Heurística Constructiva para el Modelo de Restricciones de ...
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FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS E INGENIERÍA CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS Heurística Constructiva para el Modelo de Restricciones de Cursos Universitarios de la Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería TESIS PROFESIONAL PARA OBTENER EL GRADO DE: DOCTOR EN INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS OPCIÓN TERMINAL EN TECNOLOGÍA ELÉCTRICA P R E S E N T A: M.C.C. MIREYA FLORES PICHARDO ASESOR: DR. MARCO ANTONIO CRUZ CHÁVEZ CUERNAVACA, MORELOS OCTUBRE 2019
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FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS E INGENIERÍA CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN INGENIERÍA
Y CIENCIAS APLICADAS
Heurística Constructiva para el Modelo de Restricciones de Cursos Universitarios de la Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería
TESIS PROFESIONAL PARA OBTENER EL GRADO DE:
DOCTOR EN INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS OPCIÓN TERMINAL EN TECNOLOGÍA ELÉCTRICA
P R E S E N T A:
M.C.C. MIREYA FLORES PICHARDO
ASESOR: DR. MARCO ANTONIO CRUZ CHÁVEZ
CUERNAVACA, MORELOS OCTUBRE 2019
I
Resumen
En este trabajo de investigación se propone un modelo matemático de
satisfacción de restricciones que define el problema real de Programación de
Cursos Universitarios en la Facultad de Ciencias Químicas en Ingeniería
(FCQeI) de la Universidad Autónoma del Estado de Morelos, México.
Se desarrolló un algoritmo de enfoque constructivo para obtener soluciones
factibles del modelo propuesto que permita el tratamiento de instancias de los
semestres de la FCQeI. Analizando las características de la instancia del
semestre Agosto - Diciembre 2015 de la FCQeI se observó que ésta excede
en tamaño a la instancia más grande de la clasificación de Metaheuristics
Network.
Para el algoritmo de enfoque constructivo se llevó a cabo un análisis de
eficiencia con la finalidad de conocer su comportamiento. Los resultados
experimentales demostraron que en el 40% de las ejecuciones se obtuvieron
soluciones factibles para la programación de cursos universitarios de la FCQeI.
Se compararon los resultados del Algoritmo Constructivo y los horarios
generados por la administración de la FCQeI. Se observó que, usando el
modelo de satisfacción de restricciones es posible mejorar la asignación de
horarios para cursos universitarios de la FCQeI de modo que se satisfagan las
restricciones del problema y el uso de los salones sea más eficiente, por lo que
el algoritmo propuesto cumple con las expectativas planteadas en este trabajo
de investigación.
II
Abstract
In this research work a real mathematical constraint satisfaction model which
defines the timetabling problem in the Faculty of Chemical Sciences and
Engineering (FCSE) at the Autonomous University of Morelos State, Mexico.
A constructive approach algorithm was developed to obtain feasible solutions
of the proposed model that allows the treatment of instances of the semesters
of the FCQeI. Analyzing the characteristics of the instance of the August -
December 2015 semester of the FCQeI, it was observed that it exceeds in size
the largest instance of the Metaheuristics Network classification.
For the constructive approach algorithm an efficiency analysis was carried out
in order to know its behavior. The experimental results showed that in 40% of
the executions, feasible solutions were obtained for the programming of
university courses of the FCQeI. The results of the Construction Algorithm and
the schedules generated by the administration of the FCQeI were compared. It
was observed that, using the constraint satisfaction model, it is possible to
improve the allocation of schedules for university courses of the FCQeI so that
the restrictions of the problem are satisfied and the use of the classrooms is
more efficient, so that the proposed algorithm complies with the expectations
raised in this research work.
III
Agradecimientos
A CONACYT por brindarme el apoyo económico para poder realización este
trabajo de investigación
Al Centro de Investigación en Ingeniería y Ciencias Aplicadas por la
oportunidad brindad a una servidora para el estudio del posgrado.
A mi director de tesis, el Dr. Marco Antonio Cruz Chávez, por su dirección y
apoyo para llevar a cabo este trabajo de investigación,
A los integrantes de mi comité tutoral y revisores de tesis: Dr. Álvaro Zamudio
Lara, Dr. David Juárez Romero, Dra. Margarita Tecpoyotl Torres, Dr. Martín
G. Martínez Rangel, Dr. Martín Heriberto Cruz Rosales y a la Dra. Jesús del
Carmen Peralta Abarca, por sus consejos y comentarios para la culminar
este trabajo de investigación, así como por todo lo que aportaron a mi
persona.
IV
Nomenclatura
benchmark Instancia de prueba de un problema que es utilizada como
paradigma en diversas investigaciones para probar el
desempeño de los algoritmos desarrollados
UCTP University Course Timetabling Problem - Problema de
Programación de Cursos Universitarios
ETTP Examination Timetabling Problem - Problema de Programación
de Exámenes
STP School Timetabling Problem - Problema de Programación de
Horarios Escolares
instancia Corresponde a los datos de entrada a procesar para un problema
determinado.
E Conjunto de eventos. Se utiliza el término evento para
generalizar una actividad académica donde participan
estudiantes (clase, examen, conferencia, asesoría, etc.)
nE Número total de eventos
El Conjunto de eventos que requieren equipo de laboratorio
nEl Número total de eventos que requieren equipo de laboratorio
T Conjunto de ranuras de tiempo
nT Número total de ranuras de tiempo
D Conjunto de días
nD Número total de días
P Conjunto de periodos
nP Número total de periodos
R Conjunto de salones
nR Número total de salones
Rl Conjunto de salones que cuentan con equipo de laboratorio
V
nRl Número total de salones que cuentan con equipo de laboratorio
S Matrícula de estudiantes
nS Número total de estudiantes
M Conjunto de matrícula de maestros, compuesto por dos
subconjuntos NT MMM ,
TM Subconjunto de matrícula de maestros titulares
NM Sbconjunto de matrícula de maestros no titulares
C Conjunto de Clases
nC Número total de clases
Ci Subconjunto de eventos de cada clase ,..., jii eec ,
F Conjunto de facilidades de un salón
nF Número total de facilidades
VI
Contenido
Resumen ... ..... ........ ........
Abstract ....... ........ ........
Índice de Figuras ........ VIII
Índice de Tablas ......... IX
CAPÍTULO 1. Introducción ......................................................................................................... 1
1.1. Complejidad Algorítmica ....................................................................................... 4
1.2. Complejidad de los Problemas ............................................................................ 7
1.3. Problema de Programación de Cursos Universitarios ................................... 10
1.3.1. Descripción del Problema ............................................................................... 10
1.3.2. Estado del Arte ................................................................................................ 12
1.3.2.1. Modelos Teóricos ........................................................................................ 12
1.3.2.2. Modelos Reales ........................................................................................... 15
1.4. Métodos Heurísticos ............................................................................................ 21
1.5. Objetivos ................................................................................................................ 26
1.6. Descripción y Alcance del Trabajo .................................................................... 27
1.7. Organización de la Tesis ..................................................................................... 28
CAPÍTULO 2. Fundamentos del Problema de la Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería
(FCQeI) .................................................................................................................................... 29
2.1 Descripción del Problema de Programación de Cursos Universitarios en la FCQeI ..... 30
2.2 Representación simbólica de la instancia del problema para la FCQeI ........................ 33
2.3 Instancia del problema.................................................................................................. 37
2.4 Modelo de satisfacción de restricciones ....................................................................... 39
CAPÍTULO 3. Metodología de solución del problema de la FCQeI ......................................... 47
3.1. Metodología para tratar la información de horarios de cursos universitarios de la
FCQeI ................................................................................................................................... 47
3.1.1 Formato de la instancia del problema ................................................................... 47
VII
3.2. Desarrollo de una Heurística Constructiva .................................................................. 53
CAPÍTULO 4 Pruebas experimentales y análisis de resultados ............................................... 58
4.1 Entorno de ejecución .............................................................................................. 58
4.2 Análisis de resultados ............................................................................................. 59
4.2.1. Frecuencia de asignación de eventos en los salones ............................................ 59
4.2.2. Comparación de resultados .................................................................................. 63
CAPÍTULO 5 Conclusiones y trabajo futuro ............................................................................. 68
5.1 Conclusiones ................................................................................................................. 68
5.2 Trabajo Futuro .............................................................................................................. 70
Referencias .............................................................................................................................. 72
VIII
Índice de Figuras
Fig. 1. 1 Clases de Problemas de acuerdo a su complejidad ..................................................... 8
Fig. 2. 1 Representación simbólica de una tabla de horarios ................................................. 33
Fig. 2. 2 Abstracción de una tabla de horarios. Caso FCQeI ................................................... 34
Fig. 2. 3 Estructura tridimensional de abstracción de tablas de horarios............................... 35
Fig. 2. 4 Modelo de Grafo bipartita para el problema de Programación de Cursos
Universitarios .......................................................................................................................... 36
Fig. 2. 5 Una solución al problema de Programación de Cursos Universitarios presentado en
la Figura 2.4 ............................................................................................................................. 37
Fig. 3. 1 Pseudocódigo Algoritmo Constructivo ...................................................................... 54
Fig. 4. 1 Tiempo de generación para 30 ejecuciones del Algoritmo Constructivo ................. 59
Fig. 4. 2 Promedio de ocupación de periodos por salón ......................................................... 60
Fig. 4. 3 Promedio de eventos semanales asignados a salones con aforo para 70 estudiantes
(en 12 soluciones factibles) ..................................................................................................... 62
Fig. 4. 4 Promedio de eventos semanales asignados a salones con aforo para 15 estudiantes
(en 12 soluciones factibles) ..................................................................................................... 62
Fig. 4. 5 Solución obtenida para el UCTP de la FCQeI. Administración de la FCQeI. Semestre
Agosto-Diciembre 2015 .......................................................................................................... 67
Fig. 4. 6 Solución obtenida para el UCTP de la FCQeI. Algoritmo Constructivo. Semestre
Agosto-Diciembre 2015 .......................................................................................................... 67
IX
Índice de Tablas
Tabla 1. 1 Ejemplos de funciones y su tasa de crecimiento [Fethi, 1999]. ............................... 6
Tabla 1. 2 Clasificación de instancias ...................................................................................... 13
Tabla 2. 1 Parámetros de la instancia del semestre académico, Agosto-Diciembre del 2015
en la FCQeI .............................................................................................................................. 38
Tabla 3. 1 Codificación para la definición del problema de la FCQeI ...................................... 48
Tabla 3. 2 Codificación para la asignación de eventos por cada estudiante .......................... 49
Tabla 3. 3 Codificación para la asignación de eventos por cada maestro .............................. 49
Tabla 3. 4 Codificación para la asignación de eventos a cada maestro titular ....................... 51
Tabla 3. 5 Codificación para la asignación de características por cada salón de clase ........... 52
Tabla 3. 6 Codificación para la asignación de necesidades por cada evento de clase ........... 53
Tabla 4. 1 Ocupación por salones y porcentaje de traslapes (Salones 1 al 20) ...................... 65
Tabla 4. 2 Ocupación por salones y porcentaje de traslapes (Salones 21 al 41) .................... 65
Tabla 4. 3 Salones con mayor porcentaje de traslapes........................................................... 66
1
CAPÍ TULO 1. Íntroduccio n
La programación o calendarización de recursos es un tema de gran interés
dada la gran repercusión en problemas de diversas áreas como la distribución
de tareas del personal, problemas de manufactura donde se requiere
determinar la secuencia adecuada de operaciones que permita reducir los
tiempos de procesamiento de tareas o productos, calendarización de sistemas
de transporte, entre otros.
Dentro del área de distribución y logística, se encuentran problemas tan
variados como los de distribución de redes hidráulicas, redes eléctricas y
problemas de transporte, de este último se derivan múltiples variantes que
tratan de modelar problemas reales mediante un enfoque general y siendo el
problema del Ruteo Vehicular uno de lo más estudiados debido a su gran
similitud con problemas reales presentados en la industria, donde el encontrar
una solución que cumpla con todas las restricciones de este tipo de problemas
es una tarea complicada, ya que esto dependerá sustancialmente de la
complejidad del problema y del tamaño de la instancia [Martínez, Cruz, 2011]
[Martínez, et.al., 2012]
En el área académica encontramos la calendarización de horarios,
generalmente, donde el problema considera de forma general un conjunto de
restricciones: asignación de recursos, asignación de tiempo, restricciones de
tiempo, capacidad de los salones, entre otras.
Algunas de las variantes más estudiadas de la calendarización de
horarios son [Schaerf, 1999]:
2
El Problema de Programación de Exámenes (ETTP por sus
siglas en inglés – Examination Timetabling Problem) El
cronograma de un conjunto de exámenes de un conjunto de
cursos universitarios, evitando la superposición de exámenes de
cursos que tengan estudiantes en común, y espaciando los
exámenes de los estudiantes, tanto como sea posible. Este
problema ha sido tratado en [Pillay, 2018], [Taha, et.al.,2019]
El Problema de Programación de Horarios Escolares (STP por
sus siglas en inglés – School Timetabling Problem) Se trata de
programar el horario semanal de todas las clases de una
secundaria o preparatoria, evitando que los maestros impartan
dos grupos al mismo tiempo y viceversa (un grupo con dos
maestros al mismo tiempo). Las referencias [Christos, 2003],
[Vassilios, 2017] y [Landir, et.al., 2018] son dos ejemplos del
tratamiento del STP.
El Problema de Programación de Cursos Universitarios (UCTP
por sus siglas en inglés – University Course Timetabling
Problem) Donde se requiere generar el horario semanal de todas
las sesiones de un conjunto de cursos universitarios,
minimizando el traslape de sesiones de cursos que tienen
estudiantes en común. [Hamed, 2015]
En esta tesis se aborda un modelo real del UCTP y el estudio
experimental se ha publicado en la referencia [Cruz-Chávez,
2016]
En el caso particular de la calendarización de horarios universitarios lo
que se busca al solucionar un problema de calendarización de horarios
universitarios es obtener la distribución adecuada de materias, profesores y
3
alumnos en los salones disponibles en la institución, tratando de proporcionar,
en la medida de lo posible, los requerimientos necesarios para que cada
materia pueda ser impartida satisfactoriamente sin que se presenten traslapes
entre los elementos involucrados [Cruz, Martínez, 2013].
La dificultad para encontrar una solución que cumpla con todas las
restricciones del problema de programación de cursos universitarios depende
por completo de la complejidad del problema y del tamaño de la instancia. Una
instancia corresponde a los datos de entrada a procesar para un problema
determinado. Por lo que, para instancias pequeñas resulta más sencillo
encontrar una solución factible, debido a que el número de variables
involucradas es menor, tal sería el caso de abordar el problema de programar
horarios para una escuela de educación básica de primaria donde
normalmente se cuenta con un número fijo de profesores, salones que son
adecuados para el número de alumnos por grado y donde los recursos
complementarios están también establecidos y disponibles (un pizarrón en
cada salón, proyector, mesas, etc.), la complejidad que se va incrementando
conforme crece el tamaño y características de la instancia, como ocurre con el
caso de tratar el problema de la programación de cursos universitarios en
donde debe ocurrir una asignación eficiente de recursos materiales y recursos
humanos para cumplir con los requerimientos del problema.
En este trabajo de investigación se presenta una propuesta de solución
al Problema de Programación de Cursos Universitarios de la Facultad de
Ciencias Químicas e Ingeniería (FCQeI) de la Universidad Autónoma del
Estado de Morelos. Se presenta un Algoritmo Constructivo (AC) adaptado para
ser aplicado a las restricciones propias de la instancia de la FCQeI para el
semestre Agosto - Diciembre del año 2015. Cabe mencionar que las instancias
de la FCQeI varían cada semestre, por lo que la entrada para el Algoritmo
4
Constructivo debe adaptarse para que se pueda ejecutar y obtener soluciones
factibles para cada instancia.
Parte importante del diseño de algoritmos eficientes para resolver un
problema, consiste en analizar la complejidad del problema a tratar, ya que
existen diversos métodos de optimización cuyas características condicionan
su aplicación de acuerdo a la complejidad de los problemas. Para llevar a cabo
este análisis se considera la teoría de la complejidad algorítmica y la
complejidad de los problemas, temas que se encuentran descritos en los
puntos 1.1 y 1.2 de este capítulo. En el punto 1.3 se encuentra la descripción
del Problema de Programación de Cursos Universitarios, así como el estado
del arte, en el punto 1.4 se describen algunos Métodos Heurísticos y finalmente
el objetivo y alcance de la tesis.
1.1. Complejidad Algorítmica
Dentro de las Ciencias Computacionales se encuentra un área que se conoce
como Complejidad Algorítmica o Complejidad Computacional de los
algoritmos. La Complejidad Computacional es una métrica teórica de la que se
dispone para poder comparar diferentes soluciones algorítmicas y conocer
cómo se comportan éstas al tratar de resolver un problema de computación.
[Papadimitriou, Steiglitz, 1998]. Lo anterior nos permite elegir el algoritmo más
eficiente para la solución del problema.
La Complejidad Algorítmica estudia la eficiencia de los algoritmos
basado en el tiempo y espacio necesarios para resolver un problema
computacional, y para ello se analiza la Complejidad Temporal y Complejidad
Espacial [Sipser, 2013].
Una vez que se cuenta con un algoritmo que funciona para resolver un
problema, es necesario definir los criterios que permitan medir su rendimiento
5
o comportamiento. Estos deben considerar el uso eficiente de los recursos y
la simplicidad del algoritmo.
El uso eficiente de los recursos puede medirse en función de dos
indicadores: complejidad espacial (medida de la cantidad de memoria
necesaria para ejecutarlo hasta su término) y complejidad temporal (medida
del tiempo empleado por el programa para ejecutarse y dar resultado a partir
de los datos de entrada, y que considera una aproximación al número de pasos
de ejecución que el algoritmo emplea para resolver un problema).
Si para resolver un problema P un algoritmo A requiere de poca memoria del
equipo de cómputo o ejecuta un pequeño número de instrucciones comparado
con el resto de los algoritmos conocidos que resuelven P, entonces se puede
afirmar que A es más eficiente que los restantes cuando se resuelve el
problema P [Cruz, et.al., 2016].
El análisis de la complejidad temporal permite observar la eficiencia de
un algoritmo, dado que el algoritmo más eficiente es el que toma menos tiempo
en ejecutarse para resolver un problema determinado. Ya que los algoritmos
deben ejecutarse con problemas grandes la recompensa de diseñar buenos
algoritmos se verá en el tiempo de ejecución. [Fethi, 1999].
El tiempo exacto de ejecución podría constituir un posible criterio para
medir la eficiencia de un algoritmo, sin embargo, este enfoque se ve afectado
por diversas variables entre ellos: la computadora utilizada para ejecutarlo, el
compilador empleado, etc. Además, se debe considerar el tamaño de la
entrada dado que a menudo está relacionada con la estructura de datos
utilizada en el algoritmo. Incluso con el mismo tamaño de entrada, un algoritmo
podría realizar una cantidad diferente de trabajo, particularmente si el trabajo
realizado depende de los valores de los datos. La complejidad en el peor de
los casos es definida como el máximo trabajo ejecutado por un algoritmo. La
complejidad en el mejor de los casos es el mínimo trabajo de ejecución de
instrucciones de un algoritmo.
6
Por otro lado, para el cálculo de la complejidad espacial, se toma en
cuenta la cantidad de memoria requerida para almacenar los datos utilizados
por el algoritmo, debido a que la cantidad de datos que pueden ser
almacenados está limitada por la cantidad de memoria con que cuenta el
equipo. Otros de los factores que comúnmente afectan la eficiencia de un
algoritmo son principalmente la programación, la velocidad del procesador y el
tipo de compilador.
Un algoritmo eficiente se centra fundamentalmente en la simplicidad
y en el manejo adecuado de los recursos, siendo la sencillez una característica
fundamental para el diseño de algoritmos, debido a que facilita el cálculo de la
función temporal, además de optimizar el número de instrucciones evaluadas
por el procesador, lo cual se ve reflejado en el tiempo de ejecución. [A.V. Aho,
1974].
Función Tasa de
Crecimiento
Ejemplo Tiempo para n = 1000
(asumiendo 1 paso = 1 microsegundo)
O(1) Constante 10 10 microsegundos
O log(n) Logarítmica 2 log n +3 23 microsegundos
O (n) Lineal n/2 + 50 0.55 milisegundos
O (n2 ) Cuadrática 2n2 – 3n 2 segundos
O (2n) Exponencial 2n 1086 siglos
O (n!) Factorial n! 102552 siglos
Tabla 1. 1 Ejemplos de funciones y su tasa de crecimiento [Fethi, 1999].
La Tabla 1.1 muestra las funciones asintóticas más comunes en el
aumento de la tasa de crecimiento, indica cuánto tiempo de ejecución se
necesitaría en una computadora hipotética.
De acuerdo a la clasificación mostrada en la tabla 1.1, el algoritmo más
eficiente corresponde a aquel que presenta una complejidad constante T(n) =
1, lo que significa que, si el tamaño de la entrada aumenta, el tiempo de
ejecución del algoritmo se mantiene constante. En el caso de una complejidad
logarítmica T(n) = log(n), si el tamaño de la entrada se incrementa 100 veces,
el tiempo de ejecución del algoritmo únicamente se duplicará, por lo que se
7
considera un algoritmo eficiente. Por el contrario, si un algoritmo presenta una
complejidad exponencial T(n) = 2n, este se considera sumamente ineficiente
debido a que su tiempo de ejecución aumenta exponencialmente conforme se
incrementa el tamaño de la entrada.
También puede verse que las tasas de crecimiento exponencial y factorial
para un gran tamaño de entrada están más allá de la capacidad de cualquier
computadora e incluso más allá de la edad del universo.
1.2. Complejidad de los Problemas
La complejidad de un problema es equivalente a la complejidad del mejor
algoritmo para resolver tal problema. Un problema es tratable (o fácil) si existe
un algoritmo de tiempo polinómico para resolverlo. Un problema es intratable
(o difícil) si no existe un algoritmo de tiempo polinómico para resolver el
problema. [Talbi, E., 2009]. La mayor parte de los problemas en teoría de la
complejidad tienen que ver con los problemas de decisión, que corresponden
a poder dar una respuesta positiva o negativa a un problema dado.
Un aspecto importante de la teoría computacional es clasificar los
problemas en Clases por su complejidad. Una clase de complejidad representa
el conjunto de todos los problemas que se pueden resolver utilizando una
cantidad dada de recursos computacionales.
Hay tres clases importantes de problemas: P, NP y NP completo, las
clases P y NP completo pertenecen a la clase NP, como se muestra en la
Figura 1.1.
8
Fig. 1. 1 Clases de Problemas de acuerdo a su complejidad
La complejidad de la Clase P representa el conjunto de todos los
problemas de decisión que pueden ser resueltos por una máquina
determinística en tiempo polinomial. Un algoritmo determinístico es polinomial
para un problema de decisión A si su peor complejidad está limitada por una
función polinómica p(n) donde n representa el tamaño de la instancia de
entrada I. Por lo tanto, la clase P representa la familia de problemas para los
que existe un algoritmo acotado en tiempo polinomial para resolverlos. Los
problemas que pertenecen a la Clase P son entonces relativamente fáciles de
resolver [Talbi, E., 2009].
Algunos de los problemas clásicos que pertenecen a la Clase P son:
árbol de expansión mínimo, problemas de ruta más corta, red de flujo máximo,
coincidencia bipartita máxima y modelos continuos de programación lineal. En
el libro de Garey y Johnson se puede encontrar una lista más exhaustiva de
Problemas fáciles y difíciles de la Clase P [Garey., 1990].
La clase de complejidad NP representa el conjunto de problemas de
decisión que puede ser resuelto por un algoritmo no determinístico en un
tiempo polinomial. [Cook, 1971]. Un algoritmo no determinístico tiene uno o
más puntos de decisión que pueden ser elegidos para explorar las posibles
soluciones a un problema.
9
Los problemas NP completos son problemas de optimización cuyos
problemas de decisión asociados son NP completos. Este tipo de problemas
pueden ser tratados por algoritmos no-determinísticos que son métodos
estocásticos basados en la experiencia y son mejor conocidos como
heurísticos [Colorni et al., 1998], [Garey, Johnson, 1990], y también pueden
ser tratados por métodos metaheurísticos, mismos que sustentan su
funcionamiento con base a fenómenos naturales. Dado que el resultado de los
métodos heurísticos y metaheurísticos son una aproximación al resultado
óptimo, éstos no tienen prueba de optimalidad y debido a la complejidad de
los problemas a los que son aplicados, hasta el momento no se conoce la
solución óptima para todas sus instancias.
La mayoría de los problemas de optimización del mundo real son
problemas NP completos, para los cuales probablemente no existe un
algoritmo eficiente para resolverlos. Estos problemas requieren un tiempo
exponencial para ser resueltos de forma óptima. Las metaheurísticas
constituyen una buena alternativa para resolver este tipo de problemas.
El presente estudio se centra en la clase de problemas NP que contiene
los problemas de decisión que son resueltos por una Máquina de Turing no
determinista en tiempo polinómico. El problema específico que se trata es el
de asignación de recursos, problema clasificado dentro de la teoría de la
complejidad como NP-completo [S. Even, et.al., 1976], [Garey, Johnson,
1990], y cuya importancia estriba en su aplicación práctica puesto que se
observa en la asignación de equipo en la industria de la manufactura, en el
transporte público o en la calendarización de horarios de escuelas.
10
1.3. Problema de Programación de Cursos Universitarios
1.3.1. Descripción del Problema
Los problemas de calendarización de horarios consisten en generar horarios
para tareas definidas, buscando cumplir de la mejor manera con condiciones
o requerimientos específicos. Estos problemas son muy comunes y se
encuentran en distintos tipos de actividades tales como: Actividades
Educacionales, Universidades [Andre, Dinata, 2018], [Siam, et.al, 2019],
Colegios, Institutos, Facultades, Departamentos [Ben-Ayed, Hamzaoui, 2012],
Actividades Deportivas [Ribeiro, 2012], Actividades de Transporte [Shen, et.al.,
2015], y otras actividades que involucran a personas y el uso de equipos
[Saldaña, 2007], [S. Kırıs, 2014].
En el área educativa, se requiere la creación y planeación de horarios
de la forma más eficiente posible en cuanto a la designación y organización
del personal, horarios, salones y equipos para conseguir un mejor
aprovechamiento de los recursos y tendiente a lograr un mejor desempeño de
los alumnos y el personal.
La calendarización de horarios académicos es un problema particular
que se encuentra dentro del problema general de asignación de recursos. Este
problema de horarios, se conoce en la comunidad científica como University
Timetabling Problem (UTTP) [Banczyk, 2006].
En el UTTP el personal, que tiene a su cargo la organización de los
horarios de alumnos y profesores, se encuentra cada periodo académico con
la necesidad de proporcionar una solución lo más adecuada posible de
acuerdo a una serie de restricciones. Para un programa educativo que
pretende observar medidas de calidad, esto implica un gran esfuerzo.
