Teoria Numeros Reales

SEGUNDA UNIDAD

NUMEROS REALES

INTRODUCCIÓN

Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro

(representado habitualmente con la letra griega ) o también sección áurea, proporción áurea o

razón áurea.

La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.

Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente

Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver

Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es 2

51x .

Verifique y de su expresión decimal.

Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor

Consideraremos al conjunto (no vacío), como un conjunto de números a los cuales les llamaremos “números reales”. Definamos la adición en los números reales como a+b, siendo a, b ε IR. TEMA N° 1 : AXIOMAS Y TEOREMAS 1.1.AXIOMAS

A) Axiomas de la adición.

A1 Para todo a, b ε , a+b ε clausura

A2 Para todo a, b ε , a+b = b+a conmutativa

A3 Para todo a, b, c ε , (a+b)+c = a+(b+c) asociativa

COMPETENCIA Aplica los diferentes teoremas y propiedades de los

números reales en la solución de situaciones problemática demostrando interés en las

aplicaciones.

A4 Existe el 0 ε / para todo a ε , a+0 = 0+a = a elemento neutro

A5 Para todo a ε , existe –a ε / a+(-a) = (-a)+a = 0 opuesto Definamos la multiplicación en los números reales como a.b, siendo a, b ε IR.

M) Axiomas de la multiplicación.

M1 Para todo a, b ε , a.b ε clausura

M2 Para todo a, b ε , a.b = b.a conmutativa

M3 Para todo a, b, c ε , (a.b).c = a.(b.c) asociativa

M4 Existe el 1 ≠ 0 ε / para todo a ε , a.1 = 1.a = a elemento neutro

M5 Para todo a ≠ 0 ε , existe a-1 = 1/a ε / a. a-1 = a-1.a = 0 inverso D)Axiomas distributivos.

D1 a.(b+c) =a.b+a.c, para todo a, b, c ε por la izquierda

D2 (a+b).c = a.c+b.c, para todo a, b, c ε por la derecha E) Axiomas del orden.

1. Si a, b ε , se cumple UNA Y SOLAMENTE UNA de las condiciones siguientes: a = b ó a 0, entonces a.c < b.c monotonía del 5. Si a b.c producto

6. Existe un conjunto + (+ ) llamado conjunto de reales positivos, que satisface las siguientes propiedades:

1. a ε +, b ε +, entonces a+b ε + y a.b ε +

2. Cada a ε , satisface una y solo una de las condiciones siguientes:

a ε + ó -a ε + ó a = 0

F. Axiomas de la igualdad. Dados a, b, c ε I1 a = b ó a ≠ b dicotomía I2 a = a reflexiva I3 Si a = b, entonces b = a simetría I4 Si a = b y b = c, entonces a = c transitiva

I5 Si a = b, entonces a+c = b+c, para todo c ε unicidad de la adición

I6 Si a = b, entonces a.c = b.c, para todo c ε unicidad de la multiplicación

1.2. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE

Números Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, …………} Si incluimos el cero, se obtiene el conjunto: N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ……….} Números Enteros: Z = {………., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……….} Números Racionales: Q = {a/b, a y b ε Z, b ≠ 0} Números Irracionales:

I = - Q

1.3. TEOREMAS: 1. El “cero”, el “uno” , el “opuesto de a” y el “inverso de a” son únicos.

2. a = - (-a), a R

3. Si a 0, a = (a –1)-1

4. a 0 = 0 , a

5. –a = (-1) a, a

6. a (– b) = (-a) b = - (ab), a, b

7. (- a) (- b) = ab, a, b

a

bcxacbax

bd

bcad

d

c

b

a

bd

bcad

d

c

b

a

0,.18

.17

.16

8. a + c = b + c a = b (Ley de cancelación de la suma)

9. ac = bc y c 0 a = b (Ley de cancelación del producto)

10. ab = 0 a = 0 b = 0

ab 0 a 0 b 0

11. a² = b² a = b a = - b 12. a - b = - (b – a)

13. a – b = c a = b + c

14. c = a / b a = bc (b 0) 15. a (b - c) = ab – ac

19.Dados dos números reales a y b solo una de las condiciones siguientes se verifica: a = b ó a 0, si a 0

21. a 0 ac < bc (Ley de monotonía en el producto)

25.a bc

26.a -b

27.a > 0 a-1 > 0

a < 0 a-1 < 0 (a y a-1 tienen el mismo signo)

28.0 < a b-1 > 0

a a-1 > b-1

29.ab > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)

ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)

30.ab < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)

ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)

31.Si a 0 b 0 , a < b a² < b²

(a b a² b²)

32.a² + b² = 0 a = b b = 0 1.4. DEMOSTRACIONES:

El cero es único Supongamos que existen 0 y 0’ tales que:

a + 0 = a , para todo a ε y a + 0’ = a , para todo a ε probaremos que 0 = 0’.

