Historias Financieras Fascinantes Por: Marcelo Ghetti Sangines

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HISTORIAS FINANCIERAS FASCINANTES LAS FINANZAS DE LA DIVINA PROPORCION

El Secreto Cabalístico de los Traders

magine una centuria de soldados romanos marchando enérgicamente hasta que el centurión grita ¡Alllllllto! !Enumerarrrrsé! y a continuación los

soldados romanos empiezan a enumerarse.. -¡Palito! -¡Palito Palito! -¡Palito Palito Palito! -¡Palito Ve! -¡Ve!..... Bueno, lo que tiene de malo este chiste (¡si! era un

chiste), lo tiene de ilustrativo, de lo ineficiente que era

el sistema numérico romano para el desarrollo de las

matemáticas, la ciencia, la contabilidad y el comercio.

El sistema arábigo/hindú, que usamos actualmente, lo

supero por muchos motivos, entre ellos, la existencia

del número “cero”, que nos permite distinguir entre 11,

101, 1001, etc. sin el uso de símbolos adicionales; se

escribe y lee de izquierda a derecha y es un sistema

“posicional”, en el que el valor de un numero depende

de su posición (un 1 puede significar uno, diez, mil, etc.

dependiendo de su posición en la cifra). Que prefiere

escribir en sus cálculos: 1998 o MCMXCVIII (mil –M-

más mil menos cien –CM- más cien menos diez –XC-

más cinco –V- más uno más uno más uno –III-).

El hombre de los números.- Y porque la civilización

occidental no sigue usando los números romanos?

Resulta que el muchacho Leonardo, nacido en 1170 en

Pisa, y llamado por eso, Leonardo de Pisa1 o Leonardo

Pisano, era hijo de Guglielmo Bonacci, quien era algo

así como un agente de aduana y comercial a la vez. El

oficio del padre le permitió a Leonardo, residir en Bugía

1 Adivine donde nació Leonardo da “Vinci”?

(la actual Argelia) en el norte de África, de donde el

continente se proveía de velas, miel y finos cueros. A

insistencia de él, el joven Leonardo recibió tanto la

educación europea como la matemática árabe/hindú.

También debido a ser hijo de Bonacci, recibe el nombre de Fibonacci (filius Bonacci) por el que es más conocido. Leonardo viajo a muchos países para comerciar y aprender de quien quiera enseñarle, en Egipto, Syria, Grecia, Sicilia y

otros. Al retorno de sus travesías, ya con 32 años, presenta su libro Liber Abaci (Libro de Calculo), una obra maestra que introduce en Europa el sistema numérico indo-arábigo, que usamos actualmente, y se preocupa de demostrar la superioridad y utilidad para los negocios, la conversión de divisas y medidas, cálculo de la distribución de beneficios entre los capitalistas y los marineros que realizaba los grandes viajes comerciales, principios del valor presente, cálculo de intereses, series numéricas, etc. Esta innovación sin duda fue un gran salto para el desarrollo de los negocios, la contabilidad, ciencia y tecnología. A diferencias de muchos genios que mueren sin ser reconocidos en su tiempo y por su gente, Fibonacci fue invitado y declarado huésped, por nada menos que el Emperador Federico II, Rey de Sicilia, Chipre y Jerusalén, y Emperador del Sacro Imperio Romano2, quien tenía gran interés por las ciencias. Los otros dos intereses del Emperador, eran luchar contra la iglesia al extremo de ser excomulgado y declarado anticristo,

