UNIDAD I

PRESENTACIONLa Investigacin de Operaciones o Investigacin Operativa, es una rama de las Matemticas consistente en el uso de modelos matemticos, estadstica y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente, trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigacin de operaciones permite el anlisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cmo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximizacin de los beneficios o la minimizacin de costesLa presente gua ser un apoyo didctico para los estudiantes. El material contenido en este texto est proyectado de manera que pueda usarse como medio instruccional para un curso formal de Investigacin Operativa. Tambin servir como una obra de consulta y como texto de aprendizaje sin maestros.

El primer captulo constituye una revisin y resumen de ciertas definiciones y un enfoque a la metodologa que se aplicara en la resolucin de problemas de IO. El segundo captulo trata el tema de Programacin lineal en que se plantearan y resolvern problemas de modelos lineales, a travs del mtodo grafico y mtodo simplex y se aborda el tema de dualidad. En el tercer captulo se plantea le resolucin de modelos de transporte a travs del mtodo de la esquina noroeste y del costo mnimo. Los captulos restantes resumen la planificacin de proyectos, con las diferentes tcnicas en los temas de REDES PERT, PERT/TIEMPO.Estamos convencidos de que este modulo aportara con elementos novedosos a la enseanza aprendizaje de las matemticas financieras.UNIDAD I

INTRODUCCION Y DEFINICIONES1.1. INTRODUCCIONEn el desarrollo del material de la asignatura, se hace considerando a la Investigacin de Operaciones como una ciencia administrativa basada en el enfoque cientfico, para resolver problemas y proporcionar ayuda para la toma de decisiones. Planear, organizar, dirigir, dotar de personal, controlar, son actividades que los estudiantes tendrn que desarrollar en el ejercicio profesional una vez concluida la carrera, y la Investigacin de Operaciones le sirve de ayuda con su mtodo analtico y sistemtico. Con base en este enfoque gerencial es que se plantea en el presente manual el estudio de esta ciencia.TOMA DE DECISIONES CON INVESTIGACION OPERATIVA

Tomar decisiones es la tarea esencial de toda persona o grupo que tiene bajo su responsabilidad el funcionamiento de una organizacin entera o parte de ella.

La investigacin operativa est relacionada con la toma de decisiones, a travs de la investigacin de operaciones (mtodos o modelos matemticos) que permiten determinar Aplicaciones de Practicas Reales.

Estas prcticas reales pueden estar definidas en diferentes mbitos:

Formulacin de mezclas

Planificacin y evaluacin de proyectos

Distribucin de productos

Equipos de computacin

Asignacin de recursos

En la toma de decisiones el anlisis puede tomar dos formas: cualitativo y cuantitativo.

El anlisis cualitativo se basa principalmente en el juicio y experiencia de la gerencia, incluye sentimientos intuitivos sobre el problema tratado y es ms un arte que una ciencia. El anlisis cuantitativo se concentra en hechos cuantitativos o datos asociados con los problemas y desarrolla expresiones matemticas que describen las relaciones existentes en ellos.

Seguidamente, utilizando mtodos cuantitativos, obtiene resultados con los que se hacen recomendaciones basadas en los aspectos cuantitativos del problema. En otros casos, el anlisis cuantitativo es slo una ayuda para tomar la decisin y sus resultados deben ser combinados con informacin cualitativa.

1.2. DEFINICION DE INVESTIGACION OPERATIVA

Qu es la Investigacin Operativa?

La Investigacin Operativa, es la aplicacin de procedimientos, tcnicas y herramientas cientficas, para lograr desarrollar y evaluar soluciones, eliminando la incertidumbre (no tener certeza) en la toma de decisiones.

1.3. METODOLOGA DE LA INVESTIGACIN OPERATIVAEn su forma ms simple, la Investigacin Operativa puede considerarse como un procedimiento que consta de cuatro pasos o etapas, tal como se muestra en la Figura

Sin embargo, los proyectos raramente se ajustan totalmente a este esquema en cascada, sino que normalmente los modelos han de ser revisados, las soluciones han de ser modificadas o los informes han de ser reescritos a medida que se modifican y ajustan el conjunto inicial de datos e hiptesis. Por tanto, algunas partes del proceso deben repetirse hasta que se encuentra una solucin adecuada.

Paso 1. Definicin del problema

Quizs la parte ms importante de todo el proceso sea la definicin del problema. Una respuesta incorrecta a una pregunta correcta no suele tener consecuencias fatales, ya que se pueden hacer revisiones y explorar otras alternativas: sin embargo, la respuesta correcta a una pregunta incorrecta puede ser desastrosa. Es importante que el problema est claramente definido antes de invertir una gran cantidad de trabajo y energa en resolverlo.

Paso 2. Modelado matemticoEl modelado matemtico es un procedimiento que reconoce y verbaliza un problema para posteriormente cuantificarlo transformando las expresiones verbales en expresiones matemticas. El modelado matemtico es un arte, que mejora con la prctica. El proceso del modelado matemtico consta de cuatro pasos:

2.1. Identificar las variables de decisin

Un paso crucial en la construccin de un modelo matemtico es determinar aquellos factores sobre los qu el decidor tiene control, que normalmente se llaman variables de decisin del problema. Hay que distinguir entre 10 que est a nuestro alcance cambiar (por ejemplo, la cantidad de artculos a producir de cada producto o el material a utilizar) de aquello que no podemos modificar (como el nmero de horas de trabajo disponibles o fechas lmite a cumplir), que normalmente denominaremos parmetros. Segn el tipo de problema, 10 que a veces es una variable de decisin en otros casos puede ser un parmetro o viceversa.

Para identificar las variables de decisin, puede ser til hacerse las siguientes preguntas: qu es lo que hay que decidir? o sobre qu elementos tenemos control? o cul sera una respuesta vlida para este caso?

