductor 2, también está orientado en la dirección del eje x, pero lleva la corriente en sentido

negativo y como es paralelo al campo magnético la fuerza magnética también es cero. El conductor 3 está en la dirección del eje z y lleva la corriente en sentido negativo, entonces:

( )jiBLF

dliBkiF

ˆ

ˆˆ

3

3

−=

×−= ∫r

r

El conductor 4, es semejante al 3, solo que lleva la corriente en sentido contrario, entonces:

jiBLF ˆ4 =r

Las fuerzas F3 y F4, hacen girar al marco de alambre.

Calculemos entonces el torque sobre el marco conductor:

Colocando el sistema de referencia en el punto de aplicación de la fuerza F4, bastará con calcular el torque de F3.

( )( )kBiL

jiLBxiL

Fr

ˆ

ˆˆ2 −=

−=

×=

τ

τ

τ

r

r

rrr

note que L2 es el área encerrada por el marco, entonces construyamos el vector área asociado al marco, cuya dirección en este caso es , luego: j

( )kiAB

iBjiAˆ

ˆˆ

−=

×=

τ

τr

r

El término que solo depende del área limita por el marco de alambre y la corriente que la recorre, se denomina momento dipolar magnético y se representa con la letra m. En función del momento dipolar magnético el torque es:

niAm ˆ=r

Bmrrr

×=τ


126

En la figura se muestra un dipolo con varias vueltas (N) también conocido como embobinado. El vector de tiende a alinearse con el vector de mr B

r-campo magnético

externo. Esa es la posición de equilibrio del sistema. - Se parece al dipolo eléctrico- Una de las cosas que pretende hacer la física es entender como cosas diferentes se parecen. Entender muchas cosas con pocos conceptos.

Esta figura muestra dos dipolos en un campo magnéti

lo de la derecha se encuentra en equilibri

.- Dada la espira circular de radio a por la que circula una intensidad I en el

ento magnético de la espira. ene dado por el producto de la

intensida

co externo dirigido hacia arriba, en de la izquierda está en equilibrio inestable –máximo energía- porque su momento dipolar magnético está en dirección opuesta al campo magnético externo.

En cambio el dipoo estable -mínimo de energía- porque su momento

dipolar magnético esta el mismo sentido que el campo magnético externo.

Ejemplo: 1sentido indicado: a) Obtener el mom

El momento magnético de una espira vid de corriente y el vector superficie: niAm ˆ=r

El vector superficie, es un vector de módulo el área de la superficie, y de dirección

ˆˆ 2π= Luego

ˆˆˆ 2π=→

) Si la espira tiene libertad de movimiento ¿Cuál es el efecto que produciría

El campo magnético produciría un momento de fuerzas- torque- dado por: rr ×=

perpendicular a la misma, y sentido indicado por la regla de la mano derecha, tal y como indica la figura, es decir dirección : A kan

iAm =r kaImn

bun campo magnético iBB ˆ0=

rsobre la espira?

Br

mτ (Nm)

s decir, produce un momento de fuerzas en el eje Y, lo cual indica una rotación a

.- La figura muestra una de las espiras con forma de triángulo rectángulo, de catetos a y b, de una

en el

jBaIikBaI ˆˆˆ0

20

2 πτπτ =→×= rr

ealrededor de ese eje en el sentido indicado por la regla de la mano derecha, tal y coque la dirección y sentido del momento magnético y el campo magnético son iguales.

mo indica la figura hast

2bobina de N espiras que está situada sobre un plano que forma un ángulo de 45º respecto de la dirección del eje OY del sistema de referencia de la figura. Por la bobina circula una corriente I


127

sentido indicado, y tiene goznes en el lado situado en el eje OZ de forma que pueda girar libremente a su alrededor. Determinar: a) Momento magnético de la bobina

El momento magnético de la bobina viene dado por: nNiAm ˆ=r , donde N es el número de vueltas de la bobina.