2 Porsiaca, es una sola persona. Imagínese como seria su tarjeta de presentación (hay estos nobles).

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y el otro era contraer nupcias y tener descendencia con sus esposas y con sus nada secretas amantes. En la corte de su mecenas, el joven matemático recibió el ataque de los celosos matemáticos del emperador. Uno de ellos, Teodoro, le planteo un problema que era más para una computadora actual, que para un humano: encontrar un cuadrado tal que si se le suma o resta el número 5, da como resultado un número cuadrado. Y Leonardo le respondió publicando su libro “Liber Quadratorum” o “El libro de los números cuadrados”3. Juan de Palermo, también de la corte, le

plantea dos problemas, que inspiraron su “Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relativas al número y a la geometría” y la carta que envía al astrólogo del emperador, también se constituye en un aporte valioso a la matemática y geometría. Todo esto le merece que la Republica de Pisa le dé un salario permanente4. ¡Bien por Leonardo¡ Con la numeración romana, los comerciantes solo registraban los datos y solo después realizaban complejos cálculos usando los dedos o con un ábaco. El mérito del pisano, fue empaquetar la sabiduría india, árabe y de otras culturas y “venderla” en occidente mostrando su utilidad, revolucionando así la ciencia, el comercio y las finanzas5. Bueno, ahora que ya sabe a quién le debemos el no tener que enumerarnos con “palitos”, tambien deben saber que este maestro tenía una obsesión por las series numéricas. En su libro relata una, basada en un tablero de ajedrez, él lo hace formalmente, pero yo prefiero contarle un cuento corto:

3 No sé si intencionalmente, pero Leonardo lo publico en un año cuadrado, más precisamente en el año 352 = 1225. 4 Basta con decir que hay varias ediciones hasta 1291 y se imaginara que para sacar una nueva edición copiada a mano (manuscrita) más vale que haya demanda por el libro. Existe un manuscrito de 1291 en la biblioteca Ricardiana en Firenze. 5 Cuando escuche a alguien decir que el concepto de valor presente, medula de las finanzas modernas, se debe a Irving Fisher o Karl Marx, cuéntele acerca de este hijo de Bonacci y su libro Liber Abaci, de 1202.

cuentan que el antiguo sabio hindú que invento el Ajedrez, se lo expuso a un rey de un país lejano6, que quedó tan maravillado, que le concedió lo que le pidiese. Pero como el sabio era muy humilde, solo le pidió que le den un grano de trigo colocado en la primera casilla de su tablero de ajedrez, 2 en la segunda, 4 en la tercera y así duplicando la cantidad en cada casilla hasta llenar las 64 casillas del tablero. Ante la poca pretensión del sabio, el rey, ofendido, ordeno entregarle lo que pidió y sacarlo de su presencia. Una semana después, luego de terminar sus cálculos, el contador real informo al monarca, que lo que le prometió al sabio, era de tal magnitud, que sobrepasaba el valor de todo su reino7 y es así como el sabio termino siendo coronado rey8. La famosa sucesión de Fibonacci.- Leonardo, y solo de manera tangencial, en su Liber Abaci escribe sobre sucesiones numéricas, con un ejemplo de conejos y la evolución de su descendencia en el tiempo, presentando esta sucesión numérica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 559, … que paso a llamarse, la Sucesión de Fibonacci. ¿Usted ya identifico el patrón de la serie? Pues bien, cada número resulta ser la suma de los dos anteriores. Gran cosa? por ahora no. Veamos algunas características de la serie:

6 Siempre quise contar un cuento con cosas antiguas y lejanas. 7 De hecho son 9.223.372.036.854.780.000 granos de trigo ¡ no me diga que aún no abrió el Excel ¡. De hecho, en la actualidad no hay un país que pueda producir esa cantidad en un año. 8 Por supuesto que hay la versión en la que el rey manda torturar y matar al sabio, pero mejor le cuenta a sus hijos la que yo le conté, para no alejar al niño de las apasionantes matemáticas. 9 fn = fn − 1 + fn – 2; partiendo de fo = 0 y f1 = 1

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Si tomamos 2 números de posiciones impares consecutivas (ej. Posiciones 3 y 5 – en verde- que corresponde a los números de la sucesión 2 y 5) y obtenemos su producto (10 en este caso). Este es igual al cuadrado del número que está en medio de los dos (en este caso el cuadrado de 3) mas 1 (3 al cuadrado=9+1=10). Y en caso de posiciones pares (ejemplo en azul) se debe restar uno (8x21=168 igual a 132=169-1=168).

