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INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL DISCRETOS

Tema 1

Indice

Introducción al Control DiscretoEcuaciones en DiferenciaTransformada en ZPropiedades de la Transformada en ZTransformada Inversa de ZFunción de Transferencia DiscretaRepresentación en Espacio de EstadoMatriz de Transferencia Discreta

Introducción al Control Discreto

Un sistema en tiempo discreto viene caracterizado por magnitudes que varían solo en instantes específicos de tiempo.Estas magnitudes o señales en tiempo discreto toman valores

r k( )r t r t r tn( ), ( ), , ( )1 2 K

k

r k( )

0 t1 t2 tn

Además de los sistemas inherentemente discretos, se incluyen también en esta categoría los sistemas continuos muestreados con formada por


r T r T r nT( ), ( ), , ( )2 K

k

r k( )

0t

r t( )

0

MUESTREO

T

r k( )


Señal continua y cuantificadacontinua

Señal discreta y cuantificadadiscreta


Sistema de Control Discreto

Un sistema de control discreto es aquel que incluye un computador digital en el bucle de control para realizar un procesamiento de señal.


La salida de la planta es continua y es realimentada a través de un transductor que convierte la señal de salida en señal eléctrica.

La señal de error continuo es convertida a señal digital a través del circuito de muestreo (periodo T) y reconstrucción S&H(Sample and Hold) y del convertidor A/D, proceso llamado codificación

t

e t( )

0 T

Sample and Hold

t

e tsh( )

0 TEfecto del S&H


El convertidor A/D (encoder) convierte la señal continua en señal digital binaria, mediante un proceso de cuantificación


El computador digital procesa la secuencia de valores de entrada digital a través de un algoritmo y produce una salida digital , según establezca la ley de control

Esta señal de control habrá de ser transformada de nuevo a señal continua como entrada a la planta (acción de filtrado de la planta).

COMPUTADOREc. Diferenciase kbin( ) u kbin( )


El convertidor D/A y el circuito de reconstrucción (Hold) convierten la secuencia de valores en una señal continua, proceso llamado decodificación


El circuito de reconstruccion (Hold) retiene el valor de salida del convertidor D/A justo un periodo T.

El uso del control discreto presenta ventajas e inconvenientes frente al control analógico.Hay diversos campos de aplicación del control digital.

t

u kd ( )

0 T

HOLD

t

u t( )

0 T

Efecto del Hold

Ecuaciones en Diferencia

La descripción de los sistemas en tiempo discreto viene definida por ecuaciones en diferencia, que relacionan la señal de salida con la señal de entrada .

y k( )u k( )

u k( ) y k( )SISTEMA

{ }u kT u k u u T u T u kT( ) ( ) ( ), ( ), ( ), , ( ),= = 0 2 K K

{ }y kT y k y y T y T y kT( ) ( ) ( ), ( ), ( ), , ( ),= = 0 2 K K


Ecuación en diferencias del sistema, en general

Definiendo entonces y quedaría

Los sistemas en tiempo discreto lineales e invariantes en el tiempo (LTI), vendrán definidos por

f y k y k y k n u k u k u k n( ( ), ( ), ..., ( ), ( ), ( ), ..., ( ))− − − − =1 1 0

k n l− = k n l= +f y l n y l n y l u l n u l n u l( ( ), ( ), ..., ( ), ( ), ( ), ..., ( ))+ + − + + − =1 1 0

a y k n a y k a y k b u k n b u kn n⋅ + + + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + + + ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( )K K1 0 01

y y y n( ), ( ), , ( )0 1 1K −con C.I.


El algoritmo de control del computador digital podráser expresado como una ecuación en diferencias

Ejemplo: controlador PI discreto

e k( ) u k( )ComputadorDigital

u kT k e kT k x kTp i( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅

x kT x k T T e kT( ) (( ) ) ( )= − + ⋅1


A partir de la ecuación en diferencias, se pueden obtener los valores de salida dadas las condiciones iniciales y la entrada por simple recurrencia

Se obtiene una expresión para calcular a partir de y las condiciones iniciales.

