XXXIII FERIA DE CIENCIA Y TECNOLOGA

FERIA

PROVINCIAL DE

CIENCIAS

YTECNOLOGIA

JUVENILTtulo:

La Divina Proporcin

Alumnos Expositores:

Cajal, DEBORA YAQUELIN 3 AO, DNI: 39.449.931 Lizrraga, CINTIA MICAELA

3 AO, DNI: 39.897.823 Alumnos Suplentes: Cajal, RAFAEL HERNAN

3 AO, DNI: 37.956.015 Jurez, MARIANA VANINA

3 AO, DNI: 37.956.024Nivel: Secundariorea: MatemticaOrientador: JOS GUSTAVO POSSE, DNI.: 21.551.849

Escuela: INSTITUTO SAN CAYETANO POZUELOS DPTO RIO HONDO SANTIAGO DEL ESTERO

Santiago del Estero, 10, 11 y 12 de octubre de 2012 AO: 2.012Ttulo:

ITEMPAGINA

RESUMEN 4

INTRODUCCION

PROBLEMAS

HIPOTESISOBJETIVOS Antecedentes 5

6

MARCO TEORICOQu es el Nmero de ORO?En qu figuras est presente la divina proporcin?

7

DESARROLLO11

HALLAZGOZs MATEMATICOs12

PHI EN LANATURALEZA19

UNA PROPORCION EsTETICA22

LA PROPORCION AUREA EN EL ARTE23

FICHA METODOLOGICA27

RESULTADOS OBTENIDOSDiscusin - MATERIALEs28

CONCLUSIONES29

BIBLIOGRAFIA. AGRADECIMIENTOS30

NDICE RESUMEN

El problema de investigacin que orient el proyecto fue la posibilidad de verificar la existencia de un objeto de las ciencias formales en las ciencias fcticas. Este objeto es Phi, nmero irracional algebraico igual a (1+ 5) /2.

La hiptesis planteada fue El Nmero de Oro est presente como nexo matemtico en la naturaleza y el arte.

Mediante un diseo de investigacin exploratorio se llev a cabo la bsqueda y recopilacin de fuentes primarias y secundarias que permitieron la confeccin del marco terico. Con el descubrimiento de hallazgos matemticos se logr la comprobacin de Phi en distintas figuras geomtricas y en la Serie de FibonacciPosteriormente el diseo experimental permiti comprobar empricamente en el mundo fctico la presencia de Phi en la naturaleza y el arte.

No parece haber ningn azar en la naturaleza, la divina proporcin se hace presente provocando abundancia de formas armnicas; lo que nos conduce a, como dijo Albert Einstein, suponer que Dios no juega a los dados con la naturaleza.

Esta investigacin intenta resignificar esta proporcin urea y despertar la curiosidad para estudiarla, indagarla y aplicarla.

INTRODUCCION

Problema: Si tratamos de explicar por que nos gustan algunas cosas y nos disgustan otras o por que algo nos parece hermoso la respuesta no resulta sencilla por que el gusto es subjetivo; desde la antigedad las personas se han preguntado, tanto en la arquitectura como en el arte, cules son las proporciones que hacen que una obra sea ms armnica a la vista; o qu relacin debe haber entre los elementos de una figura para que sealo ms armoniosa posible a la vista; en definitiva cmo explicar la belleza?

Es por ello que el grupo de estudiantes de 3 ao del Instituto San Cayetano realizan una investigacin para determinar si Existe un nexo matemtico en la naturaleza y el arte que permita explicar la belleza? Y si es as, Cul es ese nexo?Hiptesis: El Nmero de Oro est presente como nexo matemtico en la naturaleza y el arte.

Se trabaj con hiptesis de una solo variable ya que Phi es una constante matemtica; resultado de una proporcin que se comprobar en ciertas figuras geomtricas y se verificar empricamente en elementos de la naturaleza, obras de arte y arquitecturaObjetivos: Conocer bibliografa variada sobre Phi ().

Comprender en su complejidad la proporcin urea y lograr su investigacin. Establecer las relaciones de dentro y fuera de la Matemtica misma.

Reconstruir y revalorizar todas las propiedades geomtricas y algebraicas necesarias para demostrar la existencia de .

Verificar la existencia del nmero de oro en el segmento ureo, rectngulo ureo, pentgono regular y la Serie de Fibonacci.

Buscar elementos de la naturaleza y el arte donde se presente .

Resignificar la regla de oro en lo cultural y en la enseanza de la matemtica. Despertar la curiosidad para estudiar, investigar y aplicar la divina proporcin.

AntecedentesLa idea de investigacin surgi a travs del anlisis de los nmeros irracionales, y dentro de stos la presencia de un nmero oculto en la perfeccin proporcional de la naturaleza y los objetos creados por el hombre. Esto gener mucha intriga e incentiv la investigacin del tema y su aplicacin prctica.

El proyecto comenz a principios del corriente ao luego de la lectura del libro Matemtica 1 de la Editorial Puerto de Palos que posibilit tener un primer acercamiento al tema para luego ir dando forma a un proyecto que pudiera comprobar matemtica y empricamente la proporcin urea, logrando adquirir validez dentro de la ciencia.

En esta investigacin se han integrado las ciencias formales con las ciencias fcticas.

Marco TericoQu es el Nmero de ORO?

El nmero de oro es un nmero irracional algebraico cuyo valor se obtiene a partir de la siguiente proporcin, presente en el segmento ureo:

Todo = parte mayor =

Parte mayor parte menor

Su valor es:

= 1 + 5 ( 1,6180333989...

2

A toda razn igual al nmero de oro de la denomina Seccin urea o Divina Proporcin. Es un conocimiento Pitagrico que indica armona . Phi tambin se deduce de la serie de Fibonacci cuya representacin grfica es una espiral similar a la logartmica.

En qu figuras est presente la divina proporcin?

sta se encuentra en el Segmento ureo, el Rectngulo de Oro, en el Pentgono Regular y en la Espiral de Fibonacci.

Qu es la armona?

Etimolgicamente, es una conveniente proporcin y correspondencia de unas cosas con otras.

Los pitagricos definen la palabra Cosmos con el significado de ordenado, armnico y lo utilizan para describir el universo. Lo opuesto es para ellos el caos, lo desordenado.

El ideal tico griego es la formacin del carcter como una obra de arte que hay que componer armnicamente. La belleza es el resultado de la armona del cuerpo y el alma, y es el bien el que introduce esa armona.

Segn Le Corbusier la precisin exigible destinada a provocar una emocin de calidad es de orden matemtico. El resultado de esto se expresa en la armona. Es la coexistencia feliz de las cosas, lo cual implica relaciones y acuerdos entre uno mismo y el medio, entre el espritu del hombre y el espritu de las cosas, entre la matemtica que es un descubrimiento humano y la matemtica que constituye el secreto del mundo.

En el arte, uno de los componentes del lenguaje plstico, es la proporcin en los objetos representados, gracias a esto una composicin adquiere gracia, armona y expresividad.

Phi a lo largo del tiempo

Los restos de las civilizaciones egipcias, pirmides y templos de 3000 aos a.C., son testigos mudos de un inmenso conocimiento matemtico. Se cree que ellos fueron quienes primero conocieron el nmero de oro. Existen evidencias arqueolgicas que muestran la presencia Phi en la construccin. Por ejemplo la base de la pirmide de Keops es un cuadrado construido a partir de la proporcin urea.

As se certificara histricamente que la Matemtica naci en el Antiguo Egipto.

Con el tiempo la Filosofa comenz a ligarse a la Matemtica y especialmente a la Geometra. Estos conocimientos eran considerados divinos, especialmente en Crotona (Sur de Italia, Antigua Grecia) donde se desarroll la escuela filosfica de Pitgoras.

Pitgoras le atribuye a los nmeros significado divino y un valor en la naturaleza, surgiendo la divina proporcin como patrn universal de armona.

