Interes Simple Compuesto Contenido 7

SEMINARIO INTEGRADOR

INTERES SIMPLE Y COMPUESTO

INTRODUCCION

El presente trabajo fue investigado y ejemplificado sobre el tema de Interés

Simple y Compuesto para conocimiento de nuestro Seminario Integrador.

En el primer capítulo muestra la diferencia fundamental entre el Interés Simple

y el Interés Compuesto. Estriba en que en el primero el capital permanece

constante, y en el segundo el capital cambia al final de cada periodo de tiempo.

En el segundo capítulo se muestra más ampliamente interés simple en el cual

se combina con la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo

predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio

económico llamado interés. El interés simple es de poco o nulo uso en el sector

financiero, pues este opera bajo el interés compuesto, esto se debe a que el

interés compuesto en cada periodo, el capital sobre el cual se calculan los

intereses, se incrementan en el valor de los intereses del periodo anterior, por

lo que cada mes este capital sufre un incremento.

En cambio el interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas

financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses

sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el

monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en

períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a

convertirse en nuevo capital.

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CAPITULO I

GENERALIDADES

Es imprescindible comprender en el mundo actual, como analistas financieros el concepto de interés simple e interés compuesto. Pongamos un ejemplo de cada tipo para intentar comprender en qué consiste cada interés:

INTERES SIMPLE:

Interés es el alquiler o crédito que se conviene pagar, por un dinero tomado en préstamo. Interés es el precio del dinero en el tiempo. Se establece una tasa en términos porcentuales, generalmente sobre la base un año. Digamos 12% (doce por ciento) de interés anual. Así la tasa o costo diario sería el 12% entre 365 días. El interés simple es el que se calcula sobre el “saldo” de la deuda.

Para calcularlo se debe tomar el saldo, multiplicar por la tasa de interés anual, luego dividir entre 365 y multiplicar por la cantidad de días que han pasado desde la última vez que se pagaron los intereses:

Almacenes Pistacho S.A. había prestado Q21, 000.00 quetzales a Raúl Perez el 18 de Enero del 2011. Han pasado 90 días y éste se presenta a pagar. La tasa de interés establecida para la deuda fue del 18%. ¿Cuánto debe pagar el cliente por esta deuda?

Paso 1:Multiplicas el saldo del capital (Q 21,000.00) por la tasa de interés (18%)Q 21,000.00 * 18 % = Q 3,780.00

Paso 2:Divides el monto del interese entre 365 y multiplicas por los días (90)Q 3,780.00 entre 365 * 90 = Q932.00

Respuesta: Raúl tendrá que pagar Q 21,932.00 Son Q 21,000.00 de la deuda y Q932.00 por 90 días de intereses.

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INTERÉS COMPUESTO:

Cuando los intereses mensuales se van sumando al capital y el interés del mes siguiente se calcula sobre esa nueva suma, se esta ante un caso de interés compuesto.

Esto hace que la deuda crezca más rápido y que la “ganancia” para el que presta sea mayor, ya que está ganando “intereses sobre intereses”.

Esto generalmente sucede más en inversiones que en deudas, ya que en muchos países es ilegal cobrar intereses sobre intereses en un préstamo.

Se dice que la gente que ha hecho mucho dinero es porque ha entendido la ciencia del “interés compuesto”. Hablaremos de eso en otro artículo.

En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta en cada final de periodo, ya que se van agregando los intereses vencidos a la tasa convenida. Se dice que los interesen se “capitalizan”.

Para calcular el interés compuesto, se establece la “frecuencia de capitalización” y luego según ese periodo se van sumando esos intereses al saldo anterior y se calcula para el periodo siguiente el nuevo monto de intereses. Esto se hace así, sucesivamente hasta que llega el día de pagar la deuda.

Caso # 2Financiera Plus Más y Mas S.A. había prestado Q 21,000.00 quetzales a Cabrera el 1 de Marzo del 2011. El plazo para pagar sería 3 meses. El acuerdo firmado fue que Cabrera no pagaría los intereses cada mes, sino que se irían “capitalizando” cada mes. La tasa de interés establecida para la deuda fue del 18%. ¿Cuánto debe pagar P el 31 de Mayo?

Paso 1:Multiplicas el saldo del capital (Q 21,000.00) por la tasa de interés (18%)Q 21,000.00 * 18 % = Q 3,780.00

Paso 2:Se calcula el interés del primer mes, divide el interés 365 y multiplica por el número de días del primer mes (Marzo tiene 31 días) Q 3,780.00 entre 365 por 31 días = Q 321.00.

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Paso 3:Calcula el nuevo saldo. Suma el saldo anterior más el interés del primer periodo:Q 21,000.00 más Q321.00 = Q 21,321.00

Así lo sigue haciendo para los otros dos meses. El interés para Abril que tiene 30 días será Q315.00, ya que se calcula sobre Q 21,321.00. El interés para Mayo que tiene 31 días será Q331.00, ya que se calcula sobre Q 21,000.00 + Q 321.00 + Q 315.00.

Respuesta: Socorro tendrá que pagar Q 21,967.00. Son Q 21,000.00 del principal, Q321.00 de Marzo, Q315.00 de Abril y Q331.00 de Mayo.

¿Recuerda en el Caso # 1? Raúl pagó por la misma deuda, por el mismo plazo y a la misma tasa interés solo Q 932.00 ¡Un 4% menos que Cabrera!

La diferencia entre los dos tipos de interés es evidente, en el primer caso, los intereses no se acumulan al capital, pero en el segundo sí lo hacen, siendo este segundo caso más beneficioso para la parte que aporta el dinero.

El proceso que consiste en sumar al capital inicial el interés correspondiente al tiempo que dura la inversión o el préstamo se le llama capitalización. En nuestros dos ejemplos, tras cuatro años el proceso de capitalización ha dado dos cantidades distintas, que se han obtenido mediante las llamadas leyes financieras de capitalización simple y compuesta, respectivamente.

Habitualmente, el interés compuesto o la llamada ley financiera de capitalización compuesta es la que se utiliza en los préstamos. La razón es evidente, porque si el banco nos preste Q 5,000.00 quetzales es más beneficioso para ellos que el interés que tengamos pactado sea un interés compuesto, se acumularían más intereses a lo largo del tiempo.

Derivado de lo anterior, el interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.

Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.

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http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.7090208178750428&pb=0e36d65d3ecd5acc&fi=3a7c0358af3afc02&kw=tiempo

http://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtml

http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.6172854257680786&pb=0e36d65d3ecd5acc&fi=3a7c0358af3afc02&kw=capital

http://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/capintel/capintel.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/mafina/mafina.shtml



La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año).

Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.

Por lo que se dice que interés simple se combina con la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico llamado interés.

Para lo cual es necesario auxiliarse de la fórmula mas conocida de interés simple es:

Donde I es el interés o dinero a cobrar o pagar

C es el capital o dinero a considerar

R es la tasa o razón

T es el tiempo pactado de la operación

ut es la unidad del tiempo considerado

El interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una inversión, se deben únicamente al capital inicial. En el ejemplo anterior, el interés de la persona A es un interés simple.

Interés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman periódicamente los intereses producidos. Así al final de cada periodo el capital que se tiene es el capital anterior más los intereses producidos por ese capital durante dicho periodo. El interés de B en el ejemplo anterior es un interés compuesto.

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El interés que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial, al tiempo que dure la inversión, y a la tasa de interés:

itCI

Donde i está expresada en tanto por uno y t en años.

Ejercicio: Calcular a cuánto asciende el interés producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6% anual.

Resolución: Al expresar el 6% en tanto por uno, se obtiene que i = 0.06. Y por consiguiente,

600006.0425000 I

El interés es de 6 000 pesos.

A demás el interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.

El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.

Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.

El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.

La formula para obtenerlo ya sea un capital invertido durante años a una tasa de interés compuesto por cada año. Durante el primer año el capital C produce un interés

.1 iCI

El capital final al primer año será:

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http://www.monografias.com/trabajos13/capintel/capintel.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/mafin/mafin.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/mafin/mafin.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/anatocismo/anatocismo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/marx-y-dinero/marx-y-dinero.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml#ANALIT



)1(11 iCiCCICC

Después del segundo año, el capital C1 produce un interés

)()1( 212 iiCiiCiCI

El capital final al segundo año será:

222212 )1()21()()1( iCiiCiiCiCICC

y así sucesivamente.

Al cabo de n años el capital inicial C invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá en un capital final dado por la fórmula

nn iCC )1(

Puesto que el interés generado es la diferencia entre el capital final y el inicial, se obtiene

1)1()1( nnn iCCiCCCI

La tasa de interés i se obtiene despejando en la fórmula de Cn

1n n

C

Ci

Aunque las fórmulas de interés compuesto se han deducido para una tasa de interés anual durante años, todo sigue siendo válido si los períodos de reinversión son semestres, trimestres, etc., sin más que convertir éstos en años.

