Tema01 Los Numeros Reales

8/6/2019 Tema01 Los Numeros Reales

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Solucionesa lasactividades


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BLOQUE I

Aritmtica1. Los nmeros reales

2. Potencias, radicales y logaritmos


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88 SOLUCIONARIO

G

r u p o E d i t o r i a l B r u o

, S . L .

1 Los nmerosreales

1. Nmeros racionales e irracionales

a) Calcula mentalmente el rea de un cuadrado de 2 cm de lado.b) Expresa de forma exacta el lado, x, de un cuadrado de 2 cm2 de rea.

Solucin:

A = 22 = 4 cm2

x =2 cm

P I E N S A Y C A L

Clasifica los siguientes nmeros como racionales oirracionales:a) 2/3 b) c) d) 1,455555...

Escribe tres nmeros racionales.

Escribe tres nmeros irracionales.

Escribe dos nmeros racionales comprendidosentre 1/3 y 2/3

Representa grficamente de forma exacta:

a) b)

Representa grficamente de forma aproximada:a)

b) e

c)

d)

Solucin:

a)

1512

206

Solucin:

108

5

Solucin:

1/3 + 2/3 1 = 2 21/3 + 1/2 5

= 2 12

4

Solucin:

10,,

3

3

Solucin:

3/4,5,2/3

2

Solucin:

a) Racional. b) Irracional.c) Irracional. d) Racional.

2

1

A P L I C A L A T E

0 1

2

2

a)

_ 8

_ 8

0 1

13

b)

_ 10

_ 10

820

0 1 2 3 4


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TEMA 1. LOS NMEROS REALES 89

G


, S . L .

Halla de forma exacta la diagonal de un cubo de1 cm de lado y escribe qu tipo de nmero es.

Calcula:

1 +

:( 1)

( + 1)

2 ( + 1) : ( 3)Solucin:

11/3

12

52

13

12

Solucin:

2

52

47

11

Solucin:

10/9

25

23

10

Solucin:

1/6

56

25

12

9

Solucin:

5/12

23

54

8

Solucin:

d = 12 + 12 + 12 =

3

Es un nmero irracional.

7

b)

c)

d)

8

8 15

812

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

e

4 3 2 1 0

2. La recta real

Representa en la recta real todos los nmeros reales x que cumplen: 2 < x 3

Solucin:

P I E N S A Y C A L

0 1

0 1

2 3


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G


, S . L .

3. Aproximaciones y errores

Calcula la parte entera y decimal de los siguientesnmeros:a) 2,49 b) 3,24

Redondea a dos cifras decimales los siguientesnmeros y di cules de las aproximaciones sonpor defecto y cules por exceso:a) 25/7 b) 43,5978

Trunca a dos cifras decimales los siguientes nmeros:a) 25/7 b) 43,5978

Halla el error absoluto y el error relativo que secometen al aproximar con dos cifras decimales lossiguientes nmeros:a) 58/12 b)

Expresa en notacin cientfica los siguientes n-meros:a) 372 000 000 b) 0,00000058

Expresa en notacin decimal los siguientes n-meros:a) 7,48 108 b) 1,53 10 9

Opera y expresa en notacin cientfica:a) 5,4 1015 8,12 10 9

b) 2,7 106 : (1,5 10 4)

Solucin:

a) 4,3848 107

b) 1,8 1010

24

Solucin:

a) 748 000 000 b) 0,00000000153

23

Solucin:

a) 3,72 108 b) 5,8 10 7

22

Solucin:

a) 4,83333 4,83Error absoluto = 0,00333Error relativo = 0,00069

b) 2,4494 2,45Error absoluto = 0,00051Error relativo = 0,0002

6

21

Solucin:

a) 3,5714 3,57b) 43,5978 43,59

20

Solucin:

a) 3,5714 3,57 Aproximacin por defecto.b) 43,60 Aproximacin por exceso.

19

Solucin:

a) Ent(2,49) = 2Dec(2,49) = 0,49

b) Ent(3,24) = 4

Dec(3,14) = 0,86

18

A P L I C A L A T E

Juan estima que la altura de un rbol es de 35 m. Si la altura real es de 35,5 m, cul es el error cometido en laestimacin?

