Derivadas-teoria y Ejercicios

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TEORIA Y EJERCICIOS DE DERIVADAS BACHILLERATO

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Derivadas de sumas, productos y cocientes

Derivadas de sumas, productos y cocientes

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una funcin

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una funcin

Derivada de un cociente

Ejemplos de derivadas con operaciones de funciones

Derivadas exponenciales

Derivada de la funcin exponencial

Derivada de la funcin exponencial de base e

Ejemplos de derivadas exponenciales

Derivacin logartmica

Derivada de un logaritmo

Como , tambin se puede expresar as:

Derivada de un logaritmo neperiano

Ejemplos de derivadas logartmicas

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

Derivadas trigonomtricas

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Ejemplos de derivadas trigonomtricas

Derivadas trigonomtricas inversas

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Ejemplos de derivadas trigonomtricas inversas

Derivada de la funcin compuesta

Regla de la cadena

Ejemplos de derivadas compuestas

Derivada de la funcin inversa

Si f y g son funciones inversas, es decir . Entonces

Derivar, usando la derivada de la funcin inversa: y = arc sen x

Derivar, usando la derivada de la funcin inversa: y = arc tg x

Derivada de la funcin potencial-exponencial

Estas funciones son del tipo:

Para derivarla se puede utilizar esta frmula:

O bien tomamos logaritmos y derivamos:

.....Derivar tomando logaritmos:

....Derivadas sucesivas

Si derivamos la derivada de una funcin, derivada primera, obtenemos una nueva funcin que se llama derivada segunda, f''(x).

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).

Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y as sucesivamente.

Calcula las derivadas 1, 2, 3 y 4 de:

Derivada ensima

En algunos casos, podemos encontrar una frmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta frmula recibe el nombre de derivada ensima, f'n(x).

Calcula la derivada ensima de:

Derivacin implcita

Funciones implcitas

Una correspondencia o una funcin est definida en forma implcita cuando no aparece despejada la y sino que la relacin entre x e y viene dada por una ecuacin de dos incgnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implcitas

Para hallar la derivada en forma implcita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Cuando las funciones son ms complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el clculo:

Diferencial de una funcin

Sea f(x) una funcin derivable. Diferencial de una funcin correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) h. Se representa por dy.

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.Calcular la diferencial de las funciones:

Calcular el incremento del rea del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1mm su lado.

S = x 2 dS = 2x dx

d(S)= 22 0.001 = 0.004 m2Tabla de derivadas

Tabla de derivadas inmediatas

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la funcin lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raz cuadrada

Derivada de una raz

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una funcin

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una funcin

Derivada de un cociente

Derivada de la funcin exponencial

Derivada de la funcin exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Como , tambin se puede expresar as:

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la funcin potencial-exponencial

Regla de la cadena

Derivadas implcitas

Clculo de derivadas. Ejercicios y problemas

1Calcula las derivadas de las funciones:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 2Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia:

1 2 3 4 5 6 7 3Calcula mediante la frmula de la derivada de una raz:1 2 3 4Deriva las funciones exponenciales

1 2 3 4 5 5Calcula la derivada de la funciones logartmicas:

1 2 3 4 5 6Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 7Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas inversas:

1 2 3 4 5 8Derivar por la regla de la cadena las funciones:

1 2 3 4 5 6 7 9Deriva las funciones potenciales-exponenciales:

1 2 3 10Hallar las derivadas sucesivas de:

1 2 3 4 11Derivar implicitamente:

1 2 12Calcular la diferencial de las siguientes funciones:

1 2 3 4 13Un cuadrado tiene 2 m de lado. determnese en cunto aumenta el rea del cuadrado cuando su lado lo hace en un milmetro. Calclese el error que se comete al usar difernciales en lugar de incrementos.

14Hallar la variacin de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando sta aumenta 0.2 cm su longitud.

15Calcula el error absoluto y relativo cometido en el clculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de dimetro, medido con un instrumento que aprecia milsimas de centmetro.

16Si el lugar de se halla . Cules son las aproximaciones del error absoluto y relativo?

Ecuacin de la recta tangente

Pendiente de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la funcin en dicho punto.

Recta tangente a una curva en un punto

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Hallar la ecuacin de la recta tangente a la parbola y = x2 - 5x + 6 paralela a la recta 3x + y -2 =0.

Sea el punto de tangencia (a, f(a))

m = 3

f'(a) = 2a - 5

2a 5 = 3a = 1

P(1, 2)

y 2= -3 (x 1)y = -3x + 5 Ecuacin de la recta normal

Pendiente de la recta normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre s.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la funcin en dicho punto.

Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Hallar la ecuacin de la recta tangente y normal a la parbola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Sea el punto de tangencia (a, b)

m = 1

f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente:

y 1 = x y = x +1 Recta normal:

m= 1P(0, 1)

y 1 = x y = x + 1Ejercicios resueltos de derivadas

1

Calcula las derivadas de las funciones:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ejercicios resueltos de derivadas

2

Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia:1

2

3

4

5

6

7

Ejercicios resueltos de derivadas

3

Calcula mediante la frmula de la derivada de una raz:1

2

3

Ejercicios resueltos de derivadas

4

Deriva las funciones exponenciales:

1

2

3

4

5

Ejercicios resueltos de derivadas

5

Calcula la derivada de la funciones logartmicas:

1

2 Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:

3 Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:

4 Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:

5 Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:

Ejercicios resueltos de derivadas

6

Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ejercicios resueltos de derivadas

7

Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas inversas:

1

2

3

4

5

Ejercicios resueltos de derivadas

8

Derivar por la regla de la cadena las funciones:

1

2

3

4

5

6

7

Ejercicios resueltos de derivadas

9

Deriva las funciones potenciales-exponenciales:

1

2

3

Ejercicios resueltos de derivadas

10

Hallar las derivadas sucesivas de:

1

2

3

3

Ejercicios resueltos de derivadas

11

Derivar implicitamente:

1

2

Ejercicios resueltos de derivadas

12

Calcular la diferencial de las