Ejercicio: Averiguar en qué se convierte un capital de 1 200 000 pesos al cabo de 5 años y a una tasa de interés compuesto anual del 8%.

Resolución: Aplicando directamente la fórmula de Cn

6.17631934693280.11200000)08.01(1200000 55 C

Ejercicio: Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10% se ha convertido en Q1, 583, 945.00.

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Calcular el capital inicial sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.

Resolución: Como los intereses se han pagado semestralmente, la fórmula que hay que aplicar es:

n

n

iCC

2

21

y sustituyendo obtenemos

97993160.1)05.01(1583945 14 CC

y despejando C obtenemos

85.7999999793160.1

1583945C

Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:

1. El capital original (P o VA) 2. La tasa de interés por período (i) 3. El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la

transacción (n).

Por ejemplo:

Sí invertimos una cantidad durante 5½ años al 8% convertible semestralmente, obtenemos:

El período de conversión es: 6 meses

La frecuencia de conversión será: 2 (un año tiene 2 semestres)

Entonces el número de períodos de conversión es:

(Número de años)*(Frecuencia de conversión) = 5½ x 2 = 11

Fórmulas del Interés Compuesto:

La fórmula general del interés compuesto es sencilla de obtener:

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http://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtml



VA0,

VA1 = VA0 + VA0i = VA0 (1+i),

VA2 = VA0 (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)2

VA3 = VA0 (1+i) (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)3

Generalizando para n períodos de composición, tenemos la fórmula general del interés compuesto:

Fórmula para el cálculo del monto (capital final) a interés compuesto. Para n años, transforma el valor actual en valor futuro.

El factor (1 + i)n es conocido como Factor de Acumulación o Factor Simple de Capitalización (FSC), al cual nos referiremos como el factor VF/VA (encontrar VF dado VA). Cuando el factor es multiplicado por VA, obtendremos el valor futuro VF de la inversión inicial VA después de n años, a la tasa i de interés.

Tanto la fórmula del interés simple como la del compuesto, proporcionan idéntico resultado para el valor n = 1.

VF = VA(1+ni) = VF = VA(1+i)n

VA(1+1i) = VA(1+i)1

VA(1+i) = VA(1+i)

Si llamamos I al interés total percibido, obtenemos:

I = VF - VA luego I = VF - VA = VA(1+i)n - VA

Simplificando obtenemos la fórmula de capitalización compuesta para calcular los intereses:

Con esta fórmula obtenemos el interés (I) compuesto, cuando conocemos VA, i y n.

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http://www.monografias.com/trabajos12/mafina/mafina.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/cntbtres/cntbtres.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtml



CAPITULO II

2. INTERÉS SIMPLE

2.1 Conceptos Generales:

a)Es el valor que devenga un capital prestado a una determinado tiempo.b)Rendimiento del capital entregado en préstamo.c)Es el rédito que hay que pagar por el uso del dinero recibido en préstamo.d)Operaciones financieros a corto plazo.

Operaciones Financieras a Corto Plazo:

Son todas las operaciones realizadas hasta un año plazo y se aplican principalmente en el interés y el descuento simple.

Operaciones Financieras a Largo Plazo.

Son las operaciones cuyo término exceden del año, significa que puede ser igual o mayor de un año y su aplicación básica se da en el interés compuesto y en las anualidades.

Concepto de Interés Simple:

Es el rendimiento calculado sobre el capital original, el cuál permanece invariable durante todo el tiempo por lo cuál es interés que se obtiene en cada período, será del mismo valor.

Ejemplo.

Se hizo un préstamo de Q.200.00 a 4 años plazo al 10% anual de interés simple, se desea saber el valor de interés a pagar al final del plazo.DATOS:i = 0.10 I = P * n * i 200 * 1 * 0.10n = 4 P = 200 Q. 20.00I =?

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Este el interés de un año luego se hará durante los siguientes 3 años.

Uso de la Gráfica del tiempo y el Valor.

Es una auxiliar que sirve para plantear y comprender en una mejor forma el cálculo de interés, el movimiento en la gráfica de izquierda a derecha, indica el cálculo de un valor futuro y el movimiento de derecha a izquierda nos indica el cálculo de un valor pasado.Ejemplo:

15.01 15.03 15.08 15.10 Monto

Principal o valor actual

2.2 Factores que intervienen en el cálculo del interés simple.

a)Capital o Principalb)Tiempoc)Tasa de interés

Capital o Principal:

Es el dinero sobre el cuál se aplicará el interés.

Tiempo:

Periodo durante el cuál el dinero ha sudo prestado.

Tasa de Interés:

Es el porcentaje que se aplicará al capital para determinar el interés a pagar y se expresa en forma porcentual; 5%, 14%, 20% etc.

Simbología.

P = Principal o Capitaln =Tiempoi = Tasa de interés

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I = InterésS = MontoP o VA = Valor actual

Ejemplo de Estandarización de los Factores:

Un capital de Q.5, 000.00 P = 5,000Un tiempo de 9 años n = 9Un tiempo de 8 días n = 8/360Una tasa del 25% anual i = 0.25Una tasa del 15% semestral i = 0.30Una tasa del 5% trimestral i = 0.20Una tasa del 4% bimensual i = 0.96

2.3 Factores que sustituyen a la variable “n” para calcular el interés en periodos menores de un año en base a los métodos.

METODO SIMBOLOGIA FACTORES SIGNIFICADO

Interés Exacto Ie t / 365 o 366 t = número de días Exactos entre Fechas.

Interés Ordinario Io t / 360 t = Lo mismo.

Interés Mixto Im h / 365 o 366 h = número de dias Entre fechas Considerando Los meses de 30 Días.

Interés Obligaciones Iob h / 360 h = Lo mismo.

Ejemplo:

Cuantos días “t “ hay del 15 de enero al 31 de julio?

15 + 28+31+30+31+30+31 = 197 días

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Cuantos días “h “ hay del 15 de enero al 31 de julio?

15+30+30+30+30+30+30 = 195 días

Formulas del Interés Simple en fracción de años.

Método Exacto. Método Ordinário

Ie = P * i * ( t /365 ) Io = P * i ( t /360 )

Método Mixto Método de las Obligaciones

Im = P * i ( h /365) Iob = P * i ( h /360 )

Asignación del valor “t “y “h “en el cálculo del tiempo en fracción del año.

El día en que se recibe o entrega un dinero como el día que se paga o se cobra se conoce como días terminales de los cuales para el computo del tiempo se toma en cuenta uno solo de ellos, ya sea el primero o el último, por lo tanto entre dos fechas cualesquiera que sean se puede determinar el número de días exactos “t “o bien considerando todos los meses de 30 días el número de ellos será “h “

Ejemplo:

Cuantos días hay del 15 de enero al 31 de julio?

15 + 28+31+30+31+30+31 = t = 197 días

15+30+30+30+30+30+30 = h = 195 días

Cuantos días hay del 10 de abril al 18 de enero del año siguiente?

20+31+30+31+31+30+31+30+31+31 = t = 283 dias

20+30+30+30+30+30+30+30+30+30 = h = 278 dias

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Ejemplo para determinar el tiempo incluyendo años completos y fracción de años.

Nota:

Para el cálculo de años completos en donde existe fracción de tiempo “t “, o “h “, siempre se dan años completos para ambos casos.

Ejemplo:

Determinar “n” con los siguientes datos:

Del 04 de enero del año 2002 al 08 de marzo del 2003.

n = del 04 de enero del 2002 al 03 de enero del 2003 = 1 año t = del 04 de enero del 2003 al 08 de marzo = 63 días

n = del 04 de enero del 2002 al 03 de enero del 2003 = 1 año h = del 04 de enero del 2003 al 08 de marzo = 64 días

Problema:

Se desea saber a que tasa de interés exacto, se concedió un préstamo de Q. 150,000.00; durante el siguiente período del 01 de enero del 2011 al 15 de mayo del 2012, el cuál gano Q.40, 000.00 de interés.

DATOS:i = ? i = I 40,000 I = 40,000 P * n 150,000*(1+134/365) P = 150,000n = 1+134/365 0.1950567 * 100 = 19.50%

Monto:

Es la suma del capital más los intereses devengados en un período determinado.