2.2. Identificar la funcin objetivo

El objetivo de la mayora de los estudios de IO, y el de todos los modelos de optimizacin, es encontrar el modo de optimizar alguna medida respetando las restricciones existentes. Aunque una compaa quizs est satisfecha con una mejora sustancial de la situacin actual, normalmente el objetivo es buscar el valor ptimo para cierta funcin.

A la hora de encontrar la funcin objetivo, la pregunta que podemos hacemos es qu es lo que queremos conseguir? o Si yo fuera el jefe de esta empresa, qu me interesara ms?".

2.3. Identificar las restricciones

En la bsqueda de la solucin ptima, normalmente existen ciertas restricciones (limitaciones, requisitos) que limitan nuestra decisin. Ejemplos de restricciones frecuentes son: los recursos disponibles (trabajadores, mquinas, material, etc.) son limitados; fechas lmite impuestas por los contratos; restricciones impuestas por la naturaleza del problema (por ejemplo: el flujo de entrada a un nodo debe ser igual al flujo de salida).

2.4. Traducir los elementos anteriores a un modelo matemtico

Una vez identificados los elementos bsicos hay que expresarlos matemticamente. Dependiendo de la naturaleza de las funciones matemticas, el modelo ser de un tipo u otro; por ejemplo, si todas ellas son lineales, el problema ser de Programacin Lineal; si existe ms de una funcin objetivo, ser de programacin multicriterio, etc.

Paso 3. Resolucin del modelo

Aceptado ya el modelo matemtico que mejor describe la situacin en estudio, se aplican los algoritmos y mtodos matemticos diseados para su resolucin.

Paso 4. Presentacin/Implementacin de los resultados

ste es el paso final dentro del proceso y consta de las siguientes tareas.

4.1 Preparar informes y/o presentaciones.

La comunicacin efectiva de los resultados de un estudio es esencial para el xito del mismo. La utilidad del anlisis ser nula si las personas que toman las decisiones no aprecian totalmente su valor. Los decisores deben comprender completamente el enfoque del analista, las hiptesis y simplificaciones que se han hecho, y la lgica en la recomendacin. Las presentaciones orales (utilizando transparencias, videos o software especializado) y los informes son formas tradicionales para la comunicacin.

4.2 Vigilar el proceso de implementacin.

Una vez que se ha emitido el informe o se ha hecho la presentacin, debe implementarse la solucin propuesta, que a veces puede suponer cambios que sean conflictivos y encuentren resistencia en los miembros de la empresa. El apoyo del analista puede resultar crtico.

Una vez implementada la solucin, debe ser supervisada de forma continua. Dada la naturaleza dinmica y cambiante de la mayora de las empresas, es casi inevitable que haya que realizar cambios en el modelo. El analista debe estar preparado para saber cundo ha llegado el momento de cambiar y para realizar dichos cambios.

1.4 TAREAS PROPUESTAS 1) Realice un resumen de la unidad uno, a travs de un ordenador grafico (mapa conceptual, diagrama arae, organigrama, etc.) 2) Consultar a cerca de los modelos matemticos, su definicin y 2 ejemplos (preferiblemente relacionados Administracin) UNIDAD DOS

PROGRAMACION LINEAL

2.1. GENERALIDADDESIntroduccin.En cualquier empresa, muchas de las decisiones que se toman tienen por objeto hacer el mejor uso posible (optimizacin) de los recursos de la misma. Por recursos de una empresa entendemos la maquinaria que sta posea, sus trabajadores, capital financiero, instalaciones, y las materias primas de que disponga. Tales recursos pueden ser usados para fabricar productos (electrodomsticos, muebles, comida, ropa, etc.) o servicios (horarios de produccin, planes de marketing y publicidad, decisiones financieras, etc.). La Programacin Lineal (PL) es una tcnica matemtica diseada para ayudar a los directivos en la planificacin y toma de decisiones referentes a la asignacin de los recursos. Como ejemplos de problemas donde la PL desarrolla un papel fundamental, podramos citar:1. A partir de los recursos disponibles, determinar las unidades a producir de cada bien de forma que se maximice el beneficio de la empresa.

2. Elegir materias primas en procesos de alimentacin, para obtener mezclas con unas determinadas propiedades al mnimo coste.3. Determinar el sistema de distribucin que minimice el coste total de transporte, desde diversos almacenes a varios puntos de distribucin.4. Desarrollar un plan de produccin que, satisfaciendo las demandas futuras de los productos de una empresa, minimice al mismo tiempo los costes totales de produccin e inventario.

Dentro de la investigacin operativa los casos o problemas mas sobresalientes se resuelven por medio de la programacin lineal, siendo de gran ayuda en la toma de decisiones finales.

Como su nombre lo indica la programacin lineal se refiere exclusivamente a relaciones lineales, es decir a inecuaciones o ecuaciones de primer grado aplicadas a resolucin de problemas. La programacin lineal se ocupa en problemas de insumos de produccin, aplicaciones macroeconmicas de produccin, asignacin de recursos, maximizacin de recursos, minimizacin de costos, etc.

Concepto.

Es un proceso sistemtico y matemtico de enfocar un problema para lograr una solucin ptima o la mejor posible de entre varias, empleando una funcin objetivo (propsito del problema), un conjunto de restricciones lineales y una condicin de eliminar valores negativos. Los problemas de programacin lineal planteados y resueltos con cualquiera de los mtodos debern cumplir con tres soluciones necesarias y suficientes.

a) Funcin Objetivo.- Es la ecuacin que expresa la cantidad que va ha ser maximizada o minimizada, segn el objetivo planteado y se la reconoce con la ecuacin:

Z = C1X1+C2X2+C3X3++ CnXn

Se acostumbra a realizar:

Z (MAX), para la maximizacin

Z (MIN), para la minimizacin

Xj, simboliza matemticamente a las variables de decisin. Son los valores numricos que se determinan con la solucin del modelo y representan o estn relacionadas con una actividad o accin a tomar. Son los nicos valores desconocidos en el modelo y pueden existir en cualquier cantidad, desde 1 hasta n variables. Es decir, j vara desde 1 hasta n. Son las variables del problema, las incgnitas a resolver o lo que queremos lograr.

