Integral Indefinida
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CAPITULO V
INTEGRAL INDEFINIDA
5.1 Primitiva. Integral indefinida
Los dos conceptos fundamentales del cálculo se desa-
rrollan a partir de ideas geométricas relacionadas con
las curvas. La derivada nos llega de la construcción de
tangentes a una curva; la integral nos viene del cálculo
del área de una región limitada por una curva.
Definición Primitiva de una funciónUna función F ( x) se denomina primitiva para la fun-
ción f ( x) en el intervalo abierto (a; b), si en cualquier
punto x del intervalo (a; b), la función F ( x) es diferen-ciable y tiene la derivada F ´( x) = f ( x).
Es evidente que si la función F ( x) es una primitiva de
la función f ( x) sobre cierto intervalo (a; b), es decir
F ( x) es continua sobre (a; b) y en todos sus puntos
menos cierto conjunto finito se cumple la condición
F ´( x) = f ( x), entonces para cualquier constante C , la
función F ( x) + C también es continua sobre el interva-
lo (a; b) y en todos sus puntos menos el conjunto finito
indicado se cumple la condición
( F ( x) + C )´= F ´( x) + C ´ = f ( x)
es decir, la función F ( x) + C también es primitiva de la
función f ( x) sobre el intervalo (a; b).
TeoremaSi F ( x) es una primitiva para la función f ( x) en (a; b),
entonces F ( x) + C es también una primitiva, donde C
es un número constante cualquiera.
Teorema Sean F ( x) y G( x) dos primitivas para f ( x) en el interva-
lo (a; b), entonces F ( x) - G( x) = C en (a; b), donde C
es una constante.
Los teoremas estudiados hasta ahora nos permite afir-
mar que basta determinar una primitiva F ( x) de unafunción dada f ( x), para conocer todas las primitivas de
la función f ( x), ya que las mismas difieren de F ( x) en
una constante. Destacamos esta importante conclusión
en la siguiente definición.
Definición Integral indefinidaEl conjunto de todas las primitivas de la función f ( x)
definidas sobre cierto intervalo (a; b) se denomina
integral indefinida de la función f ( x) sobre este interva-
lo y se representa con el símbolo ( ) f x dx .
El signo se denomina signo integral, la expresión
f ( x)dx se llama expresión subintegral y la función f ( x),
función subintegral.
Las propiedades que se dan a continuación se deducen
inmediatamente de las propiedades de las funciones
derivables. Supondremos que todas las funciones anali-zadas están definidas sobre un mismo intervalo (a; b).
Ante todo señalemos dos propiedades que se despren-
den directamente de la definición de la integral indefi-
nida:
1) ( ) ( )d f x dx f x dx . Esta propiedad significa que
los símbolos d y se reducen mutuamente si el símbolo
de la diferencial está delante del símbolo de la integral.
2) ( ) ( )dF x F x C . Esta propiedad significa que los
símbolos y d se reducen mutuamente si el símbolo de
la integral está delante del símbolo de la diferencial,
pero, en este caso, hay que adicionar a F ( x) una cons-
tante arbitraria C .
Las dos propiedades siguientes suelen denominarse
propiedades lineales de la integral.
Teorema Si las funciones f ( x) y g ( x) admiten funciones primiti-
vas en un cierto intervalo, se verifica
[ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx .
TeoremaSi la función f ( x) admite una función primitiva en un
intervalo dado entonces se verifica
( ) ( )kf x dx k f x dx .
Hasta aquí hemos definido la integral indefinida y
estudiado sus propiedades; ahora nos preguntamos,
¿cómo calcular la integral indefinida de una función?
Las próximas secciones de este capítulo están dedica-
das al estudio de los métodos de integración, que darán
respuesta a la pregunta anterior.
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INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
386
5.2 Integrales inmediatas
Definición Se llaman integrales inmediatas, aquellas integrales
que se calculan directamente a partir de la definición
de derivada.
Solamente se pretende que memorice las fórmulas de
integración inmediata que relacionamos a continua-
ción, pero no es difícil comprobar cualquiera de ellas,
aplicando las definiciones de las derivadas de funcio-
nes que hemos estudiado.
Por tanto, todas las reglas de derivación de funciones
que hemos estudiado, permiten encontrar una fórmula
para calcular una integral indefinida. En particular las
formas más directas, permiten construir la siguiente
colección de integrales inmediatas, que se conoce
generalmente como tabla de integrales inmediatas
fundamentales.
Si u = f ( x), entonces du = f ´( x)dx, entonces:
1) 0du C .
2) du u C .
3)1
1
nn u
u du C n
, n -1.
4) lndu
u C u
, x 0.
5)ln
uu a
a du C a
, a > 0, a 1.
6) u ue du e C .
7) Senu du Cosu C .
8) Cosudu Senu C .
9)ln
ln
Cosu C Tanu du
Secu C
10) lnCotu du Cscu C .
11)
ln
ln4 2
Secu Tanu C
Secu du uTan C
.
12)
ln
ln2
Cscu Cotu C
Cscudu uTan C
.
13) SecuTanudu Secu C .
14) CscuCotudu Cscu C .
15) 2Sec udu Tanu C ,
16) 2Csc u du Cotu C ,
17)2 2 2
1du bu ArcTan C
ab aa b u
.
18)2 2 2
1ln
2
du bu aC
ab bu aa b u
.
19)2 2 2
1ln
2
du bu aC
ab bu ab u a
,
20) 2 2 2
2 2 2
1ln
dubu a b u C
ba b u
.
21)2 2 2
1du bu ArcSen C b aa b u
.
22) 2 2 2
2 2 2
1ln
dubu b u a C
bb u a
.
23) Senhudu Coshu C .
24) Coshudu Senhu C .
25) lnTanhu du Coshu C .
26) lnCotu du Senhu C .
27) ( )Secudu ArcTan Senhu C .
28) ln2uCscu du Tanh C .
29) SechuTanhudu Sechu C .
30) CschuCothudu Cschu C , u 0.
31) 2Sech udu Tanhu C .
32) 2Cosch u du Cothu C , u 0.
Se sobreentiende que si el denominador de la función
subintegral se anula en cierto punto, entonces las fór-
mulas escritas serán válidas sólo para aquellos interva-
los en los cuales no se anula el denominador indicado.Esta observación se refiere también a las situaciones
análogas que nos encontraremos en el futuro y que no
serán comentadas cada vez.
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INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
387
5.3 Integración por cambio de variables
El método de integración por cambio de variable con-
siste en efectuar en una integral indefinida un cambio
de variable, de manera que se simplifique la integral o
se transforme en una integral indefinida conocida.
Teorema Sea que la función t = h( x) está definida y es diferen-
ciable sobre cierto conjunto D y sea C el conjunto de
los valores de esta función. Luego, sea que para la
función g (t ) existe la función primitiva G(t ) sobre el
conjunto C , es decir,
( ) ( ) g t dt G t C .
Entonces, sobre todo el conjunto D, para la función
g (( x))´( x) existe la función primitiva igual a G(h( x))
es decir
( ( )) (́ ) ( ( )) g h x h x dx G h x C
.
Este procedimiento de calcular la integral ( ) f x dx se
denomina integración por cambio de variable.
EjemploSe estima que dentro de t meses la población de una
cierta ciudad estará cambiando a un ritmo de t 62
personas por mes. La población actual es de 60000.
¿Cuál será la población dentro de 1 año?
SoluciónLa población de la ciudad dentro de t meses está dada
por t t P 62)( . La derivada de P es el ritmo decambio de la población con respecto al tiempo t . Es
decir
t dt
dP 62
Sabemos que la función de población P es la primitiva
de t 62 . Esto es
3
2( ) (2 6 ) 2 4 P t t dt x x K
para alguna constante K . Para determinar K , tenemos
que en el momento presente, es decir, cuando t = 0 la
población es de 60000. Esto es
K 2
3
)0(4)0(260000 K = 60000
Por tanto
6000042)( 2
3
x xt P
En 1 año la población será3
2(12) 2(12) 4(12) 60000 60190 P Personas.
Ejemplo Se estima que dentro de t semanas el número de usua-
rios que usan el trolebús estará creciendo a un ritmo de
18t 2 + 500 por semana. Actualmente 8000 usuarios
usan el trolebús. ¿Cuántos lo usarán dentro de 5 sema-
nas?
Solución El ritmo de crecimiento de usuarios está dada por
218 500dU
t dt
2(18 500)dU t dt
Integrando esta expresión, obtenemos2(18 500)dU t dt 3
6 500U t t K
Cuando t = 0, tenemos38000 6 0 500 0 K K = 8000
Es decir, la ecuación general queda de la siguiente
forma3
6 500 8000U t t . Cuando t = 5, obtenemos
36 5 500 5 8000U U = 11250
Lo cual indica que dentro de 5 semanas, 11250 perso-
nas usarán el trolebús.
Ejemplo Las estadísticas reunidas por el departamento de cárce-
les de una determinada ciudad, indica que dentro de t
años el número de internos en las prisiones de la pro-
vincia habrán aumentado a un ritmo de 280e0.2t por año.
Actualmente 2.000 internos están alojados en las pri-
siones de la provincia. ¿Cuántos internos deben esperar
tener la provincia dentro de 10 años?Solución El ritmo de aumento de internos en las cárceles es
0.2280 t dI e
dt 0.2
280 t
dI e dt
Integrando esta expresión, obtenemos
0.2280 t dI e dt
1
5280 5t
I e K
1
51400t
I e K
Cuando t = 0, tenemos1
052000 1400e K
K = 600
Es decir, la ecuación general queda de la siguiente
forma
6001400 5
1
t
e I
Cuando t = 10, obtenemos1
1051400 600 I e
I = 10944
Lo cual indica que dentro de 10 años, 10944 internos
tendrán las cárceles de la provincia.
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388
Ejemplo El valor de reventa de una cierta maquinaria industrial
decrece a un ritmo proporcional a la diferencia entre su
valor actual y su valor de desguace de 5.000 dólares.
La maquinaria se compró nueva por 40.000 dólares y
valía 30.000 dólares después de 4 años. ¿Cuánto valdrá
cuando tenga 8 años?
Solución Sabemos que el valor de reventa esta dado por
( )a d
dV C V V
dt ( 5000)
dV C V
dt
5000
dV C dt
V
Integrando esta expresión, tenemos
5000
dV C dt
V
ln 5000V Ct K
5000 Ct V Ke
Cuando t = 0, obtenemos 040000 5000 C Ke K = 35000
Cuando t = 4, obtenemos
30000 5000 35000 Ct e 1 5
ln4 7
C
Por tanto1 5
ln4 75000 35000
t
V e
Si t = 8, entonces1 5
ln 84 75000 35000V e
V = 22857
La maquinaria industrial, valdrá 22857 dólares cuando
tenga 8 años.
Ejemplo El ritmo al que se propaga una epidemia por una ciu-
dad es conjuntamente proporcional al número de resi-
dentes que han sido infectados y al número de residen-
tes susceptibles que no lo han sido. Exprese el número
de residentes que han sido infectados como una fun-
ción del tiempo.
Solución Hacemos que t es el tiempo, P el número de residentes
que han sido infectados y Q el número total de residen-
tes susceptibles. Entonces el número de residentes
susceptibles que no han sido infectados es Q –
P , y laecuación que describe la propagación de la epidemia
es
( )dP
kP Q P dt
donde k es la constante de proporcionalidad. Esta
ecuación se puede expresar como
( )
dP k dt
P Q P
A dP B dP
k dt P Q P
1 1dP dP k dt
Q P Q Q P
t k K P QQ
P Q
ln1
ln1
1 ln P K k t Q Q P
QK t Qk
P Q P
ln
lo que puede resolverse como
Qkt QK P e
Q P
1
QK Qk t
QK Qk t
Qe e P
e e
1 QK Qk t
Q P
e e
Finalmente, represente la constante eQK por α y use la
notación funcional
( )1 Qk t
Q P t
e
Haciendo cálculos, podemos establecer que ( ) 2
Q
P t
corresponde al punto de inflexión de la curva P (t ), lo
cual indica que la epidemia se está propagando más
rápidamente cuando la mitad de los residentes suscep-
tibles han sido infectados.
Ejemplo El ritmo al que cambia la temperatura de un objeto es
proporcional a la diferencia entre su propia temperatura
y la del medio que le rodea. Se saca de un refrigerador
una bebida fría en un cálido día de verano y se sitúa en
una habitación a 80ºF. Exprese la temperatura de la
bebida como una función del tiempo si la temperatura
de la bebida era de 40ºF cuando salió del refrigerador yde 50ºF veinte minutos después.
Solución Según la ley de enfriamiento de Newton
00( )a
dT C T T
dt
Integrando esta expresión, obtenemos
0
0 80
dT C dt
T
0ln 80T Ct K
0 80 C t T K e
Cuando t = 0, se tiene040 80 C K e K = 40.
Cuando t = 20, se tiene
2050 80 40 C e 203 4 C e 1 3
ln20 4
C
Con los valores encontrados, tanto para K como para C ,
tenemos1 3
ln20 4
0 80 40t
T e
.
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389
Ejemplo Un estudio ambiental de una cierta comunidad sugiere
que dentro de t años el nivel de monóxido de carbono
en el aire estará cambiando a un ritmo de 0.1t + 0.1
partes por millón por año. Si el nivel actual de monó-
xido de carbono en el aire es de 3.4 partes por millón,
¿cuál será el nivel dentro de 3 años?
Solución El ritmo al que cambia el nivel de monóxido de car-
bono esta dado por
0,1 0,1dNco
t dt
Integrando esta expresión, obtenemos
(0,1 0,1)dNco t dt 21 1
20 10 Nco t t K
Como el nivel actual de monóxido de carbono es 3.4
ppm, entonces
21 13,4 0 0
20 10
t K K = 3,4
21 13.4
20 10 Nco t t
Dentro de 3 años se tendrá un nivel de monóxido de
carbono de
21 13 3 3.4
20 10 Nco 4,15 Nco ppm.
Ejemplo Se estima que dentro de t meses la población de una
cierta ciudad estará cambiando a un ritmo de
2
34 5t
personas por mes. Si la población actual es de 500.000
personas, ¿cuál será la población dentro de 1 año?
Solución El ritmo al que cambia una población es
2
34 5dP
t dt
Integrando esta expresión, obtenemos2
3(4 5 )dP t dt
5
34 3 P t t K
Como la población actual es de 500.000 personas,
entonces5
3500.000 4 0 3 0 K K = 500.000
534 3 500.000 P t t
Dentro de 1 año se tendrá una población de5
34(12) 3(12) 500.000 P
P = 500236 personas.
Ejemplo Halle la ecuación de la función cuya tangente tiene una
pendiente de 3 x + 6 x – 2 para cada valor de x y cuyo
gráfico pasa por el punto (0, 6).
Solución La pendiente de la tangente está dada por
2(́ ) 3 6 2 f x x x
Por lo tanto, integrando esta expresión, encontramos2(3 6 2)df x x dx 3 2( ) 3 2 f x x x x K
Como la gráfica pasa por el punto (0, 6), entonces3 26 0 3 0 2 0 K K = 6
de donde, la ecuación de la función tiene la forma3 2( ) 3 2 6 f x x x x .
Ejemplo Halle la ecuación de la función cuyo gráfico tiene un
mínimo relativo cuando x = 1 y máximo relativo cuan-
do x = 4.
Solución
Los puntos de máximos y mínimos los encontramosigualando a cero la primera derivada, es decir
(́ ) 0 f x (́ ) ( 1)( 4) f x x x
Por lo tanto, integrando esta expresión, encontramos
2( 5 4)df x x dx 3 21 5( ) 4
3 2 f x x x x K
de donde, la ecuación de la función tiene la forma
3 21 5( ) 4
3 2 f x x x x K
donde K puede tomar cualquier valor.
Ejemplo Un objeto se mueve de forma que su velocidad después
de t minutos es de 3 + 2t + 6t 2 metros por minuto. ¿Qué
distancia se desplazará el objeto durante el segundo
minuto?
Solución Como la velocidad es igual a la primera derivada de la
distancia, entonces 23 2 6dx
v t t dt
.
Integrando esta expresión, encontramos2(3 2 6 )dx t t dt 2 3
3 2 x t t t K
Reemplazamos en esta ecuación t = 22 3(2) 3 2 2 2 2 x K x = 26 + K
Por tanto en el segundo minuto se desplazara 26 + K metros.
Ejemplo Se lanza una piedra hacia arriba, con una velocidad
inicial de 64 pies por segundo desde una altura de 8
pies. Suponiendo que es insignificante la resistencia del
viento, la piedra tiene una aceleración gravitacional de
– 32 pies por segundo por segundo. Calcule la altura
que alcanza la piedra en el tiempo t .
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390
Solución Sabemos que
( ) dh
v t dt
( )dh v t dt
Como v(t ) = v0 + at , entonces
0( )dh v at dt (64 32 )dh t dt Integrando esta expresión, tenemos
(64 32 )dh t dt 264 16h t t K
Cuando t = 0, tenemos2
8 64 0 16 0 K K = 8
De esta manera tenemos que2
64 16 8h t t pies.
5.3.1 Tarea
1) Calcular la siguiente integral:
a) 5
2
( 2) x
x
e dx
e
; b)
23
3
( ) x x dx
x x
; c)
2
2
( 5)
4 4 6
x dx
x x
; d) 1 5
57
x
x
e dx
e
;
e)
23
2
1 xdx
x
;f)
5 23 2 x x dx ; g) 2
3 ln
dx
x x ;
h) 25
xe dx
x
;
i) 4 2
3
x dx
x ; j)
3
2
( 1) x
x
e dx
e
; k) 4
3
1
x dx
x ; l) 6(3 1)
dx
x ;
m) 2
( 3)
1 2
x dx
x x
; n)
3
3
( 1)
1
x
x
e dx
e
; o) 4
2
1
x dx
x ; p)
2
2 4(1 )
x
x
e dx
e ;
q) 5
(1 )
dx
x x ; r) 24(2 ) x dx
x
; s)
7 5
dx
x ; t) 2
( 3)
6
x dx
x x
;
u) 3 7
3 5 7
Sen x dx
Cos x ; v) 2
3 5
dx
x x ; w)
2
2
2 1
x
x
dx
; x) 3
43 7
x dx
x ;
y) ln 1 ln x x x dx ; z) 3ln7 xe dx .
2) Calcular la siguiente integral:
a) 3
5
( ) x x x dx
x
; b)
3(2 5 )
3
x x
x
dx ;
c) 3(2 3 2 4) x x dx ;
d) 2
( 3)
3 1
x dx
x x
; e)
2
(2 1)
10 22
x dx
x x
; f)
23
3
( ) x x x dx
x
;
g) 4 3 5
3
( ) x x dx
x
;
h) 54 (2 4 ) x dx ; i) 2
8 12
x dx
x x ;
j) 1
(3 4 )
2
x x x x
x
a e dx
; k)
2
( 3)
4 12 7
x dx
x x
; l)
2
( 5)
6 10
x dx
x x
;
m) 2 2 1
x dx
x xCosk ; n)
1
1
2( 1) 1
x
xe dx
x x
;
o)
3
1 5 3
Sec x dx
Tan x
;
p) ( 3 3 )
3
Sen x Cos x dx
Sen x
; q)
4 4
2Sen xdx
Sen x Cos x ; r) 2( ) 1
xCosx dx
x Senx Cosx ;
s) 2 5 25
Tan xe Sec x dx
; t)
1 3
32 2(2 7) x x dx ; u)
21
(1 2ln ) x
x x dx ;
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391
v) 2
2
5 ln(3 )
3
x x dx
x
; w) (1 ln ) x x x dx ;
x)
2ln( 1)
2 2
(2 1)
( 1) ln( 1)
x x x e dx
x x x x
;
y) 2 2Sec xTan x dx ; z)
2
2
7 3
Sen x dx
Sen x
.
4) Calcular la siguiente integral:
a)4
26 7
x dx
x x ; b) 2
( 4)
4 20 27
x dx
x x
; c) 3
2
( 3 )
6 13
x x dx
x x
; d) 2
24 2
x dx
x x ;
e) 2
( 1)
2 4 4
x dx
x x
; f) 27
3 3
Sen x dx
Cosx ; g) 2
2
( 3 )
9 6 4
x x dx
x x
; h) 2
2
(2 )
6 10
x dx
x x
.
5.4 Integración por partes
Entre los métodos muy eficaces de integración figura
el método de integración por partes. Cuando no poda-
mos arreglar el integrando de una integral indefinidade modo que se pueda aplicar una de las integrales
inmediatas, debemos buscar otros métodos para eva-
luar la integral. Uno de ellos es la integración por
partes y se basa en la siguiente afirmación.
Teorema Sea que cada una de las funciones u( x) y v( x) es conti-
nua sobre un intervalo dado, diferenciable en todos sus
puntos excepto un conjunto finito de ellos y sobre este
intervalo existe la primitiva de la función v( x)u´( x)
sobre este intervalo. Entonces sobre este mismo inter-
valo existe también la primitiva de la función u( x)v´( x)
con tal que es válida la fórmula( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )u x v x dx u x v x v x u x dx .
Esta fórmula permite sustituir el problema de calcular
la integral u dv por el de calcular la integral v du .
En algunos casos concretos esta integral se calcula sin
dificultad. El cálculo de la integral u dv aplicando la
fórmula se denomina integración por partes. Preten-
demos no sólo que memorice dicha fórmula, sino que
mediante la aplicación de conceptos que ya ha estudia-
do y de la ejercitación correspondiente, sea capaz tanto
de reconocer las integrales que puedan calcularse apli-cando este método, como de calcularlos.
Ejemplo Calcular la integral
a) 2
2 2
( 1 )
1
x x ArcSenx dx
x x
; b) x xe ArcTane dx ;
c) 2
2(2 ln 2ln 1) x xe x x x dx .
Solución a) Descomponemos la integral dada en dos integrales
2
22 2 2
(2)(1)
( 1 )
1 1
x x ArcSenx dx dx ArcSenx dx
x x x x x
Trabajamos en la segunda integral. Sea
u = ArcSenx,21
dxdu
x
,
2
dxdv
x ,
1v
x .
Reemplazamos en la fórmula general y obtenemos
2 2
1
1 1
dx dx I ArcSenx
x x x x x
1
ArcSenx C
x
.
b) Si y = e x, dy = e xdx, entonces la integral original se
transforma en x xe ArcTane dx ArcTany dy
Haciendo
u = ArcTany,21
dydu
y
, dv = dy, v = y.
Reemplazamos en la fórmula general
21
y dy I yArcTany
y
21ln 1
2 yArcTany y C
2ln 1
x x xe ArcTane e C .
c) Descomponemos la integral original en tres integra-
les2
2(2 ln 2ln 1)
x xe x x x dx
2 2 23
(1)
2 ln 2 ln x x x x e x x e x dx x e dx
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INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
392
Trabajamos únicamente en la primera integral. Sea
u = x2ln x, du = ( x + 2 xln x)dx,2
2 xdv xe dx ,2 xv e .
Reemplazamos en la fórmula general y obtenemos2 2 2
21 ln 2 ln x x x I x e x xe dx xe xdx .
Por lo tanto2 2 2
2 ln 2 ln x x x I x e x xe dx xe xdx 2 2 2
22 ln ln x x x xe xdx xe dx x e x C .
Ejemplo Se observa que la población de una ciudad crece con la
rapidez t dP te
dt , donde P (t ) representa la población
para el tiempo t ≥ 0 años. Si la población inicial es
800.000, ¿cuál será 10 años más tarde?
Solución
El modelo de población es( ) t P t te dt ( ) t t P t te e K .
Como P (0) = 800.000, entonces0800.000 0 e K 800.001 K .
De esta manera, tenemos
( ) 800.001t t P t te e .
Por tanto, después de 10 años la población es10 10(10) 10 800.001 998239 P e e .
Ejemplo El número N en cientos de campistas que utilizan los
servicios de cierto parque nacional durante el año t se
estima que varía con una rapidez4
5
3 2
( 2)
dN t
dt t
.
¿Cuántos campistas adicionales deben esperarse dentro
de 5 años, a partir de ahora?
Solución La rapidez con que varía el número de campistas es
4
5
3 2
( 2)
dN t
dt t
4
5
3 2
( 2)
t dN dt
t
Integrando por partes esta expresión, se obtiene
4
5
3 2
( 2)
t dN dt
t
1 6
5 525
(15 10)( 2) ( 2)2
N t t t K
Cuando t = 0, tenemos1 6
5 525
0 (15 0 10)(0 2) (0 2)2
K
1 6
5 525
10 2 22
K 515 2 K
De aquí se deduce que la ecuación tiene la forma si-
guiente1 6
55 525(15 10)( 2) ( 2) 15 22
N t t t
Cuando t = 5, tenemos1 6
55 525
(15 5 10)(5 2) (5 2) 15 2 13,542
N .
Esto indica que dentro de 5 años, se deben esperar
adicionalmente 1354 campistas.
Ejemplo Después de t segundos, un objeto se mueve a una velo-
cidad de 0.5t te metros por segundo. Exprese la distan-
cia que recorre el objeto como una función del tiempo.
Solución Sabemos que
0.5t dS v te
dt
0.5t dS te dt
Integrando por partes esta expresión, obtenemos
0.5t dS te dt
1
22( 2)t
S t e K
.
5.4.1 Tarea
1) Calcular las siguientes integrales:
a) 2 x Senhx dx
; b) ArcSec x dx
; c) 5Sen xdx
; d) 3(2 1)Sec x dx
;
e) 2 x ArcSecx dx ; f) 7Cos xdx ; g) 2 x Sen xCosx dx ; h) 2 2 x a dx ;
i) 5Cot xdx ; j) 3 ln x x dx , n -1; k) 2 x ArcCotx dx ; l) 5Sec xdx ;
m) 3 2(2 3) xCsc x dx ; n) 3 x ArcCosx dx ; o) 5Tan xdx ; p) 2 2 xTan x dx ;
q) 4 5ln( 3) x x dx ; r) x xe Senx dx ; s) 3 x ArcTan x dx ; t) 2 x ArcTanx dx ;
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INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
393
u) 3 3ln x x dx ; v) 2
xCosx dx
Sen x ; w)
3( 1)
ArcTanxdx
x ; x) 3
2
ln x dx
x
;
y) 2
2
ln( 1 )
1
x x xdx
x
; z)
2
3
22
ln( 1 )
(1 )
x x dx
x
.
2) Calcular las siguientes integrales:
a) 3 4 xe Sen xdx ; b) axe Cosbx dx ; c) 2 x ArcCosx dx ; d) 3Csc xdx ;
e) axe Senbx dx ; f) 2 x ArcSenx dx ; g) 3 x Senax dx ; h) 3 x Cosax dx .
5.5 Integración mediante fracciones racionales
Vamos a estudiar las integrales que se presentan de la
forma( )
( )
P xdx
Q x
denominadas integrales racionales.
Para calcular dichas integrales distinguimos los dos
casos siguientes:
1) Que el grado del polinomio del numerador sea
igual o mayor que el grado del polinomio del denomi-
nador. En este caso se efectúa la división, con lo que se
obtiene P ( x) = Q( x)C ( x) + R( x) y la integral se des-
compone en suma de dos integrales
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
P x Q x C x R x R xdx dx C x dx dx
Q x Q x Q x
donde esta última es una integral racional cuyo grado
del polinomio del numerador es menor que el grado
del polinomio del denominador y la primera es unaintegral inmediata.
2) Que el grado del polinomio del numerador sea
menor que el grado del polinomio del denominador.
Para estudiar este tipo de integrales estudiamos las
raíces del polinomio del denominador y tendremos:
a) las raíces son reales y distintas:
Supongamos que el grado del polinomio Q( x) sea n y
sea a1, a2, ..., an las n raíces reales y distintas de dicho
polinomio. En este caso, la función( )
( )
P x
Q x admite la
siguiente descomposición en suma de fracciones sim-
ple
1 2
1 2
( )...
( )
n
n
P x A A A
Q x x a x a x a
(1)
donde los coeficientes A1, A2, ..., An se determinan por
el método de los coeficientes indeterminados que con-
siste en efectuar las operaciones indicadas en el segun-
do miembro de la igualdad (1) ; para ello se reduce a
común denominador todas las fracciones (este deno-
minador común es Q( x)), se efectúa la suma indicada
1 2 2 1 3
1 2
( ) ( )...( ) ( )( )...( )
( ) ( )( )...( )
n n
n
P x A x a x a A x a x a x a
Q x x a x a x a
1 1
1 2
( )...( )( )( )...( )
n n
n
A x a x a x a x a x a
y se igualan los polinomios del numerador de las dos
fracciones que resultan
P ( x) = A1( x - a2) ... ( x - an) + A2( x - a1)( x - a3) ... ( x - an)
+ ... + An( x - a1) ... ( x - an-1) (2)
Al ser iguales ambos polinomios se identifican sus
coeficientes, pasando a un sistema de tantas ecuaciones
como incógnitas.
Un método más rápido para calcular dichos coeficien-
tes consiste en dar a x los valores de las raíces del poli-
nomio Q( x) con lo que se obtiene
P (a1) = A1(a1 - a2) ... (a1 - an)
11
1 2 1
( )
( )...( )n
P a A
a a a a
P (a2) = A2(a2 - a1)(a2 - a3) ... (a2 - an)
22
2 1 2 3 2
( )
( )( )...( )n
P a A
a a a a a a
. . .
P (an) = An(an - a1)(an - a2) ... (an - an-1)
1 2 1
( )
( )( )... ( )
nn
n n n n
P a A
a a a a a a
La integral( )
( )
P xdx
Q x se descompone en suma de inte-
grales
1 21 2
( )...
( ) n
n
P x dx dx dxdx A A A
Q x x a x a x a
1 1 2 2 1ln ln ... lnn n A x a A x a A x a C
b) Las raíces son reales y múltiples:
Sean a1, a2, ..., a p las raíces del polinomio Q( x) y h1, h2,
..., h p sus órdenes de multiplicidad. Se tiene
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394
1 21 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ...( ) phh h p
P x P xdx dx
Q x x a x a x a
La fracción( )
( )
P x
Q x se descompone en este caso en los
siguientes sumandos1
1
1
1 1
( )... ...
( ) ( ) ( )
h
h
A P x A
Q x x a x a
1 ...( ) ( )
p
p
h
h p p
B B
x a x a
es decir, cada raíz de orden de multiplicidad hi da lugar
a tantas fracciones como indica el orden de multiplici-
dad, es decir, a hi, siendo el número total de sumandos
igual al grado del polinomio del denominador
h1 + h2 + ... + h p = n = grado(Q( x)).
Los coeficientes11 1, ..., , ..., , ...,
ph h A A B B se determinan
todos ellos por el método de los coeficientes indeter-minados. La integral propuesta se descompone en
suma de integrales cada una de las cuales vale
1
, 1,
1 1, 1.( )
1 ( )
mm
Ln x a si mdx
si m x am x a
c) Raíces complejas y simples:
Se sabe que cuando un polinomio admite una raíz
compleja su conjugada también es raíz de dicho poli-
nomio, esto es, las raíces complejas aparecen por pa-
res. Estas dos raíces complejas conjugadas son las
raíces del polinomio
( x - a - bi)( x - a + bi) = ( x - a)2 + b2.
En la composición del cociente( )
( )
P x
Q x en suma de
fracciones, se agrupan las dos raíces complejas y se les
asigna una fracción del tipo
2 2( )
Mx N
x a b
donde M y N son coeficientes que se determinan apli-
cando el método de los coeficientes indeterminados.
El problema de calcular la integral
( )
( )
P xdx
Q x
queda reducido a calcular la integral
2 2( )
Mx N dx
x a b
que se transforma en otros dos
2 2 2 2( ) ( )
Mx N Mx N Ma Madx dx
x a b x a b
2 2 2 2( )
( ) ( )
x a dx M dx N Ma
x a b x a b
1 2 I I
La primera integral, I 1, se calcula haciendo el cambio
de variable x - a = t , dx = dt con lo que
2 21 2 2
I2
t d t M M Ln t b C
t b
2 2( )2
M Ln x a b C
y la segunda integral, I 2, mediante la sustitución
x - a = bt , dx = bdt con lo que
2 2 2 2 2I ( )
1
b d t N Ma d t N Ma
bb t b t
N Ma ArcTant C
b
N Ma x a ArcTan C
b b
de aquí que la integral pedida valga
2 2
2 2 ( )2( )
Mx N M
dx Ln x a b x a b
N Ma x a
ArcTan C b b
.
Ejemplo Calcular la integral
a) 2
( 1)
( 1)( 2)( 4)
x x dx
x x x
; b) 2
2 2
(2 3 )
( 3) ( 1)
x x dx
x x
;
c) 3 2
2 2
( 3 2)
( 3)( 4)
x x dx
x x x x
.
Solución
a) Descomponemos en fracciones parciales2 1
( 1)( 2)( 4) 1 2 4
x x A B C
x x x x x x
Eliminamos denominadores2 1 ( 2)( 4) x x A x x
( 1)( 4) ( 1)( 2) B x x C x x
2 21 ( ) x x A B C x
( 2 3 3 ) ( 8 4 2 ) A B C x A B C
1
2 3 3 1
8 4 2 1
A B C
A B C
A B C
1 1 19
, ,5 6 30
A B C
2( 1) 1 1 19
( 1)( 2)( 4) 5 1 6 2 30 4
x x dx dx dx dx
x x x x x x
1 1 19ln( 1) ln( 2) ln( 4)
5 6 30 x x x C .
b) Descomponemos en fracciones parciales
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395
2
2 2 2 2
2 3
3 1( 3) ( 1) ( 3) ( 1)
x x A B C D
x x x x x x
Eliminamos denominadores2 2 22 3 ( 3)( 1) ( 1) x x A x x B x
2 2
( 3) ( 1) ( 3)C x x D x 2 3 22 3 ( ) (5 7 ) x x A C x A B C D x
(7 2 15 6 ) (3 9 9 ) A B C D x A B C D
0993
361527
275
0
DC B A
DC B A
DC B A
C A
4
104
90
D
C
B
A
2222
2
)1(4
1
)3(4
9
)1()3(
)32(
x
dx
x
dx
x x
dx x x
dx xdx x
22
)1(4
1
)3(4
9
9 1
4( 3) 4( 1)C
x x
.
c) Descomponemos en fracciones parciales
43)4)(3(
232222
23
x x
DCx
x x
B Ax
x x x x
x x
Eliminamos denominadores
)3)(()4)((23 2223 x x DCx x x B Ax x x
2323 )()(23 x DC B A xC A x x
)34()34( D B x DC B A
234
034
3
1
D B
DC B A
DC B A
C A
5
6,
5
12,
5
2,
5
7 DC B A
)4)(3(
)23(22
23
x x x x
dx x x
4
)12(
5
6
3
)27(
5
122 x x
dx x
x x
dx x
4
)12(
5
6
3
7
11
)12(
10
7
22 x x
dx x
x x
dx x
4
)12(
5
6
310
11
3
)12(
10
7
222 x x
dx x
x x
dx
x x
dx x
27 11 2 1ln 3
10 5 11
x x x ArcTan
26ln 4
5 x x C .
