7. LA DERIVADA

7.1 LA RECTA TANGENTE

En geometra plana se dene la tangente a una circunferencia en un punto,como la recta que intersecta la curva solamente en ese punto. Sin embargo, estadenicin en general no corresponde a la idea de que la tangente a una curva enun punto P es la recta que pasa por P y que mejor aproxima la curva cercadel punto. Basta considerar los siguientes casos

-2 2 4 6 8

-2

2

4

6

8

x

y

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

x

y

En el primer caso, la recta intersecta la curva en un punto, pero no estangente. En el segundo caso, la recta aproxima la curva cerca de un puntopero la intersecta en dos puntos.

Examinamos la situacin de otra manera.La pendiente de una recta que pasa por los puntos de coordenadas (x1; y1)

y (x2; y2), x1 6= x2 es

m = y2y1x2x1

y, si la ecuacin de la recta es y = g (x) entonces

m = g(x2)g(x1)x2x1 .

Para hallar, por ejemplo, la ecuacin de la recta tangente a la semicircun-ferencia superior en un punto P (a; b), basta determinar su pendiente, lo cualno se puede hacer en la forma que se acaba de describir pues solo se conoce unpunto de la recta, el punto P .

1

Usamos entonces una recta cuya pendiente se aproxime a la pendiente de larecta buscada y que podamos calcular: una recta secante a la curva, que pasepor P y por un punto Q (x; y) cercano a P .

-2 2 4 6 8 10 12 14-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

-2 2 4 6 8 10 12 14-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

La pendiente de la secante es

m = ybxa

o, si y = f (x) es la ecuacin de la semicircunferencia,

m = f(x)f(a)xa

Este cociente es el cociente de diferencias, cociente de incrementos,cociente de Fermat o razn de cambio.Supongamos que Q se aproxima a P a lo largo de la grca

2

(V er animacion 7 1)

La pendiente de la secante que pasa por P y Q, efectivamente se aproximaa la pendiente de la tangente en P sea que Q se acerque a P por la derecha opor la izquierda.Notemos que x se puede expresar en la forma

x = a+ h

donde h = x a y h es positivo si Q se halla a la derecha de P y h esnegativo si Q se halla a la izquierda. El hecho de que Q se acerque a P , sea porla izquierda o sea por la derecha, corresponde al hecho de que h se acerque a 0.As tenemos que la pendiente de la recta tangente es

l{mh!0

f(a+h)f(a)h

De manera ms general tenemos la siguiente

Denicin. La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a; f (a))es la recta que pasa por P y tiene pendiente

m =l{mh!0f(a+h)f(a)

h

si este lmite existe. La tangente es la recta de ecuacin x = a si

l{mh!0+

f(a+h)f(a)h es 1 o 1 y

l{mh!0

f(a+h)f(a)h es 1 o 1.

Si no se da uno de estos los casos anteriores, entonces no existe la rectatangente a la curva en P .La pendiente de la curva en P es la pendiente de la recta tangente en P .

EJEMPLOS

1. La pendiente de la recta tangente a la grca de la funcin f (x) = x2+1en el punto (1; 2) es:

m =l{mh!0f(1+h)f(1)

h =l{mh!0

(1+h)2+1(2)h =

l{mh!0

h(2+h)h =

l{mh!0 2 + h = 2

La ecuacin de la recta tangente a la curva en ese punto es

3

y2x1 = 2, es decir, y = 2x

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

x

y

y = x2 + 1

Ms generalmente, la pendiente de la recta tangente en el punto (a; f (a)) es

m =l{mh!0f(a+h)f(a)

h =l{mh!0

(a+h)2+1(a2+1)h

=l{mh!0h(2a+h)

h =l{mh!0 2a+ h = 2a

o de otra manera, la pendiente en el punto (x; f (x)) es 2x. La funcing (x) = 2x expresa entonces la frmula de la pendiente, que depende de x. As,las tangentes en los puntos (2; 5), (0; 0) y (2; 5) son respectivamente 4; 0 y 4:

2. La pendiente de la recta tangente a la curva y = 3px en el punto (a; 3

pa)

es

m =l{mh!03pa+h 3pa

h =l{mh!0

3pa+hpa

h

3pa+h2+ 3pa+hpa+pa23pa+h2+ 3pa+hpa+ 3pa2

=l{mh!0

3pa+h3 3pa3h( 3pa+h

2+ 3pa+h 3

pa 3pa2)

=l{mh!01

3pa+h2+ 3pa+h 3pa+ 3pa2 =1

3 3pa2

La ecuacin de la recta tangente en el punto es entonces

y 3paxa =

13 3pa2

si a 6= 0 y es x = 0 si a = 0

3. Para la curva y = 1x , la pendiente de la tangente en el puntoa; 1a

, a 6= 0

es

m =l{mh!01

a+h 1ah =

l{mh!0

hh(a+h)a =

l{mh!0

1(a+h)a = 1a2

4

Denicin. Sea P un punto de una curva cuya ecuacin es y = f (x).La recta normal a la curva en el punto P es la recta que pasa por P y esperpendicular a la recta tangente a la curva en el punto.La pendiente a la recta normal a la curva en P es - 1m sim 6= 0 es la pendiente

de la tangente en P .(ver captulo 5)

EJEMPLODe acuerdo con el anterior ejemplo 3, la recta tangente a la curva de ecuacin

y = 1x en el punto2; 12

es m = 122 , entonces la pendiente de la recta normal

a la curva en ese punto es 4 y su ecuacin es

y 12x2 = 4, esto es 8x 2y = 15

-1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

x

y

y = 1x

Ninguna recta vertical es normal a esta curva.

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