Este método no permite obtener el termino gral. y(k)

y k na

b u k n b u k a y k n a y kn

n n( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))+ = ⋅ ⋅ + + + ⋅ − ⋅ + − − − ⋅−

110 1 0K K

y n y n( ), ( ), ...+1y y n( ), ..., ( )0 1−

Transformada en Z

La transformada en Z de una señal , con para

La transformada en Z juega el mismo papel que la transformada de Laplace, pudiéndose describir una señal discreta por su transformada .

x k( ) x k( ) = 0k < 0

{ }X z Z x k x k z z Ck

k( ) ( ) ( )= = ⋅ ∈ /−

=

∞

∑0

X z x x z x z( ) ( ) ( ) ( )= + ⋅ + ⋅ +− −0 1 21 2 K

x k( ) X z( )

Transformada en Z

Transformada en Z de Señales

k

u k( )

0

1

X z z zk

k

k

k( ) ( )= ⋅ =−

=

∞−

=

∞

∑ ∑10

1

0

X z zz

k

k( ) ( )= =

−−

=

∞

−∑ 1

01

11

Propiedades de Transformada en Z

Linealidad

Desplazamiento a la derecha

Desplazamiento a la izquierda

{ }Z a x k b y k a X z b Y z⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅( ) ( ) ( ) ( )

{ }Z x k n z X zn( ) ( )− = ⋅−

{ }Z x k n z X z x l zn l

l

n

( ) ( ) ( )+ = ⋅ − ⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−

=

−

∑0

1


Amortiguación

Multiplicación por k

Teorema del Valor Final

{ }Z c x k Xzc

k ⋅ = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟( ) c e aT= −

{ }Z k x k zdX z

dz⋅ = − ⋅( )

( )

lim x k lim z X zk z→∞ →

−= − ⋅( ) (( ) ( ))1

11

Transformada Inversa de Z

La transformada Z-1 permite obtener una señal a partir de . Se procede a la descomposición en fracciones simples de , más que de .

Se calculan los coeficientes de la descomposición en fracc. simples mediante el método de los residuos

X zz( )

X z( )x k( )

X z( )

kij

( ) ( )

( ) ( )...

)(

2

2

1

1

2

22

2

22

2

21

1

12

1

12

1

11

++

+++

++

+

++

+++

++

=

rr

rr

pzk

pzk

pzk

pzk

pzk

pzk

zzX

K

K


1. Para raíces simples:

siendo l el número de raíces simples.2. Para raíces repetidas, de orden de multiplicidad rj,

kX z

zz p

z pk kk

= ⋅ += −

( )( ) k l= 1, ,K

pk

pk

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅

−= −

−

−→

j

j

j

k

rkjr

jr

pzj

kj pzzzX

dzd

jrk )()(lim

)!(1

k l= 1, ,K j r= 1, ,K


Una vez determinados los coeficientes , se calculará utilizando las relaciones de la tabla de transformadas Z, aplicadas a las fracciones simples obtenidas, tal que

para raíces reales simples

para raíces reales múltiples

kij

x k X z( ) ( )−

zz c

c u kk

−→ ⋅ ( )

Tczz c

kT c u kk

( )( )

−→ ⋅ ⋅2


Existe un método más sencillo para obtener a partir de , mediante división directa, pues

grado grado

Procediendo a la división directa, se obtendrá

X z( )

X zN zD z

( )( )( )

=

N z( ) ≤ D z( )

X z c c z c z c z( ) = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +− − −0 1

12

23

3 K

{ }x k c c c( ) , , ,= 0 1 2 K

Función de Transferencia Discreta

La función de transferencia de un sistema en tiempo discreto LTI es la relación entre la transformada en Z de la salida y la transformada en Z de la entrada con condiciones iniciales nulas,

G zY zR z

( )( )( )

=

R z( ) Y z( )G z( )


Para un sistema LTI característico

tomando la transformada en Z, y considerando condiciones iniciales nulas

con m < n, en general.

a y k n a y k n a y k a y kn n⋅ + + ⋅ + − + + ⋅ + + ⋅ =−( ) ( ) ( ) ( )1 1 01 1K

= ⋅ + + + ⋅ + + ⋅b r k m b r k b r km ( ) ( ) ( )K 1 01

G zY zR z

b z b z ba z a z a

mm

nn( )

( )( )

= =⋅ + + ⋅ +⋅ + + ⋅ +

K

K1 0

1 0


También es frecuente expresar en términos de

A partir de y la entrada es posible obtener la salida según

y aplicar para obtener la sucesión de valores

G z( )z −1

G zb z b z b z

a a z a zm

m n n n

nn n( ) =

⋅ + + ⋅ + ⋅+ + ⋅ + ⋅

− − −

− −

K

K1

10

11

0

G z( ) R z( )Y z( )

Y z G z R z( ) ( ) ( )= ⋅

Z −1 y k( )

Representación en Espacio de Estado

Los métodos basados en el espacio de estado permiten el análisis y diseño de sistemas de control discreto que presentan múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO).

El estado de un sistema es la menor colección de variables llamadas var. de estadotal que conocidas en junto con la entrada para determinan unívocamente la salida para .

0tkT =

{ })(,),(),()( 21 kxkxkxkx nK=

kT ≥

0tkT ≥

t0


La dinámica del sistema multivariable (MIMO) serádescrita a través de un sistema de ecuaciones en diferencia de primer orden en la forma

siendo f y g las funciones de transición y lectura del sistema.Los diferentes componentes del vector de estado forman el espacio de estado.

))(),(()1( kukxfkx =+

))(),(()( kukxgky =


En el estudio que se va a realizar a continuación se va a restringir al caso de sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI), en cuyo caso las funciones de transición y lectura toman la forma

siendo G, H, C y D las matrices de representación en espacio de estado.Existen diferentes representaciones en espacio de estado según sea la elección del vector de estado.

)()()1( kuHkxGkx ⋅+⋅=+

)()()( kuDkxCky ⋅+⋅=


Considerando el sistema LTI descrito por la ecuación en diferencias

con función de transferencia

se van a ver dos formas de representacion en espacio de estado.

)()()()1()( 01 kubnkubkyankyanky nn ⋅++⋅=⋅++−+⋅++ KK

nnn

nnn

azazbzbzb

zUzYzG

++⋅+++⋅+⋅

== −

−

K

K1

1

110

)()()(


1. Forma Canónica de Control

{

)(

1

00

)(

)()(

01000010

)1(

)1()1(

2

1

121

2

1

ku

kx

kxkx

aaaakx

kxkx

H

n

G

nnnn

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

−−

MM

444444 3444444 21L

MMMM

L

L

M

[ ]{

)(

)(

)()(

)( 02

1

0110 kub

kx

kxkx

babbabkyD

n

C

nn ⋅+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−−=M444 3444 21

L


2. Forma Canónica de Observación

)(

)(

)()(

100

001000

)1(

)1()1(

011

011

0

2

1

1

12

1

ku

bab

babbab

kx

kxkx

a

aa

kx

kxkx

H

nn

nn

n

G

n

n

n

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

−−−

4434421

MM

4444 34444 21L

MMMM

L

L

M

[ ]{

)(

)(

)()(

100)( 02

1

kub

kx

kxkx

kyD

n

C

⋅+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=M4434421

L

Matriz de Transferencia Discreta

Al igual que la función de transferencia describía la dinámica de un sistema SISO en tiempo discreto, es posible también definir la llamada matriz de transferencia para un sistema MIMO.Partiendo de un sistema con r entradas y m salidas, representado en espacio de estado por

aplicando la Z se obtiene

)()()()()()1(

kuDkxCkykuHkxGkx

⋅+⋅=⋅+⋅=+

Matriz de Transferencia Discreta

)()()()()()0()(

zUDzXCzYzUHzXGxzzXIz

⋅+⋅=⋅+⋅=⋅−⋅⋅

( ) )()( 1 zUHGIzzX ⋅⋅−⋅= −

( )[ ] )()( 1 zUDHGIzCzY ⋅+⋅−⋅⋅= −

reorganizando

por tanto, la matriz de transferencia vendrá dada por

( ) DHGIzCzG +⋅−⋅⋅= −1)(

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