INGENIERA DE SISTEMAS APLICACIN DE LA CADENA DE MARKOV CURSO: INVESTIGACIN OPERATIVA II DOCENTE: ING. SOSA PALOMINO ALCIBADES INTEGRANTES: ELAS MORE, EVER. MANYA REQUENA, ROCI. MUOZ QUISPE, JAVIER. ORTIZ PIMENTE, ROSMEL. ZORRILLA GRADOS, MARCO. HUACHO 2010 AUTOVAGEN AUTOMOTRIZ HORNA INVESTIGACIN OPERATIVA II APLICACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV Ingeniera de Sistemas Pgina 2

DEDICATORIA: Atodosaquellosquenosbrindansuapoyodaa daparanuestrasuperacinacadmica profesional,yvelanpornuestrobienestarde manera desinteresada. INVESTIGACIN OPERATIVA II APLICACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV Ingeniera de Sistemas Pgina 3 NDICE DEDICATORIA: ............................................................................................................................... 2 INTRODUCCIN ............................................................................................................................. 4 PRESENTACIN .............................................................................................................................. 5 OBJETIVOS ..................................................................................................................................... 6 CAPITULO I: ................................................................................................................................... 7 MARCO TERICO ........................................................................................................................... 7 I.- MODELO DE MARKOV ............................................................................................................... 8 II.- CADENAS DE MARKOV ............................................................................................................. 9 III.- CADENA INFINITA DE MARKOV ............................................................................................. 11 IV.- CADENA FINITA DE MARKOV ................................................................................................ 17 CAPITULO II: ................................................................................................................................ 20 SITUACION ACTUAL DE LA EMPRESA .......................................................................................... 20 LA EMPRESA ................................................................................................................................ 21 RESEA HISTRICA.................................................................................................................. 22 VISIN ..................................................................................................................................... 23 MISIN .................................................................................................................................... 23 VALORES .................................................................................................................................. 24 SERVICIOS ................................................................................................................................ 25 PRODUCTOS ............................................................................................................................ 26 CAPITULO III:. 28 PROBLEMA 1. 29 PROBLEMA 2. 32 CONCLUSIONES.. 35 BIBLIOGRAFIA...36 INVESTIGACIN OPERATIVA II APLICACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV Ingeniera de Sistemas Pgina 4 INTRODUCCIN El presente trabajo pretende mostrar la aplicacin de las cadenas de Markov en el los procesos de la AUTOMOTRIZ HORNA. INVESTIGACIN OPERATIVA II APLICACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV Ingeniera de Sistemas Pgina 5 PRESENTACIN El presente trabajo de investigacintiene como objetivo aplicar los modelos de MarkovalaempresaAUTOVAGENAUTOMOTRIZHORNA,conlafinalidadde contribuirenelconocimientoyproyeccin,ascomolatomadedecisionesdela empresa. Comosabemosmuchasdelasvariablesanalizadasenunainvestigacin, muestran valores que cambian en el tiempo. En el Modelo de Markov losvalores que pueden tomar las variables se llaman estados, de manera que durante la evolucin en el tiempo el proceso estar sujeto a cambios de estado o transiciones entre diferentes estados.Porloquealrealizarelpresentetrabajoyapoyadosenlosmodelosde Markovpretendemosde alguna manera