Funciones reales. Funciones elementalesIntroducciónEn esta lección vamos a estudiar con algún detalle un concepto teórico importante que es elde continuidad. En este curso se supone que ya tienes un conocimiento intuitivo de las funcio-nes elementales (exponencial, logaritmo natural, trigonométricas), no obstante, si yo doy porsabido algo que tú desconoces harás muy bien en preguntar y yoharé lo posible por despejartus dudas.

2.1. Funciones realesLas funciones son las herramientas principales para la descripción matemática de una situa-ción real. Todas lasfórmulasde la Física no son más que funciones: expresan cómo ciertasmagnitudes (por ejemplo el volumen de un gas) dependen de otras (la temperatura y la pre-sión). El concepto de función es tan importante que muchas ramas de la matemática modernase caracterizan por el tipo de funciones que estudian. No es de extrañar, por ello, que el con-cepto de función sea de una gran generalidad. Además, se trata de uno de esos conceptos cuyocontenido esencial es fácil de comprender pero difícil de formalizar.La idea básica de función es la siguiente. Supongamos que tenemos dos conjuntosAyB; unafunción deAenBes unareglaquea cada elemento deAasocia un único elemento deB

.En este curso estamos interesados principalmente en funciones entre conjuntos de númerosreales, es decir,AyBson subconjuntos deR; con frecuenciaB=R. Estas funciones se llamanfunciones reales de una variable real. En lo que sigue nos referiremos solamente a este tipo defunciones y, si no se especifica otra cosa, se entiende queB=R. Por tanto, para darnos unafunción nos deben decir, en principio, el subconjuntoAdeRdonde suponemos que la funciónestá definida y la regla que asigna a cada número deAun único número real. El conjuntoArecibe el nombre dedominiode la función.10Funciones reales11Las funciones se representan por letras. En la práctica las letras más usadas sonf,gyh, perocualquiera otra es también buena. Si

fes una función yxes un número que está en su dominio,se representa porf(x)(léase “fdex”) el número quefasigna ax, que se llamaimagen dexporf.Es muy importante en este curso distinguir entref(una función) yf(x)(un número real).Es importante advertir que las propiedades de una función depende de la regla que la definey también de su dominio, por ellodos funciones que tienen distintos dominios se considerandistintas funciones aunque la regla que las defina sea la misma.Criterio de igualdad para funciones.Dos funcionesfygson iguales cuando tienen igual dominio y

f(x) =g(x)para todoxen eldominio común.Notemos también que aunque estamos acostumbrados a representar a las funciones mediantefórmulas, no siempre es posible hacerlo.El símbolof:A→Rse utiliza para indicar quefes una funcióncuyo dominio esA(se supone,como hemos dicho antes, queAes un subconjunto deR)Veamos unos ejemplos sencillos.a) Seaf:R→Rla función dada porf(x) =

x2

.b) Seag:R+

→Rla función dada porg(x) =x2

.c) Seah:R→Rla función dada por:h(x) =(0,six∈Q1,six∈R\Qd) Seaf

(x) =x3

+5x+6x2

−1Según lo antes dicho, las funciones en a) y b) son distintas. Nótese que la función definida enb) es creciente y la definida en a) no lo es.La función definida en c) es llamadafunción de Dirichlet. Nótese que no es fácil calcular losvalores de dicha función porque no siempre se sabe si un número real dado es racional o irra-cional. ¿Ese+πracional? Pese a ello la función está correctamente definida.En d) no nos dan explícitamente el dominio defpor lo que se entiende quefestá definidasiempre quef(x)tenga sentido, es decir, siempre que,x2

−1,0, esto es, para

x±1.El convenio del dominioCuando una función se define mediante una fórmulaf(x) =fórmulay el dominio no es explí-cito, se entiende que el dominio es el mayor conjunto de valores dexpara los cuales la expre-Universidad de GranadaDpto. de Análisis MatemáticoProf. Javier PérezCálculo – Ing. de TelecomunicaciónFunciones reales12siónf(x)tiene sentido como número real. Éste es el llamadodominio naturalde la función. Siqueremos restringir el dominio natural de alguna manera, entonces debemos decirlo de formaexplícita.Usaremos la notacióndom(f)para representar el dominio de una funciónf(dicho dominiopuede ser el natural o un subconjunto del mismo). El conjuntode todos los valores que tomauna función,{

f(x):x∈dom(f)}, suele llamarserango o recorrido def, o simplemente,la imagendefy lo representaremos porimagen(f).Ocurre que el dominio natural de muchas funciones es unintervaloo la unión de varios inter-valos. Recordemos el concepto de intervalo y cuántos tipos diferentes hay.2.1 Definición.Un conjuntoI⊆Rse llama unintervalosi siempre que dos números están enItodos los números comprendidos entre ellos dos también están enI. El conjunto vacío, Ø, seconsidera también como un intervalo.Además de