5.5.1 Método de Ostrogradski
M. V. Ostrogradski propuso un método ingenioso de
separar la parte racional de la integral de la fracción
racional propia( )
( )
P x
Q x. Analizando la forma de las
integrales de cuatro fracciones simples:
I) B
x b; II)
( )
B
x b
; III) 2
Mx N
x px q
;
IV) 2( )
Mx N
x px q
.
Se puede hacer las deducciones siguientes:
1) Las integrales de las fracciones de tipo I y III cu-
yos denominadores comprenden binomio o trinomio
en primera potencia, respectivamente, son funciones
trascendentes.
2) La integral de la fracción de tipo II cuyo denomi-
nador comprende un binomio en potencia > 1 es
fracción racional propia con el denominador igual al
mismo binomio en potencia - 1.
denominador igual al mismo trinomio en potencia - 1
y la integral que se reduce al arco tangente.
Las deducciones 1), 2), 3) permiten concluir a qué es
igual la parte racional de toda la integral de la fracción
propia( )
( )
P x
Q x que, además, se considera irreducible. Sea
que el denominador Q( x) tiene la forma
1 121 1 1( ) ( ) ...( ) ( ) ...m
mQ x x b x b x p x q
2...( ) nn n x p x q
(1)
Entonces parte racional de la integral de la fracción
racional propia( )
( )
P x
Q x es igual a la suma de fracciones
racionales propias cuyos denominadores son respecti-
vamente iguales a
1 111 121 1 1( ) , ..., ( ) , ( ) , ...,m
m x b x b x p x q
12..., ( ) nn n x p x q
.
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396
3) La integral de tipo IV cuyo integrando comprende
en el denominador un trinomio en potencia resulta
ser igual a la suma de la fracción racional propia con el
La parte racional de la integral de la fracción( )
( )
P x
Q x es,
obviamente, la fracción racional propia 1
1
( )
( )
P x
Q x cuyo
denominador Q1( x) tiene la forma1 111 12
1 1 1 1( ) ( ) ...( ) ( ) ...mmQ x x b x b x p x q
12...( ) n
n n x p x q (2)
Calculemos ahora la suma de las fracciones simples
cuyas integrales son funciones trascendentes. De las
deducciones 1) y 3) se deduce que esta suma es igual a
la fracción racional propia 2
2
( )
( )
P x
Q x cuyo denominador
Q2( x) es igual a2
2 1 1 1( ) ( )...( )( )...mQ x x b x b x p x q
2...( )n n x p x q (3)
De este modo, llegamos a la siguiente fórmula que fueobtenida por primera vez por M. V. Ostrogradski:
1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P x dx P x P x dx
Q x Q x Q x (4)
En la fórmula de Ostrogradski los polinomios Q1( x) y
Q2( x) se determinan por las fórmulas (2) y (3) y pue-
den calcularse sin descomponer el polinomio Q( x) en
el producto de factores irreductibles.
En efecto, el polinomio Q1( x) es el máximo común
divisor de los polinomios Q( x) y Q´( x) y puede calcu-
larse valiéndose del algoritmo de Euclides.
En virtud de las fórmulas 2), 3) y 4), el polinomio
Q2( x) es el cociente1
( )
( )
Q x
Q x y puede calcularse divi-
diendo Q( x) por Q1( x) en columna. Queda por calcular
los polinomios P 1( x) y P 2( x). Puesto que las fracciones
1
1
( )
( )
P x
Q x y 2
2
( )
( )
P x
Q x son propias, es lógico prefijar el poli-
nomio P 1( x) como polinomio con coeficientes inde-
terminados de grado inferior en una unidad que Q1( x),
y P 2( x), como polinomio con coeficientes indetermina-
dos de grado inferior en una unidad que Q2( x).
Para calcular dichos coeficientes indeterminados sedebe diferenciar la fórmula de Ostrogradski, reducir el
resultado al denominador común y comparar los coefi-
cientes de potencias iguales de x en el numerador. De
este modo, el método de Ostrogradski es un procedi-
miento ingenioso para integrar una fracción racional
sin desarrollarla anticipadamente en la suma de las
simples.
Este procedimiento es especialmente eficaz si las raíces
de Q( x) son, en la mayoría, múltiples o si es difícil
hallar las raíces de Q( x).
Ejemplo Calcular la integral
2
4 3 2
(6 7 )
2 3 2 1
x x dx
x x x x
SoluciónTenemos Q( x) = x4 – 2 x3 + 3 x2 – 2 x + 1, en donde deri-
vando, obtenemos Q´( x) = 4 x3 – 6 x2 + 6 x – 2. Busca-
mos Q1( x) como el máximo común divisor de los poli-
nomios Q( x) y Q´( x). El máximo común divisor es
Q1( x) = x2 – x + 1. Al dividir Q( x) por Q1( x) en colum-
nas, hallamos Q2( x) = x2 – x + 1. Prefijamos P 1( x) y
P 2( x) como polinomios de primer grado con coeficien-tes indeterminados.
La fórmula de Ostrogradski toma la forma2
4 3 2 2 2
(6 7 ) ( )
2 3 2 1 1 1
x x dx Ax B Cx D dx
x x x x x x x x
(1)
Para determinar los coeficientes A, B, C , D diferencie-
mos la fórmula (1). Obtenemos2
4 3 2
(6 7 )
2 3 2 1
x x dx
x x x x
2
2 2 2
( 1) ( )(2 1)
( 1) 1
A x x Ax B x Cx D
x x x x
.
El resultado de diferenciación se reduce al denomina-
dor común después de que se comparan los numerado-res. Obtenemos
6 – 7 x – x2 = A( x2 – x + 1) – ( Ax + B)(2 x – 1) +
+ (Cx + D)( x2 – x + 1).
Comparando los coeficientes de x0, x1, x2, y x3, obtene-
mos el sistema de ecuaciones
0
1
2 7
6
C
A D C
A D C
A B C
2
3
0
1
A
B
C
D
De este modo, la fórmula (1) toma la forma2
4 3 2 2 2
(6 7 ) 2 3
2 3 2 1 1 1
x x dx x dx
x x x x x x x x
.
Al calcular la integral en el miembro derecho, hallamos
definitivamente2
4 3 2
(6 7 )
2 3 2 1
x x dx
x x x x
2
2 3 2 2 1
3 31
x x ArcTan C
x x
.
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397
5.5.2 Tarea
1) Calcular las siguientes integrales:
a) 2
(2 3)
2 5 3
x dx
x x
; b)4
3 2
( 2 6)
2
x x dx
x x x
; c)4
4 25 4
x dx
x x ;
d) 2
3 2
(3 2 5)
9 6
x x dx
x x x
; e) 2
3 2
( 3)
2 2
x dx
x x x
; f) 3
3
(8 7)
( 1)(2 1)
x dx
x x
;
g) 2
3
(4 1)
1
x x dx
x
; h) 3 2
4 6
x dx
x x x ; i) 4 2
3
( 3 1)
( 1)( 1)
x x dx
x x
;
j) 3
4 3 22 1
x dx
x x x ; k) 3
3 2
x dx
x x ; l) 2
( 2)
4 4
x dx
x x
;
m) 3
2
( 1)
( 1)( 3 5)
x x dx
x x x
. n) 3
4
( 2 1)
( 1)( 1)
x x dx
x x
; o) 2
2 2( 2 2)
x dx
x x .
2) Calcular las siguientes integrales:
a)3 2
2 2
(2 3 1)
( 1)( 2 2)
x x x dx
x x x
; b) 3 2
4 2
( 2 1)
( 1)( 1)
x x x dx
x x
; c) 3
3
( 1)
1
x dx
x
;
d) 5 4 2
( 2)
5 5 6
x dx
x x x x
; e) 2 3
( 1)( 2) ( 3)
dx
x x x ; f) 4 32
dx
x x ;
g) 2
5 4 3 2
( 2)
3 3 4 4
x x dx
x x x x x
; h) 2(3 5 7)
(2 1)(5 3)( 2)
x x dx
x x x
; i) 4
41
x dx
x ;
j) 2 2( 4 4)( 4 5)
dx
x x x x ; k) 2 2 2
( 1)(2 3)
( 3) ( 1)
x x dx
x x x
; l) 2 2( 1)
dx
x x ;
m) 3
4 3 2( 3 2)
6 6 5 12
x x dx
x x x x
; n) 2
2 2 2( 2 1)
( 1) ( 1)
x x dx
x x x
; o) 4
2 2( 1)
( 1)
x dx
x x
.
3) Calcular las siguientes integrales:
a) 2
3
(2 5)(6 13 6)
xdx
x x x ; b) 3 26 35
dx
x x x ; c) 3
3
(3 5)
5
x dx
x x
;
d) 5 4 3 2
3
2 10 20 9 18
xdx
x x x x x ; e) 3
2
(1 )
( 1)
x dx
x x
; f) 7
2 4
(2 6)
( 1)
x dx
x
;
g) 4 3 2
2 2
(2 7 28 26 41)
( 3)( 2 4)
x x x x dx
x x x
; h) 4 2
2
12 13 3
xdx
x x ; i) 4 1
dx
x ;
j)
5 4
4 3 2
( 3 5)
2 2 2 1
x x x dx
x x x x
; k)
4
5 4
( 3 2)
1
x x dx
x x x
; l)
2
2
( )
( 1)( 1)
x x dx
x x x
.
5.6 Integración de funciones trigonométricas
Llamamos integrales trigonométricas a las integrales
de la forma R(Senx, Cosx)dx donde R(Senx, Cosx) es
una función que depende exclusivamente de las fun-
2
xTan t donde x = 2 ArcTant y
2
2
1
dt dx
t
.
7/18/2019 Integral Indefinida
http://slidepdf.com/reader/full/integral-indefinida-5695ed3ce0f69 14/42
INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
398
ciones seno y coseno.
Las integrales trigonométricas se reducen a una inte-
gral racional mediante el cambio de variable
Por tanto, esta sustitución es un método potencialmente
poderoso de evaluar aquellas integrales trigonométricas
no cubiertas por los sencillos métodos enumerados
hasta ahora. Teniendo en cuenta las fórmulas de trigo-
nometría
2
2 2 2 2
2
2 22
22 2 2
2 2 2 2
2
x xSen Cos
x x xSen Cos Cos
Senx x x x x
Sen Cos Sen Cos
xCos
22
222
112
xTan
t
x t Tan
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
x xCos sen
x x xCos Sen Cos
Cosx x x x x
Sen Cos Sen Cos
xCos
2
2
22
112
112
xTan
t
x t Tan
la integral a la que vamos a pasar es de la forma2
2 2 2
2 1( , ) 2 ,
1 1 1
t t dt R Senx Cosx dx R
t t t
.
Ejemplo Calcular la integral
a) 3 4 5
dx
Senx Cosx ; b) 2
2
Senxdx
Sen x ;
c) 2
( )
1
Senx Cosx dx
Sen x Cosx
; d) 1
Tanxdx
Senx Cosx .
Solución a) Si x = 2 ArcTant , entonces
2
2
1
dt dx
t
,
2
2
1
t Senx
t
,
2
2
1
1
t Cosx
t
,
Por lo tanto
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
1 1I2 1 6 4 4 5 5
3 4 51 1 1
dt dt
t t
t t t t t
t t t
2 2
2 2
6 9 ( 3)
dt dt
t t t
2
3
2
C x
Tan
.
b) Si x = 2 ArcTant ,2
2
1
dt dx
t
, entonces
2 2
2 2 2 2
2 22
2 2
2 21 1
1 4 1222
(1 )1
t t
dt dt t t
t t t t
t t
2
2 4 4
2 2
4
21
(1 )(2 2) 1
(1 )
t
t t dt dt t t t
t
.
Si y = t 2, dy = 2tdt
4 2
2 1I
1 1
t dt dy ArcTany C
t y
2 2
2
x ArcTant C ArcTan Tan C
.
c) Si x = 2 ArcTant , entonces
2
2
1
dt dx
t
,
2
2
1
t Senx
t
,
2
2
1
1
t Cosx
t
,
Por lo tanto2 2
2 2 2 2 2
2 2 22
2 22 2
2 1 2 2 2 1
1 1 1 (1 )
2 (3 )2 11
(1 )1 1
t t dt t t dt
t t t t
t t t t
t t t
2
2 2
(2 2 1)
2 (3 )
t t dt
t t
2
2 2
1 2 4 1 2
3 3 3 33 3
t dt dt dt t dt
t t t
21 4 1 2ln(3 ) ln
3 3 33 3 3
t t ArcTan t C
t
2
2
1 4 1ln
3 33 3 33
t t ArcTan C
t t
2
2
1 4 12 2ln3 3 3 33 3
2 2
x xTan Tan
ArcTan C x x
Tan Tan
.
d) Si x = 2 ArcTant , entonces
2
2
1
dt dx
t
,
2
2
1
t Senx
t
,
2
2
1
1
t Cosx
t
,
7/18/2019 Integral Indefinida
http://slidepdf.com/reader/full/integral-indefinida-5695ed3ce0f69 15/42
INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
399
2 22 ( 3)
3t dt C
t
Por lo tanto
2 22 2
2
22 2
42 2
(1 )(1 )1 1
2( 1)2 11
11 1
t t dt dt t t t t
t t t
t t t
2
4
2( 1)(1 )
t dt
t t
21 1( 1)
2 1 2 1
dt dt t dt
t t
1 1 1
ln( 1) ln( 1)2 1 2
t t C t
1 1 1ln
2 1 1
t C
t t
11 12ln2
1 12 2
x
TanC
x xTan Tan
.
Este tipo de integrales, aunque no es difícil de calcular,
sí son muy laboriosos y largos todos sus cálculos; de
aquí que tengan especial interés los siguientes casos
particulares:
1) Que la función R(Senx, Cosx) sea una función
impar en seno o en coseno, esto es, que al sustituir
Senx por – Senx, o bien Cosx por – Cosx, la función
R(Senx, Cosx) cambia de signo
R(-Senx, Cosx) = - R(Senx, Cosx); R(Senx, -Cosx) = - R(Senx, Cosx)
Estos dos casos particulares se resuelven mediante el
cambio de variable – Cosx, la función R(Senx, Cosx)
cambia de signo.
Ejemplo Calcular la integral
a) 3
( )
2
Senx Sen x dx
Cos x
; b)
3
24 1
Cos x dx
Sen x ;
c) 2
2 2
Sen xdx
Tan x Cot x .
Solución a) La función integrando es impar con relación a
Senx, aplicamos por consiguiente la sustitución
Cosx = t -Senxdx = dt
Entonces2 2
2 2
( 1)I
1 1
Sen xSenx dx t dt
Cos x t
2 2
21 2
1 1
dt dt dt
t t
b) La función integrando es impar con respecto a
Cosx, así que es posible emplear la sustitución
Senx = t Cosxdx = dt2 2
2 2
(1 )I
4 1 4 1
Cos xCosx dx t dt
Sen x t
2
1 3
4 4(4 1)dt
t
2
1 3
4 4 4 1
dt dt
t
1 3 2 1ln
4 16 2 1
t t C
t
1 3 2 1ln
4 16 2 1
SenxSenx C
Senx
.
c) La función integrando es impar con respecto a Cosx,
así que es posible emplear la sustitución
Senx = t Cosxdx = dt
2 2 2
2 2
2 2
24 (1 2 ) 1
2 1 1 2
1 2 2 1
t dt t t t dt
t t t
t t t
3
3 2 3 324 4
(1 )3 3
t t C Sen xCos x C
312
6Sen x C .
2) La función R(Senx, Cosx) es una función par en
seno y en coseno, es decir, se verifica
R(-Senx, -Cosx) = R(Senx, Cosx).
Para resolver este tipo de integrales se hace el cambio
de variable Tanx = t mediante el cual la integral pro-
puesta se transforma en otra integral racional en donde
las funciones seno y coseno se sustituyen en función de
la nueva variable mediante las fórmulas
2 211 1
Senx
Tanx Tanx t CosxSenxSecx Tan x t
Cosx
;
2 2
1 1 1 11
1 1Cosx
Secx Tan x t Cosx
.
Ejemplo Calcular la integral
2 24 5
dx
Sen x SenxCosx Cos x
Solución
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http://slidepdf.com/reader/full/integral-indefinida-5695ed3ce0f69 16/42
INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
400
2t ArcTant C
2 ( )Cosx ArcTan Cosx C .