En la ecuacin Cj, matemticamente, simboliza el coeficiente de la variable j en la Funcin Objetivo. Son datos relevantes, insumos incontrolables ya conocidos. En la Funcin Objetivo representan la cantidad con la cual contribuye cada unidad de la variable j, al valor total deseado en el objetivo, pudiendo ser mrgenes de beneficios, precios, costos unitarios, etc.

b) Limitaciones o Restricciones.- Es el conjunto de inecuaciones o ecuaciones que nos expresan las condiciones del problema, denominadas tambin coeficientes tcnicos de produccin.

El sistema de ecuaciones se presenta:

a11X1 + a12X2 + a13X3 + .. + a1nXn T1 b1

a21X1 + a22X2 + a23X3 + .. + a2nXn T2 b2

a31X1 + a32X2 + a33X3 + .. + a3nXn T3 b3

.

. .

.

. .

.

. .

am1X1 + am2X2 + am3X3 + .. + amnXn Tm bm

En donde:

a11, a12, a13, , am

.

.

Coeficientes tcnicos

.

am1, am2, am3, , amn

X1, X2, X3, .., Xn: Son las variables o incgnitas del problema.

T1, T2, T3, ..., Tm: Son los lmites de l sistema, se representan >=, = 0, la cual se le considera siempre presente como una condicin natural en el Modelo Lineal General.

2.2. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS MEDIANTE EL MTODO GRFICO

2.2.1. Determinacin de la Regin Factible

La solucin de un problema de programacin lineal, en el supuesto de que exista, debe estar en la regin determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de regin factible, y puede estar o no acotada.

Regin factible acotada

Regin factible no acotadaLa regin factible incluye o no los lados y los vrtices, segn que las desigualdades sean en sentido amplio ( INCLUDEPICTURE "http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/29/menor.gif" \* MERGEFORMATINET

o ) o en sentido estricto (< o >).

Si la regin factible est acotada, su representacin grfica es un polgono convexo con un nmero de lados menor o igual que el nmero de restricciones.

El procedimiento para determinar la regin factible es el siguiente:1) Se resuelve cada inecuacin por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones.

Se dibuja la recta asociada a la inecuacin. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos

Para averiguar cul es la regin vlida, el procedimiento prctico consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuacin. Si lo hacen, la regin en la que est ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuacin; en caso contrario, la regin vlida es la otra.2) La regin factible est formada por la interseccin o regin comn de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solucin, en el caso de que exista el conjunto solucin puede ser acotado o no.

Vemoslo con un ejemplo: Dibuja la regin factible asociada a las restricciones:

x + y 4

y 4

y x

Las rectas asociadas son: r : x + y = 4 ; s : y = 4 , t: y = xElegimos el punto O(0,0), que se encuentra en el semiplano situado por debajo de la recta. Introduciendo las coordenadas (0,0) en la inecuacin x + y 4, vemos que no la satisface: 0 + 0 = 0 < 4 . Por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuacin es el semiplano situado por encima de la recta r : x + y = 4 .Procedemos como en el paso anterior. Las coordenadas (0,0) satisfacen la inecuacin y 4 ( 0 4) . Por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuacin es el semiplano que incluye al punto O.

La recta t asociada a la restriccin pasa por el origen, lo cual significa que si probsemos con el punto O(0,0) no llegaramos a ninguna conclusin. Elegimos el punto (1,0) y vemos que no satisface la inecuacin y x ( y = 0 < 1 = x ). Por tanto, el conjunto solucin de esta inecuacin es el semiplano determinado por la recta t que no incluye al punto (1,0).La regin factible est formada por los puntos que cumplen las tres restricciones, es decir, se encuentran en los tres semiplanos anteriores

2.2.2. Procedimiento de Resolucin del Mtodo Grafico

Este mtodo permite visualizar las alternativas que se van presentando y que son sujetas a eliminaciones hasta encontrar la solucin optima.

Este mtodo deber de cumplir con las tres primeras condiciones antes mencionadas.

En el mtodo grafico se trata de resolver por aproximaciones sucesivas o iteraciones grficas, la posibilidad de mejorar las soluciones de conformidad con la funcin objetiva. Mediante este mtodo se puede resolver nicamente problemas para solo dos incgnitas, ms de dos variables es imposible su representacin grfica. Para explicar la resolucin a travs de este Mtodo, lo haremos con le planteamiento de un ejercicio. Ejercicios:

1.- Una Fabrica produce dos Tipos de Productos el Producto A y el Producto B; El primero requiere de la utilizacin de 7 Kilogramos de Materia Prima, de 2 hora/hombre de Mano de Obra, y de 4.5 horas/maquina de Utilizacin de Maquinaria. El segundo requiere de 3 Kilogramos de Materia Prima,3 horas/hombre de Mano de Obra y 4 horas/maquina de Utilizacin de Maquinaria.La Empresa cuenta para la fabricacin de productos con los siguientes recursos, 21 Kilogramos de Materia Prima, 12 horas/hombre de Mano de Obra y de 18 horas/maquina.

Cul es la combinacin optima de produccin que maximice el Beneficio, suponiendo que la Fabrica estima ganar 15 dlares por cada unidad del Producto A, y 11 dlares por cada unidad del producto B.

Lo primero siempre es aconsejable establecer o plantear cuales son los datos del problema.