A partir de esos conocimientos, la Filosofa y la Matemtica griega tomaron un impulso a favor de la razn con origen en Atenas, con Scrates y su discpulo Platn luego Aristteles.

Ms tarde Euclides recopil los conocimientos existentes momento sobre geometra antigua, especialmente griega, y quien le atribuy el Teorema de Pitgoras al mismo.

La famosa Biblioteca de Alejandra, casi destruida en su totalidad en tres ocasiones, signific la prdida de muchos conocimientos antiguos.

Durante el Imperio Romano, Alejandra cay bajo su influencia y dominio, form parte del Imperio de Oriente.

Con el auge del cristianismo en Roma, lo supuestamente opuesto a esta doctrina fue considerado hereje y diablico. Los conocimientos del mundo Antiguo debieron ser ocultados y as naci oscurantismo medieval.

Cuando los rabes accedieron a los documentos griegos, comenzaron a traducirlos, adquiriendo muchos conocimientos matemticos. El resultado de sus esfuerzos fue el principal responsable del crecimiento de las matemticas durante la Edad Media. Posteriormente los matemticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli tomaron stas fuentes.

Hacia 1200 se conoce con Leonardo Fibonacci una serie numrica que es considerada urea.

Con la conquista de Constantinopla por parte de los turcos se produce una gran difusin del conocimiento griego, se redescubre y forma una corriente moderna revitalizadora, posteriormente conocida como Renacimiento.

Toda Europa vuelve a los estudios griegos, la cultura, la escultura y la pintura llegan a su mximo esplendor. Sus exponentes: Leonardo Da Vinci, Miguel ngel Buonarroti, Rafael, tornan vitales las antiguas proporciones utilizadas. Se trata de la proporcin urea, del nmero de oro. Todo se construye en esa proporcin.

Paralelamente apareci el libro de Luca Pacioli La divina Proporcin, dando los cnones de belleza del cuerpo y de obras arquitectnicas basndose en la serie urea, con repercusin e influencia sobre el Renacimiento.

La historia de la Divina Proporcin es en realidad una mezcla de historia medieval e historia antigua, encierra un trozo de historia matemtica, se mezcla con la filosofa, tie el arte y marca para siempre a la Arquitectura. C. M. E.

El nmero de oro en la naturaleza y en el arteLa proporcin urea, y la Serie de Fibonacci est presente en la naturaleza biolgica y en el cuerpo humano; en el crecimiento de las plantas segmento a segmento, en la distribucin de las hojas, en frutos, en ciertas flores, en la ubicacin de las semillas en el girasol, en ciertos animales tales como el Nautilus, en el rostro humano, en las manos, etc.

En cambio en arte, la proporcin es la relacin constante que debe existir entre las dimensiones de cada una de las partes de un objeto o composicin y las dimensiones de su totalidad.

El Renacimiento revivi la preocupacin por el hallazgo de la norma perfecta y universal. Grandes artistas realizaron minuciosos estudios sobre las proporciones y utilizaron con exactitud y rigor la divina proporcin. Fueron aplicados con continuidad los principios del arquitecto romano Vitruvio, recogidos en la seccin urea, la cual representa la proporcin armnica entre dos dimensiones.

DESARROLLO

Los Pitagricos y Phi

Nuestra civilizacin debe a los Pitagricos el mtodo que conquista el asentamiento ntimo de la inteligencia y al mismo tiempo pone su universalidad fuera de discusin. Discernieron la evidencia de una armona perfecta, de una adecuacin bsica entre lo que se concibe por el espritu y lo que salta a la mirada.

Una de las conquistas ms importantes concierne a la naturaleza de la magnitud considerada en su relacin con el nmero, sta naci de la aplicacin del teorema de Pitgoras al caso del tringulo issceles. Trabajaron la proporcionalidad y descubrieron inconmensurables, lograron demostrar que la hipotenusa de un tringulo rectngulo es inconmensurable con uno de los lados tomados como unidad. Adoptaron, como smbolo de su escuela, el pentalfa; estrella de cinco picos determinados por las diagonales de un pentgono regular, siendo la razn entre la diagonal de ste con uno de los lados Phi.

