Guia Ejercicios Derivadas

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Universidad Nacional Experimental del T ´ achira Departamento de Matem ´ atica y F ´ ısica Asignatura: Matem ´ atica I Lapso 2013-1 DERIVADAS (I) En los ejercicios 1 a 5 obtenga la ecuaci´ on de la recta tangente a la gr´ afica de la funci´ on en el punto indicado. (1) f (x)=2x x 3 ;(2, 4). Resp. y = 10x 16. (2) f (x)= 4 x 2 ; (4, 4). Resp. 8y = x 28. (3) f (x)=4x x 2 ; (1, 3). Resp. y =2x +1. (4) f (x)=4x 2 2x 3 ; (1, 2). Resp. y =2x. (5) f (x)= x ; (1, 1). Resp. 2y = x +1. (II) En los ejercicios 6 a 11, empleando la definici´ on de derivada, calcule la derivada en el n´ umero indicado x 0 . (6) f (x)=1+ x 2x 2 ; x 0 = 1. Resp. 5. (7) f (x)= x 2x 1 ; x 0 =0. Resp. 1. (8) f (x)= 2 3 x ; x 0 =1. Resp. 2/4 (9) f (x)= x x +1 ; x 0 =4. Resp. 3 5/25. (10) f (x)= x x 2 +1; x 0 =1. Resp. 3 2/2. (11) f (x)= xcos(x); x 0 = π. Resp. 1. (III) En los ejercicios 12 a 19, empleando la definici´ on de derivada determine la derivada de la funci´ on. Deduzca el dominio de diferenciabilidad. (12) f (x)=5x +3. Resp. f (x) = 5; dom(f )= R. (13) f (x) = 18. Resp. f (x) = 0; dom(f )= R.
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Ejercicios con resultados de derivadasEjercicios propuestos por UNET.

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  • Universidad Nacional Experimental del Tachira

    Departamento de Matematica y Fsica

    Asignatura: Matematica I Lapso 2013-1

    DERIVADAS

    (I) En los ejercicios 1 a 5 obtenga la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion en el

    punto indicado.

    (1) f(x) = 2x x3; (2, 4). Resp. y = 10x 16.(2) f(x) =

    4

    x2; (4,4). Resp. 8y = x 28.

    (3) f(x) = 4x x2; (1, 3). Resp. y = 2x+ 1.(4) f(x) = 4x2 2x3; (1, 2). Resp. y = 2x.(5) f(x) =

    x ; (1, 1). Resp. 2y = x+ 1.

    (II) En los ejercicios 6 a 11, empleando la definicion de derivada, calcule la derivada en el numero

    indicado x0.

    (6) f(x) = 1 + x 2x2; x0 = 1. Resp. 5.

    (7) f(x) =x

    2x 1; x0 = 0. Resp. 1.(8) f(x) =

    23 x ; x0 = 1. Resp.

    2/4

    (9) f(x) =xx+ 1

    ; x0 = 4. Resp. 35/25.

    (10) f(x) = xx2 + 1 ; x0 = 1. Resp. 3

    2/2.

    (11) f(x) = xcos(x); x0 = pi. Resp. 1.

    (III) En los ejercicios 12 a 19, empleando la definicion de derivada determine la derivada de la

    funcion. Deduzca el dominio de diferenciabilidad.

    (12) f(x) = 5x+ 3. Resp. f (x) = 5; dom(f ) = R.

    (13) f(x) = 18. Resp. f (x) = 0; dom(f ) = R.

  • (14) f(x) = x3 x2 + 2x. Resp. f (x) = 3x2 2x+ 2; dom(f ) = R.(15) f(x) =

    6 x . Resp. f (x) = 1

    26 x ; dom(f

    ) = (,6).

    (16) f(x) =1 + 2x . Resp. f (x) =

    11 + 2x

    ; dom(f ) = (1/2,).

    (17) f(x) =x+ 1

    x 1 . Resp. f(x) =

    2(x 1)2 ; dom(f

    ) = R {1}.

    (18) f(x) =4 3x2 + x

    . Resp. f (x) = 10(x+ 2)2; dom(f ) = R {2}.(19) f(x) =

    1x 1 . Resp. f

    (x) = (x 1)3/2; dom(f ) = (1,).

    (IV) En los ejercicios 20 a 29, realice lo siguiente: (a) Determine si la funcion es continua en x0.

    (b) Calcule las derivadas laterales f (x0) y f+(x0) si existen. (c) Determine si f

    (x0) existe, de

    existir cual es el valor.

    (20) f(x) =

    x+ 2 si x 4;x 6 si x > 4. x0 = 4. Resp. Si; f (4) = 1; f +(4) = 1; f (4) .

