Derivadas de sumas, productos y

cocientes

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Ejemplos de derivadas con operaciones de

funciones

Derivadas exponenciales

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Ejemplos de derivadas exponenciales

Derivación logarítmica

Derivada de un logaritmo

Como , también se puede expresar así:

Derivada de un logaritmo neperiano

Ejemplos de derivadas logarítmicas

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

Derivadas trigonométricas

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Ejemplos de derivadas trigonométricas

Derivadas trigonométricas

inversas

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Ejemplos de derivadas trigonométricas

inversas

Derivada de la función compuesta

Regla de la cadena

Ejemplos de derivadas compuestas

Derivada de la función inversa

Si f y g son funciones inversas, es decir .

Entonces

Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen

x

Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg

x

Derivada de la función potencial-

exponencial

Estas funciones son del t ipo:

Para derivarla se puede uti l izar esta fórmula:

O bien tomamos logaritmos y derivamos:

.

.

.

.

.

Derivar tomando logaritmos:

.

.

.

.

Derivadas sucesivas

Si derivamos la derivada de una función, derivada primera ,

obtenemos una nueva función que se l lama d erivada

segunda, f' '(x) .

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera,

f' ' '(x) .

Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f' v y

así sucesivamente.

Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:

Derivada enésima

En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general

para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas

el las). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima,

f'n(x) .

Calcula la derivada enésima de:

Derivación implícita

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma

implícita cuando no aparece despejada la y sino que la

relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos

incógnitas cuyo segundo miembro es cero .

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario

despejar y . Basta derivar miembro a miembro , uti l izando

las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1 .

En general y'≠1 .

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y' .

Cuando las funciones son más complejas vamos a uti l izar una

regla para faci l itar el cálculo:

 

 

Diferencial de una función

Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función

correspondiente al incremento h de la variable

independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa

por dy .

La diferencial en un punto representa el incremento de

la ordenada de la tangente, correspondiente a un

incremento de la variable.

Calcular la diferencial de las funciones:

Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado,

cuando aumentamos 1mm su lado.

S = x 2 dS = 2x dx

d(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m2

Tabla de derivadas

Tabla de derivadas inmediatas

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Como , también se puede expresar así:

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la función potencial-exponencial

Regla de la cadena

Derivadas implícitas

Cálculo de derivadas. Ejercicios y problemas

1Calcula las derivadas de las funciones:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia:

1

2

3

4

5

6

7

3Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz:

1

2

3

4Deriva las funciones exponenciales

1

2

3

4

5

5Calcula la derivada de la funciones logarítmicas:

1

2

3

4

5

6Calcula la derivada de la funciones trigonométricas:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

7Calcula la derivada de la funciones trigonométricas

inversas:

1

2

3

4

5

8Derivar por la regla de la cadena las funciones:

1

2

3

4

5

6

7

9Deriva las funciones potenciales-exponenciales:

1

2

3

10Hallar las derivadas sucesivas de:

1

2

3

4

11Derivar implicitamente:

1

2

12Calcular la diferencial de las siguientes funciones:

1

2

3

4

13Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto

aumenta el área del cuadrado cuando su lado lo hace en un

mil ímetro. Calcúlese el error que se comete al usar

difernciales en lugar de incrementos.

14Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo,

de arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.

15Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo

del volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido

con un instrumento que aprecia milésimas de centímetro.

16Si el lugar de se halla . ¿Cuáles son las

aproximaciones del error absoluto y relativo?

Ecuación de la recta tangente

Pendiente de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un

punto es la derivada de la función en dicho punto.

Recta tangente a una curva en un punto

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella

que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a

f '(a).

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x 2 - 5x

+ 6 paralela a la recta 3x + y -2 =0.

Sea el punto de tangencia (a, f(a))

m = −3

f'(a) = 2a - 5

2a − 5 = −3a = 1

P(1, 2)

y − 2= -3 (x − 1)y = -3x + 5

Ecuación de la recta normal

Pendiente de la recta normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un

punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la

recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de

la función en dicho punto.

Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella

que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es

igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola

y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Sea el punto de tangencia (a, b)

m = 1

f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente:

y − 1 = x y = x +1

Recta normal:

m= 1P(0, 1)

y − 1 = −x y = −x + 1