(1) a + 0 = a A4 (2) Si a = 0’, entonces 0’ + 0 = 0’ (3) a + 0’ = a A4 (4) Si a = 0, entonces 0 + 0’ = 0 (5) Conmutatividad en (4): 0’ +0 = 0 A2

(6) De (5) y (2): 0 = 0’ I4

a.0 = 0

a.0 = a.0 I2 a.0 = a.0 + 0 A4 a.0 = a.0 + [a + (-a)] A5 a.0 = (a.0 + a) + (-a) A3 a.0 = (a.0 +a.1) + (-a) M4 a.0 = a.(0 + 1) + (-a) D1 a.0 = a.1 + (-a) A4 a.0 = a + (-a) M4 a.0 = 0 A5

a = -(-a)

De A5: a + (-a) = (-a) + a = 0 Como el opuesto es único, entonces: -(-a) = a

a, b, c ε , se cumple: Si a + c = b +c, entonces a = b a + c = b + c

(a + c) + (-c) = (b + c) + (-c) I5 a + [c + (-c)] = b + [c + (-c)] A3 a + 0 = b + 0 A5 a = b A4

Si a.b = 0, entonces a = 0 ó b = 0 El teorema queda demostrado si b = 0. Si a ≠ 0, entonces a tiene inverso a.b.a-1 = 0.a-1 I6 a.a-1.b = 0.a-1 M2 (a.a-1).b = 0.a-1 M3 1.b = 0.a-1 M5 b = 0.a-1 M4 a-1 ≠ 0, puesto que a ≠ 0, entonces 0.a-1 = 0 Por lo tanto: b = 0

Sustracción en : a – b = a + (-b)

División en : a/b = a.b-1

TEMA N° 2 : ECUACIONES E INECUACIONES

INTRODUCCIÓN

Niccoló Fontana (Brescia, 1499-Venecia, 1557). Matemático italiano. Recibió el sobrenombre de Tartaglia (tartamudo) por un defecto en el habla a consecuencia de una herida durante el saqueo de su ciudad natal por las tropas de Gastón de Foix, en 1512.

Él mismo cuenta que durante la toma de Brescia, en 1522, los franceses arrasaron la ciudad. Su madre, ya viuda, se refugió con sus hijos en la Catedral, donde un soldado asestó al muchacho de 12 años un golpe de espada en la mandíbula. Como consecuencia de ello quedó tartamudo, por lo que recibió de sus compañeros el apodo de Tartaglia, denominación que él adoptó como nombre de autor, sin ningún complejo.

Fue autodidacta en las disciplinas de matemáticas y científico-naturales. Gracias al empeño y tenacidad en los estudios pronto llegó lejos y muy joven se abrió camino en Brescia y Verona como profesor de Matemáticas y calculista público. En calidad de esto último efectuaba cálculos para arquitectos, ingenieros, artilleros, comerciante, astrólogos, etc. Mas tarde ejerció su profesión en Venecia, Milán y Piacenza.

También sobresalió como traductor. A los 43 años publicó una traducción latina de Arquímedes y una edición italiana de los "Elementos" de Euclides , conociendo cinco ediciones en 42 años.

Estudió las ecuaciones de tercer grado y problemas de máximos y mínimos. Fue el primero en resolver la ecuación de tercer grado e ideó el triángulo que permite obtener los coeficientes del desarrollo binomial , llamado Triángulo de Tartaglia, que es la disposición numérica formada a partir de los coeficientes de los distintos desarrollos de la potencia n-ésima de un binomio cuando n toma sucesivamente los valores 0, 1, 2, 3, etc.… Disponiendo en filas sucesivas dichos coeficientes para cada valor de n, se obtiene la siguiente configuración:

1

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

. . . . . . . . . .