Los siglos no agregaron nada a la plenitud, del sentido que la racionalidad pitagrica confiere a la palabra verdad., pero stos no supieron resistir la tentacin de generalizar arbitrariamente y de trascender los resultados a los a los que haban llegado. Orgullosos de haber penetrado en la estructura interna de los nmeros, quisieron que el secreto de la esencia interna de todas las cosas se les revelase en virtud de los nmeros considerados como entes cualitativos, como vehculos de propiedades que el curso ordinario de las cosas no permita descubrir. Los excesos en que incurrieron los pitagricos y el devenir del racionalismo hicieron que se dejara de lado el inconmensurable ms relevante de la naturaleza, el nmero Phi.

Hallazgos matemticos

La Divina Proporcin

La Seccin urea o Divina Proporcin la encontramos al dividir un segmento inicial AB en dos segmentos AC y CB, de forma tal que la razn entre el segmento mayor y el menor sea igual a la razn entre el segmento inicial y el segmento mayor:

AC = AB CB AC En toda proporcin existe una constante de proporcionalidad y la Divina Proporcin es:

AC = AB

AC = AC+CB CB AC CB AC AC+CB AC + CBAC+1AC = CB AC= CB CBAC= CBCB ACCB AC CB AC CB CB

CBSi x = AC , entonces: x= x+1 x - x -1 = 0 CB xX = 1 1-4.1(-1) = 1 5 2 2

Considerando el valor positivo y designando con la letra griega a la constante de proporcionalidad, resulta = 1+ 5 AC = AB = 1,618 2 CB ACRectngulo ureo

Para la construccin del rectngulo ureo se parte geomtricamente de un cuadrado CABD, se marca el punto medio del lado CD, quedando determinado el punto M, se traza la diagonal MB, con centro en M y radio MB se traza la circunferencia de centro M y radio MB, sta corta a la prolongacin del lado CD en el punto F. Por F se traza una perpendicular a la prolongacin CD y se determina el rectngulo de seccin de oro CASF.

Por qu esta figura es un rectngulo ureo?

CD + DF = CD = ( 1,6180339...

CD DF

El lado mayor del rectngulo (base) es al lado del cuadrado que origina, como el lado del cuadrado original es al la diferencia entre el lado del rectngulo y el lado del cuadrado. Cada una de estas razones son igual a .

Cmo demostrar esta proporcionalidad?

Si consideramos el lado del cuadrado la unidad, entonces CD=1

Y si aplicamos el teorema de Pitgoras: MB= MD + BD

Reemplazando

MB= () + 1

MB= + 1

MB= + 1

MB= 5/4 = 5/2

Como MB=MF y CF= CM+MF, resulta:

CF= + 5/2

CF= (1+ 5)/2

Por lo tanto CF = (1+ 5)/2 =(1+ 5)/2 = CD 1Construccin grafica del Numero de Oro En el libro Elementos, del famoso matemtico griego Euclides se encuentra la siguiente construccin grfica del nmero de oro: -se traza un segmento unitario ab y, perpendicular a este, se traza otro, tambin unitario ac

- con centro en o, punto medio de ac, se traza una circunferencia de radio oa

- se une b con o y se prolonga hasta cortar a la circunferencia en d

Aplicando el teorema de Pitgoras:

PentalfaPara construir el pentalfa, smbolo de la escuela pitagrica, se inscribe el pentgono regular ABCDE en la circunferencia de centro O y radio BO.

Dentro de esta figura geomtrica se encuentra una estrella de 5 picos cuyos lados pertenecen a las diagonales del pentgono.

En todo pentgono regular (segn los pitagricos) la razn entre una diagonal y un lado es Phi

Diagonal = Lado

Serie de Fibonacci: Espiral ureaEl ejercicio de Fibonacci pregunta cuntas parejas de conejos habr en una granja luego de 12 meses, si se coloca inicialmente una sola pareja y se parte de las siguientes premisas:

1. Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes.