11
El problema de programación de horarios en el área educativa consiste
en programar las asignaturas de un periodo académico (trimestre,
cuatrimestre, semestre), considerando:
los profesores necesarios en cada asignatura
los grupos de alumnos que toman un conjunto de asignaturas,
los días o periodos disponibles,
los salones requeridos (tratando de que satisfagan un conjunto de
restricciones relacionadas con el programa de estudio),
el personal con que se cuenta y
las instalaciones.
El problema de Programación de Cursos Universitarios se considera lo
siguiente: de todos los recursos que hay que programar, los que se consideran
críticos o escasos son los salones de clases puesto que no son recursos que
sean fáciles de adquirir, además de ello, la capacidad de los salones juegan
un rol importante, mientras que las otras variantes del problema STP y ETTP
este factor es frecuentemente ignorado, ya que en la mayoría de los casos de
STP y ETTP se asume que cada grupo tiene su propio salón. Por lo anterior
es que los salones de clase son los que se van a candelarizar tomando en
cuenta sus características y las restricciones de la institución educativa.
El problema de Programación de Cursos Universitarios está sujeto a
muchas restricciones, que usualmente se dividen en dos categorías: [Burke,
1997].
Restricciones duras: Son restricciones que forzosamente deben
cumplirse para que la solución obtenida sea factible. Ejemplo: Un
evento se programa solo en un periodo de tiempo.
12
Restricciones suaves: Son restricciones que es deseable cumplir, pero
su cumplimiento no es esencial para que la solución se considere
factible. Se consideran restricciones de preferencia. Ejemplo: los
profesores pueden preferir impartir sus materias en un salón en
particular
Dada la complejidad del problema de calendarización de horarios
académicos su solución se centra en la búsqueda de métodos heurísticos que
encuentren buenas soluciones. Los Métodos heurísticos son procedimientos
eficientes para encontrar buenas soluciones. En estos métodos, la rapidez del
proceso es tan importante como la calidad de la solución obtenida. Un método
heurístico es un procedimiento para resolver un problema de optimización bien
definido mediante una aproximación intuitiva, en la que la estructura del
problema se utiliza de forma inteligente para obtener una buena solución [Díaz,
1996].
1.3.2. Estado del Arte
1.3.2.1. Modelos Teóricos
Para el tratamiento de Modelos Teóricos, se hace uso de las instancias
problema que se conocen como benchmarks, debido a que son utilizadas
como paradigmas por la comunidad científica ya que les permite probar el
comportamiento de los algoritmos que se implementan para resolver el
problema del UCTP. Estas instancias están disponibles en la página del grupo
Metaheuristic Network [Rossi-Doria et al., 2003].
El grupo de investigación Metaheuristic Network creó un generador de
instancias para producir los benchmarks problema con diferentes
características y valores diferentes de parámetros dependiendo de los
recursos a programar. El grupo garantiza que todas las instancias que
13
producen tienen una solución óptima, es decir, aquella una solución que
cumple las restricciones duras o suaves. El generador accede a una semilla
aleatoria y además toma ocho parámetros proporcionados desde la línea de
comandos, estos parámetro especifican los recursos de la instancia. Si se da
al generador la misma estructura de parámetros y la misma semilla se
producirá la misma instancia problema; pero si se utiliza la misma estructura
de parámetros con una semilla diferente entonces producirá una instancia
diferente. [Cruz-Rosales, 2010].
Basados en sus investigaciones y pruebas sobre instancias teóricas del
UTTP, el grupo Metaheuristic Network, hizo una clasificación de las instancias
o benchmarks que reunieron en tres clases de acuerdo al grado de dificultad y
tamaño según el número de recursos a programar y las denominaron:
pequeñas, medianas y grandes [Rossi-Doria, et al., 2003]. Las características
de las tres clases de instancias se muestran a continuación en la Tabla 2.
Clases pequeña mediana grande
Número de eventos 100 400 400
Número de salones 5 10 10
Número de características 5 5 10
Número de estudiantes 80 200 400
Número máximo de estudiantes por evento 20 50 100
Tabla 1. 2 Clasificación de instancias
En la literatura, existe información de modelos teóricos de la Programación de
Cursos Universitarios (UCTP por sus siglas en inglés University Course
Timetabling Problem), así mismo de algoritmos para tratar esos modelos. Por
ejemplo, en [O. Rossi-Doria, 2003], se presenta el estudio completo de un
modelo teórico que no considera a los profesores como una variable. Este
modelo es tratado mediante cinco diversas heurísticas computacionales tales
como: algoritmos genéticos, colonia de hormigas, Búsqueda local iterada,
Recocido Simulado y Búsqueda Tabú.
14
También se ha trabajado con otras instancias definidas con un valor
distinto en los parámetros que las listadas en la tabla de Rossi-Doria y que
consideran 400 eventos, hasta 20 salones, máximo 20 características y 1000
estudiantes [Solís, et.al., 2008].
En el Centro de Investigación en Ingeniería y Ciencias Aplicadas
(CIICAp) de la Universidad Autónoma del Estado de Morelos (UAEM), se ha
desarrollado el proyecto incluido en la referencia [Cruz-Rosales, 2010], en
donde se programó un planificador que provee un modelo teórico para la
generación de horarios utilizando Recocido Simulado aplicando a benchmarks
(medium 01–05, hard 01, and hard 02) de Metaheuristic Network, un proyecto
de la Comisión Europea, cuyo objetivo es comparar empíricamente y analizar
el desempeño de varias meta heurísticas en diferentes problemas de
optimización combinatoria, incluida la programación de horarios [C. Di Stefano,
2003]. Se obtuvieron soluciones factibles para las instancias medianas y
grandes observando mayor eficiencia y eficacia de las que otros algoritmos
reportaron en la referencia [C. Di Stefano, 2003].
La referencia [T. Thepphakorn, 2015] se propone una herramienta
basada en un algoritmo evolutivo para resolver problemas de programación de
cursos. Para evaluar la eficiencia de este algoritmo, el equipo de investigación
trabajó con catorce benchmarks de los problemas de programación de cursos
universitarios.
Los autores de [Song, 2018] proponen un algoritmo de búsqueda local
iterada para encontrar soluciones factible para el problema de programación
de cursos universitario. El algoritmo propuesto involucra tres fases clave:
inicialización, intensificación y diversificación. Una vez que se construye un
horario inicial parcialmente factible, se realiza una búsqueda local basada en
recocido simulado y un procedimiento de diversificación que produce una
perturbación moderada o incluso una mejora en la solución actual de manera
15
iterativa hasta que se cumpla una condición de parada. El algoritmo propuesto
se evalúa en un conjunto 60 instancias del problema. Destacan que el
algoritmo puede encontrar soluciones viables para 58 instancias en un tiempo.
Más recientemente, en [Peyman, et.al., 2019], trataron el programa de cursos
universitarios considerando el riesgo de cancelación de cursos por falta de
estudiantes inscritos. Ellos desarrollaron un modelo de programación
estocástica en dos etapas con un enfoque heurístico. El desempeño del
algoritmo desarrollado se analizan utilizando instancias de prueba generadas
aleatoriamente.
1.3.2.2. Modelos Reales
La programación de cursos universitarios es aún más complicada cuando se
trata de resolver una instancia real. Las instancias de éstos problemas a
menudo implican restricciones que escapan de una representación exacta
tales como restricciones relacionadas con las preferencias personales del
usuario [Even, 1976].
El UCTP se ha abordado utilizando modelos aplicados a casos reales
de universidades del mundo, haciendo uso de diversas heurísticas que
permiten descartar del espacio de búsqueda aquellas regiones donde no se
espera que exista un óptimo.
Por ejemplo, en [C. Di Stefano, 2003], se aplica un algoritmo
evolucionario en el Sistema Escolar Italiano con la hibridación de dos
heurísticas basadas en búsqueda local. En [E. Yu, 2002], aplican un algoritmo
genético basado en sectores, reportando buenos resultados al ser aplicado a
un caso real.
16
En [Causmaecker, et.al. 2009] presentan un enfoque metaheurístico
para resolver un problema de programación de cursos universitarios en el
mundo real en la Escuela de Ingeniería KaHo Sint-Lieven En este problema se
consideran los traslapes y los horarios semanales irregulares. Se incluye una
metaheurística de búsqueda que intenta resolver las restricciones una por una,
en lugar de tratar de encontrar una solución para todas las restricciones a la
vez.
La referencia [Kahar, 2010] presenta un estudio de programación de
exámenes en la Universidad Pahang de Malasia, su estudio comprende la
comparación de los resultados de una heurística constructiva con un software.
Este estudio considera cuatro conjuntos de restricciones duras y tres
restricciones suaves. Los autores indican que las soluciones obtenidas por la
heurística superan aquellas obtenidas por el software que fue implementado
en la Universidad para tratar todas las restricciones del caso. En [Basir, 2013],
fue implementada la meta heurística de Recocido Simulado, y el trabajo
preliminar presentado trata con el problema de programación de cursos en la
Universidad Tamhidi de Malasia. La instancia que se trabajó incluía 800
estudiantes, agrupados en cinco programas de estudio, y los estudiantes
asistían a los mismos cursos. Los autores trabajaron con tres conjuntos de
restricciones duras y tres de restricciones suaves.
En [Gunawan, 2012], obtienen una solución inicial por medio de
programación matemática basada en la relajación Lagrangiana. Éste método
ha sido probado en instancias de la Universidad de Indonesia. Fueron
considerados once requerimientos del problema, que fueron divididos en dos
grandes categorías: cuatro requerimientos representan el conjunto de
requisitos para la asignación de profesores, mientras el resto de
requerimientos estaban relacionados con el problema de programación de
cursos. Los experimentos computacionales fueron ejecutados con éxito con
dos conjuntos de problemas reales de la Universidad de Indonesia.
17
En la referencia [Chacha, 2013] desarrollaron tres modelos del
Problema de Programación de Cursos Universitarios para la Universidad
Mkwawa College of Education, para las pruebas realizadas se utilizaron
problemas reales de la Universidad mencionada. Fue posible obtener la
solución óptima para instancias del problema real por medio de
reformulaciones de modelos que implicaron una mezcla de variables binarias
indexadas.
En el artículo publicado por [Kaviani, et.al, 2014] se propuso un
algoritmo heurístico para el problema de programación de cursos
universitarios. Dado que el algoritmo propuesto tiene un comportamiento
aleatorio o estocástico, proporcionaron más de un horario como solución al
problema y después eligieron la mejor solución. El algoritmo propuesto fue
probado con datos reales de la Universidad Najaf Abad Islamic Azad, de los
departamentos de Ingeniería Industrial de Educación Superior y Maestría en
el semestre del ciclo 2012-2013. Los resultados revelaron que el enfoque
aplicado fue capaz de generar un horario que puede satisfacer los fines de la
Universidad.
En China, [Zhang, 2014] utilizaron un enfoque heurístico codicioso
para el UCTP. Se consideraron condiciones complejas con múltiples
restricciones, basadas en el profesorado, recursos de la Universidad (que
incluye profesores y estudiantes), y salones de clases con ranuras de tiempo
disponibles. En particular, respecto a las Escuelas de Posgrado en China, hay
más de 400 cursos en cada semestre académico y un horario de cursos debe
satisfacer nueves requerimientos básicos. En la implementación fueron
consideradas las características del conjunto de datos de dos semestres de la
Escuela de Posgrado.
En la referencia [Shimazaki, 2015], es propuesto un modelo de
programación matemática con un enfoque denominado meta modelo. El
modelo puede incluir restricciones implícitas y funciones objetivas implícitas
18
para la asignación de un conjunto de clases temporales de la Universidad de
Toyama. Cada clase tiene restricciones duras y suaves durante un periodo de
tiempo específico. Inicialmente, la programación era hecha de forma manual y
ese trabajo duraba cerca de tres semanas, con una preparación de 5 o 6 días.
Para validar el modelo matemático propuesto aplicaron un algoritmo Branch &
Bound. También en 2015, [Phillips, et.al., 2015] presentan un método de
programación de lineal para resolver la asignación de salones del Problema
de programación de cursos universitarios. Aseguran que funciona incluso para
grandes instancias, resultados que han validado a través de experiencias en
la Universidad de Auckland, y en instancias de la ITC2007.
En la referencia [Pereira, 2016] presentan un modelo de
programación lineal entera que resuelve el problema de programación en el
Departamento de Rio de Janeiro, Brasil. El modelo fue diseñado para generar
soluciones que satisfagan las preferencias de los administradores de las
Facultades. Específicamente, esto significaba asignar el número máximo de
profesores con el título académico más alto y minimizando costos al fusionar
cursos con programas equivalentes. Otros autores en [Méndez -Díaz, et.al.
2016] trabajaron también un modelo de programación lineal y una
aproximación heurística para abordar el problema de programación de
horarios en una Universidad de Argentina. Ellos trataron la generalización del
problema de programación de cursos universitarios post inscripción PECTP
(según las siglas en inglés - Post Enrolment based Course Timetabling)
[McCollum, 2010], donde el objetivo es programar un conjunto de eventos en
salones y ranuras de tiempo (usualmente en una semana) basándose en las
selecciones hechas por estudiantes que atenderán a los cursos. Este algoritmo
fue implementado y probado con instancias reales de la Universidad de
Argentina mostrando que el enfoque fue factible en la práctica y produce
soluciones de buena calidad.