Solucin:

35,5 35 = 0,5 m

P I E N S A Y C A L


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4. Nmeros combinatorios

Calcula mentalmente los siguientes productos:a) 3 2 1 b) 4 3 2 1 c) 5 4 3 2 1

Solucin:

a) 6 b) 24 c) 120

P I E N S A Y C A L

92 SOLUCIONARIO

G


, S . L .

Calcula el factorial de los nmeros siguientes:a) 6b) 8

Calcula mentalmente los siguientes nmeros com-binatorios:

a) ( ) b) ( )c) ( ) d) ( )

Comprueba que se cumple, en cada caso, la igual-dad siguiente:

( )= ( )a) m = 6, p = 2b) m = 8, p = 3

Aplica las propiedades de los nmeros combinato-rios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad:

( )= ( )Solucin:

Se tiene que:x 2 + x + 2 = 12x = 6

12x + 2

12x 2

28

Solucin:

6 6a) ( )= ( )= 152 4

8 8b) ( )= ( )= 153 5

mm p

mp

27

Solucin:

a) 6b) 21c) 1d) 6

61

33

72

42

26

Solucin:

a) 6! = 720b) 8! = 40 320

25

A P L I C A L A T E


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G


, S . L .

Ejercicios y problemas

1. Nmeros racionales e irracionales

Clasifica los siguientes nmeros como racionales o

irracionales:a) b) 2/5

c) d)

Escribe tres nmeros racionales comprendidosentre 1/4 y 3/4

Representa grficamente de forma exacta:

a) b)

Representa grficamente de forma aproximada:

a) b) c) d)

Calcula:

a) + 3 b)

c) :( 1 + ) d) ( 2 + )

Halla de forma exacta el lado de un cuadrado de10 cm2 de rea y escribe qu tipo de nmero es.

2. La recta real

Representa en la recta real los siguientes pares denmeros y calcula la distancia que hay entre ellos:a) 4 y 1 b) 3,5 y 4,5

Escribe en forma de desigualdad los siguientesintervalos,represntalos grficamente y clasifcalos:a) (2, 4] b) [5, 1]c) [3,+ @) d) ( @,3)

Solucin:

a) {x ; 2 < x 4}

Semiabierto y semicerrado.

36

Solucin:

a) d(4, 1) = 3

b) d(3,5;4,5) = 8

35

Solucin:

10 cm


34

Solucin:

10 2 4 19a) b) c) d) 3 3 3 25

25

13

35

58

34

12

32

59

16

715

45

33

c)

d)

Solucin:

a)

b)

142315

32

Solucin:

2013

31

Solucin:

1/4 + 3/4 1 = 2 21/4 + 1/2 3

= 2 81/4 + 3/8 5

= 2 16

30

Solucin:

a) Irracional. b) Racional.c) Racional. d) Irracional.

506410

29

0 1

2

3

a)

_ 13

_ 13

0

2

4

b)

_

20

_

20

0 1 2 3 4

4 3 2 1 0

0 1 2 3 4

815

8 14

823

8

4 3 2 1 0

0 1

4 1

0 1

3,5 4,5

0 2 1 4


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94 SOLUCIONARIO

G


, S . L .


Escribe los intervalos que se representan en lossiguientes dibujos y clasifcalos:a)

b)

c)

d)

Representa grficamente los siguientes entornos:a) E*(1, 4) b) E(1, 2)c) E( 3, 1) d) E*(0, 3)

Escribe los entornos que se representan en lossiguientes dibujos:

a)

b)

c)

d)

3. Aproximaciones y errores

Calcula la parte entera y decimal de los siguientesnmeros:a) 7,15 b) 3,14 c) 4,25 d) 2,72

Redondea a dos cifras decimales los siguientesnmeros y di cules de las aproximaciones sonpor defecto y cules por exceso:a) 35/8 b) 13,4972c) d) 2,6283

Trunca a dos cifras decimales los siguientes n-meros:a) 35/8 b) 13,4972c) d) 2,6283

Solucin:

a) 4,375 4,37b) 13,49c) 6,082 6,08d) 2,62

37

42

Solucin:

a) 4,375 4,38 por exceso.b) 13,50 por exceso.c) 6,082 6,08 por defecto.d) 2,63 por exceso.