Cada fila corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia (n-1)-ésima de un binomio (n= 1, 2, 3, …siendo n el orden que ocupa dicha fila), según la fórmula que Newton generalizó posteriormente, utilizando los nºs combinatorios, .

En 1530 Zuanne da Coi envió los siguientes problemas a Niccolo Tartaglia (1500-1557): x3 + 3x2 = 5 , x3 + 6x2 + 8x = 1000

Tartaglia mantenía que sabía resolver estas ecuaciones y al poco tiempo Fiore le reto a un concurso. Cada participante tenía que depositar una cierta suma de dinero ante notario y proponer varios problemas para que los resolviera su oponente; el que en un plazo de 30 días hubiera resuelto más problemas se llevaría todo el dinero. Tartaglia, suponiendo que Fiore le plantearía ecuaciones de la forma x3 + bx = c, desarrolló rápidamente un método general para resolver dichas ecuaciones; de hecho, los problemas de Fiore fueron de este tipo y Tartaglia los pudo resolver todos. Sin embargo, los que él propuso eran ecuaciones de la forma x3 + ax2 = c, los cuales ya los sabía resolver y resultaron demasiado difíciles para Fiore.

2.1 ECUACIÓN LINEAL

Las ecuaciones lineales tienen la forma o son transformables a la forma general: 0bax ,

donde a y b son constantes , a diferente de 0, y siendo x la incógnita, por lo cual son también llamadas ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA y se resuelve de siguiente manera.

Ejercicios Propuestos

Resuelve los siguientes ejercicios y encuentra el valor de “x”

1. 032 x

a

bxbax 0

2. xxxx 73397

3. 103)12(8 xxx

4. xxx 5)2(2)3(21

5. xxx 5)2(1)3(41

6. 3423

xxxx

7. 45

4

3

2

2

3

xxx

8. 93

14

5

13

2

7

3

12 xxxx

9. 0)23(5)2(7)4(3 aaxaxxa

10. 958)3(53 xxxxx

11. 3

2

1

2

2

3

4

3

x

x

x

x

x

x

x

x

12. 15

45

3

2 xx

13. 8

1

5

31

1 xxx

14. 0

3

12

11

13

2

11

11

3

aa

15. 1)8

31)(

11

41(

xx

2.2. ECUACIÓN CUADRÁTICA

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma 02 cbxax donde cyba , son

números reales y 0a .

Ejemplos: 092 x 0122 xx 0432 2 xx

La condición de que 0a en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación.

Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. Recordaremos los siguientes métodos: factorización, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Factorización: Recordemos que para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Factorizamos el miembro de la ecuación que no es cero. Se iguala a cero cada factor y se obtienen los valores de la variable. Ejemplos:

Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:

1) 042 xx

2) 1242 xx

3) 061712 2 xx

Recuerda: Como este método está limitado a coeficientes enteros, no podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización Completando el cuadrado: El completar el cuadrado consiste en hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto, cuando conocemos los dos primeros.

x2 + bx + ?

El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros

términos son bxx 2 es :

Al completar el cuadrado se halla una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto en un miembro de la igualdad. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos miembros de la ecuación. Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:

1) 0762 xx

2) 05102 xx

3) 0432 2 xx

Fórmula cuadrática: La solución de una ecuación 02 cbxax con 0a , está dada

por la fórmula cuadrática:

La expresión: acb 42 conocida como discriminante determina el tipo de soluciones.

La siguiente tabla nos indica el tipo de raíz de acuerdo al valor del discriminante.

Valor de:

acb 42

Tipo de solución

positivo dos soluciones reales

cero una solución real

negativo dos soluciones complejas

Demostración En primer lugar hay que llevar la ecuación a la forma:

x bxb2

2

2

.

xb b ac

a 2 4

2.

Multiplicamos ambos miembros por 4a (la igualdad se mantiene):

En el primer miembro, sumamos y restamos 2b :

Observemos los primeros 3 términos, se trata de un T.C.P., factoreando se obtiene:

Ahora es fácil despejar x :

a

acbbxacbbaxacbbax

2

4424)2(

2222

Esta última es la famosa fórmula que nos da las soluciones para x .

Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática:

1) 0682 xx

2) 0169 2 xx

3) 0145 2 xx

Recuerda: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.