2. En cuanto alcanzan la madurez sexual los conejos se aparean y siempre resulta preada la hembra.

3. El periodo de gestacin de los conejos es de un mes.

4. Los conejos no mueren.

5. La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos.

6. Los conejos tienen una moral y un instinto de variedad gentica muy relajados y se aparean entre parientes.

El resultado de este problema est en la siguiente tabla:mesesN parejas

00

11

21

32

43

55

68

713

821

934

1055

1189

12144

13233

14377

15610

16987

171597

182584

194181

206765

Se observar que se puede obtener un trmino cualquiera multiplicando el anterior por el nmero ureo. Por ejemplo:

51, 61803 = 8,09015La aproximacin ser tanto mejor cuantos ms decimales del nmero ureo hagamos intervenir en el producto.

Calculemos ahora los cocientes entre nmeros consecutivos de la serie:

1/1 = 12/1= 23/2 = 1,55/3 = 1,6668/5 = 1,613/8 = 1,62521/13 = 1,6153834/21 = 1,61904Obtenemos una sucesin de nmeros que van oscilando por encima y por debajo del nmero ureo:

1 1,5 1,6 1,615381, 61803

2 1,666 1,625 1,61904De manera que ambas sucesiones, la que se aproxima por defecto y la que lo hace por exceso, acaban convergiendo en el nmero ureo. O, dicho de una forma ms explcita aunque terriblemente incorrecta, si pudiramos prolongar hasta el infinito laSucesin de Fibonacci, el cociente entre el ltimo nmero y el anterior nos dara como resultado el nmero ureo, con una exactitud total en todas sus infinitas cifras decimales.

Representacin grfica1. Se dibujan dos cuadrados de lado uno conectados por un lado

2. Con un comps, va a hacer un arco cuadrado de un punto al punto opuesto. Acurdese que el punto inicial del arco para el cuadrado siguiente es en punto donde par en el cuadrado anterior.

3. Conecte un cuadrado de longitud del lado ms largo del rectngulo (en ste caso de largo 2)

4. Trace el arco correspondiente al cuadrado.

5. Repita los pasos 3 y 4 hasta que est complacido con los resultados

Biologa: Los nmeros de Fibonacci en la naturalezaSe ha demostrado que las plantas crecen desde un pequeo y sencillo grupo de clulas llamado meristema. Existe un meristema individual en la punta de cada rama donde las nuevas clulas son formadas.

Estas clulas crecen en forma espiralada, mientras el tallo rota en un ngulo y luego una nueva clula aparece, y as sucesivamente. Un ngulo determinado puede producir el diseo optimo.

En el caso de las hojas, este ngulo determina que la misma va a oscurecer a las inferiores lo menos posible, ocurriendo lo mismo con sus superiores.

Una vez que una semilla es ubicada en la flor, se desplaza hacia fuera empujada por una nueva semilla, pero manteniendo el ngulo original en la flor. No importa cuan grande sea, las semillas sern siempre almacenadas uniformemente, y todo esto gracias a un predeterminado ngulo de rotacin entre las nuevas clulas.

El ngulo es Phi. Si hay Phi hojas por giro, o el equivalente phi giros por hoja, se obtiene el mejor empaquetamiento la mxima exposicin a la luz, y mayor rea expuesta a la lluvia, entonces sta se deslizar por las hojas y el tallo hacia las races. En el caso de flores y ptalos permite una mejor exposicin de los insectos, para atraerlos y facilitar la polinizacin.

La totalidad de la planta parece producir sus hojas, ptalos de flores y semillas en base al nmero de oro. Phi en las espirales de un girasolLa disposicin de las semillas de un girasol esta estructurada con 21 espirales hacia la izquierda y 34 hacia la derecha. Veintiuno y treinta y cuatro son dos nmeros consecutivos de la sucesin deFibonacci: 1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233

Phi en las espirales de una pia de pinoLo mismo ocurre con las pias de los pinos, tenemos dos nmeros consecutivos de la sucesin de Fibonacci : 8 y 13.

