CAPITULO 1 A 4.- Series Numéricas, Integral Indefinida, Integral Definida, Integral Impropia

MATEMÁTICAS III CURSO 2011/2012

UNED

1

CAPÍTULO 1: SERIES NUMÉRICAS

Estudiaremos a continuación, las series numéricas, que no son más que sumas de

infinitos números reales

1.1 Series Numéricas Infinitas

Mientras que es posible sumar dos números, tres números, un centenar de números, o

incluso un millón de números, resulta imposible sumar una infinidad de números. La

teoría de las series infinitas surge del intento de salvar esta imposibilidad.

Para formar una serie infinita, empezamos considerando una sucesión infinita de

números reales a1, a2, …, an, … de término general an.

A partir de la sucesión anterior definimos una nueva sucesión de término general Sn que

corresponde a las sumas parciales:

n

n

nnn

n

n

n

n

n

n

aaaaaS

aaaaS

aaaS

aaS

1

321

3

1

3213

2

1

212

1

1

11

Definición de Serie Convergente y Divergente

Si la sucesión {Sn} de las sumas parciales converge a un límite finito S, entonces la

serie

1n

na converge. El límite S recibe el nombre de suma de la serie.

naaaS 21

Si {Sn} presenta un límite infinito, entonces la serie diverge y si no existe, la serie es

oscilante.


UNED

2

Converge (suma finita) [3]

Procedimientos de sumación

nn

n

n Slíma

1

Diverge (suma infinita) [1]

Oscilante (no tiene suma) [2]

[1] La serie:

nan

n 3211

tiene suma infinita y verifica que al ser una progresión aritmética sus sumas parciales

son:

2

1321

nnnSn

por tanto

n

nSlím

.

[2] La serie

1

11111111

n

nn

no tiene suma pues la sucesión de las sumas parciales tiene la forma:

01111

1111

011

1

4

3

2

1

S

S

S

S

Donde se observa dos puntos de acumulación para la sucesión de sumas parciales {0, 1}

lo que equivale a la no existencia del nn

Slím

, y por lo tanto de la suma de la serie. A

las series anteriores se les denomina oscilantes.


UNED

3

[3] La serie

1 2

1

2

1

4

1

2

11

nnn

es una progresión geométrica en la

que la razón 12

1r , y por tanto su suma es finita siendo por ello convergente. Su

suma (ver apéndice) viene dada por:

2

2

11

1

1

1

r

aS

Otro modo de verlo es mediante el término general de la sucesión de sumas parciales

correspondientes a una progresión geométrica:

n

n

n

nr

raaS

2

12

211

)2121(1

1

1

2

n

nSlím

Nota:

En general el análisis de las series no se puede realizar a través de la sucesión de

sus sumas parciales, ya que salvo casos muy concretos determinar su término

general supone grandes dificultades.

Criterio del término n-ésimo para la convergencia

El siguiente teorema establece que si una serie converge, el límite de su término n-

ésimo debe ser cero.

Teorema

Si la serie

1n

na es convergente entonces 0

nn

alím

Demostración

Suponga que LSlíma nn

n

n

1

.

Entonces, como nnn aSS 1 y LSlímSlím nn

nn

1

Se sigue que

nn

nn

nn

nnn

nn

alímLalímSlímaSlímSlímL

11 )(

Lo cual implica que {an} converge a cero.


UNED

4

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Veamos que la condición establecida por este teorema es una condición necesaria pero

no suficiente.

Utilizamos para ello la denominada serie armónica:

4

1

3

1

2

11

1

1 n

En esta serie se tiene que 01

nan conforme n , no obstante se demuestra a

continuación que la serie armónica es divergente.

Demostración

Para esta serie en particular resulta conveniente considerar las sumas parciales

,,,,, 3216842 SSSSS y demostrar que se convierten en crecientes

2

41

2

1

2

1

2

1

2

11

16

1

16

1

8

1

8

1

4

1

4

1

2

11

16

1

9

1

8

1

5

1

4

1

3

1

2

11

2

31

2

1

2

1

2

11

8

1

8

1

8

1

8

1

4

1

4

1

2

11

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

2

21

4

1

4

1

2

11

4

1

3

1

2

11

2

11

16

8

4

2

S

S

S

S

De igual forma, 2

5132 S ,

2

6164 S y en general ,

21

2

nS n

Esto demuestra que nS2

cuando n , con lo que {Sn}es divergente, y por tanto

la serie armónica diverge.

En conclusión la serie

1

1

n n es divergente pese a verificar la condición necesaria de

convergencia

0

1

nlímn

lo que pone de manifiesto que “No es condición

Suficiente”.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------


UNED

5

Criterio del término n-ésimo para la divergencia

Este criterio del término n-ésimo para la divergencia establece que si el límite del

término n-ésimo de una serie no converge a cero, la serie diverge.

Teorema

Si 0

nn

alím , entonces

1n

na diverge

Ejemplo

La serie

1 13

2

n n

n es una serie no convergente dado que

3

2

13

2

n

nlímn

es distinto de cero.

Consideraciones algebraicas

Proposición

Si las series

1n

na y

1n

nb

son convergentes, entonces para todo par de números reales , , la serie

1n

nn ba es convergente y

111 n

n

n

n

n

nn baba .

Demostración:

Basta tomar un número finito de términos k, para los que se verifica:

k

n

n

k

n

n

k

n

nn baba111

Tomando límites cunado k ∞ y considerando que

1n

na y

1n

nb

son convergentes se verifica la proposición.

Proposición.

Si en una serie se intercalan (suprimen) un número finito de términos cuya suma es A,

la serie obtenida tiene el mismo carácter, convergente o divergente, que la inicial.

Si San

n

1

, la nueva tiene por suma S + A (respectivamente S – A)

Demostración


UNED

6

Considerando la suma parcial correspondiente a los p primeros términos, en la que

estarán considerados todos los términos intercalados y n términos de la serie original:

np SAU

Tomando límites cuando p ∞ y considerando que también n ∞:

nn

pp

SlímAUlím

La convergencia o divergencia de la nueva serie depende de la convergencia o

divergencia de la serie original y caso de ser ésta convergente y de suma S, la nueva

serie sumará A + S.

1.2 Series de términos positivos

Definición

Diremos que la serie

1n

na de números reales es de términos positivos si an 0 para

todo número natural n. Diremos que es de términos estrictamente positivos si an > 0

para todo

n 1

Proposición

Las series de términos positivos convergen o divergen a +∞.

Demostración

La sucesión de sumas parciales será monótona creciente, si esta acotada tendrá límite y

la serie será convergente, si no esta acotada será divergente a + ∞.

1.2.1 CRITERIOS GENERALES DE COMPARACIÓN

Los criterios de comparación que vamos a estudiar a continuación, reducen el estudio de

la convergencia de una serie dada al de ciertas series de referencia, series tipo cuya

convergencia o divergencia nos es conocida.

Criterio de Comparación de Gauss

Serie mayorante


1n

na es mayorante de

1n

nb si para todo n n0 se verifica

que an bn


UNED

7

Proposición

Si la serie

1n

na es de términos positivos convergentes y mayorante que

1n

nb

entonces la serie

1n

nb es convergente.

Serie minorante


1n

na es minorante de

1n

nb si para todo n n0 se verifica que

an bn

Proposición

Si la serie

1n

na es de términos positivos, divergente y minorante de

1n

nb entonces la

serie

1n

nb es divergente.

Ejemplos

a) La serie

1

1

n n es divergente y al ser n

n para todo n 1 con < 1 será

minorante de la serie

1

1

n n; siendo

1

1

n n divergente, con < 1.

b) La serie

1

1

n n con > 1 cumplirá que:

12

2

2

11

1

2

1

8

8

4

4

2

21

8

1

4

1

4

1

4

1

4

1

2

1

2

11

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

1

1

1

01

nn

Suma que corresponde a la de una progresión geométrica (ver apéndice) de razón menor

que la unidad y por tanto convergente.


UNED

8

Así pues, la serie

1

1

n n con > 1, está mayorada por una serie convergente y por

tanto es convergente.

En resumen:

divergente

econvergent

nn 1

11

1

Criterio de comparación por cociente

Dadas las series de términos positivos

1n

na y

1n

nb para las que:

n

n

n b

alím

a) Si 0 y finito entonces las dos series tienen el mismo carácter.

b) Si = 0 y

1n

nb converge, entonces

1n

na converge.

c) Si = +∞ y

1n

nb diverge, entonces

1n

na diverge.

Ejemplo

Sea

11 24

3

nn

n

na y

11 2

1

nn

n

nb que es una progresión geométrica

convergente.(ver apéndice)

Al ser: 03

2

124

3

n

n

nlím y finito, las dos series tienen el mismo carácter y por

tanto

1n

na es convergente también.

Ejemplo

Sea

11 1

1

nn

nn

a y

11

1

nn

nn

b que es divergente.

Al ser

n

nlímn 1

1

1

, se cumple que

1n

na es divergente.


UNED

9

1.2.2 CRITERIOS PARTICULARES DE CONVERGENCIA

Los criterios que se estudian aquí derivan de los de comparación y son en esencia, casos

concretos de aquéllos. No es ahora necesario buscar series de referencia con las que

comparar la serie dada.

Criterio de D’Alembert o del cociente

Si

1n

na es una serie de términos estrictamente positivos y existe

n

n

n a

alím 1

Si < 1 la serie es convergente.

Si > 1 la serie es divergente.

Si = 1 el criterio no decide.

Criterio de Cauchy o de la raíz

Si

1n

na es una serie de términos positivos y existe

nn

nalím

Si < 1 la serie es convergente.

Si > 1 la serie es divergente.


Nota: Se recuerda que cuando existe n

n

n a

alím 1

éste coincide con n

nn

alím

, por tanto si al

aplicar el criterio de D’Alembert (resp. Cauchy) el criterio no decide tampoco decidirá

al aplicar el criterio de Cauchy (resp. D’Albembert).

Criterio logarítmico

Si

1n

na es una serie de términos estrictamente positivos y

n

alím

n

n ln

1ln

Si > 1 la serie es convergente.

Si < 1 la serie es divergente.


Criterio de Raabe


UNED

10

Si

1n

na es una serie de términos estrictamente positivos y existe

n

n

n a

anlím 11

Si > 1 la serie es convergente.

Si < 1 la serie es divergente.


1.3 EJERCICIOS RESUELTOS: SERIES TÉRMINOS POSITIVOS

Ejercicio

Estudiar la convergencia de la serie: 3125

16

256

8

27

4

4

21

Solución

Termino general: ;2 1

n

n

nn

a

n = 1, 2, 3, …

Aplicamos el Criterio de CAUCHY:

10222

1

11

1

nlím

nlím

n

n

nn

n

n

Convergente.

Ejercicio

Determinar el carácter de la serie: 12753 2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

n

Solución

Aplicamos D’Alembert

eConvergent 14

1

22

22

32

32

2

32

3

2

12

12

12

12

121

n

n

nn

n

n

n

n

nn

n

nlímlímlím

a

alím

También podamos calcular su suma

12753 2

1

2

1

2

1

2

1

2

13

n .


UNED

11

La expresión contenida en el paréntesis es una serie geométrica de razón 22

1 cuya suma

es:

3

2

23

4

2

32

1

2

11

2

1

122

1

r

aS

La suma total de la serie será: 23

23

Concluimos por tanto que la serie es convergente

Ejercicio

Estudiar el carácter de las siguiente serie: ∑

Solución:

Estudiaremos la serie por el criterio logarítmico.

la serie es, por lo tanto convergente.