PROBLEMAS PROPUESTOS

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

1. 082 x

2. 0202 xx

3. 0542 xx

4. 0142 2 xx

5. 169 2 xx

6. 0510 2 xx

7. 01032 xx

8. )1(35 2xx

9. 3

2

6

51

2xx

10. 1252 xx

11. 052 xx

12. 162 x

13. 162 x

14. Resolver la ecuación cuadrática; 0)9()2( 2 axaxa , sabiendo que el coeficiente

principal es 9. 15. Resolver la ecuación sabiendo que el término independiente es 8, siendo :

0)11()4()12( 2 bxbxb

16. Resolver: 0)( 2 baxa

bxxb

17. Resolver: 2

13

9

10)

10

9(3

x

x

x

x

2.3 ECUACIONES POLINÓMICAS

1. 0152 24 xx

2. 0496 234 xxx

3. 0310103 34 xxx

4. 0231276 234 xxxx

5. 081434 234 xxxx

6. 0931425 2345 xxxxx

7. 0242022 2345 xxxxx

8. 03019153 234 xxxx

2.4 DESIGUALDADES

Los símbolos de la desigualdad son:

> mayor que

mayor ó igual que < menor que

menor ó igual que

Una expresión matemática que contiene uno o más de los símbolos anteriores se llama desigualdad. La dirección del símbolo de desigualdad es en ocasiones llamado sentido de la desigualdad. Algunos ejemplos de desigualdad son:

3 5 7 < –5 -3 5 02

2.5. INECUACION

Es una desigualdad que contiene uno o más variables (incógnitas) que solo se verifican para ciertos valores de las mismas. Recta real.- Recta donde se establece una biyección, a cada número real le corresponde un único punto de la recta y a cada punto le corresponde un único número real.

INTERVALOS

Intervalos son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos.

Intervalos acotados (finitos).- Dados a y b son números reales con ba .Definimos los

siguientes subconjuntos de R:

bxaxba /),(

bxaxba /,

bxaxba /],(

bxaxba /),[

Los conjuntos así definidos se llaman: intervalo abierto, intervalo cerrado, intervalo abierto-cerrado e intervalo cerrado-abierto. Geométricamente podemos representar estos intervalos sobre la recta real como se indica en las siguientes figuras:

Un corchete en la figura indica que el extremo correspondiente pertenece al intervalo.

Intervalos no acotados (infinitos).- Si por lo menos uno de sus extremos es el ideal ;

. Se acostumbra ampliar el concepto de intervalo para incluir los siguientes conjuntos:

axxa /),(

axxa /),[

axxa /),(

axxa /],(

),(

Operaciones.- Los intervalos son conjuntos (subconjuntos de ) con ellos es posible realizar las operaciones conjuntistas: unión, intersección, complementación, diferencia, diferencia simétrica, etc. Ejemplos

1. Dados 102/ xxA y 75/ xxB , halla:

1.1 {BA

1.2 {BA

1.3 { BA

1.4 { AB

1.5 {cA

1.6 {cB

1.7 {)( cBA

1.8 {)( cBA

1.9 {)( cBA

2. Dados ]3,A , ,4B , 3,6C y 5,0D , halla:

2.1 )()( DBCA

2.2 ),( a

2.3 DBC c )(

2.4 CA

3. Si 10,4)32

1( 1x ; halla la variación de

5

12 2 x

2.6. INECUACIONES LINEALES

Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal.

Es de la forma: 0,,, bax

Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Ejemplo :

Resolver la inecuación: 11275 xx

Solución:

7112511275 xxxx

183 x

6x

6/.. xxSC

Expresándolo como intervalos: ,6x

El gráfico correspondiente será:


1. 05x

2. 1553 xx

3. 113 x

4. 8513 xx

5. 15753 xx

6. 2

952

3

xx

7. 44

362

xx

8. 5532 x

9. 52 x

10. 35532 xxx

11. 16281025 xxx

12. 3

1

4

13

5

1 x

13. 4

3)62(

2

36

xx

x

14. )58(3

2)2(

3

5

2

152xx

x

15. xxx

211)1(3

4

5

25

2.7 INECUACIONES CUADRÁTICAS

Las inecuaciones cuadráticas se presentan de la forma:

Dados: cba ,, , 0a ,

02 cbxax

02 cbxax

02 cbxax

02 cbxax

El modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas. Caso I:

Si el discriminante es menor que cero, es decir, 042 acb , en la desigualdad hacemos

que 12 cbxax .