Para determinar la dirección del vector superficie conviene girar el

dibujo, de modo que observemos la proyección de la espira sobre el plano XY, tal y como se muestra en la figura siguiente, donde se observa que la dirección del vector unitario es: Sun r=ˆ

( )jin

jisenn

ˆˆ2

1ˆ

)ˆ(º45cos)ˆ(º45ˆ

+−=

+−=

Luego

( ) 2ˆˆ22

ˆ AmjiNIabm +−=

b) Fuerza magnética sobre cada lado de las espiras triangulares si sobre ellas actúa un campo magnético uniforme )(ˆ TiBB =

r

La fuerza que aparece sobre un conductor cilíndrico homogéneo por el que circula una intensidad de corriente I en presencia de un campo magnético uniforme viene dada por:

BLIFrrr

×= donde es un vector cuyo módulo es la longitud del conductor, y dirección y sentido el indicado por el sentido de circulación de la corriente. En la figura se indican los vectores correspondientes a cada uno de los lados de la espira.

Lr

Para el lado 1, 1L

r el vector es un vector de módulo b, en la dirección del eje

Z, es decir, kbL ˆ

1 =r

de modo que, )(ˆˆˆ

1111 NjIbBFikIbBFBLIF =→×=→×=rrrrr

Para el lado 2, el vector 2Lr

es igual a,

( ) ( ) ( )jiaLjisenaL ˆˆ2

ˆº45cosˆº45 22 +−

=→−+−=rr

con lo cual la fuerza es,

( ) )(ˆ2

ˆˆˆ2 2222 NkIaBFijiIaBFBLIF =→×+−=→×=

rrrrr

La fuerza sobre el tercer lado la podemos determinar fácilmente utilizando el hecho de que la fuerza total ejercida sobre una espira en el seno de un campo magnético uniforme es igual a cero,

)(ˆ2

ˆ0 3213321 NkajbIBFFFFFFF ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=→−−=→=++

rrrrrrr


128

Podemos comprobar este resultado calculando explícitamente 3Fr

. Para ello, observemos de la figura, que el

vector es igual a 3Lr

1Lr

más 2Lr

cambiado de signo, es decir, ( )213 LLLrrr

+−= de donde de forma trivial se obtiene el resultado anterior. c) Momento de las fuerzas magnéticas sobre la bobina El momento de las fuerzas es igual a:

( ) )(ˆ22

ˆˆˆ22

NmkNIabBijiNIabBBm −=→×+−=→×= τττ vrrrr

7.9 Ejercicios 1. Obtener la fuerza magnética sobre cada uno de los segmentos

de alambre que se muestran en la figura, si el campo magnético es de 1.5 T paralelo a OZ,e I= 2.0 A. La arista del cubo mide 0.10 m.

2. Un alambre de 50 cm de longitud se encuentra a lo largo del eje OX y transporta una corriente de 0,5 A

en la dirección positiva de dicho eje. Existe un campo B = 3·10-3 j +10-2 k (T). Encontrar las componentes de la fuerza que actúa sobre el alambre

3. El plano de una espira rectangular de alambre de 5.0 cm x 8.0 cm es paralelo a un campo magnético de

0.15 T. Si una corriente de 10 A circula por la espira ¿qué torque actúa sobre ella? ¿Cuánto es el momento magnético de la espira? ¿Cuál es el torque máximo que se puede obtener con esa corriente circulando por la misma

longitud de alambre en este campo magnético?

4. ¿Cuánto es el torque máximo sobre una bobina de 5 cm x 12 cm compuesta por 600 vueltas cuando lleva una corriente de 10µA en un campo magnético uniforme de 0.1 T

5. La espira rectangular de la figura puede girar alrededor del

eje Y y lleva una corriente de 10 A en el sentido indicado. Si la espira está en un campo magnético uniforme de

0.2 T paralelo al eje X, obtener la fuerza magnética sobre cada lado de la espira y el torque requerido para mantener a la espira en la posición que se muestra

Igual a la pregunta anterior pero el campo magnético es paralelo al eje Z.

¿Qué torque se requeriría si la espira pudiera girar alrededor de un eje paralelo al eje Y y que pase por su centro?


129

6. Una espira de alambre en forma de cuadrado de 0.1 m de

lace está en el plano XY. Por la espira circula una corriente

de 10 A. Si se aplica un campo magnético kxB 1.0=r

T, con x en metros. Obtener:

La fuerza resultante sobre la espira. El torque resultante respecto de O.