Ejercicio

Determinar el carácter de la serie

!1

1

!3

1

!2

1

!1

11

n

Solución:

Aplicamos D’Alembert

0!1

!1

!

!1

!1

1!

1

1

nn

nlím

n

nlím

n

nlíma

alím

nnnn

n

n

La serie es convergente


UNED

12

Ejercicio

Estudiar el carácter de la serie de término general 122

1

nnan

Solución:

Aplicamos el criterio de D’Alembert

1264

24

1222

12

1

122

11212

1

2

2

1

nn

nnlím

nn

nnlím

nn

nnlím

a

alím

nn

nn

n

n

Dudosa por D’Alembert

Aplicamos Raabe

12264

28

264

24264

264

241

2

2

2

22

2

2

nn

nnlím

nn

nnnnnlím

nn

nnnlím

nnn

La serie es convergente

Ejercicio

Estudiar la convergencia de la serie:

78118951

4676852

1713951

1411852

951

852

1

2

nn

nn

Solución

Serie de términos positivos: Aplico el criterio de D’Alembert

eConvergent Serie164

36

7714464

286636

78)118(158951106136852

1581989514676106852

7181118951416716852

781189514676852

2

2

1

nn

nnlím

nnnnn

nnnnnlím

nnnn

nnnnlím

a

alím

n

n

nn

n

n


UNED

13

Ejercicio

Determinar el carácter de la serie nln

1

Solución:

armónica serie 11

4

1

3

1

2

1

1

1

ln

1

4ln

1

2ln

1

1ln

1

nnn

n

1 es divergente

nln

1 es divergente.

Ejercicio

Determinar el carácter de la serie 65432 2

6

2

1

2

4

2

1

2

2

2

1

Solución

De la suma de los n términos impares resulta la subserie: n2

1

Y al aplicar el Criterio de Cauchy obtenemos: 12

1

2

1

nnn

lím Convergente

Si nn

na

2par

De la suma de los n términos pares resulta la subserie: n

n

2

Aplicando el Criterio de Cauchy:

1

2

1

22 1

1

nn

n

n

nnn

nlím

nlím Convergente

Por tanto la serie es convergente al serlo las dos subseries que la integran

Ejercicio

Determinar el carácter de la serie n n

1

Solución

Aplicamos comparación


UNED

14

nnn

1

4

1

3

1

2

1

1

11

4

1

3

1

2

1

1

143

n

1 es la serie armónica que es divergente n n

1 también es divergente.

También se puede resolver por el criterio logarítmico

101

ln

ln1

ln

ln

ln

1ln

nlím

n

nnlím

n

nlím

n

alím

nn

n

n

n

n Divergente.

Ejercicio

Estudiar el carácter de la serie de término general nn

n

na

!

Solución

Aplicamos el criterio de D’Alembert

11

11

1

1

1

1!11

!1

!1

!11

1

e

n

lím

n

nlím

n

nlím

n

n

nn

nnlím

n

n

n

nlím

a

alím

nnnn

n

n

n

n

nn

n

nnn

n

n

La serie es convergente.

Ejercicio

Estudiar el carácter de las siguiente serie: ∑

√

Solución

Aplicamos el criterio logarítmico

√

la serie es divergente.

1.4 SUMA DE SERIES

Para determinados tipos de series numéricas se dispone de fórmulas que proporcionan el

valor de su suma. A continuación se detallan algunas de ellas.


UNED

15

Series aritmético-geométricas

Son las series de la forma n

n

n ba

1

en donde:

geométrica progresión

aritmética progresión11

1

1

n

n

n

rbb

dnaa

Convergencia: La analizaremos mediante la utilización del criterio de D’Alembert:

1])1([

)(1

1

1111

r

rdna

rbdnalím

ba

balím

n

n

nnn

nn

n

Luego es convergente cuando lo es la progresión geométrica es decir si r < 1, siendo

divergente en los demás casos.

Suma: Consideremos la suma de un número finito de términos:

nnnn

nnnnnn

nnnnn

nnnnn

bbdbabarS

baaabaabaabbarS

bababababaSr

bababababaS

2111

1123312211

11433221

11332211

1

1

Tomando límites cuando n ∞ y considerando que si r < 1 la serie es convergente y

por tanto el 0

nnn

balím

r

rbdba

r

bdbarS

1101 1

112

11

Por tanto:

12

11

1

1

.

111b

r

rd

r

a

r

rda

r

bS

Ejemplo

Suma la serie

1 3

1

nn

n

Solución:

Se trata de una serie aritmético-geométrica en la que:

3

1,

3

1,1,1 rybdna

nnn

Convergencia: 13

1r serie aritmético-geométrica convergente.

Suma: 4

5

3

1.

3

11

3

1.1

3

11

2

1

.

1 212

1

b

r

rd

r

aS


UNED

16

Ejemplo

Suma la serie:

1 2nn

n

Solución:

Puede observarse que la serie propuesta es aritmético-geométrica pues es el termino

enésimo de una progresión aritmética de diferencia 1 y primer término igual a 1; además

es el termino enésimo de una progresión geométrica de razón

y primer termino

igual a

.

Convergencia: 12

1r serie aritmético-geométrica convergente

Así pues, la suma de la serie resulta: ∑

(

(

) )

Series hipergeométricas

Son aquellas series

1n

na en que la razón de un sumando respecto al anterior, en vez de

ser constante, como ocurre en las series geométricas, vale:

n

n

a

a

n

n 1 (1)

Nota:

Si α = 0, la serie hipergeométrica se transforma en geométrica al quedar

n

n

a

a 1

(razón constante). En consecuencia, una serie geométrica es un caso particular de una

serie hipergeométrica.

Convergencia:

Criterio de D’Alembert: 11

n

nlím

a

alím

nn

n

n no decide

Criterio de Raabe:

111

n

nnlím

a

anlím

nn

n

n

Luego la serie hipergeométrica será convergente si verifica que: 1

Suma:


UNED

17

Considerando (1) en la forma an+1 (·n + ) = an( · n + ), igualdad que ponemos de la

forma:

11 ..)(.)1( nnnn aanaan

Con lo que dando a” n” los valores 1,2,3,…,n-1 se tendrá:

nnnn aanaan

aaaan

aaaan

aaan

..)1().(.)2(

................

..3.23

..2.2

..1

11

4433

3322

221

Sumando miembro a miembro:

)()1()2(...2

))(()2(...2

1132

132

aSananaa

aSanaa

nnn

nnn

De donde

1.....)( aaanaaS nnnnn

Con lo que resulta:

0....)( 1 aaanaS nnnn

Y por consiguiente:

1.)( aan

S nn

Como

1

n

nnn

aSlím , y dado que los límites de na y de

n

ana n

n 1 son necesariamente

nulos (si alguno de ellos no lo fuese la serie sería divergente), resulta:

1lima

SS nn

Ejemplo


UNED

18

Sumar la serie:

21

1

543

1

432

1

321

1

nnn

La serie propuesta es hipergeométrica pues:

3

21

1

321

1

21

1

1

1

n

n

nnn

nnn

a

a

nnnn n

n

Con = 1 ; = 0 ; = 3

Convergencia:

13

convergente.

Suma:

4

11

aS

Ejemplo

Estúdiese el carácter y súmese, en caso de convergencia, la siguiente serie:

∑

( )( )

Solución:

Si es el término general de la serie, calculamos el cociente

( )( )

( )( )

y tenemos una serie hipergeométrica con que converge, puesto

que


UNED

19

Para una serie de este tipo la suma viene dada por

1a

S

(

)

1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Estudiar el carácter de la serie ∑ de término general:

( )( ) ( )

Solución: Por el criterio del cociente si a<1, la serie es divergente; si a>1, la

serie es convergente. Cuando a=1 sustituimos el vslor en ls serie dada resultando

divergente.

2. Estudiar el carácter de la serie ∑ de término general:

( )( )

Solución: Por el criterio de D’Alembert es divergente.

3. Estudiar el carácter de la serie ∑ de término general (

) .

Solución: Por el criterio de Cauchy es convergente.

4. Estudiar el carácter de la serie ∑ de término general

( )

Solución: Por el criterio logarítmico es convergente.

5 Estudiar el carácter de la serie ∑ de termino general

Solución: Por el criterio de comparación con la serie armónica, es divergente.

6 Hallar el mayor valor entero que debe tomar para que la serie ∑ de termino

general

( )( )( ) sea convergente.


UNED

20

Solución: Por el criterio logarítmico se concluye que el mayor valor entero que

hace la serie convergente es .

7 Sumar la serie

Solución: Serie aritmético-geométrica con suma: S=2

8 Sumar la serie

Solución: Serie hipergeométrica con suma: S=8

9 Sumar la serie 7

12

1

nn

n

Solución: Serie aritmático-geométrica con suma: S= 5/9

10 Estudiar el carácter y hallar la suma de la serie: ∑

.

Solución: Serie aritmático-geométrica. Por el criterio de D’Alembert la serie es

convergente. Su suma es: S=


UNED

21

APÉNDICE

Serie aritmética

Una serie cuyos términos son de la forma:

dnadaa

dadaa

daa

aa

nn

1

2

11

122

12

11

Esta serie es divergente siempre, salvo el caso trivial a1 = 0, d = 0.

Suma

Para sumar un número finito de términos procederemos del modo siguiente:

nnnnnn

nnnn

nnnn

aanaaaaaaaaS

aaaaaaS

aaaaaaS

1121121

12321

12321

2

2

1 n

n

aanS

Serie geométrica

Una serie cuyos términos son de la forma:


UNED

22

1

11

2

122

12

11

n

nn raraa

raraa

raa

aa

Donde r recibe el nombre de razón de la serie geométrica

En definitiva se trata de la serie

1

1

1

n

nra que al aplicarla el criterio de D’Alambert

11

1

1

rra

ralím

n

n

n converge.

Por tanto es convergente para el caso r < 1, siendo divergente en los demás casos.

Suma

La suma de un número finito de términos es: nnn aaaaaS 1321

Si a cada uno de los componentes de la ecuación anterior lo multiplicamos por la razón

r resulta:

nnn rarararararS 1321

Restando la segunda ecuación de la primera resulta finalmente:

nnn

nnn

nnn

raaraaSr

rarararararS

aaaaaS

11

1321

1321

001

De modo que la suma parcial n-ésima será r

raaS n

n

1

1

Cuando r < 1 la serie es convergente, verificando por tanto la condición necesaria de

convergencia.

Pasando al límite se obtiene finalmente-;

r

aSlímS n

n

1

1 siempre que r < 1.


UNED

23

Ejemplo

Obtener la suma de la serie

0 5

43

nn

nn

Solución

Descomponiendo en la forma:

0 00 5

4

5

3

5

43

n nn

n

n

n

nn

nn

S

Se obtienen dos series geométricas:

0 5

3

nn

n

15

3r convergente

2

5

5

31

110

Aa

0 5

4

nn

n

15

4r convergente 5

5

41

110

Bb

Obteniéndose la suma de la serie pedida: 2

155

2

5 BAS


UNED

24

CAPÍTULO 2: INTEGRAL INDEFINIDA

La integración tiene dos interpretaciones distintas; es un procedimiento inverso de la

diferenciación y es un método de determinar el área debajo de una curva. Cada una de

estas interpretaciones tiene numerosas aplicaciones en economía.

