LA FUNCIÓN DERIVADA A PARTIR DE PROPIEDADES GEOMÉTRICAS CURIOSAS DE LA RECTA TANGENTE,

UTILIZANDO TECNOLOGÍA.

Autores:

Eduardo Tellechea ArmentaMartha Gabriela Robles Arredondo

Universidad de Sonora, Hermosillo, Sonora, MÉXICO

Toluca, Estado de México Enero de 2009

Congreso Nacional de Matemática Educativa

Introducción

Con la ayuda del Applet Descartes, se construyen archivos en los que se muestra la gráfica de una función y la recta tangente en un punto, construida ésta como aproximación de secantes. Se diseñan actividades escritas para que el estudiante, de manera guiada, interactúe con los archivos descubriendo que, para las funciones más importantes del cálculo, es posible encontrar propiedades gráficas de las rectas tangentes que nos permitirán determinar su pendiente, es decir la derivada de la función en el punto dado y, posteriormente, generalizarlo para obtener la expresión analítica de la función derivada.

Consideramos que actividades como ésta, en las que se promueve la articulación de los registros gráfico, numérico y algebraico, favorecen en el estudiante el desarrollo de habilidades de exploración, generalización y conjetura, contribuyendo a que el aprendizaje sea más significativo.

Es importante destacar que lo sencillo del diseño de estos Applets, fuerza al estudiante a ser él mismo quien descubra el conocimiento.

Objetivo general

Potenciar el uso del Applet Descartes en la enseñanza del Cálculo, diseñando ambientes computacionales interactivos que le permitan al alumno interactuar dinámicamente con las representaciones gráficas y numéricas proporcionadas por la computadora, al nivel de poder modificarlas, como una manera de detectar patrones de comportamiento y formular conjeturas sobre los objetos representados y sus características, ayudando, de esta manera a crear una base de significación más concreta, que permitan posteriormente su análisis a un nivel más abstracto.

Objetivo particular

Presentar un acercamiento gráfico interactivo al tema de la Derivada, con el fin de que el estudiante explore el comportamiento de las rectas tangentes, que tanto de manera puntual como global, le permita calcular sus pendientes, es decir la derivada en cada punto. Se aprovechan las capacidades del software para que el alumno interactúe de manera gráfica y numérica con la computadora al nivel de poder comprobar resultados, predecir propiedades y conjeturar sobre situaciones de más generalidad.

Descripción del ArchivoSe construye, un archivo en el que se muestra la gráfica de una función y = f(x), modificable en pantalla, así como una recta secante que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x+h, f(x+h)) ambos también modificables en pantalla. Cuando hacemos tender h a cero, (tomamos h = 0.000001) visualizamos la recta tangente y su intersección con el eje de las abscisas.

Recta tangente

Actividad 1

Se le proporciona al alumno un archivo, como el de la figura, en el que se muestra la gráfica de la función f(x) = x2 y se le pide que interactúe con él, analizando el corte de las rectas tangentes con el eje de las abscisas en varios casos particulares.

x f´(x)

0 0

1 2

2 4

3 6

Se le pide que anote en una tabla la pendiente de la recta tangente en algunos casos explorados.

Conjeturando que:xxf 2)('

xdx

xd2

)( 2

Este resultado se generaliza para cualquier parábola de la forma f(x) = a x2, obteniéndose la correspondiente derivada.

axx

ax

x

ax

AdyacenteCateto

opuestoCatetomxf 2

2

2/)('

22

También podemos encontrar la pendiente de la recta tangente “en cualquier punto x”, de la siguiente manera

xx

x

x

x

xx

x

AdyacenteCateto

opuestoCatetomxf 2

2

2/2/

0)('

222

axdx

axd2

)( 2

Una vez caracterizado el corte de la recta tangente a la parábola, podemos calcular la derivada de cualquier función cuadrática, llevándola a la forma f (x) = a(x-b)2 + c, completando trinomio cuadrado perfecto, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Encuentre la derivada de la función f (x) = x2 - 2x + 3

f (x) = x2 - 2x + 3 = (x2 - 2x + 1) + 2 = (x – 1)2 + 2

Completando TCP

22)1(2)1(2/1

)1()32(

22

xxx

xxx

dx

d

xxx

x

xx

xxxx

mxf2

1

222)('

Asimismo, el alumno descubrirá la derivada de f(x) = , analizando la intersección de la recta tangente con el eje de las abscisas,

x

descubriendo, como en el caso anterior, la función derivada:

xdx

xd

2

1)(

Una vez exploradas las derivadas de parábolas, le pedimos al estudiante haga exploraciones similares para la función cúbica f (x) = x3

Observando que el corte de la tangente con el eje de las abscisas se da en el punto situado un tercio del punto x

233

33/)3/2(

)´( xx

x

xx

xmxf

23

3xdx

dx

descubriendo, como en el caso anterior, la función derivada:

Asimismo, el alumno descubrirá la derivada de f(x) = , analizando la intersección de la recta tangente con el eje de las abscisas,

3 x

3 2

3

3 2

3/213/13

3

1)(

3

1

3

1

3

1

3)´(

xx

dx

d

xxx

x

xmxf

Actividad 2

Se le proporciona al alumno un archivo, como el de la figura, en el que se muestra la gráfica de la función exponencial f(x) = ex y se le pide que haga una exploración similar a las anteriores.

En esta exploración, el alumno descubrirá que el corte de la tangente con el eje de las abscisas se da una unidad a la izquierda del punto x, obteniendo:

xx

x ee

medx

d

1)( xx ee

dx

d)(

De manera análoga, el corte de la rectas tangentes a la gráfica de la función f(x) = e2x

xx

x ee

medx

d 22

2 22/1

)( xx ee

dx

d 22 2)(

Corta al eje de las abscisas media unidad a la izquierda del punto x, obteniéndose:

Análogamente el alumno descubrirá que:

realpara)( aaeedx

d axax

Si utilizamos el hecho geométrico de que las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a la recta y = x, podemos encontrar la función derivada de la función logaritmo natural, como se observa en la siguiente figura

xx

dx

d 1)(ln

Un Trazador de la Función Derivada

Podemos aprovechar aún más las capacidades del APPLET DESCARTES para construir un dispositivo que trace la función derivada.

Con esta exploración, podemos conducir al alumno al descubrimiento de:

• Expresiones analíticas de la Derivada

• Monotonía y el signo de la derivada

• Concavidad y el signo de la segunda derivada

• y … hasta donde alcance nuestro ingenio como profesores

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN

• Criterios para Máximos y Mínimos

Bibliografía

ABREU, J.L.; OLIVERÓ, M. (2003) Applet Descartes (software), Ministerio de Educación y Cultura de España. http://descartes.cnice.mec.es/

Font, V. (2008). Rappesentazioni attivate nel calcolo Della derivata, in G. Arrigo (ed.) Atti del Convegno di didáctica Della matematica 2008 (13-24). Alta Scuola Pedagogica: Locarno, Suiza. Disponible en: http://www.webpersonal.net/vfont/VFontLocarno.pdf

Font, V. (2001). Expresiones Simbólicas a partir de gráficas. El caso de la parábola. Revista EMA. 6(2) pp 180-200. Disponible en: http://www.webpersonal.net/vfont/(04)RD.pdf

Robles, A. M.G. y Tellechea A. E. (2004). Un Aparato Virtual para trazar la función Derivada y su utilización en  la enseñanza del Cálculo Diferencial.Página Web del Sitio del Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia.Madrid, España.http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funcion_derivada_Tellechea/index.htm

Tellechea, A. E. (2002) Un trazador de la función derivada: reconocimiento visual de expresiones analíticas de las derivadas de algunas funciones. Memorias del I Congreso Iberoamericano de Cabri, Santiago de Chile. Disponible en http://www.iberocabri.org/FuncionDerivadaEduardoTellechea.pdf

Tellechea, A. E. y Soto M, J.L. (2002). La derivada como herramienta para explorar la gráfica de una función,: un acercamiento con CabriMemorias del X Congreso THALES sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas.Almería, España.