Datos del Problema.REQUIERENPRODUCTOSRECURSOS DISPONIBLES

AB

Materia Prima7Kg3Kg21Kg

Mano de Obra2h/H3h/H12h/H

Utilizacin Maquinaria4.5h/M4h/M18h/m

Beneficio15 $11 $

Lo siguiente es realizar la Formulacin del Modelo Lineal para lo cual seguimos los pasos ya mencionados anteriormente.

1. Variable de Decisin

X1= Cantidad a Producirse del Producto A

X2= Cantidad a Producirse del Producto B2. Funcin Objetivo

3. Restricciones

Referente a Materia Prima:Referente a mano de Obra:

Referente a Utilizacin de Maquinaria: 4. Condicin de No Negativa.

Luego de realizar la formulacin del modelo lineal es necesario generara la resolucin del ejercicio, para lo cual se siguen los siguientes pasos.

5. Representar grficamente el conjunto de restricciones lineales y marcar o establecer la regin factible. Establecemos los puntos o valores de interseccin de cada una de las restricciones con cada uno de los ejes del plano si la ecuacin o inecuacin lo permite, caso contrario se establecen valores para poder representar grficamente cada restriccin.1) 2) 3)

6. Hallar las coordenadas de los vrtices del polgono obtenido.Punto C

Punto DEntre la recta 1 y 2

Entre la recta 2 y 3

Los vrtices son los siguientes

A (0,0)

B (3,0)C (2.06, 2.17)

D (1.09, 3.37)

E (0,4)

7. Sustituir las coordenadas de estos puntos en la Funcin Objetivo y Hallar el valor Mximo (maximizacin) o Mnimo (Minimizacin), des esta forma encontrar la solucin optima.

A en Z

B en Z

C en z

Z=0

D en Z

E en Z

Z = 52 Solucin Optima, Factible8. Interpretacin de la Solucin (Lgica).La Empresa debe fabricar 2 unidades del Producto A, y 2 Unidades del producto B, para obtener un mximo Beneficio de 52 Dlares9. Comprobacin

Los puntos de la solucin tienen que satisfacer todas las restricciones y la funcin objetivo:

2.2.3 TAREAS PROPUESTASResolver los siguientes Modelos Lineales utilizando el mtodo grafico (DURACION ESTIMADA 7 HORAS)

1.- Resolver el siguiente ejercicio e identificar el anlisis de sensibilidad para los coeficientes de la Funcin Objetivo y cada uno de los trminos independientes de las restricciones.

a) F (Max) = 1.5x + 2y

x 20

y 10

x y

1.5x + 2y 6

x 0

y 0

2.- El jefe de seguridad de un museo estudia combinar 2 nuevos sistemas antirrobo: cmaras de vigilancia en las salas, y alarmas en puntos estratgicos del edificio. Se quiere utilizar un mnimo de 6 cmaras para cubrir con ellas las salas ms importantes, y un mximo de 15 cmaras, con las que quedaran todas las salas cubiertas. Igualmente, se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las ms importantes entradas y salidas del edificio. Finalmente, se tiene un presupuesto mximo de 36.000 euros, y cada cmara cuesta 1.000 euros mientras que cada alarma cuesta 500 euros.

Qu combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los requerimientos anteriores? Si el objetivo es colocar el mayor nmero de dispositivos entre cmaras y alarmas

Sol: instalar 6 cmaras de vigilancia y 60 alarmas

3.- Unos grandes almacenes desean liquidar no ms 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan dos ofertas, A y B: La oferta A consiste en un lote de una camisa y pantaln, que se venden en 30 euros: la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende en 50 euros. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la oferta B.

a) Cuntos lotes se ha de vender de cada tipo para maximizar las ganancias?

Sol: X1=90; X2=10

4.- Una refinera de petrleo tiene dos fuentes de petrleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dlares por barril y crudo pesado que cuesta 30 dlares por barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinera produce 0.3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefaccin (C) y 0,3 barriles de (T); mientras que con cada barril de crudo pesado, produce 0,3 barriles de (G), 0,4 barriles de (C) y 0,2 barriles de (T). La refinera ha sido contratada para cubrir la demanda de el suministro de 900000 barriles de G, 800000barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mnimo.

Sol: 3000000 de barriles de crudo pesado y ningn crudo liguero

5.- La fbrica Gepetto S.A construye soldados y trenes de madera. El precio de venta al pblico de un soldaos es de 2700 pesos y de un tren 2100 pesos. Gepetto estima que fabricar un soldado supone un gasto de 1000 pesos de materias primas y de 1400 pesos de costes laborales. Fabricar un tren exige 900 pesos de materias primas y 1000 pesos de costos laborales. La construccin de ambos tipos de juguetes requiere un trabajo previo de carpintera y un proceso final de acabado (pintura, revisin de las piezas fabricadas, empaquetado etc.). Para fabricar un soldado se necesita una 1 de carpintera y dos 2 del proceso final de acabado. Un tren necesita 1 hora de carpintera y 1 hora para el proceso de acabado. Gepetto no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero solo puede contar semanalmente un mximo de 80 horas de carpintera y un mximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del mercado, Gepetto fabrica como mximo 40 soldados a la semana. No ocurre as con los trenes para los que no hay ningn tipo de restriccin en cuanto al nmero de unidades fabricadas.

Obtn el nmero de de soldados y de trenes que semanalmente deber fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

Sol: 20 soldados, 60 trenes

6. Una industria vincola produce vino y vinagre. El doble de la produccin de vino es siempre menor o igual que la produccin de vinagre ms las cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la produccin de vinagre ms cuatro unidades la produccin de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.

Halla el nmero de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio mximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas. Y cada unidad de vinagre 200 ptas.

7.- Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discogrfica considera necesario realizar una campaa de publicidad, combinando dos posibilidades: anuncios en televisin, con un coste estimado de 1 milln de pesetas por anuncio, y cuas radiofnicas, con un coste estimado de 100.000 PTAS por cua. No obstante, no pueden gastar ms de 100 millones de pesetas para dicha campaa, a lo largo de la cual se tienen que emitir al menos 50 y no ms de 100 cuas. Un estudio de mercado cifra en 10.000 el nmero de copias que se vendern por anuncio de televisin emitido, y en 2.000 copias por cua radiofnica emitida.