19
Los autores de [Phillips, et.al., 2017] presentan un enfoque general
basado en la programación entera para el problema de perturbación mínima
en el horario de los cursos universitarios. Este problema surge cuando un
horario existente contiene violaciones de restricciones duras o inviabilidades,
que deben ser resueltos El objetivo es resolver estas inviabilidades mientras
minimiza la interrupción o perturbación en el resto del horario. Esta situación
ocurre comúnmente en horarios prácticos, por ejemplo cuando hay son
cambios inesperados en la matrícula de cursos o en las habitaciones
disponibles. Su método intenta resolver cada inviabilidad en el vecindario más
pequeño posible, y utiliza la exactitud de la programación entera. Operando
dentro de un vecindario de tamaño mínimo mantiene los cálculos rápidos y no
permite grandes movimientos de eventos del curso, que causan una
interrupción generalizada en la estructura del horario. Demostraron la
aplicación de su propuesta usando un ejemplo basado en datos reales de la
Universidad de Auckland.
Los autores de [Borchani, 2017] investigaron el enfoque de
vecindarios variables para abordar un problema específico del problema de
programación de cursos relacionado con el caso de la Facultad de Economía
y Ciencias de gestión de Sfax en Túnez. El objetivo fue minimizar el total
número de ranuras de tiempo desocupadas y el número de clases aisladas
para todos los grupos de estudiantes. Desarrollaron once estructuras de
vecindario específicas: seis de ellas están diseñadas para corregir las ranuras
de tiempo desocupadas, mientras que los otros cinco están diseñados para
ajustar las clases aisladas.
Los cálculos se realizan en instancias reales y los resultados
muestran que su enfoque supera la solución existente con la eliminación del
52,47% de ranuras de tiempo desocupadas y clases aisladas, en promedio.
20
En la referencia [Lindahl, et.al., 2018] proponen un algoritmo basado en
el método de restricciones para resolver instancias del ITC2007 (International
Timetabling Competition) que son ejemplos reales del problema de
programación de cursos universitarios de la Universidad Udine de Italia. El
algoritmo les permitió resolver los problemas y analizar el impacto de tener
diferentes recursos disponibles en la mayoría de los problemas de horarios
que resolvieron. Concluyeron que la disponibilidad de los salones, la
disponibilidad de periodos y la calidad de los horarios generados son variables
que influyen unas en otras.
En el Centro de Investigación en Ingeniería y Ciencias Aplicadas
(CIICAp) de la Universidad Autónoma del Estado de Morelos (UAEM), se han
desarrollado dos proyectos que toman en consideración el modelo real del
Problema de Programación de Cursos Universitarios de la Facultad de
Ciencias Químicas e Ingeniería (FCQeI) de la UAEM.
El primero proyecto implicó el desarrollo de un sistema administrativo
básico de generación de horarios para la FCQeI que incluyó una interfaz web,
hizo uso de un modelo de tres capas, servicio web y bases de datos. A través
de este proyecto se desarrolló un sistema de consulta de horarios académicos
para profesores y estudiantes. Se propuso un modelo básico de restricciones
para evitar materias con traslapes para estudiantes de la FCQeI, pero sin
tomar en cuenta restricciones en la asignación de profesores para las
asignaturas que imparten [B. Martínez-Bahena, 2008].
El segundo proyecto es el que se documenta en el presente trabajo
(ver Capítulos 2, 3 y 4) y cuyos resultados experimentales se han publicado
en [Cruz-Chávez, 2016].
21
1.4. Métodos Heurísticos
La existencia de una gran variedad de problemas difíciles de resolver que
aparecen en la práctica y que necesitan ser resueltos de forma eficiente,
impulsó el desarrollo de procedimientos eficientes para encontrar buenas
soluciones aunque no fueran óptimas. Estos métodos, en los que la rapidez
del proceso es tan importante como la calidad de la solución obtenida, se
denominan métodos heurísticos o aproximados. [Martí, Reinelt 2011].
Un método heurístico es un procedimiento para resolver un problema de
optimización bien definido mediante una aproximación intuitiva, en la que la
estructura del problema se utiliza de forma inteligente para obtener una buena
solución [Díaz, 1996].
En contraposición a los métodos exactos que proporcionan una solución
óptima del problema, los métodos heurísticos se limitan a proporcionar una
buena solución no necesariamente óptima. Lógicamente, el tiempo invertido
por un método exacto para encontrar la solución óptima de un problema difícil,
si es que existe tal método, es de un orden de magnitud muy superior al del
heurístico (pudiendo llegar a ser tan grande en muchos casos, que sea
inaplicable).
Existen diversas razones para utilizar métodos heurísticos: [Martí, Reinelt
2011]
El problema es de una naturaleza tal que no se conoce ningún
método exacto para su resolución.
O bien, aunque existe un método exacto para resolver el problema,
su uso es computacionalmente muy costoso.
22
El método heurístico es más flexible que un método exacto,
permitiendo, por ejemplo, la incorporación de condiciones de difícil
modelación.
El método heurístico se utiliza como parte de un procedimiento global
que garantiza el óptimo de un problema donde existe la posibilidad
de que el método heurístico proporcione una buena solución inicial
de partida.
Existen muchos métodos heurísticos de naturaleza muy diferente, por lo
que es complicado dar una clasificación completa. Además, muchos de
ellos han sido diseñados para un problema específico sin posibilidad de
generalización o aplicación a otros problemas similares. A continuación se
dan unas categorías amplias, no excluyentes, en donde ubicar a los
heurísticos más conocidos:
Métodos de Descomposición
El problema original se descompone en subproblemas más sencillos de
resolver, teniendo en cuenta, aunque sea de manera general, que ambos
pertenecen al mismo problema.
Métodos Inductivos
La idea de estos métodos es generalizar de versiones pequeñas o más
sencillas al caso completo. Propiedades o técnicas identificadas en estos
casos más fáciles de analizar pueden ser aplicadas al problema completo.
Métodos de Reducción
Consiste en identificar propiedades que se cumplen mayoritariamente por
las buenas soluciones e introducirlas como restricciones del problema. El
objeto es restringir el espacio de soluciones simplificando el problema. El
riesgo obvio es dejar fuera las soluciones optimas del problema original.
23
Métodos Constructivos
Consisten en construir literalmente paso a paso una solución del problema.
Usualmente son métodos deterministas y suelen estar basados en la mejor
elección en cada iteración. Estos métodos han sido muy utilizados en
problemas clásicos como el del viajante.
Métodos de Búsqueda Local
A diferencia de los métodos anteriores, los procedimientos de búsqueda o
mejora local comienzan con una solución del problema y la mejoran
progresivamente. El procedimiento realiza en cada paso un movimiento de
una solución a otra con mejor valor. El método finaliza cuando, para una
solución, no existe ninguna solución accesible que la mejore.
Una serie de métodos con el nombre de metaheurísticas han surgido con el
propósito de obtener mejores resultados que los alcanzados por los métodos
heurísticos tradicionales.
Las metaheurísticas son estrategias para diseñar o mejorar los
procedimientos heurísticos con miras a obtener un alto rendimiento. El término
metaheurística fue introducido por Fred Glover en 1986 y a partir de entonces
han aparecido muchas propuestas de pautas o guías para diseñar mejores
procedimientos de solución de problemas combinatorios.
Las metaheurísticas se sitúan conceptualmente” por encima” de las
heurísticas en el sentido de que guían el diseño de éstas, pueden estar
compuestas por una combinación de algunas heurísticas, por ejemplo, una
metaheurística puede usar una heurística constructiva para generar una
solución inicial y luego usar otra heurística de búsqueda para encontrar una
mejor solución.
24
Dentro de las metaheurísticas se encuentran Búsqueda Tabú (Tabu
Search), Recocido Simulado (Simulated Annealing), Algoritmos Genéticos,
Búsqueda Dispersa (Scatter Search), entre otros [Arindam, 2010].
A continuación se describen de forma general algunos de los algoritmos
heurísticos: [Silva, 2017].
Métodos de búsqueda local (Local Search):
Procedimiento basado en la suposición de que es posible encontrar una
secuencia de soluciones entre la solución inicial y la final tal que cada una de
ellas es ligeramente diferente a la inmediatamente anterior.
Tiene la ventaja de que en poco tiempo puede encontrar soluciones
suficientemente buenas para un conjunto amplio de problemas. Este
procedimiento puede ofrecer una medida de bondad de la solución
encontrada, pero no garantiza que la solución obtenida sea el óptimo global
del problema considerado
Búsqueda tabú (Tabu Search):
Este método es un tipo de búsqueda por espacios de búsqueda (entornos),
que permite moverse a una solución de entorno aunque no sea tan buena
como la actual, de este modo se puede escapar de óptimos locales y continuar
la búsqueda de soluciones aún mejores. La forma de evitar viejos óptimos
locales es clasificando un determinado número de los más recientes
movimientos como “movimientos tabú”, los cuales no son posibles repetir
durante un determinado horizonte temporal.
Así, el escape de los óptimos locales se produce de forma sistemática y no
aleatoria.
25
Algoritmos genéticos (Genetic Algorithms):
Los Algoritmos Genéticos son métodos adaptativos, generalmente usados en
problemas de búsqueda y optimización de parámetros, basados en la
reproducción sexual y en el principio de supervivencia del más apto
Algoritmos Evolutivos (Evolutionary Algorithms):
Son un esquema de representación que aplica una técnica de búsqueda de
soluciones enfocada a problemas de optimización, inspirada en la teoría de la
evolución de Charles Darwin. Se basa en el algoritmo de selección propio de
la naturaleza, con la esperanza de que consiga éxitos similares, en relación a
la capacidad de adaptación a un amplio número de ambientes diferentes.
Colonias de hormigas (Ant Colony):
Los algoritmos de colonias de hormigas están basados en el comportamiento
de las hormigas. Los biólogos y los entomólogos han descubierto la facilidad
que tienen las hormigas para encontrar siempre el camino más corto entre el
hormiguero y la fuente de alimento, este comportamiento ha sido estudiado y
se ha encontrado que las hormigas mantienen una comunicación indirecta con
una sustancia volátil llamada feromona. Con la feromona las hormigas son
capaces de crear una ruta y a través del tiempo optimizar sus recorridos
obteniendo así un camino corto sin una visión global del terreno. Así que estos
algoritmos se caracterizan por simular el comportamiento de las hormigas
cuando forman las rutas entre el nido y la fuente de alimento, en base a un
rastro de feromonas que depositan en la trayectoria efectuada
Algoritmos Voraces (Greedy Algorithms):
Los algoritmos voraces son algoritmos en los que se toman decisiones locales
para llegar a una solución óptima parcial. No deshacen una selección ya
realizada; una vez incorporado un elemento a la solución, este permanece
26
hasta el final y cada vez que un candidato es rechazado, lo es
permanentemente.
Recocido simulado (Simulated Annealing):
Es una técnica que hace uso de conceptos originalmente descritos por la
mecánica estadística. Tiene su base en el proceso físico de recocido, el cual
primero reblandece un sólido mediante su calentamiento a una temperatura
elevada, y luego va enfriando lentamente hasta que las partículas se van
posicionando por sí mismas en el “estado fundamental” del sólido. El recocido
simulado es capaz de encontrar la solución óptima, sin embargo, esta se
alcanzará tras un número infinito de pasos, en el peor de los casos.
1.5. Objetivos
Objetivo General
Propuesta y desarrollo de una estrategia de solución al problema de
calendarización de recursos en horarios de escuela de la Facultad de Ciencias
Químicas e Ingeniería de la UAEM.
Objetivos Específicos
1) Definir un modelo matemático para la calendarización de recursos en
Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería de la UAEM.
2) Desarrollar un algoritmo basado en una heurística constructiva cuya
complejidad temporal máxima esté representada por una función
polinomial.
3) Aplicar el algoritmo desarrollado en el caso real de Programación de
Cursos Universitarios de la Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería
de la UAEM.
4) Comparar los resultados de la implementación del Algoritmo
Constructivo con el horario generado por la administración de la
Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería de la UAEM.
27
1.6. Descripción y Alcance del Trabajo
El problema tratado es un problema difícil de resolver en el área de Ciencias
Computacionales.
Las soluciones a un problema de programación de horarios que son
construidas de manera manual, además de tomar días o semanas, no
garantizan una solución ideal pues puede darse el caso de que los alumnos
se encuentren en la situación de no poder tomar dos materias que deberían
porque los horarios se traslapan, puede ocurrir que se pasen por alto algunas
restricciones, entre otros casos más.
Esta situación da lugar a un problema cuya resolución se complica cuanto
mayor sea el número de restricciones se deban tomar en cuenta.
Así mismo, el problema de asignación de horarios es un problema de gran
aplicación práctica y cualquier mejora en su solución se podría adaptar a otro
tipo de problemas dentro del área de asignación de recursos.
Por este motivo, se propone para su solución el uso un Algoritmo Constructivo
que permitirá automatizar la programación de horarios de acuerdo a los
recursos con que se cuentan (salones con diversas características de tamaño,
equipamiento, etc., profesores, materias) y observando restricciones duras.
La infraestructura con la que se contó para el desarrollo de la solución al
problema de asignación de horarios se puede ver en la sección 4.1.
28
1.7. Organización de la Tesis
En el capítulo 1 se incluye el marco teórico del problema de University Course
Timetabling, en el capítulo 2 se define el Problema de Programación de cursos
universitarios de la Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería que se aborda
en la presente tesis. El capítulo 3 se describe la Metodología de solución del
problema de la Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería. En el capítulo 4
se presentan las pruebas experimentales y el análisis de resultados. Las
conclusiones y trabajo futuro se encuentran en el capítulo 5.
29
CAPÍ TULO 2. Fundamentos del Problema de la Facultad de Ciencias Quí micas e Íngenierí a (FCQeÍ)
La Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería de la Universidad Autónoma
del Estado de Morelos se constituyó como tal el año de 1977 como respuesta
a las necesidades del campo industrial del Estado. Actualmente, la FCQeI
ofrece las carreras de Químico Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería
Industrial, Ingeniería Mecánica e Ingeniería Eléctrica.