    (21) f(x) =

    1 si x < 0;x 1 si x 0. x0 = 0. Resp. Si; f (0) = 0; f +(0) = 1; f (0) .

    (22) f(x) =

    x

    2 si x 0;x2 si x > 0.

    x0 = 0. Resp. Si; f(0) = f

    +(0) = 0 = f

    (0).

    (23) f(x) =

    5 6x si x 3;4 x2 si x > 3. x0 = 3. Resp. Si; f (3) = 6; f +(3) = 6; f (3) .

    (24) f(x) =

    x 2 si x < 0;x2 si x 0. x0 = 0. Resp. No; f (0) =; f +(0) = 0; f (0) .

    (25) f(x) =

    1

    xsi 0 < x < 2;

    1 x4

    si x 2.x0 = 2. Resp. Si; f

    (2) = f

    +(2) = 1/4 = f (4).

    (26) f(x) =1

    (x 2)2 ; x0 = 2. Resp. No; f(2), f

    +(2), f

    (2) .

    (27) f(x) = |1 x2|; x0 = 1. Resp. Si; f (1) = 2; f +(1) = 2; f (1) .(28) f(x) = |x 3| ; x0 = 3. Resp. Si; f (3) = 1; f +(3) = 1; f (3) .(29) f(x) = sign(x); x0 = 0. Resp. No; f

    (0) =; f +(0) =; f (0) .

    (V) En los ejercicios 30 a 34, determine si la funcion dada es derivable en el intervalo indicado.

    30) f(x) =x , [0, 1]; Resp. No.

  • 31) f(x) =1 xx+ 2

    , [3, 0]; Resp. No.

    32) g(x) =1x 1 , [2, 3]; Resp. Si.

    33) h(x) =

    1/x si 0 < x < 21 x/4 si x 2. ; (0, 3]; Resp. Si.

    34) g(x) = | x+ 1| , [2,1]; [2, 0]; [1, 0]. Resp. Si,No, Si.

    (VI) En los ejercicios 35 a 40, se presentan las graficas de una funcion. Determine: f (1); f +(1);f (0); f

    +(0); f

    (1); f

    +(1); En que numeros la funcion no es diferenciable?. (Las graficas se

    presentan en la siguiente pagina)

    Resp. (35) 2; 1; 1;1;1; 1. no es diferenciable en: 1; 0; 1.

    (36) 0; 2;;;1; 2. no es diferenciable en: 1; 0; 1.

    (37) 1/2;1/3;;; 1/3; 1. no es diferenciable en: 1; 0; 1.

    (38) 2; 1;;1;1;. no es diferenciable en: 1; 0; 1.

    (39) 2;2; 0; 0;2; 1. no es diferenciable en: 1.

    (40) 2; 2; 0; 0; 3;. no es diferenciable en: 1.

    (41) Suponga que a los t minutos, r(t) metros es el radio del flujo circular de petroleo que se derrama

    por una fisura de un tanque, dado por r(t) =

    4t

    2 + 20 si 0 t 2,16t+ 4 si t > 2.

    Determine si la funcion r(t) es diferenciable en t = 2. De ser as, cual es el valor de f (2).

    (42) Determine el valor de a y b tales que la funcion f sea diferenciable en x0.

    (a) f(x) =

    x

    2 si x < 1;

    ax+ b si x 1;x0 = 1. (b) f(x) =

    ax+ b si x < 2;2x2 1 si x 2; x0 = 2.

    (43) Es posible que una funcion sea diferenciable en un numero y no sea continua en ese numero?.

    Si la respuesta es si de un ejemplo. Si es no, establezca la(s) razon(es).

  • (44) Es posible que una funcion sea continua en un numero y no sea diferenciable en ese numero?.

    Si la respuesta es si de un ejemplo. Si es no, establezca la(s) razon(es).

    (45) Para que valores de x la funcion f(x) = x|x| es diferenciable?. Deduzca una formula de f (x).

    (46) Para que valores de x la funcion f(x) =qxyes diferenciable?. Deduzca una formula de f (x).

    (47) Determine si f (0) existe o no.

    (i) f(x) =

    x sen

    (1/x

    )si x 6= 0;

    0 si x = 0;(b) f(x) =

    x

    2sen(1/x

    )si x 6= 0;

    0 si x = 0;

    (VII) Determine si la funcion dada es derivable en el intervalo indicado.

    48) f(x) =x , [0, 1]; 49) g(x) =

    1 xx+ 2

    , [3, 0];

    49) h(x) =1

    x 1 , [2, 3]; 50) f(x) = |x+ 1|, [2,1], [2, 0], (1, 0].