Ejemplo 1:

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El 15 de enero se contrajo una deuda de Q.500, 000.00 y al vencimiento el 18 de octubre del mismo año, deberá pagarse el capital y los intereses para lo cuál se reconocerá el 2% de interés mensual simple ordinario ¿Qué cantidad se pagará al final del plazo? DATOS: n = 276 / 360 S = P * [1+( t /360)* i] S = ? = 500,000 * [1+ (276/360) * 0.24] P = 500,000 = 500,000 * [1+(0.766666) * 0.24] i = 0.24 = 500,000 * 1.184 = Q. 592,000.00

Ejemplo 2:

El 08 de julio se prestaron Q.50,000.00 al 11% de interés semestral, cuanto se recibirá el 12 de diciembre del año siguiente cuando se cancele el préstamo, si se aplica el método de las obligaciones?DATOS: n = 1+ 154 / 360 S = P * [1+(1+ t /360)* i] S = ? = 50,000 * [1+ (1+154/360) * 0.22] P = 50,000 = 50,000 * [1+(1.4277777) * 0.22] i = 0.22 = 50,000 * 1.314111111 = Q. 65,705.55

2.4 Calculo del Valor Actual:

1.El valor de actual de una suma que vence en el futuro, el aquel capital que a un tipo de interés dado en un período de tiempo determinado ascenderá a la cantidad adeudada.

2.Es el valor de la suma en cualquier fecha anterior a la que se tiene que hacerse efectiva.

3.Es el valor que se tiene antes de su vencimiento

Ejemplo 1:

El 15 de diciembre del presente año los empleados de una empresa recibirán su aguinaldo. El 18 de julio un empleado desea conocer su valor actual para declararlo en una solicitud de préstamo, la cantidad que recibirá de aguinaldo es de Q.3, 500.00, la tasa de interés simple ordinario que se utiliza de referencia es del 8% semestralDATOS S = 3,500 P = S 3500

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i = 0.16 1+ (t/360) * i 1+ (150/360) * 0.16 n = 150/360P = ?. 3,500 Q.3,281.25

1.06666666

Ejemplo 2:

El 18 de diciembre del presente año vence una letra de cambio por Q.25, 000.00 la cuál puede ser cancelada por el deudor, el 06 de agosto conforme convenio se reconocerá el 14.5% de interés simple exacto, por el pago anticipado se desea saber la cantidad que debe pagarse el 06 de agosto.DATOSS = 25,000 P = S 25,000 i = 0.14.5 1+ (t/365) * i 1+ (134/365) * 0.145 n = 134/365P = ? . 25,000 Q. 23,736.44

1.0532329

Problema 1:

El 20 de enero del 2002 se contrajo una deuda por valor de Q.7.500.00, al 16% anual de interés simple exacto, a su vencimiento se tiene que pagar la cantidad de Q.8, 900.00, se desea saber cual es la fecha de vencimiento de la deuda?

DATOS:P = 7,500 n = (S/P) – 1 (8,900 / 7,500) – 1I = 0.16 S = 8,900 i 0.16n = ? 0.1866666 1.166666666 * 365 0.16

426 días

Del 20 de enero del 2011 al 19 de enero del 2012 = 1 año

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11 días de enero + 28 días de febrero + 22 días de marzo = 61 díasLa fecha de vencimiento es el 22 de marzo del 2012.

Deudas que indican que devengan interés y deudas que no indican que devengan interés.

Para formalizar una deuda generalmente se usan los siguientes documentos:1.Escrituras públicas ó privadas2.Facturas Cambiarias.3.Pagarés.4.Letras de Cambio.

Algunos de estos documentos indican que devengan interés, como es el caso del PAGARE, y en otros casos no indican que devengan interés, como LA LETRA DE CAMBIO.

Valor al Vencimiento:

Es el valor nominal del documento más los intereses pendientes, si en el mismo se indica que devenga interés, (Pagarés).Se debe tener cuidado que no siempre el valor nominal de un documento es igual a su valor al vencimiento, aunque en algunas ocasiones dichos valores sean igual.

Procedimiento del Cálculo del Valor Actual de Deudas que NO indican que devengan interés:

Para este caso se debe obtener el valor actual respecto al valor nominal de la deuda que es el mismo valor al vencimiento que habrá que pagarse en la fecha futura.

Ejemplo:

El 06 de abril del año entrante vencerá una letra de cambio por Q.18, 000.00; la cuál se negociará el día de hoy (21 de julio/03), reconociéndose en la operación el 18.25% de interés anual simple ordinario. ¿Cuanto se recibirá hoy? A cambio del documento. 21.07/03 06.04/04 n = 260 días P =?

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DATOSS = 18,000 P = S 18,000 i = 0.1825 1+ (t/360) * i 1+ (260/360) * 0.1825 n = 260/360P = ? . 18,000 Q.15,903.79

1.1318056Problema 1:

Dentro de 180 días se debe cancelar una letra de cambio por valor de Q.15, 000.00, se desea cuál es su valor actual hoy si consideramos la transacción al 6% de interés semestral simple exacto.

DATOSS = 15,000 P = S 15,000 i = 0.12 1+ (t/365) * i 1+ (180/365) * 0.12 n = 180/365P = ? . 15,000 Q. 14,161.92

1.0591781

Procedimiento del Cálculo del Valor Actual de Deudas que SI indican que devengan interés:

En este caso se debe tener cuidado de establecer primero el valor al vencimiento del documento, el cuál no es igual a su valor nominal, para posteriormente determinar el valor actual correspondiente.

Pasos a seguir:

1. El valor nominal del documento no es igual al valor al vencimiento ya que se indica que el documento devenga interés.

2. La tasa de interés que devenga el documento no necesariamente es igual a la tasa de interés aplicada para determinar el valor actual de la operación. Los métodos a aplicar casi siempre no son iguales.

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3. Hasta que se obtenga o conozca el valor al vencimiento se procede a determinar el valor actual indicado

Ejemplo:

Un pagaré emitido por valor de Q.10, 000.00, hace 30 días vence dentro de 120 días días, devenga el 19% de interés anual simple exacto. ¿Cuál es su valor actual hoy si se considera en la operación el 15% anual de interés simple?

HOY n = 30 días n = 120 días n = 150 días

DATOS: n = 150 / 365 S = P * [1+( t /365)* i] S = ? = 10,000 * [1+(150/365) * 0.19] P = 10,000 = 10,000 * [1+(0.4109589) * 0.19] i = 0.19 = 10,000 * 1.0780822 = Q. 10,780. 82

DATOSS = 10,780. 82 P = S 10,780. 82 i = 0.15 1+ (t/365) * i 1+ (120/365) * 0.15 n = 120/365P = ? . 10,780. 82 Q.10,267. 45

1.05

Problema 1:

Un pagaré de Q.25,000.00 emitido el 01 de abril con vencimiento el 01 de diciembre del mismo año, que devenga el 8% de interés simple ordinario, se negocia el 18 de julio del mismo año, considerando en la operación una tasa

19



del 3% cuatrimestral de interés simple exacto, que cantidad se pagó por el documento?

01.04 18.07 01.12 n = 136 días n = 244 días

DATOS: n = 244 / 360 S = P * [1+( t /360)* i] S = ? = 25,000 * [1+(244/360) * 0.08] P = 25,000 = 25,000 * [1+(0.6777777) * 0.08] i = 0.08 = 25,000 * 1.05422222 = Q. 26,355. 55DATOSS = 26,355. 55 P = S 26,355. 55 i = 0.09 1+ (t/365) * i 1+ (136/365) * 0.09 n = 136/365 P = ? . 26,355.55 Q.25,500.41

1.0335342

Ecuación del Valor:

Es la suma de obligaciones vinculadas por el signo de la igualdad (=) y valuadas a una misma fecha, la cuál recibe el nombre de FECHA FOCAL, o fecha de valuación.

Casos que se presentan:

1.Cuando la fecha focal corresponde o es posterior a vencimiento de la última obligación, en este caso se dice que hay una serie de montos que deben sumarse.

2.cuando la fecha focal corresponde o es anterior a la fecha de vencimiento de la primera obligación, en este caso se dice que hay una serie de valores actuales que sumar.

20



3.Cuando la fecha focal o de valuación corresponde a una fecha intermedia entre el vencimiento de las distintas obligaciones significa que se tienen una suma de montos y valores actuales de acuerdo a los vencimientos en relación a la fecha focal.

1.- Cuando se paga después de la fecha de vencimiento.

20.03 25.06 31.08 F.F.

2.- Cuando se paga antes de la fecha de vencimiento.

29.07 30.10 31.12 F.F.

3.- Cuando se hace la consolidación de todas las obligaciones.

20.03 25.06 31.08 31.12 F.F.

Aquí se aplica la sumatoria de montos y valores actuales para la consolidación de obligaciones.

Procedimientos para determinar la Ecuación del Valor:

a)Establecer las fechas de vencimiento de cada una de las obligaciones a sustituir.

b)Determinar la fecha focal o de valuación.

21



c)Valuar en la fecha focal cada una de las obligaciones a sustituir ya sea aplicando montos o valores actuales.

d)Sumar todos esos nuevos valores determinando el total de las obligaciones a la fecha focal, consolidando en una sola cifra el total de todas las oblaciones.

e)Si es necesario el total consolidado en la fecha focal se puede trasladar a una nueva fecha de vencimiento.