La disposicin de las hojas

Muchas plantas muestran los nmeros de Fibonacci en la disposicin de las hojas alrededor del tallo. stos se presentan cuando al contar el nmero de giros (en sentido de reloj) alrededor del tallo, desde una hoja hasta otra de igual posicin. Tambin contando las hojas encontradas hasta llegar a la misma posicin.

Si se cuenta en la direccin contraria se hallan diferentes nmeros de giros para la misma cantidad de hojas.

El nmero de giros en cada direccin y el de hojas encontrado son tres nmeros consecutivos de la Serie de Fibonacci. Este patrn aparece en el 90% de las plantas.

Phi en las proporciones morfolgicas de una abejaLa medida del abdomen de la abeja dividida por phi es igual a la medida de su trax y a su vez la medida del trax dividida por phi es igual a la medida de su cabeza.

Una proporcin esttica

En el cuerpo humano la divina proporcin tambin est presente. Por ejemplo en el rostro se puede hallar con las diferentes expresiones geomtricas de Phi. La Anatomade los humanos se basa en una relacin Phi exacta, as vemos que:

La relacin entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.

La relacin entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.

La relacin entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

La relacin entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi.

La relacin entre el dimetro de la boca y el de la nariz

Cuando la trquea se divide en sus bronquios, si se mide el dimetro de los bronquios por el de la trquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilacas primitivas).

Est comprobado que la mayor cantidad de nmeros phi en el cuerpo y el rostro hacen que la mayora de las personas reconozcan a esos individuos como lindos, bellos y proporcionados. Si se miden los nmeros phi de una poblacin determinada y se la compara con una poblacin de modelos publicitarios, estos ltimos resultan acercarse ms al nmero phi.

La proporcin urea en el arte La geometra es el lenguaje de la mente. Le Corbusier

Desde la antigedad relacionan geometra con creacin artstica.

La geometra posibilita analizar las relaciones sensibles entre razones. Los pintores han empleado con frecuencia un esqueleto constructivo de configuraciones geomtricas y lneas para obtener composiciones con armona y ritmo.

El artista debe someter sus sentimientos a una organizacin razonada del nmero. ste crea orden, el orden ritmo, el ritmo engendra armona. Todo esto no es ms que belleza recreada, compuesta y humanizada.

La naturaleza est organizada en subdivisiones o desarrollos de relaciones lgicas, armnicas.

La proporcin urea permite al artista , a travs de su aplicacin, naturalizar y equilibrar sus composiciones de modo armnico.

Regla de Vitruvio

En la Antigedad Vitruvio (arquitecto romano) estudi , razon y plante que:

Para que un espacio dividido en partes desiguales resulte agradable y esttico, deber haber entre la parte mas pequea y la mayor la misma relacin que entre esta mayor y el todo. Lo que encuentra respuesta en la proporcin urea.

Aplicacin practica: la Ley de la seccin dorada puede ser aplicada a cualquier distancia o longitud, sea esta en anchura o en altura. Entonces en una superficie dada, si se multiplica la altura por el factor, 1/ por una parte, y repitiendo la multiplicacin de la anchura, por el mismo factor se obtiene un punto ideal, un punto dorado, en el que se puede situar el elemento ms importante del cuadro, con la seguridad de haberlo situado en el lugar ms perfecto artsticamente hablando.

La regla de Vitruvio con base en la proporcin urea es de gran utilidad para ser aplicada a cualquier tipo de composicin, sea artstica o comercial, sirviendo unas veces como punto o centro de inters mximo, otras como eje bsico de la composicin.

El famoso cuadro (leo sobre tela) de Dal Leda Atmica pintado en 1949, sintetiza siglos de tradicin matemtica y simblica, especialmente pitagricas.