7. Un alambre conductor de sección transversal circular formado por un material que tiene una densidad de

masa de 2.7 g/cm3 se coloca en un campo magnético uniforme con el eje del alambre perpendicular a la dirección del campo. Una densidad de corriente de 2.4x106 A/m2 se establece en el alambre y el campo magnético se incrementa hasta que la fuerza magnética justo equilibra la fuerza gravitacional. Calcule el valor de B cuando esta condición se cumple.

8. Un alambre recto de 10 g y 5 cm se suspende con dos

resortes idénticos de tal manera que forman un circuito cerrado. Los resortes se alargan 0.5 cm debido al peso del alambre. El circuito tiene una resistencia total de 12 Ω y se aplica una d.d.p. de 24 V. Cuando se aplica un campo magnético dirigido hacia fuera de la página, se observa que los resortes se alargan 0.3 cm mas. ¿Cuál es la intensidad del campo magnético? La parte superior del circuito está fija.

9. La figura muestra un anillo de alambre de radio a

perpendicular a la dirección general de un campo magnético divergente simétrico radial. El campo magnético en el anillo es en todas partes de magnitud B, y forma un ángulo con la normal al plano del anillo en todos los puntos de este. Los alambres de alimentación torcidos no tienen ninguna influencia en el problema. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce el campo magnético sobre el anillo si éste lleva una corriente i como lo muestra la figura.

Aplicaciones: Motor Eléctrico

Aun cuando una bobina por la que circula una corriente eléctrica puede girar por la acción de un campo magnético, dicho giro es transitorio y acaba cuando el plano de la bobina se sitúa perpendicularmente al campo. Para conseguir un movimiento de rotación continuado es necesario que en cada media vuelta se invierta el sentido de la corriente que circula por la bobina, con lo que el nuevo par actuando en el sentido del movimiento provoca la siguiente media vuelta y así


130

sucesivamente. Aun cuando en la posición de la bobina perpendicular a las líneas de fuerza el momento es nulo, dicha orientación es sobrepasada debido a la inercia de la bobina en movimiento, lo que permite que el nuevo par entre en acción.

En un motor de corriente continua la bobina está arrollada sobre un cilindro formado por láminas de hierro; este conjunto constituye el rotor. El elemento conmutador encargado de invertir en cada media vuelta el sentido de la corriente eléctrica que circula por la bobina, está formado por dos piezas semicilíndricas o delgas, aisladas eléctricamente entre sí, solidarias al rotor y en contacto con unas varillas de grafito o escobillas, cuya misión es mantener el paso de la corriente del generador a la bobina. Con frecuencia el campo magnético es producido por un electroimán alimentado también por corriente eléctrica. Galvanómetro de bobina móvil

Los galvanómetros son aparatos que se emplean para indicar el paso de corriente eléctrica por un circuito y para la medida precisa de su intensidad.

El principio de funcionamiento de estos medidores se basan en los efectos magnéticos o térmicos causados por el paso de la corriente eléctrica.

En el caso de los magnéticos el efecto de la corriente eléctrica se observa en el giro de un imán móvil o de una bobina (cuadro) móvil.

En un galvanómetro de imán móvil la aguja indicadora está asociada a un imán que se encuentra situado en el interior de una bobina por la que circula la corriente que tratamos de medir y que crea un campo magnético que, dependiendo del sentido de la misma, produce una atracción o repulsión del imán proporcional a la intensidad de dicha corriente.

En el galvanómetro de cuadro móvil el efecto es similar, difiriendo únicamente en que en este caso la aguja indicadora está asociada a una pequeña bobina, por la que circula la corriente a medir y que se encuentra en el seno del campo magnético producido por un imán fijo.

La expresión del torque magnético aplicado a una bobina de N espiras cada una de área A, resulta de multiplicar por el número de espiras el momento de una sola, es decir:

αττ NIABsenBm =→×=rrr

que indica que el momento τ y la intensidad de corriente I son directamente proporcionales. En un galvanómetro de cuadro móvil una aguja cuyo extremo señala una escala graduada se mueve junto con una bobina, y un resorte en espiral se opone a cualquier movimiento de giro, manteniendo la aguja, en ausencia de corriente, en el cero de la escala. Si se hace pasar por la bobina una corriente eléctrica, el par de las fuerzas magnéticas deforman el resorte oponiéndose al par recuperador de éste. Cuando sus momentos respectivos se igualan, la aguja se detiene en una posición que estará tanto más desplazada del origen de la escala cuanto mayor sea la intensidad de corriente que circula por el galvanómetro.

