UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADAS REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DE EDUCACIN SUPERIORUNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELAPFG: HIDROCARBUROSUNIDAD CURRICULAR: ANLISIS MATEMTICOCAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASAPLICACIONES DE LADERIVADACONTENIDOCAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASPrlogo............................................................................................................ x xreas, Permetros y Volmenes................................................................................ xFrmulas Trigonomtricas.................................................................................. x xTabla de Derivadas............................................................................................ x xSeleccin de definiciones y teoremas............................................................... xx - xxCAPTULO 11 1 Introduccin.......................................................................................... xx - xx1 2 Enunciados de ejercicios........................................................................ xx xxCAPTULO 22 1 Introduccin......................................................................................... xx xx2 2 Enunciados de ejercicios...................................................................... xx xxxApndiceUnidades y equivalencias..................................................................................... xxxEjercicios sugeridos............................................................................................. xxxBibliografa.......................................................................................................... xxxAL ESTUDIANTECAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA3 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASLa presente publicacin tiene por objetivo poner a tu disposicin una amplia serie de ejercicios, con sus correspondientes resoluciones, relativos a la aplicacin del concepto de Derivada a problemas de las distintas disciplinas que involucran las diferentes carreras de Ingeniera de la Universidad Bolivariana de Venezuela.Se parte de la base de que ests familiarizado con los conceptos tericos correspondientes a Funciones de Variable Real que tu docente del curso ha desarrollado respecto al concepto de Derivada.Al comienzo de la publicacin encontrars un resumen de los conocimientos que debers tener presentes para resolver los problemas propuestos as como una tabla de derivadas.Con esta Gua se espera que si an no lo ests, llegues a convencerte de la importancia relevante que el concepto de Derivada tiene en la resolucin de problemas relativos a la Ingeniera en sus distintas disciplinas.La publicacin est dividida en dos Captulos. El Captulo1 se refiere a la derivada como ndice matemtico que expresa la tasa de Variacin instantnea o rapidez de variacin instantnea de una funcin y consta de XXXX ejercicios.El Captulo 2 est dedicado a problemas de Optimizacin y consta de xxxx ejercicios.Los enunciados de algunos de estos ejercicios corresponden a conocidos problemas que seguramente encontrars en distintos textos de Matemtica y algunos han sido modificados y/o adaptados para que su aplicacin sea de mayor practicidad y cotidianeidad. Previo al Captulo 1 encontrars un resumen de frmulas de permetros, reas y volmenes, un resumen de frmulas trigonomtricas, y una tabla de derivadas.Tambin una seleccin de definiciones y teoremas que has visto en el curso terico y que debers tener presentes para resolver los ejercicios del Captulo 1. Si este material que ponemosatudisposicinresultadeutilidadentuformacinmatemticahabremos alcanzado nuestro objetivo.CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA4 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASPermetros, reas y VolmenesTringuloCAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA5 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASRectnguloHexgonoCrculoSector circular

CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA6 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASTRIGONOMETRAUnidades de medida de ngulosGradosRadianesValores de lneas trigonomtricas de algunos ngulos especiales.CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA7 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASDebido a que un tringulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cadaparejadeestoslados. Lasrazonestrigonomtricasdeunnguloagudoenun tringulo rectngulo son las siguientes:Seno: razn entre el cateto opuesto al ngulo y la hipotenusa.Coseno: razn entre el cateto adyacente al ngulo y la hipotenusa.Tangente: razn entre el cateto opuesto al ngulo y el cateto adyacente.Cotangente: razn entre el cateto adyacente al ngulo y el cateto opuesto.Secante: razn entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ngulo.Cosecante: razn entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ngulo. CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA8 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASTeorema de Pi tgoras: "En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto". sin2(x) + cos2(x) = 1 Es llamada i denti dad tri gonomtri ca fundamental , y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades ms, muy tiles para problemas introductorias del tipo conocido el valor de la funcin seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos(x) , se tiene:tan2(x) + 1 = sec2(x) Calculando la recproca de la expresin anterior:cot2(x) + 1 = csc2(x) Entonces puede expresarse la funcin seno segn alguna otra conocida:CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA9 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASTeoremas de la suma y diferencia de ngulosPueden demostrarse segn la Frmula de Euler o mediante la proyeccin de ngulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recproca correspondiente.De lo que se sigue para determinados ngulos suplementarios:Para ngulos complementarios:CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASPara ngulos opuestos:Si n ( x) = si n(x) Cos ( x) = cos(x) Tan ( x) = tan(x) Csc ( x) = csc(x) Sec ( x) = sec(x) Cot ( x) = cot(x) Identidades del ngulo DoblePueden obtenerse remplazndolo y por x (o sea sin(x + x) = sin (2x)) en las identidades anteriores, y usando Pitgoras para los dos ltimos (a veces es til expresar la identidad en trminos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Frmula de De Moivre cuando n = 2.Identidades para la Reduccin de Exponentes CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASResuelve las identidades tercera y cuarta del ngulo doble para cos(x) y sin(x).Identidades del Medio ngulo Reemplazando x/2 por x en las anteriores, es posible resolver cos(x/2) y sin(x/2).Multiplicando tan(x/2) por 2cos(x/2) / (2cos(x/2)) y reemplazando sin(x/2) / cos(x/2) por tan(x/2). El numerador es entonces sin(x) por la identidad del ngulo doble, y el denominador es 2cos(x/2) - 1 + 1 que es cos(x) + 1 por la identidad del ngulo doble. La segunda identidad se obtiene multiplicando la primera por sin(x) / sin(x) y simplificando mediante la identidad pitagrica.Paso de Producto a SumaPuede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASPaso de Suma a Producto Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a b) / 2 en las identidades de Producto a suma, se tiene:Teorema delcoseno En todo tringulo El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ngulo comprendido...Teorema delsenoEn todo tringulo se da la siguiente relacin entre la longitud de sus lados A, B y C y el seno de sus respectivos ngulos opuestos a, b y c(aun falta agregar algunos teoremas de derivadas)CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADAS CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASCaptulo 1INTRODUCCINEn este Captulo 1 te proponemos ejercicios tratando de que valorices la derivada de una funcin en un punto como indicador matemtico de la rapidez instantnea de variacin o tasa instantnea de variacin de una funcin.En distintas disciplinas como Electricidad, Electrnica, Termodinmica, Mecnica, Economa, Biologa, etc., resulta de importancia fundamental no slo saber que determinada magnitud o cantidad vara respecto de otra, sino conocer cun rpido se produce esa variacin.Puedes imaginar numerosos ejemplos de ello que seguramente te son familiares. Pensemos, por ejemplo, en una