Ejemplo 1.- Resolver la inecuación: 0202 xx

Hallamos el discriminante: 0)20)(1(4)1( 2

Reemplazamos en la inecuación 202 xx por 1, y obtenemos la proposición

01 , la cual es VERDADERA, por lo tanto,

..SC



Reemplazamos en la inecuación 202 xx por 1, y obtenemos la proposición

01 , la cual es FALSA, por lo tanto,

..SC

Caso II:

El discriminante es mayor que cero, es decir, 042 acb

Ejemplo 1.- Resolver la inecuación: 0352 2 xx


El polinomio 352 2 xx , lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante (por

factorización, completando cuadrados o mediante la fórmula), es decir, hallamos los llamados PUNTOS CRÍTICOS.

Los puntos críticos, 2

1 y 3, se llevan a la recta real y se determinan los signos de los

intervalos resultantes mediante la “regla práctica”

+ + + - - - - + + +

Como el polinomio es positivo o cero se toman los intervalos ]5,0, y ,3[

De donde:

32

1/.. xxxSC

Expresándolo como intervalos: ,3[]2

1,x




El polinomio 652 xx , lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante (por

factorización, completando cuadrados o mediante la fórmula), es decir, hallamos los llamados PUNTOS CRÍTICOS. Los puntos críticos, -3 y -2 , se llevan a la recta real y se determinan los signos de los intervalos resultantes mediante la “regla práctica”

+ + + - - - + + + +

Como el polinomio es negativo se toma el intervalo 2,3

De donde: 23/.. xxSC

Expresándolo como intervalos: 2,3x




El polinomio 822 xx , lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante (por

factorización, completando cuadrados o mediante la fórmula), es decir, hallamos los llamados PUNTOS CRÍTICOS. Los puntos críticos, -2 y 4 , se llevan a la recta real y se determinan los signos de los intervalos resultantes mediante la “regla práctica”

+ + + + - - - - + + + +

Como el polinomio es positivo o cero se toma los intervalos 2, y ,4

De donde: 42/.. xxxSC

Expresándolo como intervalos: ,4[]2,x


MÉTODO GRÁFICO

Al factorizar una inecuación cuadrática nos resultan inecuaciones de la forma

La solución de esta inecuación también se puede hallar utilizando un método gráfico, conocido como el "Método de las cruces” o “Método del cementerio". La eficacia del "Método de las cruces" se manifiesta cuando deseamos resolver una inecuación de grado n > 2, o sea, cuando al factorizar nos resulta una inecuación de la forma

Pasos a seguir: 1. Se factoriza el polinomio. 2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo. 3. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el resultado 4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor. 5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso anterior 6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz . 7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con un signo menos y a la derecha con un signo más.

8. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los signos de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugar correspondiente de la recta real de resultados. 9. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en cambio si el sentido de la inecuación es <, la solución será la unión de los intervalos señalados con el signo menos.

Ejemplo 1.- Resolver la inecuación: 02438132 234 xxxx

Factorizando: 04321 xxxx

Las raíces son: 4,1,2,3 x

Aplicamos los pasos sugeridos en el método:

De donde: 4123/.. xxxxSC

Expresándolo como intervalos: ,41,23,x


Ejemplo 2.- Resolver la inecuación: 0306 23 xxx

Factorizando: 0235 xxx

Las raíces son: 2,3,5 x



Expresándolo como intervalos: ]2,3[]5, x


1. 0962 2 xx

2. 76549 2 xx

3. 052 x

4. 052 x

5. 642 x

6. 162 x

7. 254 2 x

8. 1451122 2 x

9. xx 1284 2

10. )1(41183 2 xxx

11. 2)2()23( xxx

12. 91131 2 xx

13. 062 xx

14. 06 xx

15. 0122 xxx

2.8 INECUACIONES POLINÓMICAS


1. 0642 234 xxxx

2. 031052 234 xxxx

3. 062 xx

4. (-x+1) 05612 xx

5. 0211 32 xxx

6. 02115322 xxx

7. 02115342 xxx

8. 0121 242 xxx

9. 0421 282 xxx

10. 06245 22 xxxxx

2.9 INECUACIONES FRACCIONARIAS

El "Método de las cruces" se puede extender a la solución de inecuaciones que contienen fracciones algebraicas. Lo primero que debemos hacer es excluir los números reales que hacen que los denominadores sean cero.

