La divina proporcion las formas geometricas

1. Carmen BonellLa divina proporcinLas formas geomtricas EDICIONS UPC

2. crdits18/4/00 16:33 Pgina 1Primera edicin: septiembre de 1994Segunda edicin ampliada: febrero de 2000Con la colaboracin del Servei de Publicacions de la UPCDiseo de la cubierta: Manuel AndreuMaquetacin: Josep Maldonado Carmen Bonell, 1999 Edicions UPC, 1999Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 31, 08034 BarcelonaTel. 934 016 883 Fax 934 015 885Edicions virtuals: www.edicionsupc.ese-mail: [email protected]: CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord)La Cup. C. Gran Capit s/n, 08034 BarcelonaDepsito legal: B-4.904-99ISBN: 84-8301-287-1Queda rigurosamente prohibida, sin la autorizacin escrita de los titulares del copy-right, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial deesta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tra-tamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prs-tamo pblicos, as como la exportacin e importacin de ejemplares para su distri-bucin y venta fuera del mbito de la Unin Europea. 3. portadilla 18/4/00 16:24 Pgina 1K a l ya n a C h a k ra (Rueda de la for tuna)Rajasthan, s. XIX, tinta y color s/p. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 4. prlogo 18/4/00 16:49Pgina 9NDICEPRLOGO 11I LA DIVINA PROPORCIN 15I. I FORTUNAHISTRICA DE LA DIVINA PROPORCIN 26IIFORMASGEOMTRICAS, ARQUETIPOS SIMBLICOS 53III LA ACCIN DEL DEMIURGO 83IVEL ABISMO DE LA SEMILLA 111BIBLIOGRAFASELECCIONADA 124 Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 5. prlogo 18/4/00 16:49 Pgina 11PRLOGOEl alma se sienteempavorecida y tiemblaa la vista de lo bello, porquesiente que evoca en s mismaalgo que no ha adquirido atravs de los sentidos sinoque siempre haba estadodepositado all dentro enuna regin profundamenteinconsciente.PlatnFedroUno de los ms grandesmisterios del universo esel hecho de que no sea unmisterio. Somos capaces deentender y predecir sufuncionamiento hasta elpunto que si un hombrenormal de la Edad Mediafuese transportado a nuestrosdas pensara que ramosmagos. La razn de quehayamos tenido tanto xitoen desvelar el funcionamientointerno del universo es quehemos descubierto el lenguajeen el que parece estar escritoel libro de la naturaleza.John D. Barrow1 Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 6. prlogo 18/4/00 16:49 Pgina 12 12Prlogo Estos tres textos, elaborados en momentos distintos y con finalidades distintas, son fruto de la fascinacin por las formas geomtricas; fascinacin a la que no es ajena la esttica, porque estas formas produ- cen de un modo completamente directo, la sensacin de algo muy bello, que no requiere justificacin ni explicacin alguna.2 Las formas geomtricas son formas activas, orgnicas, acumulativas; son configuraciones con capacidad organizativa que provocan, que mue- ven a la imaginacin. Son formas fundamentales que estn presentes en todos los tiempos, en todas las artes y son comunes a todas las civilizaciones. Ahora bien: por qu la geometra? Por qu las propiedades matemticas del tringulo, del crculo, del cuadrado, de la esfera, del dodecaedro se ajustan tan excelentemente a toda una serie de conceptos filosficos y teolgicos? Son las formas geomtricas nicamente una creacin instrumental de la mente humana para comprender el mundo o tambin existen fuera de ella? En el libro sptimo de La Repblica, Scrates, despus de comentar con Glaucn lo til y excelente que resulta la ciencia del clculo, porque puede aplicarse a la guerra y a facilitar una vuelta del alma misma al mundo de la verdad y de la esencia, aade: No creo que ninguno de los que se dedican a la geometra, por poca prctica que tengan de ella, vayan a ponernos en duda que esta ciencia ofrece perspectivas contrarias a las mantenidas por sus ver- daderos usuarios.Cmo? pregunt (Glaucn). Dicen muchas cosas que por fuerza resultan ridculas. Pues hablan como si realmente actuasen y como si sus palabras tuviesen tan solo un fin prctico, adornando su lenguaje de trminos como cuadrar, prolongar y adicionar. Y, sin embargo, toda esta ciencia se aplica fundamentalmente al conocimiento. () Esta es una ciencia del conocimiento del ser, pero no de lo que est sujeto a la generacin y a la muerte.Conforme con todo ello dijo Glaucn pues sin duda la geometra es una ciencia de lo que siempre es. Por tanto, mi buen amigo, conducir al alma hacia la verdad 1 J. D. Barrow: Por qu el mundo es matemtico?, Barcelona, Grijalbo, y dispondr la mente del filsofo para que eleve su mirada hacia arri- 1997, p. 11.ba en vez de dirigirla a las cosas de abajo, que ahora contemplamos 2 W. Heisenberg: La ciencia y lo sin deber hacerlo.3 bello, en K. Wilber (ed.): Cuestiones Cunticas, Barcelona, Kairs, 1991; Pitgoras y sus discpulos y, posteriormente, Platn promovieron p. 92. En ese sentido vase tambin J.la geometra del harpedonapta egipcio desde su primitiva condicin D. Barrow, op. cit. de saber prctico a la condicin de saber especulativo y abstracto: 3 Platn: La Repblica VII, 526e- con ellos geometra no ser slo agrimensura sino conocimiento de 527b, en Obras Completas, Madrid, Aguilar, 1979; pp. 785-86.los principios superiores. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 7. prlogo 18/4/00 16:49 Pgina 13La divina proporcin. Las formas geomtricas 13 Siglos despus, Roger Penrose se pregunta: Es la matemtica 4 R. Penrose: La nueva mente del invencin o descubrimiento? Cuando los matemticos obtienen sus emperador, Madrid, Mondadori, 1991; p. 134. resultados estn produciendo solamente elaboradas construcciones 5 Ibid., pp. 157-58. mentales que no tienen autntica realidad, pero cuyo poder y elegan- 6 Agradezco a Pablo Palazuelo sus cia bastan simplemente para engaar incluso a sus inventores hacin- comentarios y precisiones, siempre doles creer que estas construcciones mentales son reales? O estnpenetrantes y certeros, que han sido descubriendo realmente verdades que estaban ya ah, verdades cuya fuente de enriquecimiento intelectual y, a la vez, una valiosa gua en la ela- existencia es independiente de las actividades de los matemticos?.4 boracin final del texto. Pregunta a la que responde con estas palabras: He descrito breve- mente las tres corrientes principales de la filosofa matemtica actual: formalismo, platonismo e intuicionismo. No he ocultado mis fuertes simpatas por el punto de vista platnico de que la verdad matemtica es absoluta, externa y eterna, y no se basa en criterios hechos por el hombre; y que los objetos matemticos tienen una existencia intemporal por s mismos, independiente de la sociedad humana o de los objetos fsicos particulares.5 Puesto que las formas geomtricas son arquetipos, presencias eternas que no slo se transmiten tradicionalmente sino que renacen espontneamente, he rastreado algunas de ellas (el rectngulo , el tringulo, el cuadrado, el crculo), desde las tradiciones orientales hasta Platn y su dilogo Timeo, que explica cmo el universo est organizado matemtica y armnicamente. Septiembre de 1994 En esta segunda edicin, en la que he ampliado los captulos I y II, he querido aadir un texto escrito recientemente,6 El abismo de la semilla, sobre las investigaciones cientficas de Goethe. Si la pre- misa fundamental de los tres artculos primeros es que las leyes de la matemtica son o, mejor dicho, parecen ser las leyes de la naturaleza, unas leyes que el ser humano debe conocer por su propio inters y el de su trabajo, la experiencia de Goethe ilumina una va de acceso a la naturaleza que, ms que nueva, pareca olvidada. Y es especialmente importante invocarla hoy porque ya no podemos desa- tender impunemente lo que, con insistencia, reafirma la ciencia actual: no somos ms que naturaleza. Febrero de 1999 Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 8. cap. 4 9/5/00 08:28 Pgina 124124 Bibliografa seleccionadaI LA DIVINA PROPORCINBEOTHY, E. La Srie dOr, Pars, Chanth, 1939.BOULEAU, CH. Charpentes. La gomtrie secrte des peintres, Pars, Ed. duSeuil, 1963. (Vers. cast. Tramas. La geometra secreta de los pintores, Madrid,Akal, 1996).COOK, TH. The Curves of Life, Nueva York, Dover, 1979.FUNK-HELLET, C. 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Desde los tiempos antiguos el perfeccionamiento de la arquitectura depende del establecimiento de interrelaciones armnicas dentro de un mismo edificio, las obras que consideramos maestras presentan una cadena de proporciones afines entre ellas. De entre los diversos sistemas proporcionales hay uno que ha jugado un papel muy destacado la Seccin urea: 1 / 1,618. Al encontrarse este nmero proporcional entre las formas animales y vegetales nos acerca a la naturaleza La proporcin es lo que puede purificar la arquitectura con la armona matemtica del pasado y reconciliarla con la naturaleza. Steven Holl Conexin cultural y modernidad Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 14. cap. 19/5/00 08:20 Pgina 1616I La divina proporcinUna de las operaciones ms sencillas que existen para afrontar eltema de la proporcin consiste en dividir un segmento de lnea de laforma asimtrica ms simple:Fa) Dado el segmento AB, se sita sobre BF, perpendicular aDAB, un segmento BD = AB/2, y se une A con D. Con un com-E ps, tomando como centro D, se obtiene DE = DB. Despustomando como centro A, se traza el arco de crculo EC, sien-do C el punto buscado. A aCb B La longitud AB se ha dividido en dos partes iguales de forma quela mayor es a la menor como la suma de las dos es a la mayor. AC/CB = AB/AC a/b = a+b/aEsta proporcin, que corresponde a la particin ms simple deuna magnitud en dos partes desiguales o particin ms lgica, es loque Euclides en el libro VI, proposicin 30, de los Elementos, plan-tea como dividir una recta dada en extrema y media razn, y defi-ne as al inicio del mismo libro (def. 3): Se dice que una recta estdividida en extrema y media razn, cuando la totalidad del segmen-to es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor.1Cuando la totalidad del segmento constituye la unidad, la longituddel segmento mayor es 0,618 y la del segmento menor es 0,382.Hay otra manera sencilla de encontrar esta proporcin utilizandoregla y comps, y que no parte de la totalidad del segmento sino delsegmento mayor:E Db) Dado el segmento AC, construir el cuadrado ACDE, buscarel punto medio h del lado AC, unir h con D. Con h como cen-tro, trazar desde D el arco de crculo que interseccione la pro-longacin de AC, con lo que se obtiene el punto B. Tenemosh que: AC/CB = AB/ACa/b = a+b/a Aa Cb BLa relacin a/b resultante de la divisin de una recta en media y1 Citado por P. H. Michel: Deextrema razn ha recibido diferentes denominaciones en el trans-Pythagore Euclide. Contribution lHistoire des Mathmatiquescurso del tiempo, pero las definitivas le fueron otorgadas en elPreuclidiennes, Pars, Les BellesRenacimiento. Luca Pacioli la calific como Divina Proporcin enLettres, 1950; pp. 530-531. Vers.cast.: Elementos I-IV, Madrid,su obra De Divina Proportione, publicada en Venecia en 1509,2 enGredos, 1991. la que justifica tal denominacin en base a las correspondencias que2 L. Pacioli: La Divina Proporcin; encuentra entre esta proporcin y la divinidad misma. Destaca cinco:Buenos Aires, Losada, 1959. (Paratodas las citas se usa esta edicin).Hay una edicin ms reciente: 1 Ella es una y nada ms que una y no es posible asignarleMadrid, Akal, 1991. otras especies ni diferencias. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 15. cap. 1 9/5/00 08:20 Pgina 17 La divina proporcin. Las formas geomtricas17 2 As como in divinis hay una misma sustancia entre tres per- sonas, Padre, Hijo y Espritu Santo, de la misma manera una misma proporcin de esta suerte siempre se encontrar entre tres trminos. 3 Dios, propiamente, no se puede definir ni puede ser entendido por nosotros con palabras; de igual manera esta proporcin no puede jams determinarse con nmero inteli- gible ni expresarse con cantidad racional alguna sino que siempre es oculta y secreta y los matemticos la llaman irracional. 4 As como Dios jams puede cambiar y es todo en todo, y est todo en todas partes, esta proporcin es siempre la misma e invariable y de ninguna manera puede cambiarse. 5 Finalmente, as como Dios confiere al ser la virtud celeste, por ella a los cuatro elementos y a travs de ellos a la naturaleza, esta proporcin da el ser formal aqu Pacioli cita a Platn y a su dilogo Timeo al cielo mismo, atribuyndole la figura del dodecaedro, slido compuesto por doce cartas pentagonales que no es posible formar sin la divina proporcin.3 Segn Pacioli, Leonardo da Vinci fue el ilustrador De DivinaProportione,4 y es precisamente a l a quien se atribuye la otra deno-minacin con que es conocida esta proporcin: sectio aurea (seccinurea) de donde provienen los nombres de Seccin de Oro, GoldenSection, Goldene Schnitt, Section dOr, etc.La seccin urea, que corresponde a la relacin a/b, tambinpuede ser expresada por el nmero que de ella resulta, un nmero 3 Cf. Ibid., pp. 60-70.irracional cuyo valor aproximado en fracciones decimales es: 4 Legu pblicamente a Ludovico Sforza el pequeo libro titulado De 1,61803398875Divina Proportione. Y con tanto entusiasmo que inclu en l esquemas o, ms simplemente, hechos por la mano de nuestro Leonardo da Vinci, para hacerlo ms instructivo a la vista. Op. cit., p. 53.1,618 = nmero de oro5 5 Hay otro Nmero de Oro, que corresponde a una magnitud fsica, Veamos su construccin grfica: ms precisamente astronmica: el ciclo lunar de 19 aos. Respecto a su invencin, vase A. van de Vyver: El cuadrado CDEF tiene el lado = 2 en relacin a los ejes Hucbald de Saint-Amand, coltre, et linvention du Nombre dOr; OA = OB = 1. La diagonal AC = a la diagonal del doble cua-Mlanges Auguste Pelzer, Lovaina, drado CDAA = 5, porque segn el teorema de Pitgoras: 1947. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 16. cap. 19/5/00 08:20Pgina 1818I La divina proporcinCB DAC2 = AA2 + AC2 KGAC2 = 22 +12 = 5HAC = 5A A OEl punto G, donde la diagonal AC corta el eje OB, da:AG = GC = 5/2FE Desde el punto G, centro de OB, trazamos el crculo y tenemosque los radios GO = GB = OB/2 = 1/2El crculo corta la diagonal en dos puntos H y K de talmanera queGK = GH = 1/2Por tanto:AK = AG + GK = 5/2 + 1/2 = 5+1/2 = 1,618 = La letra griega fue sugerida por Mark Barr y W. Schoolingen los anexos matemticos del libro de Theodore Cook TheCurves of Life 6 para nombrar el nmero de oro, por ser la letrainicial de Fidias. El nmero de oro presenta una serie de caracte-rsticas que lo convierten en un nmero realmente nico. MatilaGhyka ha demostrado todas sus propiedades aritmticas y alge-braicas, y afirma que esta razn aparece como una invariantelogstica que procede del clculo de relaciones y clases del quePeano, Bertrand Russell y Couturat han demostrado que sepuede deducir toda la matemtica pura partiendo del principiode identidad. 76 Th. A. Cook: The Curves of Life;La serie es una progresin geomtrica cuya razn es con labeing an account of spiral formations siguiente propiedad: un trmino cualquiera de la serie es igual a laand their application to growth insuma de los dos precedentes:nature, to science and to art, withspecial reference to the manuscripts ofLeonardo da Vinci; Londres, 1914. 1, , 2, 3, 4, nNueva York, Dover Pub., 1979.7 M. Ghyka: Esttica de lasLa principal consecuencia prctica de esta propiedad es que par-Proporciones en la Naturaleza y enlas Artes, Barcelona, Poseidn, 1977;tiendo de sus trminos consecutivos se puede construir la serie ascen-p. 31.dente o descendente de los otros mediante adiciones o sustracciones. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 17. cap. 1 9/5/00 08:20Pgina 19 La divina proporcin. Las formas geomtricas19Se trata de una serie multiplicativa y aditiva a la vez, es decir, parti-cipa simultneamente de la naturaleza de una progresin geomtricay de otra aritmtica.El cuadrado es especialmente interesante: el nmero de oro se elevaal cuadrado sumndole la unidad:2 = + 1 Propiedad que resulta notable desde el punto de vista aritmtico: = 1,618 en lugar de multiplicar: 2 = 1,618 x 1,618 es suficiente escribir: 2 = + 1 = 2,618. Suponiendo desconocido el valor de , ste podra ser hallado apartir de la igualdad2 = + 1. Se tratara de encontrar un nmero tal que fuese soprepasado porsu cuadrado en una unidad; dicho de otra manera, consistir enresolver la ecuacin x2 = x + 1 ox2 - x - 1 = 0 cuyas races son, como hemos visto anteriormente x = 5 + 1/2 = 1,618 x1 = 5 - 1/2 = 0,618 Pero es ms notable an desde el punto de vista algebraico, puespermite convertir las expresiones de en un binomio de primergrado. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 18. cap. 19/5/00 08:20 Pgina 2020I La divina proporcinSi se divide por la expresin2 = + 1se obtiene = 1 + 1/o 1/ = - 1 = 0,618 De lo que se deduce que la elevacin al cuadrado del nmero deoro le aade la unidad y su inversa se la suprime. Si2 = + 1las potencias sucesivas de se podrn escribir3 = 2 + o 3 = + 1 + = 2 + 1 con lo que resulta, por tanto, un binomio de primer grado. Y,para4 = 3 + 2sustituyendo tendremos 4 = 3 + 2 Y esto se repetir sucesivamente. Esta propiedad se formula alge-braicamente as: n = un + u (n-1)siendo u el trmino general de la serie de Fibonacci: = 12 = 1 +13 = 2 +14 = 3 +25 = 5 +36 = 8 +5 etc Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 19. cap. 1 9/5/00 08:20 Pgina 21 La divina proporcin. Las formas geomtricas21 Una construccin geomtrica muy sencilla permite repre-sentar sobre una misma lnea recta la serie (potencias positivas ynegativas): Tomando como unidad el segmento AB de la recta x, desde y el punto B se traza la perpendicular BC = 1/2 AB; pasando porO C se traza la recta Ay. Con C como centro y CB como radio se C seala el arco BG; con A como centro y AG como radio tra-GH zar el arco GD. Se eleva desde el punto D la perpendicularKL M DH; con H como centro y HD como radio, se seala el arcoA F -3 E -2 D -1 B N x 1 OK, y con A como centro y AK como radio, el arco KE. Se traza la perpendicular EL. Mediante el mismo mtodo, se traza el arco EM, despus el arco MF y as sucesivamente. Si AB = 1 resulta que AD = 1/ o -1AE = -2AF = -3La construccin de potencias positivas es igualmente sencilla: conC como centro y CB como radio se traza el arco BO; despus, con Acomo centro y AO como radio, el arco ON, con lo que se determinael punto N. Resulta que: AC = 5/2, que CO = 1/2, y que AN = AO= AC + CO = 5+1/2 = . Si se sigue el mismo procedimiento, se pue-den trazar sobre el prolongamiento de Ax las longitudes correspon-dientes a 2, 3, y sucesivas.Una propiedad caracterstica del nmero de oro es que, AEBadems de introducir la asimetra, introduce una continuidad al infi-nitoo facultad de repetirse indefinidamente, lo que le convierte, enpalabras de Matila Ghyka, en el ms interesante de los nmerosalgebraicos incomensurables.8 Esta facultad se demuestra tambinen las propiedades geomtricas de la seccin urea. Si, siguiendoel esquema inicial de la divisin de una recta en media yD FCextrema razn, trazamos el correspondiente rectngulo ureo, ten-dremos: Un rectngulo en el cual se establecen las relacionesAE/EB = AB/AE = , y nos encontraremos con un primer ejemplo derecurrencia formal.8 Ibid. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 20. cap. 19/5/00 08:20 Pgina 2222I La divina proporcinEfectivamente: AE BSi por E, punto ureo de AB, y siguiendo la perpendicularhasta F, retiramos el cuadrado AEFD, el rectngulo restante esun rectngulo ureo. Si retiramos el cuadrado EBGH, la figu-I HG ra restante, HGCF, tambin es un rectngulo ureo. Este pro-ceso se podra repetir indefinidamente hasta el rectngulo DF J Clmite O, que se confunde con un punto.El ejemplo de recurrencia formal dentro del rectngulo ureo orectngulo de oro nos permite trazar una de las ms bellas curvasmatemticas: la espiral logartmica, tambin denominada espiralequiangular:Pero analicemos algunas particularidades notables de esta figura:1) El punto lmite O se denomina polo de la espiral equiangu-lar, que pasa por los puntos ureos D, E, G, H... He ah laconexin entre la espiral logartmica y la seccin urea.A E B2) Se encuentran puntos ureos alternativos sobre la espiralrectangular ABCFH... sobre las diagonales AC y BF, lo queIH G sugiere un mtodo prctico para construir la figura.ODFJ C3) Las diagonales AC y BF son mutuamente perpendiculares.4) AO/AB = OB/OC = OC/OF = . Hay un nmero infinitode tringulos semejantes; cada uno de ellos es igual a la mitaddel rectngulo ureo.Otra propiedad interesante de esta espiral es, que sea cual fuere ladiferencia de longitud entre dos segmentos de la curva, la forma semantiene constante; la espiral no tiene punto final, se extender inde-finidamente hacia el exterior o el interior, pero permanecer homot-tica, es decir, semejante a s misma. Esta propiedad peculiar de la9 Cf. H. E. Huntley: The divine pro-espiral logartmica, que no comparte con ninguna otra curva mate-portion, a study in mathematicalbeauty, Nueva York, Dover Pub., mtica, corresponde al principio biolgico que rige el crecimiento de1970. Versin francesa: La divine la concha del molusco: sta crece a lo largo y a lo ancho para adap-proportion. Essai sur la beaut math-matique, Pars, Navarin, 1986; pp.tarse al crecimiento del animal pero permamece siempre homottica.9122-124, y 195 y ss. (Todas las refe- Segn DArcy Thompson, la existencia de esta relacin de creci-rencias son de la edicin francesa).miento constante, de esta forma constante, constituye la esencia de la10 DArcy Thompson: On Growthespiral equiangular y puede ser considerada como la base de su defi-and Form (ed. abrev.), CambridgeUniversity Press, 1961, p. 179. (Trad.nicin.10 Espirales como sta han existido en la naturaleza desdede la autora).hace millones de aos. Es posible que ste sea el origen de la seduc-11 Cook: The Curves of Life, op. cit. cin que su belleza ejerce a la mirada humana. Theodore Cook11 ha Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 21. cap. 1 9/5/00 08:20Pgina 23La divina proporcin. Las formas geomtricas23estudiado la presencia de la espiral en la botnica, tanto en lo que serefiere al perfil de una planta o de sus diferentes partes, como en elanlisis matemtico de los diagramas de crecimiento y la disposicinde las hojas y los granos; tambin los ha estudiado en los organismosanimales, en los cuernos de los antlopes y las cabras y observa queuna progresin geomtrica como la serie se puede considerar comoel esquema numrico de las pulsiones radiales de una espiral. Todaespiral evoca una ley de crecimiento afirma Ghyka,12 viendo en ellola causa del motivo de la espiral aplicado al arte o como detallearquitectnico.Pero el nmero de oro participa tambin en la construccin deotra figura geomtrica, el pentgono, que subtiende esquemtica-mente la morfologa de los organismos vivos basados en la simetradinmica pentagonal. La diferencia esencial entre la naturaleza org-nica y la inorgnica se debe al hecho de que mientras la inorgnica seinclina por el equilibrio perfecto inerte y sus estructuras estn regidaspor la simetra exagonal esttica, la orgnica en cambio regidadinmicamente por su simetra pentagonal introduce una pulsa-cin en progresin geomtrica que transcribe el crecimiento analgi-co u homottico.La figura representa un pentgono regular convexo (de lado AB)Cy un pentgono regular estrellado (de lado AC) inscritos en el mismocrculo. Se demuestra que AC / AB = AB / AG = AG / GH = . EsH Idecir, la relacin entre el lado del pentgono estrellado (o de la dia-BDgonal del pentgono convexo), y el lado del pentgono convexo, esG Jigual al nmero de oro. Tambin el pentagrama completo est for-mado por cinco tringulos issceles sublimes (denominados as cuan- Fdo el ngulo en el vrtice es igual a 36). Puesto que conocan las pro-A Epiedades de esta figura en relacin con la razn , los pitagricosotorgaron al pentgono, especialmente al pentagrama, un lugar pre-ferente entre las otras figuras planas y lo convirtieron en emblemasimblico por excelencia de la salud y la vida: el 5, simtrico respec-to a la unidad central y asimtrico por impar, es el resultado de lasuma del primer par y del primer impar, siendo 2 el primer nmerofemenino y 3 el primer nmero masculino (de ah que algunas vecesse le denominara matrimonio).13 Por eso el pentagrama o pentalfafue escogido como una contrasea de reconocimiento entre los inte-grantes de la secta pitagrica y tambin como smbolo universal deperfeccin, de belleza y amor. Cbala y alquimia, Medioevo y12 Ghyka, op. cit., p. 57.Renacimiento, tuvieron en el pentagrama el smbolo del microcos-13 Cf. P. Gorman: Pitgoras,mos el hombre fsico y astral perfectamente ajustado a la imagenBarcelona, Crtica, 1988;pp. 162-163; y tambin J. B. Bergua:del macrocosmos como dodecaedro, pues este slido, con sus doce Pitgoras, Madrid, Eds. Ibricas,caras pentagonales aludiendo a los doce signos del zodaco, fue desig-1958; pp. 242-243. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 22. cap. 19/5/00 08:20Pgina 2424I La divina proporcinnado por Platn en el Timeo como smbolo del Universo. He aqula representacin del hombre-microcosmos-pentgono de HenriCorneille-Agrippa, consejero e historigrafo del emperador Carlos V,tal como aparece en su tratado De Occulta Philosophia (1533), en elcaptulo dedicado a la Proporcin, Medida y Armona del Cuerpohumano, que se inicia con estas palabras: Puesto que el Hombre es obra de dios, la ms bella, lams perfecta, su imagen, y compendio del mundo universal, esllamado por ello el pequeo mundo, y por consiguiente encie-rra en su composicin ms completa, en su armona todoslos nmeros, las medidas, los pesos, los movimientos14El pentagrama, estrella de cinco puntas, es, an hoy en da, unemblema reconocido mundialmente. Pero hay otra figura relevante que aparece en el interior delpentgono.14 H. C. Agrippa: La PhilosophieOcculte ou la Magie, Pars, ditions La crnica explica que en tiempos de los griegos seTraditionnelles, 1976, 4 vols.; vol. 2.p. 114. (Vers. cast.: Buenos Aires,construy una maravillosa taza de oro compuesta de unaKrier, 1978). copa y su pie. No se explica cul era su perfil sino slo que si Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 23. cap. 1 9/5/00 08:20 Pgina 25 La divina proporcin. Las formas geomtricas25 A se dibuja un pentgono convexo regular ABCDE y se trazan las diagonales BE, BD, EC, la parte sombreada da la arma- dura esquemtica de la taza.15NBE Matila Ghyka se hace eco de esta ley de la taza de oro que habrasido enunciada en Egipto y Babilonia y, recogida en Bizancio por los Icruzados, habra sido utilizada por arquitectos y plateros deOccidente.CM D En cuanto al decgono regular una figura emparentada con elpentgono, la presencia de se encuentra en la relacin entre sulado y el radio, as como entre el lado del decgono estrellado y el Aradio correspondiente. Es decir: B AC/OA = OA/AB = Pentgono y decgono han sido los dos polgonos regulares msOutilizados en la arquitectura; por ejemplo, el pentgono ha confor-Cmado muchos rosetones del gtico, mientras que el decgono ha sidoutilizado en los trazados de templos como el de Minerva Mdica, enRoma, o el Mausoleo de Teodorico, en Rvena. ***Despus de haber analizado, muy sumariamente, las propiedadesmatemticas de la seccin urea, se puede comprender mejor la admi-racin que siempre ha despertado. Se trata de una razn, un inva-riante algebraico, que nace de una operacin muy sencilla: una pro-gresin geomtrica con unas caractersticas formales que la convier-ten en paradigma de la recurrencia, de la identidad en la variedad. Supresencia es constante en biologa: el nmero de oro es un smbolode la pulsacin de crecimiento, un atributo por excelencia de laforma viva.Las correspondencias que seala Pacioli son menciones de laspropiedades matemticas de esta proporcin, desde la inexistencia desolucin racional aritmtica de ah su categora de irracional einconmensurable, hasta la presencia implcita en la construccindel pentgono. Por eso, es extremadamente importante el calificativode divina: no se trata slo de un sntoma, de la conclusin lgicaresultante del saber renacentista, sino que supone el reconocimientoexplcito de la larga tradicin que desde sus orgenes ha rodeado aesta proporcin y, por eso mismo, su futura revalidacin.15 Cit. por Ghyka, op. cit., p. 75. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 24. cap. 19/5/00 08:20 Pgina 2626 I. I FORTUNAHISTRICA DE LA DIVINA PROPORCIN En los Elementos de Euclides, la obra en la que toda la matemtica emprica contenida en las observaciones de babilonios y egipcios adquiere su carcter terico y especulativo, es donde se encuentra la primera fuente documental importante sobre la seccin urea. Euclides dedic una veintena de proposiciones de cuatro libros de los Elementos a la divisin de una recta en media y extrema razn, lo que atestigua de entrada el favor que le otorga. En el libro II, proposicin 11 y en el libro VI, proposicin 30, practica la seccin con dos mtodos diferentes; en el libro IV, proposiciones 10-14, la aplica a la construccin de un tringulo issceles y al pentgono regular; en el libro XIII, que trata de los cinco slidos regulares inscribibles en una esfera, dedica 12 proposiciones al enunciado y demostracin de ciertas propiedades de sus segmentos y los aplica a la construccin de los poliedros y a la comparacin de sus aristas.16 En cuanto a la fortuna pre-euclidiana del problema, se supone ini- ciada con lo que se cree que fue su descubrimiento emprico, probablemente en la poca prehistrica. Esta creencia se basa en la necesi- dad, para resolver problemas prcticos, de la divisin de un crculo en x partes iguales y, ms precisamente, en la divisin por cinco, nmero que preside tanto el cuerpo humano como, por ejemplo,16 Cf. Michel, op. cit., pp. 526 y ss. muchas variantes de flores en la naturaleza. De ah a la construccin17 A. Zeising: Neue Lehre von den del pentgono regular, convexo o estrellado, con el que se presenta laProportionem des menschlichenKrpers, aus einem bischer unerkannt seccin urea bajo la mirada, seguramente atnita, del hombre pri-gebliebenen, die ganze Natur und mitivo, slo hay un trazo. Y si se tiene en cuenta la comprobacin,Kunst durchdringenden morphologis- enunciada por Zeising,17 de que (como dato estadstico medio) elchen Grundgesetze entwickelt und miteiner vollstndingen historischenombligo divide el cuerpo humano adulto segn la razn , se puedeUbersicht