persona que cae a un ro cuyas aguas se encuentran a muy baja temperatura. Es claro que la temperatura corporal ser funcin del tiempo que la persona permanezca en el agua y claro tambin es que la funcin ser decreciente al CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADAShaber prdidadecalor del cuerpohaciael aguatendiendoel mismoaalcanzar la Temperatura delagua dada la diferencia de masa entre ambos. Sin embargo en este problema resulta vitalconocer la rapidez de disminucin de la temperatura delcuerpo que por cierto no es lineal. La disminucin podra ser ms rpida al principio de la cada e ir luegoms lento, ocurrir exactamentelocontrario, etc. Detodaesainformacin depender que sepamos cuanto tiempo se tiene an disponible para salvar la vida de la persona, y esa informacin nos la dar justamente la derivada de la funcin en cuestin.De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definen justamente como derivada de otra.A ttulo de ejemplo: la rapidez instantnea de un mvil se define como la derivada de la funcin espacio recorrido; la aceleracin como derivada de la velocidad; la fuerza electromotriz inducida, en Electrotecnia, como la derivada del flujo del campo magntico, todas ellas respecto de la variable tiempo (t). El ngulo de desplazamiento del eje de una viga, como derivada de la funcin elstica de la viga; la intensidad de corriente elctrica comoladerivadadelacargaelctricarespectodel tiempo;el gastoinstantneo, en Hidrulica, comoderivadadel volumenrespectodel tiempo, etc. Al respectoresulta importante que hayas entendido con claridad el significado de lo que en el curso terico has llamado Interpretacin geomtrica de la derivada donde has demostrado que la derivada de una funcin fen un punto x0 ) (0xdxdfrepresenta la pendiente dela recta tangenteal grficorepresentativodelafuncinenel punto(x0,f x0); yqueesta pendiente adems indica rapi dezpromedi ode variacin de la funcin en el intervalo (x0, f x0). Este resultado no es una mera curiosidad geomtrica sino que su alcance es relevante.Detengmonosenestepuntoparaayudartearecordar. Consideraunafuncinfde variable x. En la figura (1) tenemos parte del grfico representativo de la funcin y sea x0 el punto del dominio que hemos elegimos para trabajar.CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA1 B ) (x f y ) (0x fh x +0 0x) ( ) (0 0x f h x f +A ) (0h x f +stP UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASFi gura N 1Recuerda que llamamos punto al valor x0y no al punto geomtrico P. Incrementamos ahora nuestra variable x en un valor h arbitrario y pasamos al nuevo punto x0 + h.El incremento h puede ser tanto positivo como negativo. En el caso de la figura lo hemos tomado positivo movindonos en consecuencia hacia la derecha de x0. Veamos que ha ocurrido con la funcin f.En elpunto x0elvalor funcionalesf(x0)y en elpunto x0+hesf (x0+h). La diferencia f (x0+h)-f(x0)indica en valor y signo la variacin del valor de la funcin provocado por el incremento h de la variable xA esa diferencia se le llama incremento de la funcin en el punto x0correspondiente al incremento h En la figura (1) este incremento es la medida del segmento PB.Consideremos ahora el cociente de ambos incrementos, vale decir:

hx f h x f ) ( ) (0 0 + Ec. 1Si observamos la figura N 1 la recta secante s, corta a la curva y = f(x), en los puntos A y B.Su pendiente es: hx f h x fm) ( ) (0 0 +CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA1h UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASSi el punto B se va acercando al punto P, hasta confundirse con l, la recta secante s, se transforma en la recta tangente tes decir, Cuando B P, que es equivalente a decir queh0,el lmite de la recta secante s, es la recta tangente tPor lo tanto cuando h tiende a cero la pendiente de la recta secante se convierte en la pendiente de la recta tangente en x0 ) () ( ) (lim tan0 00x fhx f h x fg mh +Queda probado que la derivada de una funcin en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto.Por otra parte es importante que entiendas que el cociente indicado como Ec. 1 se le denomina coci ente i ncrementalo coci ente de i ncremento en elpunto x0.Es importante que comprendas que este cociente incremental indica