Como una operación, la integración es la inversa de la diferenciación. Así, si una

función es diferenciada y luego se integra la función obtenida, el resultado es la función

original.

Como se discute posteriormente, esto es exactamente verdadero sólo si se especifica en

alguna forma la constante de integración; de otra manera el resultado puede diferir de la

función original por una constante.

En este contexto, la integración es el proceso de hallar una función cuando se conoce su

derivada (o razón de cambio).

También puede definirse la integración como el proceso de hallar el valor límite de una

suma de términos cuando el número de términos crece infinitamente y el valor numérico

de cada término se aproxima a cero.

Este es el contexto en que la integración se interpreta como la determinación del área

bajo una curva. En efecto, el cálculo integral se desarrolló como el propósito de evaluar

áreas, suponiéndolas divididas en un número infinito de partes infinitesimalmente

pequeñas, cuya suma es el área requerida

Los casos más sencillos de integración se llevan a cabo invirtiendo las correspondientes

formulas de la diferenciación; los casos más complicados se manejan utilizando tablas

de la forma estándar, con varios procesos de sustitución y, si es necesario, con métodos

numéricos (aproximación).


UNED

25

2.1 Integración Inmediata

Si )(xF es una integral con respecto a x de la función )(xf , la relación entre ellas se

expresa: CxFdxxf )()(

Nótese que si )(xF es una integral de )(xf con respecto a x, entonces )(xF +C es

también dicha integral, en la cual C es una constante cualquiera, puesto que la derivada

de cualquier constante es cero.

Geométricamente CxFy )( , representa una familia de curvas mutuamente

paralelas.

Así, esta familia de curvas tiene la propiedad de que, dado cierto punto ),( 00 yx existe

una y sólo una curva de la familia, que pasa por este punto particular que específica el

valor de C, es decir C = y0 – F(x0)

Con C determinada en esta forma, se obtiene una función definida que expresa a y en

función de x, es decir, la constante de integración se determina únicamente si se

especifica un punto por el cual pase la curva que representa a la integral.

Esta especificación se conoce como una condición inicial, porque la evaluación de la

constante de integración se hizo primeramente en conexión con problemas de mecánica,

en los cuales se especifican velocidades o posiciones iniciales de los cuerpos en

movimiento.

Ejemplo:

Hallar la solución general de la ecuación 2

1)(

xxf

Y calcular la solución particular que satisface la condición inicial F(1) = 2.

Solución: Para hallar la solución general, tenemos

C

xC

xdxxdx

xdxxf

1

1

1)(

12

2


UNED

26

Ahora bien, puesto que F(1) = 2, escribimos 321

1 CCxF

Por tanto, la solución particular es 31

xxF

La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede ser vista por el hecho de

que mediante la sustitución de F´(x) por f(x) en esta definición, obtenemos

CxFdxxF )( La integración es la inversa de la derivación

Además, si CxFdxxf , entonces

xfxF

CxFdx

ddxxf

dx

d

'

La derivación es la inversa de la integración

Esta característica de inversas nos permite obtener fórmulas de integración directamente

a partir de las fórmulas de derivación.

A continuación probamos dos teoremas que simplificaran el álgebra de integración.

TEOREMA 1. La integral del producto de una constante por una función de x es igual

a la constante por la integral de la función.

Esto es, si C es constante.

dxxfCdxxfC

Como resultado de este teorema, se sigue que podemos sacar cualquier constante

multiplicativa del interior del signo de integral.

TEOREMA 2. La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus

integrales.

dxxgdxxfdxxgxf )(


UNED

27

Este resultado puede extenderse a la diferencia de dos funciones o a cualquier suma

algebraica de un número finito de dos funciones.

Expresamos a continuación una tabla de integrales inmediatas, la cual se obtiene

recordando las derivadas de las funciones de uso más generalizado.

Esta tabla utilizada de derecha a izquierda puede servir como una tabla de derivadas

como consecuencia del mismo concepto de integral indefinida.

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

Tipos generales Tipos particulares

I. Tipo potencial

1 ··· 1 nCxfdxxfxfn nn

1 1

·1

nCn

xdxx

nn

II. Tipo exponencial

1

0 ··ln·

a

aCadxaaxf xfxf

Cedxexf xfxf ··

III. Tipo logarítmico

0 ln·

xfCxfdxxf

xf

Cxdxx ln·1


UNED

28

Tipos generales Tipos particulares

IV. Tipo funciones directas trigonométricas

Cxfdxxfxf sen ··cos

Cxdxx sen ·cos

Cxfdxxfxf cos·sen · Cxdxx cos·sen

Cxfxf

dxxf

tg

cos

·2

Cxx

dx tg

cos 2

Cxfxf

dxxf

cotg

sen

·2

Cxx

dx cotg

sen 2

Cxfxf

dxxfxf

cosec

sen

·cos·2

Cxx

dxx cosec

sen

· cos2

V. Tipo funciones inversas trigonométricas

Cxf

xf

dxxf

sen arc

1

·'

2

Cxx

dx

sen arc

1 2

Cxf

xf

dxxf

cos arc

1

·'

2 Cx

x

dx

cos arc

1 2

Cxfxf

dxxf

tgarc

1

·2

Cxx

dx

tgarc

1 2

Nota: Las integrales pertenecientes a la columna que hemos denominado Tipos

particulares son los mismos tipos generales, donde f(x) = x, siendo su derivada

1)( xf

A continuación analizamos con más detenimiento la manera de resolver los tres

primeros tipos de integrales inmediatas presentadas en la tabla anterior.

2.1.1 INTEGRALES “INMEDIATAS” DE TIPO POTENCIAL

Cuando bajo el símbolo integral tengamos una función elevada a una constante, si lo

que la multiplica es al menos en su parte variable la derivada de la función, se podrá

ajustar con constantes, obteniéndose una integral inmediata de tipo potencial.


UNED

29

Ejemplo:

dxxx ·86 31

2

Para asimilar la integral propuesta al tipo de inmediata potencial:

cfdxfxfn n

x

n

x

1··

tiene que ser posible realizar la siguiente identificación:

31

21 86 xf n

x

de donde se tiene que f(x)=6x2+8

y por tanto f’(x)=12x,

por otro lado tenemos que 3

2

3

11 nn , por tanto necesitamos tener bajo el

signo integral la expresión:

dxxx

nxf

xfn

1

31

2

'

86 · 12 · 3

2

Así pues operando con constantes en la integral del ejemplo tenemos:

cxdxxxdxxxnxf

32

2

potencial tipoinmediata Integral

31

231

2 8624

38612·

3

2

12

1·

2

386

2.1.2 INTEGRALES “INMEDIATAS” DE TIPO EXPONENCIAL

Cuando bajo el símbolo integral tengamos una constante elevada a una función, si lo

que la multiplica es al menos en su parte variable la derivada de la función, se podrá

ajustar con constantes, obteniéndose una integral inmediata de tipo exponencial.

Ejemplo:


UNED

30

Calcular dxx x 33 4

5

Para asimilar la integral propuesta al tipo inmediata exponencial:

caadxaxf xfxf ln

necesitamos que: f(x) = x4 + 3, por tanto 34)( xxf

De este modo, operando con constantes en la integral tenemos:

cdxxxdxx xx

334333 44

5·5ln4

15·ln5·4

5ln

1·

4

15

2.1.3 INTEGRALES “INMEDIATAS” DE TIPO LOGARÍTMICO

Cuando bajo el símbolo integral tengamos un cociente, si el numerador es al menos

en su parte variable la derivada del denominador, se podrá ajustar con constantes,

obteniéndose una integral inmediata de tipo logarítmico.

Ejemplo

Calcular dxe

ex

x

·31

Solución:

Para asimilar la integral propuesta al tipo de inmediata logarítmica:

cxfdxxf

xf

ln·

Tiene que cumplirse que la derivada del denominador se encuentre en el numerador

f(x) = 1-3ex, y xexf 3)(

Por tanto ajustando con constantes ((-3) en este caso) en la integral dada.


UNED

31

Cedxe

edx

e

e x

x

x

x

x

31ln3

1

31

3

3

1·

31

Son también integrales “inmediatas” de tipo logarítmico aquellas que tienen la forma:

xf

xf

dx

·'

1

ya que son equivalentes a:

dxxf

xf·

'

Ejemplo:

Calcular xx

dx

ln

Solución:

cxx

x

dx

xx

dxlnln

lnln

Donde:

xxfx

xfxxf ´

1,

1´,ln

2.1.4 INTEGRALES “INMEDIATAS” DE TIPO INVERSA Y DIRECTA TRIGONOMÉTRICA”

Los tipos de integrales de “funciones inversas trigonométricas” y funciones directas

trigonométricas, no se analiza de forma detallada, la resolución de las que aquí

trataremos, es una extensión directa de los modelos anteriores, respecto a lo que a la

manera de preparar la integral dada se refiere (mediante el empleo de constantes) para

su posterior resolución.


UNED

32

Ejemplo:

Función Inversa trigonométrica 461 x

xdx

Para asimilar la integral propuesta al tipo de inversa trigonométrica:

Cxf

xf

dxxf

sen arc

1

·´

2

necesitamos:

42 6xxf , por tanto 26xxf y finalmente xxf ·62´

De este modo operando con constantes en la integral dada:

Cx

x

dxx

x

xdx 2

44·6arcsen

62

1

61

62

62

1

61

2.2 Aplicaciones Económicas

En economía la variación de una cantidad “y” con respecto a otra cantidad “x” se

analiza normalmente en términos de la variación marginal. Así pues de igual forma en

que la variación marginal puede obtenerse diferenciando una función, dicha función

(exceptuando una constante) puede obtenerse al integrar su variación marginal.

Renta nacional, consumo y ahorros:

Si la función consumo viene dada por: c = f(x)

en la cual c es el consumo nacional total y x es la renta nacional total, entonces la

propensión marginal a consumir es la derivada de la función consumo con respecto a x.

xfdx

dc'

y, suponiendo que x = c+s, donde s son los ahorros, entonces la propensión marginal a

ahorrar es

dx

dc

dx

ds1

El consumo nacional total es la integral con respecto a x de la propensión marginal a

consumir,


UNED

33

Cxfdxxfc '

Debe especificarse una condición inicial para obtener una única función de consumo al

integrar la correspondiente propensión marginal a consumir.

Ejemplo:

La propensión marginal a consumir en billones de euros es: xdx

dc 2.07.0

Cuando la renta es cero, el consumo es 8 billones de euros. Hallar la función de

consumo.

Solución

La función de consumo será: Cxxdxx

dxdx

dcc

4.07.0

2.07.0

Si x = 0, c = 8, se deduce C = 8 y se tienen xxc 4.07.08

2.3 Integración por cambio de variable

No todas las integrales pueden evaluarse en forma directa usando las integrales estándar

expuestas en la sección previa. Sin embargo, muchas veces la integral dada puede

reducirse a una integral estándar ya conocida mediante un cambio en la variable de

integración. Tal método se conoce como método de sustitución o cambio de variable.

Según lo dicho hasta aquí, se trata de calcular la integral: dxxgI

la cual resulta ser una integral complicada.

Buscamos por tanto una función u = u(x) tal que:

g(x)=fu(x)u’(x) para una función f.