Problema 1: (Calculo del Monto)

Una empresa tiene que pagar dos letras de cambio de Q.5,000.00 y Q.6,000.00 respectivamente en las fechas siguientes; 01 de junio y 30 de julio por no contar con la liquidez suficiente conviene con el acreedor en cancelarlas hasta el 15 de diciembre por lo cuál reconocerá en la apreciación el 18% anual de interés simple ordinario. ¿Qué cantidad deberá pagar en esa fecha? 01.06 30.07 15.12 5,000 6,000 n = 138 días F.F. n = 197 diasDATOS: n = 197 / 360 S = P * [1+( t /360)* i] S = ? = 5,000 * [1+(197/360) * 0.18] P = 5,000 = 5,000 * [1+(0.54722222) * 0.18] i = 0.18 = 5,000 * 1.0985 = Q. 5,492. 50 valor primera letra

DATOS: n = 138 / 360 S = P * [1+( t /360)* i] S = ? = 6,000 * [1+(138/360) * 0.18] P = 6,000 = 6,000 * [1+(0.3833333) * 0.18] i = 0.18 = 6,000 * 1.069 = Q. 6,414. 00 valor segunda letra

Valor del nuevo documento Q. 11,906.50

22



Problema 2: (Cálculo del Valor Actual)

Un empresario conviene con su acreedor en efectuar el 05 de agosto el pago anticipado de los dos últimos abonos de su cuenta cuyos valores al vencimiento son: Q.2, 800.00 el 31de agosto y Q.3, 500.00 el 30 de noviembre..En la operación se le reconoció al deudor el 12% de interés simple exacto.¿Cuanto tendrá que pagar en la fecha convenida?

05.08 31.08 30.11 n = 26 días 2,800 3,500 F.F. n = 117 díasDATOSS = 2,800 P = S 2,800 i = 0.12 1+ (t/365) * i 1+ (26/365) * 0.12 n = 26/365P = ? . 2,800 Q.2,776. 27

1.0085479

DATOSS = 3,500 P = S 3,500 i = 0.12 1+ (t/365) * i 1+ (117/365) * 0.12 n = 117/365 P = ? . 3,500 Q.3,370.36

1.0384658

El valor del nuevo documento a pagar es de Q.6, 146.63

Problema 3: (Calculo de la consolidación de la deuda FECHA FOCAL)

El 21 de septiembre se pagarán las deudas siguientes:1.Q.11, 250.00 con vencimiento el 31 de marzo. 2.Q. 15,500.00 con vencimiento el 27 de julio.

23



3.Q. 18,000.00 que vencen el 31 de octubre. 4.Q. 25,000.00 que vencen el 31 de diciembre.

En la operación se pacto el 20% de interés simple ordinario. ¿Qué cantidad de pagará en la fecha focal?

31.03 27.07 21.09 31.10 31.12 11,250 15,500 18,000 25,000 n = 56 n = 40 F.F.

n = 174 dias n = 101 dias

DATOS: n = 174 / 360 S = P * [1+( t /360)* i] S = ? = 11,250 * [1+(174/360) * 0.20] P = 11,250 = 11,250* [1+(0.4833333) * 0.20] i = 0.20 = 11,250 * 1.0966666 = Q. 12,337.50 valor primera letra

DATOS: n = 56 / 360 S = P * [1+( t /360)* i] S = ? = 15,500 * [1+(56/360) * 0.20] P = 15,500 = 15,500* [1+(0.1534246) * 0.20] i = 0.20 = 15,500* 1.0306849 = Q. 15,975.62 valor segunda letra

DATOSS = 18,000 P = S 18,000 i = 0.20 1+ (t/360) * i 1+ (40/360) * 0.20 n = 40/360 P = ? . 18,000 Q.17,608.70

1.0222222 Valor tercera letra

24



DATOS S = 25,000 P = S 25,000 i = 0.20 1+ (t/360) * i 1+ (101/360) * 0.20 n = 101/360 P = ? . 25,000 Q.23, 671.75

1.05611111 Valor cuarta letra

Valor del nuevo documento con las deudas consolidadas Q.69, 593.57

Paga títulos más una prima Recibe el dinero invertido masReadquiere los . Reunida por los títulos.Títulos.

DESCUENTO SIMPLE

Es una rebaja que se hace sobre el costo de un producto, o un valor de un título de crédito.En términos de descuento generalmente significa una rebaja por cualquier deuda o documento negociable o bien rebajar el valor de un producto. Sin embargo en términos financieros el descuento propiamente dicho es aquel, cuando intervienen las variables ya conocidas del tiempo y la tasa.

CLASIFICACION DEL DESCUENTO SIMPLE:

1.Descuento Racional.2.Descuento Bancario.3.Descuento por pronto pago.4.Descuento Único en serie, en cadena o sucesivos

25



Descuento Racional:

Es la diferencia del valor a su vencimiento o monto de una deuda con su valor actual, su cálculo se realiza sobre la base de su capital o principal.

100 20 120 Principal Valor al vencimiento

Descuento Racional

Significa que el Descuento Racional es igual al interés simple con la diferencia que el interés simple se paga al vencimiento y el descuento racional prácticamente es el interés simple pagado por anticipado.

Simbologia: Fórmulas:

Dr = Descuento racional P = DrP = Principaln = Cálculo Del tiempo n * i Dr n = p * i Dr i = P* n

1 - 1 Dr = S (1 + n * i)

26



Ejemplo 1:

Por la compra de un vehículo una agencia recibió un documento por valor de Q.75, 000.00 a cobrar a 60 días. Por necesidad de efectivo el mismo día de realizada la venta acude a una casa de descuento a negociar el documento, la cuál le cobró el 12% de descuento como tasa aplicando el método ordinario, cuanto fue el efectivo que recibió la agencia por la operación.DATOS:n = 60/360 Dr = S 1 - 1i = 0.12 S = 75,000 1 + n * 1Dr = ?

Dr = 75,0000 1 - 1 1 + 60/360 * 0.12

Dr = 75,000 * 0.0196078 = 1,470. 59 Descuento

Valor líquido Q.73, 529.41

Ejemplo 2:

Una letra de cambio con un valor al vencimiento de Q.60, 000.00se descontó pagando Q.3, 000.00 de descuento racional la tasa que aplicó la institución fue del 10% de interés exacto. Qué tiempo se consideró en la operación?

DATOS:i = 0.10 n = Dr 3,000n =? P = 57,000 Pi 57,000 * 0.10Dr = 3,000 3,000 0.526315789 *365 =

5,700

192 días

27



Ejemplo 3:

Por un documento que vencerá dentro de 1 año y 250 días, se cobró un descuento racional de Q.18, 000.00, si el valor al vencimiento es de Q.150, 000.00. ¿Qué tasa de descuento simple ordinario se debe aplicar?DATOS: P = 132,000 i = Dr 18,000n = 1+250/360I = ? Pn 132,000 * 1+250 / 365Dr = 18, 000 18,000 0.0804769 * 100

223,666. 666 8.05 %

Descuento Bancario:

Es el interés que se paga por anticipado, calculado sobre el monto o el valor al vencimiento a una tasa descuento pactada por el período de transcurrido entre la fecha de descuento y la fecha de vencimiento.

Usos:

Su uso es generalizado en el sistema bancario, por lo tanto la junta monetaria dispuso que para calcular fracción de tiempo se debe tomar como base 365 días aún cuando el año sea bisiesto. Lo que significa que para cálculo únicamente se empleará el método de interés simple exacto.

Simbología: Fórmulas:

S = Monto o valor al vencimiento S = Db * n * dDb = Descuento Bancarion = Cálculo del tiempo = S – Db = VL d = Tasa de descuento VL = Valor líquido

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Db S? Valor líquido? Valor al vencimiento

Descuento Bancario Diferencias entre Descuento Racional y Descuento Bancario:

Descuento Racional: Se calcula sobre el capital y se aplican los 4 métodos del interés simple para períodos fraccionados.

Descuento Racional:

Su base de cálculo es el monto y se aplica únicamente el método del interés simple exacto para períodos fraccionados.

Ejemplo 1:

Una letra de cambio con valor de Q.160, 000.00 pagaderos a su vencimiento, fue emitida el 20 de enero y vence el 30 de noviembre de este año, el tenedor del documento ha previsto que el próximo 15 de agosto acudirá al banco El Siglo a descontar el documento a una tasa del 20% anual, se desea saber cual es el importe del descuento bancario y de cuanto deberá ser el valor líquido?

DATOS:S = 160,000 Db = S n d 160,000 * 107/365 * 0.20n = 107 / 365d = 0.20 Q.9, 380.82Db = ?