Qu combinacin de ambos se debera realizar para vender el mayor nmero de copias posibles?Sol: 90 anuncios TV, 100 cuas radiofnicas.

8.- Una empresa fabrica tres productos, P1, P2 y P3, en dos plantas, A y B. La planta A produce diariamente 1.000 unidades de P1, 3.000 unidades de P2 y 5.000 de P3. La planta B produce diariamente 2.000 unidades de cada uno de los tres productos. La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes, al menos, 80.000 unidades de P1, 160.000 de P2 y 200.000 de P3.Sabiendo que el coste diario de produccin es de 200.000 PTAS. en cada planta, cuntos das debe trabajar cada planta para que se cubran los objetivos comprometidos con el mnimo coste?

SOL: Se trabajara en la planta A 40 das y en la planta B 20 das con un mnimo costo de 12000000

Un taller fabrica dos clases de cinturones de piel. En cada cinturn A de alta calidad gana 40 centavos y en cada cinturn B de baja calidad gana 30 centavos El taller puede producir diariamente 500 cinturones de tipo B o 250 cinturones de tipo A Solo se dispone de piel para 400 cinturones diarios A y B combinados y de 200 hebillas elegantes para el cinturn A y de 350 hebillas diarias para el cinturn B Qu produccin maximiza la ganancia? Funcin Objetivo

Z(MAX) = 40X1 + 30 X2

RestriccionesX1 + X2 = 200 Capacidad de procesar de M3

Xj>=Solucin ptimaZ (MIN) = 183,5

X1 = 106,51 Unidades del artculo AX2 = 23,5 Unidades del artculo B

S1 = 0 Se utiliz toda la capacidad de M1

S2 = 46,5 Capacidad no utilizada de M2

S3 = 0Se utiliz toda la capacidad de M3

TAREAS PROPUESTAS Resolver los siguientes problemas utilizando Solver1.- Una fabrica elabora tres tipos de tornillos: grandes medianos y pequeos de los cuales se debe producir no ms de 800000 tornillos grandes y entre medianos y pequeos no ms de 1000000 para satisfacer las demandas de las siguientes 4 semanas.

Tornillos GrandesTornillos MedianosTornillos Pequeos

Precio de venta(Precio/Libra)32.5027.5020.50

Costo de maquina(Precio/libra)8.207.756.25

Tiempo de maquina2 horas1.5 horas1.4 horas

Estos tornillos se pueden producir en una maquina que est disponible 80 horas a la semana.

Los requerimientos de costo y tiempo son:

Cada libra contiene 40 grandes, 50 medianos, 60 pequeos. Los trabajadores laboran en dos turnos y perciben un sueldo que no afecta al precio del tornillo. Halla la frmula matemtica y la mejor mezcla para mejorar la utilidad.

Nota: Utilidad por libra = Precio de venta Costo de mquina.

2.- Disponemos de 210.000 dlares para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las de tipo A, que rinden el 10 % y las de tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un mximo de 130.000 dlares en las de tipo A y como mnimo 60.000 dlares en las del tipo B. Adems queremos que la inversin en las de tipo A sea menor que el doble de la inversin en B. Cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo inters anual?

Solucin A=130000, B=80000

3.- Maximizar Z = 30X1 + 10X2 + 5X3

Sujeto a:

2X1 + 4X2 + X3 =0) la solucin es optima caso contrario hay que continuar con el proceso de mejorar la solucin. Reasignar nuevamente las cantidades en las diferentes rutas tomando siempre la ruta de valor mnimo en nuestro caso (-150), por ende la ruta a elegir seria la (1,3) que es donde se empezara a sumar una constante . Sin embargo al asignar a la casilla (1,3) la cantidad de se altera la suma de la fila 1 y de la columna 3 por lo tanto se debe restar de un elemento de la misma columna y restarle a un elemento de la misma fila. El procedimiento de asignar debe continuar de tal forma que no altere todas las filas y columnas formando polgonos de secuencia como se muestra a continuacin.

Luego se deducir el valor de tomando el menor valor donde se aplico la resta de , en nuestro caso =203.3. La Nueva Iteracin ser el reemplazo de del valor de en las rutas que fueron asignadas

Se calcula el nuevo valor de Z, y el proceso continua para determinar si la nueva solucin es o no optima o hasta encontrar una solucin optima.

Z2= 500*20+1500*20+750*45+1400*5=44750 $

Como se puede observar la nueva solucin es la ptima ya que todo sus valores de las variables no bsicas son positivas.

La interpretacin de la solucin:

La fabrica 1 deber transportar 20 unidades al centro de consumo C1 a un costo unitario de 500 $La fabrica 1 deber transportar 20 unidades al centro de consumo C3 a un costo unitario de 1500 $

La fabrica 2 deber transportar 45 unidades al centro de consumo C2 a un costo unitario de 750 $

La fabrica 2 deber transportar 5 unidades al centro de consumo C3 a un costo unitario de 1400 $

El costo total de transporte es de 44750 $.3.3. Mtodo de Resolucin del costo Mnimo.

Para resolver un ejercicio por el mtodo del costo mnimo en la solucin inicial se selecciona la celda que tiene menor costo. En la celda seleccionada haga un envi al mnimo del suministro y la demanda para la fila y la columna que contiene la celda escogida. Luego hay que determinar si esta solucin es optima caso contrario hay que generar nuevas soluciones y seguir el mismo procedimiento que el mtodo de la esquina noroeste.UNIDAD CUATRO

PROGRAMACIN PERT/TIEMPO CPM/RUTA CRTICA

4.1. Generalidades PERTyCPMestn basados sustancialmente en los mismos conceptos, aunque representan algunas diferencias fundamentales. Primero, segn fueron desarrollados originalmente, los mtodosPERT estuvieron basadosen estimaciones probabilsticas de la duracin de actividades, lo cual dio por resultado unaruta probabilstica a travs de una red de actividades y un tiempo probabilista de terminacin del proyecto. Los mtodos CPM,por su parte, suponen tiempo de actividades constantes o deterministas.