Entonces si F es una primitiva de f, tenemos por la regla de la cadena

xuxufxuFdx

d'

Por tanto Fu(x) es la buscada primitiva de g, siendo:


UNED

34

CxuFdxxuFdx

ddxxuxufdxxgI ' (1)

Si tenemos en cuenta que al ser u = u(x), entonces du = u’(x) dx la ecuación se puede

escribir:

CxuFCuFduuFduufdxxgI ' (2)

En principio, según queda reflejado en la ecuación (2), se trata de encontrar una función

u = u(x) de manera que la función f(u) que aparece dentro de la integral tenga una

primitiva F conocida.

¿Cómo se encuentra esa función u = u(x) ó cambio de variable adecuado?

El método de sustitución, presenta una gran variedad de sustituciones posibles, según el

tipo de función que aparezca bajo el signo integral, no obstante la sustitución debe ser la

recomendada para el tipo concreto, dado que el error al utilizar una sustitución

inadecuada conducirá frecuentemente a integrales de incluso mayor dificultad que la

propia propuesta.

La expresión R que aparece bajo el signo integral en los distintos tipos de integrales que

propondremos a continuación para su sustitución, indica función racional de los

elementos que le preceden bajo el paréntesis, es decir, que estos están relacionados entre

sí por las operaciones racionales: adición, sustracción, multiplicación y división.

TABLA DE LOS TIPOS DE SUSTITUCIÓN

Tipo de integral Sustitución Cálculo de elementos para sustitución

dxaR x · ax=u a

x = u ln a

x = ln u x·ln a = ln u

ó u

ax ·ln

ln

1

uadu

dx 1·

ln

1

dxaxR x ·, du

uadx ·

1·

ln

1

dxeR x · ex = u e

x = u ln e

x = ln u x·ln e = ln u

ó


UNED

35

dxexR x ·, x = ln u

udu

dx 1 , dx = du/u

dxxxR ·ln, ln x = u ln x = u x = e

u

uedu

dx ,dx = e

u·du

dxxxR · tgarc , arc tg x = u u = tg u du

udx ·

cos

12

dxxxR ·sen arc, arc sen x = u x = sen u dx = cos u·du

dxxxR · cos arc, arc cos x = u x = cos u dx = - sen u·du

En realidad, hablamos propiamente de un cambio de variable cuando trabajamos con

aplicaciones biyectivas es decir, cuando tenemos x = f(u) y u =g(x), de manera que a

cada x le corresponde un único u y a cada u un único x.

Veamos a continuación algunos ejemplos resueltos mediante este método de cambio

variable.

Ejemplo:

Calcular

dxe

ex

x

·1 2

Solución:

Hacemos el cambio de variable

duu

dxuxue x 1ln

Resulta por tanto

Cuuduu

duu

duu

duuu

udx

e

ex

x

1ln

2

11ln

2

1

1

21

1

21

1

11·

11 222

Deshaciendo finalmente el cambio de variable

Ceedxe

e xx

x

x

1ln2

11ln

2

1

1 2


UNED

36

Ejemplo:

Calcular

dxxx ln1

1

Solución:

Hacemos el cambio de variable: duedxexux uu ln

Resulta por tanto:

CxCudu

udue

uedx

xx

u

u

ln1ln1ln1

1

1

1

ln1

1

Ejemplo:

Calcular 4

2sen arc

2x

dxx

Solución:

Hacemos el cambio de variable: ux

2sen arc x =2 sen u duudx cos2

Nota:

Esto es así, debido a que u = arc sen x si y sólo si sen u = x. En el caso que nos

ocupa tendremos por tanto u

x

2

sen arc si y solo sí ux

sen 2

es decir x = 2 sen u.

Resulta por tanto:

Cx

Cu

ududuu

uu

u

uduu

x

dxx

22

22 2sen arc

2

1

2cos

cos

1sen2

cos2·

4

2sen arc


UNED

37

Nota:

Adviértase que el denominador de la integral inicial, una vez realizado el cambio de variable se

transforma en:

12

sen242

sen442

uux

2.4 Integración por partes

Cuando una expresión que incluye productos o logaritmos no puede evaluarse

directamente con el uso de formas “estándar”, una de las técnicas más útiles para

transformarla en una forma “estándar”, es la fórmula de integración por partes, la cual

se basa en la inversión de la fórmula para la derivación de un producto.

Si u y v son funciones de x (u=f(x), v=g(x)), por la fórmula de la diferencial de un

producto de funciones, tendremos:

d(u·v) = u·dv + v·du, despejando u·dv

u·dv =d(u·v) - v·du, integrando en ambos miembros.

duvvuddvu )(

con lo que nos quedará la fórmula de integración por partes:

duvvudvu ···

Donde:

u = f(x) dxxfduxfdx

du· ,

v = g(x) dxxgdvxgdx

dv·' ,'

Sustituyendo esta forma de expresión en la fórmula de integración por partes

anteriormente hallada, nos quedará en la forma siguiente:

dxxfxgxgxfdxxgxf ····'·


UNED

38

El método consiste fundamentalmente en descomponer la integral original en producto

de dos funciones, de tal forma que al aplicar la fórmula, la nueva integral sea más

sencilla que la original.

A continuación damos unos métodos generales que sirven para descomponer la integral

dada en productos de dos funciones.

Métodos generales de funciones integrables por partes.

Partimos del supuesto de que cualquier función se puede expresar como producto de dos

que denominaremos u = f(x) y v = g(x).

De esta manera tenemos: dxxgxfudv '·

Por tanto siempre que bajo el símbolo integral aparezca alguno de los siguientes casos

se procederá a realizar las identificaciones que a continuación se indican.

CASO 1

Cuando bajo el símbolo integral tengamos el producto de una función trigonométrica

inversa multiplicada por la unidad o cualquier constante, entonces:

Función trigonométrica inversa f(x) f(x) = u

La unidad o cualquier constante g gdx = dv

Ejemplo:

Calcular la siguiente integral dxx· arctg

Solución:

xvdxdvdxdv

x

dxdu

xdx

duxu

g

1caso esteen que ya

22 11

1arctg

En este caso nos limitamos a escribir g en lugar de g(x) puesto que la unidad o cualquier

constante, no depende de la variable x.

De este modo tenemos:


UNED

39

Cxxxx

xdxxx

x

dxxxxdxx

2

221ln

2

1 arctg

1

2

2

1 arctg

1 arctg · arctg

CASO 2

Cuando bajo el símbolo integral tengamos el producto de una función trigonométrica

inversa o función logarítmica multiplicada por un polinomio o función racional en x,

entonces:

Función trigonométrica inversa o función logarítmica f(x) f(x) = u

Polinomio en x o función racional en x g(x) g(x)dx = dv

Ejemplo:

Calcular xdxx ln

Solución: Se eligen convenientemente u y dv.:

2

1ln

2xvxdxdvxdxdv

x

dxdu

xdx

duxu

Por tanto,

Cx

xx

dxx

xx

dxx

xx

xxdxx 4

ln22

ln2

1

2ln

2ln

22222

Ejemplo:

Calcular xdxx arctg



UNED

40

2

11

1 arctg

2

22

xvxdxdvxdxdv

x

dxdu

xdx

duxu

Por tanto,

dxx

xx

x

x

dxxx

xxdxx

racionalfunción

2

22

2

22

12

1 arctg

212 arctg

2 arctg

Al ser el grado del numerador de la función racional a integrar, igual que el grado del

numerador, se realiza la división

donde de

22

2

1

11

1 xx

x

De este modo

Cxxxx

x

dxdxx

xxdxx

artg

2

1 arctg

212

1·1

2

1 arctg

2 arctg

2

2

2

CASO 3

Cuando bajo el símbolo integral tengamos el producto de una función trigonométrica o

función exponencial multiplicada por un polinomio o función racional en x, entonces:

Polinomio en x o función racional en x f(x) f(x) = u

Función trigonométrica o función exponencial g(x) g(x)dx = dv

Ejemplo:

Calcular xdxx sen 2



UNED

41

xvxdxdvxdxdv

xdxduxdx

duxu

cossen sen

222

por tanto

xdxxxxxdxxxxxdxx cos2 cos 2 cos cos sen 222

La última integral la resolvemos aplicando de nuevo la integración por partes.

Llamando

xvxdxdvxdxdv

dxdudx

duxu

sen coscos

1

entonces

Cxxxxdxxxxdxx cossen sen sen cos

Así pues finalmente: Cxxxxxxdxx cossen 2cossen 22

CASO 4

Cuando bajo el símbolo integral tengamos el producto de una función exponencial

multiplicada por una función trigonométrica, entonces:

Función exponencial f(x) f(x) = u

Función trigonométrica g(x) g(x)dx = dv

También se puede proceder asignando a la función exponencial la función g(x), y a la

función trigonométrica la función f(x).

Por cualquiera de los dos procedimientos saldrá una integral en la que habrá que

integrar por partes nuevamente, en esta segunda integración deberá aplicarse el mismo

procedimiento que se aplicó en la primera.

Es habitual que dentro de esta clase de integrales se presenten los denominados

Integrales Cíclicas, que son aquellos en lo que mediante la integración por partes, se

llega nuevamente a la integral original la cual se pasará al primer miembro, despejando

finalmente el resultado.


UNED

42

Ejemplo:

Calcular xdxe xsen

Solución:

xvxdxdvxdxdv

dxeduedx

dueu xxx

cossen sen

por tanto

dxxexexdxe xxx coscossen

La última integral la resolvemos aplicando nuevamente la integración por partes.

Llamando

xvxdxdvxdxdv

dxeduedx

dueu xxx

sen cos cos

Así pues

dxxexedxxe xxx sen sen cos

Sustituyendo este resultado en la integral inicial:

dxxexexexdxe xxxx sen sen cossen

pasando esta última integral al primer miembro

xexexdxe xxx sen cossen 2

de donde la integral pedida:

Cxexexdxe xxx sen cos2

1sen


UNED

43

2.5 Integración de funciones racionales

Una función racional, es como sabemos una función de la forma xQ

xPxf , en donde

P(x) y Q(x) son polinomios.

Se trata por tanto de hallar la integral

dxxQ

xP .

Se puede suponer que el grado del polinomio P(x) es menor que el grado de Q(x), ya

que si no fuera así basta dividir P(x) por Q(x), obteniéndose

xCxR

xQxP

De donde P(x) = Q(x) ·C(x) + R(x) dividiendo ambos miembros por Q(x) tenemos

finalmente:

xQ

xRxC

xQ

xP

y la integral se puede escribir

dx

xQ

xRdxxCdx

xQ

xRxCdx

xQ

xP

teniendo la seguridad de que el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x).

Según sean las raíces de Q(x) = 0 se distinguirán varios casos:

CASO 1: Raíces Reales Simples

Es decir,

naxaxaxxQ 21

siendo las ai distintas.

En este caso se puede descomponer xQ

xP en la forma,


UNED

44

n

n

ax

A

ax

A

ax

A

xQ

xP

2

2

1

1

en donde A1, A2, ..., An son números reales que se pueden calcular sumando las

fracciones anteriores e identificando los coeficientes de las potencias de igual grado de

los numeradores del primer y segundo miembro.