larapi dez promedi o de variacin de la funcin en el intervalo [x0, x0 + h].Si disminuimos el valor del incremento hiremos obteniendo nuevas tasas promedio de variacin de la funcin, en general diferentes (excepto si la funcin es del tipo f(x) = Kx en cuyo caso el cociente incremental dar siempre constante e igual a K).Si esasucesindevaloresdel cocienteincremental tienelmitefinitoparacuandoh tiende a cero 0 habremos obtenido la rapidez i nstantnea de variacin de la funcin en x0.Es al valor de ese lmite que hemos llamado deri vadadel afunci nenel punto x0Desde el punto de vista grfico has visto que el cociente incremental es la pendiente de la recta tangente. El paso al lmite que has efectuado posteriormente te permite entonces concluir que el nmero real que has obtenido como derivada de la funcin fen el punto x0no es ms que el coeficiente de incremento de la recta tangente al grfico en el punto P.Debes tener presente entonces que cuando calculas la derivada de una funcin fen un puntox0obtienesel coeficientedeincrementodelarectatangenteal grficodela CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASfuncin en el punto(x0, f(x0)),pero la informacin que has conseguido no es meramente una informacin geomtrica.Esta informacin te permite obtener la rapi dezcon que est variando la funcin en el punto considerado.Cuantomayorseael valorabsolutodeladerivadaenel punto, msrpidovarala funcin en l, y esta informacin es de vitalimportancia en una variedad enorme de problemas de distintas disciplinas.Tenpresentequealahoraderesolverproblemasdelarealidad, aplicandomodelos funcionales, nuestras funciones frepresentarn magnitudes o cantidades que varan en funcin de otras magnitudes o cantidades a las cuales representar nuestra variable x.Por ejemplo si ests estudiando la variacin en el tiempo de la energa Edada por un dispositivo de algn tipo, nuestra funcin frepresentar la funcin energa E,nuestra variable x representar al tiempo t y nuestras f(x) representarn los valores de E(t) .Si calculas la derivada en algn instante t0,1]1

) (0tdtdE habrs obtenido con qu rapi dez est cediendo energa el dispositivo en ese instante medida, por ejemplo, en horascalorias, si esas son las unidades con queests trabajando, digamos, en unproblema de Termodinmica.Esa derivada que has calculado no es otra cosa que la potencia del dispositivo en ese instante.Despus de definir derivada en un punto has visto el concepto de funcin derivada.A esta nueva funcin, asociada a tu funcin original, debes concederle toda la importancia que realmente tiene.Supongamos que has representado grficamente cierta funcin frepresentativa de cierta magnitud que interviene en un fenmeno como funcin de otra magnitud, por ejemplo el tiempo, la sola visualizacin de la curva te permite obtener variada informacin sobre lo que est ocurriendo en el fenmeno. Conocers cundo la magnitud en cuestin aumenta y entre qu instantes, cundo disminuye, cuando se producen sus mximos y/o mnimos y cuales son sus valores.CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASPero puedes obtener an ms informacin cualitativa si imaginas como van variando las pendientes de las rectas tangentes en los distintos puntos de la curva.Podrs concluir , por ejemplo , si aumenta o disminuye la rapi dez con que la funcin aumentabaodisminuasus valores , podrs decidir eventualmentequetufuncin aumentacadavez ms rpidohastaciertoinstanteapartir del cual si biensigue aumentando lo hace cada vez ms lentamente ( punto de inflexin de la grfica) o a la inversa.Tendrs entonces un panorama mucho ms completo deldesarrollo delfenmeno con toda la informacin adicional que te permite obtener la funcin derivada.Es claro que si obtuvieras la expresin analtica de la funcin derivada podras obtener datos cuantitativos de todo lo anterior, incluso larepresentacin grfica de la funcin derivadatepermitiratener unaidearpidaymsacabadadecmotranscurreel fenmeno en estudio.Espero que todo lo dicho te haga valorar, en su justa medida, el aprender a interpretar grficas obteniendo de ellas toda la informacin que realmente contienen.Enmuchosfenmenos, incluso, noesposibleobtener unaexpresinanalticadela magnitud a estudiar, recurrindose entonces a instrumentos