37

41

Solucin:

a) Ent(7,15) = 8Dec(7,15) = 0,85

b) Ent(3,14) = 4Dec(3,14) = 0,86

c) Ent(4,25) = 4Dec(4,25) = 0,25

d) Ent(2,72) = 2Dec(2,72) = 0,72

40

Solucin:

a) E(1, 3)

b) E*( 3, 2)c) E(2, 2)d) E*( 1, 4)

39

Solucin:

a)

b)

c)d)

38

Solucin:

a) (2, +@) Abierto.b) (4, 4) Abierto.

c) ( @, 5] Semiabierto y semicerrado.d) [5, 2) Semiabierto y semicerrado.

37

b) {x ; 5 x 1}

Cerrado.c) {x ; 3 x < + @}

Semiabierto y semicerrado.d) {x ; @< x < 3}

Abierto.

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1 5 1

0 1 3

0 1 3

0 1

0 1

0 1

0 1


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G


, S . L .

Halla el error absoluto y el error relativo que secometen al redondear con dos cifras decimales lossiguientes nmeros:a) 25/12 b)

c) 12,3402 d)

Expresa en notacin cientfica los siguientes nmeros:a) 371 500 000 b) 435 900 000 000c) 0,00000278 d) 0,000269

Expresa en notacin decimal los siguientes nmeros:a) 3,437 109 b) 2,33 10 7

c) 1,2 105 d) 3,014 10 9

Opera y expresa el resultado en notacin cientfica:a) 7,5 1012 3,4 1012

b) 0,8 1015 3,2 10 6

c) 4,36 1015 + 1,54 1015

d) 5,74 1020 : (1,64 10 9)

4. Nmeros combinatorios

Calcula el factorial de los nmeros siguientes:

a) 7 b) 9

Calcula los siguientes nmeros combinatorios:

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )

Comprueba que se cumple, en cada caso, la igual-dad siguiente:

( )= ( )+ ( )a) m = 7, p = 3b) m = 10, p = 2

Calcula los trminos de la fila 7 del tringulo deTartaglia.


( )= ( )Solucin:

x 1 + x 2 = 9x = 6

9x 2

9x 1

51

Solucin:

1,7,21,35,35,21,7,1

50

Solucin:

7 6 6a) ( )= ( )+ ( )3 3 2

35 = 20 + 15

10 9 9b) ( )= ( )+ ( )2 2 1

45 = 36 + 9

m 1p 1

m 1p

mp

49

Solucin:

a) 15 b) 10c) 1 d) 30

301

4040

109

64

48

Solucin:

a) 5040b) 362 880

47

Solucin:

a) 4,1 1012 b) 2,56 109

c) 5,9 1015 d) 3,5 1029

46

Solucin:

a) 3 437 000 000 b) 0,000000233c) 120 000 d)0,000000003014

45

Solucin:

a) 3,715 108 b) 4,359 1011

c) 2,78 10 6 d) 2,69 10 4

44

Solucin:

a) 2,08Error absoluto = 0,0033Error relativo = 0,0016

b) 2,83Error absoluto = 0,0016Error relativo = 0,0006

c) 12,34Error absoluto = 0,0002Error relativo = 0,00002

d) 8,94Error absoluto = 0,0042Error relativo = 0,00048

808

43


11/18

96 SOLUCIONARIO

G


, S . L .