Pasamos todas las fracciones y demás expresiones algebraicas al primer miembro de la desigualdad, quedando en el segundo miembro 0. Luego reducimos el primer miembro a una sola fracción. Por último, factorizamos el numerador y el denominador, aplicamos el "Método del cementerio", pero teniendo en cuenta las raíces que anulan el denominador.

Ejemplo 1.- Resolver la inecuación: 25

3

7

5

xx

5,7 x , estos valores anulan los denominadores.

025

3

7

5

xx

Obteniendo en el primer miembro: 0)5)(7(

)2)(6(

xx

xx


De donde: 2567/.. xxxxSC

Expresándolo como intervalos: ,25,67,x


Ejemplo 2.- Resolver la inecuación: 12

3

1

4

xx

1,2 x , estos valores anulan los denominadores.

012

3

1

4

xx

Obteniendo en el primer miembro: 0)2)(1(

)1)(3(

xx

xx



Expresándolo como intervalos: 1,12,3x



(1) 12

4

x

x 2) 0

2

4

x

x 3) 2

2

x

x 4) 5

2

2

x

x

5)5

9

2

4

3

4

x

x (6)

2

1

3

x

x

x

x (7)

2

3

23

2

xx

(8) 2

131

x

xx (9)

3

24)25(3

4

13 xx

x

(10) 32

1

4

82

2

53

x

xx (11)

105

36

2

)22(3 xxx

(12) 3

73

2

1

xx (13)

2

)1(7

3

15

yy

(14) 3

1

2

32

3

22

xxx (15)

2

1

1

36

2

1

x

x

(16) 3

2

2

1

4

3

xxx

x (17)

11

113

4

84

8

1

xx

(18) Resolver el sistema: 53

1

3

52

xx ;

6

124

2

13

3

1

xxx

19)Determinar el costo mínimo “C” dado que : 1,75 + 2,5 C 5( C – 25) 20)Las funciones de oferta y demanda de un cierto artículo son: S(p) = 4p + 200 y D(p) = 480 – 3p , donde “p” es el precio ¿Qué valores toma “p”, si la oferta S(p) es mayor que la demanda D(p)?

21) Sea “p” el precio por unidad de un artículo y “q” la cantidad de artículos. Si p = 50 – 2q y “p” varía entre 0 y 50 ¿entre que valores varía “q”?

22) Sea “x” el número de unidades fabricadas y vendidas. Si el ingreso total es R(x) = 110x y el costo total es C(x) = 7 500 + 60x, ¿para qué valores de “x” el ingreso es mayor que el costo?

23) Si 0 q 900 y p = 63100

7 q ¿Cuál es el valor mínimo de “p”? y ¿cuál es el valor

máximo de “p”? 24) Por sugerencia del contador el gerente de una empresa decide pedir un préstamo a corto

plazo para comprar mercancía. La compañía tiene un activo de $45 000 y un pasivo de $90 000. ¿Cuánto puede pedir prestado si quiere que su razón de activo no sea menor que 3,5?

(Razón de activo = circulantepasivo

circulanteactivo)

25) Una fábrica de camisas produce “x” camisas a un costo de mano de obra total de $1,20x y un costo total por material de $0,30x. Los gastos generales para la planta son $6 000. Si cada camisa se vende en $3. ¿Cuántas camisas deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?

2.10. INECUACIONES FRACCIONARIAS POLINÓMICAS PROBLEMAS PROPUESTOS

1. 02

52

x

x

2. 0)2)(5(

)3( 2

xx

x

3. 0)1)((

)3(2

3

xx

x

4. 0)1)(2(

2)2(3

2

xx

x

5. 012

)2(2

3

xx

x

6. 03

132

2

xx

xx

7. 0)2(

3

2

x

xx

8. 0145

1282

23

xx

xxx

9. 0)16)(4(

)6)(6(22

22

xx

xxxx

10. 0)2)(4(

)6)(1)(1()1(2

2422

xx

xxxxx

11. 0)4)(3)(3)(2(

)4)(1()2)(3(22

2

xxxxx

xxxx

12. 0)23)(1(

)7)(5(22

22

xxxx

xx

TEMA N° 3: ECUACIONES E INECUACIONES CON RADICALES

3.1 ECUACIONES CON RADICALES:

Sí una ecuación o inecuación contiene una expresión con un radical de orden par como:

)(xf , 4 )(xf , )(xf , 6 )(xf

Las soluciones reales se encuentran mediante cálculos y operaciones matemáticas, teniendo

en cuenta la siguiente condición: 0)( xf

TEOREMA: Sean a y b números reales, entonces:

200 bababa

3.2 ECUACIONES CON VARIOS RADICALES:

Cuando en una sola ecuación existen K radicales, entonces se debe calcular los universos

relativos: KUUUU ..........,, 321 , para cada radical, los cuales al ser intersecados constituirán

el universo general:

Así: KUUUUU ..........321 , esto nos permite considerar a todas las soluciones.

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1. 04 x

2. 0162 x

3. 0492 x

4. 21

12

x

x

5. 04 xx

6. 28

8

xx

xx

7. 44 xx

8. 323521574 222 xxxxxx

9. 52312 xxx

10. 1)13)(22( xxx

11. a

bx

a

xbabxbxa

2

31

2

2332 2

12. 23245 22 xxxx

EXTENSIÓN PARA EL APRENDIZAJE:

1. 0252 x

2. 11

12

x

x

3. 07 xx

4. 2212 xx

5. 52312 xxx

6. 23245 22 xxxx

7. 0122 xx

8. 37

4

23

1

27

12

x

9. 2

141

xxxx

10. 311

11

xx

xx

3.3 INECUACIONES CON RADICALES:

TEOREMAS 1: Sí n es un número positivo par, entonces:

yxyx nn 0 yxyx nn 0

TEOREMAS 2: Si n es un entero positivo par:

a) 0)(0)(0)( xpxpxp n

b) 0)(0)( xpxpn

c) )()(00)()( xQxpxQxp nn

Sí n es entero positivo impar, entonces:

a) 0)(0)( xpxpn

b) 0)(0)( xpxpn

c) )()()()( xQxpxQxp nn

TEOREMAS 3:

Sean a y b números reales, entonces:

)()(0)(0)(0)()()( 2 xQxpxpxQxpxQxp

)()(0)(0)(0)()()( 2 xQxpxPxQxpxQxp

TEOREMAS 4: Sean a y b números reales, entonces:

)()(0)(0)()()( 2 xQxpxQxpxQxp

)()(0)(0)()()( 2 xQxpxQxpxQxp

TEOREMA 5:

1. 0)()( xQxP )0)(0)(()0)(0)(( xQxpxQxP

2. 0)()( xQxP 0)(0)( xQxP

3. KxQxP )()( 2)()()0)(0)(( xQKxPxQxP

Consideremos otros casos más generales:

PRIMER CASO: Si n es impar positivo mayor que uno.

1. 0)(

)().(0

)(

)()(

xR

xQxP

xR

xQxP n

2. 0)()(

)().(0

)()(

)(

xQxR

xQxP

xQxR

xP

n

SEGUNDO CASO: Si n es par positivo.

1. 0)(0)(0)(.)( xQxPxQxPn

2. 0)(0)(0)(.)( xQxPxQxPn

3. 0)(

)(0)(0

)()(

)(

xR

xPxQ

xQxR

xP

n

4. 0)(

)(0)(0

)()(

)(

xR

xPxQ

xQxR

xP

n


1. 25 x

2. 15 x

3. 04 x

4. 05 x

5. 1328 x

6. 112 xx

7. 184 xx

8. xx 392

9. 3216 xx

10. xx 232

11. xx

x

2

4

12. 12734 22 xxxx

13.

0

48484

12131235

33 2

xxxx

xxx

14. 062

4

54 2

3

xx

x

15. x

x

x

x 6

1

2

16. xxx 2414

17. 26533 23 xxxx

18. 321 xx

19. 17169 2 xx

20. 17169 2 xx

1. 18257 xxx

2. xx 1352

3. xx 32

4. 462 xx

5. 01 x

6. 11

1

x

x

7. 442 xx

8. 212 xx

9. xxx 2224

10. 3273 xx

1. 55 xx

2. 05 xx

3. 621 xx

4. 0)67(1 2 xxx

5. 034

)4)(2(

7 2

3

xx

xx

6.

02)1(

9615254

232

xx

xxxxx

7. 062

4

54 2

3

xx

x

8.

0

48484

12131235

33 2

xxxx

xxx

9.