adecuados para obtener su representacin grfica, procedindose luego a la interpretacin de la misma. Piensa, por ejemplo, en los electrocardiogramas, sismogramas, poligramas (polgrafo o detector de mentiras), etc.CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASLA DERIVADACOMO TASA DEVARIACIN DE UNAFUNCINCAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASEjerci ci o No. 1 Qu mi caLa ley deBoyl epara los gases perfectos o idealesestableceque a temperatura constanteP.V=K donde P es la presin, V el volumen y K una constante.Si la presin est dada por la expresin: P(t) = 30 + 2t con P en cm. de Hg., t en seg. ; y el volumen inicial es de 60 cm3, determina la razn de cambio del volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos.Sol uci n:Se te pide en este ejercicio que determines la velocidad de cambio del volumen respecto del tiempo en el instante t = 10 seg., o sea, el valor de la derivada dtdV calculada en t= 10.La idea ser entonces expresar el volumen V en funcin del tiempo t.Por un lado la ley de Boyle establece que P.V = K y por otro conocemos como vara la presin con el tiempo: P(t) = 30 + 2.tBasta entonces que despejemos el volumen de la ley de Boyle y luego sustituyamos la presin por su expresin en t. Tendremos entonces:

) () (t PKt V Sustituyendo P(t) obtenemos finalmente:CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA2Divirtete!Si maanaes ayer,entonces hoyest muy lejosdel domingo,porque hoyfue cuandoayer fuemaana. Quda es hoy? UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADAStKt V2 30) (+(1)Derivemos (1) y hallemos su valor en t = 10( )22 302tKdtdV+ 2502) 10 (KdtdV (2)El dato de que el volumen inicial es de 60 cm3 nos permite calcular la constante K.En efecto, para t=0 deber ser V= 60.Sustituyendo en (1):3060K 1800 KUna vez obtenido el valor de K sustituimos en (2) y nos queda:31.442500360010segcm= = ) (dtdV El signo negativo indica disminucin.En definitiva el gas est disminuyendo su volumen a razn de 1.44 cm3 por seg. a los 10 seg. de iniciado el proceso de compresin.Ejerci ci o No. 2 -Contami naci n Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petrleo.Calcula con qu rapidez aumenta el radi o de la mancha cuando ese radio es de 50 m si el espesor disminuye a razn de 10 cm. por hora en el instante en que R = 50 m.Sol uci n:Debes hallar en este ejercicio la velocidad con que aumenta el radio R a medida que la mancha se expande sobre la superficie del mar, en el instante en que R = 50m.CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA2Espesor UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASPodramos pensar en hallar la expresin R(t) para derivarla posteriormente. Sin embargo no se te indica como dato del problema la forma en que el espesor h vara con el tiempo por loquenolograremosencontrar R(t). Debesencarar el ejerciciopartiendodela relacin entre el radio R y el espesor hque nos proporciona el volumen de la mancha que sabemos se mantiene constante.Tendremos:h R V . .2 0 t(1)Derivemosambosmiembrosdelaigualdad(1) respectode(t) debido a que el espesor h y el radio R est variando con respecto al tiempo segn el enunciado del problema, los que nos queda:dtdhRdtdRdtdV. . .2 (2)Como se puede observar en (2) se aplica el teorema del producto para derivar, por los que nos queda:

,_

+ dtdhR hdtdRRdtdV. . . 22(3)Como V es constante, es decir independiente de t, sabemos que: 0 dtdV lo que nos permite concluir de (3) que:0 . . . 22

,_

+dtdhR hdtdRR Despejando dtdRobtenemosdtdhhRdtdR.2 (4)CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA2R=50 mEspesor hCuriosidadesMatemticasUn caracoldecidi subir aun rbol de154 m dealtura.Durante cadada tenatiempo desubir 5m. peromientrasdorma, por lanoche, bajaba4m Cundo lleg ala cima delrbol? UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASComo tenemos el dato de que la altura de la mancha disminuye a razn de 10 horacm.Entonces ser: horamdtdR210 De la relacin (1) despejamos h, ya que tenemos el volumen y el radio:2.RVh; Como V= 100 m3 y R= 50 m m h 04 , 050 .1002 Sustituyendo finalmente estos valores en la derivada en la ecuacin (4), se obtiene:. 25 , 6 ) 10 .()04 , 0( 2502 dtdR