DATOS:S = 160,000 VL = S - Db n = 107 / 365d = 0.20 = 160,000 – 9, 380.82VL =? Q. 150, 619.18

29



Ejemplo 2:

Un documento fue emitido el 06 de enero del 2003 y venció el 06 de mayo del mismo año por Q.75, 000.00, devenga el 12% de interés simple ordinario fue descontado en una institución bancario a una tasa del 15% anual cobrando dicha institución Q.2, 550.00 de descuento bancario ¿Cuál fue la fecha de descuento?.DATOS:n = 120 / 360 S = P (1 + n * i) 75,000 (1 + 120/360 * 0.12)i = 0.12P = 75,000 = 75,000 * 1.04 = Q. 78,000.00S =?

DATOS:i = 0.15 n = Db 2,550S = 78,000Db = 2, 550 S * d 78,000 * 0.15n = ? 2, 550 0.2179487 * 365 11, 700 80 días

15 de febrero

Relación entre el Descuento Bancario y el Descuento Racional (Tasa de Descuento e interés equivalente:

a) Al considerar que el Descuento Bancario se calcula sobre la base del monto y que el Descuento Racional sobre la base del principal en donde el monto siempre es mayor que el principal se concluye que:

1.- El Descuento Bancario a cualquier tasa de descuento siempre es mayor que el descuento racional a igual tasa de interés y por el mismo plazo. 2.- Para que el importe del descuento bancario y del descuento racional

sean iguales es necesario que la tasa de descuento racional sea mayor que la tasa de descuento bancario a lo cual se le llama tasa equivalente.

30



Demostración:

Se tienen los siguientes datos del descuento bancario.

S = 95, 000Db = 15, 000DI = 80, 000d = 0.20n = 250/365

Calcular la tasa equivalente del descuento racional.

i = d 0.20

(1 – nd) [1- (250/365) * 0.20] 23.1746%

DATOS:n = 250/365 Dr = S 1 - 1

i = 0.231746 S = 95,000 1 + n * 1Dr =?

Dr = 95, 0000 1 - 1 1 + 250/365 * 0.231746

Dr = 95, 0000 1 - 1 1 + 0.1587301

Dr = 95, 0000 * 0.1369862

Dr = Q. 13, 013.70

31



DATOS:S = 95, 000 Db = S n d 95, 000 * 250/365 * 0.20n = 250 / 365d = 0.20 Q.13, 013.70Db = ?

Descuento por Pronto Pago: (Relación con el Interés Simple).

Constituye una rebaja concedida sobre el precio de una mercancía o producto como un incentivo para pagar de inmediato, al contado o dentro de un plazo específico.Tiene como finalidad estimular la rapidez en la cobranza con el objeto de documentar la rotación del capital evitando pérdidas por cuentas incobrables.Los descuentos se expresan en las o documentos de crédito por medio de un número quebrado en donde el numerador significa la tasa de descuento y el denominador el plazo máximo dentro del cuál se puede aprovechar el descuento. Los descuentos se expresan de la siguiente manera.

20/Contado, 15/30, 10/60 y neto/90 (plazo máximo de la factura)

Significa que si la compra se realiza al contado, se recibe el 20% de descuento, si es dentro de 30 días el descuento será el 15%, y si es hasta 60 días el descuento es del 10%, si se paga a los 90 días no se recibe descuento debiendo cancelar el valor original de la factura.Así mismo con base en el ejemplo anterior si la factura la cancelamos al contado o nos estamos anticipando 90 días a su vencimiento si la pagamos a los 30 días nos anticipamos 60 días a su vencimiento, si la cancelamos a 60 días existe una anticipación de 30 días y si la cancelamos a los 90 días se esta usando el plazo del vencimiento, sin tener ninguna anticipación.

Cálculo del Descuento.

El cálculo del importe del descuento se realiza mediante la multiplicación del valor de la factura por el % del descuento.

Cálculo del Valor Actual.

Al valor de la factura se le resta el importe del descuento y nos da el principal.

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Relación con el Interés Simple.

Lo importante del cálculo es establecer desde el punto de vista financiero la alternativa que resulta más ventajosa y debe aprovechar el comprador. Estableciendo una relación de descuento con el interés simple ordinario, para lo cual se aplica la fórmula general del cálculo del interés simple.

Nota.Para determinar la mejor opción desde el punto de vista financiero el comprador se tomará la mayor tasa de interés que se resulte en la combinación de los descuentos.

Problema 1

La empresa Comp. Sistemas facturó el 01/08/2003 un equipo de cómputo por valor de Q.22, 000 al colegio Corazón Sumido proporcionándole en la compra las siguientes opciones:Neto/90, 13 ½ /Contado, 10 ¼ /60, 11 ¼ /30 Desde el punto de vista financiero del comprador se desea.

a)Cuál es la mejor opción?b)Que valor debe pagar por la factura si la cancela el 31/08/2003.

Condiciones Valor de Fac. Descto. Import. de valor Neto TiempoContado 22,000 0.1350 2,970 19,030 9030 días 22,000 0.1125 2,475 19,525 6060 días 22,000 0.1025 2,255 19,745 30Neto 90 22,000 xxxx xxxx 22,000 xxxx

CALCULOS: DATOS:i = ? i = I 2,970 2970I = 2,970 P * n 19,030 * 90/360 47,575 P = 19,030n = 90 0.6242774 * 100 = 62.43%

33



DATOS:i = ? i = I 2,475 2,475I = 2,475 P * n 19,525 * 60/360 3,254. 1666 P = 19,525n = 60/360 0.7605634 * 100 = 76.05634%

DATOS:i = ? i = I 2,255 2,255I = 2, 255, P * n 19,745 * 30/360 1,645. 4167 P = 19,745n = 30/360 1.3704735 * 100 = 137.05%

La mejor opción para el comprador es la “C”Si cancela después del 31/08/2003 es de Q. 19, 525.00

3. Interés Compuesto

El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.

El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.

Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.

El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.

Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:

1.º.El capital original (P o VA)

2.º.La tasa de interés por período (i)

3.º.El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).

34



Por ejemplo:

Sí invertimos una cantidad durante 5½ años al 8% convertible semestralmente, obtenemos:

El período de conversión es : 6 mesesLa frecuencia de conversión será: 2 (un año tiene 2 semestres)

0.04 2

0.08

conversión de frecuencia interés de tasa

Entonces el número de períodos de conversión es:

(Número de años)*(Frecuencia de conversión) = 5½ x 2 = 11

Fórmulas del Interés Compuesto:

La fórmula general del interés compuesto es sencilla de obtener:

VA0,

VA1 = VA0 + VA0i = VA0 (1+i),

VA2 = VA0 (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)2

VA3 = VA0 (1+i) (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)3

Generalizando para n períodos de composición, tenemos la fórmula general del interés compuesto: [19] nVF VA(1 i)

Fórmula para el cálculo del monto (capital final) a interés compuesto. Para n años, transforma el valor actual en valor futuro.

1 n-1 n

VF

VA

2 ...

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El factor (1 + i)n es conocido como Factor de Acumulación o Factor Simple de Capitalización (FSC), al cual nos referiremos como el factor VF/VA (encontrar VF dado VA). Cuando el factor es multiplicado por VA, obtendremos el valor futuro VF de la inversión inicial VA después de n años, a la tasa i de interés.

Tanto la fórmula del interés simple como la del compuesto, proporcionan idéntico resultado para el valor n = 1.

VF = VA (1+ni) = VF = VA (1+i)n

VA (1+1i) = VA (1+i)1

VA (1+i) = VA (1+i)

Si llamamos I al interés total percibido, obtenemos:

I = VF - VA luego I = VF - VA = VA (1+i)n - VA

Simplificando obtenemos la fórmula de capitalización compuesta para calcular los intereses:

[20] (1 ) 1nI VA i

Con esta fórmula obtenemos el interés (I) compuesto, cuando conocemos VA, i y n.

Ejercicio 37 (Calculando el interés y el VF compuestos)Determinar los intereses y el capital final producido por UM 50,000 al 15% de interés durante 1 año.

Solución: VA = 50,000; i = 0.15; n = 1; I =?; VF =?

Calculamos el interés y el VF:

7,500 UM 10.15)(150,000 [20] 1 I

(19) VF = 50,000*(1+0.15) = UM 57,500

Para el cálculo de I podemos también aplicar la fórmula (7):

36



[7] I = 57,500 - 50,000 = UM 7,500

Respuesta: El interés compuesto es UM 7,500 y el monto acumulado

3.1. Valor actual a interés compuesto

La fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior.

.En el interés compuesto cuanto más arriba miramos, más alto es cada escalón sucesivo y si nos paramos arriba y miramos hacia abajo, esto es, hacia el valor actual, cada sucesivo escalón es algo más bajo que el anterior.