Las instalaciones con que cuenta la FCQeI para impartir las licenciaturas
que ofrece son 41 espacios que incluyen:
21 salones de clases ubicados en el edificio principal de la FCQeI
1 Laboratorio de Centro de Cómputo Académico
2 Laboratorios de Análisis Industriales
o Laboratorio de Química 3
o Laboratorio de Química 5
2 Laboratorios de Química
o Laboratorio de Química 1
o Laboratorio de Química 2
Taller Multidisciplinario Básico (TAMULBA)
o Con 1 Laboratorio de Física
o Y cuenta 10 salones de clase.
Laboratorio de Operaciones Unitarias (LOU)
o Con 1 Laboratorio de Operaciones Unitarias
o Y cuenta con 3 salones de clase.
30
Las diferentes licenciaturas se estudian en 10 semestres y en un
máximo de 12, en turno matutino y/o vespertino. Los primeros dos semestres
se estudian en grupos rígidos donde las materias son definidas por la
administración de la Facultad, después los grupos son flexibles y se avanza
conforme la capacidad del alumno, a partir del tercer semestre, cada
estudiante puede elegir las materias que desea llevar en el semestre
académico y toma sus materias con el profesor que él quiera. El proceso de
admisión a la FCQeI se efectúa cada año y se inician actividades en
septiembre y en febrero.
La matrícula de alumnos que existe en la FCQeI es 1,500 en promedio
y es variable cada semestre. La FCQeI utiliza en cada semestre, un promedio
de 150 maestros titulares y otros más que no son titulares de materias. La
FCQeI realiza la programación de horarios de forma manual tratando de tomar
en cuenta el aforo de los salones y sus características, disponibilidad de
horario de profesores titulares, días y periodos existentes, así como las
materias que pueden tomar los alumnos y las restricciones propias en la toma
de materias.
2.1 Descripción del Problema de Programación de Cursos
Universitarios en la FCQeI
Las consideraciones que se tienen en la administración de la FCQeI para
generar los horarios escolares son las siguientes:
Una materia está formada por un subconjunto de 4 o 6 eventos. El
número de eventos que forma una materia depende de la materia
misma. Los eventos que se programen en un salón de clases, deben
de tener las facilidades necesarias aportadas por la infraestructura del
salón de clases (televisión, proyectos, conexiones eléctricas necesarias
y otros).
31
Buscar que todas las materias junto con sus eventos puedan ser
programadas en los periodos y salones disponibles en la semana.
Evitar que los salones de clase sean subutilizados, esto es, que para
un grupo pequeño de estudiantes no se asigne un salón con aforo muy
grande, sino que, de acuerdo al tamaño del grupo de estudiantes, sea
el aforo del salón de clases que se asigne. También, el salón de clases
que se asigne al grupo de estudiantes que tome una materia debe de
tener el aforo necesario.
Los maestros titulares pueden decidir el día y periodo en que impartirán
sus materias. Debido a que la asignación de maestros titulares es
conocido y es elegido por el conjunto de maestros titulares en una
calendarización de horarios de materias para un semestre escolar. Lo
único que se debe de asignar a los maestros titulares es el salón de
clases donde se impartirá el evento.
Los estudiantes no deben de tomar clases en horario discontinuo, esto
es, que no deban asistir a clases por la mañana y tarde en el mismo día
y también que los eventos de la misma materia deben de presentarse
en periodos consecutivos si aparecen en el mismo día. Las materias
que se imparten se componen de 4 o 6 eventos. Esos eventos deben
ser programados considerando que la mitad de los eventos que
corresponden a una materia se deben impartir en el mismo día en
periodos consecutivos. Por ejemplo, si una materia se compone de 4
eventos y el evento 1 es programado el día 1 en el periodo 1, entonces
el evento 2 estará programado de forma consecutiva en el periodo 2 del
mismo día, mientras que, si el evento 3 es programado en el periodo 4,
entonces el evento 4 estará programado de forma consecutiva en el
periodo 5 del mismo día.
32
Buscar una asignación de salones en la que se haya logrado la
programación de horarios que evite el traslape de materias para los
alumnos.
Buscar una asignación de salones en la que se haya logrado la
programación de horarios que evite el traslape de materias que
imparten los profesores. Las materias de maestros no titulares se
programan en los días y periodos que quedan libres después de la
programación de las materias de los maestros titulares.
Dado los antecedentes y características en base a las consideraciones
definidas del problema de asignación de horarios en la FCQeI, donde nunca
no se ha podido generar una asignación de horarios adecuada, que cumpla el
total de las consideraciones definidas, en este trabajo, se propone un modelo
de satisfacción de restricciones, con una propuesta de solución a través de un
Algoritmo Constructivo para la calendarización de recursos de la FCQeI, que
permita la generación de horarios de clase que cumpla con las
consideraciones más duras que actualmente se toman en cuenta y que en el
modelo propuesto en este trabajo para la solución del problema de asignación
de horarios en la FCQeI, llamamos restricciones.
El resultado del presente trabajo permite mejorar el proceso de
generación de horarios de clases tratando de eliminar los problemas que se
presentan actualmente en el cumplimiento de las restricciones, así como de
disminuir el tiempo que lleva este proceso de calendarización de recursos en
forma manual que es hasta de dos semanas. Lo anterior permitirá obtener
horarios con los que se puedan aprovechar los recursos con que cuenta la
FCQeI de una forma más eficiente y que a su vez también permitan a los
alumnos obtener un mejor aprovechamiento escolar.
33
2.2 Representación simbólica de la instancia del problema para la
FCQeI
Una representación del University Course Timetabling Problem, es a través de
una matriz en 3D. Partiendo de una matriz en 2D, que representa a un salón
de clase disponible y que consta de un conjunto de ranuras de tiempo, en este
caso 90 ranuras. Una ranura de tiempo t es definida como un espacio en 2D
en función de las coordenadas de (día, periodo), ver figura 2.
La programación de los eventos para un salón de clases, se debe
realizar en las 90 ranuras de tiempo disponibles, por lo que se tiene una matriz
en 2D para cada uno de los 41 salones de clase (que incluyen laboratorios)
con que cuenta la FCQeI. La figura 1, muestra la representación simbólica para
cada salón de clases.
(d, p) Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
1 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6
2 t 7 t 8 t 9 t 10 t 11 t 12
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
15 t 85 t 86 t 87 t 88 t 89 t 90
Fig. 2. 1 Representación simbólica de una tabla de horarios
En la tabla de horarios de la figura 2.1, se pueden observar los periodos
de tiempo en que se debe realizar la programación de los eventos en un salón
de clases.
Las dos dimensiones que se observan se conforman del conjunto de los
días D y de los periodos P del tiempo en que se labora en la FCQeI.
34
Dado que la instancia cuenta con 6 días y 15 periodos se tienen
entonces 90 ranuras de tiempo para un salón de clases, numeradas de t1 a
t90 en la figura 2.1.
(d, p) Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
1 49
332 50
2 49
15 332 50
3
15
29
4
15
...
212
12
120
212
13 120
14 120
15 120
Fig. 2. 2 Abstracción de una tabla de horarios. Caso FCQeI
La figura 3, presenta un ejemplo de una asignación de eventos para un
salón de clase que contempla las variables del caso de la FCQeI con 6 días
(Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado), 15 periodos de tiempo
(p = 1 a p = 15) y la asignación de 16 eventos que corresponde a 7 materias
con un identificado ID (15, 29, 49, 50, 120, 212 y 332).
Conforme se realiza la programación de los eventos, a las ranuras de
tiempo, se les coloca el número de identificador ID de la materia que
corresponde a los eventos que fueron asignados en tales periodos, por
ejemplo, en la figura 2, la materia con ID 120 está formada por 4 eventos. Los
espacios de ranura de tiempo mostrados en blanco en la figura 2, representan
los periodos de tiempo disponibles para programar otros eventos.
35
Al hacer la programación de eventos en los diferentes salones, la
variable R (de salones) crea una tercera dimensión para formar el conjunto de
Tablas de Horarios que corresponden al conjunto de salones disponibles, tal
como se muestra en la figura 4.
Por lo tanto, con el conjunto de salones se obtiene una estructura
tridimensional con coordenadas para cada ranura de tiempo t = (d, p, r), por lo
que al asignar el total de eventos del conjunto E existentes en la FCQeI, en las
ranuras disponibles de t en la matriz 3D, cumpliendo el total de las restricciones
duras (del 1 al 8) presentadas en esta sección en el modelo de satisfacción de
restricciones, se genera una solución del UCTP para la FCQeI.
En la estructura tridimensional que se puede ver en la Figura 4, se
presenta una abstracción que contempla las variables que definen a las
ranuras de tiempo t = (p, d, r), con 5 días (LU, MA, MI, JU, VI), 9 periodos de
tiempo (p = 1 a p = 9), y 10 salones (r = 1 a r = 10), con lo que se tendría un
espacio de 450 ranuras de tiempo disponibles para asignación de eventos en
salones de clase.
Fig. 2. 3 Estructura tridimensional de abstracción de tablas de horarios
36
Al caracterizar de esa forma las variables del caso de estudio de la
FCQeI se tienen 6 días (L, M, Mi, J, V, S), 15 periodos de tiempo (Periodo 1 a
Periodo 15) , y 41 salones (r = 1 a r = 41), con lo que se tiene un espacio de
3060 (6x15x34) ranuras de tiempo disponibles en aulas de clase y 630
(6x15x7) de esas ranuras de tiempo son disponibles únicamente para los
laboratorios en donde se imparten exclusivamente materias que requieren
equipo de laboratorio.
Fig. 2. 4 Modelo de Grafo bipartita para el problema de Programación de Cursos
Universitarios
La Figura 2.4 representa una instancia de 3 eventos y 2 salones para el
problema de Programación de Cursos Universitarios, usando un modelo de
grafo bipartita. El grafo consiste por un lado, del conjunto de eventos y por otro
lado, las asignaciones a ranuras de tiempo 𝑡 = (𝑟, 𝑑, 𝑝) que pueden ser
ocupadas por eventos. En esta instancia, el problema tiene solo 2 días 𝑑 y 2
periodos 𝑝. Cada salón 𝑟 tiene una capacidad 𝐴(𝑘) y puede ser asignado a un
solo evento en cada ranura de tiempo 𝑡. El evento 𝑒𝑖 que es asignado a la
ranura de tiempo t indica que el evento se llevará a cabo en el salón 𝑟 el día 𝑑
37
durante el periodo 𝑝. El objetivo es determinar la ranura de tiempo 𝑡 para cada
evento 𝑒𝑖 en el grafo bipartita, tomando en cuenta la capacidad (𝑘) del salón 𝑟.
Fig. 2. 5 Una solución al problema de Programación de Cursos Universitarios presentado en
la Figura 2.4
La Figura 2.5 presenta una solución al problema presentado en la
Figura 2.4. Por ejemplo: el evento e1 es asignado al día 𝑑1 durante el periodo
𝑝1, en el salón 𝑟1. Naturalmente, para asignar eventos a los salones en el caso
de la instancia de la FCQeI, deben tomarse en cuenta las restricciones
presentadas en el modelo de satisfacción de restricciones presentado en la
sección 2.4
2.3 Instancia del problema
Los valores de los parámetros de la instancia del problema de la FCQeI, se
definen de acuerdo a una asignación de horarios realizada por la
administración en la FCQeI y aplicada como solución en un semestre
académico, luego de un análisis se pudo observar que la solución aplicada en
ese semestre no era factible dado la cantidad de traslapes encontrados en los
horarios de los estudiantes que atendieron ese semestre.
38
La instancia considerada corresponde a la toma de materias del
Semestre Agosto - Diciembre del año 2015 y los valores ahí contemplados se
obtuvieron del estudio de campo realizado en la FCQeI con información
proporcionada por la persona Responsable administrativa de la Programación
de Horarios de la FCQeI. La definición de la instancia del Semestre Agosto -
Diciembre del año 2015 de la FCQeI se presenta en la tabla 3.
Parámetro Valor
Eventos 1514
Salones 41 (salones y laboratorios)
Estudiantes 1426
Días 6
Periodos 15
Ranuras de tiempo 90
Facilidades 7
Maestros Titulares 156
Tabla 2. 1 Parámetros de la instancia del semestre académico, Agosto-Diciembre de 2015 en
la FCQeI
La instancia de la FCQeI tiene 1514 eventos, 41 salones, 7
características y 1426 estudiantes. Aunado a ello se cuenta con 156 maestros
titulares y los eventos que ellos imparten se deben programar en primera
instancia. Con lo anterior, se puede observar que en la instancia de la FCQeI
se trabaja con un tamaño que sobrepasa la clase más grande de la
clasificación del grupo Metaheuristic Network (ver sección 1.3.2.1), así mismo
el número de restricciones duras del caso de estudio es mayor a la cantidad
de restricciones duras contempladas en los benchmarks de [Rossi-Doria et al.,
2003].
39
2.4 Modelo de satisfacción de restricciones
En el modelo de restricciones se consideran varios conjuntos de variables,
tales como:
El conjunto de eventos EnE ,...,3,2,1 ,
El conjunto de eventos que requieren equipo de laboratorio
lEl nE ,...,3,2,1 ,
El conjunto de ranuras de tiempo TnT ,...,3,2,1 ,
El conjunto de días DnD ,...3,2,1 ,
El conjunto de periodos PnP ,...,3,2,1 ,
El conjunto de salones RnR ,...,3,2,1 ,
El conjunto de salones que cuentan con equipo de laboratorio
lRl nR ,...,3,2,1 ,
La matrícula de estudiantes SnS ,...,3,2,1 ,
El conjunto de matrícula de maestros NT MMM , , compuesto por
dos subconjuntos, el de matrícula de maestros titulares TM y el de
matrícula de maestros no titulares NM ,
El conjunto de Clases CnC ,...3,2,1 ,
El subconjunto de eventos de cada clase ,..., jii eec ,
Y finalmente, el conjunto de facilidades FnF ,...,3,2,1 .