Se trata de una filigrana basada en la Proporcin urea, pero elaborada de tal

forma que no es evidente al espectador. En el boceto de 1947 Esbs per a LedaAtmica se advierte la meticulosidad del anlisis geomtrico realizado por

Dal, basado en el Pentagrama mstico pitagrico.

El rostro de la Gioconda proporcionado con rectngulos ureos.Ficha Metodolgica

La aplicacin del mtodo cientfico permiti guiar y orientar la investigacin utilizando el mtodo lgico deductivo y el principio de induccin matemtico para demostrar Phi.

Se trabaj Phi con distintos tipos de diseos. Mediante el diseo exploratorio se llev a cabo la bsqueda y recopilacin de fuentes primarias y secundarias que permitieron confeccionar el marco terico y realizar demostraciones en geometra, lgebra y aritmtica.

Con el diseo experimental se comprob empricamente en el mundo fctico la presencia de Phi en la naturaleza y el arte.

RESULTADOS OBTENIDOSDiscusin La investigacin realizada en su fase de hallazgos matemticos, ha resultado muy enriquecedora, los alumnos realizaron demostraciones variadas teniendo que recurrir a conocimientos matemticos diversos; aplicando propiedades y teoremas. Los procedimientos realizados le otorgaron otro sentido a los saberes y conceptos aprendidos por los estudiantes. A pesar de algunos intentos fallidos, se avanz en la demostracin del hallazgo de la razn urea existente entre la diagonal y el lado del pentgono regular, sin embargo al no haber alcanzado un resultado satisfactorio se debi recurrir a la comprobacin emprica. Respecto a la presencia de Phi en elementos de la naturaleza, se pudo comprobar su presencia en varias partes del cuerpo humano, en el 100% de los sujetos analizados, en cuanto a la existencia, o no, de Phi en plantas, la comprobacin se realiz en las hojas del ciruelo y del jazmn; no se pudo trabajar con el girasol y otras especies por no haber conseguido el material concreto pero se analizaron fotografas. Del mismo modo se trabajo respecto de las obras de arte.Materiales

Materiales:Los materiales que se utilizaron para la concrecin del proyecto fueron:

Cartulina

Textos bibliogrficos

Internet

Afiches

Metro de madera tiles de geometra Reglas graduadas

Cmaras fotogrficas Plantas de ciruelo y jazmn.CONCLUSIN

La hiptesis inicial fue verificada empricamente en un nmero determinado de presencias y se logr comprender Phi en el sentido filosfico y cmo influyeron en su estudio y aplicacin las diferentes corrientes del pensamiento matemtico.

Luego se comprob la presencia de Phi en:

el Segmento ureo

el Rectngulo ureo

el Pentgono Regular

la Serie de Fibonacci

Luego se logr verificar la presencia particular de esta proporcin en:

Naturaleza: distribucin de las hojas (jazmn y ciruelo), semillas (girasol), cuerpo de la abeja y cuerpo humano. Arte: La Gioconda y Leda Atmica El nmero Phi, llamado Divina Proporcin (la regla de oro Pitagrica) est presente en la naturaleza, es uno de los nmeros capaces de provocar abundancia de formas armnicas. As lo comprendieron grandes artistas y el resultado de sus obras es la coexistencia del rigor la exactitud y la razn de esa armona.

... la ley que determina el rbol, el esplendor unitario de las races, del tronco de las ramas, de las hojas de las flores de los frutos. No hay ningn azar en la naturaleza si se comprende que es la matemtica en el sentido filosfico, se la discierne en todas sus obras. El rigor la exactitud son los medios de la solucin, la causa del carcter, la razn de la armona."- Le Corbusier-

Proyeccin:

El uso de esta proporcin sufri a travs de la historia diversas valoraciones y su prctica ha ido declinando desde el Renacimiento. Se puede desprender un poco de la consensuada medida mtrica y remplazarla por los recursos que brindan los nmeros y particularmente la proporcin urea; resignificando la regla de oro, revalorizando un trozo de historia y reencontrando el eslabn Pitagrico.