Así pues una vez que se hayan determinado las Ai, nuestra integral es la suma de n

integrales inmediatas:

nn

n

n

axAaxAaxA

dxax

A

ax

A

ax

Adx

xQ

xP

lnlnln 2211

2

2

1

1

Ejemplo:

Calcular

dx

xx

xxI

65

122

3

Solución:

Puesto que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se efectúa la

división,

65

29215

65

1222

3

xx

xx

xx

xx

por tanto la integral inicial, se transforma en:

dx

xx

xx

xdx

xx

xx

32

29215

265

29215

2

2

Descomponiendo en fracciones simples:

32

23

32

23

3232

2921

2121

2121

xx

AAxAA

xx

xAxA

x

A

x

A

xx

x

Identificando coeficientes:


UNED

45

34 ,132923

2121

21

21

AA

AA

AA

y

dx

xdx

xdx

xx

x

3

34

2

13

23

2921

luego:

Cxxxx

I 3·ln342·ln1355

2

CASO 2: Raíces Reales Múltiples

Si el polinomio Q(x) tiene una raíz a, de orden de multiplicidad “m”, además de

distintas raíces sencillas b1, ..., bn, esto es:

n

mbxbxbxaxxQ 21

entonces xQ

xP se descompone como sigue:

n

n

m

m

bx

B

bx

B

bx

B

ax

A

ax

A

ax

A

xQ

xP

2

2

1

1

2

21

los coeficientes A1, ..., Am , B1,..., Bn se hallan del modo antes expuesto.

Ejemplo:

Calcular

112

xx

dxI

Solución:


UNED

46

11

2

11

1111

11111

1

2

12112

2

11

2

2

121

1

2

21

2

xx

BAAxBAxBA

xx

xBxAxxA

x

B

x

A

x

A

xx

Se identifican coeficientes:

4

1 ,

2

1 ,

4

1

1

02

0

121

121

12

11

BAA

BAA

BA

BA

luego:

Cxx

x

dxx

dxx

dxx

I

1ln4

1

1

1·

2

11ln

4

1

1

4

1

1

2

1

1

4

1

2

CASO 3: Factor Cuadrático

Si en el denominador Q(x) aparece un factor de la forma ax2 + bx + c, que no posee

raíces reales, se toma una fracción de la forma:

cbxax

BAx

2

y se calculan A y B de modo análogo a como se hizo anteriormente.

Ejemplo:

Calcular 56 24 xx

xdx

Solución:

dx

x

BxA

x

BxA

xx

xdx

xx

xdx

1515

56 2

22

2

11

2224


UNED

47

2121

2

21

3

21

2

22

2

11

55

51

BBxAAxBBxAA

xBxAxBxAx

por lo tanto

05

15

0

0

21

21

21

21

BB

AA

BB

AA

0

4

1

4

1

21

1

2

BB

A

A

finalmente,

Cx

x

Cxx

x

xdx

x

xdx

xx

xdx

5

1ln

8

1

1ln8

15ln

8

1

14

1

54

1

15

2

2

22

2222

CASO 4: Factor Cuadrático Repetido

Si en Q(x) aparece un factor (ax2 + bx + c)

r , donde ax

2 + bx + c, no posee raíces reales,

se toma una suma de fracciones de la forma:

rrr

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

2

1

22

22

2

11

Ejemplo:

Calcular

dx

x

xx22

3

2

138

Solución: Incluimos una fracción simple por cada potencia de (x2 + 2), y

expresamos

22

22

2

11

22

3

222

138

x

BxA

x

BxA

x

xx

Multiplicando por el mínimo común denominador, (x2 + 2), llegamos a la ecuación

básica

22

2

11

3 2138 BxAxBxAxx


UNED

48

Desarrollando la ecuación básica y agrupando términos del mismo orden, tenemos

2121

2

1

3

1

3

221

2

11

3

1

3

22138

22138

BBxAAxBxAx

Agrupando

BxABxBxAxAxx

Ahora podemos igualar los coeficientes de los términos del mismo grado a ambos lados

de la igualdad.

8 = A1

13 = 2 A1 + A2

2121

2

1

3

1

23 2201308 BBxAAxBxAxxx

0 = 2B1 + B2

0 = B1

Introduciendo los valores ya conocidos A1 = 8 y B1 = 0, se tiene,

0 0220

382213

2221

2221

BBBB

AAAA

Finalmente concluimos que

Cx

x

dxx

x

x

xdx

x

xx

22

32ln4

2

3

2

8

2

138

2

2

22222

3

MÉTODO DE HERMITE

El cálculo de una integral racional en x, dxxQ

xP· , en el caso de que la ecuación

Q(x) = 0 admita parejas de soluciones complejas múltiples es muy laborioso utilizando

la técnica de descomposición en fracciones simples ya vista.

En estos casos es aconsejable recurrir al método de HERMITE que a continuación

describimos:


UNED

49

Tratamos de calcular I = dxxQ

xP· , suponemos que ya el grado del polinomio

denominador es mayor que el polinomio numerador.

El integrando se descompone de la forma:

xC

xc

xQ

xq

dx

d

xQ

xP

*

Donde:

Q*(x) es el máximo común divisor de Q(x) y su derivada Q’(x).

El polinomio q(x), con coeficientes indeterminados, tiene su grado inferior en una

unidad a Q*(x).

Por último, C(x) = Q(x) / Q*(x), y c(x) es un polinomio con coeficientes indeterminados

y grado inferior en una unidad a C(x).

Se deriva q(x) / Q*(x), se hallan los coeficientes indeterminados y se obtiene:

dxxC

xc

xQ

xqdx

xQ

xP

*

El problema se reduce al cálculo de esta última integral.

Ejemplo:

Calcular

229 x

dxI

Solución:

El denominador no tiene raíces reales. Se va a utilizar el método de Hermite:

2

2

22

9',...*

2·9·2'

9

xxQxQdcmxQ

xxxQ

xxQ

Por tanto:

2222 999

1

x

DCx

x

BAx

dx

d

x


UNED

50

Derivando 29 x

BAx

e identificando coeficientes:

0 ,18

1

199

092

0

0

CBDA

DA

CB

DA

C

Resultando:

C

x

x

x

x

dx

x

xI

3

tgarc54

1

918918

1

918 222

2.6 Ejercicios resueltos.

1. Calcular: ∫

( )

Solución:

∫

( ) ∫ ( )

∫ ( )

( )

( )

2. Resolver: ∫

Solución:

Integral por partes, para solucionarla realizamos la identificación:

{ ( )

}

Obteniéndose:


UNED

51

∫

∫

∫

3. Calcular ∫

Solución:


{

}

Obteniéndose:

∫

∫

∫

Nuevamente necesitamos resolver una integral por partes. Realizamos la identificación:

{

}

[

∫ ]

[

]

4. Calcular: ∫

Solución:



UNED

52

{

}

Obteniéndose:

∫

∫

∫

Nuevamente necesitamos resolver una integral por partes. Realizamos la identificación:

{

}

[

∫

( ) ]

∫

Esta última integral por resolver es igual a la dada en el enunciado, de este modo

si la denominamos con la letra A = ∫ resulta:

∫

[

]

5. Resolver: ∫

Solución:


UNED

53

Haciendo el cambio de variable:

resulta que:

∫

∫

∫

∫

⁄

∫

⁄

| |

| |

| |

| |

6. Resuélvase: ∫

√

Solución:

∫

√

√

√

Hacemos el cambio:

{

}

∫

√

∫

√

√

√ (

√ )

√

√ (

√ )

2.7 Ejercicios propuestos.

1. Calcule ∫

Solución: | |

( )

( )


UNED

54

2. Calcule ∫

Solución:

3. Resolver: ∫

Solución:

*

(

)+

4. Calcular: ∫

Solución:

( )

5. Calcular: ∫

Solución: ( ) [ ]

6. Calcular: ∫

Solución:

( )

7. Calcular ∫

Solución: (

)

8. Resolver: ∫

Solución: ( )

9. Calcular: ∫

Solución:

10. Calcule: ∫

√

Solución: ⁄

√


UNED

55

APÉNDICE

Determinación de raíces racionales de una función polinomial

Una función polinomial no puede tener más raíces que el valor de su grado.

La demostración se basa en el teorema del factor. Si r es una raíz de una función

polinomial f , entonces f ( r ) = 0 y , x - r es un factor de f( x) . Por tanto, cada

raíz corresponde a un factor de grado uno.

El siguiente teorema, llamado Regla de los signos de Descartes, proporciona

información acerca del número y localización de las raíces de una función polinomial,

de modo que sepamos dónde buscarlas.

Esta regla supone que el polinomio está escrito en potencias descendentes de x, y

necesita que contemos el número de variaciones de signo de los coeficientes de

f ( x) y f ( -x) .

Ejemplo:

La siguiente función polinomial tiene dos variaciones en el signo de los coeficientes:

1234312343)( 247247

xxxxxxxxxfaa

Adviértase que ignoramos los coeficientes cero en 356 00,0 xyxx al contar el número

de variaciones en el signo de )(xf .

Reemplazando a continuación x por –x obtenemos :

12343)( 247

a

xxxxxf

que tiene una variación de signo.

Teorema regla de los signos de descartes:

El número de raíces positivas de f es igual al número de variaciones en el signo de los

coeficientes de )(xf , o es igual que ese número menos un entero par.

El número de raíces negativas de f es igual al número de variaciones en el signo de

los coeficientes de )( xf , o es igual a ese número menos un entero par.


UNED

56

Teorema de las raíces racionales:

Sea una función polinomial de grado 1 o superior de la forma:

0,0)( 001

1

1

aaaxaxaxaxf n

n

n

n

n

donde cada coeficiente es un entero.

Si q

p , sin factores comunes, es una raíz racional de f , entonces p debe ser un

factor de 0a y q un factor de na .

Ejemplo

Determinar las posibles raíces reales de la siguiente función polinomial

67112)( 23 xxxxf

Respuesta:

1) Habrá un máximo de tres raíces, ya que el polinomio es de grado tres.

2) Por la regla de los signos de Descartes, hay una raíz positiva.

Además como 67112)( 23 xxxxf , hay dos raíces o ninguna negativas.

3) Determinación de los enteros p que son factores de 60 a y de los enteros q que

son factores de 23 a :

2,1:

6,3,2,1:

q

p

A continuación construimos todas las razones posibles q

p

2

3,

2

1,6,3,2,1:

qp

Si f tiene una raíz racional ha de encontrarse en esta lista, que contiene 12

posibilidades.

Elegimos probar el posible cero racional “1” utilizando la división sintética ( ruffini)


UNED

57

1 2 11 -7 -6

2 13 6

2 13 6 0

El residuo es cero. Por tanto “1” es una raíz y x-1 es un factor de f.

Así pues podemos factorizar )(xf quedándonos:

)6132)(1(67112)( 223 xxxxxxxf

Ahora cualquier solución de la ecuación 06132 2 xx será a su vez una raíz de f.

A causa de esto, llamamos a la ecuación 06132 2 xx , ecuación reducida de f, la

cual es una ecuación cuadrática con discriminante

01214816942 acb ,

por tanto, tiene dos soluciones reales.

Mediante el empleo de la fórmula cuadrática:

2/1

6

2

42

a

acbbx

Se concluye que las raíces son -6, -1/2 y 1

Podemos por último escribir la función f en forma factorizada como:

)6)(12)(1(67112)( 23 xxxxxxxf

Funciones Polinomiales Complejas con Coeficientes Reales

Una función polinomial compleja de coeficientes reales f de grado n tiene la forma

( )

Donde son números reales, , y n es un entero no negativo.