El equilibrio se produce cuando el torque magnético sea igual al torque restaurador es decir:

kNIABsenkNIABsen αθθα =∆→∆=

Donde el ángulo que gira la aguja θ∆ es directamente proporcional a la intensidad de la corriente que circula por la bobina móvil.


131

Unidad 8: Campo Magnético generado por la corriente eléctrica

8.1.- Introducción

Aun cuando los filósofos griegos presintieron que las fuerzas eléctricas y las magnéticas tenían unorigen común, la experimentación desarrollada desde Gilbert (1544-1603) en torno a este tipo de fenómenosno reveló ningún resultado que indicara que un cuerpo cargado en reposo es atraído o repelido por un imán.

A pesar de su similitud, los fenómenos eléctricos parecían independientes de los fenómenosmagnéticos. Esta era la opinión de los colegas de Christian Oersted (1777-1851) y probablemente la suyapropia hasta que un día de 1819, al finalizar una clase práctica en la Universidad de Copenhague, fueprotagonista de un descubrimiento que lo haría famoso.

Al acercar una aguja imantada a un hilo de platino por el que circulaba corriente advirtió, perplejo,que la aguja efectuaba una gran oscilación hasta situarse inmediatamente perpendicular al hilo. Al invertir el sentido de la corriente, la aguja invirtió también su orientación. Este experimento, considerado por algunoscomo fortuito y por otros como intencionado, constituyó la primera demostración de la relación existenteentre la electricidad y el magnetismo.

Aunque las cargas eléctricas en reposo carecen de efectos magnéticos, las corrientes eléctricas, es decir, las cargas en movimiento, crean campos magnéticos y se comportan, por lo tanto, como imanes.

El origen del magnetismo natural

El hecho de que los campos magnéticos producidos por los imanes fueran semejantes a losproducidos por las corrientes eléctricas llevó a Ampère a explicar el magnetismo natural en términos decorrientes eléctricas. Según este físico francés, en el interior de los materiales existirían unas corrienteseléctricas microscópicas circulares de resistencia nula y, por tanto, de duración indefinida; cada una de estascorrientes produciría un campo magnético elemental y la suma de todos ellos explicaría las propiedadesmagnéticas de los materiales.

Así, en los imanes las orientaciones de esas corrientes circulares serían todas paralelas y el efecto conjunto, sería máximo. En el resto, al estar tales corrientes orientadas al azar se compensarían mutuamentesus efectos magnéticos y darían lugar a un campo resultante prácticamente nulo.

La imanación del hierro fue explicada por Ampère en la siguiente forma: en este tipo de materiales el campo magnético exterior podría orientar las corrientes elementales paralelamente al campo de modo que al desaparecer éste quedarían ordenadas como en un imán.

De acuerdo con los conocimientos actuales sobre la composición de la materia, los electrones en losátomos se comportan efectivamente como pequeños anillos de corriente. Junto a su movimiento orbital entorno al núcleo, cada electrón efectúa una especie de rotación en torno a sí mismo denominada espín; ambospueden contribuir al magnetismo de cada átomo y todos los átomos al magnetismo del material. En la época de Ampère se ignoraba la existencia del electrón; su hipótesis de las corrientes circulares se adelantó en tres cuartos de siglo a la moderna teoría atómica, por lo que puede ser considerada como una genial anticipacióncientífica.

PROFESORES : M. CECILIA FUENTES V.-JAIME O. CARTES M. – ALFONSO LLANCAQUEO H.