des bisherigen Systeme explicar mejor la presencia de la seccin urea o ms bien de lasbegleitet, Leipzig, 1854. figuras geomtricas ligadas al nmero de oro en las obras de arte,18 La gran pirmide de Keops es unejemplo de construccin presidida por tanto pintura, escultura como arquitectura, de este amplio perodoel nmero de oro realizada alrededor que abarca desde la pintura neoltica hasta Grecia.18 Pero en Greciadel 3000 a. C. Vanse, por ejemplo,comienza propiamente la historia del nmero de oro. En cuanto a lasA. Fournier des Corats: LaProportion gyptienne et les rapportsfuentes de Euclides, Paul-Henri Michel establece dos tipos: a) lasde divine Harmonie, Pars, Les di-fuentes directas, fundamentalmente Eudoxo y Teeteto, las cuales setions Vga, 1957; T. Koelliker:Symbolisme et Nombre dOr. Le rec- insertan entre las escuelas matemticas anteriores a Platn, bsica-tangle de la Gense et la Pyramide demente pitagricas, y la escuela de Alejandra; y b) las fuentes msKeops; Pars, Les ditions des antiguas que, tratndose de la prehistoria del nmero de oro, forzo-Champs-Elyses, 1957. Acerca de lapirmide como poliedro de oro ysamente han de ser conjeturas ms prudentes: stas son, ms quede la Cmara del Rey como cubo de fuentes, pruebas de la antigedad del tema que se basan en el lugaroro, vase D. Neroman: Le NombredOr, cl du monde vivant, Pars, que ocupa el problema de la divisin de una recta en media y extre-Dervy-Livres, 1981; pp. 100 y ss.ma razn en los Elementos y en la manera como es tratado. Y se Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 25. cap. 1 9/5/00 08:20Pgina 27La divina proporcin. Las formas geomtricas 27basan, tambin, en las aplicaciones que se hacen en el libro IV y enel libro XIII. En sntesis, todas ellas permitiran afirmar que en lapoca de Platn el problema ya era antiguo, y que, como mnimo, eraparte integrante del fondo de la matemtica pitagrica.19Efectivamente, sus cualidades como seccin implcita en el pentgo-no estrellado, as como el hecho de ser un nmero irracional, atraje-ron la atencin, la admiracin y la veneracin de los pitagricos, queconsideraron al pentagrama o pentalfa como su contrasea, guar-dando como un magno secreto su construccin. Desde entonces, sino viene de ms lejos, crece una leyenda que atribuye a la seccinurea un valor mstico y un inters esttico.En 1920, Jay Hambidge publicaba un estudio sobre el vaso grie-go20 en el que constataba la utilizacin de los rectngulos dinmi-cos y sus mltiples divisiones armnicas dynamic symmetrycomo un mtodo para establecer relaciones de reas en el dibujo y lacomposicin. Hambidge distingua dos tipos de rectngulos: aquellosde mdulo n en que n es un nmero entero o fraccionario, que deno-minaba estticos, y aquellos otros en que n es un nmero irracio-nal que puede construirse grficamente, a los que denominaba din-micos; son los rectngulos 2, 3, 4 = 2, 5. Tanto el cuadradocomo el doble cuadrado pertenecen a los dos tipos. A partir de ah,Hambidge demostraba que los rectngulos dinmicos eran el fun-damento de los mtodos compositivos del arte griego. Un poco mstarde, en 1924, ampliaba este anlisis al Partenn y a otros templos1griegos,21 sealando el papel que los trazados geomtricos ligados ala seccin urea jugaban en la arquitectura del siglo V a. C. Vase a 1 2 3 4 5la derecha la generacin de los rectngulos dinmicos a partir delcuadrado en las dos versiones de HambidgeDespus de Eudoxo y Euclides, el estudio de los problemas rela-tivos a la seccin urea fue continuado entre otros por Hipsicles; sinembargo, fue a partir de las traducciones de los Elementos realizadaspor los rabes cuando alcanz una amplia difusin. Por otra parte,la tradicin pitagrica, en lo que se refiere a la teora de los nmeros,19 Cf. Michel, op. cit., pp. 556 y ss.nos fue legada por medio de los tratados de Nicmaco de Gerasa, unpitagrico del siglo I a. C.; una gran parte de su tratado sobre arit-20 J. Hambidge: Dynamic Symmetry.mologa y mstica del nmero fue compilado por Jmblico en el siglo The Greek Vase; New Haven, YaleUniversity Press, 1920.IV y traducido por Boecio un siglo ms tarde, traduccin que ejerci21 J. Hambidge: The Partenon anduna gran influencia durante toda la Edad Media.22 other greek temples. Their dynamicsymmetry; New Haven, YaleUniversity Press, 1924.En el siglo XII destaca la figura de Leonardo de Pisa, llamado22 M. Ghyka: El Nmero de Oro;Fibonacci, autor de un importante tratado, el Liber Abaci, dondeVol. I: Los ritos; Vol. II: Los ritmos;entre otros problemas tericos y prcticos aparece una serie de nme- Barcelona, Poseidn, 1978; Cf. vol. I,ros, la sucesin de Fibonacci, en la que cada trmino es igual a la cap. I, pp. 19 y ss. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 26. cap. 19/5/00 08:20 Pgina 2828 I. I Fortuna histrica de la divina proporcin suma de los dos precedentes, propiedad aditiva que comparte con la serie , con la que le unen otros lazos pues la razn entre dos de sus trminos consecutivos tiende hacia un lmite que es precisamente .23 En el siglo XIII, el famoso lbum de croquis de Villard dHonnecourt, que ms que plantear problemas especulativos propone recetas prcticas, utiliza el pentagrama como trazado directriz tanto para la cabeza y el cuerpo humano como para animales o plantas, al tiempo que su autor recuerda a quien quiera obrar con- venientemente que la geometra de las formas es absolutamente imprescindible.24 El primer traductor latino y comentador de Euclides fue Johannes Campanus, de Novara, nacido a finales del siglo XIII. Su traduccin a partir de una versin rabe, aunque terminada en 1354, se impri- mi en Venecia en 1482. Entre otros numerosos fragmentos que hacen referencia a la seccin urea, se suele citar un pasaje que figura en esta traduccin: proportionem habentem medium duoque extrema.25 A partir de la obra de Campanus de Novara, se multi- plican las ediciones de los Elementos en latn a lo largo del siglo XVI, mientras que en el siglo siguiente comienzan a aparecer ya las ediciones vulgares.Pero en el siglo XVI es especialmente relevante la figura de Luca Pacioli, autor de la Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni23 Sobre la serie de Fibonacci y suet Proportionalita impresa en Venecia en 1494; y la ya citada Derelacin con el nmero de oro, vase Divina Proportione, escrita en la corte de Ludovico el Moro, tratan-H. E. Huntley: La divine proportion,cit. cap. IV y XI. Y tambin D.do questione de secretissima scientia.26Neroman: Le Nombre dOr. Cl dumonde vivant, cit., pp. 47 y ss. En De Divina Proportione, destacan de forma predominante las24 Villard de Honnecourt: Album, concepciones msticas, pitagricas y platnicas, en torno a las virtu-Manuscrit publi en Fac-simile annotsuivi dun glossaire par J.B.A. Lassus;des de la seccin urea. Despus de unos primeros captulos de dedi-Pars, Lonce Laget, 1976. Vase: H. catoria al duque, pasa a especificar el ttulo que conviene al presen-Focillon: La escultura romnica.Investigaciones sobre la historia de las te tratado:27 aqu es donde describe las cinco correspondenciasformas, Madrid, Akal, 1987; cap. X,anteriormente citadas que hacen a esta proporcin parecida alpp. 187 y ss.mismo Dios. El captulo sexto trata de la digna alabanza de la divi-25 Cit. por Ghyka: El Nmero de na proporcin y escribe: Esta nuestra proporcin, oh excelsoOro; cit., vol. I, p. 94. Duque, es tan digna de prerrogativa y excelencia como la que ms,26 Escrito en el frontispicio de la pri- con respecto a su infinita potencia, puesto que sin su conocimientomera edicin de 1509, reproducido enla versin castellana anteriormentemuchsimas cosas muy dignas de admiracin, ni en filosofa ni encitada, p. 79. otra ciencia alguna, podran venir a luz. Y, ciertamente, esto le es con-27 Ibid., p. 69. cedido como don por la invariable naturaleza de los principios supe-28 Pacioli hace referencia al libro XIVriores, segn dice nuestro gran filsofo Campano, famossimo mate-de los Elementos que actualmente yamtico, a propsito de la dcima del dcimocuarto,28 mxime cuan-no se atribuye a Euclides sino aHipsicles. Cf. La Divina Proporcin, do se ve que ella hace armonizar slidos tan diversos, ya por tama-cit., p. 70, n. 1. o, ya por multitud de bases, y tambin por sus figuras y formas, con Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 27. cap. 1 9/5/00 08:20Pgina 29La divina proporcin. Las formas geomtricas29cierta irracional sinfona, segn se comprender de nuestras explica-ciones, y presenta los estupendos efectos de una lnea dividida segnesa proporcin, efectos que verdaderamente deben llamarse no natu-rales sino divinos.29 Los captulos 7-23 tratan de los efectos de laseccin urea. Los que van del 24 al 47 tratan de los cinco cuerposregulares, de la imposibilidad de que haya ms, de la proporcin desus superficies y de la insercin de unos en otros. En los captulos quesiguen, 48-70, se analizan los cuerpos dependientes de los regulares,el cuerpo esfrico, los cuerpos oblongos y, en el ltimo captulo, seexplica qu quieren decir algunos vocablos utilizados por los mate-mticos. Una segunda parte trata sobre la medida y proporciones delcuerpo humano, simulacro de la arquitectura, ya que como dicenuestro Vitrubio, tenemos que dar proporcin a todo edificio a seme-janza de todo el cuerpo que est bien proporcionado con respecto asus miembros;30 y, por tanto, Pacioli explicar a continuacin algu-nas normas aplicables a las proporciones de edificios. La terceraparte es el Libellus de quinque corporibus regularibus que, segncomentario de la poca recogido por Vasari, era atribuido a Pierodella Francesca y habra sido plagiado por Pacioli. Julius Schlosserdesmiente esta versin argumentando que como mximo se trata deun trabajo en comn de los dos autores.31De Divina Proportione trata, en definitiva, cuestiones que afectana uno de los temas considerados en el Renacimiento del ms alto inte-rs, no slo en relacin a la matemtica sino a las ciencias en generale, incluso, a la propia concepcin del universo: la teora de la pro-porcin, tema que, por otra parte, Pacioli haba tratado ya en laSumma. Un aspecto destaca en la obra de Pacioli, y es haber atribui-do a la proporcin aquel significado ms general y filosfico quePlatn recogi de los pitagricos y transmiti en algunos Dilogos yespecialmente en el Timeo. Por eso, Pacioli puede establecer corres-pondencias analgicas entre la divinidad y la seccin urea, porquetambin l se sita en el seno de una tradicin en la que la matem-tica es considerada la ciencia de los principios superiores, a la vezsagrada y trascendente, la raz del espritu cientfico que rastrea elcamino de la filosofa, y abarca la totalidad del conocimiento. Poreso tambin, Pacioli cont con una colaboracin especial, la deLeonardo da Vinci. Respecto a este punto, para algunos bigrafos deLeonardo est claro que no slo realiz las ilustraciones del textosino que incluso particip en la redaccin. De esta opinin esKenneth Clark, que escribe: (Pacioli) lleg a Miln en 1496 y sabe-29 Ibid.mos por los cuadernos de Leonardo que los dos hombres intimaron 30 Ibid., p. 151.muy pronto. Hacia 1497 estaban colaborando en De Divina31 J. Schlosser: La LiteraturaProportione. Podemos notar la influencia de Leonardo en algunas artstica; Madrid, Ctedra, 1976;partes del texto, y no hay duda de que dibuj las figuras que ilustranp. 137. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 28. cap. 19/5/00 08:20Pgina 3030 I. I Fortuna histrica de la divina proporcin la edicin de 1509: Pacioli lo dice expresamente en ms de una oca- sin. Estas figuras son letras maysculas ejecutadas a base de un sistema de proporcin, y una serie de cuerpos ms elaborados de slidos geomtricos. El hecho de que Leonardo dedicase tanto tiempo a esos dibujos abstractos es una prueba de la forma en que sus dotes creativas estaban dominadas por su intelecto. Al hablar de la arquitectura de Leonardo, indicaba yo que resultaba extrao cmo siendo toscano pareca carecer del sentido de la armona abstracta. Sin embargo, Pacioli que haba conocido a Piero della Francesca nunca se cansa de alabar la habilidad de Leonardo. Mientras que para Piero della Francesca la proporcin era una funcin del espritu, para Leonardo era una funcin de la inteligencia.32 Parece que tambin Durero estuvo en contacto con Pacioli durante su segundo viaje a Italia. En el primero haba conocido a Jacopo de Barbari, pintor veneciano que retrat a Pacioli explicando la geometra de Euclides al archiduque de Urbino, rodeado del comps y la regla, un transportador y un dodecaedro, mientras en el ngulo izquierdo del cuadro flota suspendido en el aire un slido geomtri- co transparente.33 Sabemos por el propio testimonio de Durero que Barbari fue el instigador de una investigacin que durara toda su vida: el secreto de las proporciones del cuerpo humano: Jacopo no32 K. Clark: Leonardo da Vinci. An quera indicarme abiertamente sus relaciones, eso lo vi claro. Me hizoaccount of his development as an ver un hombre y una mujer que haba realizado a partir de unas cier-artist; Londres, Penguin Books, 1978;p. 98. Vers. cast.: Madrid, Alianza tas medidas. En aquella poca que hubiera gustado menos ver reinosForma, 1986; p. 81.desconocidos que conocer sus teoras.34 Despus, durante su segun-33 Realizado probablemente hacia da estancia en Venecia, Barbari dio a Durero una carta de presenta-1495, actualmente se encuentra en la cin para visitar a Pacioli, que entonces enseaba matemticas enGalleria Nazionale de Npoles. Bolonia; sta es la opinin de Georges Jouven, quien escribe:34 Correspondencia de Durero. Cit. Conocemos bien el carcter particular de las matemticas de Paciolipor G. Jouven: Les Nombres Cachs,Pars, Dervy-Livres, 1978; p. 224. di Borgo para suponer lo que ense a Durero; le habl sin duda de(Trad. de la autora).las proporciones del Timeo, y particularmente de la Divina35 Ibid. Proporcin sobre la que iba a publicar su obra cuatro aos ms36 Carta de 13 de octubre de 1506, tarde.35 En la ltima carta desde Venecia, Durero escribe a Willibalden R. Friedenthal: Cartas de grandes Pirckheimer: Despus cabalgar hasta Bolonia, por compromisosartistas, Barcelona, Nauta, 1967,2 Vols. Cf. Vol. I, p. 58. artsticos; en esta ciudad un hombre me ensear los secretos de la37 E. Panofsky: The life and art of perspectiva.36 Panofsky, en su obra sobre Durero, no menciona laAlbrecht Drer; Princeton, New visita a Pacioli y slo asegura que se ha dicho que hizo un viaje espe-Jersey, Princeton University Press,cial a Bolonia para que le ensearan el arte secreto de la perspec-1971; p. 118. (Trad. de la autora). tiva.37 Pero Jouven, que ha analizado el grabado de 151438 Cf. G. Jouven, op. cit., pp. 217 y Melencolia I, ha comprobado la presencia de la seccin urea en suss. Tambin Elisa Maillard ha analiza-do, entre otras obras de Durero, estecomposicin.38grabado y ha encontrado numerosasrelaciones ureas en su composicin.Cf. Les Cahiers du Nombre dOr I, Kepler, en su obra sobre la maravillosa proporcin de los orbesPars, Tournon, 1960.celestes y sobre las causas genuinas y verdaderas del nmero, magni- Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 29. cap. 1 9/5/00 08:20 Pgina 31 La divina proporcin. Las formas geomtricas 31tud y movimientos peridicos de los cielos, demostrado mediante loscinco slidos geomtricos regulares que se public en 1596,39 serefiere a la seccin urea como uno de los tesoros que hay en lageometra, siendo el otro la razn de la hipotenusa al lado en el rec-tngulo,40 y en una nota en la que reitera la infinita utilidad y elgran valor de estos dos teoremas hace una distincin entre ellos com-parando el primero a una joya y el segundo a una masa deoro.41 Posteriormente, segn Ghyka, la divina proporcin fuecompletamente olvidada hasta el momento de ser nuevamente descu-bierta y puesta de relieve como principio morfolgico directriz por elalemn Zeising (hacia 1850).42 Paul-Henri Michel, en cambio,opina que el olvido de la seccin urea es ms aparente que real y seDiagrama de M. Ghyka que ilustra las teoras antropomtricas deexplicara por el rpido progreso de las ciencias exactas; en todo caso A. Zeising.se habra salvado definitivamente como parte del tesoro euclidiano,pues los Elementos continuaron siendo estudiados y comentados, yse sucedieron las ediciones vulgares: Michel cita la ltima en Francia,la de Peyrard, Pars 1816-1818.43En 1854 Adolf Zeising publica Neue Lehre von denProportionem44 y, en 1855, Aesthetische Forschungen45 investigacio-nes estticas en las que destaca las cualidades de la seccin ureay por ella explica ciertos fenmenos de la naturaleza las plantas,las proporciones del cuerpo humano, de algunas especies de anima-les, y ciertos aspectos de la belleza del arte algunos templos grie-gos, e incluso la msica. Seguramente, es a Zeising a quien hay queatribuir el desvelamiento de un cdigo de las proporciones(Proportional Gesetz) que, enfatizando el papel de la seccin urea y39 J. Kepler: Prodromussus virtudes, genera una corriente de pensamiento que se materializa Dissertationum Cosmographicum contiens Mysterium Cosmographicumen una amplia biliografa sobre el tema. (1596). Vers. cast.: El Secreto del Universo, Madrid, AlianzaEn este aspecto, es fundamental la aportacin de Hermann GrafUniversidad, 1992.en su Bibliographie zum Problem der Proportionem46 que deja cons-40 Ibid., pp. 133-134.tancia de ello, en especial en lo que se refiere a Alemania. Desde 41 Ibid., p. 142.1845, en que se publica la obra de Zeising, hasta 1914 en que se 42 Ghyka: El Nmero de Oro, Vol. I,publica la obra de Theodore Cook, se editan slo en Alemania unascit., p. 62.doce obras sobre la seccin urea, destacando en esta corriente las43 Michel, op. cit., p. 601.teoras de Theodor Fechner,47 uno de los fundadores de la psicofsi- 44 Op. cit. supra.ca y representante de la esttica experimental, quien realiz en 187645 Aesthetische Forschungen,una serie de ensayos en los que aplicaba los mtodos experimentalesFrancfort, 1855.a la esttica: uno de ellos consista en hacer escoger a un grupo de 46 H. Graf: Bibliographie zumpersonas entre una gama de rectngulos ms o menos alargados elProblem der Proportionem. Literatur ber Proportionem, Mass und Zahl inque les gustase ms: el rectngulo que obtuvo mayor preferencia fue Architektur, bildender Kunst undaquel cuyos lados se relacionaban entre s como 34/21, lo que es igual Natur; Speyer, 1958.a 1,619, cifra prxima al nmero de oro, con lo que se demostr 47 Th. Fechner: Vorschule derel efecto directo de su impresin esttica. Estos ensayos fueron con-Aesthetik, Leipzig, 1876. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 30. cap. 19/5/00 08:20 Pgina 3232 I. I Fortuna histrica de la divina proporcin48 Cf. Huntley: La divine proportion, tinuados por Witmar en 1894, por Lalo en 1908 y por Thorndike encit., p. 83. 