Aquí, recibe el nombre de coeficiente principal de f .


UNED

58

Un número complejo r es una raíz de f si ( ) , de modo que

Teorema para Conjugados

Sea ( ) una función polinomial compleja cuyos coeficientes son reales.

Si es una raíz de f , entonces el complejo conjugado ̅ también

es una raíz de f .

Es decir, para funciones polinomiales complejas cuyos coeficientes son números reales,

las raíces aparecen en pares conjugados.

Corolario

Una función polinomial compleja f de grado impar con coeficientes reales tiene al

menos una raíz real.


UNED

59


UNED

60

CAPÍTULO 3: INTEGRAL DEFINIDA

En la geometría elemental se demuestra que el área de un rectángulo es igual al

producto de su anchura por su altura, y según esto, por métodos geométricos

elementales se obtienen las áreas de otras figuras limitadas por segmentos de líneas

rectas. Sin embargo, estos métodos no son directamente aplicables a figuras limitadas

(en todo o en parte) por líneas curvas.

En general, para hallar áreas de figuras curvilíneas debe usarse el método de los límites;

por ejemplo, en geometría se obtiene el área de un círculo considerándolo como el

límite común del conjunto de polígonos regulares inscritos y circunscritos, cuando su

número de lados crece indefinidamente. Este uso del método de los límites conduce a la

interpretación de la integral definida como el área debajo de una curva.

3.1 La integral definida como área bajo una curva

Si queremos medir el área encerrada por una curva y el eje de las x entre dos puntos a y

b del dominio, debemos en primer lugar, dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos.

La figura (a) muestra cuatro de estos subintervalos, siendo el primero [x1, x2] y el

último [x4, x5]. Puesto que cada uno de éstos representa un variación en x, podemos

referirnos a ellos como Δx1 , ...., Δx4, respectivamente.

Si sobre los subintervalos construimos bloques rectangulares, de tal modo que la altura

de cada uno de ellos es igual al valor más alto alcanzado por la función en ese bloque

(en este caso eso sucede en el lado izquierdo de cada rectángulo), se obtiene que el área

total A* de este conjunto de bloques es la suma:

n

i

ii xxfA1

* )(

No obstante, es evidente que ésta no es el área encerrada por la curva que buscamos,

sino una aproximación muy imperfecta.


UNED

61

Lo que hace que A* se desvíe del verdadero valor de A son las porciones no sombreadas

de los rectángulos; éstas hace que A* sea una sobreestimación de A. Sin embargo, si

reducimos la porción no sombreada y la hacemos tender a cero, el valor aproximado de

A* se acercará al verdadero valor de A.

Este resultado se obtendrá cuando hagamos cada vez más fina la segmentación del

intervalo [a, b], de modo que n aumente y Δxi se reduzca indefinidamente. Entonces los

bloques serán más delgados (cuanto más numerosos) y el excedente por encima de la

curva disminuirá, como puede verse en la siguiente figura (b).

Llevada hasta el límite, esta operación de “refinamiento” nos dará:

AAlímxxflímn

i

n

i

in

área*1

Esta ecuación constituye la definición formal del área encerrada bajo una curva.

Nota

Cuando Δx es infinitesimal, podemos reemplazarlo por el símbolo dx.

La notación

n

i 1

representa la suma de un número finito de términos. Cuando hacemos

n y tomamos el límite de esa suma, necesitamos sustituirla por la expresión b

a,

donde el símbolo integral indica una suma, y las variables a y b sirven para especificar

los límites superior e inferior de esta suma.

Por tanto, la integral definida es una abreviatura para la expresión del límite de una

suma, es decir:

i

n

i

in

b

axxflímdxxf

1

área A


UNED

62

3.2 Propiedades fundamentales

De la definición dada de la integral de Riemann se deducen fácilmente las siguientes

propiedades1.

1. La integral conserva las desigualdades, es decir, si tenemos dos funciones f y g

en un intervalo [a, b], de manera que f(x) g(x) en todos los puntos x del

intervalo

[a, b], entonces: b

a

b

adxxgdxxf

2. La integral es aditiva respecto del intervalo, es decir, si tenemos una función f

en un intervalo [a, b] y un punto c entre a y b, entonces:

b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf

3. La integral de la suma es la suma de las integrales, es decir, si tenemos dos

funciones f y g en un intervalo [a, b], entonces:

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

4. La integral de un número por una función es el producto del número por la

integral de la función, es decir, si tenemos una función f en un intervalo [a, b] y

un número real , entonces.

b

a

b

adxxfdxxf

Las propiedades 3 y 4 se pueden combinar y quedan resumidas de la siguiente forma:

Linealidad

5. Dadas dos funciones f y g en el intervalo [a, b] y dos números reales y ,

entonces

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

Las dos propiedades que siguen son consecuencias muy sencillas de las anteriores.

1 Aunque las propiedades son válidas para funciones que toman valores reales cualesquiera, en principio

todo es más claro si consideramos funciones que toman valores mayores o iguales que 0. Esto es lo que

haremos.


UNED

63

6. Sea f una función en un intervalo [a, b], entonces se cumple que el valor

absoluto de la integral, es menor o igual que la integral del valor absoluto de la

función.

dxxfdxxfb

a

b

a

De forma gráfica

b

a

b

adxxfSSRRRRdxxf 21 ÁreaÁreaÁreaÁreaÁreaÁrea

7. Si f es una función en un intervalo [a, b], y M, m son dos números reales tales

que

Mxfm

Esta propiedad afirma que el área que se encuentra bajo la función f(x), está

comprendida entre las áreas de dos rectángulos. Uno está contenido en nuestro

recinto y el otro contiene a nuestro recinto.

Nota

En muchas ocasiones es imposible, o muy difícil, saber cuál es el valor exacto de

b

adxxf

y las desigualdades anteriores nos sirven para obtener valores aproximados.


UNED

64

3.3 Teorema fundamental del cálculo integral

Este teorema establece la relación entre b

adxxf e dxxf , entre la integral definida

y la indefinida. Lo podemos enunciar como sigue:

Si f(x) es una función continua en [a, b] y F(x) es una primitiva de f(x), entonces:

xfxFaFbFxFdxxf

b

a

b

a ; )()(

La igualdad anterior se conoce con el nombre de Regla de Barrow y da el

procedimiento para calcular una integral definida.

Ejemplo: 2

10

2

11

2

1

2

1 22

1

0

21

0

xxdx

3.4 Aplicaciones al cálculo de áreas

Los problemas que pueden presentarse son los siguientes:

Área comprendida entre una curva y = f(x), el eje OX y las rectas de ecuación x = a

y x = b

Si f(x) 0 en [a, b]: b

adxxfA

Ejemplo

Hallar el área limitada por la curva: 422 xyx el eje x, y las rectas x = 2 y x = 4

Solución:

1221444

14 4

2

14

2 2

4

2 2

2

xxdxx

dxx

xA


UNED

65

Ejemplo

Hallar el área limitada por la curva 23 3xxy , el eje x, y las rectas x = 0 y x = 2 .

Solución:

124

3

2

0

34

2

0

23

x

xdxxxA

Interpretación de áreas negativas

En la definición del área, dada anteriormente: b

adxxfA , se ha supuesto que f(x)

es una función continua y positiva entre a y b.


UNED

66

Si f(x) es negativa, es decir, si la curva y = f(x) queda debajo del eje x, entre a y b, el

valor de la integral

b

adxxfA

es entonces negativo. Tales áreas situadas bajo el eje x se llaman áreas negativas; el

área total absoluta entre una curva, el eje x, y dos ordenadas, está dada por

Área total = (área positivas) - (áreas negativas).

Nota: Lo anterior equivale a decir que el área es igual al valor absoluto de la integral, y

éste es siempre positivo.

De este modo y según la exposición anterior:

Si f(x) 0 en [a, b]; dxxfAb

a

Si f(x) corta el eje OX en el punto c [a, b]:

b

c

c

adxxfdxxfAAA 21

El punto c se halla resolviendo la ecuación f(x) = 0

Ejemplo

Hallar el área limitada por la curva 322 xxxy , el eje x, y las rectas x = -1 y x = 1

Solución:


UNED

67

2

3

negativa área menos positiva área12

5

12

13

4

1

3

1100

4

1

3

11

434322

0

1

43

2

1

0

43

20

1

321

0

32

xx

xxx

xdxxxxdxxxxA

Área Entre dos Curvas y1 = f(x) e y2 = g(x)

Supóngase que el área que se va a calcular está entre las curvas y1 = f(x) e y2 = g(x) y

entre las rectas x = a y x = b, y que (para mayor precisión) f(x) g(x) para a x b .

dxxfxgAb

a

Nótese que esta fórmula incluye áreas negativas (con signos adecuados dentro del área

total comprendida entre las curvas.


UNED

68

Si f(x) y g(x) se cortan en el intervalo [a, b]; se determina el punto –o puntos de corte- y

la función que es mayor en cada trozo . Los puntos de corte se hallan resolviendo el

sistema: y = f(x) ; y = g(x)

b

c

c

adxxfxgdxxgxfS

Ejemplo

Calcular el área limitada por el eje de abscisas y las curvas .

Solución

Al igual que en el ejemplo anterior tenemos:

Puntos de corten {

Ecuación de segundo grado cuyas dos soluciones son:

x = 2 y = 0

√

x= -1 y = 3

Adicionalmente, la curva corta al eje de abscisas en el punto: x= -2; y = 0


UNED

69

Por tanto el área buscada será:

∫ ( ) *

+

* ( )

( )

( )

( )+=

∫ ( ) *

+

* ( )

( )

( )+

3.5 Teorema del cambio de variable

Para las integrales definidas, tenemos la siguiente formula de cambio de variable:

duufdxxgxgf

bg

ag

b

a '

Esta fórmula se verifica siempre que f y g’ sean ambas continuas. Para ser más precisos,

g’ ha de ser continua en un intervalo que una a y b, y f ha de ser continua en el

conjunto de los valores tomados por g.

Ejemplo: Evaluar:

5

1 12dx

x

xA


UNED

70

Solución: Para calcular esta integral, sea 12 xu . Entonces

duudxu

xxu 2

112

22

Región antes de la sustitución

Antes de sustituir, cambiamos los límites de integración

superior e inferior.

Límite inferior Límite superior

Cuando x = 1, 112 u Cuando x = 5,

3110 u

Ahora, sustituimos y obtenemos

3

161

3

139

2

1

32

1

12

1

1

12

3

1

3

3

1

23

1

25

1

uu

duuduuu

udx

x

x

Región tras la sustitución

Nota. Geométricamente, podemos interpretar la ecuación

3

1

25

1 2

1

12du

udx

x

x

como que las dos regiones diferentes mostradas en las

Figuras tienen en el mismo área.

3.6 El Teorema del Valor Medio

Estamos familiarizados con el concepto de media de unos cuantos valores. Por ejemplo,

la media de las calificaciones de una asignatura sabemos que corresponde a la nota que

tendríamos “en el caso en que todas las calificaciones hubieran sido iguales”. Este

concepto lo podemos trasladar a funciones y nos queda de la siguiente forma:

Sea f una función definida en un intervalo [a, b], llamaremos valor medio o media

de f en [a, b] al valor:

dxxfab

b

a

1 (1)


UNED

71

Para ver porqué llamamos a este el valor medio de f, supongamos que partimos [a,

b] en n subintervalos de igual longitud x=(b-a)/n. Si i es un punto cualquiera del

i-ésimo subintervalo, entonces el promedio aritmético (o media) de los valores de la

función en los i viene dado por

nn fffn

a 21

1Promedio de f( i ), ..., f ( n )

Multiplicando y dividiendo por (b - a), podemos expresar el promedio como

n

i

i

n

i

i

n

i

in xfabn

abf

abab

abf

na

111

111

Finalmente, haciendo el límite cuando n , obtenemos el valor promedio de f en

el intervalo [a, b] tal como aparece en (1).