Ry del Ø, hay los siguientes tipos de intervalos1

.Intervalos que tienen dos puntos extremosayb(dondea6bson números reales):[a,b] ={x∈R:a6x6b};(intervalo cerrado)]a,b[ ={x∈R:a<x<

b};(intervalo abierto)[a,b[ ={x∈R:a6x<b};(intervalo abierto a derecha y cerrado a izquierda)]a,b] ={x∈R:a<x6b};(intervalo abierto a izquierda y cerrado a derecha)Intervalos que tienen un único punto extremoc∈Rllamado

origendel intervalo:]−∞,c[ ={x∈R:x<c};(semirrecta abierta a la izquierda)]−∞,c] ={x∈R:x6c};(semirrecta cerrada a la izquierda)]c,+∞[ ={x∈

R:x>c};(semirrecta abierta a la derecha)[c,+∞[ ={x∈R:x>c};(semirrecta cerrada a la derecha)Comoes la primera vezque aparecen, hay que decir que los símbolos+∞(léase: “más infinito”)y−∞(léase: “menos infinito"); son eso: símbolos. No son números. Cada vez que aparece unode ellos en una situación determinada hay que recordar cómo se ha definido su significadopara dicha situación. A veces, se escribeR=]−∞,+∞

[.La mayoría de las funciones que vamos a usar en este curso pertenecen a la clase de lasfunciones elementales. Se llaman así porque pueden obtenerse a partir de ciertos tipos de fun-ciones bien conocidas realizando las operaciones de suma, producto, cociente y composiciónde funciones.Dadas dos funcionesfygse define sufunción suma(resp.producto) como la función que acada númerox∈dom(f)∩dom(g)asigna el número realf(x)+g(x)(resp.f(x)

g(x)). Dicha funciónse representa con el símbolof+g(resp.f g). Se define la función cociente defporgcomo lafunción que a cada númerox∈dom(f)∩dom(g)cong(x),0asigna el número realf(x)g(x). Dicha

función se representa con el símbolofg. También podemos multiplicar una funciónfpor un1

Este resultado, en aparienciaevidente, no podríamosdemostrarlocon las herramientas de que disponemos hastaahora.Universidad de GranadaDpto. de Análisis MatemáticoProf. Javier PérezCálculo – Ing. de TelecomunicaciónFunciones reales13númeroαpara obtener la funciónαfque asigna a cadax∈dom(f)el númeroαf(x). De todasformas, el producto de un número por una función puede considerarse como un caso parti-cular del producto de funciones, pues se identifica el númeroαcon lafunción constantequetoma como único valorα

.Las propiedades de la suma y el producto de funciones son las que cabe esperar y su demostra-ción es inmediata pues se reducen a las correspondientes propiedades de los números.Cualesquiera sean las funcionesf,gyhse verifica:Propiedades asociativas.(f+g) +h=f+ (g+h);(f g)h=f(gh)Propiedades conmutativas.f+g=g+f;

f g=g fPropiedad distributiva.(f+g)h=f h+ghComposición de funcionesSupongamos quefygson funciones verificando queimagen(f)⊂dom(g). En tal caso, la funciónhdada porh(x) =g(f(x))para todox∈

dom(f)se llamacomposición degconfy se representaporg◦f. La composición de funciones es asociativa, esto es(g◦f)◦h=g◦(f◦h)Funciones inyectivasSe dice que una funciónfes inyectiva en un conjuntoA⊆dom(f), si en puntos distintos deAtoma valores distintos; es decir,x,

y∈Ayx,y, entoncesf(x),f(y). Se dice quefes inyectivacuando es inyectiva endom(f).La función inversa de una función inyectivaSifes una función inyectiva, puede definirse una nueva funciónf−1

:imagen(f)→Rquellamaremosfunción inversa def, que a cada número

y∈imagen(f)asigna el único númerox∈dom(f)tal quef(x) =y. Equivalentementef−1

(f(x)) =xpara todox∈dom(f), y tambiénf(f−1

(y)) =y

para todoy∈dom(f−1

) =imagen(f).Funciones monótonasSe dice que una funciónfes creciente (resp. decreciente) en un conjuntoA⊆dom(f), sifconserva (resp. invierte) el orden entre puntos deA, es decir, six,y∈Ayx6y, entoncesf(x)6f

(y)(resp.f(x)>f(y)). Se dice quefes creciente (resp. decreciente) cuando lo es entodo su dominio (A=dom(f)). Se dice que una función esmonótonapara indicar que es cre-ciente o decreciente. Una función monótona e inyectiva se dice que esestrictamente monótona,pudiendo ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente.Universidad de GranadaDpto. de Análisis MatemáticoProf. Javier PérezCálculo – Ing. de TelecomunicaciónEstudio descriptivo de las funciones elementales14Gráfica de una funciónLa gráfica de una funciónfes el conjunto de pares de números{(x

,f(x)):x∈dom(f)}.La gráfica de una función pone de manifiesto, a simple vista, muchas de sus propiedades. Paradibujar gráficas de funciones se precisan herramientas de cálculo que estudiaremos más ade-lante.

2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementale