La integral indefinida. Formulas y...

La integral indefinida. Formulasy ejemplos Autor: jose maria guzman perez

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Presentacin del curso

En el siguiente curso que te presentamos a continuacin tendrs la posibilidad detener una gua sobre el estudio de las integrales indefinidas con ejemplos y teoraque har que aprendas de manera rpida y muy fcil.

La integracin es el proceso contrario a la derivacin y es un concepto fundamentalen el campo de clculo y anlisis matemticos en lo que se refiere a matemticasavanzadas. El clculo integral es muy comn en la ingeniera y matemticas ya quese la utiliza principalmente para calcular areas y volmenes de regiones.

La integracin tiene como principal objetivo estudiar el rea de una regin plana,integrales trigonomtricas, logartmicas, exponenciales, mtodos de integracin,integrales indefinidas, teorema fundamental del clculo, integrales impropias,volumen de un slido de revolucin, integrales definidas, cambio de variables,integrales mltiples.

De igual forma tiene propiedades que las caracterizan como ser: La integral delproducto de dos funciones es el producto de las integrales de las funciones, laintegral de la derivada de una funcin es la funcin, la integral del producto de unaconstante por una funcin es el producto de la integral de la funcin, la integral dela suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de las integrales de lasfunciones.

En resumen una integral se utilizar cuando se quiera dar idea sobre la totalidad deuna determinada cuestin, bsicamente la integral calcula el rea debajo de unacurva. Cualquier tabla de derivadas, leda al contrario, se convierte en una tabla deintegrales. Si deseas aprender lo anteriormente dicho con ejemplo pues solo debesseguir nuestro curso y vers que de manera muy fcil estars haciendo las integralescomo todo un matemtico. Vamos adelante!

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1. Integral indefinida. Calculo

En el bachillerato y en las Ingenieras, es muy frecuente encontrarse con que losalumnos tienen dificultad para identificar la frmula que requieren para hallar lafuncin primitiva de alguna integral.

Observ en mi actividad docente de muchos aos, que el principal obstculo es elcompletar la diferencial.

En las pginas siguientes escribir mi experiencia al respecto, en el sentido de cmoconsider oportuno hacer frente a este asunto.

LA INTEGRAL INDEFINIDA.

Integrar, en el Clculo, es el proceso inverso de la Derivacin de funciones.

Consideremos las siguientes funciones de la forma y= f(x):

S que eres muy observador y ya te diste cuenta que las cuatro funciones, en lonico que difieren es en la constante, que en las cuatro, es diferente pero tienenalgo en comn

La derivada de las cuatro funciones ES LA MISMA:

Bien, como sabes que al integrar DEBEMOS OBTENER LA FUNCIN ORIGINAL, te dascuenta que ya tienes un problema: cul de las cuatro funciones originalesobtendrs?

De momento, como no sabes cul de las cuatro constantes escribir, entonces usarsuna CONSTANTE DE INTEGRACIN, que denotars por C.

Habrs de tener presente que al hablar de CONSTANTE DE INTEGRACIN, ella puedeser cualquier nmero. Esta constante de integracin tiene un valor indefinido. Ponatencin en lo siguiente:

Si C es constante de integracin, valor que no conoces, le puedes sumar, restar,multiplicar, dividir y seguirs obteniendo una cantidad indefinida que puedes seguirrepresentando por C.

Si C es constante de integracin sujeta a cualquier tipo operacin matemtica, alrealizar dicha operacin, seguirs obteniendo algo indefinido, por eso puedes seguirescribiendo C.

PERO SLO SI C ES CONTANTE DE INTEGRACIN...

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Ahora irs escribiendo tu formulario para integrar y que es conveniente tenerlosiempre presente al realizar integrales:

HE AQU tus cuatro primeras frmulas para integrar.

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2. Formulas. Integrales

S que ya ests desesperado por iniciar. Bueno pues, adelante, slo se requiere detu atencin y concentracin.

Las dos primeras, ms que frmulas, son propiedades de la integral, semejantes alas de la derivacin.

La nmero uno, te dice que si tienes la integral de una suma algebraica dediferenciales ser igual a la suma algebraica de la integral de cada diferencial. Lanmero dos, te habla de que en la integral del producto de una constante por unadiferencial, esa constante sale a la izquierda del signo de integral.

La nmero tres te rumora que la integral de la diferencial de la variable v es igual ala variable v, ms la constante de integracin, porque no sabes cul constante traala funcin original.

La nmero cuatro te grita que la integral de una variable que est elevada a unapotencia n, es igual a un cociente, cuyo numerador es dicha variable elevada a lapotencia n+1 y el denominador es n+1 y sin que olvides la constante de integracinC. Recuerda, que no sabes qu constante traa la funcin original, por eso sonINTEGRALES INDEFINIDAS.

EMPIEZA A USAR TUS CUATRO PRIMERAS FRMULAS PARA INTEGRAR, utilizandonuestro ejemplo:

Despus del =, la primera y segunda integrales, las puedes identificar con la frmula4, ya que el integrando es la variable x elevada a la potencia 2 y a la potencia 1,respectivamente. Finalmente la tercera integral es como la que est a la izquierdadel signo =, por lo tanto, ya puedes integrarlas. Sale.

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Y LISTO, ya tienes a la funcin primitiva, lo nico que falta es determinar, definir, suconstante PARTICULAR. Ms adelante estars capacitado para que, bajo ciertascondiciones, llegues a obtener cada constante particular.

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3. Integrales. Ejemplos (1/5)

Pues vienen ms ejemplos, ya que slo as podrs ir afianzando lo que ya has estadoaprendiendo.