La conceptualizacin del sistema de actividades como una red vino a constituir un paso importante en el anlisis de los sistemas de produccin en gran escala. El concepto del flujo a travs de la red se centra en factores importantes de la programacin, como son la interaccin entre la duracin respectiva de las actividades, sus fechas de iniciacin ms prxima y ms distante y la secuencia que se requiere en la produccin.

4.2. TERMINOLOGA

Definicin.- Es una tcnica de planificacin que utiliza un modelo matemtico

PERT (Tcnicas para la Revisin y Evaluacin de Proyectos)

Permite optimizar el tiempo de un proyecto con la utilizacin adecuada de recursos.

Planificar, evaluar y realizar correctivos de un proyecto sobre la marcha en menor tiempo y costo.

CPM (Mtodo de un Ruta Crtica)

Permite determinar la ruta que permita establecer la duracin del proyecto.

4.3. Grafica de GANTT como antecedente del PERT.- Es una tcnica que nos permitir medir la duracin total de un proyecto o de sus actividades individuales.

Esta tcnica se aplica para:

Medir las cargas de trabajo departamentales

Medir el volumen de trabajo de maquinaria y equipos

Aplicaciones de Proyectos

La grfica de GANTT muestra la relacin entre los eventos significativos de la misma actividad pero no las relaciones entre los eventos de las diferentes actividades.

La escala de tiempo puede ser en semanas, das, meses, etc.

Se elimina la denominacin de tares y se incluye dentro de la flecha, se eliminan las escalas de tiempo y se incluyen los tiempos individuales de cada flecha.

4.4. RED PERT.-

Definicin.- Es una tcnica que nos permite planificar la consecucin de un objeto de un proyecto en general.

No solo es planificacin si no tambin se puede medir el avance de su proyecto u objeto.

Una vez evaluado se puede tomar decisiones y tomar correctivos, permite planificar y mejorar lo planificado

Aplicaciones.- Construccin

Desarrollo de sistemas informticos

Controles y auditorias financieras

Instalacin de plantas industriales

Requisitos para la aplicacin de Red PERT.- Los proyectos deben cumplir:

Proyectos grandes que tengan gran cantidad de actividades

Que sean proyectos dinmicos, que estn sujetos a cambios continuos

Proyectos por lo general de gran inversin econmica (costosos)

En proyectos urgentes

Proyectos no aplicables (Donde no se puede usar PERT)

En proyectos que tengan una trayectoria lineal u horizontal

Proyectos que sean pequeos

Ventajas.-

Conocer el tiempo de inicializacin y finalizacin del proyecto

Saber el tiempo y costo mnimo de un proyecto

Permite una flexibilidad y un refinamiento en los proyectos.

Terminologa.-

a) Actividades.-

Estn representadas por una flecha

No importa la magnitud de la flecha ni su direccin

Lo importante es la secuencia o la relacin de las actividades

Toda actividad tiene duracin y es una parte del proyecto

b) Eventos.-

Estn representados por crculos

Los eventos no tienen duracin, llamados tambin Hitos

Permiten marcar puntos en el tiempo

Existen eventos iniciales y finales

Se les asigna un nmero

Enumeracin de Eventos

Existen normas para enumerar los eventos:

Es preferible enumerar de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo

El evento de finalizacin debe ser mayor al de inicio

Existen reglas para enumerar eventos:

Para enumerar un evento deber enumerarse antes los eventos que estn en los extremos de las flechas o de las actividades que concurren o llegan a dicho evento.

c) Relaciones.-

La grafica permite establecer claramente la secuencia de las relaciones y estas pueden ser:

PRECEDENCIA O ANTECEDENCIA

A la actividad A no le antecede ninguna actividad

A la actividad B le antecede la actividad A

A la actividad C le antecede la actividad B

Que actividades llegan al inicio de la actividad en referencia?

SECUENCIA

A la actividad A le sigue la actividad B

A la actividad B le sigue la actividad C

A la actividad C le no le sigue ninguna actividad

Que actividades salen del final de la actividad en referencia?

CONCURRENCIA

SALIDA

A y B salen del mismo evento

LLEGADA

A y B llegan al mismo evento

d) Actividades Ficticias

No tienen duracin o su tiempo de duracin es igual a cero

Es un artificio grfico, sirve para representar relaciones complejas en una RED

Ejemplo: Condiciones de las relaciones.

1. A Y B son concurrentes de llegada

2. a D le antecede Ay B

3. C y D tienen concurrencia de salida

4. a C le antecede solo A

1.

2.

3.

4.

4.5. PERT/TIEMPO.-

Es importante el clculo de tiempos estimados para cada una de las actividades del proyecto para determinar la duracin total del mismo y as tener la aceptacin o la negacin de su realizacin.

Tiempo Esperado (Te).- Es el tiempo de duracin de cada actividad y estos tiempos son proporcionados por especialistas en cada una de las materias.

Se obtiene a travs de estadstica y la probabilidad (BETA)

Te = (a + 4m + b) / 6

Donde:

a = Tiempo ms optimista, es el tiempo en que puede durar una actividad en las mejores condiciones posibles.

b = Tiempo ms pesimista, que es el tiempo ms largo que puede demorarse una actividad en las peores condiciones posibles.m = Tiempo ms probable o medio, es el tiempo en el que puede desarrollarse una actividad en condiciones normales.