Dado que la función integrando es una función par en
relación con Senx y Cosx, hacemos entonces
Tanx = t x = ArcTant 21
dt dx
t
2
2 2
2 2 2
I4 5
dxCos x
Sen x SenxCosx Cos x
Cos x Cos x Cos x
2
2 24 5 4 5
Sec x dx dt
Tan x Tanx t t
2 ( 2)
( 2) 1
dt ArcTan t C
t
( 2) ArcTan Tanx C .
5.6.1 Tarea
1) Calcular las siguientes integrales:
a) dx
aTanx bCotx ; b) 2 3 4
Senxdx
Senx Cosx ; c) 2
1
dx
Cos x Senx ;
d) 41
dx
Cos x; e)
2
dx
Tanx Cotx ; f)
1 3 2
dx
Cosx Senx ;
g) 21
dx
Cos x ; h) 3 2
dx
Senx ; i) 1 3
Tanxdx
Senx Cosx ;
j) 2 21 2 3
dx
Cos x Sen x ; k) dx
Senx Cosx ; l) 24
dx
Sen x ;
m) dx
Secx Cscx ; n) 1
dx
Senx Cosx ; o) 2
2
Cosxdx
Cos x ;
p) 1 2 2
Cosxdx
Sen x ; q) 22
dx
Cos x Cosx ; r) 2 2 2 2
dx
a Sen x b Cos x ;
s) Senxdx
Tanx Senx ; t) 6 2
dx
Senx ; u) 2 2 3
Secxdx
Sen x Cos x ;
v) 2 2 1
SenxdxTan x Cot x ; w)
2 2Cotxdx
Sec x Tan x ; x) 2 1
dxTan x .
2) Calcular la siguiente integral:
a) 2 1
dx
Sen x Cosx ; b)3 5
2 4
( )Cos x Cos x dx
Sen x Sen x
; c) 3
dx
Cosx ;
d) 2 22
dx
Sen x SenxCosx Cos x ; e) 3 2
2
1
Sen xdx
Cos x Sen x ; f) 1 2 2
dx
Sen x ;
g) 3 5 3
dx
Senx Cosx ; h) 3
( )
2
Senx Sen x dx
Cos x
; i)
3
2
Cos xdx
Sen x Senx ;
j)
( 4)( 1)
dx
Senx Senx ; k)
4 3 5
dx
Senx Cosx ; l)
(3 )
3
Cosx dx
Senx
;
m) 2 2 2 2
( ) ( )
dx
a b a b Cosx ; n) 2
2 4
Cos xdx
Sen x SenxCosx ; o) 2
4 3
dx
Sen x .
5.7 Integración de funciones irracionales
A continuación estudiaremos aquellas integrales de
funciones irracionales que se ajustan a los siguientes
De donde con el siguiente cambio, obtenemos:
7/18/2019 Integral Indefinida
http://slidepdf.com/reader/full/integral-indefinida-5695ed3ce0f69 17/42
INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
401
modelos:
a) 2 2 2, R x a b x dx ;
a a x Sent dx Cost
b b
2 2 2 2 2 2 21a b x a a Sen t a Sen t aCost
;a a
x Cost dx Sent
b b
2 2 2 2 2 2 21a b x a a Cos t a Cos t aSent
con lo que la integral se reduce a una del tipo
,
,
a a R Sent aCost Costdt
b b
a a R Cost aSent Sentdt
b b
según la sustitución elegida.
b) 2 2 2, R x a b x dx
De donde con el siguiente cambio, obtenemos:
2;a a x Tant dx Sec tdt b b
2 2 2 2 2 2 21a b x a a Tan t a Tan t aSect
2;a a
x Cott dx Csc tdt b b
2 2 2 2 2 2 21a b x a a Cot t a Cot t aCsct
con lo que la integral se reduce a una del tipo
2
2
,
,
a a R Tant aSect Sec tdt
b b
a a R Cott aCsct Csc tdt
b b
según la sustitución elegida.
c) 2 2 2, R x b x a dx
De donde con el siguiente cambio, obtenemos:
;a a
x Sect dx SectTantdt b b
2 2 2 2 2 2 2 1b x a a Sec t a a Sec t aTant
;a a
x Csct dx CsctCottdt b b
2 2 2 2 2 2 2 1b x a a Csc t a a Csc t aCott
con lo que la integral se reduce a una del tipo
2
2
,
,
a a R Tant aSect Sec tdt
b b
a a R Cott aCsct Csc tdt
b b
según la sustitución elegida.
nax bt
cx d
n
n
dt b x
a ct
1
2( )
( )
n
n
t dx n ad bc dt
a ct
de donde1
2
( ), ,
( )
n n
nn n
ax b dt b n ad bc t R x dx R t dt
cx d a ct a ct
.
Ejemplo Calcular la integral
a) 2
( 3 2)
2 2
x dx
x x
; b) 2
2 2
Sen xCosxdx
Cos x Senx ;
c) 2
2
( 3)
3 4 3 4 5
x dx
x x
.
Solución a) Haciendo la sustitución
1 3 x Cosy
3dx Senydy
1
3
x y ArcCos
2 2
( 3 2) ( 3( 1) 2)
3 ( 1) 3 3
x dx Cosy Seny dy I x Cos y
1 ( 3 3 2)
3
Cosy Seny dy
Seny
3 2 3 2
3 3Cosy dy dy Seny y C
21 3 2 12 2
3 3 3
x x x ArcCos C
b) Si y = Senx, dy = Cosxdx, entonces2
21 2
y dy I
y y
2
22 ( 1)
y dy
y
Hacemos la sustitución
1 2 y Cosz
2 1 y Cosz
7/18/2019 Integral Indefinida
http://slidepdf.com/reader/full/integral-indefinida-5695ed3ce0f69 18/42
INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
402
d) , n ax b
R x dxcx d
La integral dada se transforma en una integral racional
mediante el cambio de variable
2dy Senz dz 1
2
y z ArcCos
2
2( 2 1)2
2 2Cosz Senzdz I
Cos z
2( 2 1)Cosz Senzdz
Senz
22 2 2 1Cos z Cosz dz
1 2 2 2 1Cos z Cosz dz
2 2 2 2Cos z Cosz dz
2 2 2 2Cos z dz Cosz dz dz
1 2 2 2 22
Sen z Senz z C
2 2 2SenzCosz Senz z C
2 22 1 2 2 2 11
2 2 2
y y y y y
1
22
y ArcCos C
2 21( 1) 2 1 2 2 1
2 y y y y y
1
22
y ArcCos C
2 21 ( 1) 2 2 22
Senx Cos x Senx Cos x Senx
12
2
Senx ArcCos C
21 1(3 ) 2 2
2 2
SenxSenx Cos x Senx ArcCos C
.
c) Hacemos la sustitución43 2 5 x Tany
4 5 2
3
Tany x
425
3dx Sec ydy
2
2
( 3)
( 3 2) 5
x dx I
x
4
25 4 53 3 3 3
Tan y Secy dy Tany Secy dy 5
3 3Secy dy
425 4 5
( 1)3 3 3 3
Sec y Secy dy TanySecydy
5
3 3Secydy
435 4 5 2 5
3 3 3 3 3 3Sec ydy TanySecydy Secydy
45 5 4 5ln
6 3 6 3 3 3
SecyTany Secy Tany Secy
2 5ln
3 3Secy Tany C
45 4 5
6 3 3 3SecyTany Secy
5ln
2 3Secy Tany C
2
4 4
( 3 2) 55 3 2
6 3 5 5
x x
24
4
( 3 2) 54 5
3 3 5
x
2
4 4
( 3 2) 55 3 2ln
2 3 5 5
x xC
22 33 4 3 4 5
6
x x x
25ln 3 2 3 4 3 4 5
2 3 x x x C .
Ejemplo Calcular la integral
a) 21 2 2
dx
x x ; b) 2
(5 2)
2 3 1
x dx
x x
;
c) 32
Senxdx
Cos x ; d)
2
1
1
Tanx dx
Tanx Cos x
.
Solución
a) Haciendo la sustitución
x – 1 = Tany x = Tany – 1 dx = Sec2 ydy
7/18/2019 Integral Indefinida
http://slidepdf.com/reader/full/integral-indefinida-5695ed3ce0f69 19/42
INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
403
242
4
2
( 5 2)3
35
3 5 5
TanySec ydy
Tan y
2 241 ( 5 4 5 5)
3 3
Tan y Tany Sec y dy
Secy
2
2 21 ( 1) 1 1 1
dx Sec y dy I
x Tan y
2
21
Sec y dy dy
Secy Cos y Cosy
.
Si y = 2 ArcTant ,2
2
1
dt dy
t
,
2
2
1
1
t Cosy
t
, entonces
22
2 2 2 42 2
2 2
2
(1 )1 2(1 ) (1 )1 1
1 1
dt
t dt t I t t t t
t t
2
2 2
(1 ) 21
1 1
t dt dt
t t
1
1 2ln ln1 2
12
yTan
t yt C Tan C yt
Tan
12
( ( 1))Tan ArcTan x
1212
1 ( ( 1))ln
1 ( ( 1))
Tan ArcTan xC
Tan ArcTan x
.
b) Hacemos la
sustitución
3 2 x Secy
2 3 x Secy
2dx SecyTanydy
2
(5 2)I
( 3) 2
x dx
x
2
(5 2 5 3 2)2
2 2
Secy SecyTany dy
Sec y
2
(5 2 5 3 2)Secy SecyTany dy
Tan y
2
5 2 (5 3 2)Sec ydy Secydy
5 2 (5 3 2)lnTany Secy Tany C
2 2 3 15 2
2
x x
2 2 3 13
(5 3 2) ln2 2
x x xC
2 3(2 1)
Senxdx I
Cos x
2 3(2 1)
dy
y
Si hacemos que
1
2 y Secz
1
2dy SeczTanzdz
32 31 12 2( 1)
SeczTanz dz SeczTanz dz I Tan z Sec z
2
2
1 1( )
2 2
Secz dz Senz Coszdz
Tan z
2
1 1 2
2 2 2 1
yCscz C C
y
2 22 1
Cosx CosxC C
Cos xCos x
.
d) Haciendo la sustitución
y Tanx 2Tanx y
2 2Sec xdx ydy 1
21
y I y dy
y
Mediante el cambio de variable
2 1
1
y z
y
2
2
1
1
z y
z
2 2
4
(1 )
z dz dy
z
obtenemos una integral racional2 2 4 2
2 3 2 3
(1 ) (8 8 )8
(1 ) (1 )
z z dz z z dz I
z z
4 2
2 3 2 2 2 2 3
8 8
( 1) 1 ( 1) ( 1)
z z Az B Cz D Ez F
z z z z
8 z 4
– 8 z 2
= ( Az + B)( z 2
+ 1)2
+ (Cz + D)( z 2
+ 1) ++ Ez + F
8 z 4 – 8 z 2 = Az 5 + Bz 4 + (2 A + C ) z 3 + (2 B + D) z 2 +
+ ( A + C + E ) z + ( B + D + F )
A = 0, B = 8, C = 0, D = -24, E = 0, F = 16
2 2 2 2 38 24 16
1 ( 1) ( 1)
dz dz dz I
z z z
Haciendo la sustitución
z = Tanu dz = Sec2udu u = ArcTanz
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INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
404
25 2 3 1 x x
2(5 3 2)ln 3 2 3 1 x x x C .
c) Haciendo la sustitución
y = Cosx dy = -Senxdx
2 48 24 16 I ArcTanz Cos u du Cos u du
28 12 (1 2 ) 4 (1 2 ) ArcTanz Cos u du Cos u du
8 12 6 2 ArcTanz u Sen u 24 (1 2 2 2 )Cos u Cos u du
8 12 6 2 4 4 2 ArcTanz u Sen u u Sen u
2 (1 4 )Cos u du
12
8 6 2 2 4 ArcTanz u Sen u Sen u C
3
2 2 2 2
4 2 48 6
1 1 (1 )
z z z ArcTanz ArcTanz C
z z z
3
2 2 2
2 42
1 (1 )
z z ArcTanz C
z z
2
1 1 1
2 41 1 112
11 1111
1
y y y
y y y y ArcTan C
y y y y
y
2 212 1 (1 ) 1
1
y ArcTan y y y C
y
212 (2 ) 1
1
y ArcTan y y C
y
12 (2 ) 1
1
Tanx ArcTan Tanx Tanx C
Tanx
.
5.7.1 Tarea
1) Calcular las siguientes integrales:
a) 2
( 1)
2 6
x dx
x x
; b) 2 2 16
dx
x x ; c) 2 2
2
4
dx
x x ,2
x y
;
d) 2 3( 25)
dx
x ; e) 2
(2 )
15 2
x dx
x x
; f)
2
2
( 1)
3 2
x dx
x x
;
g) 2
2 3 2
dx
x x x ,1
x y
;h)
3
4
1
2
(2 (3 7) )
1 (3 7)
x dx
x
; i)
1
2 2
3
2 2
(1 (2 1) )
(2 1)
x dx
x
;
j) 2/3
7
(5 3)
xdx
x ; k) 2
2
( 3)
2 2
x dx
x x
; l) 2
(3 )
2 5
x dx
x x
.
2) Calcular las siguientes integrales:
a) 2
( 1)
2 2
x dx
x x x
; b) 2
2
( 1)
3 4
x dx
x x x
; c) 2
( 1)
4 1
x dx
x x x
;
d) 2
( 2)
5 3
x dx
x x x
; e) 2
2
( 3 1)
3 3
x x dx
x x
; f) 2
2
(2 1)
2 5
x dx
x x
;
g) 2 2
( 2)
4
x dx
x x x
; h) 2
2 2
( 3 2)
3
x x dx
x x x
; i) 2
2
( 3)
2
x dx
x x
;
j) 2
2
( 5 1)
1 3
x x dx
x x
; k) 2
( 6)
3
x dx
x x
; l) 2
(2 5)
2 3
x dx
x x x
;
7/18/2019 Integral Indefinida
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INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
405
m) 2
2
( 3 1)
2 1
x x dx
x x
; n) 3 2
2
( 3 3 1)
5 2
x x x dx
x x x
; o) 3
2
( 1)
1 3 2
x dx
x x
;
p) 2
2
( 1)
2 2
x dx
x x
; q) 2
2
( 1)
1 5
x x dx
x x
; r) 2
( 3)
4
x dx
x x
;
s) 2
(3 4)
3 3
x dx
x x
; t)
2
2
( 3)
1
x dx
x x
.
5.8 Integrales del tipo m n Sen x Cos x dx
Sean n y m números racionales. La integral
m nSen xCos x dx con ayuda de las sustituciones
u = Senx ó u = Cosx se reduce a la integral de un bi-
nomio diferencial.
En efecto, suponiendo, por ejemplo, u = Senx, obten-
dremos
1
2 21Cosx u , du = Cosxdx, 1
2 21dx u du
y por eso
1
2 21
nm n mSen xCos x dx u u du
.
De esta forma, la integral m nSen xCos x dx se expresa
o no a través de funciones elementales en dependencia
de si posee o no esta propiedad la integral obtenida del
binomio diferencial.
En el caso cuando m y n son números enteros (nonecesariamente positivos), la integral m nSen xCos x dx
pertenece al tipo de integrales analizadas anteriormen-
te, para su cálculo, en particular, es conveniente aplicar
la sustitución
u = Senx, u = Cosx, u = Tanx.
Si m = 2k + 1 (respectivamente n = 2k + 1) es un nú-
mero impar, entonces se puede hacer la sustitución u
= Cosx (respectivamente u = Senx):2 1 2(1 ) ( )k n k nSen xCos x dx Cos x Cos x d Cosx
2(1 )k nu u du .
La integral analizada está reducida a la integral de una
fracción racional. Un resultado análogo se puede obte-
ner también para la integral 2 1m k Sen x Cos x dx con
ayuda de la sustitución u = Senx.
Si m = 2k + 1, n = 2 p + 1, entonces suele ser útil la
sustitución p = Cos2 x:2 1 2 1 2 2k p k pSen xCos x dx Sen x Cos x Senx Cosx dx
Si ambos exponentes m y n son positivos y pares (o uno
de ellos es cero), entonces es conveniente aplicar las
fórmulas
2
2
1 2
2
1 2
2
Cos xSen x
Cos xCos x
que evidentemente llevan la integral analizada a inte-
grales del mismo tipo, pero con exponentes menores,
también no negativos.
Ejemplo Calcular la integral:
a) 2 5Sen x Cos x
dx x ; b) 2 4
( )Sec xSec Tanx dx ;
c) 6 2Cos x dx
x .
SOLUCION
a) Si y x , 2
dx
dy x , entonces
2 5 2 2 22 2 (1 ) I Sen yCos y dy Sen y Sen y Cosy dy
2 2 42 (1 2 )Sen y Sen y Sen y Cosy dy
2 4 62 ( 2 )Sen y Sen y Sen y Cosy dy
2 4 62 4 2Sen yCosydy Sen yCosydy Sen yCosydy
3 5 72 4 2
3 5 7Sen y Sen y Sen y C
3 5 72 2 1
3 5 7Sen x Sen x Sen x C .
b) Si y = Tanx, dy = Sec2 xdx, entonces4 2 2( 1) I Sec y dy Tan y Sec y dy
2 2 2Sec ydy Sec yTan ydy
31
3Tany Tan y C
31
( ) ( )3
Tan Tanx Tan Tanx C .