Clasifica los siguientes nmeros como racionales oirracionales:a) 2 b) 2/7 5/7c) 2 d) (0,2222)2

Escribe tres nmeros racionales entre 1,5 y 1,7

Escribe dos nmeros irracionales entre 3,1 y 3,2

Expresa, mediante el nmero , un nmero irra-cional que est comprendido entre 0 y 1

Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extre-mos sean nmeros enteros, que contenga al

nmero f =

Escribe en forma de intervalo las siguientes des-igualdades:a) 1 x 4 b) x > 2c) 1 < x 5 d) x < 3

Escribe en forma de entorno las siguientes des-igualdades:a) |x 1| < 2 b) |x 3| < 1c) |x + 2| < 3 d) |x| < 4

Redondea a dos decimales los siguientes nmerosy di cules de las aproximaciones son por defecto ycules por exceso:a) 25,4632 b) 74,0981c) 32,7381 d) 91,9983

Con calculadora

Halla con la calculadora el valor de los siguientesnmeros con tres cifras decimales:

a) 2 b) +

c) d) +

Halla con la calculadora y expresa el resultado en

notacin cientfica:a) 3,47 1014 + 5,68 1014

b) 2,898 1020 : (8,4 108)c) 2,5 1024 3,25 106

d) 2,71 1012 3,21 10 9 : (2,5 10 10)

Solucin:

a) 9,15 1014

b) 3,45 1011

c) 8,125 1030

d) 3,47964 1013

61

Solucin:

a) 6,283 b) 6,304c) 1,618 d) 8,941

12301 + 52

10

60

Solucin:

a) 25,46 por defecto.b) 74,10 por exceso.c) 32,74 por exceso.d) 92,00 por exceso.

59

Solucin:

a) E(1, 2) b) E(3, 1)c) E( 2, 3) d) E(0, 4)

58

Solucin:

a) [1, 4] b) (2, +@)c) ( 1, 5] d) ( @, 3)

57

Solucin:

(1, 2)

1 + 52

56

Solucin:

/4 = 0,7853

55

Solucin:

= 3,14159 10 = 3,1622

54

Solucin:

1,5 + 1,7 = 1,621,5 + 1,6

= 1,5521,5 + 1,55 = 1,5252

53

Solucin:

a) Irracional. b) Racional.c) Irracional. d) Racional.

5

52

Para ampliar


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G


, S . L .

Halla de forma exacta la longitud de una circunfe-rencia de 3 m de dimetro. Qu clase de nme-ro es?

Halla de forma exacta el rea de un tringulo equi-ltero de 2 cm de lado.Clasifica el resultado comonmero racional o irracional.

Halla de forma exacta las longitudes de los seg-mentos siguientes y clasifica los resultados comonmeros racionales o irracionales:

a) BH b) CI c) AGd) AF e) AE

La siguiente figura se conoce con el nombre detangram chino. Si el lado del cuadrado mide 1 m,halla el rea de cada una de las figuras que compo-nen el tangram.

Escribe el menor intervalo cerrado, cuyos extre-mos sean nmeros enteros, que contenga a

Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extre-mos sean nmeros enteros, que contenga alnmero 2

La longitud de una varilla se aproxima a 1,34 m.Entre qu valores se hallar la longitud real si laaproximacin es por defecto? Y si fuese por ex-ceso?

Las dimensiones de un cartn rectangular son0,542 m y 0,354 m. Calcula su rea y redondea elresultado a dos decimales.

Se construye un ortoedro de dimensiones5,5 cm 10,6 cm 8,6 cm para almacenar mediolitro de lquido. Qu error relativo se est come-tiendo?

70

Solucin:

0,19 m2

69

Solucin:

Entre 1,34 y 1,35Entre 1,33 y 1,34

68

Solucin:

(7,6)

67

Solucin:

[4, 5]

2166

Solucin:

A = B = 1/4 m2

C = F = 1/16 m2

D = E = G = 1/8 m 2

65

Solucin:

a) BH = 1/2.Nmero racional.b) CI = 2/3.Nmero racional.c) AG =

2. Nmero irracional.

d) AF = 5. Nmero irracional.

e) AE = 10. Nmero irracional.

64

Solucin:

h = 4 1 =

3

2 3A = =

3 cm2

2Es un nmero irracional.

63

Solucin:

L = 2 1,5 = 3 mEs un nmero irracional.

62

Problemas

1 cm

1 cmA B C D

G

H I

F E

A

B CD

E

FG

2

1

h


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98 SOLUCIONARIO

G


, S . L .