Ejemplo uno:

Ejemplo dos:

Recuerda que esta constante C, YA est representando a TODAS las constantes deintegracin de cada integral.

Ejemplo tres:

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Nuevamente el lgebra, en este caso propiedades de las fracciones y de losexponentes, te permite manipular el integrando, para mejor identificacin de lasfrmulas que vas a aplicar.

Esta constante de integracin C, est representando a todas las constantes deintegracin de cada integral.

Ejemplo cuatro:

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Ejemplo cinco:

pero te imaginas si la integral fuera de ese mismo binomio, pero a una potenciaentera ms grande? O potencia entera negativa, o potencia fraccionaria, tantopositiva como negativa?

CONSIDERACIN: habr muchos estudiantes que s entendieron y aprendieron bien aintegrar completando la diferencial, pero este es un momento que se puedeaprovechar para ir aprendiendo uno de los mtodos de integracin, conocido comocambio de variable o tambin integracin por sustitucin y se ver en su formams simple, puesto que en el estudio de este mtodo de integracin, hay cambiosms elaborados.

Pues concntrate y vers qu interesante es la aplicacin del cambio de variable,sobre todo cuando se est incursionando en el aprendizaje de las integrales.Aplicar un cambio de variable en una integral consiste en presentar la integraloriginal dependiendo de una nueva variable y de su nueva diferencial. Para ello nosescogemos la parte ms complicada del integrando para que sea representada poruna nueva variable.

Regresaremos a la integral del ejemplo cuatro:

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Ahora hacemos que el resultado quede en trminos de la variable original,sustituyendo la v por lo que nos representa:

y listoclaro que aparentemente el resultado que obtuviste en el ejemplo cuatro yste que se acaba de obtener, no son iguales. Pero podemos darnos a la tarea de verque son equivalentes.

Fjate. Partiremos de los dos resultados y desarrollaremos este ltimo:

ENTONCES LOS RESULTADOS SON EQUIVALENTES.

Claro que si tuvieras que resolver integrales como las siguientes, te conviene aplicarel mismo cambio de variable a las tres, pero ya con la seguridad de que su resultadotiene equivalencia con el que se hubiera obtenido desarrollando esos binomios a lan, si es que se pudieran desarrollar.

Mira: tres integrales diferentes para las que se propone el mismo cambio devariable.

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Ejemplo seis:

Con este mtodo, ya puedes aventurarte a realizar integrales con cambio devariable, pero debes tener en cuenta que, como sugerencia, se elije la parte msfea para cambio de variable.

Tambin debes tener en cuenta que una manera de checar que el cambio de variablees acertado y funciona, si al ser sustituido en la integral original, sta quedaexclusivamente en trminos de la variable nueva y de su diferencial. Si llegara aprevalecer la variable original, te querr decir que ese cambio de variable quepropusiste, no es el adecuado y tendrs que proponer otro o en su defecto, recurriral lgebra, trigonometra, etc., para darle otro aspecto a la integral.

Y si an as, no te funciona, puede que la integral tenga que resolverse con otromtodo. Pero estos casos sern abordados ms adelante.

Te presento otros ejemplos:

Ejemplo siete:

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Ejemplo ocho:

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Ejemplo nueve:

Ejemplo diez:

Ejemplo once:

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Ejemplo doce:

Ejemplo trece:

Ejemplo catorce:

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8. Ejemplos. Formulas de integracin (1/3)

Te presentar otros pocos ejemplos que te ilustrarn la aplicacin de estas sietefrmulas de integracin. A estas alturas, ya te ests ambientando ms en esto de iraprendiendo a integrar, as que ir abreviando pasos. Sin embargo puedesconsultarme, mediante correo y con todo gusto tratarde aclarar tus dudas.

RECUERDA: en un cociente de polinomios se puede hacer la divisin si el grado deldenominador es igual o menor que el grado del numerador.

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Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

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Ejemplo 5

En este ejemplo anterior te dars cuenta que la trigonometra tambin auxilia muchoen el trabajo de las integrales.

Entonces las identidades trigonomtricas, el lgebra, propiedades de los logaritmos,juntamente con las frmulas de integracin, debers tenerlos siempre a la mano.

Ejemplo 6

Ejemplo 7

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Ejemplo 8

Ejemplo 9

Considero que con esto ya puedes aventurarte a resolver muchas integrales usandoesta tcnica del cambio de variable. Consigue libros de Clculo Integral y a echarleganas.

Sigo haciendo la aclaracin de que aquellos alumnos que le entienden bien a lo de

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Sigo haciendo la aclaracin de que aquellos alumnos que le entienden bien a lo decompletar la diferencial pues adelante!, resolviendo integrales.

Y para los que usarn esta tcnica, les comento que aquellas integrales que nopuedan resolverlas con ella, pues ser conveniente esperarse al trabajo que prontosaldr, para utilizar las frmulas de la 8 a la 17, donde aparecen en el integrandofunciones trigonomtricas con ciertas caractersticas que en su momento se vern.

Consltame con toda confianza, intentar resolver tus dudas.

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Ejemplo 10

Ejemplo 11

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Presentacin del curso1. Integral indefinida. Calculo2. Formulas. Integrales3. Integrales. Ejemplos (1/5)4. Integrales. Ejemplos (2/5)5. Integrales. Ejemplos (3/5)6. Integrales. Ejemplos (4/5)7. Integrales. Ejemplos (5/5)8. Ejemplos. Formulas de integracin (1/3)9. Ejemplos. Formulas de integracin (2/3)10. Ejemplos. Formulas de integracin (3/3)

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