Es posible descubrir un trozo de matemtica para ser estudiada, enseada, aprendida, y aplicada.Es una propuesta de quienes realizaron este trabajo y se sienten tentados a continuar su estudio y aplicacin en otros campos como el de la gentica, que esta temtica sea incluida en el desarrollo curricular de la matemtica.

BIBLIOGRAFA

Matemtica 9. Santillana Matemtica Activa. Puerto de Palos Escudero C.M., El nmero de oro, 1985, Editorial Pulmn.

Selzer, Geometra 1, Buenos Aires, Editorial Kapelusz, Marzo 1968.

- Tajani y Vallejo, Matemtica: lgebra, geometra, trigonometra, Buenos Aires,

AGRADECIMIENTOS

Es nuestro deseo agradecer a:

La Comunidad Educativa del Instituto San Cayetano de Pozuelos ( Dpto. Ro Hondo) Nuestros compaeros por la colaboracin para encontrar el nmero de oro en sus cuerpos.

Nuestras familias por su permanente contencin y apoyo. A la seora Alicia Aranda por las plantas.

A Mara de los ngeles Bulacio por los souvenirs La Seora Rectora del Instituto San Cayetano Prof. Rosa Estela Ovejero, por su permanente apoyo A TODOS ......... MUCHAS GRACIAS!

ANEXO

REGISTRO PEDAGOGICO:

04/04/12: Lectura de un texto del libro Matemtica Activa (Puerto de Palos) sobre el numero de oro que genero gran inters en los alumnos.

02/ 08/ 12: Charla con los alumnos de 3 ao para motivarlos a la participacin en la Feria de Ciencias.

10/ 08/ 12: Explicacin de las caractersticas de los proyectos de investigacin para ferias de ciencias y de los pasos del mtodo cientfico.

15/ 08/ 12: Planteamiento preliminar del problema/ pregunta a investigar.

16/ 08/ 12: Planteo de la hiptesis de investigacin. Planteo de los objetivos de la Investigacin.

21/ 08/ 12: Buceo bibliogrfico y bsqueda en Internet de informacin sobre el tema de investigacin.

24/ 08/ 12: Construccin del marco terico. Replanteo de la hiptesis.

27/ 08/ 12: Determinacin de los alumnos expositores03/ 09/ 12: Comienzo de la bsqueda de los hallazgos matemticos. Se hizo necesario realizar una revisin de conceptos y propiedades (teorema de Pitgoras, propiedad uniforme, Formula resolvente de ecuaciones cuadrticas, construccin de polgonos regulares)05 /09 /12: Bsqueda de la razn urea en el cuerpo humano. ( trabajo con la totalidad de los alumnos de 3 ao) 07/09/12: Continuamos buscando el nmero de oro en el cuerpo humano. Tabulacin de los resultados.

10/ 09/ 12: Bsqueda de regularidades en ramas de ciruelo y jazmn. Anlisis de la informacin obtenida. Lectura del borrador del marco terico. Elaboracin de las primeras conclusiones.14/ 09/ 12. Lectura de bibliografa en la bsqueda de la proporcin urea en el arte.

17/09/12 Organizacin de la Carpeta de Campo. Contina la discusin cotejando toda la informacin.

19/ 09/ 12: Discusin y elaboracin de las conclusiones finales. Preparado de la versin final del informe22/ 09/ 12: Seleccin del material para el Stand.

25/ 09/ 12: Armado del Stand para la Feria de Ciencias Instancia Zonal.

25/ 09/ 12: Presentacin de la investigacin en la Feria de Ciencias Instancia Zonal en Las Termas de Ro Hondo.27/09/12: Anlisis de la devolucin de los evaluadores en la instancia zonal28/09/12: Continuamos en la bsqueda de Phi en la naturaleza y en el cuerpo humano01/10/12: Construccin del comps ureo

02/10/12: Construccin del ngulo de oro

03/10/12: verificacin de la proporciona urea utilizando el comps ureo

A

B

S

EMBED PBrush

F

D

M

C

P

A

O

D

B

E

C

32