    51) f(x) =

    1/x, si 0 < x < 2,1 x/4 , si x 2; [0, 3];

    (VIII) Halle la derivada de las siguientes funciones. Las letras a, b, c y d son constantes.

    (52) y = 4x2 6x+ 1. (53) y = 1 x3+

    x6

    6.

    (54) y = 0, 5x4 0, 3x2 + 2, 5x. (55) u = v10 3v8

    4+ 0, 4v3 + 0, 1.

    (56) s = 2t5 +t3

    3 0, 3t2. (57) z = 2 + 1

    3y 3

    y2.

    (58) f (x) = 3x56 10 4x 23 . (59) g (x) = ax5 bx4 + d+ cx 32 .

    (60) y =2 x63a

    . (61) z =x3

    a+ b+

    x5

    a b x.

    (62) z =t3 bt2 3

    6. (63) y = 4

    x+

    3 3

    2 x2.

    (64) z =3t 1

    3t. (65) u =

    3

    2x+

    33 5

    33x2

    .

  • (66) y = (5x4 4x5) (3x2 + 2x3) . (67) y = x3 ex.

    (68) y =x ex. (69) y = xe + ex.

    (70) y = (x 1) (x 2) (x 3) . (71) y = 13

    (2 x3 1) (3 x2 2) (6x 5) .

    (72) z =t (t4 1) (t6 2) . (73) y = (x 1) (x+ 1)

    (74) u = 2x(

    5x+ x2) . (75) y = (x 3) ( 2x 1)

    (76) y =3

    x 9 . (77) y =x

    x 8(78) y =

    x+ 3

    x 3 . (79) z =t

    t2 + 1

    (80) u =2t3 + 1

    t 1 . (81) y =x3 2x

    x2 + x+ 1

    (82) y =ax2 + bx+ c

    x. (83) y =

    ax2 + bx+ cx

    (84) y =ax2 + ba2 + b2

    . (85) y =x2 + 1

    x2 1 (x 1)(x2 1)

    (86) y =1

    (x 1) (x 3) . (87) y =1x1 + 2

    x

    (88) y =1 3x1 + 3

    x. (89) y =

    ex 1ex + 1

    (90) f (x) = 5 sen(x) + 2 cos(x). (91) g () = cot()

    (92) y = tg() sen(). (93) y = tg(x) cot(x)

    (94) h (t) =sen(t)

    1 + cos(t). (95) f (x) =

    tg(x)

    x

    (96) g (x) =1 cos(x)1 + cos(x)

    . (97) y =sen(t) + cos(t)

    sen(t) cos(t)

    (98) y =tg(x) 1sec(x)

    . (99) y =

    (1

    2

    )x

    (100) y = x2 2x. (101) y = x2 ex.

    (102) y = ex ln(x). (103) y = 2x log2(x)

    (104) y =ln(x)

    ex. (105) y =

    log2(x)

    2x.

    (106) y =1 + ln(x)

    1 ln(x) . (107) y = (x2 3x+ 5)3 .

    (108) f (x) = (15 8x)4 . (109) g (t) = (2t3 1)3

    (110) z =1

    (5x5 x4)8 . (111) y = (3x2 8)3 (4x2 + 1)4

  • (112) f (u) =2u3 + 1

    u2 1 . (113) y =(x 1x+ 3

    )2

    (114) g (t) =

    (3t2 + 2

    2t3 1)2

    . (115) y =1 2x

    (116) u =1 + t 2t2 8t3. (117) h (x) = x2x4 1

    (118) g (x) =x

    x2 + 1. (119) y =

    3x2 1 32x+ 1

    (120) z = (1 3x2)2 (x+ 1)2 . (121) h (t) = 1 + t1 t

    (122) z = 3

    1

    1 + t2. (123) z = 3

    b+ ax3 .

    (124) f (x) =x

    b2b2 + x2

    . (125) y =11 + x1 +

    1 + x

    (126) y = 3x+

    x . (127)

    x+

    x+

    x .

    (128) y = tg(4x) (129) y = 2 cot(x2

    )(130) u = cos (x3) (131) v = cos3(x)

    (132) y = tg (x4) + tg4(x) (133) z = cosx

    (134) u =cos(x) (135) y =

    cos(

    x )

    (136) y = 3tg(3x) (137) y = cot 3

    1 + x2

    (138) y =4

    sec(x)(139) y = csc

    (1

    x2

    )

    (140) y = sen3(1x1 +

    x

    )(141) y =

    tg(x)1 + sec2(x)

    (142) y =

    1 + sen(x)

    1 sen(x) (143) y =1 + cot

    (x+

    1

    x

    )

    (144) y =cot

    (x2

    )1 cot2

    (x2

    ) (145) y =a sen2(x) + b cos2(x)

    (146) y = cos (cos(x)) (147) y = sen (cos(x2))

    (148) y = sen2 (cos(4x)) (149) y = sen (sen (sen(x))) .