0

44

12131235

33 2

xxx

xxx

10. 322 xx

11. 03562 xxx

12. 051092 xxx

13. 5)2(5 xx

14. 0)45(3 2 xxx

15. 0)215(65 22 xxxx

16. 0)67(8 2 xxx

17. 041

xx

x

18.

0

2)1(

715254

2

xx

xxx

19.

0

254

1213124

33 2

xx

xxx

EXTENSIÓN PARA EL APRENDIZAJE:

1. 25 x Rpta. ,5x

2. 313142 xxx Rpta. 1,x

3. 3465 22 xxxx Rpta. 1,x

4. 313142 xxx Rpta. 1,4

3x

5. 03

5

1

82

x

x

x

x Rpta. 5,41,3 x

6. xx 432 Rpta.

,2

35x

7. 02322 xx Rpta. 53,53

8. 034

44

5 2

32

xx

xx Rpta. 3,24,

9.

01227

4.3613.)3(5

43 22

xxxxx

xxxx Rpta. 4,31,04,7

TEMA N° 4 : ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 4.1. VALOR ABSOLUTO

DEFINICIÓN: Se llama valor absoluto al número real x, al número no negativo denotado por

x y definido por:

0,

0,0

0,

)1

xsix

xsi

xsix

x

Ejm: a. 7 =7 b. 7 = -(-7) =7 c. 21)12(12

PROPIEDADES:

1. Para todo x , y є R :

a. xx

b. yxyx ..

c.y

x

y

x , b 0

d. 22xx

e. xx 2

f. yxyx

g. yxyx

4.2. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO TEOREMAS 1: Para todo x , b є R :

bababba 0

TEOREMAS 2: Para todo x , b є R :

bxbxba

2aa


1. 54 x

2. 64 x

3. xx 34

4. xx 5432

5. 5322 xx

6. 36

52

x

x

7. 1232 xx

8. xx 21

9. 1292 xx

10. 2423 xx

11. 0322 xx

12. 421 xxx

13. 02

1

x

x

14. 549 22 xx

15. Halla el valor de la expresión:

x

xx 114 , si x є <0 , 1>

16. 5314 xxx

EXTENSIÓN PARA EL APRENDIZAJE

1. 5213 xx

2. xx 2442

3. xx 2312

4. 1232 xx

5. 62162 xxx

6. 4312 xxx

7. 325 xx

8. 5745

x

xx, si x є <0 , 3>

9. 832

83

x

x

10. 0183332

xx

4.3. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:

Teorema 1: Sean x , a ,Є R ,entonces:

axayaax 0)1

axóaxax )2

Corolario:

axayaax 0)1

axóaxax )2

Teorema 2: dados a y b Є R:

0)1 bababa

0)2 bababa

Corolario

0)1 bababa

0)2 bababa


1. 58 x

2. 352 x

3. 432

2

x

x

4. 542 x

5. 51

4 x

6. 21

33

x

x

7. 152 xx

8. 1412 xx

9. 4242 xx

10. xx

x

5

2

3

11. 8332 xx

12. 322932 22 xxxx

13. 02

1

x

x

14. 21213 xxx

15. Sí: A =

1

1

12

5/

xxRx Hallar el complemento de A

16. 12

46 2

x

xx

17. 01

22

x

xx

18. 02532 xx

19. 107 x

20. 11

13

x

x

21. 341

31

x

x

x

22. 4312 xx

23. 68

xx

24. 01

4

x

x

25. 22113 xxx

26. Sí: A =

12

1

12

1/

xxRx Hallar el complemento de A

27. 2

1

12

5

xx

28. 01

1

x

xx

EXTENSIÓN PARA EL APRENDIZAJE

1. xx 5432 Rpta: 7/3

2. 3732 xx Rpta: 5,4,2,1

3. xx 5462 Rpta:

7

10,

3

2

4. x

xx

2

105107 si x є <0 , 1> Rpta: 6

5. 2

1

3

56

x

x Rpta:

3

5,

11

9

6. xx 22 Rpta: ,3

2

7. Hallar el menor de los números M tales que:

Mx

x

6

9, si x 5,2 Rpta: 2

8. Hallar el menor de los números M tales que:

Mx

xx

27

1463

2

, si x 2,2 Rpta:

35

6

9. xxx 613

10. 0941

31

12

1214

x

x

x

x

xx Rpta: x 9,4

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