1917, con resultados muy prximos a los de Fechner.4849 . Monod-Herzen: Lois dharmo-nie et de tradition. La loi du boldor, LAmour de lArt, n. 2, (1921). Si para los comentadores de los Elementos de Euclides la seccinH. E. Timerding: Der goldene Schnitt,urea no representaba ms que una solucin geomtrica de una ecua-Berln, 1929. cin, lo que caracteriza el retorno del nmero de oro en el siglo XIX50 L. D. Caskey: Geometry of the es el hecho de reivindicarlo desde sus fuentes preeuclidianas, desde elGreek vases; attic vases in the Museumof fine Arts analysed according to the pitagorismo, para despertar su espritu y descubrir nuevamente lospriniples of proportion discovered byprincipios de la naturaleza y del arte. Es as como desde el inicio delJay Jambidge, Boston, 1922. nuevo siglo se suceden una serie ininterrumpida de anlisis; mientras51 Fr. Macody Lund: Ad quadratum. unas obras presentan las cualidades del nmero de oro,49 otras loDet geometriske for antikes og midde-lalderens sacrale bygningskunst opda-aplican al estudio de la zoologa y la botnica por ejemplo, la yaget paa Kathedralen i Nidaros; citada The Curves of Life de Theodore Cook; otras, finalmente,Farsund, 1919. intentan aclarar los procedimientos compositivos del arte de los cl-52 E. Moessel: Die Proportion inAntike und Mittelalter, Munich, 1926. sicos: entre stas cabe recordar las obras citadas de Hambidge, la de53 Un anlisis del desarrollo de la Caskey50 que utiliza el mtodo de Hambidge, y las de Macodyobra de Seurat en relacin a los escri-Lund,51 y Ernest Moessel.52tos de estos autores se encuentra enC. Bonell: Las leyes de la pintura,Barcelona, Ed. UPC, 1997, cap. II, Tambin en los ambientes artsticos, desde finales del siglo XIX,pp. 26-49. se renueva el inters por la seccin urea.54 Vase: G. Jouven: Rythme etArchitecture. Les tracs harmoniques;En el ltimo tercio del siglo XIX, el artista francs GeorgesPars, Vincent Fral, 1951. Y tambindel mismo autor: LArchitecture Seurat, iniciador de una corriente artstica que l denominaba cromo-cache, Tracs harmoniques, Pars, luninarismo o divisionismo pero que recibi el nombre histrico deDervy-Libres, 1979.neoimpresionismo, quiso superar las tentativas empricas de los55 L. Hautecoeur: Georges Seurat,impresionistas y, al mismo tiempo, liberar a la materia cromtica deMiln, Gruppo Edit. Fabbri, 1972; pp.68-71. Uno de los primeros anlisis toda contingencia anecdtica y pintoresca. Este ideal encontr unabasados en la seccin urea fue el que inmejorable asistencia en el carcter cientfico de la poca: los trata-A. Lhote realiz de La Parade, en Lados de Chevreul, Sutter, Blanc, Rood y Henry, le proporcionaron loscomposition du tableau, EncyclopdieFranaise, (Pars), t. XVI, vol. I,argumentos para crear una regla cromtica y esttica basada en las(1935). En la misma lnea estn losleyes que gobiernan la luz y el color en el mundo fsico.53 El conven-anlisis de H. Dorra en: H. Dorra/J.Rewald, Seurat, luvre peint; biograp- cimiento de Seurat de que el arte no tiene por objeto reproducir cosashie et catalogue critique, Pars, Lessino expresarlas mediante el lenguaje que le es propio fue lo que leBeaux-Arts, 1959. Por su parte, Ch. hizo investigar las claves de este lenguaje; para hacerlo se respald enBouleau, que ha analizado los trazadosgeomtricos que presiden las grandes la cultura cientfica de su tiempo: dividi el tono en sus componentesobras de Seurat, considera que la pre- elementales y los organiz sobre la tela basndose en reglas fijas.sencia de algunas relaciones ureas nojustifica una explicacin formal entera- Igualmente dividi el espacio en unidades elementales: lneas vertica-mente basada en ella. En ese sentido les, horizontales, diagonales, organizndolas en un conjunto solida-argumenta que si Seurat fue lo bastan- rio, una estructura. Pero en esta estructura ya no contaba la relacinte susceptible respecto a la propiedadde sus ideas estticas como para afir- entre interior y exterior, entre el cuadro y las apariencieas fenomni-mar haber sido el primero en aplicar cas, sino nicamente la relacin interna de las unidades citadas. Y ahlas teoras cientficas a la pintura,hubiera afirmado del mismo modo su tena un papel fundamental la composicin. En su obra, realizada enuso de la seccin urea. Cf. Ch. el breve periodo que va de 1881 a 1891, utiliz diferentes sistemas deBouleau: Charpentes. La gomtriesecrte des peintres, Pars, d. du Seuil, composicin. Respet la simetra, tan estimada por los grandes clsi-1963; pp. 209 y ss. Ed. cast. Tramas.cos especialmente por arquitectos como Philibert Delorme, Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 31. cap. 1 9/5/00 08:20Pgina 33La divina proporcin. Las formas geomtricas 33Jules Hardouin-Mansart, Jacques-Ange Gabriel, Claude-NicolasLedoux54 Un eje central divide verticalmente la superficie en dospartes iguales. Muchas veces el eje es slo aproximado, afirmndoseal dibujar el elemento que ocupa el lugar central, aunque en otrasocasiones el centro queda vaco y la simetra es contrapuesta a travsde masas laterales. En general, Seurat utiliza dos tipos de composi-cin, la geomtrica y la armnica. La primera se determina por laseparacin a travs de un eje central de las partes laterales que,a su vez, se ordenan a partir de ejes secundarios. La composicinarmnica es una figura geomtrica cuyo dibujo coincide con las lne-as principales. Seurat divide los laterales de sus cuadros en mediay extrema razn creando proporciones armnicas o secciones ure-Le Chahut. Anlisis compositivoas, como lo ha querido demostrar entre otros autores de L. Hautecoeur.L. Hautecoeur, al analizar las lneas compositivas de algunas obras deSeurat.55 Por ejemplo, en Le Chahut, considera en primer lugar losdos ejes AB y CD que dividen la tela simtricamente vertical y hori-La geometra secreta de los pintores,zontalmente; a continuacin, las divisiones segn la seccin urea: Madrid, Akal, 1996. Un argumentoparecido se encuentra en R. Fischler:EF, GH, IJ y KL; las lneas de los rectngulos secundarios ST, UV,An examination of claims concerningMN, OP; finalmente, las diagonales GJ, AL, 1L, CH, que dan lasThe Golden Number. Seurat, Gris,inclinaciones de las cabezas de los bailarines, del movimiento de las Mondrian, Ozenfant, Jeanneret;Gazette des Beaux-Arts, (Pars),piernas, y la direccin del mstil del contrabajo.56 Por su parte, M. (1980); pp. 2-8. Recientemente M.Marlais ha analizado la relacin entre Seurat y sus compaeros de Neveux ha analizado el mtodo com-positivo de Seurat en relacin con laLcole des Beaux-Arts de Pars, Aman-Jean y Seon, muy influencia-seccin de oro y concluye con la afir-dos por Puvis de Chavannes quien, afirma, construa su obra segn macin de que hay un predominio dela seccin urea.57 Con su esttica y su tcnica, Seurat quiso extraerdivisiones aritmticas simples: M.Neveux/H. E. Huntley: Le nombredel impresionismo ciertas conclusiones; stas no slo le superarondor. Radiographie dun mythe suivi desino que contribuyeron a sentar las bases de movimientos posterioresLa divine proportion, Pars, ditionsdu Seuil, 1995; pp. 54-61.como el Cubismo o el Purismo.5856 Cf. L. Hautecur: op. cit., p. 71.A principios del siglo XX, un grupo de artistas reivindicarn cla-57 M. Marlais: Seurat and hisfriends of the Ecole des Beaux-Arts,morosamente la seccin urea. En octubre de 1912 se inaugura en laGazette des Beaux-Arts, n. 1449, vol.Galerie La Botie de Pars una exposicin que ha sido reconocida114, (oct. 1989), pp. 153-168.como la principal manifestacin y la ltima de la vanguardia en 58 En ese sentido, vase C. Bonell, op. cit.Francia antes de la I Guerra Mundial: La Section dOr. En ella se pre-59 La redaccin de la revista estabasentaban obras de Gleizes, Metzinger, Lhote, Duchamp, Duchamp-instalada en el 13, place mile-Villon, La Fresnaye, Marcoussis, Archipenko, Laurencin, Picabia Goudeau (ex-place Ravignan), en elfamoso Bateau Lavoir. Pierre ReverdyHenri Valensi, Kupka, Villon, Lger, Gris...(pero no figuraba ningu-era el secretario, y figuraban comona de Picasso o de Braque). Aunque para el pblico, la prensa y colaboradores Apollinaire, RogerAllard, Ren Blum, Gabrielle Buffet,buena parte de la crtica, sta era otra exposicin cubista, los orga-Adolphe Basler, Max Goth, Olivier-nizadores enfatizaron el nombre de la exposicin con la publicacin Hourcade, Max Jacob, Jacquesde un primer y nico nmero del Bulletin de la Section dOr.59Nayral, Maurice Princet, P.N. Roinard,Andr Salmon, Andr Warnod, PaulPor qu precisamente esta divisa? Su promotor fue Jacques Villon y Villes, Francis Yard, Ren Muller yas lo corrobor aos ms tarde en una conversacin con DoraMaurice Raynal, quien aparentementefinanci esta empresa. Cf. P. Cabanne:Vallier: De entrada, reclamo la paternidad de este ttulo. En 1912,LEpope du Cubisme, Pars, La Tablenuestras telas reunidas en una galera de la rue La Botie formaron laRonde, 1963; p. 213. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 32. cap. 19/5/00 08:20Pgina 3434I. I Fortuna histrica de la divina proporcinprimera exposicin de la Section dOr. En nuestras conversacioneshablbamos mucho de la organizacin de la tela. La idea de que unatela deba ser razonada antes de ser pintada haba calado hondo ennosotros. No sabamos nada del problema de la seccin de oro en lasconcepciones de los antiguos griegos. Yo haba ledo el Tratado de laPintura de Leonardo y haba visto la importancia que le daba. Perofue sobre todo hablando como fijamos nuestras ideas sin saturarnosdemasiado de ciencia.60 Es importante el contexto de estas declara-ciones de Villon puesto que, al evocar la formacin de La SectiondOr, destacaba aquello que les defina y a la vez les separaba delcubismo. En realidad, Cubismo y Section dOr haban partido de unapremisa comn: la insatisfaccin frente a los medios de expresinplstica que los impulsaba a una bsqueda infatigable pero de direc-ciones opuestas; porque todo aquello que para Picasso era slo puraliteratura, las matemticas, la trigonometra, la qumica, el psicoa-nlisis, la msica,61 eran argumentos que, an en un estadio intuiti-vo, nutran las conversaciones y discusiones del grupo de artistas quese reunan en el taller suburbano de Villon, en Puteaux. Y marcan lasdistancias entre el cubismo de la prctica pura de Picasso y Braquedel de quienes a pesar de ser denominados cubistas formaron LaSection dOr; stos se inclinaban por una reflexin terica, especial-mente orientada hacia la recuperacin del principio de armona per-fecta de la forma, con la introduccin del concepto de proporcin enla estructuracin de la tela. ste era en realidad un grupo de hetero-doxos para quienes el cubismo no era tanto un estilo coherente que60 D. Vallier: LInterieur de lart,compartan sin vacilaciones como un potente estmulo para la gne-Pars, Ed. du Seuil, 1982; p. 118.sis de una teora esttica. Y la clave de su intencionalidad est en la(Trad. de la autora).divisa que los agrupa, una referencia ineludible a la relacin aritm-61 Picasso Speaks, The Arts,tica y geomtrica que ms ha intrigado desde la antigedad.(Nueva York), (mai 1923).Reproducido en: E. Fry (ed.): LeCubisme, Bruselas, La Connaissance, Richard V. West, que ha analizado la historia de La Section dOr, ha1968; p. 50. (Trad. de la autora).reconocido a Paul Srusier como un antecedente de las teoras que habr-62 Cf. R. V. West: Painters of thean tenido un efecto inmediato en las ideas de los artistas de este grupo.62Section dOr. The Alternatives toCubism; Exhibition CatalogueEfectivamente, Srusier, un miembro del grupo de Pont-Aven, escribiAlbright-Knox Art Gallery, Buffalo, ABC de la Peinture (en 1909, aunque se public en 1921)63 tratando bsi-Nueva York, Sept.