Ejemplo:

a = 4 h

Te = (4 + 4*8 +16)/6

m = 8 h

Te = 8,7 h

b = 16 h

Tiempos Ms Prximos y Ms Tardos de una actividad.-

Tiempo Ms Prximo.- Es la fecha ms temprana de inicio de la actividad y se calcula de izquierda a derecha o del inicio al final

Tiempo Ms Tardo.- Es fecha ms lejana del inicio de una actividad, se calcula del final al inicio.

ti = tiempo ms prximo de inicio

ti = tiempo ms tardo de inicio

t j = tiempo ms prximo de finalizacin

tj = tiempo ms tardo de finalizacin

Ejemplo:

En la RED:Tiempo de Eventos.-

Tiempo ms prximo a un Evento.- Es el que ocurrir si las actividades que lo preceden comienzan lo ms pronto posible.ti= Mximo valor de los tiempos resultantes de la suma de ti+ tij

max(ti + tij)

Clculo de tiempos ms prximosEventoEvento inmediato anteriorTiempo ms prximo + Tiempo de la ActividadMximo=Tiempo mas prximo

1-------0

210+55

310+77

410+22

52

3

45+4

7+9

2+1416

6255+816+925

745

62+10

16+13

25+1540

8740+747

Tiempo ms tardo a un Evento.- Es el ltimo momento en el que puede ocurrir sin retrasar la terminacin del proyecto ms all de su tiempo ms prximo.tj = Mnimo valor de los tiempos resultantes de la diferencia de tj - tij

min(tj - tij)

Clculo de tiempos ms tardoEventoEvento inmediato anteriorTiempo ms tardo - Tiempo de la ActividadMnimo=Tiempo mas tardo

8-------47

7847-740

6740-1525

57640-13

25-916

47540-1016-142

3516-97

26525-816-412

143

22-27-7

12-50

Ruta Crtica (De eventos).- La Ruta Crtica de una Red es la ruta de tiempo ms largo a travs de la misma, es decir donde el tiempo ms prximo es igual al tiempo ms tardo.

RC1 = 1-3-5-6-7-8

RC2 = 1-3-5-7-8

RC3 = 1-4-5-6-7-8

RC1 = 1-4-5-7-8

Holgura de Eventos Y Holgura de Actividades.-

RC1= 1-4-5-7-8

RC2= 1-4-5-8

RC2= 1-7-8

Holgura de Eventos.- Es la diferencia entre el tiempo ms tardo menos el tiempo ms prximo de un evento.

Ejem: t3 = 8

t3 = 15

Hi = 15-8

Hi = ti tiEVENTOtitiHiSITUACIO

CNC

1000X

220146X

31587X

420200X

529290X

6654025X

745450X

882820X

Holgura de Actividades.- Se define como la flexibilidad de realizacin de ciertas actividades, cuando una actividad puede iniciar lo ms pronto posible o concluir lo ms tarde posible.

Hij = tj { ti + tij }

ACTIVIDADEStijtitjtj { ti + tij }HijSITUACION

Cdigo( i,j )CNC

A1,21402020-{0+14}6X

B1,3801515-{0+8}7X

C1,42002020-{0+20}0X

D1,71704545-{0+17}28X

A2,40142020-{14+0}6X

E2,66146565-{14+6}45X

F3,51482929-{8+14}7X

G3,72184545-{8+21}16X

H4,59202929-{20+9}0X

I5,611296565-{29+11}25X

J5,716294545-{29+16}0X

K5,815298282-{29+15}38X

L6,817408282-{40+17}25X

M7,837458282-{45+37}0X7

Ruta critica de actividades (RCA) = C H J - M

Una actividad crtica es una actividad que no puede ser retardada sin afectar la duracin total del proyecto. En otras palabras, en el tiempo ms temprano y el tiempo ms tarde de inicio de la actividad son idnticosCronograma de Actividades ( Diagrama de Gantt).-

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

ACTIVIDADES

Cdigo( i,j )tij

C1,420

H4,59

J5,716

M7,837

A1,214

B1,38

D1,717

A2,40

E2,66

F3,514

G3,721

I5,611

K5,815

L6,817

ACTIVIDAD = INICIO + DURACION + HOLGURA

4.6 ACTIVIDADES PROPUESTASResolver los siguientes Ejercicios. Resolver los siguientes problemas utilizando el mtodo simplex (DURACION ESTIMADA 15 HORAS)

1.- Supongamos un proyecto que consta de 8 actividades con la siguiente tabla de precedencias (se incluyen tambin la duracin de cada actividad)

Actividad Precedencias Duracin

A - 1

B -1

C -2

D B 1

E C, B 2

F A,D 1

G F 1

H A 1

Construir la red Pert, Holgura de Actividades, Duracin de la Red, Rutas Criticas y el diagrama de Gantt.

2.- Construir la red Pert, Holgura de Actividades, Duracin de la Red, Rutas Criticas y el diagrama de Gantt.

Actividad Precedencias Duracin

A -2

B -3

C -2

D A 4

E A, B, C 3

F C 3

G F 5

H D, E, F 2

I D, E, F, G 1

3.- Construir la red Pert, Holgura de Actividades, Duracin de la Red, Rutas Criticas y el diagrama de Gantt.