De la ecuación [19] obtenemos la fórmula del valor actual a interés compuesto:

ni

VFVA

)(1 [21]

También expresamos como: niVFVA )(1

Conocemos a la expresión entre corchetes como el Factor Simple de Actualización (FSA) o el factor VA/VF. Permite determinar el VA (capital inicial) de la cantidad futura VF dada, después de n períodos de composición a la tasa de interés i.

La expresión valor futuro significa el valor de un pago futuro en fecha determinada antes del vencimiento. Cuanto menos tiempo falta para el vencimiento, mayor es el valor actual del monto adeudado, y, en la fecha del vencimiento, el valor actual es equivalente al monto por pagar. Para comprobar uno cualquiera de esos valores actuales, basta hallar si a la tasa indicada, en el tiempo expuesto, el valor actual es la cantidad adeudada.

De la ecuación [19] obtenemos también, las fórmulas [22] y [23] para determinar los valores de i (dado VA, VF y n) y n (dado VA, VF e i).

1 [22] nVAVF

i )(1

[23]ilog

VAVF

logn

37



Con la fórmula [22] obtenemos la tasa del período de capitalización. Con la fórmula [23] calculamos la duración de la operación financiera.

En este caso, no da lo mismo adecuar la tasa al tiempo o adecuar el tiempo a la tasa. Tanto el tiempo como la tasa de interés deben adecuarse al período de capitalización. Si el tiempo está en meses, la tasa debe ser mensual; si el tiempo está en bimestres, la tasa debe ser bimestral.

(VA a interés compuesto)Tenemos una obligación por UM 12,000, a ser liquidado dentro de 10 años. ¿Cuánto invertiremos hoy al 9% anual, con el objeto de poder cumplir con el pago de la deuda?

Solución: VF = 12,000; i = 0.9; n = 10; VA =?

10

12,000[21] UM 5,068.93

(1 0.09)VA

Sintaxis

VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)

Tasa Nper Pago VF Tipo VA0.09 10 -12,000 5,068.93

Respuesta: El monto a invertir hoy es UM 5,068.93.

3.2. Valor actual de deuda que devenga interés

Como en el interés simple, en el caso de deudas que devengan interés, antes de calcular su valor actual, debemos averiguar primero el monto nominal, esto es, la cantidad de dinero (capital más interés) de la deuda a su vencimiento. Calculado el monto nominal es más sencillo determinar el valor actual a cualquier tasa de interés.

Para calcular el valor actual de deudas que devengan interés compuesto calculamos primero el monto de la deuda al vencimiento, esto es, el monto nominal; luego, procedemos a calcular el valor actual del monto nominal aplicando el método expuesto líneas arriba.

(VA de deuda que devenga interés compuesto)Una empresa en proceso de liquidación, tiene en activos obligaciones a 4 años por UM 42,000, devengan el 12% capitalizando anualmente. Calcular el valor actual al 15%, con capitalización anual.

38



Solución: Según la regla expuesta:

1º Calculamos el monto (VF) del activo a su vencimiento:VA = 42,000; i = 0.12; n = 4; VF =?

[19] VF = 42,000(1 + 0.12)4 = UM 66,087.81

Sintaxis

VF(tasa;nper;pago;va;tipo)

Tasa Nper Pago VA Tipo VF0.12 4 -42,000 66,087.81

2º Calculamos el VA al 15% de UM 66,087.81 a pagar dentro de 4 años: VF = 66,087.81; i = 0.15; n = 4; VA =?

4

66,087.81[21] = UM 37,785.92

(1+0.15)VA

Sintaxis


Tasa Nper Pago VF Tipo VA0.15 4 -66,087.81 37,785.92

Respuesta: El VA con capitalización anual es UM 37,785.92

3.3. Interés simple versus interés compuesto

El monto (VF) que obtenemos con el interés simple aumenta linealmente (progresión aritmética); mientras que en las operaciones con interés compuesto, la evolución es exponencial (progresión geométrica), como consecuencia de que los intereses generan nuevos intereses en períodos siguientes.

Generalmente utilizamos el interés simple en operaciones a corto plazo menor de 1 año, el interés compuesto en operaciones a corto y largo plazo.

Vamos a analizar en qué medida la aplicación de uno u otro en el cálculo de los intereses dan resultados menores, iguales o mayores y para ello distinguiremos tres momentos:

39



a) Períodos inferiores a la unidad de referencia

En estos casos (para nosotros un año), los intereses calculados con el interés simple son mayores a los calculados con el interés compuesto.

(Interés simple y compuesto con períodos menores a la unidad)Determinar los intereses devengados por un capital de UM 30,000, durante 5 meses, al 15% de interés anual.Como la tasa de interés está en base anual, el tiempo lo expresamos también en base anual: 5/12 = 0.4167Igualmente, podríamos expresar la tasa de interés en base mensual, dividiendo simplemente: 0.15/12 = 0.0125 con n = 5.

Solución:VA = 30,000; n = 0.4167; i = 0.15; I =?

a.1.) Interés simple[8] I = 30,000*0.15*0.4166 = UM 1,875.15

a.2.) Interés compuesto:

0.4166[20] 30,000 1 0.15 1 UM 1,799.04I

Luego, el interés calculado aplicando la fórmula del interés simple es superior al calculado con la fórmula del interés compuesto.

b) Períodos iguales a un año

En estos casos, ambas formulas dan resultados idénticos.

(Interés simple y compuesto con períodos iguales a un año)Determinar los intereses devengados por un capital de UM 30,000, durante un año, con el 12% de interés anual.

Solución:VA = 30,000; n = 1; i = 0.12; I =?

a.1.) Interés simple: [5] I = 30,000*0.12*1 = UM 3,600

40




3,600 UM 10.12130,000 [20] 1 I

Como vemos ambas fórmulas proporcionan resultados iguales.

c) Períodos superiores a un año

En estos casos, los intereses calculados con la fórmula del interés compuesto son superiores a los calculados con la fórmula del interés simple.

(Interés simple y compuesto con períodos superiores a un año)Determinar los intereses devengados por un capital de UM 30,000, durante dos años, con el 12% de interés anual.Solución:VA = 30,000; n = 2; i = 0.12; I =?

a.1.) Interés simple:[5] I = 30,000*0.12*2 = UM 7,200


7,632 UM 10.121 30,000 [20] 2 I

Luego cumplimos con la condición (c).

3.4. Tasas equivalentes

La definición de tasas de interés equivalentes es la misma que la del interés simple. No obstante, la relación de proporcionalidad que se da en el interés simple no es válida en el interés compuesto, como es obvio, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez mayor.

(Valor acumulado de una inversión)

Calcular el valor acumulado de una inversión de UM 5,000 durante un año, en las siguientes condiciones:

Solución:VA = 5,000; n = 1 ... 4; i = 0.15 anual, 0.075 semestral y 0.0375 trimestral

41



Con interés anual del 15%:

[19] VFn = 5,000(1 + 0.15)1 = UM 5,750.00

Con interés semestral del 7.5%:

[19] VFn = 5,000(1 + 0.075)2 = UM 5,778.13

Con interés trimestral del 3.75%:

[19] VFn = 5,000(1 + 0.0375)4 = UM 5,793.25

Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses lo hacemos con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en las diferentes tasas de interés.

Para lograr que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización y el valor final siga siendo el mismo es necesario cambiar la fórmula de equivalencia de las tasas de interés.

El pago de los intereses es al vencimiento o por anticipado. El interés nominal, por lo general condiciona la especificación de su forma de pago en el año. Para determinar a qué tasa de interés vencida (iv) equivalen unos intereses pagados por anticipado (ia) debemos tomar en cuenta que los mismos deben reinvertirse y éstos a su vez generarán intereses pagaderos por anticipado.

Interés anticipado (ia), como su nombre lo indica, es liquidado al comienzo del período (momento en el que recibimos o entregamos dinero).

Interés vencido (iv), contrariamente al anterior, es liquidado al final del período (momento en el que recibimos o entregamos dinero).

Muchas negociaciones son establecidas en términos de interés anticipado y es deseable conocer cuál es el equivalente en tasas de interés vencido. Ejercicios corrientes, lo constituyen los préstamos bancarios y los certificados de depósito a término.

Cuando especificamos el pago de interés anticipado (ia), estamos aceptando (en el caso préstamos) recibir un monto menor al solicitado.

Fórmulas de la tasa de interés vencida y anticipada:

[A] 1ia

iv- ia

[B] 1

iv ia

iv

42



Con la fórmula [A] podemos convertir cualquier tasa de interés anticipada, en tasa de interés vencida. Esta fórmula es utilizada sólo para tasas periódicas; tasas utilizadas en determinado período para calcular el interés.

(Calculando la tasa vencida) La tasa de interés anticipada de 9% trimestral equivale a:

Solución: ia = 0.09; iv =?