    (150) y = cos2 (cos(x)) + sen2 (sen(x)) (151) y = tg (sen2(x)) .

    (152) y = sen(tg(

    sen(x)))

  • (153) y = e3x2+1 (154) y = 2

    x

    (155) y = xnax2

    (156) y = 3cot(1/t)

    (157) y = 23sen2(x)

    (158) y =log5(x)

    (159) y = ln( xex

    )(160) y =

    ln(t)

    e2t.

    (161) y = ln

    (e4x 1e4x + 1

    )(162) y = ex ln(x)

    (163) y = ln

    (x+ 1x 2

    )(164) y = ln

    (x+ 1

    x 1)35

    (165) y = ln (x3 sen(x)) (166) y = ln

    [cos

    (x 1x

    )]

    (167) y = arccos

    (1 x

    2

    )(168) y = x arcsen

    x

    1 + x+ arctg

    xx

    (169) y = arctg

    (senx+ cos(x)

    sen(x) cos(x))

    (170) y = ln

    (arccos

    (1x

    ))

    (171) y = arctgx2 1 ln(x)

    x2 1 (172) y = arctg(

    x

    1 +1 x2

    )

    (173) y = arccot

    (a 2x

    2ax x2

    ), (a > 0) .

    Resp. VIII)

    (52) y = 8x 6.

    (53) y = x5 13.

    (54) y = 2x3 35x+ 5

    2.

    (55) u = 10v9 6v7 + 65v2.

    (56) s = 10t6

    + t2 + 35t3

    .

    (57) z = 6y3 1

    3y2.

    (58) f (x) = 52 6x+ 8

    3x3x2.

    (59) g(x) = 5ax4 + 4bx5

    + 32

    x.

    (60) y = 4x5a.

    (61) z = 3x2

    a+b+ 5x

    4

    ab 1.

    (62) z = 3t22bt6

    .

    (63) y = 2x+ 3

    x3.

    (64) z = 13

    [1

    3t2+ 1

    t 3t

    ].

    (65) u = 1x

    [10

    93x2

    3

    4x

    ].

    (66) y = 64x7 14x6 + 90x5.

    (67) y = x2ex(3 + x).

    (68) y =xex

    [2x+12x

    ].

    (69) y = exe1 + ex.

    (70) y = 3x2 12x+ 11.

    (71) y = 72x5 50x4 32x3 + 2x2 + 10x+ 4.

    (72) z =t

    [21t

    9

    2 13t5

    2 9t3 + 1

    t

    ].

    (73) y = 1.

    (74) u =5x+ 5x

    x 2.

  • (75) y = 6x2 1

    xx 1

    2x.

    (76) y = 3(x9)2 .

    (77) y = 8(x8)2 .

    (78) y = 6(x3)2 .

    (79) z = 1t2

    (t2+1)2.

    (80) u = 4t36t21(t1)2 .

    (81) y = x4+2x3+5x22(x2+x+1)2

    .

    (82) y = a cx2.

    (83) y = 12x

    [3ax+ b c

    x

    ].

    (84) y = 2axa2+b2

    .

    (85) y = 4x(x21)2 (3x2 2x 1).

    (86) y = 2(x1)2(x3)2 .

    (87) y = 32x(1+2

    x)2

    .

    (88) y = 23

    3x2(1+ 3

    x)2

    .

    (89) y = 2ex

    (ex+1)2.

    (90) f (x) = 5 cos(x) 2sen(x).

    (91) g() = cotx csc2 .

    (92) y = sen[sen2+ 1].

    (93) y = sec2 x+ csc2 x.

    (94) h(t) = 11+cos t

    .

    (95) f (x) = x sec2 xtanxx2

    .

    (96) g(x) = 2senx[1+cos x]2

    .

    (97) y = 2(sentcos t)2 .

    (98) y = sec x sen2xcos x

    + senx.

    (99) y = ln 2 (12

    )x.

    (100) y = x2x(2 + x ln 2).

    (101) y = x(x2)ex

    .

    (102) y = ex[ln x+ 1

    x

    ].

    (103) y = 2x[ln x+ 1

    x ln 2

    ].

    (104) y = 1ln(xx)

    xex.

    (105) y = 1ln(2x) lnxln 2x

    .

    (106) y = 2x[1lnx]2 .

