Autor: Carlos Adolfo Soto Franco. CCH Sur.  Página 1 

Seminario Institucional

Uso de las Tecnologías de la Información en Matemáticas

Ejercicios que sirven de guía para el concurso de límites y

derivadas del 12 de nov 2008 a las 14 horas. Eliminatoria: 5 nov 2008, 14 horas

Parte I. Límites

1 lim   =

2 lim   =

3 lim  √ =

4 lim  √ =

5 lim   √ =

6 lim     =

7 lim     =

8 lim √ =

9   lim  √ =

10  lim  √ =

11  lim   =

12  lim   =

13  lim  =

14 lim   =

No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.

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15 lim  √ =

16  lim  √

=

17  lim     

=

18  lim  √  =

19  lim   =

20 lim   √ =

21  lim √ 1=

22   lim  √ 1=

23  lim   =

24 lim 11

I. Método de Fermat (para hallar la pendiente de la recta tangente): La recta tangente a la curva y = f(x), en el punto P(a, f(a)), es la recta que pasa por P y su pendiente es:

mT = lim 

siempre que ese límite exista. 25) Usar el método de Fermat para hallar la pendiente de la recta tangente a la curva F(x) en P(a, F(a)):

a) F(x) = ; en x=2

b) F(x) = ; en x=2

c) F(x) = ; en x=2

d) F(x) =√3 3; en x=2

e) F(x) =√ 2 ; en x=2 f) F(x) =√2 1 ; en x=2 g) F(x) = ; en x=2

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Parte II. Concepto de derivada y aplicaciones:

3. Un objeto se desliza sobre un plano inclinado, el número de metros s(t) que avanza en t segundos está dado por s(t) = 3t2 + 3 A) ¿Cuál es su rapidez promedio entre los instantes t = 1s y t = 3s? B) ¿Cuál es su rapidez instantánea en t = 4s? C) ¿En qué instante su rapidez será de 25 m/s? D) ¿Con qué aceleración baja por el plano el objeto? 4. Un investigador está inflando un globo esférico, su radio r (en centímetros) después de t minutos está dado por r(t) = 2 √ , para 0 ≤ t ≤ 8; hallar e interpretar en t=6, cada una de las siguientes cantidades: a) r’(t) = b) El volumen del globo V(t) c) V’(t) d) La superficie del globo

2. La gráfica de la izquierda representa el movimiento de una cuenta ensartada en un

alambre rectilíneo. Las marcas en el eje vertical representan metros y en el eje horizontal

segundos. A) ¿En qué instantes la rapidez instantánea de la

cuenta es igual a cero? B) ¿Qué velocidad instantánea tiene la

cuenta en t=5 s? C) ¿Qué rapidez promedio tiene la

cuenta entre t=4 s y t=6 s?

1. La curva de la figura pertenece a la familia de curvas conocida como la Bruja de Agnesi; su

ecuación es y = ;

hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en x=22

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5. Se lanza un cohete verticalmente hacia arriba, el impulso del motor hace que la posición del cohete s(t), metros después de t segundos sea s(t) = 6t2 + 10, el combustible se agota a los 8 segundos. A) ¿Cuál es la velocidad promedio del cohete durante los primeros 8 segundos de su vuelo? B) ¿Cuál es la velocidad instantánea del cohete en t = 8s? C) ¿Cuál es la altura que ha alcanzado el cohete en t = 8s? D) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete? E) ¿Cuál es el tiempo total que dura en el aire el cohete?

Parte III. Hallar la función derivada A. Hallar la función derivada de las siguientes funciones usando la regla

de los cuatro pasos o la definición de derivada:   lim

i)F(x) = para x≠1 ii) G(x) = para x≠

iii) F(t) = para t≠1 iv))F(t) = √ 1     1

v) F(t) = √2 1     B. Hallar la función derivada de las siguientes funciones en su dominio usando las reglas de derivación habituales:

1) F(x) = para x≠

2) F(x) = para x≠

3) F(x) = para x≠

4) F(x) = para x≠

5) G(t) = √2 1    

6) F(x) = √2 1    

7) F(x) = 3 2

8) F(x) =   3 2

9) F(x) =  3 2

10) F(x) = √

para x >0

11) F(x) = √

para x > -

12)F(x) = √

para x > -

13)F(x) = √

para x > -

14)F(x) = √

para x > -

15)F(x) =

16)G(x) = ( 7   5

17)F(x)= 6     3 2

18)F(x) = 2 3  3 2

19) F(u) = 2   8

20)F(x) =  2 5   8