132

8.2.- Campo magnético generado por una partícula cargada móvil

Experimentalmente se puede demostrar que si una partícula cargada se mueve con velocidad v, esta partículagenera un campo magnético B en un punto del espacio que tiene las siguientes características:

La intensidad del campo magnético es directamente proporcional con la cantidad de carga de la partícula.La intensidad del campo magnético es directamente proporcional con la velocidad de la partícula.La intensidad del campo magnético disminuye conforme aumenta la distancia a la partícula, es decir B esinversamente proporcional con el cuadrado de la distancia. La intensidad del campo magnético es directamente proporcional con el sen , siendo el ángulo entre lavelocidad de la partícula y la posición del punto P del espacio.En la línea de movimiento de la partícula el campo magnético es ceroLa dirección del campo magnético es perpendicular al plano definido por la línea de movimiento de lapartícula y la posición del punto P, por lo tanto las líneas de campo magnético son círculos coaxiales a ladirección de movimiento de la partícula (figura (b)

Lo anterior se resume en lasiguiente ecuación en la cual los desafiamos a que compare con el campoeléctrico generado por una partícula cargada

Nota:

ATm7

0 104

Es la permeabilidadmagnética del vacío


133

8.3.- Campo magnético generado por corrientes eléctricas: Ley de Biot-Savart.

Poco tiempo después del descubrimiento de Oersted, Jean Baptiste Biot y Felix Savart informaronque un conductor con corriente ejerce fuerzas sobre un imán. De sus resultados experimentales, Biot y Savartfueron capaces de llegar a una expresión de la que se obtiene el campo magnético en un punto dado delespacio en términos de la corriente que genera el campo.

Se deducirá el campo magnético generado por un filamento que conduce corriente eléctrica a partirdel campo generado por una partícula móvil

Sea dq, la carga móvil en un elemento infinitesimal de conductor, y que en el caso de un filamento,como ya se demostró es: nidlvq ˆ

Sea , al campo magnético generado por un elemento infinitesimal de conductor, como si el restodel conductor no existiera (principio de superposición para los efectos de la carga eléctrica) entonces:

Bd

20 ˆˆ

4 rrnidlBd

Recuerde que:rrrrr donde r es la posición del punto P respecto del origen del sistema de

referencia elegido y r es la posición del segmento de conductor respecto del mismo sistema de referencia.


134

Ejemplo 1.- Cálculo del campo magnético generado por un conductor recto

Sea un conductor recto de longitud L. Obtener el campo magnético B en un punto del plano bisectoral conductor.

En la solución es convenientedibujar la distribución de corrientes en unsistema de referencias apropiado. En estecaso el eje Y coincide con el conductor y el origen del sistema de referencia está en el centro del conductor. El punto P, donde sedesea calcular el campo está en el eje X.

Identificar en el diagrama cadatérmino que aparece en la ecuación de Biot-Savart.

Expresar según el sistema dereferencia los términos necesarios:

kyx

xrxn

yxjyixr

jyrixrjndydl

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

22

22

se reemplazan los datos anteriores en la ecuación de la ley de Biot-Savart


135

kLxx

iLB

kyx

dyixB

kyx

xdyBd

L

L

ˆ42

ˆ4

ˆ4

220

2

2

322

0

322

0

Si L>>x , se considera al conductor como infinitamente largo y laecuación anterior se simplifica a:

kxiB ˆ

20

Suponga que rota el eje X en torno del eje Y, ello le permitevisualizar que las líneas de campo magnético son circulares en tornodel conductor.

La ecuación anterior se generaliza en coordenadas cilíndricas:

ˆ2

0

ri

B

Donde i es la intensidad de la corriente eléctrica en un conductor muylargo, r es la distancia al conductor y las líneas de campo magnético soncirculares en el sentido que se puede predecir mediante la regla de lamano derecha.

Ejemplo Nº 2.- Fuerza magnética entre conductores

Como una corriente en un conductor crea su propio campo magnético, es fácil entender que dosconductores que lleven corriente ejercerán fuerzas magnéticas uno sobre el otro. Considérese dos alambreslargos, rectos y paralelos separados una distancia d y que llevan corriente I e I’ en la misma dirección, comose muestra en la figura. Se puede determinar fácilmente la fuerza sobre uno de los alambres debida al campomagnético producido por el otro alambre.

El conductor I’ se encuentra ubicado en el campo magnético generado por el conductor con corrienteI

El conductor superior I’ está en la dirección de k


136

Recordemos que la fuerza que un campo magnético ejerce en un conductor que lleva corriente es:

dlBkiFdlBniFf

212ˆˆ

Donde es el campo magnético generado por el conductor I, en todo punto donde se ubica el conductor I’2B

idI

B ˆ2

02 , reemplazando, j

dLIIF ˆ

20

12 , es decir el conductor I atrae al conductor I’. este

resultado demuestra que conductores que llevan corrientes en el mismo sentido se atraen, luego si llevan corrientes en sentido opuesto se repelen.