0.09

[A] = 0.098891-0.09

iv

Para utilizar esta conversión debemos trabajar con la tasa correspondiente a un período. Por ejemplo, la tasa de interés de 9% anticipada aplicable a un trimestre.

(Tasa vencida)Si la tasa de interés anual es 28%, con liquidación trimestral por anticipado (la cuarta parte es cobrada cada trimestre) ¿a cuánto equivale ese interés trimestral vencido?Tasa de interés trimestral anticipada = 0.28/4 = 0.07Tasa de interés trimestral vencida:

0.07

[A] = 0.07531-0.07

iv

(Tasa anticipada)Si el banco dice cobrar la tasa de interés de 32% anual, liquidado cada mes, vencido, ¿a qué tasa de interés mes anticipado corresponde ese interés?

El interés mensual vencido es : 0.30/12= 0.025

El interés mensual anticipado es :

0.025

[B] = 0.02441+0.025

ia

Luego, el interés nominal mes anticipado es: 2.44% * 12 = 29.27%

43



3.5. Descuento Compuesto

Denominada así la operación financiera que tiene por objeto el cambio de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la fórmula de descuento compuesto. Es la inversa de la capitalización.

3.5.1. Particularidades de la operación

Los intereses capitalizan, esto significa que:

Al generarse se restan del capital inicial para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro,

Los intereses de cualquier período los produce éste capital (anterior), a la tasa de interés vigente en dicho momento.

Los procedimientos de descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro conocido (VF) cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las condiciones de esta anticipación: duración de la operación (tiempo y el capital futuro) y la tasa de interés aplicada.

El capital resultante de la operación de descuento (valor actual o presente VA) es de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al futuro implica incrementarle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la disminución de esa misma cantidad porcentual.

En forma similar al interés simple, se distinguen dos clases de descuento racional y comercial, según la cuál sea el capital considerado en el cálculo de los intereses en la operación:

- Descuento racional.

- Descuento comercial.

Nomenclatura:

D : Descuento o rebaja.

DR : Descuento racional

DC : Descuento comercial

VN(VF) : Valor final o nominal, es el conocido valor futuro

VA : Valor actual, inicial o efectivo.

44



i ó d : tasa de interés o descuento de la operación

3.5.2. Descuento racional

En este tipo de descuento los intereses son calculados sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de la anticipación del capital futuro (VN o VF). Es la operación de capitalización compuesta, con la peculiaridad de que el punto de partida es el capital final (VN) con el debemos calcular el valor actual (VA), capital hoy. Para el cálculo del VA del capital, operamos con la fórmula [21].

[21] (1 )n

VFVA

i

Calculado el capital inicial con la fórmula anterior, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, determinamos el interés total de la operación (DR), o descuento propiamente dicho:

n

1[C] 1-

(1+ )RD VNi

Fórmula del descuento racional a interés compuesto.

(Ahorro por pago anticipado)Debemos anticipar el pago de una obligación de UM 12,000 con vencimiento dentro de 18 meses. Si el pago lo efectuamos hoy. ¿Qué valor tenemos que entregar si la operación se acuerda a una tasa de interés del 18% anual compuesto? ¿De cuánto será el ahorro por el pago anticipado?.

Solución:VN = 12,000; n = (18/12) = 1.5; i = 0.18; DR =?; VA =?;

Aplicando directamente la fórmula [C] obtenemos el descuento buscado:

1.5

1[C] 12,000* 1- UM 2,638.22

(1+0.18)RD

El valor líquido a entregar es: VA = 12,000 - 2,638.22 = UM 9,361.78 o también:

45



1.5

12,000[21] UM 9,361.78

(1+0.18)VA

DR = 12,000 - 9,361.78 = UM 2,638.22

Respuesta: El valor a entregar es UM 9,361.78El ahorro por el pago anticipado es de UM 2,638.22

3.5.3. Descuento comercial

Este caso considera al capital final de un período a otro generador de los intereses a un tipo de descuento (d) dado, vigente en ese momento.

Aplicando la fórmula [B] calculamos el capital inicial (VA):

n[D] (1- )VA =VN d

Por diferencias entre el capital de partida y el inicial obtenido, calculamos el interés total de la operación (Dc):

n[1-(1- ][E] C =VN d)D

(Descuento comercial)Tenemos que anticipar UM 15,000 con vencimiento dentro de 3 años. Si el pago lo hacemos el día de hoy. ¿Qué valor tenemos que entregar si la operación es pactada al 22% anual compuesto? ¿Cuanto será el descuento por el pago anticipado?

Solución:VN = 15,000; n = 3; VA =?; d = 0.22; DC = ?

1º Calculamos el valor actual y el descuento bancario:

[D] VA = 15,000*[1 - 0.22]3 = UM 7,118.28

DC = 15,000 - 7,118.28 = UM 7,881.72

46



2º En forma directa, obviando el cálculo previo del capital inicial (VA):

[E] Dc = 15,000 * [1 – (1 – 0.22)3] = UM 7,881.72

Respuesta: El monto a entregar es UM 7,118.28 y el descuento es UM 7,882.72.

3.5.4. Tasa de interés y de descuento equivalentes

Al comparar el interés simple con el interés compuesto a un mismo capital inicial y tasa de interés, encontramos que los resultados son menores, iguales o mayores con el interés compuesto cuando los períodos son inferiores, iguales o superiores a la unidad de referencia.

Es necesario determinar la relación que existe entre las tasas de interés y descuento con el objeto de que los resultados de anticipos sean los mismos con cualquiera de los modelos de descuento utilizados. Esto es, la equivalencia entre tasas de descuento e interés. Para esto debe cumplirse la igualdad entre ambos descuentos DR = DC. En forma simplificada las fórmulas que cumplen

con esta condición son:

La tasa de descuento comercial d equivalente a la tasa de interés i es:

[F] 1

id =

+i

Similarmente, obtenemos un tipo de interés i equivalente a un d:

[G] 1d

i =-d

Reiteramos, la relación de equivalencia es independiente de la duración de la negociación. Por ende tenemos que para una tasa de interés habrá un único tipo de descuento que origine la equivalencia y viceversa.

Estas fórmulas son de aplicación sólo con tasas periódicas; aquellas tasas utilizadas en determinado período para calcular el interés.

(Monto a adelantar)

47



Tenemos que anticipar el pago de una deuda de UM 18,000 al 15% anual, con vencimiento dentro de 2 años. Asumiendo que el pago lo hacemos hoy, calcular el monto que tenemos que adelantar.

Solución:VN(VF) = 18,000; n = 2; i = 0.15; d = ?

1º Calculamos el descuento racional, con una tasa de interés de 15%:

Sintaxis



2º Calculamos el descuento comercial con un descuento de 15%:

2[D] 18,000*(1-0.15) = UM 13,005VA =

Cuando operamos con una misma tasa de interés y descuento los resultados son diferentes, el resultado es mayor con el descuento racional por cuanto el capital productor de intereses es el capital inicial (más pequeño) consecuentemente menor el ahorro por la anticipación. Para obtener el mismo resultado debemos determinar el tipo de descuento equivalente al 15% de interés con la fórmula de equivalencia:

0.15[F] = 0.1304347

1+0.15d =

2º Calculando el descuento comercial al nuevo tipo de descuento, obtenemos:

2[D] 18,000*(1-0.1304347) = UM 13,610.59VA =

Respuesta: El monto a adelantar es UM 13,610.59

48

2

18,000[21] = UM 13,610.59

(1+0.15)VA



3.6. Equivalencia de capitales a interés compuesto

Para demostrar que dos o más capitales son equivalentes, es necesario que éstos tengan el mismo valor en el momento en que son comparados: principio de equivalencia de capitales.

El principio de equivalencia financiera, permite determinar si dos o más capitales situados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos.

En las operaciones de interés simple, vimos la definición y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo válidos. La diferencia fundamental viene dada porque en interés compuesto la fecha donde realizamos la equivalencia no afecta al resultado final de la operación. La equivalencia sólo se cumple en un momento dado y como consecuencia en cualquier punto; fuera de esta condición no se cumple nunca.

2.6.1. Usos del principio de equivalencia

El reemplazo de unos capitales por otro u otros de vencimientos o montos diferentes sólo es posible si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.

CASOS POSIBLES:

Cálculo del capital común

Es el monto C de un capital único que vence en n, conocido y que reemplaza a otros capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en n1, n2, ... ,nn, todos ellos

conocidos.

Cálculo del vencimiento común

Es el instante de tiempo n en que vence un capital único VA, conocido, que reemplaza a otros capitales C1, C2, ..., Cn, con vencimientos en n1, n2, ... ,nn,

todos ellos conocidos.

La condición a cumplir es:

49



Cálculo del vencimiento medio

Es el instante de tiempo n en que vence un capital único C, conocido, que reemplaza a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn,

todos ellos conocidos.

