Cálculo Diferencial Integral 2

Ementa

Métodos de Integracao; Funcoes de varias variaveis e graficos; Derivadas parciais e superiores.

Referências Bibliográficas.

BásicasFlemming, D. M. & Goncalves, M. B. - Calculo A Editora Makron-Books Ávila, G. - Introducao à Analise Matematica Editora Edgard Blucher Ltda. H. L. Guidorizzi. Um Curso de Calculo. Vol. 1. Livros Técnicos e Científ. Ed., 1997.

ComplementaresSIMMONS, George F. Calculo com geometria analítica. Sao Paulo: McGraw-Hill, c1987. E. W. Swokowski. Calculo com Geometria Analítica. Vol. 1. Makron Books do Brasil Editora, Sao Paulo.

https://sites.google.com/site/calculosoresofe/

ProblemaEm cada item a seguir, considere a funcao f e determine uma funcao F, tal que

Integral Indefinida

).x(f)x(' F x2)x(f )a

Solução: ,x)x(F 2 pois ).x(fx2)x(F

2x)x(f )b

Solução: ,3x)x(F

3 pois

3x)x(F

3)x(fxx3

31 22

4x)x(f )c

Solução: ,5x)x(F

5 pois

5x)x(F

5)x(fxx5

51 44

12x)x(f )d

Solução: ,13x)x(F

13

13x)x(F

13)x(fxx13

131 1212 pois

nx)x(f )e

Solução:

1nx)x(F

1n

1nx)x(F

1n

)x(fxx1n1n

1 nn

pois -1.n e Rn ,

x1x)x(f )f 1

Solução:xln)x(F

0 xse ),xln(

0 xse),xln(

pois,

0 xse ,1x

1

0 xse,x1

)x(' F

0 xse ,x1

0 xse,x1

)x(fx1)x('F

10x)x(f )g

Solução:4

11x)x(F

11

4

11x)x(F

11)x(fx0x11

111 1010 , pois

Você pode concluir que existem infinitas funções F(x) cuja derivada é a função f(x).

)x(sen)x(f )h Solução: c)xcos()x(F , c constante, pois ).x(sen)x(F

)x(sec)x(f )i 2Solução: c)x(tg)x(F , c constante, pois ).x(sec)x(F 2

x2)x(f )j

Solução:x2

)2ln(1)x(F c, c constante, pois x2

)2ln(1)x(F )2ln(2

)2ln(1 x x2

x5)x(f )l Solução:

c5)5ln(

1)x(F x

xa)x(f )m

Solução:ca

)aln(1)x(F x

, c constante, pois x5)5ln(

1)x(F )5ln(5)5ln(

1 x x5

, c constante, pois xa)aln(

1)x(F )aln(a)aln(

1 x xa

xe)x(f )n Solução: ce)x(F x , c constante.

Definição 1Uma funcao F é a primitiva (ou antiderivada) de uma funcao f, em um intervalo I, se F’(x) = f(x), para todo x pertencente ao intervalo I.

Observe que se F(x) é uma primitiva da função f(x), então F(x) + c, c constante,também é uma primitiva da f(x), pois

).x(f)x(Fc)x(F

Assim, você pode concluir que o conjunto das primitivas de uma função f é infinito.

Pense e responda: Toda primitiva de uma função f é da forma F(x) + c?Para responder a essa indagação, considere F(x) e G(x) duas primitivas da função f.E seja H(x) a função definida

por: ).x(F)x(G)x(H

Você pode determinar a derivada da função H(x) como:)x(F)x(G)x(H )x(f 0)x(f

Assim, você pode concluir que H(x) é a função constante.Daí, c)x(F)x(G c)x(F)x(G

Logo, você pode concluir que toda primitiva de f é da forma F(x) + c.

Definição 2O conjunto de toda as primitivas de uma funcao f, em um intervalo I, é chamado integral indefinida da função f . que tal constante,c ,c)x(F )x(f)x(' F

Ou seja, o conjuntoé a integral indefinida da função f .

Notação:

dx)x(f

Primitiva de f

Constante de integraçãoSinal de integração

Integrando

Exemplo:

xdx2 cx2

f(x)(x)' F que tal constante,c ,c)x(F c)x(F

Calcule as integrais dadas a seguir:

dxx )a 3 c4x4

dt)tcos( )b csen(t)

dx3 )c x c)3ln(

3x dxe )d x ce x

dx )e cx dt)t(eccos )f 2 c(t)gcot

dxx1 )g cxnl dx

x1 )h 2

dxx 2-

c12-

x 12-

c1-

x 1-

cx1

dxx-1

1 )i2

c)xarcsen(

Propriedades dx)x(g)x(f.1 dx)x(gdx)x(f

Exemplo: dx)xcos(2x dx)xcos(dx2x

21

xc)x(senc

)2ln(2

c)x(sen)2ln(

2x

dx)x(fc.2 dx)x(fc

Exemplo:

dx)x(sen5 dx)x(sen5 c)xcos(5 c)xcos(5

Exemplo:

dxx3x 245x5

3x3

3 c cx

5x 3

5