Ejemplo:

Hallar el valor promedio de f(x) = 3x2 – 2x en el intervalo [1, 4].

Solución:

El valor promedio viene dado por:

163

48111664

3

1

3

123

3

11 4

1

234

1

2 xxdxxxdxxf

ab

b

a

Nota. En la Figura el área de la región es igual al área del rectángulo cuya altura es el

valor promedio.


UNED

72

3.7 Ejercicios resueltos

1. Calcular el área encerrada entre las curvas .

Solución

Puntos de corte :

Ecuación de segundo grado cuyas dos soluciones son: x = 2 y = 0

√

x= -1 y = 3

∫ ( ) ∫ ( ) *

+

*

+

( )

( ) (

( )

( ))


UNED

73

2. Calcular el área limitada por las curvas

Solución

Comenzamos hallando los puntos de corte:

)

2) Despejando la variable y de la segunda ecuación obtenemos:

,

Si sustituimos a continuación el resultado anterior en la primera ecuación

resulta: (

)

= 4x ( ) Obtenemos dos puntos de corte:

El área que queremos calcular será por tanto:

∫ (√

)

[ ⁄

]

3. Calcular el área A delimitada por la curva y las rectas , siendo .

Explicar como varía el área calculada A, en función de los distintos valores que

puede tomar el parámetro t.

Solución

La función dada , para los valores negativos de x es negativa, debemos

integrar dicha función entre los valores de y .


UNED

74

Puesto que el resultado de esta integración será un número negativo, y la función que

mide el área debe ser positiva, debemos tomar valor absoluto o cambiar de signo, que

hace a la función positiva en el intervalo [ ].

Entonces se tiene ∫

,. integral por partes, para solucionarla realizamos

la identificación:

∫

Obteniéndose:

∫ *

∫

+

[

+

(

)

( )

( ( ))

Para se obtiene un valor de , y a medida que el valor de "se

desplaza" hacia la izquierda, el valor de aumenta.

4 Calcular el área limitada por las curvas ⁄ .

Solución:

Comenzamos hallando, dos a dos, los puntos de corte de las tres funciones:


UNED

75

y = 0

( ) y = 1

( ) y = 0

y = 4

Una vez delimitado el recinto, podemos calcular su área:

∫ *

+ ∫ *

+ ∫

∫ ∫

*

+

*

+

*

+


UNED

76

5 Calcular el área limitada por la curva: y la recta

Solución:

Puntos de corte

( ) 0

x = 2 y = - 2

√

x =

y = 1

M( ½, 1)

N( 2, -2)

Por tanto:

∫ √ √ ⁄

∫ ⁄ √

⁄

[ ⁄

⁄+

⁄

√

(

⁄ )

|∫ ( √

) |

| √ [

⁄

⁄]

|


UNED

77

3.8 Ejercicios Propuestos

1. Calcúlese el área S comprendida entre la función , el eje de abscisas y las

rectas y .

Solución:

∫ [ ]

( )

2. Hállese el área del recinto del primer cuadrante limitado por el eje de las , la

parábola y la recta .

Solución:

∫ √

∫ ( ) *

( )

⁄ +

[

+

3. Determínese el área de la región limitada por las funciones:

para

Solución:

A = ∫ [( ) ( )] ∫ [ ( )]

4. Determínese el área del recinto cerrado que determinan las funciones:

Solución:

*∫ √

⁄

∫ √

⁄

+

5. Calcule el área comprendida entre la curva

y la recta .

Solución:

∫ ∫

[

+

[

+


UNED

78

6. Calcule el área comprendida entre las curvas e

.

Solución:

∫ (

)

√

√

7. Halle el área limitada por la curva y la recta .

Solución:

∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

8. Determinar el área limitada por la curva √ , el eje horizontal y las

rectas y .

Solución:

∫ √

∫ ( ) ⁄

9. Calcular el área limitada por el eje de abcisas y las curvas {

Solución:

∫ ( ) ∫ ( )

10. Calcular el área limitada por la curva , el eje de abscisas, y las

rectas .

Solución:

( )


UNED

79

CAPÍTULO 4: INTEGRAL IMPROPIA

Las integrales impropias se utilizan, por ejemplo, en estadística teórica para calcular

funciones de distribución a partir de funciones de densidad. También surgen en otras

aplicaciones de ámbitos variados.

Se dice que la integral b

adxxf es una integral impropia, si el intervalo de integración

[a, b] es infinito, cuando la función subintegral f(x) no está acotada en algún o algunos

puntos de dicho intervalo, o cuando se dan ambos casos a la vez.

4.1 Integrales impropias de primera especie

Dada una integral impropia, diremos que lo es de primera especie si tiene infinito su

intervalo de integración. Por consiguiente:

dxxfdxxfdxxfb

a

son las tres formas en que pueden presentarse estas integrales.

De forma gráfica:

a b

adxxf

a b

b

dxxf

a c b

dxxf


UNED

80

Definición de Integrales Impropias con límites de Integración Infinitos

1) Si f es continua en el intervalo [ ) entonces:

∫ ( ) ∫ ( )

2) Si f es continua en el intervalo ( ] entonces:

∫ ( )

∫ ( )

3) Si f es continua en el intervalo ( ) entonces:

∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

donde c es cualquier número real

Nota

1) En cada caso si el límite existe, se dice que la integral impropia converge; de lo

contrario, la integral impropia diverge. Esto significa que en el tercer caso la

integral diverge si una cualquiera de las dos integrales de la derecha diverge.

2) Como los resultados que obtendremos en el intervalo [a, ] son análogos a los

del (-, b] (hágase el cambio x = -t), y puesto que

c

c

dxxfdxxfdxxf

limitaremos este estudio a la primera integral.

3) Dado que podemos dividir cualquier intervalo en zonas donde la función f(x) es

siempre no negativa o siempre no positiva, y puesto que si ( ) en [ ) podrá tomarse la determinación positiva mediante la relación

∫ ( )

∫ ( )

limitaremos nuestro estudio a integrales de funciones no negativas.


UNED

81

4.1.1 Criterios de Convergencia

Estudiaremos las distintas formas de analizar la convergencia de una integral impropia.

1) Criterio de la Primitiva

Suponiendo que la función f tiene una primitiva F expresable mediante funciones

elementales, entonces el cálculo de la integral impropia se reduce a un sencillo cálculo

de límites.

Veámoslo:

Consideremos la integral impropia

a

dxxfI1

con f(x) acotada en el intervalo [a, ).

y escribamos

aFbFlímxFlímdxxflímdxxfIb

b

ab

b

aba

)(1 (1)

En estas condiciones diremos que la integral I1 es:

Convergente, si existe el límite (1) y éste es finito.

Divergente, cuando el límite (1) es infinito

Oscilante o que la integral no tiene sentido, si no existe dicho límite.

Ejemplo:

La distribución exponencial en estadística tiene como función de densidad, por

definición,

f(x) = e-x

(x 0; es una constante positiva)

Probar que el área bajo la gráfica de f en [0, ) vale 1.

Solución:

Para b > 0, el área bajo la gráfica de f sobre [0, b] es igual a


UNED

82

100

bbx

bx eedxe

Cuando b se tiene que –e-b

+1 tiende a 1. Por tanto,

1100

b

b

bx

b

x elímdxelímdxe

El área A tiene base no acotada pero la altura tiende a 0 tan rápidamente que el área total

es 1.

................................................................................................

En el anterior ejercicio, dada la integral impropia de primera especie

0dxxf , hemos

calculado

00

dxxflímdxxfb

.

Este procedimiento no es aplicable en todos los casos, ya que necesitamos expresar el

segundo miembro como función de b, es decir es imprescindible el conocimiento de la

función primitiva, lo que no siempre es posible.

Los criterios de convergencia que a continuación formulamos consisten en condiciones

suficientes para establecer la convergencia o divergencia de una integral impropia sin la

necesidad de tener que calcular su resultado.

2) Criterios de Comparación

Criterio de comparación por mayorante

La idea de este criterio consiste en comparar el carácter de la integral de partida con el

de otra integral conocida.


UNED

83

Sean las funciones f (función a estudiar) y g ( función que utilizamos para

comparar) integrables en cualquier intervalo [a, b], siendo b > a, entonces:

a) Si 0 f(x) g(x) para todo x a, y si dxxg

0 converge, entonces

dxxfa

también converge.

b) Si 0 g(x) f(x) para todo x a, y si dxxg

0 diverge, entonces

dxxfa

también diverge

De forma gráfica

Criterio de comparación mediante límite

Sean f(x) 0 y g(x) 0 (no negativas) para todo x a y ambas integrables en

cualquier intervalo [a, b], tales que:

Lxg

xflímx

Entonces se tiene que

Si L , las dos integrales

adxxg , dxxf

a

tienen el mismo carácter.

Si L = 0, y la integral

adxxg converge, entonces dxxf

a

converge también.


UNED

84

La eficacia de los criterios analizados exige el conocimiento de algunas integrales cuyo

carácter esté ya establecido y que llamaremos integrales patrón. Entre este tipo de

integrales las principales son:

0 ,1

axa r

Calcularemos la primitiva de esta integral en un intervalo [a, b]

1 cuando1

1 cuandoln1

1

rr

x

rx

dxx

b

a

r

b

ab

a r

a) Para r = 1 calculamos el límite:

ablímdx

xlím

b

b

ablnln

1

por tanto, es divergente.

b) Para r 1

Diverge1 cuando

Converge1 cuando1

11

1

1

11

r

rr

a

r

a

r

blímdx

xlím

r

rr

b

b

a rb

dxea

tx

Igual que en el primer caso calcularemos la primitiva en un intervalo [a, b]:

Diverge0 cuando

Converge0 cuando1

11

11

t

tet

et

et

límdxelím

et

dxett

dxe

ta

tatb

b

b

a

tx

b

b

a

txb

a

txb

a

tx


UNED

85

Ejemplos de Aplicación del criterio de comparación por mayorante

Ejemplo: Hallar el carácter de la integral,

2

3ln

1dx

x

Solución: Se compara xx

1con

ln

1 resultando:

xx

1

ln

1

Nota:

Gráficamente:


UNED

86

La integral

2

3

1dx

xya sabemos que es divergente pues que r = 1, por lo tanto, como la

otra es mayor, aplicando el criterio de comparación por mayorante

2

3ln

1dx

x resulta

también divergente.

Ejemplo: Estudiar el carácter de la integral

0 1xe

dx

Solución:

La integral dxe

dxx

0 1 es convergente puesto que

xx ee

1

1

1

y al ser

0

xe

convergente se cumple que la integral dada converge cuando x .

Ejemplos de Aplicación del criterio de comparación mediante límite.