Si sumo “n” términos seguidos (ej:1+1+2=4, en verde) el resultado es igual al número que esta 2 casillas a la derecha del último número de la suma (5, en verde) menos 1 (5-1=4). Vea en la tabla el resultado para otro caso (en celeste).

Cada número de Fibonacci (número-F en adelante) es el promedio del término que se encuentra 2 posiciones antes y el que está una posición después.10 ¡ Que espera para abrir el MS Excel y jugar un poco con la secuencia ¡

Bueno, ya lo convencí de que la serie es “especial”, por sus características. Y usted me podrá decir ¡Felicidades! es una serie con muchas curiosidades numéricas. Y…?, y si le digo que los números-F están impregnados también en la naturaleza. Por qué las margaritas y muchas flores tienen 5, 8, 13, 21, 34, 55 u 89 pétalos. Por qué los girasoles tienen 21 espirales en un sentido y 34 en el otro. Lo cierto es que es la manera óptima de “empaquetar” la mayor cantidad de semillas posibles

10 Hay más. Adicionalmente, si obtiene los cuadrados de cada número-F, notara que la suma de dos cuadrados consecutivos es también un numero Fibonacci. Y más, cualquier numero natural se puede expresar como una suma de números-F, todos distintos: Ej: 17=13+3+1. Aun quiere más? solo un término de cada 3 es par, uno de cada 4 es múltiplo de 3, uno de cada 5 es múltiplo de 5, etc. Ah!, también esto, la suma de 10 números consecutivos de la secuencia es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie sumada. Y esto: el último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números; los dos últimos dígitos, cada

(o pétalos) en un espacio limitado y en un organismo en crecimiento. Conclusión: la naturaleza es sabia.

La siguiente vez que coma una deliciosa alcachofa (imagen), tal

vez se detenga a contar el número de espirales que tiene, y cuando alguien lo crea un demente, tendrá que contarle esta Historia Fascinante. Pasa lo mismo si tomamos una abeja macho (zángano) y trazamos su árbol genealógico, cada generación hacia arriba es un numero-F11 Ahora vea su mano, ¡si, su mano! Si usa la longitud de su uña como una unidad de medida, el hueso en la punta de su dedo, o falangeta, debe ser de unas 2 uñas, seguido por la falangina de 3 uñas, seguido a su vez, por la falange de unas 5 uñas. El hueso final va hasta poco más de la mitad de la palma, que es una longitud de unos 8 uñas12. La Divina Proporción.- Vamos más allá. Resulta que si dividimos cada número de la sucesión entre el número anterior, el cociente obtenido tiende a un numero de infinitos decimales, representado por la letra Phi, Φ = 1,6180… y si dividimos cada número entre el posterior, la razón es = 0.618… (el inverso de Φ; es decir 1/Φ). Ambos

300; a partir de ahí, se repiten cada 15 × 10^(n – 1) números. Hay más, pero sé que ya lo aburrí. 11 El zángano nace de un huevo sin fecundar; tiene, por tanto una madre y ningún padre. Su madre, en cambio, sí tuvo dos padres, de tal manera que el original tiene dos abuelos y tres bisabuelos, dos de su abuela y uno de su abuelo, y así sucesivamente, completando la serie de Fibonacci. 12 Hay muchos más ejemplos. El número de hojas en un tallo hasta dar una vuelta completa al tallo es siempre número-F y muchos otros.