Ejemplo Nº 3.- Calculo del Campo magnético producido por una corriente circular en un punto de sueje.

En muchos dispositivos que utilizanuna corriente para crear un campomagnético, tales como un electroimán o untransformador, el hilo que transporta la corriente está arrollado en forma de bobinaformada por muchas espiras. Estudiaremos,en primer lugar, el campo creado por unaespira.

Sea una espira circular de radio R,por la que circula corriente I en sentidoantihorario. La espira se ubica en el plano Z=0 con su centro en el origen del sistema de

referencia. Obtener el campo magnético B en un punto del eje Z.


137

Identificar los datos de la ecuación de Biot-Savart enfunción del problema

Rddl , Porque es un segmento infinitesimaldel conductor, el cual es un arco decircunferencia de radio R que suscribe un ángulod .

jisenn ˆcosˆˆ el cual es un vector unitario tangente al conductor en dl, en el sentidode la corriente

Como kzr ˆ es la posición del punto dondese calcula el campo magnético, y

jRseniRr ˆˆcos es la posición delsegmento dl, entonces

22

ˆˆcosˆˆ

RzjRseniRkzr

22

ˆˆˆcosˆˆ

RzkRjzsenizrn

Se reemplazan de Biot-Savart:los datos en la ecuación

322

0ˆ~ˆcos

4 Rz

kRjzseniziRduBd

Se integra donde varía entre 0 y 2 y se obtiene:

kRz

iRB ˆ2

322

20

8.4.- Ejercicios propuestos Ley de Biot-Savart

1. Mediante un esquema represente cada uno de los términos que aparecen en la ley de Biot-Savart:

30

4 rr

rrlidBd P

2. Compare la ley de Biot-Savart con la ecuación que permite calcular el campo eléctrico conocida la distribuciónlineal de cargas:

304 rr

rrdlEd P

3. Sea una bobina circular de N vueltas, muy angosta, de radio R por la que circula una corriente i. Obtenga elcampo magnético generado por la bobina en un punto cualquiera del eje axial.

4. Una bobina cuadrada de la lado a, lleva una corriente i. Obtenga el campo magnético en el centro de la bobina.


138

Una gran bobina circular de radio R y N vueltas compactas, estáubicada en una plano vertical, en la dirección norte sur, comomuestra la figura. Cuando fluye corriente i por la bobina, unapequeña brújula ubicada en su centro gira un ángulo ¿En qué dirección se orienta la brújula si no hay corriente en labobina?

¿Para que valor de i, el campo magnético generado por la bobinatiene igual intensidad que el campo magnético terrestre?

6. Una partícula de masa m y carga q, está en órbita circular normal a un campo magnético externo B, Obtenga elcampo magnético generado por la carga eléctrica en el centro de su órbita.

7. Un aro no conductor de radio R, tiene una densidad de carga uniforme. El aro gira con velocidad angular entorno de su eje central. Obtenga el campo magnético en el centro del aro.

8. En el ejercicio 7, reemplace el aro por un disco con densidad de carga uniforme .

9. Las bobinas de Helmholtz son dos grandes bobinas circularescon N vueltas enrolladas compactamente de radio R. Loscentros de las bobinas están separadas por R, como se muestra en la figura. Halle el campo magnético a lo largo dela línea que une los centros en función de x, cuando por lasbobinas circula corriente i, en el mismo sentido.

10. Sea una bobina recta de longitud L, ubicada enel eje z, entre –L/2 y +L/2, de N espirasdistribuidas uniformemente, de sección transversal circular de radio R. Obtenga elcampo magnético generado por la bobina entodo punto del eje z, cuando por la bobinacircula una corriente i.. Analice el resultado si L>>R.

11. Evalúe el resultado anterior considerando queL=20 cm, R= 2 cm I= 1 A, para x en intervalos de 1.0 cm. Grafique Ben función de X y analícelo.

12. Calcula el campo magnético en el origen de coordenadas creado por elconductor de la figura.


Apuntes Campo Magnetico

Documents

Transcript of Apuntes Campo Magnetico