8/18/2019 Inforem de Los Ppropiedades de Los Numeros Reales

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INTRODUCCIÒN

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunue carec!a "e una #aserigurosa$ %uesto ue en el momento no se consi"era#a necesario el &ormalismo "e laactuali"a"$ y se usa#an e'%resiones como (%eue)o*$ (l!mite*$ (se acerca* sin una"e&inición %recisa+ ,sto llevó a una serie "e %ara"o-as y %ro#lemas lógicos ue hicieronevi"ente la necesi"a" "e crear una #ase rigurosa %ara la matemática$ la cual consistió "e"e&iniciones &ormales y rigurosas .aunue ciertamente t/cnicas0 "el conce%to "e n1meroreal+

,n matemáticas$ los n1meros reales ."esigna"os %or R0 son auellos ue incluyen tantoa los n1meros racionales .%ositivos y negativos y el cero0 como a los n1merosirracionales .trascen"entes$ alge#raicos0$ ue no se %ue"en e'%resar "e manera&raccionaria y tienen in&initas ci&ras "ecimales no %erió"icas$ tales como23os n1meros reales ue no son racionales se llaman irracionales+ 4or e-em%lo$ la razón"el %er!metro "e una circun&erencia a su "iámetro es irracional+

3os n1meros reales %ue"en ser "escritos y construi"os "e varias &ormas$ algunassim%les aunue carentes "el rigor necesario %ara los %ro%ósitos &ormales "e matemáticasy otras más com%le-as %ero con el rigor necesario %ara el tra#a-o matemático &ormal+

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4RO4I,D5D,6 D, 3O6 NU7,RO6 8R5CCION5RIO6

 PROPIEDADES:

Propiedad conmutativa2

3a suma y la multiplicación "e n1meros &raccionarios son conmutativas+ ,-em%lo2

9:; < =:> ? =:> < 9:;

@:= + >:A ? >:A + @:=

Propiedad asociativa2

3a suma y la multiplicación son asociativas+ ,-em%lo2

.B:9 < 9:; 0 < ;:= ? B:9 < . 9:; < ;:=0 .;:= + =:> 0 + A:@ ? ;:= + . =:> + A:@0

Propiedad distributiva2

3a multiplicación es "istri#utiva$ a "erecha e izuier"a$ res%ecto "e la suma y la resta+,-em%lo2

B:9 + . ;:= < 9:> ;:@ 0 ? B:9+;:= < B:9+ 9:> B:9 + ;:@

. ;:> < B:9 9:;0 + ;:= ? ;:> + ;:=< B:9+ ;:= 9:; + ;:=

3a división es "istri#utiva a "erecha$ solamente$ con la suma y la resta+ ,-em%lo2

. B:9< 9:; ;:=0 ? B:92 =:> < 9:; 2 =:> ;:=2 =:>

 

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIN CON N!"EROS #RACCIONARIOS

B .a:#0E + .a:#0‽ ? .a:#0E ⁺‽

9 .a:#0E 2 .a:#0‽  ? .a:#0 E ⁻‽

; F.a:#0EG‽  ? .a:#0EH‽  # "istinto "e y n enteros

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= .a:#0⁻E ? .#:a0E a y # "istinto "e y n enteroJ ,-em%lo2 .;:=0⁻K ?.=:;0K

 

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIN Multiplicación de potencias de igual base

O#serva el siguiente e-em%lo2

9; + 9; + 9; + 9; ? 9;<;<;<; ? 9 ;+= ? 9B9

O#serva ue el resulta"o "e multi%licar  dos o m$s potencias de i%ual base es otra %otencia con la misma base$ y en "on"e el e&ponente es la suma de los

e&ponentes iniciales+

Cociente de potencias de igual base

Veamos cómo se har!a un cociente "e %otencias "e igual #ase2

>L 2 >= ? >L = ? >= ? A9>

O#serva ue el resulta"o "e dividir dos potencias de i%ual base es otra %otencia conla misma base$ y en "on"e el e&ponente es la resta de los e&ponentes iniciales+

 Potencia de una potencia

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,l resulta"o "e calcular la potencia de una potencia es una %otencia con la mismabase$ y cuyo e'%onente es la el producto de los dos e&ponentes' Por e(emplo)

*+,-. / +,'. / +0.

 Distributiva respecto a la multiplicación y a la división

4ara hacer el producto de dos n1meros elevado a una misma potencia tienes "oscaminos %osi#les$ cuyo resulta"o es el mismo2

4o"es %rimero multi%licar los "os n1meros$ y "es%u/s calcular el resulta"o "e la %otencia2

.=M>0= ? 9=? BA

O #ien %o"es elevar ca"a n1mero %or se%ara"o al e'%onente y "es%u/s multi%licar losresulta"os+

.=M>0= ? = = + >= ? 9>AMA9> ? BA

De &orma análoga %o"es %roce"er si se trata "el cociente de dos n1meros elevado a lamisma potencia+

.; 2 90= ? B$ > = ? >$ A9>

.; 2 90= ? ;= 2 9= ? LB 2 BA ? >$A9>

O#serva ue "e las "os &ormas o#tienes el mismo resulta"o+ 5hora #ien$ no siem%re seráigual "e sencillo "e las "os &ormas+ 5s! ue %iensa "e antemano u/ m/to"o va a ser más conveniente %ara realizar el cálculo+

 NO distributiva respecto a la suma y a la resta

 No se %ue"e "istri#uir cuan"o "entro "el %ar/ntesis es suma o resta2

4or e-em%lo2

.A < ;09  A9 < ;9  %orue .A < ;09 ? 9 ? LB

A9 < ;9  ? ;A < ? =>

  LB =>

 

.B A09

  B9

  A9

  %orue .B A09

 ? =9

? BA

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B9 A9  ? B ;A ? A=

  BA A=

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

3a ra"icación es en reali"a" otra &orma "e e'%resar una %otenciación2 la ra!z "e ciertoor"en "e un n1mero es euivalente a elevar "icho n1mero a la %otencia inversa+ 4or esto$ las %ro%ie"a"es "e la %otenciación se cum%len tam#i/n con la ra"icación+ 4ara ue

estas %ro%ie"a"es se cum%lan$ se e'ige ue el ra"ican"o "e las ra!ces sea %ositivo+

Ra23 de un producto

3a ra!z "e un %ro"ucto es igual al %ro"ucto "e las ra!ces "e los

&actores2

,-em%lo

•  ? ?

6e llega a igual resulta"o "e la siguiente manera2

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Ra!z "e un cociente

3a ra!z "e una &racción es igual al cociente "e la ra!z "el numera"or entre la ra!z "el

"enomina"or2

,-em%lo

•

Ra!z "e una ra!z

4ara calcular la ra!z "e una ra!z se multi%lican los !n"ices "e las ra!ces y se conserva el

ra"ican"o2

,-em%lo

•  ?