Ejemplo: Estudiar el carácter de la integral

0 1xe

dx

Solución:

Aplicando el criterio de comparación mediante límite, haciendo uso de la función

g(x) = e-x

tenemos:

1

1

11

x

x

xx

x

xx e

elím

e

elím

xg

xflím

y como dxe x

0 es convergente también lo es

0 1xe

dx

………………………………………………………………………….

Del criterio de convergencia mediante el límite y de la convergencia de la integral

a rx

1 se deduce el siguiente resultado:

Sea f: [a, +)R una función no negativa integrable en un intervalo cerrado [a, b], con

b a. Si existe una constante r >1 tal que

( )

Siendo l un número finito, entonces la integral impropia ∫ ( )

es convergente.

De igual forma si r y el límite l es no nulo, la integral será divergente.


UNED

87

Ejemplo: Hallar el carácter de la siguiente integral:

2 4 1

dxx

x

Solución: Es divergente, ya que si multiplicamos la función subintegral por:

y calculamos el límite , obtenemos:

114

x

xxlím

x

4.2 Integrales impropias de segunda especie

Se dice que una integral impropia lo es de segunda especie si la función subintegral f(x)

no está acotada en algún o algunos puntos de su intervalo de integración.

Nota

Una función f es no acotada en un punto c si toma valores arbitariamente grandes en un

entorno de c.

La versión geométrica de este hecho es que la recta sea asíntota vertical a la

gráfica de la función.

4.2.1 Criterios de Convergencia

Dado que todos los conceptos y denominaciones son análogos a los anteriormente

vistos, haremos aquí un breve estudio de estas integrales, y por el mismo motivo que en

las de primera especie, limitaremos dicho estudio a integrales de funciones no negativas.

1) Criterio de la Primitiva

Suponiendo que la función f tiene una primitiva F expresable mediante funciones

elementales, entonces el cálculo de la integral impropia se reduce a un sencillo cálculo

de límites.

En el caso general de que f(x) no esté acotada en varios puntos c, d, ... [a, b],

particionando dicho intervalo en la forma

b

d

d

p

p

c

c

a

b

a


UNED

88

lograremos reducir este estudio a integrales donde la función subintegral f(x) se hace

únicamente infinita, o en el extremo superior o en el inferior de cada intervalo.

Por consiguiente de la observación de la anterior gráfica, podemos escribir:

f (x) no acotada en el extremo superior del intervalo:

aFxFlímdxxflímdxxfAcx

x

acx

c

a

11

1

1

1

f (x) no acotada en el extremo inferior:

12111

xFbFlímdxxflímdxxfAdx

b

xdx

b

d

E igualmente diremos que la integral en cuestión es convergente, divergente, o no tiene

sentido; si el límite correspondiente existe y es finito, existe y es infinito, o no existe.

En el caso de que una integral I se particione en varias, siendo alguna de éstas

divergente, entonces se dará que la integral I también lo es.


UNED

89

Ejemplo: Analice la integral impropia

2

0 32

12

1dx

x

Solución: Esta integral impropia corresponde a la región sombreada en la figura

adjunta.

El integrando tiene una discontinuidad infinita en el punto 2

1c dentro del intervalo de

integración por lo que escribimos:

∫

( ) ⁄

∫

( ) ⁄ ∫

( ) ⁄

⁄

⁄

y analizando por separado las dos integrales impropias de la derecha.

Vemos entonces:

,

2

3112

2

3

122

3

12

1

12

1

31

31

21

0

31

210 32

21

21

0 32

tlím

xlímdxx

límdxx

t

t

t

t

t

y

33

13

1

21

2

31

21

2

32

21

2

21

32

32

3123

2

3

122

3

12

1

12

1

tlím

xlímdxx

límdxx

t

tttt


UNED

90

por tanto:

32

0 32

312

3

12

1

dx

x

Así como para integrales impropias de primera especie hemos establecido criterios de

comparación para el estudio de la naturaleza de estas integrales en los casos en los que

no es posible hallar la función primitiva de las mismas, a continuación lo haremos

para integrales cuya única causa de impropiedad es la no acotación de la función

subintegral en el extremo superior o inferior del intervalo de integración , es decir

estableceremos criterios para el estudio de integrales impropias de segunda especie.

Consideramos por tanto la integral impropia: ∫ ( )

con ( ) no acotada en

el intervalo finito [ ], y localmente integrable.

2) Criterios de Comparación

Criterio de comparación por mayorante

Discontinuidad en : (extremo inferior del intervalo)


comparar) ,localmente integrables ambas.

Entonces:

a) Si 0 f (x ) g (x) para todo a < x b, y dxxgb

a converge, entonces

dxxfb

a también converge.

b) Si 0 g (x ) f (x) para todo a < x b, y dxxgb

a diverge, entonces

dxxfb

a también diverge.

Discontinuidad en b: (extremo superior del intervalo)


comparar) , localmente integrables ambas.

Entonces:

a) Si 0 f (x ) g (x) para todo a x <b, y dxxgb

a converge, entonces

dxxfb

a también converge.


UNED

91

b) Si 0 g (x ) f (x) para todo a x <b, y dxxgb

a diverge, entonces

dxxfb

a también diverge.

Criterio de comparación mediante límite

Discontinuidad en

Si f (x ) 0 y g (x) 0 para todo x tal que a < x b, y localmente integrables ambas ;

si se cumple que:

,Lxg

xflím

ax

entonces se tiene que:

Si L 0 las dos integrales dxxfb

a y dxxgb

a tienen el mismo carácter,

convergente o divergente ambas.

Si L 0 y la integral dxxgb

a es convergente, entonces también lo es dxxfb

a

Discontinuidad en

Si f (x ) 0 y g (x) 0 para todo x tal que a x b, y localmente integrables ambas ;

si se cumple que:

,Lxg

xflím

bx

entonces se tiene que:

Si L 0 las dos integrales dxxfb

a y dxxgb

a tienen el mismo carácter,

convergente o divergente ambas.

Si L 0 y la integral dxxgb

a es convergente, entonces también lo es dxxfb

a

También en este caso la eficacia de los criterios depende del conocimiento del alumno

de integrales de comparación (patrón). Veamos las más importantes:

Discontinuidad en a:(extremo inferior del intervalo)

dx

ax

b

a r

1

Para r = 1 calculamos el límite.


UNED

92

axablímdxax

límax

b

xax1lnln

1

111

,

por tanto es divergente.

Para r 1

Diverge1 cuando

Converge1 cuando1

11

1

1

1

1

1

111

r

rr

ab

r

ax

r

ablímdx

axlím

r

rr

ax

b

xax

por tanto,

Diverge 1 Si

Converge 1 Si

r

rdx

ax

xb

a r

Discontinuidad en b (extremo superior del intervalo):

dx

xb

b

a r

1

Calcularemos la primitiva de esta integral en un intervalo [a, x1]

Para r = 1 calculamos el límite.

abxblímdxxb

límbx

x

abxlnln

11

1

1

1

,

por tanto es divergente.

Para r 1

Diverge1 cuando

Converge1 cuando1

11

1

1

11

1

1

1

1

r

rr

ab

r

ab

r

xblímdx

xblím

r

rr

bx

x

a rbx

Por tanto


UNED

93

Diverge 1 Si

Converge 1 Si

r

rdx

xb

xb

a r

Ejemplo de Aplicación del criterio de comparación por mayorante:

Para estudiar el carácter de

dxx

x

2

1 22

observemos que x [1, 2), x 1 y, por

tanto, 22

2

1

2 xx

x

Como

dxx

2

1 22

1 es divergente (r = 2 > 1) entonces, por el criterio de comparación,

dx

x

x

2

1 22

es divergente.

Ejemplo de Aplicación del criterio de comparación mediante el límite

Estudiar la naturaleza de la integral:

8

2 32

32 8xx

dxI

Se trata de una integral impropia de segunda especie; con una única causa de

impropiedad que es la no acotación de la función subintegral en x = 2.

Tomamos como integral patrón

8

2 2rg

x

dxI es decir;

rx

xg2

1

Calculamos

13

2 si ,

4·4

1

2

2·

2

1

22

2

8

2

21

81

34

322

342232222

32322

3232

2

r

x

xlím

xxlím

xxx

xlím

xx

xlím

x

xxlím

r

xx

r

x

r

xr

x


UNED

94

Luego

8

2 32

2x

dxI g convergente y por tanto

8

2 32

32 8xx

dxI también es

convergente.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Sea la función ( ) , con , determínese el valor de k para que se

verifique que

∫

Solución: Realizamos el cálculo de la integral impropia:

∫

∫

∫ ( )

* ]

( )

Por tanto para cualquier valor de k, la integral dada vale 1

2. Demostrar que la integral impropia ∫

con , es convergente si

y divergente si es .

Solución: En el caso de que sea se tiene:

∫

∫

*

( ) ]

(

)

De donde se obtiene:

si

(

)

( ) . Convergente.

si

(

) . Divergente.

Por último:

si

∫

[ ]

. Divergente.


UNED

95

3. Hallar el carácter de la integral: ∫

√

.

Solución:

Se trata de una integral impropia de segunda especie, puesto que la función

subintegral no está acotada en el punto x = 1, ya que se anula el denominador

para ese valor de la variable x.

Por otro lado, para todo ( ] se cumple que: , de donde:

; tomando raíces cuadradas en ambos lados: √ √ .

Y de aquí finalmente se concluye que:

√

√

Puesto que la integral ∫

√

es convergente, por ser del tipo ∫

( )

con r < 1 , por el criterio de comparación por mayorante, la integral dada es

convergente.

4. Determinar el valor del área del recinto comprendido por la función

( )

( ) y el eje de abscisas en el intervalo [ ].

Solución:

Calculamos en primer lugar una primitiva de la función ( )

( ) :

∫

( ) {

} ∫

Aplicando la definición de integral impropia de primera especie, se tiene que:

∫

( )

∫

( )

*

]

(

)


UNED

96

Integral convergente.

5. Estudiar la convergencia de la integral: ∫

Solución:

El denominador sólo se anula en que no pertenece al intervalo de integración, por

lo que es una integral impropia de primera especie.

Descomponemos la integral dada en dos:

∫

∫

∫

Ambas integrales son convergentes pues en virtud del criterio de comparación por

mayorante:

Ya que como pudimos ver en el ejercicio 2, la integral ∫

es convergente cuando

,

Podíamos haber llegado al mismo resultado aplicando el criterio de comparación

mediante límite:

Al ser el numerador de primer grado y el denominador de grado tres, comparamos la

función subintegral dada con

, resultando:

( )

De modo que ambas integrales tienen el mismo carácter, y puesto que ∫

es

convergente, la integral pedida es convergente.


UNED

97

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Estudiar la convergencia de la integral ∫

( )( )

Solución: Integral divergente

2. Estudiar la convergencia de la siguiente integral: ∫

Solución: Integral convergente; su valor es:

(

)

3. Estúdiese la convergencia de la integral: ∫

Solución: La integral es divergente.


Solución: Integral convergente; su valor es: ( )⁄


Solución: Integral divergente.

6. Hállese la convergencia de la integral ∫

Solución: Integral divergente



8. Estudiar la convergencia de la integral ∫


9. Determinar el valor de C para que sea convergente la integral impropia:

∫ (

)

Hallar el valor de dicha integral.


UNED

98

Solución: C=1/2; el valor de la integral dada es:


Solución: Integral convergente; su valor es 1

CAPITULO 1 A 4.- Series Numéricas, Integral Indefinida, Integral Definida, Integral Impropia

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