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406
)2(
2
1
2
21
2
21 xCosd
xCos xCos pk
dt t t pk
pk )1()1(
2
1
1,
es decir, de nuevo se obtuvo la integral de una fracción
racional.
c) Si 2 y x ,2
dxdy
x , entonces
6 2 32 2 ( ) I Cos y dy Cos y dy
32(1 2 )
8Cos y dy
2 32 (1 3 2 3 2 2 )8
Cos y Cos y Cos y dy
22 3 2 3 22 2
8 8 8dy Cos y dy Cos y dy
322
8Cos y dy
2 3 2 3 22 (1 4 )
8 16 16 y Sen y Cos y dy
22(1 2 ) 2
8Sen y Cos y dy
2 3 2 3 2 3 22 48 16 16 64
y Sen y y Sen y
32 22 2
16 48Sen y Sen y C
32 2 3 2 22 4 2
2 4 64 48 y Sen y Sen y Sen y C .
Ejemplo Calcular la integral:
a) 5 5Cos x Senxdx ; b) 4 3( )Cot x Cot x dx ;
c) 4Cos xdx
Senx
; d)
3 5
dx
Sen xCos x
.
Solución
a)
1 1
5 2 25 5(1 ) I Cos x Sen x dx Sen x CosxSen x dx
1
2 4 5(1 2 )Sen x Sen x Sen xCosxdx
1 11 21
5 5 52Sen x Cosx dx Sen x Cosx dx Sen x Cosx dx
6 16 26
5 5 55 5 5
6 8 26Sen x Sen x Sen x C .
b) 4 3 I Cot x dx Cot x dx
2 2 2( 1) ( 1)Csc x Cot x dx Csc x Cotx dx
2 2 2( 1)Cot xCsc x dx Csc x dx
2CotxCsc xdx Cotxdx
2ln 2 (1 )Cscx Cotx Cosx Cos x Senx dx
31ln 2
3Cscx Cotx Cosx Cosx Cos x C
31ln
3Cscx Cotx Cosx Cos x C .
d) 2 2 2
3 5
( )Sen x Cos x dx I
Sen xCos x
4 2 2 4
3 5 3 5 3 52Sen xdx Sen xCos x dx Cos x dx
Sen xCos x Sen xCos x Sen x Cos x
5 3
5 32
Sen x Senx Cos xdx dx dx
CosxCos x Sen x
22Tan x Tanx dx Tanx dx Cotx Cotx d x
2
(1) (2)
( 2)Tan x Tanx dx Cotx Cotx dx
(1) y2 = Tanx, x = ArcTany2,4
2
1
y dydx
y
4 22
4
(1)
2( 2)( 2)1
y y dyTan x Tanx dx y
6 2
4
(2 4 )
1
y y dy
y
22
4
22
1
y dy y dy
y
23
4
2 2
3 1
y dy y
y
22
2 2
2 2
3 ( 2 1)( 2 1)
y dy y
y y y y
3
2 2
2 ( ) ( )
3 2 1 2 1
Ay B dy Cy D dy y
y y y y
2
2 2
2
( 2 1)( 2 1)
y
y y y y
2 22 1 2 1
Ay B Cy D
y y y y
2 3 22 ( ) ( 2 2 ) y A C y A B C D y
7/18/2019 Integral Indefinida
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407
3 21 1ln
3 2Cot x Cotx x Cot x Senx C
2 31 1ln
2 3 x Cotx Cot x Cot x Senx C .
c)
2 2 2 4(1 ) (1 2 )Sen x dx Sen x Sen x dx
I Senx Senx
32Cscxdx Senxdx Sen xdx
( 2 2 ) ( ) A B C D y B D
0
2 2 2
2 2 0
0
A C
A B C D
A B C D
B D
1
2
0
1
20
A
B
C
D
2 3
2
(1)
2 1( 2)
3 2 2 1
2 2
dyTan x Tanx dx y
y
2
1
2 2 1
2 2
dy
y
32 ( 2 1) ( 2 1)3
y ArcTan y ArcTan y C
32
3Tan x C .
(2) y2 = Cotx, x = ArcTanz 2,4
2
1
z dz dx
z
4
4 4
(2)
2 22
1 1
z dz dz Cotx Cotx dx dz
z z
4
22
1
dz z
z
2 2
( ) ( )22 1 2 1
Az B dz Cz D dz z z z z z
2 2
2
( 2 1)( 2 1) z z z z
2 22 1 2 1
Az B Cz D
z z z z
3 22 ( ) ( 2 2 ) A C z A B C D z
( 2 2 ) ( ) A B C D z B D
0
2 2 02 2 0
2
A C
A B C D A B C D
B D
1
2
11
2
1
A
B
C
D
2
(2)
11
22
2 1
2 2
z dz
Cotx Cotx dx z
z
2
11
2
2 1
2 2
z dz
z
2
1 {(2 2) 2}2
2 2 2 1
2 2
z dz z
z
2
1 {(2 2) 2}
2 2 2 1
2 2
z dz
z
21 22 ln 2 1 ( 2 1)
22 2 z z z ArcTan z
21 2ln 2 1 ( 2 1)22 2
z z ArcTan z C
2 Cotx C
Por lo tanto2
32 2 6I 2
3 3
Tan xTan x Cotx C C
Tanx
.
5.8.1 Tarea
1) Calcular las siguientes integrales:
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408
a) 5 2Sen xCos xdx ; b) 8Cos xdx ; c) 1 Secx dx ; d) 1 Cosx dx ;
e) 2)( CscxCosx
dx; f) xCos
dx5
; g) 3
5
2Cos x d x
Cos x ; h) x xSenCos
dx
53;
i)
xSen xCos
dx xSen xCos
44
22 )(; j) Cotx
dx
1; k) x xSenCos
dx66
; l) 6
dx
Cot x ;
m) 4 33 x xCosSen
dx; n) Cotx
dx xCos
1
2
; o) 5 5
dx
Cos xSen x ; p) xSen
dx xCos
6
5
;
q) xCos xSen
dxSenx
55; r) xCos
dx xSen
6
5
;s) 73 2Sen x dx ;
t) 4)1( Senx
dxCosx;
u) 3 32 2Sen x Cos x dx ; v) 7Tan xdx ; w) 4 3Sen xCos x dx ; x) 6Cot xdx .
2) Calcular las siguientes integrales:
a) 4 43 3Tan x Sec x dx ; b) 2 4Cot xSec xdx ;c) xSen
dx xCos
2
5
; d) xCos
dx xSen
3
2
;
e) dx xSen xCos 22 3 ; f) 53 3Sen xCos xdx ; g) 2
Senxdx
Tan x ; h) xCotxSen
dx
2;
i)
dx
xCsc
xSec
2
33;
j) 2 6Cos xSen xdx ; k) xCos
dx
41
; l) 2)1( Senx
dxSenx;
m) 2 4Sen x Cos xdx ; n) 22
3 xSen
xCos
dx; o)
5
Tanxdx
Cot x ; p) 63a Cot x dx ;
q) 3( )CosxTan Senx dx ; r) 2 2
dx
Cos x Cot x ; s) xSen
dx5
.
5.9 Integrales del tipo Senax Cosbx dx
Las integrales del tipo SenaxCosbxdx se calculan
directamente si transformamos las funciones subinte-
gral por las fórmulas
1[ ( ) ( ) ]
2
1[ ( ) ( ) ]
2
1[ ( ) ( ) ]
2
SenaxCosbx Sen a b x Sen a b x
SenaxSenbx Cos a b x Cos a b x
CosaxCosbx Cos a b x Cos a b x
Por tanto
1[ ( ) ( ) ]
2SenaxCosbx dx Sen a b x Sen a b x dx
1 1
( ) ( )2 2
Sen a b xdx Sen a b xdx
Ejemplo Calcular la integral
a) 3 5Sen xCos x dx ; b) 3 5CosxCos xCos x dx ;
c) 2 5
3 3 3
x x xCos Sen Cos dx .
Solución
a) 1
[ (3 5) (3 5) ]2
I Sen x Sen x dx
1
[ 8 2 ]2 Sen x Sen x dx 1 1
8 22 2
Sen x dx Sen x dx
1 1 1 18 8 2 2
2 8 2 2Sen x dx Sen x dx
1 1
8 216 4
Cos x Cos x C .
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409
1[ ( ) ( ) ]
2SenaxSenbxdx Cos a b x Cos a b x dx
1 1
( ) ( )2 2
Cos a b xdx Cos a b xdx
1
[ ( ) ( ) ]2CosaxCosbxdx Cos a b x Cos a b x dx 1 1
( ) ( )2 2
Cos a b xdx Cos a b xdx
En los tres casos a b.
b) 1
[ (1 3) (1 3) ] 52
I Cos x Cos x Cos xdx
1[ 4 5 2 5 ]
2Cos xCos x Cos xCos x dx
1[[ (4 5) (4 5) ]
4Cos x Cos x
[ (2 5) (2 5) ]]Cos x Cos x dx
1[[ 9 ] [ 9 3 ]]
4Cos x Cosx Cos x Cos x d x
1 1 1 19 9 3
4 4 4 4Cos x dx Cosx dx Cos x dx Cos x dx
1 1 1 19 7 3
36 4 28 12Sen x Senx Sen x Sen x C
c) 1 2 2 5
2 3 3 3 3 3
x x x x x I Sen Sen Cos dx
1 5
2 3 3
x xSenx Sen Cos dx
1 5 5
2 3 3 3
x x xSenxCos Sen Cos dx
1 8 2 42
4 3 3 3
x x xSen Sen Sen x Sen dx
1 8 1 2
4 3 4 3
x xSen dx Sen dx
1 1 4
24 4 3
xSen x dx Sen dx
3 8 3 2 1 3 4232 3 8 3 8 16 3
x x xCos Cos Cos x Cos C .
5.9.1 Tarea
1) Calcular las siguientes integrales:
a) 2 2( ) ( )Cos ax b Cos cx d dx ; b) 3 5SenxSen xSen x dx ; c) 2 2( ) ( )Sen ax b Sen cx d dx ;
d) 5 (5 3)Sen xSen x dx
; e) 2( 2) ( 1)Sen x Sen x dx
; f) 5 ( )Sen xCos ax b dx
;
g) 2 2 3Sen xCos xSen x dx ; h) SenaxCosbxCoscxdx ; i) 3
22 3
x xSen Cos Sen x dx ;
j) CosaxSenbxSencxdx ; k) ( 2) ( 3)Sen x Cos x dx ; l) 3 5
4 4 4
x x xCos Cos Cos dx ;
m) 3 5
2 2 2
x x xSen Sen Sen dx ; n)
3 52
2 2
x xSen xCos Cos dx . o) 2 22 4Cos xCos x dx ;
p) 2 22 4Sen xSen x dx ; q) 23 5Sen xCos xdx ; r) 25 3Sen xCos xdx ;
s) 7 7
3 2
x xCos Sen dx ; t)
2 5
3 3 3
x x xSen Cos Sen dx ; u) 2 2 3Cos xSen xCos xdx .
5.10 Sustituciones de Euler
Las integrales indicadas pueden ser reducidas con
ayuda de un cambio de variable a las funciones racio-
nales. Analizaremos tres tipos de cambios de variable.
1) 2, R x ax bx c dx , a > 0.
Hagamos el cambio de x por t de la siguiente manera:
Finalmente
2, R x ax bx c dx
22 2
2
2,
2 2 2
a t bt c at c t c R a t dt
b t a b t a b t a
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JOE GARCIA ARCOS
410
2ax bx c x a t ,
los signos se pueden tomar en cualquier combinación.
Elevemos al cuadrado ambas partes de la igualdad:2 2 22ax bx c ax a xt t
de donde
2
2
t c xb t a
,
2
2
2
2
a t bt c adx
b t a
2
2
2
t cax bx c a t
b t a
.
Ejemplo Calcular la integral
a) 2 3 7
dx
x x ; b) 2
4ln 10ln 6
dx
x x x .
Solución
a) Dado que a = 1 > 0, hacemos la sustitución
2 3 7 x x x t 2 7
3 2
t x
t
2
2
3 72
(3 2 )
t t dx dt
t
22 3 7
3 73 2
t t x y x t
t
Obtenemos entonces2
2
2
3 7(3 2 )
2 23 23 7
3 2
t t dt t
I dt t t t
t
2ln 3 2 ln 3 3 7t C x x x C .
b) Haciendo y = ln x, entoncesdx
dy x
I =24 10 6
dy
y y .
Dado que a = 4 > 0, hacemos la sustitución
24 10 6 2 y y y t 2
6
10 4
t y
t
2
2
2 10 122
(10 4 )
t t dy dt
t
22 2 10 12
4 10 6 210 4
t t y y y t
t
Obtenemos entonces2
2
2
2 10 12
(10 4 )2 2
10 42 10 12
10 4
t t
dt t I dt
t t t
t
1ln 10 4
2t C
2ln 10 4 4 10 6 8 y y y C .
2) Las raíces del trinomio son reales.
Sean x1 y x2 las raíces reales del trinomio ax2 + bx + c.
Si x1 = x2, entonces
y sacando x – x1 fuera del signo de la raíz obtenemos
que
2 21
1
( ), ,
a x x R x ax bx c R x x x
x x
Como es conocido la integral de la función puede ser
calculada con ayuda de la sustitución
2 2
1
( )
( )
a x xt
x x
1 1 2( ) ( )( ) x x t a x x x x
o, tomando t > 0 cuando x x1 y t < 0 cuando x x1,
21( ) x x t ax bx c .
Ejemplo Calcular la integral
2
26 13 5
Sec xdx
Tan x Tanx
Solución Hacemos y = Tanx, entonces dy = Sec2 x
2I
6 13 5
dy
y y
.
Dado que b2 – 4ac > 0, hacemos la sustitución
(3 5)(2 1) (3 5) y y y t 2
6 13 5
3 5
y yt
y
2
2
9 5
3(6 )
t y
t
2 2
14
( 6 )
t dt dy
t
2 2
6(1/ 2 5 / 3) 14(3 5)(2 1)
6 6
t t y y
t t
Por lo tanto
2 2
2
2
1( 6 )
6 66
6
t dt
dt t t I dt ArcTan C
t t
t
26 13 51
6 6(3 5)
y y ArcTan C
y
.
3) 2, R x ax bx c dx , c > 0.
7/18/2019 Integral Indefinida
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INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
411
2 21 1( )ax bx c a x x x x a
De aquí se deduce que en este caso o bien bajo la raíz
está una magnitud negativa para todos los valores
x x1, es decir, la raíz toma sólo expresiones imagina-
rias, este caso tiene lugar cuando a < 0 y no lo anali-
zamos, o bien cuando a 0 después de la transforma-
ción elemental señalada obtenemos que la variable x no aparece bajo el signo de la raíz, es decir, bajo la
integral está solamente una función racional de x, en
general, diferente para cada uno de los segmentos
(-, x1) y ( x1, +). Analicemos ahora el caso cuando
x1 x2. Observando que ax2 + bx + c = a( x – x1)( x – x2)
En este caso se puede utilizar la sustitución
2ax bx c c xt , la combinación de signos es
arbitraria. Elevando al cuadrado obtenemos la igualdad2 2 22ax bx c xt x t , de donde
2
2b t c
x t a
,
2
22
2 c t bt a c
dx dt t a
,
2
2
2b t cax bx c c t
t a
.
Por esto
2, R x ax bx c dx
2
2 2 22
22 2,
c t bt a cb t c b t c R c dt
t a t a t a
Ejemplo Calcular la integral
a) 2
2 5 3
dx
x x ; b) 23 3 3 10
dx
x x .
Solución a) Dado que c = 3 > 0, hacemos la sustitución
22 5 3 3 x x xt 2
2 3 5
2
t x
t
2
2 2
3 5 2 32
( 2 )
t t dx dt
t
22
2
3 5 2 32 5 3 3
2
t t x x xt
t
Por lo tanto2
2 2
2 2
2
3 5 2 3
( 2 )2 2
3 5 2 3 2
2
t t
dt t I dt
t t t
t
2
2 2
t ArcTan C
22 5 3 32
2
x x ArcTan C
x
.
b) Dado que c = 10 > 0, hacemos la sustitución
23 3 3 10 10 x x xt 2
2 10 3 3
3
t x
t
2
2 2
10 3 3 3 102
( 3 )
t t dx dt
t
4) Una integral del tipo2
dx
ax bx c , a < 0,
b2 – 4ac > 0, puede calcularse también por el siguiente
método. Tenemos que2
2
2 442
b b acax bx c x aaa
.
Haciendo2
224
42
b b ac x a t
aa
esto es
2 4
2 2
b b ac x t
a a
,
24
2
b acdx dt
a
22 24
(1 )4
b acax bx c t
a
.
Por consiguiente
2 2
1
1
dx dt
aax bx c t
1 ArcSent C
a
2
1 2
4
ax b ArcSen C
a b ac
.
Ejemplo Calcular la integral
a) 22 7 3
dx
x x ; b) 2
2 4 23
3 3
x
x x
a dx
a a .