PRODUCTO 168

2 x 5 8 x 21

SUCESION F. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

32+1=10 132-1=168

POSICION 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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SUMA

SUCESION F. 1 1 2 3 5 8

SUMA 4

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números son llamados La Divina Proporción, 13 ya

mencionada por Euclides en el año 300 AC y hecha famoso por otro italiano, Luca Pacioli en su “De Divina Proportione” en 1509. Pero resulta que también se encuentra impregnado, como si fuera un sello divino de la creación, en el cuerpo humano, la música, la arquitectura, la astronomía, etc. Esta proporción se encuentra en la pirámide Keops y la torre Eiffel, en la Mona Lisa (no es de extrañarse, ya que Leonardo DaVinci era amigo de Luca), las proporciones del violín Stradivarius, la distancia entre los anillos de Saturno y otras dimensiones del sistema solar. Lamentablemente algunos fanáticos y ociosos, reportan también fenómenos espurios y forzados. Los ingleses, el 2012, lanzaron el concurso del rostro más bello del mundo, al que se presentaron más de 8.000 candidatas sin cirugía ni maquillaje (si, aún existen) y la ganadora, fue una chica de 18 años llamada Florence Colgate (seguro que ya vio su rostro). A nosotros, no debería sorprendernos que su rostro oculte más de 22 proporciones divinas, como los lados del rectángulo en que se encuadra su rostro, la distancia de los ojos a la nariz, y la de la nariz a los labios; distancia de los ojos a los labios, y de estos a la barbilla, etc.14 15. Y las finanzas qué?.- Pero bueno, que tiene de “financiera” esta historia fascinante? Pues bien, si los traders16 de acciones o de Forex17 pudieran hacer solo una pregunta a un oráculo, seguro preguntarían: Cuándo deben comprar, o cuál es el mejor momento

13 También llamado el Ratio de Oro, Numero Áureo, Proporción Aurea y otros. 14 https://www.youtube.com/watch?v=kKWV-uU_SoI 15 Mientras mi esposa dormía, tome un compás y escuadra, pero ella despertó justo cuando tenía el compás en su nariz; preferí no hablar de Leonardo Pisano a las 2 am y decidí sabiamente cerrar la boca, antes de mencionar el nombre de Florence, ya saben cómo son las Cochabambinas 16 Agentes que se dedican a transar con activos financieros para ellos mismos o para terceros.

para vender acciones o divisas? Y resulta que la respuesta la dan los números de Fibonacci y la Divina Proporción. Existe una tribu de analistas financieros, llamados técnicos o “chartistas” (de “chart”, gráfico). Ellos creen firmemente que para predecir el comportamiento de los tipos de cambio o precio de las acciones, son necesitan analizar la serie histórica de los precios de esa acción o divisa, y encontrarán patrones, que les darán la pauta de cómo se comportara esa variable en el futuro18 , “Voilà”. Son estos personajes, los que usan la Divina Proporción para tratar de hacer millones. Solo como ilustración simplificada, en la figura adjunta. Si un analista técnico, está en el “momento to” del gráfico y debe predecir el comportamiento del precio de la acción; seguramente identificará un patrón “cabeza y hombros”, y por lo tanto pronosticara que el precio de la acción seguirá cayendo, por debajo de la línea del cuello. Pero, está bien que veamos un sello divino en la naturaleza, el cuerpo humano, etc., pero porque en algo tan mundano y secular como las finanzas y el mercado de divisas?. Resulta que el mercado Forex es en el que se transan mayores volúmenes en el planeta, por lo que el comportamiento de sus precios resume la codicia, miedo, expectativas y demás sentimientos de miles de seres humanos, y por qué no reflejar ese sello divino del ser humano, también en esos mercados. A partir de la sucesión de Fibonacci y la Divina Proporción surgen algunos números cabalísticos usados sobre todo en Forex.

17 Viene de Foreign Exchange (Divisa extranjera) 18 En oposición a los analistas Fundamentales, que no creen en eso, y sostienen que para pronosticar los precios de las acciones se debe estudiar los fundamentos; es decir, su mercado, ganancias, competencia, precio, producto, proyección de dividendos, etc. Suelo comparar en mis cátedras, su obsesión por encontrar patrones, con la de los niños que tendidos en el césped miran al cielo y rápidamente encuentran nubes con forma del elefante Dumbo, algún Transformer y lo que pase por sus inocentes mentes.