40
El modelo de satisfacción de restricciones se muestra a continuación:
41
El modelo de satisfacción de restricciones está sujeto a ocho conjuntos
de restricciones duras, las cuales tienen que ser satisfechas para que la
solución de la instancia obtenida sea factible.
Una solución factible se encuentra cuando los eventos son asignados a
ranuras de tiempo. Cada salón disponible tiene un conjunto de ranuras de
tiempo, en este caso 𝑛𝑇 ranuras de tiempo. Una ranura de tiempo 𝑡 está
definido en un espacio 2D como una función de coordenadas (𝑑, 𝑝). Por lo
tanto, 𝑇 = {𝑡 ∈ 𝑁2 | 𝑡 = (𝑑, 𝑝), 𝑡 = 1, 2, 3,..., 𝑛𝑇 }. El total de las asignación de los
eventos toma lugar en un espacio 3D, como una función de Φ (𝑡, 𝑟), donde 𝑟
∈ 𝑅. Entonces, para cada Φ (𝑡, 𝑟)
formaotrade
eventounasignadoessirt
,0
,1,
(9)
El salón Rr debe satisfacer las necesidades del evento Ee que se da en
la ranura de tiempo Tt .
El conjunto de restricciones en (1) implica que el salón 𝑟 ∈ 𝑅 debe satisfacer
las facilidades del evento 𝑒 ∈ 𝐸 que ocurre en una ranura de tiempo 𝑡 ∈ 𝑇.
Para cada salón 𝑟 ∈ 𝑅 y cada evento 𝑒 ∈ 𝐸, se define lo siguiente:
formaotrade
eeventodelsnecesidadelassatisfacersalónelsierR
,0
,1,
(10)
Todos y cada uno de los eventos Ee , tienen que ser programados, esto es,
cada evento debe de estar programado en alguna ranura de tiempo Tt de
algún salón.
42
El conjunto de restricciones en (2) implica que todos y cada uno de los eventos
debe ser programado. Cada evento debe ser programado en una ranura de
tiempo de un salón que tenga las facilidades adecuadas para el evento.
formaotrade
erRrtsierRrteX
,0
2,,,1),(,,, (11)
Un salón Rr , puede admitir solamente un evento Ee por cada
ranura de tiempo Tt . Lo anterior implica que para una ranura de tiempo Tt
de un salón Rr , máximo puede estar programado un evento.
El conjunto de restricciones en (3) requiere que un salón admita solo un evento
por ranura de tiempo. Esto implica que por cada ranura de tiempo 𝑡 ∈ 𝑇 de un
salón 𝑟 ∈ 𝑅, puede ser programado un evento como máximo.
El salón 𝑟 ∈ 𝑅 debe tener la capacidad suficiente para alojar el grupo de
estudiantes 𝑠 ∈ 𝑆 que participante en el evento 𝑒 ∈ 𝐸. La capacidad de cada
salón 𝑟 ∈ 𝑅 es un dato de entrada.
Para saber cuándo un estudiante 𝑠 atiende un evento, se define la función
presentada en (12) Esta función indica que estudiante 𝑠 atiende el evento que
ocurre en la ranura de tiempo 𝑡 en el salón 𝑟. Las restricciones en (4) deben
cumplirse; el salón debe tener la capacidad suficiente para que acuda el grupo
de estudiantes que atienden el evento 𝑒 ∈ 𝐸. La capacidad de cada salón 𝑟 es
un dato de entrada.
formaotrade
esrteXsirteXsZ
,0
para sirve entonces1,,,1),,,(
(12)
43
Todos y cada uno de los eventos Ee impartidos por los maestros titulares
MT, se deberán programar en primera instancia, como una asignación parcial,
en los periodos solicitados.
En el conjunto de restricciones en (5), los eventos de un profesor titular (tt) son
programados en primera instancia. El salón asignado debe contar con las
facilidades requeridas por el profesor. Esto da como resultado una
programación parcial de eventos.
Un estudiante 𝑠 ∈ 𝑆 no debe tener eventos traslapados. El conjunto de
restricciones (6) evita los traslapes en los eventos a los que acude el
estudiante 𝑠 ∈ 𝑆. Como se indica en la función (12), si el estudiante atiende un
evento 𝑒 en el salón 𝑟, entonces éste estudiante no debe atender otro evento
𝑒 durante el mismo periodo de tiempo 𝑡.
Por lo tanto, 𝑍 (𝑠, (𝑒,Φ(𝑡, 𝑟)))=0, ∀𝑒 ∈ 𝐸 con 𝑒’ = 𝑒 La restricción (6) indica que
el estudiante 𝑠 no debe tener eventos traslapados:
formaotrade
emrteXsirteXmZ
,0
atiende entonces1,,,1),,,(
(13)
Un maestro 𝑚 ∈ 𝑀 no debe tener eventos traslapados. El conjunto de
restricciones en (7) prohíbe el traslape de eventos para todo maestro 𝑚 ∈ 𝑀.
La función (13) asegura que, si el maestro atiende el evento 𝑒 en el salón 𝑟,
entonces el maestro no puede atender otro evento 𝑒 en el mismo periodo de
tiempo 𝑡. Esto significa que (𝑚,(𝑒,Φ(𝑡, 𝑟))) = 0, ∀𝑒 ∈ 𝐸 con 𝑒’ = 𝑒. La restricción
(7) indica que el maestro 𝑚 no puede presentar traslape de eventos.
En el conjunto de restricciones (8), los eventos 𝑒𝑙 que corresponden a clases
de laboratorio deben programarse en salones con equipo de laboratorio; el
salón asignado debe cumplir con los requerimientos del maestro (10).
44
Los valores que pueden tomar las variables 𝑡, 𝑟, 𝑒, 𝑠, y 𝑚 pertenecen al
conjunto de los números naturales.
El conjunto de maestros se divide en dos subconjuntos NT MMM . El
conjunto de ranuras de tiempo también se divide en dos subconjuntos
NT TTT . Cada una de las ranuras de tiempo t que forman parte de TT se
asigna a los maestros titulares MT de materias a solicitud de ellos. Cada
maestro titular solicita impartir en una ranura de tiempo t específica
mAsignadotTtmmM TT , , la asignación de t a m es un dato de
entrada. Para el conjunto de ranuras de tiempo TN que será asignado a
maestros no titulares MN de materias, no se conoce su asignación específica
de cada t para cada maestro m no titular.
Dado lo anterior, el modelo de la FCQeI comienza con una solución parcial
factible, debido a que la asignación de TT es conocido y es elegido por el
conjunto de maestros titulares MT en una calendarización de horarios de
materias para un semestre escolar. Lo que resta por asignar a los maestros
titulares MT, es la elección del salón r donde se impartirá el evento.
Se comienza con una solución parcial factible, con valores de TT conocidos
que son elegidos por el conjunto de maestros titulares MT en una
calendarización de horarios de materias para un semestre escolar. Esta
calendarización parcial debe ser factible y autorizada por la dirección de la
FCQeI. Los salones donde se imparten estas materias no se conocen.
Consideraciones de la instancia a resolver del problema de la FCQeI:
Las necesidades de cada materia se establecieron de forma aleatoria,
ya que no hay información de primera mano.
45
Las necesidades que puede ofrecer cada salón se establecieron de
acuerdo a las conexiones de energía eléctrica que se tiene en cada uno
de estos para la conexión de equipo.
Se considera que la facultad cuenta con el equipo suficiente para
atender las necesidades de cada materia siempre y cuando el salón
tenga los contactos adecuados de energía, a excepción del uso de
televisores, los cuales se definieron en número de acuerdo a la
existencia real.
El equipo para atender necesidades no está fijo y es movible al salón
solicitado siempre y cuando éste cuente con conexiones de energía
eléctrica.
Una materia está formada por un subconjunto de eventos. El número
de eventos que forma una materia depende de la materia misma, puede
ir de 4 eventos hasta 6 eventos.
El modelo que se presenta, es un modelo relajado que no toma en
cuenta varias restricciones de la FCQeI. Es un primer intento para
representar el problema de asignación de horarios en esta Facultad.
Se podrían agregar las siguientes restricciones:
o La restricción de que cuando se imparta más de un evento de la
misma materia en el mismo día, estos eventos se impartan en el
mismo salón, por comodidad de los maestros y estudiantes.
o La restricción de que, si se imparte más de un evento de la
misma materia en el mismo día, estos eventos se impartan de
manera seguida, por comodidad de los maestros y estudiantes.
La restricción de seriación de materias se considera de manera implícita
y no se toman en este modelo. Se hace la suposición que esta
restricción se hace cumplir por los jefes de carrera en la toma de
materias realizada por los estudiantes.
46
El objetivo es buscar una solución a una instancia del modelo de
satisfacción de restricciones de la Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería
(FCQeI). Una instancia del problema se tiene en cada semestre del año
escolar. La instancia se genera en base a la oferta de materias, toma de
materias de cada alumno y el número de matrícula de alumnos y de
profesores.
47
CAPÍ TULO 3. Metodologí a de solucio n del problema de la FCQeÍ
3.1. Metodología para tratar la información de horarios de cursos
universitarios de la FCQeI
Para la ejecución de la instancia del problema de la FCQeI, por medio del
algoritmo constructivo que obtiene soluciones factibles, los datos de entrada o
instancia del problema, se deben encontrar almacenados en archivos de texto
con el formato adecuado para que puedan ser leídos.
El formato utilizado para representar la instancia del semestre de la FCQeI es
el mismo que se aplicó a los benchmarks presentados en [Rossi-Doria et al.,
2003].
3.1.1 Formato de la instancia del problema
Dado que el número de datos de la instancia de la FCQeI es muy grande, la
instancia se tiene que almacenar en más de un archivo.
Los datos de la instancia del problema están organizados en 6 archivos con el
formato que se muestra a continuación.
48
Archivo de texto 1. Definición del problema
Primera línea: El número de eventos, número de salones, número de
características, número de estudiantes. (todos los números son
enteros).
Una línea para cada salón: Cada línea indicará el aforo de un salón.
La tabla 3.1 presenta un ejemplo para la instancia de la FCQeI.
En este ejemplo, se observa que la primera línea presenta al número
de eventos, número de salones, número de características y número de
estudiantes, en ese orden. A partir de la línea 2 hasta la 42, se presenta
el aforo para cada uno de los 41 salones de la FCQeI. Lo único que
aparece en el archivo de texto 1, es la codificación.
Línea
Aforo del salón
Número de eventos
Número de salones
Número de características
Número de estudiantes
Codificación
1 --- 1514 41 7 1426
2 10 --- --- --- ---
3 20 --- --- --- ---
4 50 --- --- --- ---
… … --- --- --- ---
42 60 --- --- --- ---
Tabla 3. 1 Codificación para la definición del problema de la FCQeI
Archivo de texto 2. Asignación de eventos por estudiante
Una línea para cada estudiante/evento: La codificación se hace con
un cero o uno. Cero indica que el estudiante no atiende el evento, uno
indica que el estudiante atiende el evento. La tabla 3.2 presenta un
ejemplo para 3 estudiantes y 4 eventos programados. Lo único que
aparece en el archivo de texto 2, es la codificación.
En este ejemplo, se observa que el primer estudiante atiende el evento
número dos, el segundo estudiante atiende los eventos uno y dos,
finalmente el tercer estudiante atiende los eventos número tres y cuatro.
49
Línea
Estudiante
Codificación
Número de evento
1 1 0 1
2 1 1 2
3 1 0 3
4 1 0 4
5 2 1 1
6 2 1 2
7 2 0 3
8 2 0 4
9 3 0 1
10 3 0 2
11 3 1 3
12 3 1 4
Tabla 3. 2 Codificación para la asignación de eventos por cada estudiante
Archivo de texto 3. Asignación de eventos por maestro
Una línea para cada maestro/evento: Con un cero o uno. Cero indica
que el maestro no imparte el evento; uno indica que el maestro imparte
el evento. La tabla 3.3 presenta un ejemplo para 3 maestros y 4 eventos
programados. Lo único que aparece en el archivo de texto 3, es la
codificación.
Línea
Maestro
Codificación
Número de evento
1 1 0 1
2 1 1 2
3 1 0 3
4 1 0 4
5 2 1 1
6 2 1 2
7 2 0 3
8 2 0 4
9 3 0 1
10 3 0 2
11 3 1 3
12 3 1 4
Tabla 3. 3 Codificación para la asignación de eventos por cada maestro
En este ejemplo, se observa que el primer maestro atiende el evento
número dos, el segundo maestro atiende los eventos uno y dos, finalmente el
tercer maestro atiende los eventos número tres y cuatro.
50
Archivo de texto 4. Horario maestros titulares
Una línea para cada horario/evento: Con cuatro columnas que
contienen números enteros.
La tabla 3.4, presenta la codificación para la asignación de eventos a
cada maestro titular.
La primera columna, indica el identificador del maestro titular que
solicita impartir su materia en un horario.
La segunda y tercera columna indican el día (Lunes = 1,…, Viernes =
5) y periodo (periodo = 1,…, periodo = 15) en que un maestro titular
solicita impartir el evento, los números diferentes de cero indican que el
evento tiene un horario solicitado por un maestro titular, los ceros
indican que el evento no tiene un horario solicitado para ser impartido
por el maestro titular.