-Oct. 1967; p. 7.camente de aquel lenguaje universal sin el cual, dice el autor, no existe la63 P. Srusier: ABC de la Peinture,obra de arte: el lenguaje que se afirma en la ciencia de los nmeros y cuyaPars, La Douce France et HenryFloury, 1921. Una segunda edicin,aplicacin prctica es la geometra. Srusier era profesor en la academiacon un tude sur la vie et luvre deRanson, donde estudiaron muchos artistas, entre ellos Roger de laPaul Srusier por Maurice Denis, sepublic en Pars, Librairie Floury, enFresnaye. Estuvo vinculado con el Pre Pierre Lenz, fundador de una1942; la misma editorial public unaescuela de arte religioso en el monasterio benedictino de Beuron enreedicin en 1950. (Las citas se refie- Alemania, el enlace entre las teoras estticas alemanas sobre las propie-ren a la ed. de 1950).dades de las proporciones y el propio Srusier, quien, despus de visitar la64 P. Lenz: LEsthtique de Beuron,Pars, Bibliothque de lOccident,escuela en 1895, tradujo al francs el libro de Lenz y lo public en Pars1905. en 1905 con una introduccin de Maurice Denis.64 Una idea esencial de Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 33. cap. 1 9/5/00 08:20 Pgina 35 La divina proporcin. Las formas geomtricas 35Lenz era que los principios matemticos simbolizaban y reflejaban elorden divino del cosmos, idea que Srusier retomara posteriormente ensu propio libro al escribir:Orner une surface, cest en souligner les bonnes proportions. Si celles-ci ne sont point bonnes, lornement ne sert qu les dissimuler; ce nest plus que du camouflage, cest-- dire une tromperie, un mensonge. Japelle bonnes proportions les proportions sur lesquelles est construit le monde extrieur, y compris notre corps; ce sont celles qui reposent sur les nombres premiers les plus simples, leurs produits, leurs carrs et leurs racines carres.65Srusier destaca a continuacin la coupe dor ou section dor (lasrelaciones de los lados del pentgono regular y del pentgono estre-llado inscrito), considerada desde la ms remota antigedad comola ms bella. Su frmula es 5 + 1/2, que da aproximadamente1,618033966En octubre de 1919, Archipenko, Gleizes y Survage fundaron unasegunda Section dOr con el fin de dar a conocer las obras de artis-tas innovadores de cualquier nacionalidad. Su comit estaba forma-do por Archipenko, Braque, Gleizes, Frat, Lger, Marcoussis ySurvage. La sede estaba instalada en el 229 del boulevard Raspail enPars. En marzo de 1920 realizaron la primera exposicin en laGalerie La Botie. En este punto, podemos incluir una cuestin que, en lo que ataea los artistas contemporneos, se ha considerado controvertida:Utilizaron los artistas de la Section dOr la seccin urea como pro-porcin geomtrica en la composicin de sus cuadros? Villon fueabsolutamente categrico: Comme au Moyen Age on faisait une prire avant de commencer peindre, ainsi je mappuie sur la section dor pour avoir une assurance premire.67 Otros dos comentarios del propio Villon podran explicar unhipottico porqu:Je sais bien que lart est un jeu, je sais bien quil est65 Srusier, op. cit., p. 15. prissable, mais jaime tout de mme aller jusquau bout de la 66 Ibid., p. 17. cration. 67 Cit. por Vallier, op. cit., p. 103.Jai peur du hasard.68 68 Ibid. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 34. cap. 19/5/00 08:20Pgina 3636 I. I Fortuna histrica de la divina proporcin Frente al proceder modesto de Villon, encontramos la actitud siempre distanciada e irnica de Marcel Duchamp que, de entrada, anuncia que participar en la exposicin de La Section dOr con una obra titulada precisamente Section dOr; obra que no present sino que expuso Marie, realizada aquel mismo ao y cuyas medidas eran 89 x 55 cm., cifras que divididas dan como resultado 1,618 el nmero de oro. Ulf Linde ha trazado un esquema de las proporciones del Grand Verre de Duchamp, que prueba el uso de la seccin urea en las dos partes en que se divide la composicin.69 Pero el inters de Duchamp en la aplicacin de la seccin urea o su insistencia en el uso de la perspectiva podra no ser tan significativo si no tuvisemos referencias de su mtodo de trabajo. En este sentido hay un documento curioso, raro: se trata de los apuntes manuscritos para una novela, nunca acabada, de Henri-Pierre Roch sobre Duchamp, de quien fue gran amigo y confabulador desde que Roch desembar- c en Nueva York en 1916. Entre los apuntes de la novela queM. Duchamp, Marie, 1912.deba titularse Victor, el personaje de Duchamp, hay un captulo dedicado al Grand Verre y otro sobre su actividad: Victor trabaja lentamente, como desinteresado, dos horas. Es su dosis. Con un comps y una regla, traza una curva de caracol: no quiere que su gusto ni ninguna habilidad de su mano intervengan, le horroriza, pide ayuda a la geometra y a las matemticas para aferrarse a un absoluto.70 Las palabras precisas, como todos los escritos de Roch, definen un procedimiento pero tambin un talante que, aun siendo muy diferentes, Duchamp comparta con Villon; este talante se muestra especialmente en el afn de eludir la repeticin que engendra el gusto, tantas veces condenado por Duchamp y que Villon expresaba as: Evito el gusto. Hago todo por evitarlo. No pongo un color o una lnea sin que haya una razn, una razn interior que se une a la razn que est en el fondo de m mismo. Si el gusto interviene, uno slo puede sobrea- adir elementos, mientras que, como lo he ido viendo, la previsin es la que completa una tela.71 Ansia por evitar lo accesorio, lo super-Trazado segn la seccin urea del fluo, todo lo que se dirige slo a los sentidos, disposicin para seguirGrand Verre, de U. Linde.la mxima de Leonardo la pintura es cosa mental. Y Roch formula claramente el objetivo de este proceso: aferrarse a un absoluto.69 Ulf Linde: Lsoterique, enMarcel Duchamp, Catalogue, Pars,Muse National dArt Moderne, Pero no son los hermanos Duchamp los nicos en respaldarse enCentre Georges Pompidou, 1977. la geometra. En 1965, William Camfield trataba de dilucidar en un4 Vols. Cf. Vol. III, pp. 72-73. artculo esta cuestin: haba utilizado Juan Gris la seccin urea en70 H.-P. Roch: Victor, vol. IV de la composicin de sus pinturas?72 Evidentemente, Camfield relacio-Marcel Duchamp, Catalogue, cit.p. 67. naba de inmediato la cuestin con los expositores y la exposicin de71 Vallier, op. cit., p. 99. La Section dOr de 1912, destacando que pocas obras de las exhibi- das estaban basadas en sistemas geomtricos simples y citaba72 W. Camfield: Juan Gris and theGolden Section; The Art Bulletin, expresamente Portrait de M. Robert G una obra de Gleizes de(Nueva York), (march 1965).1910, y La Jeune femme de Villon de 1912, excepto las de Gris. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 35. cap. 1 9/5/00 08:20 Pgina 37 La divina proporcin. Las formas geomtricas37Dos aspectos sobresalen de la argumentacin de Camfield: la forma-cin matemtica de Gris en sus aos de estudiante en Madrid, corro-borada por Kahnweiler, y su entorno en Pars entre personajes quepodan haberlo interesado en la significacin metafsica y esttica dela matemtica; no sera casual que las ms obvias inquietudes de Grispor la composicin geomtrica conincidiesen con su asociacin conel grupo de artistas que se reuna en el estudio de Villon en Puteaux,y que fueron el ncleo organizador de este Saln. Camfield tambinrecuerda que uno de estos artistas, Lhote, afirmara ms tarde queGris utilizaba la seccin urea en sus pinturas. En efecto, Lhote, ensu Traits du Paysage et de la Figure, escribi que los cubistas, enparticular Juan Gris, construan sus cuadros basndose en la seccinurea.73 Camfield, que reconoce las limitaciones de un anlisis deeste tipo, examina Le lavabo y Horloge et bouteille, dos obras deGris de 1912, que con toda probabilidad fueron expuestas enLa Section dOr, y extrae como conclusin que Gris utiliz delibera-damente la seccin urea, as como el sistema modular ste por sucapacidad de coordinacin con aqullapara determinar las lneasprincipales de la composicin. Esta argumentacin ha sido refutadapor Roger Fischler en dos artculos74 en los que demuestra que, sibien Gris conoca los mtodos de composicin basados en el nmerode oro, no los utiliz nunca.En 1921 se publica en Pars Du Cubisme au Classicisme, signi-ficativamente subtitulado Esthtique du compas et du nombre, deGino Severini,75 un libro que fue escrito en un perodo de su vidaen el que predomina una potente voluntad de superar lo que con-sidera como una debilidad o falta de oficio, y que pretende sentar 73 A. Lhote: Traits du Paysage et delas bases de su esttica y de la tcnica necesaria para expresarla.la Figure, Pars, Bernard Grasset, 1958; p. 59. Vers. cast.: Tratado delDu Cubisme se inicia constatando el estado de anarqua en que Paisaje, Barcelona, Poseidn, 1985.se encuentra el mundo artstico, una constatacin muy generaliza-74 R. Fischler: An examination ofda en los textos tericos de la posguerra en Francia; pero Severiniclaims concerning The Goldendefine as la causa de esta anarqua: Los artistas de nuestra poca Number. Seurat, Gris, Mondrian, Ozenfant, Jeanneret; Gazette desno saben utilizar el comps, el transportador y los nmeros. Las Beaux-Arts, (Pars), (1980). R.leyes constructivas, desde el Renacimiento hasta nuestros das,Fischler/E. Fischler: Juan Gris, son milieu et le Nombre dOr; Revue deshan ido olvidndose () el arte ha cado definitivamente en el Arts Canadiens (RACAR), (1980);dominio de lo sensorial () y cada artista pretende solamente afir-vol. VII, 1.2.mar su individualidad fuera de toda regla o mtodo.76 Severini75 G. Severini: Du cubisme aupuntualiza que cuando habla de reglas no se refiere a las frmu-Classicisme. Esthtique du compas et du nombre, Pars, J. Povolozky, 1921.las muertas que se ensean en las escuelas de Bellas Artes sino a Reproducido en la versin originallas leyes eternas de la construccin que estn en la base del arte defrancesa en: G. Severini: Dal Cubismo al Classicismo e altri saggi sulla divinatodos los tiempos. Y en el captulo III, dedicado a las proporcio- proporzione e sul numero doro,nes y a su aplicacin en el arte, detalla la divisin de una recta Florencia, Marchi & Bertolli, 1972;en media y extrema razn as como la relacin del nmero de oro pp. 47-120.con la serie de Fibonacci. Para Severini una esttica basada en el 76 Ibid., p. 53. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 36. cap. 19/5/00 08:20 Pgina 3838I. I Fortuna histrica de la divina proporcinnmero es verdadera porque es conforme a las leyes a travs de lascuales nuestro espritu ha comprendido y explicado el universodesde Pitgoras y Platn. El ritmo est presente en toda la creacinsegn unas leyes que nos permiten recrear o reconstruir los equi-valentes del equilibrio y la armona universales. La finalidad delarte es Reconstruir el universo segn las mismas leyes que lorigen.77 Du Cubisme au Classicisme se public con un prefaciode Ren Allendy, e inmediatamente provoc duras crticas porparte de los cubistas e incluso por parte de aquellos que, comoOzenfant, eran considerados por Severini como compagni-di-strada: en LEsprit Nouveau apareci, firmado por De Fayet, uncomentario que critica duramente el exceso de conciencia mstica queparece presidir el libro.78 Ese mismo ao Severini recibi un encargode Lonce Rosenberg que le iba a permitir llevar a la prctica el retor-no al oficio y a la tradicin clsica que preconizaba en el DuCubisme... Se trataba de la decoracin de una sala del castillo deMontefugoni, al lado de Florencia, propiedad de Sir George Sitwell.Severini escogi como motivo a los personajes de la CommediadellArte, muy contento porque esto le permita mantenerse entre lohumano y lo abstracto, entre lo inventado y lo real.79 Dividi losmuros en espacios limitados armnicamente, basando las composi-ciones en las propiedades geomtricas de los tringulos rectngulos,con la exigencia de trazar sobre el muro, junto al motivo, las fasesanalticas del proyecto; en lo que se refiere a la tcnica y al colorsigui las reglas extradas de los antiguos tratados relativos al fresco.El inters de Severini por la seccin urea continu a lo largo de losaos, como lo prueban los artculos que escribi en 1941 sobre laDivina Proporcin, y en 1951 sobre el Nmero de Oro y otrasrelaciones de armona en el arte moderno80 (texto de la conferenciaque present en el Primo Convegno Internazionale sulle Proporzioninelle Arti, realizado en el marco de la IX Trienal de Miln en 1951,sobre el que volveremos ms adelante).77 Ibid., p. 59.En 1920, Amede Ozenfant, Le Corbusier y Paul Derme haban78 De Fayet: Les livresfundado LEsprit Nouveau, una revista de esttica que relacionaba eldEsthtique, LEsprit Nouveau, n. arte, la ciencia, la poltica, la economa... No es casual que en la pre-15. Toda la polmica de Severini conLEsprit Nouveau est reproducida ensentacin del primer nmero de la revista se exponga una declaracinG. Severini: Dal Cubismo al de principios como sta: El espritu que preside los trabajos de estaClassicismo, cit. pp. 150 y ss.revista es el que anima a toda investigacin cientfica. Somos hoy ya79 G. Severini: La Vita di un pittore,bastantes los estticos que creemos que el arte est sometido a leyesMiln, Feltrinelli, 1983; p. 291.como ocurre con la fisiologa o la fsica Queremos aplicar a la est-80 Ambos artculos se encuentran entica los mismos mtodos que la psicologa experimental con toda laG. Severini: Dal Cubismo alClassicismo, cit. pp. 175 y ss.riqueza de medios de investigacin que sta posee hoy; queremos en81 LEsprit Nouveau, nm. 1, (Pars), definitiva trabajar para constituir una esttica experimental.81(oct. 1920); s/p. (Trad. de la autora). Como ejemplo de una ley esttica citan la seccin urea y los resul- Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 37. cap. 1 9/5/00 08:20Pgina 39La divina proporcin. Las formas geomtricas39tados de la experiencia de laboratorio de Fechner aunque sin men-cionarlo; y aaden: Por otra parte, la Seccin de Oro es una delas medidas que se transmitan fielmente los artistas en otro tiempo.El hecho de conocerla dispensa al creador de recurrir al gusto conti-nuamente. Ya no es una regla es una ley esttica que, por otraparte, no es ms que una ley fsica y matemtica que percibe nuestrasensibilidad. Nosotros extraeremos numerosas leyes semejantes y, apartir de ella misma, se constituir una esttica experimental.82 Enel nmero 17 de LEsprit Nouveau aparecieron publicados ejemplosde utilizacin de trazados basados en la seccin urea en dos obraspuristas de 1920, Composition la guitare et la lanterne, deCharles-Edouard Jeanneret, y Guitare, verre et Bouteilles la tablegrise, de Amede Ozenfant.Al inters demostrado por Roger Fischler en explicitar queOzenfant y Jeanneret no slo no usaron el nmero de oro a princi-pios de los aos veinte sino que de hecho le eran hostiles,83 se puedeargumentar que nada es menos hostil que la cita explcita sobre laseccin urea del primer nmero de LEsprit Nouveau. Pero en lo quese refiere a Ozenfant sus memorias son categricas: al tratar el temade la seccin urea, cita un fragmento del libro de Srusier que serefiere a sta, para pasar a comentar crticamente la mstica de laSeccin de oro, considerada por algunos como el Abracadabra dela Naturaleza y del Arte.84 Ozenfant glosa extensamente la doctri-82 Ibidem.na de la Divina Proporcin, mencionando desde las teoras de83 R. Fischler: The early relationshipZeising y Fechner a los artistas que como Seurat, Severini y Lhote laof Le Corbusier to the Goldenhan utilizado en sus obras. En este sentido, destacan algunos comen-Number, Environtment andtarios: No nos hemos dado cuenta an de lo peor: segn creo, estaPlanning B, vol. 6, (1979); p. 98.famosa Seccin de Oro no puede funcionar visualmente, no ms, por (Trad. de la autora).84 A. Ozenfant: Mmoires 1886-otra parte, que cualquier otro sistema de proporcin calculado en1962, Pars, Seghers, 1968; p. 571.abstracto... Hay incompatibilidad fundamental entre las proporcio-(Las versales son del texto).nes calculadas que son realidades absolutas y el arte que est hecho85 Ibid., pp. 575-576.de ilusiones relativas... Pensar en trminos de Unidad Universal, es86 R. A. Moore ha trazado un retratouna filosofa alta y pura, y las matemticas son el gran arte del pen-de Le Corbusier basado en el simbo-samiento puro: no las rebajemos al nivel de los trucos ineficaces, aun- lismo alqumico que se desprendeque estn bautizados con una letra griega.85 tanto de las obras como de los textos,especialmente de Le Pome delAngle droit, escrito entre 1947 ySin embargo, la actitud de Le Corbusier respecto a esta cuestin1953. Un ejemplo de este simbolismoes el significado del pseudnimoes evidentemente distinta. Siempre lo encontraremos oscilando entre Corbu = cuervo, una imagen que auna posible adaptacin a las implicaciones de la ciencia moderna y la veces Le Corbusier utilizaba comofirma, y que en alquimia es el pjarobsqueda obstinada de una forma de expresin ms universal y, porhermtico, smbolo de la dualidad detanto, ms tradicional.86 En su trayectoria artstica, los sistemas delo material y lo espiritual. Cf. R. A.proporciones ocupan un lugar fundamental, de tal manera que, desdeMoore: Le Corbusier: Myth and MetaArchitecture. The Late Period 1947-principios de la dcada de los veinte en adelante, lo llevarn al inten-1965; Exhibition, Department of Art,to de concretar un nico sistema para proporcionar la arquitectura. Georgia State University, 1977. Los autores, 2000; Edicions UPC, 2000. 38. cap. 19/5/00 08:20Pgina 4040 I. I Fortuna histrica de la divina proporcin En febrero de 1921, LEsprit Nouveau publicaba el artculo Les tracs regulateurs, donde el trazado es definido como un seguro contra la arbitrariedad. Procura la satisfaccin del espritu.87 Se insisti- r en especial en este carcter espiritualmente satisfactorio del trazado: El trazado regulador es una satisfaccin de orden espiritual que conduce a la bsqueda de relaciones ingeniosas y de relaciones armo- niosas. Confiere euritmia a la obra.88 Presenta ejemplos de trazados, como la fachada del Arsenal del Pireo, el Capitolio de Roma o el Petit Trianon de Versalles; estos ejemplos sirven para demostrar que los trazados han servido para hacer cosas muy hermosas y son la causa de que estas cosas sean muy hermosas.89 Si en un principio la definicin de trazado como seguro contra lo arbitrario poda hacer pensar en su aspecto ms funcional, una afirmacin como sta conduce a una consideracin puramente esttica. Paul V. Turner ha enfa- tizado, en contra de opiniones que presentan la teora de los trazados de Le Corbusier y el posterior Modulor como perifricos dentro de su esttica, la importancia central que tiene para l la creencia en la relacin directa entre los sistemas de proporciones y la belleza arqui- tectnica.90 Aqu, como en Aprs le cubisme y en otros textos suyos, el orden discernible de la matemtica y la geometra tienen implicaciones psicolgicas al aportar seguridad al hombre: El trazado regulador aporta esta matemtica sensible que conduce a la percepcin beneficiosa del orden.91 Pero al mismo tiempo se puede constatar en los propios ejemplos de trazados sobre fachadas que presenta Le Corbusier la dificultad en ser captados por un posible espectador debido a su carcter de estructura geomtrica totalmente abstracta y difcilmente visualizable. Precisamente este aspecto poda haber atra- do especialmente a Le Corbusier: este tipo de trazados slo eran inteligibles para el arquitecto que, a la manera del iniciado, poda introducir a otros en el secreto; pero sobre todo tambin por el hecho87 Este artculo sera includo en elde que, siendo ms abstractos, eran a la vez ms precisos, ms mate-libro Vers une architecture, Pars,mticos y por tanto ms prximos al origen de la belleza.1923. Vers. cast.: Hacia una arquitec-tura, Buenos Aires, Poseidn, 1978,pp. 49 y ss. (Para todas las citas seEn una nota final del artculo Les tracs regulateurs,utiliza esta edicin). Le Corbusier, despus de excusarse por presentar slo ejemplos de88 Ibid., p. 57. trazados suyos, afirma: a pesar de mis investigaciones, no he teni-89 Ibidem. do el placer de encontrar arquitectos contemporneos que se hayan90 Cf. P. V. Turner: The Education ofocupado de esta cuestin

La divina proporcion las formas geometricas

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