horamLa velocidad con que aumenta elradiode lamancha cuando ese radioes de50m, resulta entonces cercana a los 196,25 horamEjerci ci o No. 3- Termodinmi ca Unabebidasesacadel refrigeradoraunatemperaturade10Cysedejaenuna habitacin donde la temperatura es de 25C.Segn la ley de enfriamiento de Newton (calentamiento sera en este caso eltrmino apropiado) la temperatura T de la bebida variar en el tiempo de acuerdo a la expresin:kte A t T . 25 ) (con A y k constantes.a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 15 C, calcula las constantes A y k.b) Cul ser la temperatura de la bebida al cabo de una hora?Sol uci n:a) La expresin de la temperatura en funcin del tiempo es:kte A t T . 25 ) ((1)De las condiciones del problema podemos observar que para un tiempo (t=0) la temperatura de la bebida es 10 C, por lo tanto podemos sustituir estos valores en la expresin de enfriamiento de Newton:Para t = 0T = 10 CCAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADAS0 .. 25 10ke A A 25 10Despejando A nos queda: A= 15Luego para un tiempo de 20 minutos la Temperatura es de 15 CSustituyendo en la ecuacin (1) nos queda:) 20 (15 25 15ke Arreglando y aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuacin nos queda:) 20 (15 10ke ) 15 ( ) 10 () 20 ( ke Ln Ln k Ln 201510 020 . 0201510Lnkb) Cul ser la temperatura de la bebida al cabo de una hora?Al cabo de 1 hora tendremos: t= 60 min.C e T 20 . 15 25 ) 60 (60 . 02 . 0 La bebida demora entonces aproximadamente 1 hora para aumentar su temperaturade 10 a 20 grados centgrados.Ejerci ci o No. 4 - Geometr a Elrea de un tringulo equiltero disminuye a razn de 4 cm2por minuto. Calcula la rapidez de variacin de la longitud de sus lados cuando el rea es de 200 cm2.Se supone que el tringulo se mantiene equiltero en todo instante.Sol uci n:Si llamamos L al lado del tringulo equiltero, y a su altura h, por trigonometra sabemos cuanto es el valor de h, dado que un triangulo equiltero tiene 60 en cada uno de sus CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASngulos, utilizando trigonometra ) () ( 60L hipotenusah sto catetoopuesen de all despejamos h, siendo laalturaL h23 , entonces su rea A ser: 243L A (Ec. 1)Como nos dice el enunciado del problema tanto el rea y por ende los lados del triangulo son funcin del tiempo t, es decir: ) (t A A y ) (t L L Se te pide la rapidez de variacin de la longitud de los lados por lo que debes calcular dtdL para un rea de 200 cm2Derivando respecto de t la ecuacin1 obtenemos:dtdLLdtdA243 (Ec. 2)De la Ec. 2 debemos despejar dtdL y sustituir dtdA y L por sus valores correspondientes al instante en que A= 200 cm2 entonces:De la Ec. 1 tenemos243200 L L= 21,5 cm. Tomando en cuenta que el rea disminuye a razn de 4 cm2/min. Esto significa CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA2CuriosidadesMatemticasUn candado ysu llavecuestan 1050Bs., si elcandado vale100 Bs. msque la llave,cuanto cuestael candado?Respuesta:1025 Bs. UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASque

. min42cmdtdA por lo tanto despejando de la ec. 2 dtdL y sustituyendo los valores nos queda: min21 , 03 . 5 , 218 cmdtdL Ejerci ci o No. 5 Qu mi ca Un globo esfrico se llena con gas con un caudal constante Q = 100 m3 /minuto.Suponiendoquelapresindel gasesconstante, hallalavel oci dadconqueest aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0.3 m.Sol uci n:Siendo el globo esfrico de radio R su volumen V ser:3. .34R V Ec. 1Comopodemos observar enel enunciadoel problema tanto el volumen como el radio del globo son funcin del tiempo mientras se este inflando el globo.Como se pide la velocidad con que vara el radio cuando su valor es de 0,3 m, debers hallar el valor de la derivada de R respecto al tiempo, para el valor de R indicado.Comenzamos entonces derivando la Ec. 1 tenemos:dtdRRdtdRRdtdV. . 4 . 3 .342 2 (Ec. 2)Tenemos que el caudal de gas con que se llena el gas es:. min1003mdtdVQ . Sustituyendo los valores en la Ec. 2 tenemos:. min 9253 . 