ACTIVIDADACTIVIDADESDuracin

CdigoDESPUES(Das)

AE, G, I, M4

BJ, H4

CE,F,G, H, I, J, M3

DE, G, I, M5

EK6

FI, M4

GM7

HL, N2

IL, N1

JI, M3

KNinguna4

LM4

MNinguna2

NNinguna5

3.- Cosmetics, Incorporated, ha decidido producir un nuevo producto revolucionario para el mercado de consumidores. Los problemas de planeacin y control de las diversas fases del programa promocin de ventas, adiestramiento de vendedores, fijacin de precios, envase, publicidad y manufactura- son evidentes para la administracin de la empresa, Y quieren que el lector la gue en esa difcil situacin, empleando PERT Tiempo, Determinando el tiempo del proyecto las Rutas Criticas, las holguras y cronograma de actividades

ACTIVIDADDESCRIPCIONACTIVIDAD

SECUENCIATIEMPO ESPERADO

AEstudio de requerimiento de equipoB0.5

BEscoger el proveedor del equipoC, D, E, F, G0.5

CDeterminarlos procedimientos de manufacturaH2.0

DDeterminarlos procedimientos ptimos de compra y de inventarioI2.0

EFijacin de precios del producto(usando optimizacin)K1.0

FDeterminacin del costo del nuevo productoO1.0

GEquipo recibido e instalado en la fbricaP7.0

HDeterminar los procedimientos d control de la calidadQ2.0

IHacer el pedido de materias primasJ1.0

JManufactura y recibo de las materias primas para prueba y primeros recorridos de produccinQ3.0

KBosquejar y finalizar el trabajo artsticoL3.0

LEnviar material de publicidad y envases a los proveedoresM0.5

MTiempo para la produccin de material de publicidad y su reciboN4.0

NRecibo de envases y suministros de empaqueQ0.5

OFinanciamiento de inventarios para el nuevo productoQ2.0

PPersonal disponible para la primera corrida de produccin (algunos de los trabajadores del primer turno se cambiarn al segundo)Q0

QElaboracin de la corrida de pruebaR, S2.0

RConferencia de ventasT0.5

SPrimera corrida de produccin (suficientes artculos para los canales de distribucin para la introduccin del producto)NINGUNA6.0

TAdiestramiento de ventas

NINGUNA1.0

4.8 TAREAS PROPUESTASElaboracin y presentacin de un proyecto Final, Utilizando las metodologas de PER/TIEMPOBibliografaAnderson, D., Sweeney, D., & Williams, T. (2011). Mtodos Cuantitativos para los Negocios (11va ed.). Mxico D.F.: Cengage Learning Editores.Erazo, J. (2007). Investigacin de Operaciones. Quito: Espel.

Hillier, F., & Lieberman, G. (2010). Introduccin a la Investigacin de Operaciones (9na ed.). Mxico D.F.: McGraw-Hill.

Taha, H. (2012). Investigacin de Operaciones (9na ed.). Mxico: Pearson.INVESTIGACION OPERATIVA

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

X1

X2

0

4

4,5

0

X1

X2

0

6

4

0

X1

X2

0

3

7

0

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

A

B

C

D

EA

1

2

3

X1

X2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

ORIGENES

(Fabrica)

El problema es homogneo

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

1

2

3

4

5

6

Tiempo

Tarea A

Tarea B

Tarea C

Fig1. GRAFICA DE GANNT DE EVENTOS SIGNIFICATIVOS

1

2

3

4

5

6

Tiempo

Tarea A

Tarea B

Tarea C

Fig3. GRAFICA DE GANNT, MUESTRA LA RELACIN DE EVENTOS DE UNA MISMA ACTIVIDAD Y ENTRE ACTIVIDADES

1

2

3

4

5

6

Tiempo

Tarea A

Tarea B

Tarea C

Fig2. GRAFICA DE GANNT, REMOCION DE LOS RECTANGULOS PARA REMPLAZAR POR FLECHAS

1

2

3

4

5

6

Fig4. TRANSFORMACION COMPLETA DE LA GRAFICA DE GANTT A LA RED PERT

A=2,5

D=2

B=1,5

C=2,5

E=1

F=1,5

G=1

0

1

2

3

4

5

6

7

A=1

B=4

C=5

D=3

E=1,5

F=1,5

G=3,5

H=2,5

J=4

I=1

Fig5. RED PERT

A

B

C

A

B

C

A

B

A

B

A

B

D

A

B

A

B

C

D

A = 0

A

B

C

D

i

j

ti

tj

ti

tj

tij = 5

i

j

ti 2 de enero

tj 12 de enero

ti 5 de enero

tj 15 de enero

tij = 10

tij =10

i

2

5

j

12

15

A=5

B=7

C=2

D=4

F=9

G=14

H=10

I=9

J=13

K=15

L=7

FIG 6. TIEMPOS DE EVENTOS

2

5

12

1

0

0

3

7

7

3

2

2

5

16

16

6

25

25

7

40

40

8

47

47

1

0

0

A=14

C=20

B=8

D=17

E=6

H=9

F=14

G=21

I=11

K=15

L=17

FIG 7. HOLGURA DE EVENTOS Y ACTIVIDADES

A=0

J=16

M=37

2

1444444

20

3

8444

15

4

20444

20

5

29444

29

6

40

65

7

45444

45

8

82444

82

25

_1223715920.unknown

_1223884935.unknown

_1249452042.unknown

_1249452151.unknown

_1249452350.unknown

_1250323641.xlsHoja1

C1C2C3

F15001000150040

2020

F21000750140050

2525

204525

_1249452288.unknown

_1249452080.unknown

_1249451519.unknown

_1249451901.unknown

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_1223735821.xlsHoja1

C1C2C3

F1

2020(-)(+)

F2(+)(-)

2525

_1223736013.xlsHoja1

C1C2C3

F15001000150040

2020

F21000750140050

455

204525

_1223736486.xlsHoja1

C1C2C3

F15001000150040

20(15020v1=100

F21000750140050

(600455v2=0

204525

w1=400w2=750w3=1400

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_1223716541.unknown

_1223732569.unknown

_1223732842.xlsHoja1

C1C2C3

F15001000150040

2020(-150)v1=250

F21000750140050

(7502525v2=0

204525

w1=250w2=750w3=1400

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_1218011183.unknown

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_1223715542.xlsHoja1

C1C2C3

F15001000150040

2020v1=250

F21000750140050

2525v2=0

204525

w1=250w2=750w3=1400

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