La cuarta columna indica el identificador de la materia a la que
pertenece el evento.
La tabla 3.4, presenta un ejemplo para ocho eventos programados para
el maestro titular con ID = 1. Lo único que aparece en el archivo de texto
4, es la codificación.
El maestro, solicita impartir dos materias, una con ID = 1 y la otra con
ID = 2, cada materia tiene cuatro eventos. El maestro solicita impartir
dos eventos de la materia ID = 1, el día martes en el primero y segundo
periodo.
También solicita impartir los otros dos eventos de la materia ID = 1, el
día jueves en el primero y segundo periodo. Para la materia ID = 2, el
maestro no requiere de un horario en especial y se ajusta al horario que
le puedan asignar.
51
ID Maestro
Día Periodo ID Materia
Codificación
1
2 1 1
2 2 1
4 1 1
4 2 1
0 0 2
0 0 2
0 0 2
0 0 2
Tabla 3. 4 Codificación para la asignación de eventos a cada maestro titular
Archivo de texto 5. Características por salón
Una línea para cada salón/característica: La tabla 3.5, presenta la
codificación para la asignación de características por cada salón de
clase.
La primera columna, es el número de línea en el archivo.
La segunda columna indica el ID del salón de clase.
La tercera columna indica las características que pudiera satisfacer un
salón de clase. Un cero si el salón no satisface la característica, o un
uno si el salón si satisface la característica.
Para el ejemplo que se ilustra en la tabla 3.5, encontramos en la
columna dos la información de tres salones (ID = 1, 2, 3), en la columna
tres se muestra que pueden existir cuatro características que el salón
pudiera cumplir; en el caso del salón ID = 1, solo cumple la
característica número 2; en el caso del salón ID = 2, cumple las
características 1 y 2; en el caso del salón ID = 3, solo cumple las
características 3 y 4. Lo único que aparece en el archivo de texto 5, es
la codificación.
52
Línea ID Salón Codificación
Característica
1 1 0
2 1 1
3 1 0
4 1 0
5 2 1
6 2 1
7 2 0
8 2 0
9 3 0
10 3 0
11 3 1
12 3 1
Tabla 3. 5 Codificación para la asignación de características por cada salón de clase
Archivo de texto 6. Necesidades por evento
Una línea para cada evento/necesidad: La tabla 3.6, presenta la
codificación para la asignación de necesidades por cada clase en
función de los eventos que componen la clase.
La primera columna, es el número de línea en el archivo.
La segunda columna indica el ID de la materia de clase.
La tercera columna indica las necesidades requeridas por los eventos
de la ID clase que deberá aportar el salón de clases dada las
características de este salón. Un cero si el evento no requiere de la
necesidad, o un uno si el evento si requiere la necesidad.
Por ejemplo, la tabla 3.6, en la columna dos presenta tres salones (ID =
1, 2, 3), en la columna tres se muestra que pueden existir cuatro
necesidades que la clase pudiera requerir; en el caso de los eventos
que conforman la clase ID = 1, solo requieren la necesidad número 2;
en el caso de los eventos que conforman la clase ID = 2, solo requieren
las necesidades 1 y 2; en el caso de los eventos que conforman la clase
ID = 3, solo requieren las necesidades 3 y 4. Lo único que aparece en
el archivo de texto 6, es la codificación.
53
Línea ID Clase Codificación
Necesidad
1 1 0
2 1 1
3 1 0
4 1 0
5 2 1
6 2 1
7 2 0
8 2 0
9 3 0
10 3 0
11 3 1
12 3 1
Tabla 3. 6 Codificación para la asignación de necesidades por cada evento de clase
3.2. Desarrollo de una Heurística Constructiva
Las Heurísticas Constructivas son procedimientos que se encargan de
obtener una solución a partir de un criterio inicial, esto es, construyen una
solución factible. [Glover et al., 2001].
En esta sección del trabajo de investigación se presenta un Algoritmo
Constructivo (AC) adaptado para ser aplicado a las restricciones propias de la
instancia del Problema de Programación de Cursos Universitarios de la
Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería de la Universidad Autónoma del
Estado de Morelos que permite generar soluciones factibles de Programación
de Cursos Universitarios satisfaciendo las restricciones duras que se observan
en el modelo de satisfacción de restricciones planteado en la sección 2.4.
En la Figura 5 se muestra el pseudocódigo del Algoritmo Constructivo
desarrollado en el presente trabajo de investigación. El detalle de los pasos
que ejecuta el Algoritmo Constructivo se encuentra enseguida en esta misma
sección.
54
Fig. 3. 1 Pseudocódigo Algoritmo Constructivo
A continuación, se describen los pasos del Algoritmo Constructivo
Línea (1). El algoritmo inicia con la instrucción de lectura de la instancia de
entrada. La información de la instancia se obtiene de 6 archivos de texto. La
codificación de los 6 archivos de texto ha sido explicada en la sección 3.2.1.
Línea (2). Antes de la programación del horario de los eventos, éstos son
clasificados por tipo (tomando en cuenta los maestros titulares y las materias
que imparten) y facilidades (considerando los requerimientos de los eventos a
programar).
55
Línea (3). El ciclo desde 𝑖 = 0 hasta NumSoluciones verifica la condición para
cada ejecución para procesar el número de soluciones (NumSoluciones) que
son generadas.
Línea (4). Con la instrucción inicializar arreglos en cero y vaciar estructura, son
inicializadas las estructuras que son utilizadas para manipular la información
durante el proceso de creación de la solución. Se hace uso de arreglos
tridimensionales para guardar las soluciones. Estos arreglos son necesarios
dada la organización de la información que se guarda. (Ver modelo de grafos
en la Figura 5) Tal información puede ser usada para obtener la programación
de horarios de los salones.
Líneas (5) a (10). La programación de eventos inicia con la búsqueda del
cumplimiento de la restricción dura número (5) del modelo (ver sección 2.4) La
programación de los eventos que impartirán los maestros titulares (línea (6))
es ejecutada. Se hace el intento de programar los eventos en el día y periodo
que los maestros titulares solicitaron para impartir las materias que les
corresponden.
Se hace una asignación aleatoria de un salón y los eventos son programados
en el día y periodo requerido solo si las restricciones duras son satisfechas.
De otra forma (línea (9)), se hace un número máximo de intentos para
programar los eventos en ranuras de tiempo elegidas de forma aleatoria para
satisfacer las restricciones duras. Una vez que todos los eventos de los
maestros titulares han sido programados, el resultado es una calendarización
parcial factible.
Líneas (11) a (27). Se continúa con la programación del resto de los eventos
que han sido clasificados como pertenecientes a maestros no titulares. Se
hace un número máximo de intentos para programar tales eventos o bien,
hasta que se encuentra una solución factible, que es el criterio de parada del
algoritmo. Se ejecutan las actividades de las líneas (12) a (25) para encontrar
una solución.
56
Línea (12). Los eventos son ordenados tomando en cuenta la capacidad
(número de estudiantes que atienen el evento) Estos eventos son ordenados
en orden decreciente de acuerdo a la capacidad que requieren. Se realiza este
ordenamiento, de modo que los eventos que requieren salones con mayor
aforo sean programados en primera instancia. Los eventos que requieren
menor capacidad para ser impartidos se programan al final.
Línea (13). Los eventos a ser programados se asignan de forma aleatoria a
ranuras de tiempo desocupadas que satisfacen las restricciones duras de
dicho evento. Esto se hace a través de una selección aleatoria de salones y
ranuras de tiempo (día, periodo y salón), como puede verse en la Figura 6, se
hace el intento de programar tantos eventos de maestros no titulares como es
posible, siempre y cuando se satisfagan las restricciones duras.
Línea (14). Los eventos que no pudieron ser asignados en un número máximo
de intentos so almacenados en el arreglo temporal denominado NPNT.
Líneas (16) y (17). Los eventos almacenados en el arreglo temporal NPNT son
programados en ranuras de tiempo sin verificar si con ello se cumple o no con
las restricciones duras. La solución se vuelve infactible.
Líneas (19) a (25). Para intentar recobrar la factibilidad de la solución, se lleva
a cabo un paso de reubicación de eventos. Este paso de reubicación de
eventos consiste en ejecutar repetidos intentos de reprogramación de eventos
que no cumplen con las restricciones duras.
Líneas (22) y (23) Se seleccionan de forma aleatoria ranuras de tiempo y se
analiza la factibilidad de hacer un intercambio. Si las ranuras de tiempo están
siendo ocupadas con eventos que ya cumplen con las restricciones duras, el
análisis que se hace consiste en determinar si se siguen satisfaciendo las
restricciones duras luego del intercambio de eventos. Si las ranuras de tiempo
seleccionadas para la reubicación están vacías, el análisis permitirá
determinar si los eventos pueden ser movidos a las ranuras de tiempo
satisfaciendo sus restricciones duras.
57
La reubicación de eventos tiene lugar solo para los eventos de los maestros
no titulares.
Línea (26). Cada que termina el ciclo para programar los eventos almacenados
en el arreglo temporal NPNT, se incluye un paso de reprogramación de
eventos, que consiste en intercambios de eventos programados en la solución
siempre que continúen satisfaciendo las restricciones duras, asegurándose de
que los eventos de maestros titulares no sean reprogramados.
Líneas (29) a (32). Una vez que finaliza el ciclo de programación de los
eventos de maestros no titulares, el algoritmo imprime si la solución
encontrada es factible o infactible, además de ello se imprime el tiempo que
empleó el algoritmo en obtener tal solución.
Para validar la satisfacción de restricciones duras RD del modelo (ver Sección
2.4) en el Algoritmo Constructivo, es necesario observar cada estudiante (RD
= 7) y maestro (RD = 8) para asegurarse de que las restricciones fueron
satisfechas. Esto significa que no debe haber traslapes. Para asegurar que no
existen traslapes para estudiantes y maestros o cualquier otro incumplimiento
de restricciones duras, se ejecuta una búsqueda iterativa de estas ocurrencias
en cada ranura de tiempo en todos los salones. Este es el proceso que
consume la mayor parte del tiempo de ejecución del algoritmo. Para efectuar
ésta búsqueda, se aplica una combinación de dos algoritmos: búsqueda
binaria y búsqueda BTREE, haciendo más eficiente la búsqueda requerida
para la Programación de los Cursos Universitarios. [Cruz-Chávez, 2014].
58
CAPÍ TULO 4 Pruebas experimentales y ana lisis de resultados
4.1 Entorno de ejecución
Las Pruebas Experimentales del Algoritmo Constructivo fueron ejecutadas en
una computadora personal con Procesador Intel Core i7, cuya velocidad de
CPU era 2.2GHz, 8GB RAM, Sistema Operativo Windows 7 Home Premium,
Microsoft Visual Studio 2008 Ver. 9.0.21022.8. Para cada ensayo
experimental, se realizaron 30 ejecuciones del Algoritmo Constructivo para
generar soluciones factibles.
El análisis de eficiencia del Algoritmo para generar soluciones
factibles se muestra en la Figura 4.1. Se muestran los tiempos que tomó el
Algoritmo para obtener cada una de las 12 soluciones factibles en la ejecución
de las 30 pruebas.
El tiempo más corto que se requirió para encontrar una solución
factible fue 3 horas con 33 minutos y el mayor tiempo fueron 6 horas con 22
minutos. Se obtuvieron soluciones factibles en el 40% de las ejecuciones. En
los casos en que no se obtuvo una solución factible, el tiempo que llevó realizar
el total de número de iteraciones antes de llegar al criterio de parada para el
algoritmo varió entre 4 y 8 horas.
El camino que sigue el Algoritmo Constructivo siempre es diferente,
dado que es un algoritmo no-determinístico. Por lo tanto, el tiempo que lleva
59
realizar las operaciones para encontrar las soluciones parciales serán siempre
diferentes, principalmente debido a la búsqueda iterativa que verifica que no
haya traslapes para estudiantes y profesores.
Fig. 4. 1 Tiempo de generación para 30 ejecuciones del Algoritmo Constructivo
4.2 Análisis de resultados
4.2.1. Frecuencia de asignación de eventos en los salones
La Figura 4.1 presenta el promedio de ocupación por periodo de los 41 salones
que se consideraron en la instancia de la FCQeI. La gráfica muestra que
ningún salón es ocupado en los 90 periodos disponibles que tiene cada uno.
El promedio más alto de ocupación fue la del salón 2 con 65 periodos
ocupados de los 90 disponibles, lo que representa el 77.8%. El salón 2 tiene
capacidad para 70 estudiantes. Se observa que los salones con mayor aforo
tienen el promedio más alto de ocupación.
Las barras azules que se observan en la Figura 4.2 permiten identificar
los laboratorios que se tuvieron disponibles para la instancia considerada.
Estos salones que corresponden a laboratorios tuvieron siempre el mismo
60
número de periodos ocupados, mismos que estuvieron en el rango de 14 a 42.
Solamente las asignaturas que requieren equipo de laboratorio pueden ser
programadas en este tipo de salones; por las características propias de los
laboratorios, no pueden ser empleadas para programar ahí clases teóricas
dado que carecen de la infraestructura necesaria para tal actividad como
butacas para alumnos, proyector, etc.
Fig. 4. 2 Promedio de ocupación de periodos por salón
La existencia de siete laboratorios y varios salones con poca capacidad
disminuye el número de periodos disponibles para calendarizar eventos. Los
siete laboratorios tienen 630 periodos disponibles (7 * 90) pero solo 203
periodos fueron ocupados porque solo pueden ser ocupados cuando la
asignatura requiere de algún laboratorio.