    (107) y = 3(x2 3x+ 5)2(2x 3).

    (108) f (x) = 32(15 8x)3.

    (109) g(t) = 18t2

    (2t31)4 .

    (110) z = 8x3(25x4)

    (5x5x4)9 .

    (111) y = 2x(3x2 8)2(4x2 + 1)3(137 84x2).

    (112) f (u) = 2u(u33u1)

    (u21)2 .

    (113) y = 8(x1)(x+3)3

    .

    (114) g(t) = 12t(3t2+2)(t3+2t+1)(2t31)3 .

    (115) y = 112x .

    (116) w = 14t24t2

    21+t2t28t3 .

    (117) h(x) = 2x(2x31)

    x41 .

    (118) g(x) = 1(x2+1)3/2

    .

    (119) y = 3x32x+1

    3x21 +23x21

    3 3

    (2x2+1)2.

    (120) z = 12x(1 3x2)(x+ 1)2 (13x2)(

    x+1)3

    x.

    (121) h(t) = 3t2(1t)3/2 .

    (122) z = 2t(1+t2) 3

    1+t2

    .

    (123) z = ax2

    3

    (b+ax3)2.

    (124) f (x) = 1(b2+x2)3/2

    .

    (125) y = 11+x(1+

    1+x)2

    .

    (126) y = 13 3

    (x+x)2

    (1 + 1

    2x

    ).

    (127) y = 4x

    x+x+2

    x+1

    8x

    x+x

    x+

    x+x

    .

    (128) y = 4 sec2(4x).

  • (129) y = csc2(x2).

    (130) u = 3x2senx3.

    (131) v = 3 cos2 xsenx.

    (132) y = 4x3 sec2(x4) + 4tg3x sec2 x.

    (133) z = senx

    2x

    .

    (134) u = senx2cos x

    .

    (135) y = senx

    4x

    cosx.

    (136) y = sec2 3x

    3

    tg3x.

    (137) y = 2x csc2( 31+x2)

    3 3

    (1+x2)2.

    (138) y = 2tgxsec x

    .

    (139) y = 2x3csc

    (1x2

    )cot

    (1x2

    ).

    (140) y = 3x(1+

    x)2

    sin2(

    1x1+

    x

    ).

    (141) y = 2 sec2 x

    (1+sec2 x)3/2.

    (142) y = 11senx .

    (143) y =csc2(x+ 1x)[1x2]

    2x2

    1+cot(x+ 1x).

    (144) y = csc2(x/2)

    2[1cot2(x/2)]3/2 .

    (145) y = (1b)sen2x2asen2x+b cos2 x

    .

    (146) y = senxsen cos x.

    (147) y = 2xsen(x2) cos(cosx2).

    (148) y = 4sen4xsen(2 cos 4x).

    (149) y = cos(sensenx) cos(senx) cosx.

    (150) y = senxsen(2 cosx) + cosxsen(2senx).

    (151) y = sen2x sec2(sen2x).

    (152) y = cos(tgsenx) sec2(

    senx) cos x

    2senx

    .

    (153) y = 6xe3x2+1.

    (154) y = ln(2)2

    x

    2x

    .

    (155) y = xn1ax2

    [n 2 ln(a)x2].

    (156) y = csc2(1/t)3cot(1/t)

    t2.

    (157) y = sen(2x)23sen2x

    .

    (158) y = 110x

    log5 x.

    (159) y = 1x 1.

    (160) y = 1ln(t2t)

    te2t.

    (161) y = 8e4x

    e8x1 .

    (162) y = [1 + ln x]ex lnx.

    (163) y = x52(x+1)(x2) .

    (164) y = 65(x21) .

    (165) y = 3x+ cot x.

    (166) y =tg(x1x )

    x2.

    (167) y = 11+2xx2 .

    (168) y = arcsen

    x1+x

    .

    (169) y = 1.

    (170) y = 12xx1 arc cos

    (1x

    ) .

    (171) y = x lnx(x21)3/2 .

    (172) y = 121x2 .

    (173) y = 1axx2 .

  • (IX) En las siguientes funciones halle los valores de x para los cuales f (x) = 0 o f (x) no existe.

    (174) f (x) = 3x2 2x . (175) f (x) = x3

    3 4x2 + 12x+ 3

    (176) f (x) = 3 3(x 3) 2. (177) f (x) = x+ 1x

    (178) f (x) = 9x ex. (179) f (x) = 4x3ex

    (180) y =1

    x 1 . (181) y =3x

    1 x(182) f (x) = 2sen(x) sen(2x).

    Resp. IX):

    (174) x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2.

    (175) x1 = 2, x2 = 6.

    (176) x = 3.

    (177) x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1.

    (178) x = 1.

    (179) x1 = 0, x2 = 3.

    (180) x = 1.

    (181) x = 1.

    (182){x1 y x2 R : x1 = 2npi y x2 = (6n 2)pi3 , n Z

    }.

    (X) En los siguientes problemas encuentred3 y

    dx3.

    (183) y = x3 + 2x2 + 6x. (184) y = x5 + x4

    (185) y = (3x+ 5)3. (186) y = (3 5x)5

    (187) y = sen(7x). (188) y = sen(x3)

    (189) y =1

    x 1 . (190) y =3x

    1 x(191) y = e3x. (192) y = arctg(x).

    Resp. X):

    (183) d3y

    dx3= 6.

    (184) d3y

    dx3= 60x2 + 24x.

    (185) d3y

    dx3= 48.

    (186) d3y

    dx3= 7500(3 5x)2.

    (187) d3y

    dx3= 343 cos(7x).

    (188) d3y

    dx3= 27x4 cos(x3) 54x3sen(x3) +

    6 cos(x3).

    (189) d3y

    dx3= 6

    (x1)4 .

  • (190) d3y

    dx3= 18(1 x)4.

    (191) d3y

    dx3= 27e3x.

    (192) d3y

    dx3= 7x

    21(1+x2)3

    .

    (XI) En los siguientes problemas determine f (2).

    (193) f(x) = x2 + 1; (194) f(x) = 5x3 + 2x2 + x; (195) f(t) = 2/t;

    (196) f(u) =2u2

    5 u ; (197) f() =(cos(pi)

    )2; (198) f(t) = tsen(pi/t);

    (199) f(s) = s(1 s2)3; (200) f(x) = (x+ 1)2

    x 1 .

    Resp. XI):

    (193) f (2) = 2.

    (194) f (2) = 64.

    (195) f (2) = 12.

    (196) f (2) = 10027.

    (197) f (2) = 2pi2.

    (198) f (2) = pi2

    8.

    (199) f (2) = 684.

    (200) f (2) = 200.

    (201) Determine una formula para Dnx(an1x

    n1+ +a1x+a0). Sin realizar calculo alguno encuentre

    la derivada D4x(3x3 + 2x 19) y D11x ((x2 3)5).

    Resp. (201): Dnxf = an1(n 1)(n 2) (n n)xn(n+1) + . . . = 0.

    a) D4x(3x3 + 2x 19) = 0.

    b) D11x (x2 3)5 = 0.

    (202) Encuentre una formula para: (a) y(n) cuando y = eax. (b) Dnx

    (1x

    ).

    Resp. (202):

    (a) y(n) = aneax. (b) Dnx(1x) = (1)

    n+2n!xn+1

    .

    (XII) Determine la derivada indicada en cada funcion.

    (203) y(10) si y = sen(x); (204) y(4) si y = x2 ln(x);

    (205) y(5) si y = ln(x+ 1); (206) y(4) si y = ex cos(x);

    (207) y(4) si y = cos(3x); (208) y(5) si y =ln(x)

    x.

  • Resp. XII):

    (203) y(10) = sen(x).

    (204) y(4) = 2x2.

    (205) y(5) = 24(x+ 1)5.

    (206) y(4) = 4ex cos(x).

    (207) y(4) = 81 cos(3x).

    (208) y(5) = 274120 ln(x)x6

    .

    (XIII) Obtenga la derivada de la funcion, siguiendo las indicaciones. (a) Obteniendo primero explcita-

    mente la funcion y = f(x) y derivando directamente. (b) derivando implcitamente la expresion

    dada.

    (209) 3x+ 8y xy = 1; (210) xe2y+1 + 1 x = 0;(211) tg(xy) + x = 2; (212) xsen(y) + 3 x2 = 0.

    Resp. XIII):

    (209) y = 23(8x)2 .

    (210) y = 12(x1) .

    (211) y = 1x sec2(tg1(2x)) tg

    1(2x)x2

    .

    (212) y = x2+3

    x2 cos(sen1(x

    23x

    )) .

    (XIV) Suponiendo que en los siguientes ejercicios cada ecuacion define una funcion derivable de x.

    Encuentre Dxy por medio de la derivacion implcita.

    (213) y2 x2 = 1; (214) 9x2 + 4y2 = 36; (215) x3 + y3 = 8xy;

    (216) x2 + y2 = 7xy; (217)1

    x+

    1

    y= 1; (218)

    3

    x 3

    y= 2x;

    (219)5xy + 2y = y2 + xy3; (220) x

    y + 1 = xy + 1; (221) xy + sen(xy) = 1;

    (222) cos(xy2) = y2 + x; (223) sec2(x) + csc2(y) = 4; (224) ctg(xy) + xy = 0;

    (225) xsen(y) + y cos(x) = 1; (226) cos(x+ y) = ysen(x); (227) exy + x2 y2 = 1;

    (228) ln(1 +x2 + y2 ) x+ y = 0.

    Resp. XIV):

    (213) y = xy.

    (214) y = 94y.

    (215) y = 3x28y

    8x3y2 .

    (216) y = 2x7y7x2y .

  • (217) y = y2

    x2.

    (218) y = y2

    x2.

    (219) y = y35y

    5x+25xy2y5xy3xy25xy .

    (220) y = 2y+1(yy+1)x2xy+1 .

    (221) y = yx.

    (222) y = (1+y2sen(xy2))

    2y(xsen(xy2)+1).

    (223) y = sen(x)sen3(y)

    cos(y) cos3(x) .

    (224) y = y(csc2(xy)1)

    x(1csc2(xy)) .

    (225) y = ysen(x)sen(y)x cos(y)+cos(x) .

    (226) y = sen(x+y)y cos(x)sen(x)+sen(x+y)

    .

    (227) y = yexy2x

    xexy2y .

    (228) y =

    x2+y2+x2+y2xx2+y2+y+x2+y2

    .

    (XV) Encuentre la derivada en el punto indicado.

    (229) x3y + y3x = 30, (1, 3); (230) sen(xy) = y, (pi/2 , 1);

    (231) y + cos(xy2) + 3x2 = 4, (1, 0); (232) arc tg(x+ y) + y = pi/4, (1, 0);

    (233) arctg(x y) + x+ y = pi/4, (1, 0).

    Resp. XV):

    (229) y(1, 3) = 97.

    (230) y(pi/2, 1) = 0.

    (231) y(1, 0) = 6.

    (232) y(1, 0) = 13.

    (233) y(1, 0) = 3.

    (234) Suponga que xy + y3 = 2. Derivando implcitamente dos veces respecto de x se obtiene:

    (a) xy + y + 3y2y = 0.

    (b) xy + 2y + 3y2y + 6y(y)2 = 0.

    Despeje y de (a) y sustituya en (b), finalmente despeje y.

    (235) Determine y si x3 4y2 + 3 = 0.

    (236) Determine y en el punto (2, 1) si 2x2y 4y3 = 4.

    (237) Determine y en el punto (3, 4) si x2 + y2 = 25.

    Resp.

  • (234) y = 2y(x+3y2)6y3

    (x+3y2)3.

    (235) y = 48xy29x4

    64y3.

    (236) y(2, 1) = 15.

    (237) y(3, 4) = 2564

    .

    (XVI) En los siguientes problemas encontrar dy/dx por medio de la derivacion logartmica.

    (238) y =x+ 11x3 4 ; (239) y = (x

    2 + 3x)(x 2)(x2 + 1);

    (240) y =

    x+ 13

    (x 4) 3 2x+ 1 ; (241) y =(x2 + 3)2/3(3x+ 2)2

    x+ 1;

    (242) y = (2x+ 1)5(x4 3)6; (243) y = x ex2(x2 + 1)10;

    (244) y =sen2(x) tg4(x)

    (x2 + 1)2; (245) y = 4

    x2 + 1

    x2 1;

    (246) y = xx; (247) y = xcos(x); (248) y = xsen(x);

    (249) y = (x )x; (250) y = cosx(x); (251) y =

    (sen(x)

    )ln(x);

    (252) y =(tg(x)

    )1/x; (253) y =

    (ln(x)

    )cos(x).

    Resp. XVI):

    (238) y =(

    1x+11

    3x22(x34)

    )x+11x34 .

    (239) y =(

    2x+3x2+3x

    + 1x2 +

    2xx2+1

    )(x2 + 3x)(x 2)(x2 + 1).

    (240) y =(

    12(x+13)

    1x4 23(2x+1)

    ) x+13

    (x4) 32x+1

    .

    (241) y =(

    4x3(x2+3)

    + 63x+2

    12(x+1)

    )(x2+3)2/3(3x+2)2

    x+1.

    (242) y =(

    102x+1

    + 24x3

    x43

    )(2x+ 1)5(x4 3)6.

    (243) y =(

    4x2+4x4+12x(x2+1)

    )xex

    2(x2 + 1)10.

    (244) y =(2 cot(x) 4 sec x csc x 4x

    x2+1

    )sin2 x tan4 x(x2+1)2

    .

    (245) y = 14

    (4x

    (x2+1)(x21)

    )4

    x2+1x21 .