4100432 2mRQdtdR El radio aumenta entonces con una velocidad cercana a 9 m3/min. en el instante en que R= 30 mCAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASEjerci ci o No. 5 Descarga de granos La caja de un camin transportador de granos est siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razn de 0.5 m3 / min. El grano forma un cono circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio de la base. Calcula:a) A qu velocidad est subiendo el vrtice del cono cuando la altura es de 1.50 m?b)Cul esel radiodelabasedel conoenesemomentoyaquvelocidadest variando?Sol uci n:A medida que se produce la descarga del grano la relacin entre el radio de la base y la altura se mantiene constante e igual a 4/5 por lo que los distintos conos son semejantes. El vrtice del mismo sube verticalmente mientras que la circunferencia base aumenta su radio horizontalmente.a) En esta parte se te pide que calcules la velocidad con que est subiendo el vrtice.Llamando h a la altura del cono debers calcular dtdh en el instante en que h= 1.5 mCAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASEl volumen de grano en un instante t ser: h R V . . .312 (volumen de un cono)Ejerci ci o No.7 Vari aci n de vol umen Un camin descarga arena formndose un montculo que tiene la forma de cono recto circular. La altura h va variando mantenindose constantemente igual al radio r e la base.Cuando la altura es de 1m. Ella est aumentando a razn de 25 cm. / minuto.Con qu rapidez est cambiando en ese instante el volumen V de arena?Sol uci n:Ejerci ci o No. 8 - Termodi nmi ca Unabebidasesacadel refrigerador aunatemperaturade100Cysedejaenuna habitacin donde la temperatura es de 250 C. segn la ley de enfriamiento de Newton (calentamiento sera en este caso el trmino apropiado) la temperatura T de la bebida variar en el tiempo de acuerdo a la expresin:kte A t T . 25 ) (Con A y k constantes.a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 150 C, calcula las constantes A y k.b) Bosqueja el grfico de la funcin T para t 0 y encuentra la expresin dela rapidez instantnea de calentamiento de la bebida.CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA3 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASc)Encuentra el instante en que esa rapidez es mxi may el instante en que ella es la mitad de la mxi ma.d) Cul ser la temperatura de la bebida al cabo de una hora?Sol uci n:Ejerci ci o No.9 Propagaci n de Epi demi a Un estudio realizado durante una epidemia que se propag entre los animales del rodeo vacuno de nuestro pas mostr que el nmero de animales afectados, tdas despus de iniciado el brote, respondi a una expresin del tipo:KtAeNt n+1) (N y A constantes, A>1, donde N era el nmero total de animales del rodeo nacional.a)Demuestraquelamxi mavelocidaddepropagacindelaenfermedadocurri cuando se infect la mitad del rodeo.b) Bosqueja la funcin n para t 0 , y la funcin velocidad de propagacin V.Sol uci n:Ejerci ci o No.10 Contaminaci nEstudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de monxido de carbono CO2 en el aire, en partes por milln (ppm), en una ciudad, est relacionado con la poblacin p expresada en miles de habitantes por la siguiente expresin:172) (2+ pp CEl aumento de poblacin en esa ciudad en t aos se estima que est dado por la relacin siguiente: 21 , 0 1 , 3 ) ( t t p + en miles de habitantes.Con qu rapidez crees que estar variando la concentracin de CO2 en esa ciudad dentro de 3 aos?CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA3 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASSol uci n:Ejerci ci o No.11 Vari aci n de l a Pobl aci n Un modelo matemtico para estudiar la variacin de la poblacin mundial P ha supuesto que la misma est expresada por:P (T) = 5.e 0.0278 tte t P. 0278 , 0. 5 ) ( con P en miles de millones de personas y ten aos.En este modelo se han considerado constantes la tasa de natalidad (nacimientos por ao) y de mortalidad (defunciones por ao).Tomando t= 0 en el ao l987:a) Bosqueja P como funcin de t para t 0.b) Calcula la tasa de variacin instantnea de la poblacin en el ao l987.c)Calcula la poblacin prevista para el ao 2005 y la tasa de variacin instantnea en ese ao.d)En qu tiempo se duplicara la poblacin existente en 1987 y cuando alcanzara los 15.000 millones?e) Crees adaptado a la realidad este modelo matemtico?Sol uci n:CAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA3 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUA DE APLICACIN DE DERIVADASCAPITULO IPROF.: ING. ALEXIS ROSA3