La condición a cumplir es:

Ejercicio 50 (Equivalencia financiera - Capital común)Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear las cuatro obligaciones en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que tendría que abonar si la tasa de interés fuera de 15% anual.

Solución: [i = (0.15/12) = 0.0125]VF = 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; i = 0.0125; n = 3, 6, 11 y 10; VA0 =?

1º Calculamos el VA con la fecha focal en 0, para ello aplicamos sucesivamente la fórmula [21]:

0 3 6 8 11

1,000 3,000 3,800 4,600[21] = + + + = 12,462.01

1+0.0125 1+0.0125 1+0.0125 1+0.0125VA

Sintaxis


Tasa Nper Pago VF Tipo VA0.0125 3 -1,000.00 963.42

0.0125 6 -3,000.00 2,784.52

0.0125 8 -3,800.00 3,440.51

0.0125 -11 -4,600.00 5,273.55

12,462.01TOTAL VALORES ACTUALES

2º Finalmente, calculamos el VF10 , monto a pagar en una sola armada:

[19] VF10 = 12,462.01(1 + 0.0125)10 = UM 38,705.11

Sintaxis

VF(tasa;nper;pago;va;tipo)

Tasa Nper Pago VA Tipo VF0.12 10 -12,462 38,705.11

Ejercicio 51 (Equivalencia financiera - Vencimiento común y medio)

50



Un empresario tiene que cobrar UM 10,000 y UM 15,000, con vencimientos a 3 y 6 meses, respectivamente. El deudor plantea al empresario pagar ambas deudas en un sólo abono, con el 3.5% de interés mensual. Determinar el momento del pago único considerando lo siguiente:

1. Que el monto a recibir es de UM 23,000. 2. Que el monto a recibir es UM 25,000.

Solución:VF1 y 2 = 23,000 y 25,000; n = 3 y 6; i = 0.035; n =?

1º Calculamos el VA total:

0 3 6

10,000 15,000[21] = + = UM 21,221.94

1.035 1.035VA

Sintaxis



0.035 6 -15,000.00 12,202.51

21,221.94TOTAL VALOR ACTUAL

2º Calculamos el vencimiento común:23,000

Log21,221.94

[23] = = 2.34 mesesLog 1.035

n

3º Calculamos el vencimiento medio:25,000

Log21,221.94

[23] = = 4.76 mesesLog 1.035

n

Aplicando la función NEPER calculamos ambos vencimientos:

Sintaxis

NPER(tasa; pago; va; vf; tipo)

Tasa Pago VA VF Tipo n0.035 21,221.94 -23,000 2.3388

0.035 21,221.94 -25,000 4.7626

En el interés compuesto no es aplicable la media aritmética del interés simple

51



3.7. Estimaciones duplicando el tiempo y la tasa de interés

Usualmente, las entidades financieras para captar ahorristas, ofrecen que duplicarán sus depósitos y los pronósticos de las entidades de control estadístico de los países afirman que la población de tal o cual ciudad ha duplicado en tal o cual período.

Cuando calculemos los períodos n, la tasa de retorno o tasa de crecimiento i emplearemos las fórmulas cuyos resultados son matemáticamente exactos (teóricos) conociendo uno de ambos valores.

Al determinar la tasa de interés compuesto es posible también utilizar la regla del 72 para estimar i o n, dado el otro valor. Con esta regla, el tiempo requerido para duplicar sumas únicas iniciales con interés compuesto es aproximadamente igual a 72 dividido por el valor de la tasa de retorno (en porcentaje) o los períodos de tiempo n.

Estimando:

(Duplicando el valor del dinero)1) Calcular el tiempo aproximado en que tardaría en duplicarse una cantidad

de dinero a la tasa compuesta del 7% anual.2) Calcular la tasa necesaria de rendimiento para duplicar un monto en 18

años.

Solución (1):VF = 2; VA = 1; i = 0.07; n =?

1º Calculamos el valor de n:

años 10.20 0.08)Log(112

Log [23]

n

2º Ahora calculamos el valor de n:

años 10.29 772

n

Solución (2):VF = 2; VA = 1; n = 18; i =?

52



1º Calculamos el valor de i:

anual 3.93% 0.0393 112

[22] 18 i

2º Con la regla del 72:

años 4 1872

i

Tasa de retorno

% anual (i )

Estimacion Regla del

72

Estimación Fórmula

[14]

Período de tiempo en años (n)

Estimacion Regla del

72

Estimación Fórmula

[13]

1 72 70 70 1.03% 1.00%

2 36 35.03 35.03 2.06% 2.00%

7 10.29 10.24 10.24 7.03% 7.00%

14 5.14 5.29 5.29 13.61% 14.00%

29 2.48 2.72 2.72 26.47% 29.00%

48 1.50 1.77 1.77 40.68% 48.00%

Duplicación de las estimaciones del

tiempo, aplicando la regla del 72 y la

fórmula del interés compuesto cuando

se conoce i

Duplicación de las estimaciones del

tiempo, aplicando la regla del 72 y la

fórmula del interés compuesto cuando

se conoce n

CUADRO COMPARATIVO DE LA DUPLICACION DEL TIEMPO Y LA TASA DE INTERES UTILIZANDO LA REGLA DEL 72 Y LAS FORMULAS

[13] Y [14] EN LOS CALCULOS DE INTERES COMPUESTO

En ambos casos (1) y (2) los resultados varían ligeramente.

Si la tasa es de interés es simple, resolvemos el caso aplicando las fórmulas [11] y [13], o también aplicando la regla de 100 en la misma forma que para el interés compuesto. En este caso las respuestas obtenidas siempre serán exactas.Aplicamos también las fórmulas [11], [13], [22] y [23] cuando un capital es triplicado, cuadruplicado, quintuplicado, etc.

Ejercicio 53 (Duplicando el valor del dinero)1) Calcular el tiempo en que tarda en duplicarse una cantidad de dinero a

interés simple de 8% anual.2) Calcular la tasa de interés simple para duplicar un monto en 15 años.

Solución (1):VF = 2; VA = 1; i = 8; n =?

53



1º Calculamos el valor de n:

años 12.5 0.08

112

[13]

n

2º Calculamos el valor de n, aplicando la regla del 100:

años 12.5 8

100n

Solución (2)VF = 2; VA = 1; n = 15; i =?

1º Encontramos el valor de i, con la fórmula [11]:

ni

112

[11]

y obtenemos:

anual 6.67% 100 15

112

i

2º Calculamos el valor de n, aplicando la regla del 100:

% 6.67 15100

i

Como vemos, los resultados son exactamente iguales.

3.8. Tasa variable durante el período que dura la deuda

Las tasas de interés sobre las inversiones varían muy a menudo. Para calcular el valor futuro (monto), cuando la tasa de interés ha cambiado una o más veces, multiplicamos el capital por el factor simple de capitalización (FSC) (1 +

i)n para cada tasa de interés con su respectivo período de capitalización.

Ejercicio 54 (Calculando el VF)

54



Si invertimos UM 5,000 en un banco que paga 5% los primeros tres años, 3.8% los cinco siguientes y 6.5% los otros siete años. ¿Cuál será el monto de la inversión al final de los quince años?

Solución: VA = 5,000; n = 3, 5 y 7; i = 0.05, 0.038 y 0.065; VF =?

VF = 5,000*1.053*1.0385*1.0657 = UM 10,838.57

CONCLUSIONES

El término "interés" se utiliza para designar el costo de renta por el uso del dinero.

Conocer los lineamientos financieros necesarios para el conocimiento de la aplicación del interés compuesto, es de vital importancia para el ejercicio de nuestra Carrera Profesional.

La tasa Líder de Interés fijada por la Junta Monetaria, incide en la inflación que es de origen monetario, la cual es responsabilidad del Banco Central

Las actividades del sistema financiero guatemalteco tienden a confundir al empresario, por lo que el CPA debe realizar un sobre esfuerzo para analizar y determinar la reinmersión de los capitalistas.

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RECOMENDACIONES

Conseguir las herramientas de estudio que nos permitan profundizar en el tema de cómo se aplican los intereses simples.

Dar a conocer los procedimientos que se utilizan para el cálculo del interés, nos ayudaría en la especialización del tema.

Conocer la Tasa de Líder de Interés de Política Monetaria emitida por la Junta Monetaria de Guatemala, para analizar sus incidencias en la inflación de la economía nacional.

56



BIBLIOGRAFÍA

Banco de Guatemala / Tasa de Integras – Política Monetaria

www.banguat.gob.gt

Monografías.com / http://cesaraching.blogspot.com

Monografías.com /http://es.geocities.com/cesaraching

Aritmética

A. Baldor

57

http://es.geocities.com/cesaraching/

http://cesaraching.blogspot.com/



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