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¿Cómo funciona esto? Me enfocaré en lo básico: Supongamos que el grafico es de la cotización del euro (cuantos usd por 1 euro), estamos seguros que estamos en medio de una tendencia alcista y estamos situados en un punto del tiempo (eje horizontal del gráfico) apenas pasado el punto B (el punto t0 de la línea vertical roja), en el que la cotización empieza a descender levemente. Lo que queremos predecir y sacarle provecho es: a) hasta que valor descenderá su cotización antes de seguir su tendencia alcista, ya que este será el momento de comprar (después subirá), y b) una vez que recupere la tendencia alcista, hasta que valor subirá, ya que este será el momento de vender los euros (después bajara su cotización). Pues bueno, debemos hacer lo siguiente: en el grafico trace una recta desde el valle19 hasta el pico (punto más alto), es decir, entre los puntos A y B del gráfico, este recorrido de los precios equivale al 100%. A partir de

ahí, podemos predecir de cuánto será el retroceso20 del precio antes de seguir creciendo. Los niveles hasta donde los precios bajan y luego “rebotan” subiendo, se denominan “soportes”. Y precisamente los niveles de soporte, corresponden a retrocesos de:

38,2% (surge de dividir un numero-F de la sucesión entre el que está dos posiciones adelante. Ej.13/34=0,382),

61,8% (el inverso de la Divina Proporción)

78,6% (raíz cuadrada, del inverso de la Divina Proporción).

19 Cotización más baja de periodo que está analizando. 20 Por eso se denominan “retrocesos” de Fibonacci. 21 Nivel que le pone un techo a la cotización durante un periodo, el mismo es difícil de sobrepasar por la cotización y suele bajar a partir de este punto, en el corto plazo.

El nivel de soporte que alcance dependerá de la fuerza del retroceso. Si la cotización llega a estos soportes ¡compre ya! ¡ pero ya!. Si compramos en el nivel de soporte de Fibonacci, cuando debemos vender? Pues cuando llegue a uno de los niveles de “resistencia”21 de Finonacci; es decir,

127% (la raíz cuadrada de la Divina Proporción) o

161,8% (la Divina Proporción multiplicada por 100). Cuando la cotización se acerque a estos niveles de resistencia ¡Venda! ¿Qué espera? Y realizará sus ganancias, antes que la cotización baje nuevamente. Es así como los analistas técnicos creen que hay algo mágico en estos números cabalísticos, que hace que las cotizaciones de acciones o divisas dejen de subir o bajar en estos niveles22. A partir de la Divina Proporción y la sucesión “F”, se construyen otras técnicas como los “Arcos de Fibonacci” que consisten en arcos concéntricos trazados a partir del nivel máximo de la cotización, con distancias que corresponden a los números cabalísticos ya expuestos, que se convierten en soportes o resistencias23. Y por supuesto, que todo software usado por los traders, calcula automáticamente los soportes y resistencia de Fibonacci. Lo que considero fascinante de esta historia financiera, es como los modernos traders, con una formación totalmente racional y cuantitativa (quants), pueden apostar millones y hacer estrategias basados en una secuencia numérica, que oculta muchos misterios, propuesta por un habitante de Pisa del año 1200.

22 Por supuesto que no es la única herramienta que usan los ¨chartistas¨. Tienen toda una batería de otros indicadores para confirmar la tendencia, su fuerza, etc. 23 También están los radios y las zonas temporales de Fibonacci.

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Referencias24

Benjamin Arthur - The magic of Fibonacci numbers. TedTalk.

Devlin. The Man of Numbers

Goetzmann Fibonacci and the financial revolution. NBER.

Investopedia. Varios artículos.

Moreno & Cordova. Fibonacci en los negocios.

Pickover. La Maravilla de los Números

Scott & Marketos. On the Origin of the Fibonacci sequence.

Wikipedia. Varias entradas.

24 Agradezco la atenta lectura y correcciones a Walter Bustamante.