    (246) y = (1 + ln x)xx.

    (247) y =(cos xx

    sen(x) ln(x))xcos(x).(248) y =

    (sen(x)

    x+ cos(x) ln(x)

    )xsen(x).

  • (249) y = 12(1 + ln(x))

    xx.

    (250) y = (xtg(x) + ln(cos(x))) cosx x.

    (251) y =(ln(x) cot(x) + ln sen(x)

    x

    )(senx)lnx.

    (252) y =(

    2xsen(2x)

    ln tgxx2

    )(tgx)1/x.

    (253) y =(cos xx lnx

    senx(ln(ln x))) (lnx)cos x.

    BIBLIOGRAFIA

    (1) Demidovich B. P., 5000 Problemas de Analisis Matematico, Paraninfo, S.A, Madrid.

    (2) Leithold L., El Calculo, 7ma Edicion, Oxford University Press.

    (3) Purcell E. J., Varberg D., Rigdon S. E., Calculo, 9na Edicion, Pearson-Educacion.

    (4) Saenz J., Calculo Diferencial con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencia e Inge-

    niera, 2da Edicion, Hipotenusa, Barquisimeto-Lara-Venezuela.

    (5) Stewart J., Calculus, Sexta Edicion, Thompson Brooks/Cole.

  • Universidad Nacional Experimental del Tachira

    Decanato de Docencia - Dpto. de Matematica y Fsica

    Matematica I Lapso 2013-1

    Reglas de Derivacion

    (A) Regla para la Suma. Si f, g son funciones derivables entonces f + g es derivable y[f(x) + g(x)

    ]= f (x) + g(x)

    De manera general, si f1, f2, , fn son funciones derivables entonces f1 + f2 + + fnes derivable y

    [f1(x) + f2(x) + + fn(x)

    ]= f 1(x) + f

    2(x) + + f n(x).

    (B) Regla para el Producto. Si f, g son funciones derivables entonces f g es derivable y[f(x) g(x)

    ]= f (x) g(x) + f(x) g(x)

    De esta regla obtenemos que si R y f es una funcion derivable, entonces f esderivable y

    [f(x)

    ]= f (x).

    (C) Regla para el Cociente. Si f, g son funciones derivables y g 6= 0 entonces f/g esderivable y [

    f(x)

    g(x)

    ]=f (x) g(x) f(x) g(x)[

    g(x)]2

    (D) Regla de la Cadena. Si f, g son funciones derivables entonces f g es derivable y[(f g

    )(x)]

    =[f(g(x)

    )]= f

    (g(x)

    ) g(x)Tablas de Derivadas

    f(x) f (x) f(x) f (x)

    1) , R 0 10) ctg(x) csc2(x)2) xn, n R nxn1 11) sec(x) sec(x)tg(x)3) ex ex 12) csc(x) csc(x)ctg(x)4) ax, a > 0 ax ln(a) 13) arcsen(x)

    11 x2

    5) ln(x)1

    x14) arccos(x)

    11 x2

    6) lga(x), a > 0, a 6= 11

    x ln(a)15) arctg(x)

    1

    1 + x2

    7) sen(x) cos(x) 16) arcctg(x)1

    1 + x2

    8) cos(x) sen(x) 17) arcsec(x) 1xx2 1

    9) tg(x) sec2(x) 18) arccsc(x)1

    xx2 1

  • Tablas de Derivadas - Funciones Compuestas

    h(x) =(g f)(x) h(x) h(x) = (g f)(x) h(x)

    1) , R 0 10) ctg(f(x)) csc2(f(x))f (x)

    2)(f(x)

    )n, n R n(f(x))n1f (x) 11) sec(f(x)) sec(f(x))tg(f(x))f (x)

    3) ef(x) ef(x)f (x) 12) csc(f(x)) csc(f(x))ctg(f(x))f (x)

    4) af(x), a > 0 af(x) ln(a)f (x) 13) arcsen(f(x))f (x)

    1 (f(x))2

    5) ln(f(x))f (x)f(x)

    14) arccos(f(x))f (x)

    1 (f(x))2

    6) lga(f(x)), a > 0, a 6= 1f (x)

    f(x) ln(a)15) arctg(f(x))

    f (x)1 + (f(x))2

    7) sen(f(x)) cos(f(x))f (x) 16) arcctg(f(x))f (x)

    1 + (f(x))2

    8) cos(f(x)) sen(f(x))f (x) 17) arcsec(f(x)) f(x)

    f(x)

    (f(x))2 1

    9) tg(f(x)) sec2(f(x))f (x) 18) arccsc(f(x))f (x)

    f(x)

    (f(x))2 1