Solución a) Dado que a < 0 y b2 – 4ac > 0, hacemos la sustitu-
ción2
2 7 252 7 3 2
82 2 x x x
,
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412
22
2
10 3 3 3 103 3 3 10 10
3
t t x x xt
t
Por lo tanto2
2 2
2 2
2
10 3 3 3 10
( 3 )2 2
10 3 3 3 10 33
t
dt t I dt
t t t t
2
3 3
t ArcTan C
23 3 3 10 102
3 3
x x ArcTan C
x
.
227 25
282 2
x z
,7 5
4 4 x z
5
4dx dz 2 225
2 7 3 (1 )8
x x z
Por consiguiente
22
524
5 2 112 2
dz dz I
z z
2 2 4 7
2 2 5
x ArcSenz C ArcSen C
.
b) Hacemos y = a x, entonces dy = 2ln(a)a xdx
2 23
1
2ln 3 3
dy I
a y y
Dado que a < 0 y b2
– 4ac > 0, hacemos la sustitución2
2 2 3 13 3 3
3 122 3 y y x
2
23 13
122 3 x z
1 1
2 6 y z
dz dy6
1 2 22 1
3 3 (1 )3 12
y y z
Por consiguiente
22
1
1 36
2ln 6ln1 1(1 )
12
dz I dz
a a z z
3 3(3 6 )
6ln 6ln ArcSenz C ArcSen y C
a a
23(3 6 )
6ln
x ArcSen a C a
.
5) Una integral del tipo2
( )
dx
x p ax bx c puede
calcularse de la siguiente manera. Escribamos
1 x p
t
1 x p
t
Si x > p, entonces t > 0. Por consiguiente, para x > p
obtenemos
22
2
Pt Qt Rax bx c
t
21
Pt Qt Rt
,
donde P = ap2 + bp + c, Q = 2ap + b, R = a. Puesto
que2
dt dx
t , entonces
3 1
2 x
t
1 3
2 x
t
2
dt dx
t
2 2 21 35 15 3 1 35 12 4
4 2
x t t t t
t t
2 2( )
ctdt xdx
t a
Para evaluar esta integral, hacemos
235 12 4 35t t t z 2 2
( )
Adx
px q ax c
2
2
35 12 4 352
(12 2 35 )
z z dt dz
z
22 35 12 4 35
35 12 4 3512 2 35
z z t t t z
z
2
2
2
35 12 4 35
(12 2 3 5 )2 2
12 2 3535 12 4 35
12 2 35
z z
dz z I dz
z z z
z
1ln 12 2 35
35 z C
21ln 12 2 35 35 12 4 70
35t t t C
2
1 4 2 2ln 12 2 35 35 12 4 70
2 3 2 335 (2 3)C
x x x
21 104 24 4 35 4 26
ln 2 335
x x
C x
21 26 6 35 4 26ln
2 335
x xC
x
.
b) Haciendo
15 x
t
15 x
t
2
dt dx
t
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413
2 2( )
dx dt
x p ax bx c Pt Qt R
, x > p.
Procediendo análogamente, obtenemos
2 2( )
dx dt
x p ax bx c Pt Qt R
, x < p.
Ejemplo Calcular la integral
a) 2(2 3) 5
dx
x x ; b) 2( 5) 3 1
dx
x x x .
Solución a) Haciendo
2 213 1 39 13 1 x x t t
t
2
221 139 13 139 13 1
dt
dt t I t t t t
t t
.
Para evaluar esta integral, hacemos
239 13 1 39t t t z 2 1
13 2 39
z t
t
2
2
39 13 392
(13 2 3 9 )
z z dt dz
z
22 39 13 39
39 13 1 3913 2 39
z z t t t z
z
2
2
2
39 13 39
(13 2 39 )2 2
13 2 3939 13 39
13 2 39
z z
dz z I dz
z z z
z
1ln 13 2 39
39 z C
21ln 13 2 39 39 13 1 78
39t t t C
21 3 1 78
ln 13 2 395 539
x xC
x x
21 13 13 2 39 3 1
ln539
x x xC
x
.
6) Una integral del tipo2 2( )
Axdx
px q ax c puede
calcularse de la siguiente manera. Calculemos esta
integral por medio de la sustitución 2ax c t . Te-
nemos
ax2 + c = t 2,2
2 t c x
a
,
1 xdx tdt
a .
Por consiguiente
22 2 ( )( )
Axdx Adt
pt aq pc px q ax c
.
Es fácil calcular la última integral.
7) Una integral del tipo2 2
( )
Adx
px q ax c puede
calcularse de la siguiente manera. Escribamos
2ax c xt , de donde
2
2
c x
t a
2 2
( )
( )
Ax B dx
px q ax c
.
Si p qa b , entonces, por la sustitución
2
b x t
a ,
transformamos esta integral en una del tipo
2 2
( )
( )
Ax B dx
px q ax c
.
Si p, q no son proporcionales a los números a, b, esto
es, si pb – aq 0, entonces, escribimos
1
mt n x
t
y tomamos los números m y n de tal manera que nues-
tra integral se transforme en una del tipo
2 2
( )
( )
Ax B dx
px q ax c
.
Empleando la sustitución anterior, obtenemos
2 2
( )
( )
Ax B dx
px qx r ax bx c
2 21 1 1 1 1 1
( )
( )
Pt Q dt
p t q t r a t b t c
,
el signo depende de que t > - 1 ó t < - 1, donde
P = ( Am + B)(m - n), Q = ( An + B)(m – n),
p1 = pm2 + qm + r , q1 = 2 pmn + q(m + n) + 2r ,
r 1 = pn2
+ qn + r , a1 = am2
+ bm + c,b1 = 2amn + b(m + n) + 2c, c1 = an2 + bn + c.
Determinemos los números m y n de tal manera que
q1 = 0 y b1 = 0. Para ello, habrá que resolver el sistema
de ecuaciones
2 ( ) 2 0
2 ( ) 2 0
pmn q m n r
amn b m n c
.
Puede probarse que el sistema tiene solución real si
pb – aq 0 y q2 – 4 pr < 0.
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INTEGRAL INDEFINIDA
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414
por consiguiente
2 2( )
ctdt xdx
t a
,
2 22
dx dx xdx dt
xt x t t aax c
,
y por tanto
22 2 ( )( )
Adx Adt
qt pc qa px q ax c
.
8) Una integral del tipo2 2
( )
( )
Ax B dx
px qx r ax bx c
,
q2 – 4 pr < 0, a 0, puede calcularse de la siguiente
manera. Trataremos de llevar esta integral a una del
tipo
Ejemplo Calcular la integral
2 2
(2 1)
( 2 3) 2 4
x x
x x x x
a a dx
a a a a
.
Solución
Haciendo y = a x, entonces dy = a xlnadx
2 2
1 (2 1)
ln ( 2 3) 2 4
y dy I
a y y y y
Dado que los coeficientes de los polinomios son pro-
porcionales, hacemos entonces la sustitución y = z – 1,
dy = dz
2 2
1 (2 1)
ln ( 2) 3
z dz I
a z z
2 2 2 2
1 2 1
ln ln( 2) 3 ( 2) 3
z dz dz
a a z z z z
1 2 I I
Calculamos estas integrales por medio de las sustitu-
ciones
I 1:2 3 z t z 2 + 3 = t 2
z 2 = t 2 - 3 2 zdz = 2tdt
I 2:2 3 z zt 2
2
3
1 z
t
22 13
dz dt
t z
Por lo tanto2
2 2 2
1 2 1 ( 1)
ln ln( 1) (1 )(2 1)
t dt t dt I
a at t t t
2 2
2 1
ln ln( 1) 2 1
dt dt
a at t
1 1 1ln 2
ln 1 ln
t ArcTan t C
a t a
2 2
2
3 1 1 2 6log
ln3 1a
z z ArcTan C
a z z
2
2
2 4 1log
2 4 1
a
y y
y y
22 4 81
ln 1
y y ArcTan C
a y
2
2
2 4 1log
2 4 1
x x
a x x
a a
a a
Ejemplo Calcular la integral
a) 1 Senx dx
; b)
Tanx dx
SenxCosx
;
c) 2 2Tan x dx .
Solución a) Haciendo
1 y Senx y2 = 1 + Senx
x = ArcSen( y2 – 1) 2 2
2
1 ( 1)
ydydx
y
,
tenemos2
2 2
2
1 ( 1)
y I dy
y
Si z = y2 – 1, 1 y z ,2 1
dz dy z
, entonces
2
1 1
11 1
z I dz dz
z z z
2 1 2 1 z C Senx C .
b) Si y Tanx , y2 = Tanx, x = ArcTany2,
4
2
1
ydydx
y
, tenemos
2
2 4 2
4 4
2 2
1 11 1
y y y I dy dy
y y y y y
2 2 2dy y C Tanx C .
c) Haciendo
2 2 2 y Tan x 2 2 x ArcTan y
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415
21 2 4 8
ln 1
x x
x
a a ArcTan C
a a
.
9) Las integrales del tipo , , R x ax b cx d dx se
reducen mediante la sustitución t 2 = ax + b, a las inte-
grales de la forma ya analizadas. En efecto, det 2 = ax + b tenemos:
2t b
xa
,
2dx tdt
a , 2c cb
cx d t d a a
,
por lo que
, , R x ax b cx d dx 2
2, ,t b c cb
R t t d dt a a a
.
2 2( 1) 2
ydydx
y y
2
2 2( 1) 2
y dy I
y y
Si
2 2 y yt 2
2
2
1 y
t
22 12
dy dt
t y
2 2
2 2
2
2
1 1 22 (1 )(1 )1
1
dt dt t t I
t t
t
2 2 2
2
1 1(1 )(1 ) 1
A B Ct D
t t t t t
2 = A(1 + t )(1 + t 2) + B(1 – t )(1 + t 2) + (Ct + D)(1 - t 2)
2 = ( A – B – C )t 3 + ( A + B – D)t 2 +
+ ( A – B + C )t + ( A + B + D)
A = ½, B = ½, C = 0, D = 1
21 12 1 2 1 1
dt dt dt I t t t
1 1ln 1 ln 1
2 2t t ArcTant C
1 1ln
2 1
t ArcTant C
t
2
2
2
21
2ln
21
y
y y ArcTan C
y y
y
2 2
2
2 2
ln 2
y y y
ArcTan C y y y
2
2 2
2ln
2 2
Tan x Tanx Tanx ArcTan C
Tan x Tanx Tan x
2
2ln 2
2
TanxTan x Tanx ArcTan C
Tan x
.
5.10.1 Tarea
1) Calcular las siguientes integrales:
a) 22 3 2
dx
x x x ; b) 2
21 4
x dx
x x ; c)2 2
(2 1)
(3 1) 1
x dx
x x x x
;
d) 23 2
dx
x x x ; e) 2
2
(3 2 )
3 4
x x dx
x x
; f) 2 2
( 3)
(3 2 5) 6 4 3
x dx
x x x x
;
g) 23 2
dx
x x x ; h) 2
2
(2 5 )
4 3
x x dx
x x
; i) 2
( 2) 2 1
dx
x x x ;
j)
2
23 x x dx x ; k) 2
2 1
dx
x x x ; l) 2 2
(2 1)
(2 4 3) 2 1
x dx
x x x x
;
m) 1 1
1
xdx
x x
; n)
3( 1)( 2)
dx
x x ; o) 2 2
(5 3)
(5 3 2) 10 6 1
x dx
x x x x
;
p) 5
5
1
1
xdx
x
; q) 2 2( 1 )
dx
x x x ; r) 2 2
( 3)
(2 3 1) 5 2 4
x dx
x x x x
;
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416
s) 2
1 3 3
dx
x x ; t) 2 2
(3 2 ) 5
xdx
x x x x ; u) 2 2
(2 5)
( 2 5) 2 4 3
x dx
x x x x
.
5.11 Integrales del binomio diferencial
La expresión
p
m n x a bx dx , a 0, b 0,
se denomina binomio diferencial. Analizaremos el
caso cuando n, m y p son racionales y a y b son núme-
ros reales. Hagamos1
n x t ,
1
11
ndx t dt n
,
1
11 m
p pm n n x a bx dx a bt t dt
n
.
De esta forma, la integral
p
m n x a bx dx
se reduce mediante la sustitución
1
n x t a la integral
del tipo p
qa bt t dt , donde q y p son racionales. En
el caso analizado1
1m
qn
.
A continuación analizaremos tres casos:
a) p es un número entero: Sear
q s
, donde r y s son
números enteros; en este caso la sustitución
1
s z t
reduce la integral p
qa bt t dt a una integral de una
fracción racional.
b) q es un número entero: Sea ahorar
p s
donde r y
s son números enteros. La integral p
qa bt t dt
se
reduce en este caso, con la sustitución
1
( ) s z a bt , a
la integral de una fracción racional.
c) p + q es un entero: Sean2
bt x
a , donde r y s
son enteros. Escribamos, para mayor claridad, la inte-
gral2
dx
ax bx c en una forma algo diferente
p p
q p qa bt a bt t dt t dt
t
.
Esta vez a la integral de una fracción racional la reducela sustitución
1
sa bt z
t
.
Así, en los tres casos, cuando uno de los números p, q
o p + q es entero, la integral p
qa bt t dt , con ayuda
de las sustituciones señaladas, se reduce a la integral
sustitución 1
n s z ax b , donde el número s es tam-
bién el denominador de la fracción p.
Ejemplo Calcular la integral
a) 4
2 3(1 )
x
x
e dx
e ; b) 4 1255 13(2 ) (9 7 2 )
dx
x x .
Solución
a) Haciendo y = e x, entonces dy = e xdx 33 3
4 2 2
2 3 2 3(1 )
(1 ) (1 )
x x
x
e e dx y dy I y y dy
e y
.
Aquí, tenemos m = 3, n = 2, 3
2 p . Por tanto
12
m
n
, por lo que puede transformarse la integral
dada en una función racional. Hagamos y = z , entonces
1
2 ydy dz . Por consiguiente
3
21
(1 )2
I z z dz
.
Escribamos ahora 1 – z = t 2, dz = -2tdt , entonces
2
2 2(1 )t dt dt I dt
t t
1 11
1t C z C
t z
2
2
11
1 y C
y
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INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
417
de una fracción racional. Este resultado, aplicado a la
integral p
m n x a bx dx , toma la siguiente forma:
cuando uno de los números p,1m
n
o
1m p
n
es
entero, la integral puede ser reducida a la integral de
una fracción racional. Además, en el caso cuando p esun entero, esta reducción la realiza la sustitución
2
dt dx
t , donde el número s es el denominador de la
fracción1m
n
, es decir,
1m r
n s
, en el caso cuando
1m
n
es entero, la sustitución
1n s z a bx , donde el
número s es el denominador de la fracción p, es decir,
r p
s ; y en el caso cuando
1m p
n
es entero la
2 2
2 2
2 2
1 1
x
x
y eC C
y e
.
b)
12
4 55 13(2 ) 9 7 2
dx I
x x
124 1 135 5(2 ) 9 7(2 ) x x dx
.
Dado que
4
5m ,
1
5n ,
12
13 p ,
11
m
n
,
52 z x , 4
2 5dx z dz 12 12
4 413 135 5
(9 7 ) (9 7 )2 2
I z z z dz z dz
1
5131365 65
(9 7 ) 9 7 2
14 14
z C x C .
5.11.1 Tarea
1) Calcular las siguientes integrales:
a) 3 4
2
1 x dx
x
; b)
3 31
dx
x ; c) 2
24(1 )
x dx
x ; d)3 23 1 x x dx ;
e) 4
3
1 x dx
x
; f)
33 21
dx
x x ; g) 4 3
2
2 x dx
x
;
h) 23 (1 ) x x dx ;
i) 53(1 )
x dx
x ; j)
3 3 2
3
1 x dx
x
; k)
3
1
xdx
x ; l) 5
52
1 xdx
x
;
m) 3 31
dx
x x ;n)
3 2
2
1 x dx
x
;
o) 5 2 1
dx
x x ; p) 3 8 215 (1 ) x x dx .
2) Calcular las siguientes integrales:
a) 5 31 x dx ; b) 3
31 1 1 x x dx ; c) 3 2
1 1 x dx ;
d)
35 2
1 x dx
x
;
e) 3 2 23 (1 ) x x dx .
5.12 Integrales del tipo ( )n
2
P x dx
ax + bx + c
Aunque las sustituciones de Euler siempre racionalizan
la integral de la función 2, R x ax bx c , ellas
suelen llevar a cálculos muy voluminosos y complica-
dos. Por eso, en la práctica se usan con frecuencia
otros procedimientos de integración de la función
Tomándolo en consideración, podemos afirmar que el
problema de integración de la función 2
2
( ) R x
ax bx c se
reduce al cálculo de las integrales de tres tipos siguien-
tes:
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INTEGRAL INDEFINIDA
JOE GARCIA ARCOS
418
2, R x ax bx c . Estos procedimientos se exami-
nan en la presente sección.
Podemos representar la función 2, R x ax bx c en
forma de la suma
2 2
12
( ), ( ) R x R x ax bx c R xax bx c
,
donde R1( x) y R2( x) son ciertas funciones racionales de
una variable. Ya que la integral de R1( x) se toma en
funciones elementales, es suficiente calcular la integral
de la función
2
2
( ) R x
ax bx c .
Ya sabemos que toda fracción racional R2( x) puede
representarse en forma de la suma de un polinomio
P ( x) y la fracción racional propia R3( x). A su vez, la
fracción racional propia R3( x) puede desarrollarse en la
suma de fracciones simples.
I)2
( ) P x dx
ax bx c , donde P ( x) es polinomio;
II)2
( )
Bdx
x A ax bx c , donde A y B son constan-
tes, N .
III)2 2
( )
( )
Mx N dx
x px q ax bx c
, donde M , N , p y q
son constantes, N con tal que2
0.4
pq
A continuación vamos a desarrollar cada una de las
integrales de tipo I, II y III por separado.
I) Para calcular la integral de tipo I, ante todo estable-
cemos la fórmula recurrente para la integral
2
m
m
x dx I
ax bx c
, donde m = 0, 1, 2, ...
Para hacerlo, suponiendo m 1, integremos la siguien-
te identidad que se verifica por la diferenciación:
1 2
2
1( )´
2
mm x
x ax bx c ma m bax bx c
1 2
2 2( 1)
m m x xm c
ax bx c ax bx c
.
Integrando esta identidad llegamos a la igualdad
1 21
1
2
mm m x ax bx c ma I m b I
2( 1) mm c I . (1)
Tomando m = 1 en la igualdad (1), hallamos
21 0
1
2
b I ax bx c I
a a . (2)
Luego, poniendo m = 2 en la igualdad (1) y empleando
el valor ya calculado I 1, hallamos
22 2
1(2 3 )
4 I ax b ax bx c
a
202
1(3 4 )
8b ac I
a .
Luego continuando los razonamientos análogos, lle-
gamos a la siguiente fórmula común:
21 0( )m m m I P x ax bx c c I , (3)
donde P m-1( x) es polinomio de grado m – 1 y cm, cons-
tante.
Si en la integral de tipo I, P ( x) es polinomio de grado
n, entonces la integral de tipo I será igual a la suma de
las integrales I 0, I 1, ..., I n con ciertos multiplicadores
constantes (coeficientes del polinomio P ( x)). Por lo
sistema de n + 1 ecuaciones lineales, de las cuales se
determinan A0, A1, ..., An-1 y c0. La resolubilidad del
sistema obtenido se desprende de la validez de la fór-
mula (4) demostrada anteriormente. Queda por agregar
que la integral situada en el miembro derecho de (4) se
reduce con el cambio de variable
2
bt x
a .
Empleando dicho cambio, la integral2
dx
ax bx c
se reduce, con exactitud de hasta factor constante, a unade las dos integrales siguientes:
2 2
2 2ln
dt t t k C
t k
,
donde k es una constante > 0.
ó
2 2
dt t ArcSen C
k k t
.
II) Pasamos a calcular la integral de tipo II. Mostre-
mos que esta integral se reduce a la integral del tipo I
haciendo la sustitución
1
t x A . En efecto, puesto que
2
dt dx
t ,
2 22
2
( ) (2 ) A a Ab c t aA b t aax bx c
t
.
Obtenemos
2( )
Bdx
x A ax bx c
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419
tanto, en virtud de la igualdad (3), obtenemos definiti-
vamente la siguiente fórmula para la integral de tipo I:
21
2
( )( )n
P x dxQ x ax bx c
ax bx c
02
dxc
ax bx c
(4)
En esta fórmula Qn-1( x) es polinomio de grado n – 1, y
c0, constante. Para determinar el polinomio Qn-1( x) y la
constante c0 se emplea el método de coeficientes inde-
terminados. El polinomio Qn-1( x) se escribe como
polinomio con coeficientes literales Qn-1( x) = A0 + A1 x
+ ... + An-1 xn-1. Diferenciando la igualdad (4) y multi-
plicando el resultado de diferenciación por
2ax bx c , obtenemos
21( ) ´ ( ) ( )n P x Q x ax bx c
1 0
1( ) (2 )
2 nQ x ax b c . (5)
En ambos miembros de la igualdad (5) hay polinomiosde grado n. Igualando sus coeficientes, obtenemos el
1
2 2( ) (2 )
Bt dt
A a Ab c t aA b t a
.
III) Calculemos, por fin, la integral de tipo III, ante
todo, para el caso particular de p = 0, b = 0, es decir,
calculemos la integral
2 2
( )
( )
Mx N dx I
x q ax c
.
Esta integral se descompone en la suma de dos integra-
les
12 2( )
xdx I M
x q ax c
y
22 2( )
dx I N
x q ax c
.
La primera de estas integrales puede escribirse en la
forma
2
12 2
( )
2 ( )
M d x dx I
x q ax c
,
de la cual se desprende que la función subintegral es
irracionalidad lineal respecto a x2. La integral I 1 se
racionaliza por la sustitución 2t ax c . La integral
I 2 puede escribirse en la forma1
2 22
2
2 21 11
dx x
x I N
q a c x x
1
2 2
2 2
1 1
2 1 11
d N x x
q a c x x
,
de la cual se desprende que la función subintegral es
irracionalidad lineal respecto a2
1
x. Por lo tanto, la
sustitución2
cr a
x racionaliza la integral I 2. Así
pues, para el caso particular cuando los dos trinomioscuadráticos no tienen términos de primer grado, la
integral de tipo III fue racionalizada. Consideremos
ahora el caso general de la integral de tipo III y mos-
tremos que puede reducirse a la integral de forma
particular examinada anteriormente. Si los coeficientes
de los trinomios cuadráticos satisfacen la relación
b = ap (6)
entonces para reducir la integral de tipo III a la integral
de forma particular anteriormente examinada es sufi-
primer grado respecto a t . Mostremos que se puede
escoger tales m y n. En efecto, al hacer la sustitución
(7), tendremos2 x px q
2 2 2
2
( ) (2 ( ) 2 ) ( )
(1 )
m pm q t mna b m n c t n pn q
t
2ax bx c 2 2 2
2
( ) (2 ( ) 2 ) ( )
(1 )
am bm c t mna b m n c t an bn c
t
De este modo, los coeficientes m y n se determinanvaliéndose del sistema de ecuaciones
2 ( ) 2 0
2 ( ) 2 0
mn p m n q
mna b m n c
o del sistema de ecuaciones equivalentes
2( )c aqm n
b ap
cp bqm n
b ap
.
Por lo tanto, m y n son raíces de la ecuación cuadrática
2 2( )0
c ap cp bq x x
b ap b ap
(8)
Queda por demostrar que la ecuación cuadrática (8)
tiene raíces reales y diferentes. Para esto basta demos-
trar que el discriminante de esta ecuación es positivo,
es decir, basta argumentar la desigualdad2( ) ( )( )c aq cp bq b ap (9)
Es fácil convencerse de que la desigualdad (9) es equi-
valente a la siguiente desigualdad:2 2 2(2( ) ) (4 )(4 )c aq bp q p ac b (10)
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420
ciente hacer la sustitución p
x t q
. En efecto, obte-
nemos
2 2
( )
( )
Mx N dx
x px q ax bx c
2 22 2
2
4 4
Mp Mt N dt
p apt q at c
.
Es más complicado reducir la integral de tipo III a la
integral de forma particular anteriormente examinada
si los coeficientes de los trinomios cuadráticos no
satisfacen la relación (6). En este caso, primeramente
hacemos la sustitución lineal fraccional
1
mt n x
t
(7)
escogiendo las constantes m y n de tal modo que los
trinomios cuadráticos no comprenden términos de
Puesto que el trinomio cuadrático x + px + q tiene
raíces complejas, entonces 4q – p2 > 0. A ciencia cierta,
la desigualdad (10) tiene lugar si 4ac – b2 > 0. Demos-
traremos que esta desigualdad es también válida si
4ac – b2 > 0. En este caso, q > 0, ac > 0 y 4 acq pb .
Por eso, teniendo en cuenta que2
c aqcaq
, ten-
dremos2 2(2( ) ) (4 )c aq bp qac pb
2 2 2(4 )(4 ) 4( )q p ac b p ac b q
2 2(4 )(4 )q p ac b
Esta serie de desigualdades tiene al memos un símbolo
de desigualdad estricta > puesto que el primer símbolo
se convierte en el símbolo = sólo para c = aq, pero, si
c = aq, en virtud de que b ap, a ciencia cierta
0 p ac b q , y, por eso, el segundo símbolo no
se convierte en el símbolo =. Así pues, hemos demos-
trado la desigualdad (10), es decir, la posibilidad deescoger m y n tales que los trinomios cuadráticos
obtenidos no comprenden términos de primer grado
respecto a t . Haciendo la sustitución (7) con dicho m y
n, reducimos la integral de tipo III a la forma
2 21 1 1
( )
( )
P t dt
t q a t c (11)
donde a1, c1 y q1 son ciertas constantes, P (t ) es poli-
nomio de grado 2 - 1. Al desarrollar la fracción
21
( )
( )
P t
t q , cuando > 1, en la suma de las fracciones
simples, reducimos el problema de calcular la integral(11) al de calcular la suma de integrales en la forma
2 21 1 1
( )
( )
k k M t N dt
t q a t c
, (k = 1, 2, ..., ).
Cada una de estas integrales se refiere al tipo particular
anteriormente examinado. Por lo tanto hemos demos-
trado la integrabilidad en funciones elementales de las
integrales de todos los tres tipos I, II y III.
De este modo, aparte de las sustituciones de Euler,
hemos demostrado una vez más la integrabilidad de la
función 2, R x ax bx c en funciones elementales.
EjemploCalcular la siguiente integral
a) 23 5 2 x x dx ; b) 3
2
(2 2 3)
3 6
x x dx
x x
;
c) 5 2
2
(5 2 3 )
3 2 1
x x x dx
x x
.
2 2 15 52 2
3 5 2 6 3 2 x x Ax A B x A B C .
1
2 A ,
5
12 B ,
1
24C .
Reemplazando estos valores, obtenemos
2
2
1 5 13 5 2
2 12 24 3 5 2
dx I x x x
x x
Para la última integral, escribimos
23 5 2 3 x x x t ,
obteniendo2
1
1ln 6 5 2 9 15 6
3 I x x x C .
Por lo tanto
21 53 5 2
2 12 I x x x
21ln 6 5 2 9 15 6
24 3 x x x C .
b) Hagamos
2 2
2( ) 3 6
3 6
dx I Ax Bx C x x D
x x
,
derivando ambos miembros de la igualdad, encontra-
mos3
2
2 2
2 2 3 2 3( )
3 6 2 3 6
x x x Ax Bx C
x x x x
2
2(2 ) 3 6
3 6
D Ax B x x
x x
,
multiplicando ambos miembros por el radical y orde-
nando, obtendremos
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421
Solución
a) 2
2
2
3 5 23 5 2
3 5 2
x x I x x dx dx
x x
Hagamos2
2
3 5 2
3 5 2
x x I dx
x x
2
2( ) 3 5 2
3 5 2
dx Ax B x x C
x x
,
derivando ambos miembros de la igualdad, encontra-
mos2
2
2
3 5 23 5 2
3 5 2
x x A x x
x x
2 2
( )(6 5)
2 3 5 2 3 5 2
Ax B x C
x x x x
,
multiplicando ambos miembros por el radical y orde-
nando, obtendremos2 2 1
23 5 2 (3 5 2) ( )(6 5) x x A x x Ax B x C
3 212
2 2 3 (2 3)( ) x x x Ax Bx C
2(2 )( 3 6) Ax B x x D
3 3 2152
2 2 3 3 2 x x Ax A B x
9 32 2
12 ( 6 ) A B C x B C D
2
3 A , 5
2 B , 69
4C , 351
8 D .
Reemplazando estos valores, obtenemos
2 2
23 332 4
2 5 69 3513 6
3 2 4 8
dx I x x x x
x
2 22 5 693 6
3 2 4 x x x x
2351 3ln 3 6
8 2 x x x C .
c) 4 3 2 2( ) 3 2 1 I Ax Bx Cx Dx E x x
23 2 1
dx F x x
,
derivando ambos miembros de la igualdad, encontra-
mos5 2
2
5 2 3
3 2 1
x x x
x x
4 3 2
2
6 2( )
2 3 2 1
x Ax Bx Cx Dx E
x x
3 2 2
2(4 3 2 ) 3 2 1
3 2 1
F Ax Bx Cx D x x
x x
multiplicando ambos miembros por el radical y orde-
nando, obtendremos5 2 4 3 25 2 3 (3 1)( ) x x x x Ax Bx Cx Dx E
3 2 2
(4 3 2 )(3 2 1) Ax Bx Cx D x x F
5 2 5 4 35 2 3 15 9 12 4 7 9 x x x Ax A B x A B C x
2( 3 5 3 ) ( 2 3 3 ) ( ) B C D x C D E x D E F
1
3 A ,
1
4 B ,
37
108C ,
25
162 D ,
112
81 E ,
83
54 F
Reemplazando estos valores, obtenemos4 3 2 21 1 37 25 112
3 2 13 4 108 162 81
I x x x x x x
2
83
54 3 (3 1) 4
dx
x
4 3 2 21 1 37 25 1123 2 1
3 4 108 162 81 x x x x x x
donde P n-1( x) es un polinomio de grado no superior a n
- 1 y k es cierto número.
Sea dado el polinomio P n( x) = an xn + an-1 x
n-1 + ... + a0.
Si existe el polinomio P n-1( x) = bn-1 xn-1 + bn-2 x
n-2 + ... +
b0 que satisface la condición de la integral, entonces
diferenciando esta igualdad obtendremos:
2 11
2 2 2
( ) ( )(2 )´ ( )
2
n nn
P x P x ax b P x ax bx c
ax bx c ax bx c ax
,eliminando denominadores, obtenemos
2 P n( x) = 2 P ́n-1( x) (ax + bx + c) + P n-1( x) (2ax + b) +
2k .
Aquí a la izquierda aparece un polinomio de grado n y
a la derecha cada sumando es también un polinomio de
grado no mayor que n. Observando que
P ́n-1( x) = (n – 1)bn-1 xn-2 + ... + kbk x
k -1 + ... + b1
y sustituyendo P n( x), P n-1( x) y P ́n-1( x) en 2 P n( x) tene-
mos las igualdades
2(an xn + an-1 x
n-1 + ... + a0) = 2(ax2 + bx + c)((n – 1)bn-
1 xn-2 + ... + kbk x
k -1 + ... + b1) +
+ (2ax + b)(bn-1 xn-1
+ ... + bk xk
+ ... + b0) + 2k .Igualando los coeficientes de las potencias iguales de x
obtendremos el sistema de n + 1 ecuaciones lineales
con n + 1 incógnitas b0, b1, ..., bn-1, k :
2a0 = 2cb1 + bb0 + 2k
2a1 = 2bb1 + 4cb2 + 2ab0 + bb1
. . .
2ak = 2(k - 1)abk -1 + 2kbbk + 2(k + 1)cbk +1 + 2abk -1 + bbk
. . .
2an-1 = 2(n - 2)abn-2 + 2(n - 1)bbn-1 + 2abn-2 + 2bbn-1
7/18/2019 Integral Indefinida
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422
283ln 3 1 3 2 1
54 3 x x x C .
Una forma más simple de explicar lo anteriormente
expuesto, se da a continuación para tres casos específi-
cos:
a) Analicemos la integral2
( )n P x dx
ax bx c , a 0,
donde P n( x) es un polinomio de grado n 1. En prin-
cipio esta integral se puede reducir siempre a la inte-
gral de una fracción racional con ayuda de una de las
sustituciones de Euler. No obstante, en el caso concre-
to dado, generalmente, nos lleva al objetivo mucho
más rápido otro método.
Demostraremos que es válida la siguiente fórmula
21
2
( )( )n
n
P x dx P x ax bx c
ax bx c
2
dxk
ax bx c
,
2an = 2(n - 1)abn-1 + 2abn-1
De la última ecuación se halla inmediatamente bn-1:
1n
n
ab
nk .
Sustituyendo esta expresión en la penúltima ecuación y
observando que en esta ecuación el coeficiente de la
incógnita bn-2 es igual a 2a(n – 1) 0 hallaremos elvalor de bn-2, etc. Sucesivamente obtendremos todos los
valores de las incógnitas bk (k = 0, 1, ..., n-1). Después
de esto, de la primera ecuación se halla inmediatamente
la incógnita k .
De esta manera, el sistema tiene solución para cuales-
quiera valores a0, a1, ..., an. por eso el determinante de
este sistema es diferente de cero y la solución indicada
es única. En la práctica el polinomio P n-1( x) se escribe
con coeficientes indeterminados, los cuales se hallan
resolviendo el sistema. Después de esto, el cálculo de la
integral dada se reduce al cálculo de la integral
2( )n P x dx
ax bx c
la cual en el caso en que la expresión subradical es
positiva en cierto intervalo se reduce fácilmente a una
de las integrales inmediatas.
b) Integral del tipo2
( )
( )
r
r
P x dx
x p ax bx c .
Si r = 1, el polinomio P r ( x) es una constante, y por lo
tanto, obtenemos una integral racional.
Si r > 1, puede probarse que una integral de este tipo puede llevarse a la forma
2212
( ) ( )
( )( )
r r r r
P x dx P xax bx c
x p x p ax bx c
2( )
dxk
x p ax bx c
donde los coeficientes del polinomio de grado menor o
igual que r – 2 se determinan como se hizo en el caso
a) y calculamos la última integral como una integral
racional.
c) Una integral del tipo
2
2 2
( )
( )
r
r
P x dx
px qx s ax bx c
El polinomio px2 + qx + s es un polinomio con raíces
complejas, es decir, q2 – 4 ps < 0. Si r = 1, el polinomio
P 2r ( x) será de primer grado y la integral dada coincidirá
con una integral racional ya estudiada en la sección
anterior.
Si r > 1, es posible probar que la integral del tipo con-siderado puede llevarse a la forma
2
2 2
( )
( )
r
r
P x dx
px qx s ax bx c
22 32 1
( )
( )
r r
P xax bx c
px qx s
2 2
( )
( )
Ax B dxk
px qx s ax bx c
donde los coeficientes del polinomio P 2r -3( x) y A y B se
determinarán como en el caso b), la última integral se
calcula como en la sección anterior.
5.12.1 Tarea
1) Calcular las siguientes integrales:
a) 2
3
3
( 3)
xdx
x
; b) 3
4 2
( 2 1)
(2 3) 3
x x dx
x x
; c)3
4 2
( 3 1)
( 3) 3 1
x x dx
x x x
;
7/18/2019 Integral Indefinida
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423
d) 2
4 2
(2 2 1)
(2 1) 2 2
x x dx
x x x
; e) 31 2
dx
x x x ; f) 2
2 1
x dx
x x .
2) La función Q(t ) representa la fracción de una can-
tidad de sustancia química que ha sido absorbida a
través de una membrana porosa en el tiempo t en ho-
ras. Se observa que la rapidez de absorción es
t te
dt
dQ :
a) Si inicialmente nada ha sido absorbido de la sus-
tancia, obtener la proporción absorbida después de 5 y
de 10 horas.
b) Demuestre que 1)(lim
t Qt
e interprételo.
3) La función P (t ) modela el porcentaje de la pobla-
ción que ha muestreado un producto nuevo en los t
primeros meses después de que se lanzó al mercado.
La función P (t ) para cierto alimento dietético varía con
una rapidez2)1(
)1ln(100)´(
t
t t P , para t ≥ 0. Suponien-
do que P (0) = 0, hallar el porcentaje de la población
que ha probado el producto durante su primer mes en el
mercado; en los 6 primeros meses, y en el primer año.
4) En una reserva ecológica se liberan diez venados de
cierta especie. Se sabe que la rapidez de crecimiento de
la población P es P ́(t ) = (t + 1)(0.9)t , cuando t se mide
en años:
a) Obtener un modelo para la población P (t ), supo-
niendo que P (0) = 10.
b) Aplicar el modelo para predecir la población des-
pués de 1, 5, 50 y 100 años.
5) Halle la ecuación de la función cuya tangente tiene
una pendiente de 3 x2 + 6 x – 2 para cada valor de x y
cuyo gráfico pasa por el punto (0, 6).
6) Halle la ecuación de la función cuyo gráfico tiene
un mínimo relativo cuando x = 1 y máximo relativo
cuando x = 4.
7) Un objeto se mueve de forma que su velocidad
después de t minutos es de 3 + 2 t + 6t 2 metros por
minuto. ¿Qué distancia se desplazará el objeto durante
el segundo minuto?
8) El isótopo de polonio 210Po tiene una semivida o
periodo medial de 140 días; aproximadamente. Si una
muestra pesa inicialmente 20 miligramos, ¿cuánto
queda t días después? Aproximadamente, ¿cuánto
quedará después de dos semanas?
9) Se lanza una piedra hacia arriba, con una velocidad
inicial de 64 pies por segundo desde una altura de 8
pies. Suponiendo que es insignificante la resistencia
del viento, la piedra tiene una aceleración gravitacional
de – 32 pies por segundo por segundo. Calcule la altu-
ra que alcanza la piedra en el tiempo t.
10) Si la temperatura es constante, entonces la razón
de cambio de la presión atmosférica p respecto a la
altura h es proporcional a p. Suponiendo que p = 762
mmHg al nivel del mar y p = 737 mmHg a 300 m dealtitud, calcule la presión a una altitud de 1500 m.
11) Cierto parásito se reproduce y entonces se le
extermina con el empleo de un medicamento nuevo.
La razón de cambio en el número de parásitos vivos
con respecto al tiempo t en semanas se da por
42756000 t t
dt
dN . Determinar cuántos parásitos
16) Supóngase que dos trenes se están aproximando
uno al otro a lo largo de vías paralelas. La distancia
entre las locomotoras está cambiando con una rapidez
3
2
4)( t t v millas por hora. Si inicialmente las máqui-
nas están a 1 milla, ¿cuándo se encontrarán éstas?
17) Una placa de metal se enfría de 80ºC a 65ºC en 20minutos al estar rodeada de aire a una temperatura de
15ºC. Use la ley de Newton para estimar la temperatura
al cabo de una hora de enfriamiento. ¿Cuándo llegará la
temperatura a 40ºC?
18) Se estima que dentro de t meses la población de
una cierta ciudad estará cambiando a un ritmo de
3
2
54 t personas por mes. Si la población actual es de
500.000, ¿cuál será la población dentro de 1 año?
19) Un termómetro exterior registra una temperatura
de 4ºC. Cinco minutos después de introducirlo en unahabitación donde la temperatura es de 20ºC, el termó-
metro marca 15ºC. ¿Cuándo marcará 18ºC?
20) Un estudio ambiental de una cierta comunidad
sugiere que dentro de t años el nivel de monóxido de
carbono en el aire estará cambiando a un ritmo de 0.1 t
+ 0.1 partes por millón por año. Si el nivel actual de
monóxido de carbono en el aire es de 3.4 partes por
millón, ¿cuál será el nivel dentro de 3 años?
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habrá en el tiempo t si originalmente había 3000.
12) La población de una ciudad crece a razón de 5%
al año. Si la población actual es 500000, ¿cuál será la
población dentro de 10 años?
13) Se lanza una pelota directamente hacia arriba
desde una altura de 2 metros, con una velocidad de 10
metros por segundo. Si se desprecia la resistencia del
aire, hallar la altura máxima que alcanzará la pelota.
¿Cuál es la velocidad de ésta al chocar contra el piso.
14) Los agrónomos calculan que se necesitan 1000
metros cuadrados de tierra para proveer de alimentos a
una persona. Por otro lado, se calcula que hay 40 x
1012 metros cuadrados de tierra laborable en el mundo
y, por lo tanto, se puede sostener a una población má-
xima de 40000 millones de personas si no hay ninguna
otra fuente de alimentos.
15) La población de la Tierra en 1980 era de 4500millones de habitantes. Suponiendo que la población
crece a razón de 2% al año, ¿cuándo se alcanzará la
población máxima que la Tierra puede alimentar?
21) La rapidez con que la sal se disuelve en el agua es
directamente proporcional a la cantidad de sal no di-
suelta. En un recipiente con agua se ponen 5 kilogra-
mos de sal y en 20 minutos se disuelven 2 kilogramos.
¿Cuánto tiempo tardará en disolverse 1 kilogramo más?
22) Un árbol ha sido trasplantado y después de t años
está creciendo a un ritmo de2)1(
11
t metros por
año. Pasados dos años ha alcanzado una altura de 5
metros. ¿Qué altura tenía cuando fue trasplantado?
23) Un físico encuentra que cierta sustancia radiactiva
produce 2000 marcas o cuentas por minuto en un con-
tador Geiger. Diez días más tarde la sustancia produce
1500 cuentas por minuto. Calcular aproximadamente su
semivida o vida media. W dt
dW 21.0 . ¿Cuál será el
peso dentro de un mes (t = 30 días) de una planta queactualmente pesa 70 miligramos?
24) La distancia s en kilómetros entre dos automóviles
en el instante t en horas varía con una rapidez
t
e
dt
ds t 1
50 . Calcular la distancia s(t ) entre los
automóviles, después de media hora, si inicialmente se
encuentran en el mismo punto.
25) El material radiactivo estroncio 90, a 90Sr, que
tiene una semivida de 29 años, puede causar cáncer enlos huesos de los seres humanos. La sustancia se en-
cuentra en la lluvia ácida, penetra en el suelo y se
introduce en la cadena alimenticia. El nivel de radiac-
tividad en cierto terreno de cultivo es 2.5 veces el nivel
máximo S que se considera aún dañino. ¿Durante
cuántos años seguirá contaminando ese terreno?
26) La presión atmosférica P (en atmósferas) a una
altitud de x metros sobre el nivel del mar satisface la
ecuación )(81.9 xdx
dP , donde (x) es la densidad
del aire a una altitud x. Suponiendo que el aire satisfa-
ce la ley de los gases, la ecuación puede escribirse
comoT
P
dx
dP 0342.0 , donde T es la temperatura (en
kelvins, K) a una altitud x. Exprese P como una fun-
ción de x suponiendo que la presión al nivel del mar es
de 1 atmósfera y que T = 288 – 0.01x.
27) El indicador radiactivo 51Cr, que tiene una semi-
vida o periodo medial de 27.8 días, se usa a veces en
de crecimiento (en gramos por día) es proporcional al
peso actual W. Para una especie de algodón,
31) En la fisiología pulmonar se usa la siguiente ecua-
ción
hk
h
Q
V
dt
dh, para describir el transporte de
una sustancia a través de la pared de un vaso capilar,
donde h es la concentración de hormona en la sangre al
tiempo t, V es la rapidez máxima de transporte, Q es el
volumen del capilar y k es una constante que mide la
afinidad entre las hormonas y las enzimas que contri-
buyen al proceso de transporte. Determine la solución
general de la ecuación.
32) En la enfermedad llamada arterosclerosis, las
paredes de las arterias se hacen gradualmente más
gruesas. Considérese un caso en el que la sección
transversal inicial de una arteria tiene un radio interior r
= 1 centímetro, y se encuentra que decrece con una
rapidez
t
edt
dr 002.0
02.0
centímetros por año:
a) Hallar un modelo para r (t ).
b) Calcular el radio interior de la arteria después de 5
años.
c) Demostrar que el área de la sección transversal del
interior de la arteria, después de 5 años, es 81 % del
área inicial.
33) Se dispara un cohete espacial desde la Tierra. Si
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pruebas médicas para localizar la posición de la pla-
centa en mujeres embarazadas. El indicador se pide a
un laboratorio de productos médicos y la entrega de un
pedido tarda dos días. ¿Cuántas unidades se deben
solicitar para hacer una de estas pruebas si se necesitan
35 unidades en el momento de la prueba?
28) El número N en cientos de campistas que utilizan
los servicios de cierto parque nacional durante el año t
se estima que varía con una rapidez
5
4
)2(
23
t
t
dt
dN .
¿Cuántos campistas adicionales deben esperarse dentro
de 5 años, a partir de ahora?
29) Los veterinarios anestesian animales con pento-
barbital sódico. Para anestesiar a un perro se requieren
30 miligramos por cada kilogramo de peso. El citado
pentobarbital sódico se elimina exponencialmente de
la sangre. En 4 horas la cantidad baja a la mitad. Cal-
cule el tamaño de una dosis única para anestesiar du-
rante 45 minutos a un perro que pesa 20 kilogramos.
30) Durante el primer mes de crecimiento de ciertos
cultivos como el maíz, el algodón y la soya, la rapidez
se desprecia la resistencia del aire, su velocidad a partir
del momento en que se termina el combustible, está
dada por la ecuación2 y
k
dy
vdv , donde y es la distan-
cia desde el centro de la Tierra y k es una constante
positiva. Sea y0 la distancia desde dicho centro en el
momento en que se termina el combustible y v0 la velo-cidad correspondiente. Exprese v como una función de
y.
34) Se estima que dentro de t años el valor de una
hectárea de tierra de cultivo estará aumentando a un
ritmo de
000.82.0
4.0
4
3
x
t dólares por año. Si la tierra
tiene actualmente un valor de 600 dólares por hectárea,
¿cuánto valdrá dentro de 5 años?
35) A altas temperaturas, el dióxido de nitrógeno NO2
se descompone en NO y O2. Si y(t) es la concentraciónde NO2 (en moles por litro) y la temperatura es de 600
K, entonces y(t) cambia de acuerdo con la ley de reac-
ción de segundo orden 205.0 ydt
dy , donde t es el
tiempo (en segundos). Exprese y en términos de t y de
la concentración inicial y0.
36) El ritmo al que disminuye la concentración de
una droga en el flujo sanguíneo es proporcional a la
concentración. Exprese la concentración de la droga en
el flujo sanguíneo como una función del tiempo.
37) La edad de los especímenes geológicos o arqueo-
lógicos se determina con el método del carbono 14.
Este método de datación se basa en el hecho de que el
CO2 de la atmósfera contiene cierta cantidad del isóto-
po inestable carbono 14. Las plantas absorben carbono
de la atmósfera y cuando mueren la cantidad de 14C
que han acumulado comienza a decrecer o decaer con
una semivida de 5700 años aproximadamente. Midien-
do la cantidad de 14C que queda en un espécimen,
puede estimarse la fecha en que el organismo murió.
Calcule aproximadamente la edad de un hueso fósil
que presenta 20% del 14C que contiene un hueso ac-
tual.
38) Después de ser puesto en un recipiente de agua,
el azúcar se disuelve a un ritmo proporcional a la can-
tidad de azúcar sin disolver que quede en el recipiente.
Exprese la cantidad de azúcar que se ha disuelto como
función del tiempo y dibuje el gráfico.
39) El ritmo al que cambia la temperatura de un obje-
to es proporcional a la diferencia entre su propia tem-
aire es absorbido por el carbón al mismo tiempo que el
aire fluye a través del filtro, y el aire purificado es
devuelto a la habitación. Suponiendo que el ozono
remanente está distribuido igualmente en la habitación
en todo momento, determine cuánto tardará el filtro en
eliminar el 50 % del ozono de la habitación.
43) Después de t segundos, un objeto se mueve a una
velocidad de t te 5.0 metros por segundo. Exprese la
distancia que recorre el objeto como una función del
tiempo.
44) Después de t horas en el trabajo, un obrero indus-
trial puede producir t te 5.0100 unidades por hora.
¿Cuántas unidades producirá el trabajador durante las
primeras 3 horas?
45) Se estima que dentro de t semanas el número de
usuarios que usan el trolebús estará creciendo a un
ritmo de 18t
2
+ 500 por semana. Actualmente 8.000usuarios usan el trolebús. ¿Cuántos lo usarán dentro de
5 semanas?
46) Las estadísticas reunidas por el departamento de
cárceles de una determinada ciudad, indica que dentro
de t años el número de internos en las prisiones de la
provincia habrán aumentado a un ritmo de 280e0.2t por
año. Actualmente 2.000 internos están alojados en las
prisiones de la provincia. ¿Cuántos internos deben
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INTEGRAL INDEFINIDA 426
peratura y la del medio que le rodea. Se saca de un
refrigerador una bebida fría en un cálido día de verano
y se sitúa en una habitación a 80ºF. Exprese la tempe-
ratura de la bebida como una función del tiempo si la
temperatura de la bebida era de 40ºF cuando salió del
refrigerador y de 50ºF veinte minutos después.
40) El ritmo al que cambia la temperatura de un obje-
to es proporcional a la diferencia entre su propia tem-
peratura y la del medio que le rodea. Exprese la tempe-
ratura del objeto como una función del tiempo y dibuje
el gráfico si la temperatura del objeto es mayor que la
del medio que le rodea.
41) Un tanque contiene 200 galones de agua. Fluye
en el tanque salmuera conteniendo 2 libras de sal por
galón a un ritmo de 5 galones por minuto, y la mezcla,
que es agitada de forma tal que la sal está distribuida
por igual en todo momento, sale del tanque al mismo
ritmo. Exprese la cantidad de sal en el tanque como
una función del tiempo y dibuje el gráfico.
42) Una habitación de 2.400 pies cúbicos contiene un
filtro de aire de carbón activo por el que pasa el aire a
un ritmo de 400 pies cúbicos por minuto. El ozono del
esperar tener la provincia dentro de 10 años?
47) El valor de reventa de una cierta maquinaria in-
dustrial decrece a un ritmo proporcional a la diferencia
entre su valor actual y su valor de desguace de 5.000
dólares. La maquinaria se compró nueva por 40.000
dólares y valía 30.000 después de 4 años. ¿Cuánto
valdrá cuando tenga 8 años?
48) Un tanque contiene actualmente 200 galones se
salmuera que contiene 3 libras de sal por galón. Fluye
agua en el tanque a un ritmo de 4 galones por minuto,
mientras que la mezcla, que es mantenida uniforme,
sale del tanque a un ritmo de 5 galones por minuto.
¿Cuánta sal hay en el tanque, pasados 2 horas?
49) El número de bacterias en cierto cultivo crece de
5000 a 15000 en 10 horas. Suponiendo que la tasa o
rapidez de crecimiento es proporcional al número de
bacterias, encuentre una fórmula para el número de
bacterias en el cultivo al tiempo t. Calcule el número alcabo de 20 horas. ¿Cuándo llegara a 50000 el número
de bacterias?