INTEGRAL lNDEFINIDA

Función primitiva Una función F(x) se dice que es primitiva de otra función f(x)cuando F'(x) = f(x)Ejemplo: Sea f(x) = 2x

F(x) = x2 es primitiva de f(x)

F(x) = x2 + 5 . .en general , F(x) = x2 + C

Por lo tanto una función f(x) tiene infinitas primitivas .Al conjunto de todas las funciones primitivas se le llama integral indefinida y se representa por

f x dx( )f x dx( )

( )f x dx

f x dx( )

= F(x) + C F'(x) = f(x)( )f x dx

CxFdxxf )()(Símbolo de Integral

Función integrando

Diferencial de x

Una antiderivada de f

Constante de integración

Propiedades de la integral indefinida :

1ª ( ) ( ) ...... ( ) ( ) .......f x g x dx f x dx g x dx

2ª ( ) ( )k f x dx k f x dx

3a ( ) ( ) ( ) . ( )f x g x dx f x dx g x dx

4a( )( )

( ) ( )

f x dxf x dxg x g x dx

Integrales inmediatas :

Integración mediante cambio de variable

Integración por partes

u dv u v v du• • •

Expresión Triángulo a construir Sustitución

a2 – u2

a2 – u2

ua u = a Sen

du = a Cos d

u2 – a2 u2 – a2

u2 + a2

u2 + a2

u

u

a

a

u = a Sec

du= aSecTagd

u = a Tag

du = a Sec2 d

INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA

3

221 x dx

3 24x x dx

3

22 1

x dxx

23 9 4x dx

2

2

5 255x dxx x

5

32 2

2

9

x dxx

2

124 9

dxSen x

CASO I : Cuando en Q(x) existen factores lineales y ninguno de ellos se repite .

dx = A + B + C dx(x – a)(x – b)(x – c) x – a x – b x – c

CASO I I : Cuando en Q(x) existen factores lineales y alguno de ellos se repite .

dx = A + B + C dx (x – a)2 (x – b) ( x – a )2 x – a x – b

INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES ( )( )P x dxQ x

CASO III : Cuando en Q(x) existen factores cuadráticos y ninguno de ellos se repite .

dx = Ax + B + C dx( x2 + a ) ( x – b ) x2 + a x – b

CASO IV : Cuando en Q(x) existen factores cuadráticos y alguno de ellos se repite .

dx = Ax + B + Cx + D + E dx( x2 + a )2 ( x – b ) ( x2 + a)2 x2 + a x – b

CASO I : x m ( a x n + b )r/s dx

* m , n , r y s son números enteros

* Si m + 1 es entero ó cero n

a x n + b = t s

INTEGRACION POR DIFERENCIALES BINOMICAS

Ejemplos :

1.- x5 dx 1 + x2

2.- x–1/2 ( 1 + x1/4 )1/3 dx

3.- x3 ( 1 + 2x2 )–3/2 dx

4.- x–1( 1 + x5 )–1/3 dx

CASO I I : x m ( a x n + b ) r/s dx

* m , n , r y s son números enteros

* Si m + 1 + r es entero ó cero n s

a x n + b = z s x n

Ejemplos :

1.- dx x2 ( 4 – x2 )1/2

2.- dx x x ( 1 + x3/4 )1/3

4.- dx x2( 1 + x3 )5/3

2

2

( ) 1 3 ( )3.

( )Sen x Cos x

dxCos x

1

3 35. 1x x dx