04.01 Los Numeros Reales

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  • 1. MATEMTICAS 4 ESOTEMA 1. EL NMERO REALJavier FernndezLos nm os Los nmeros racionales er 1. r aci onal es Un nmero fraccionario queda determinado y simbolizado por una fraccin o cualquiera de sus fracciones equivalentes. Los nmeros enteros y los fraccionarios forman el conjunto de los nmeros racionales, que se designa por Q. Enteros9 27 =8 = 2341 1 2121Racionales = 113 3 3 11 1Fraccionarios3 4479 6 4 5

2. MATEMTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NMERO REALJavier FernndezNm os que no s e pueden ex pr es areren f or mque r acci onar i a2. Nmerosa f no se pueden expresarn en forma racional a 2= b a fraccin irreducible b a22= 2b 2 divide a a2b2 = a2 Imposiblea = 2k 2b2 = 4k2 2 divide a b b2 =2k2 a fraccin reducible b 3. MATEMTICAS 4 ESOTEMA 1. EL NMERO REAL Javier Fernndez 3. Expresin decimal de los nmeros fraccionarios Todo nmero fraccionario puede expresarse en forma decimal sin ms que efectuar la divisin entre el numerador y el denominador. Pueden entonces ocurrir los siguientes casos: 9La expresin decimal es exacta: =2, 254La expresin decimal es peridica pura: 5=1,666...3La expresin decimal es peridica mixta:17 =2,83333 .. . 6Cuidado: algunas calculadoras redondean 4. MATEMTICAS 4 ESOTEMA 1. EL NMERO REALJavier Fernndez4. Aproximacin, error y redondeo El error absoluto de una expresin decimal es la diferencia entre sta yel nmero representado, considerada positivamente. El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el nmero. La cota de error es la diferencia entre las aproximaciones por exceso ypor defecto con el mismo nmero de decimales.2 = 1, 4142135... Al elegir 1,4 como valor aproximado de 2 se tiene una aproximacin por defecto. Al elegir 1,5 como valor aproximado de 2 se tiene una aproximacin por exceso. La cota de error que se puede producir aproximando 2 hasta las dcimas es 0,1. El error absoluto de la primera aproximacin es 1,4142 1,4 = 0,0142 0,0142... El error relativo de la primera aproximacin ser = 0,01. 1, 41411... 5. MATEMTICAS 4 ESOTEMA 1. EL NMERO REALJavier Fernndez5. Forma fraccionaria de un nmero decimal peridicoUn nmero decimal peridico: q = 24 78 78 78 78 .Pasos: Primero1000q = 2478,787878. Segundo10q = 24,78787878. Tercero 990q = 2478 - 24 Cuarto247824 2454 409q=== 900990 165 6. MATEMTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NMERO REAL Javier Fernndez6. Los nmeros reales. Ampliaciones de los conjuntos de los nmeros Las expresiones decimales no peridicas se llaman nmerosirracionales; estos nmeros no se pueden expresar en forma de fraccin. Los nmeros racionales e irracionales forman el conjunto de losnmeros reales, que se designa por R. 7. MATEMTICAS 4 ESOTEMA 1. EL NMERO REALJavier Fernndez7. Algunos nmeros irracionalesEjemplos El nmero con 1000 cifras decimales 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640 628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535 940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593 344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360 726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036 001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738 193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983 367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317 675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717 872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196 086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281 609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783 875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235 378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642 ... Un nmero decimal cuya ley de formacin es no peridica 2,020020002000020000020000002000000020000000020000000002... 8. MATEMTICAS 4 ESOTEMA 1. EL NMERO REAL Javier Fernndez 8 Representacin de nmeros irracionales1u 21u32 1u2 3Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un nmero real equivale a sealar un punto en la recta. 9. MATEMTICAS 4 ESOTEMA 1. EL NMERO REAL Javier Fernndez9. Determinacin de nmeros reales: AproximacionesLa determinacin de nmeros reales se hace por aproximaciones sucesivas. AproximacinPotencias Intervalo Entera13 =1 / 23=81 72 31,9 72,0 333 Decimal1,9 =6,859 / 2,0 =8 1,91 71,923 33 Centesimal 1,91 =6,96... / 1,92 =7,07... Milesimal 1,9123=6,9897... / 1,909 3=7,0007... 1,912 71,9133... ...... 10. MATEMTICAS 4 ESOTEMA 1. EL NMERO REALJavier Fernndez10. Intervalos encajados 12 1,92,01,911,92 1,912 1,91337 11. MATEMTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NMERO REALJavier Fernndez 11. Suma aproximada de nmeros reales Es imposible sumar exactamente dos nmeros irracionales ya que tienen infinitas cifras decimales. Se opera con ellos sustituyndolos por nmeros aproximados con un nmero finito de cifras. 2=1, 4142135623 . .. =3, 141592653 ...Obtencin de + Valor aproximado Orden del errorCon 0 cifras1+3=4 Error < 2 unidadesCon 1 cifra 1,4 + 3,1 = 4,5 Error < 3 dcimasCon 2 cifras1,41 + 3,14 = 4,55Error < 3 centsimasCon 3 cifras1,414 + 3,141 = 4,555 Error < 3 milsimas 12. MATEMTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NMERO REALJavier Fernndez 12 Producto aproximado de nmeros reales Es imposible multiplicar exactamente dos nmeros irracionales ya que tienen infinitas cifras decimales. Se opera con ellos sustituyndolos por nmeros aproximados con un nmero finito de cifras. 2=1,4142135623 . ..10 = 3,1622776601....2 10 2 10Por exceso1,41433,16234,472440 Por defecto 1,41423,16224,471983Error < 0,00010,00010,000457 diferencia 13. MATEMTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NMERO REAL Javier Fernndez 13. Orden en La ordenacin de nmeros reales,