Hay 18 salones con poca capacidad para albergar a los estudiantes,
esta capacidad va de 15 a 30 estudiantes (ver Figura 7). Para los salones con
poca capacidad, se ocuparon en promedio entre 13 y 38 periodos, dejando
desocupados entre 52 y 77 periodos. Por ejemplo, en la Figura 4 se puede
observar que el salón 24, con una capacidad de 15, tiene solo 13 periodos de
61
los 90 disponibles. Los 18 salones con poca capacidad son poco factibles de
utilizar para la programación de eventos debido a que la mayoría de los
eventos requieren de salones con mayor capacidad.
La Figura 4.3 presenta un diagrama de Pareto para la implementación
del Algoritmo Constructivo para el análisis de las 12 soluciones factibles que
se obtuvieron en 30 ejecuciones del algoritmo. El diagrama de Pareto muestra
la frecuencia del promedio de programación de eventos en los 9 salones con
la mayor capacidad, los cuales tienen una capacidad de 70 estudiantes. Se
observa que, en promedio, para cada salón con capacidad de 70, el Algoritmo
Constructivo programa aproximadamente 58 eventos por semana en dos
ejecuciones, 59 eventos por semana en dos ejecuciones, 60 eventos por
semana en dos ejecuciones, 63 eventos por semana en dos ejecuciones y 61
eventos por semana en dos ejecuciones. Cada evento programado un salón
con la mayor capacidad no puede exceder del máximo de la capacidad que es
70 estudiantes. Dado que el número máximo de eventos que pueden ser
programados en cada salón de clases es 90 por semana (ver Tabla 1), para
los nueve salones con capacidad de 70 hay en promedio 33% de periodos
desocupados por semana.
La Figura 4.4 presenta el diagrama de Pareto para la implementación
del Algoritmo Constructivo para las 12 soluciones factibles obtenidas en 30
ejecuciones. El diagrama de Pareto muestra el promedio de ocupación de
eventos programados en los 4 salones con la menor capacidad, estos salones
tienen una capacidad máxima de 15 estudiantes. Se observa que, en
promedio, para cada salón con la menor capacidad, el Algoritmo Constructivo
programó menos de 15 eventos por semana en una ejecución, menos de 16
eventos por semana en tres ejecuciones, menos de 17 eventos por semana
en tres ejecuciones, menos de 18 eventos por semana en tres ejecuciones y
menos de 20 eventos por semana en dos ejecuciones. Cada evento
programado en los salones de menor capacidad no debe exceder el máximo
de la capacidad que es de 15 estudiantes. Dado que el número máximo de
62
eventos que pueden ser programados en un salón son 90 por semana, se
puede concluir que, en promedio, los cuatro salones con la menor capacidad,
que cuenta con lugares para 15 personas, tiene cerca del 78.6% de periodos
desocupados por semana.
Fig. 4. 3 Promedio de eventos semanales asignados a salones con aforo para 70 estudiantes
(en 12 soluciones factibles)
Fig. 4. 4 Promedio de eventos semanales asignados a salones con aforo para 15 estudiantes
(en 12 soluciones factibles)
63
4.2.2. Comparación de resultados
Los resultados obtenidos por el Algoritmo Constructivo fueron comparados con
la programación realizada por la Administración de la FCQeI para el semestre
de la instancia considerada: Agosto – Diciembre 2015.
La solución generada por la Administración de la FCQeI tiene las
siguientes características: de los 656 eventos que debían ser impartidos por
profesores titulares, 3 eventos no pudieron ser asignados a periodos que había
solicitado el profesor titular de la materia. Los eventos fueron programados en
otros periodos, por lo tanto, el conjunto de restricciones 5 no fue satisfecho.
De los 858 eventos que correspondían a profesores no titulares, hubo
28 eventos que fueron asignados a periodos que ya estaban ocupados por
otro evento, de modo que el conjunto de restricciones en 3 no fue satisfecho.
Derivado del análisis que se hizo de la solución obtenida por la FCQeI,
se pudo observar que la solución obtenida por la administración de la FCQeI
no era factible. Así mismo, se pudo observar que, de los 1514 eventos
programados en esta instancia, hubo 459 eventos que presentaron traslapes
(ver Figura 4.5) de modo que el conjunto de restricciones en 7 no se satisfizo.
El resto de restricciones si fueron satisfechas.
También se observó que si el traslape era parte de clases de 4 eventos,
había entonces 114 clases con traslapes, por otro lado, si el evento que
presentaba traslape era parte de una clase de 6 eventos esto provocaba la
existencia de 76 clases con traslapes. El número de eventos con traslapes en
la solución propuesta por la Administración de la FCQeI va de 76 a 114 eventos
con traslapes para el semestre de Agosto – Diciembre 2015. La solución
obtenida por la FCQeI tenía clases con traslapes, por tal motivo, para los
estudiantes no era posible acudir a todas sus clases.
La solución obtenida por el Algoritmo Constructivo presenta los
siguientes resultados: había 656 eventos impartidos por profesores titulares y
estos eventos, en su totalidad, pudieron ser asignados a los periodos
64
requeridos por los profesores, satisfaciendo con ello el conjunto de
restricciones en 5. Respecto a los 858 eventos que impartieron profesores no
titulares, todos los eventos fueron asignados a periodos desocupados,
satisfaciendo con ello el conjunto de restricciones en 3. El resto de
restricciones de modelo propuesto fueron satisfechas.
La solución obtenida por el Algoritmo Constructivo para la FCQeI es
factible. Se observó que no existen traslapes de eventos para estudiantes.
Las Figuras 4.5 y 4.6 muestra la ocupación de salones y el
comportamiento de los traslapes, permitiendo una comparación entre las
soluciones generadas por la Administración de la FCQeI y el Algoritmo
Constructivo. Para la solución generada por la Administración de la FCQeI
(Figura 4.5), un total de 459 eventos tuvieron traslapes para estudiantes.
Cuando un periodo (ranura) en un salón es ocupado, se entiende que
el periodo está ocupado por un evento. De este modo, para el salón 1, hay 67
eventos (ranuras de tiempo ocupadas) por semana, de un total de 90 ranuras
disponibles de ese salón. De esos 67 eventos, 39 presentaban traslapes. La
capacidad del salón 1 es de 70 estudiantes.
En la solución propuesta por la Administración de la FCQeI hay solo 13
salones donde no se presentaron traslapes (26,27, 28,29, 31, 32, 33, 36, 37,
38, 39, 40, y 41). También se puede observar que hay cinco salones en los
cuales no hubo eventos asignados (28, 32, 33, 39 y 40).
Se muestran a continuación las tablas 4.1, 4.2 y 4.3 que permiten
observar tanto la ocupación por salones como el comportamiento de los
traslapes para la solución generada por la FCQeI:
65
Tabla 4. 1 Ocupación por salones y porcentaje de traslapes (Salones 1 al 20)
Tabla 4. 2 Ocupación por salones y porcentaje de traslapes (Salones 21 al 41)
66
Tabla 4. 3 Salones con mayor porcentaje de traslapes
La solución generada por el Algoritmo Constructivo no tiene eventos con
traslapes (Figura 4.6) y se puede observar que todos los salones fueron
ocupados. Ninguno de los salones alcanzó el límite máximo de ocupación (90
ranuras). Los salones con la menor capacidad tuvieron el menor número de
eventos programados. Por ejemplo: los salones 24, 25, 30 y 31 tienen 13, 17,
13 y 16 eventos programados respectivamente. Cada uno de estos salones
tiene una capacidad de 15 estudiantes.
67
Fig. 4. 5 Solución obtenida para el UCTP de la FCQeI. Administración de la FCQeI. Semestre
Agosto-Diciembre 2015
Fig. 4. 6 Solución obtenida para el UCTP de la FCQeI. Algoritmo Constructivo. Semestre
Agosto-Diciembre 2015
68
CAPÍ TULO 5 Conclusiones y trabajo futuro
5.1 Conclusiones
El modelo matemático de satisfacción de restricciones propuesto en el
presente proyecto considera considera el desempeño de las restricciones
duras identificadas en el caso real de programación de cursos universitarios
en la FCQeI.
Fue muy complicado obtener soluciones que cumplieran con todas las
restricciones propuestas en el modelo matemático. Solo en el 40% de las 30
pruebas ejecutadas se obtuvieron soluciones factibles. Las soluciones fueron
encontradas en un promedio de 7 horas, lo cual muestra la complejidad de las
restricciones duras del modelo propuesto. Lo anterior es comparado con las
soluciones infactibles obtenidas por la administración de la FCQeI después de
alrededor de dos semanas de trabajo.
El modelo matemático propuesto es el que ha sido implementado
manualmente en el FCQeI durante 20 años. Dado el incremento de la matrícula
de estudiantes y requerimientos adicionales de la Facultad, el número de
horarios traslapados para las materias se incrementa. Esto ha dificultado aún
más a la administración de la FCQeI la tarea de encontrar buenas soluciones.
Adicionalmente, el número de salones construidos en años recientes no es
proporcional al incremento de la demanda.
69
El modelo matemático propuesto es una oportunidad de programar
horarios eficientes de cursos universitarios sin traslapes en el FCQeI. El
modelo puede ser resuelto con alguna técnica heurística. Para el caso del
presente proyecto, se utilizó un algoritmo de enfoque constructivo, lo cual es
relativamente sencillo de analizar.
En el análisis de los resultados, se observa que los salones con menor
capacidad son subutilizados. Una propuesta para mejorar la asignación de
estas aulas es la formación de varios grupos pequeños de estudiantes en
clases, en lugar de grandes grupos como actualmente sucede.
La formación de pequeños grupos generar una mayor cantidad de
materias (eventos) para programar, lo que a su vez requeriría una mayor
inscripción de profesores que imparten una mayor cantidad de asignaturas.
Eso facilitaría la asignación de aulas pequeñas lo que conlleva a aumentar el
uso de los salones.
La matrícula estudiantil podría aumentar en la FCQeI y aún sería
posible obtener soluciones factibles sin invertir en la construcción de salones
adicionales para los nuevos grupos si son pequeños.
Otra propuesta es utilizar otras técnicas heurísticas para resolver el
modelo propuesto con mayor eficacia. Esto podría facilitar el encontrar
soluciones apropiadas de acuerdo a la capacidad de los salones de clase.
Sería necesario realizar un cambio en el modelo matemático propuesto para
que las nuevas restricciones sean incluidas. El cambio podría permitir por
ejemplo, que la heurística ocupara primero los salones con menor capacidad
y luego los de mayor capacidad.
70
5.2 Trabajo Futuro
Para mejorar las soluciones factibles obtenidas se podría implementar una
metaheurística que permita explorar y explotar el espacio de soluciones con el
objetivo de optimizar las soluciones ya obtenidas. Así mismo, se podría
considerar la evaluación de adaptación de cada solución para el proceso de
selección de los individuos por medio de restricciones suaves que se pueden
observar para el caso de estudio de la FCQeI.
Se podría considerar abordar el problema de calendarización de cursos
universitarios de la FCQeI con un Algoritmo Genético ya que en la literatura se
ha visto que da buenos resultados tratar el UCTP con esta heurística. [Flores-
Pichardo, 2011] Incluso, se ha encontrado que la combinación de Algoritmos
Genéticos con métodos de búsqueda local obtienen buenos resultados al
aplicarse a instancias grandes como se puede encontrar en [Abdelhalim, et.al.,
2016] y [Kralev, et.al., 2019], esta sería una buena opción para abordar el
problema de la programación de cursos universitarios de la FCQeI por las
características propias del problema descritas en el apartado 2.3. Por otro
lado, se podría hacer uso de alguna búsqueda en vecindarios variables,
métodos con los que se ha experimentado para su uso en optimización
abordando problemas NP-completos, como es el caso del UCTP. [Cruz-
Chavez, et.al., 2014].
Los algoritmos genéticos son métodos adaptativos utilizados para
resolver problemas de optimización. Estos algoritmos están basados en el
proceso genético de los organismos biológicos y simulan el principio de
selección natural, siendo posible con ellos evolucionar la forma de solucionar
problemas del mundo real. Por ejemplo, pueden ser usados para diseñar
estructuras de puentes o para determinar la forma en que se disminuye el
desperdicio en el corte de patrones de ropa [Beasly, 1993].
71
Dado que en el Centro de Investigación en Ingenierías y Ciencias
Aplicadas (CIICAp) se incursiona en un proyecto para estudiar modelos
teóricos de tipo NP-completos en la GRID Morelense, el algoritmo genético
para la Programación de Cursos Universitarios se podría implementar en ese
ambiente Grid.
El ambiente Grid permite contar con equipo de cómputo con gran poder
de procesamiento y es un ambiente ideal para ejecutar algoritmos que
resuelvan problemas de optimización de tipo NP-completos que consideren
instancias grandes.
El Cuerpo Académico de Optimización y Software adscrito al CIICAp
Centro de Investigaciones en Ingeniería y Ciencias Aplicadas de la UAEM en
colaboración con el Cuerpo Académico Cómputo Intensivo Aplicado a la
Ingeniería, del Instituto Tecnológico de Veracruz, construyo la MiniGRID
Tarántula, para trabajar en sus líneas de investigación, la cual cuenta con 13
nodos (24 procesadores), 21 GB RAM y 1740 GB HD. Actualmente esta
MiniGRID está formada por dos clusters de alto rendimiento, uno localizado en
Cuernavaca, Morelos (UAEM), el cluster CIICAp y otro localizado en Veracruz,
Veracruz (ITVer), el cluster Nopal.Los dos Clusters de alto rendimiento se unen
a través de una Red Privada Virtual red-a-red utilizando OpenVPN en lugar de
usar routers (vía Hardware). Los Clusters son de diferentes subredes, el
Cluster del CIICAp como subred A y el Instituto Tecnológico de Veracruz con
una subred B.
72
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