Se sabe que 4 g de hidrgeno contienen1,2046 1024 molculas. Calcula la masa en gra-mos de una molcula de hidrgeno.

Para profundizar

Calcula la longitud del segmento AB en la figurasiguiente y clasifica el resultado como nmeroracional o irracional:

Calcula la longitud delos segmentos AB,AC y AD de la figuraadjunta, y representade forma exacta en larecta real los nme-ros obtenidos:

La distancia que hay del Sol a la Tierra es de1,486 108 km. Si se toma la velocidad de la luzcomo 300000 km/s, calcula el tiempo que tarda laluz del sol en llegar a la Tierra.

Si el radio del Sol mide 6,96 105 km, calcula elvolumen del Sol suponiendo que es una esfera.

Halla el rea y el volumen de un tetraedo regularcuya arista mide 5 cm. Redondea el resultado ados decimales.

Solucin:

A = a2 3

A = 52 3 = 43,30 cm2

a3 2V =

1253

2V = = 14,73 cm3

12

76

Solucin:

4V = (6,96 105)3 = 1,41 1018 km33

75

Solucin:

t = e/vt = 1,486 10 8 : 300000 = 495,33 s = 8 min 15 s

74

Solucin:

AB = 2

AC =

3AD =

3 = 2

73

Solucin:

1 3AB = 2

1 ( )2 = 2 = 3 cm2 2


72

Solucin:

4 : (1,2046 1024) = 3,321 10 24 g

71

Solucin:

V = 5,5 10,6 8,6 = 501,38 cm3

|500 501,38|Error relativo = = 0,00276500

A

B

1 cm

A I

1

1

1

B

CD

5 cm

A

B

1/2

x1

0 1

1 _ 2

_ 2

0 1

1 _ 2

_ 3

0 1 2


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G


, S . L .

Halla el rea y el volumen de un octaedro regularcuya arista mide 2 cm. Redondea el resultado ados decimales.

Solucin:

A = 2a2 3

A = 2 22

3 = 13,86 cm2

a3 2V =

323

2V = = 3,77 cm3

3

77

2 cm


15/18

100 SOLUCIONARIO

G


, S . L .

Aplica tus competencias

Si se estima que la poblacin de una ciudad es de72 000 habitantes, da una cota de error absolutoy otra de error relativo.

Da una cota de error absoluto y de error relativopara las siguientes estimaciones:a) Los participantes de una manifestacin con-

tra la guerra han sido 132000

b) La altura de un rbol es de 12 m

Solucin:

a) Error absoluto < 500 habitantes.500Error relativo = 0,0038

132000

b) Error absoluto < 0,5 m0,5Error relativo = 0,0412

79

Solucin:

Resuelto en el libro del alumnado.

78


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G


, S . L .

Comprueba lo que sabes

Escribe la clasificacin de los nmeros reales y pon un ejemplo de cada uno de ellos.

Representa en la recta real los siguientes pares denmeros y calcula la distancia que hay entre ellos:a) 1 y 4 b) 4 y 2

Escribe en forma de desigualdad los siguientesintervalos, represntalos grficamente y clasifcalos:a) (1, 3) b) [ 2, 1)c) (@, 2) d) [ 1, + @)

Escribe los intervalos de los dibujos siguientes y clasifcalos:a)b)

c)

d)

Halla el error absoluto y el error relativo que secometen al aproximar con dos cifras decimaleslos siguientes nmeros:a) 38/15 b)


( )=( )

Calcula el rea de un tringulo equiltero de x cm de lado.

La masa de la Tierra es 5,974 1024 kg, y la de laLuna es 7,348 1022 kg. Calcula cuntas veces esmayor la masa de la Tierra que la de la Luna.

Solucin:

5,974 1024 : (7,348 1022) = 81,30

8

Solucin:

x 3h = x2 ()2 = x2 2

1 3

3 A = x x = x2

2 2 4

7

Solucin:

x + 1 + x + 3 = 10 2x = 6 x = 3

10x + 3

10x + 1

6

Solucin:

38a) = 2,5315Error absoluto = 0,0033Error relativo = 0,0013

b) 7 = 2,65

Error absoluto = 0,0042Error relativo = 0,0016

7

5

Solucin:

a) ( 4, 1) Abierto.b) [ 2, 2) Semicerrado y semiabierto.c) (2, +@) Abierto.d) ( @, 1] Semiabierto y semicerrado.

4

Solucin:

a) {x ; 1 < x < 3}

Abierto.b) {x ; 2 x < 1}

Semiabierto y semicerrado.c) {x ; @< x < 2}

Abierto.d) {x ; 1 x < +@}

Semiabierto y semicerrado.

3

Solucin:

a)

d(1, 4) = 3b)

d(4, 2) = 6

2

Solucin:

1

0 1

0 1

0 1

0 1

Reales

Irracionales:2

RacionalesEnteros Naturales : 0, 1

Negativos: 3

Fraccionarios: 23

0 1 4

0 1 2

0 1 3

0 2 1

0 1 2

0 1 1


17/18

102 SOLUCIONARIO

G


, S . L .

Calcula:

2( + 1) : ( 3)

Halla la expresin decimal con 15 dgitos delsiguiente nmero y clasifcalo como racional

o irracional:

Halla el error relativo que se comete al redon-dear el nmero a dos decimales.

Calcula: 3,5 108 : (2,5 10 5)

Calcula el factorial de 5

Calcula( )

Plantea los siguientes problemas y resulvelos con ayudade Wiris o Derive:

Aplica las propiedades de los nmeros combi-natorios y calcula el valor de x en la siguienteigualdad:

( )= ( )

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemticas, curso y tema.

87

Solucin:


12x + 2

12x 2

86

Solucin:


83

85

Solucin:


84

Solucin:


83

Solucin:


382

Solucin:


1 + 52

81

Solucin:


12

52

13

80

Paso a paso

Linux/Windows

Calcula:

a) 1 + b)

c) :( 1) d) ( + 1)

Halla la expresin decimal con 15 dgitos de lossiguientes nmeros y clasifcalos como racionaleso irracionales:

a) b) c) d) e

Solucin:

a) 1,4142135623731Nmero irracional.

b)1,46666666666667Nmero racional.

c) 3,14159265358979Nmero irracional.

d)2,71828182845905Nmero irracional.

2215

2

89

Solucin:

a) 5/12 b) 1/6c) 10/9 d) 2

52

47

25

23

56

25

12

23

54

88

Practica


18/18


G


, S . L .

Halla el error absoluto y relativo que se cometeal aproximar con dos cifras decimales lossiguientes nmeros:

a) b)

Opera y expresa en notacin cientfica:a) 5,4 1015 8,12 10 9

b) 2,7 106 : (1,5 10 4)

Calcula el factorial de los nmeros siguientes:a) 6 b) 8

Calcula los siguientes nmeros combinatorios:

a) ( ) b) ( )c)( ) d) ( )

Plantea los siguientes problemas y resulvelos con ayudade Wiris o Derive:

Aplica las propiedades de los nmeros combi-natorios y calcula el valor de x en la siguienteigualdad:

( )= ( )

La distancia que separa el Sol de la Tierra es de1,486 108 km. Si se toma la velocidad de la luzcomo 300000 km/s, calcula el tiempo que tardala luz del Sol en llegar a la Tierra.

Si el radio del Sol mide 6,96 105 km, calcula elvolumen del Sol suponiendo que es una esfera.

Solucin:

V = 1,4123 1018 km3

96

Solucin:

t = 495,33 s = 8,26 min

95

Solucin:

x = 6

9x 2

9x 1

94

Solucin:

a) 21 b) 56 c) 36 d) 924

126

97

83

75

93

Solucin:

a) 720 b) 40 320

92

Solucin:

a) 4,3848 107

b) 1,8 1010

91

Solucin:

a) 58/12 = 4,83Error absoluto = 0,00333Error relativo = 0,000689

b)6 = 2,45

Error absoluto = 0,00051Error relativo = 0,000208

65812

90

Windows Derive

Tema01 Los Numeros Reales

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