predecir el estado en el que se encontrara el proceso en el futuro a partir de la informacin del presente y pasado. EnlaempresaAUTOVAGENAUTOMOTRIZHORNA,muchasvariablestoman diferentes valores en el tiempo, por ejemplo un cliente, los autos, las maquinas que se utilizanenlaempresa,lasherramientas,losmecnicos,etc.Sinembargoenel presente trabajo solo analizaremos a los clientes y herramientas, con el fin de predecir elcomportamientodelclienteyelvalordelasherramientasdeltaller,contales anlisis y resultados se le prever informacinla empresa, permitindole anticiparse a los hechos y con mejores decisiones para el bienestar de la empresa. INVESTIGACIN OPERATIVA II APLICACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV Ingeniera de Sistemas Pgina 6 OBJETIVOS GENERAL:AplicarnuestrosconocimientossobrelascadenasdeMarkovparadeterminarel comportamiento de los clientes a futuro en cada proceso de la empresa AUTOMOTRIZ HORNA. ESPECIFICOS: -Mostrar que el proceso es una cadena de Markov. -Construir la matriz de transicin. -Mostrar que los estados son accesibles. -Mostrar que los estados se comunican. -Mostrar que los estados son recurrentes. -Mostrar que los estados son aperidicos. -Determinar el polinomio caracterstico y los valores propios. -Determinar la regularidad de la matriz. -Determinar el vector propio para el valor propio = 1. -Presentar las probabilidades de estado estable. -Presentar los tiempos de: recurrencia y primera ocurrencia. INVESTIGACIN OPERATIVA II APLICACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV Ingeniera de Sistemas Pgina 7 CAPITULO I:

MARCO TERICO INVESTIGACIN OPERATIVA II APLICACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV Ingeniera de Sistemas Pgina 8 I.- MODELO DE MARKOV UnacadenadeMarkov,querecibesunombredelmatemticorusoAndrei Andreevitch Markov (1856-1922), es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de queocurrauneventodependedeleventoinmediatoanterior.Enefecto,lascadenas deestetipotienenmemoria."Recuerdan"elltimoeventoyestocondicionalas posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a lascadenasdeMrkovdelasseriesdeeventosindependientes,comotiraruna moneda al aire o un dado. Estetipodeproceso,introducidoporMrkovenunartculopublicadoen1907,[1] presenta una forma dedependencia simple, pero muy til en muchos modelos, entre lasvariablesaleatoriasqueformanunprocesoestocstico.Enlosnegocios,las cadenasdeMrkovsehanutilizadoparaanalizarlospatronesdecompradelos deudoresmorosos,paraplanearlasnecesidadesdepersonalyparaanalizarel reemplazo de equipo. DEFINICIN:UnmodeloocultodeMarkovesunmodeloestadsticoenelqueseasumequeel sistema a modelar es un proceso de Markov de parmetros desconocidos. El objetivo esdeterminarlosparmetrosdesconocidos(uocultos,deahelnombre)dedicha cadenaapartirdelosparmetrosobservables.Losparmetrosextradossepueden emplearparallevaracabosucesivosanlisis,porejemploenaplicacionesde reconocimientodepatrones.UnHMMsepuedeconsiderarcomolaredbayesiana dinmica ms simple. En un modelo de Markov normal, el estado es visible directamente para el observador, por lo que las probabilidades de transicin entre estados son los nicos parmetros. En un modelo oculto de Markov, el estado no es visible directamente, sino que slo lo son las variables influidas por el estado. Cada estado tiene una distribucin de probabilidad sobrelosposiblessmbolosdesalida.Consecuentemente,lasecuenciadesmbolos generadaporunHMMproporcionaciertainformacinacercadelasecuenciade estados. LosmodelosocultosdeMarkovsonespecialmenteaplicadosareconocimientode formas temporales, como reconocimiento del habla, de escritura manual, de gestos o bioinformtica. ElmodelodeMarkovvaacaracterizareldesarrollosecuencialtecnolgicomediante dosparmetrosprobabilsticos:lasecuenciadelosdesarrollosyeltiempoentre desarrollossucesivos.Estosdosparmetrosse puedenrepresentarconlosconceptos transicin de estados y tiempo de permanencia en el estado.SedicequeunprocesoesdeMarkovcuandoverificalapropiedaddeMarkov:la evolucindelprocesodependedelestadoactualydelprximo,ynodeanterioreso posteriores. INVESTIGACIN OPERATIVA II APLICACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV Ingeniera de Sistemas Pgina 9 II.- CADENAS DE MARKOV UnacadenadeMarkovesunaseriedeeventos,enlacuallaprobabilidaddeque ocurrauneventodependedeleventoinmediatoanterior.Enefecto,lascadenasde estetipotienenmemoria.Recuerdan"elltimoeventoyestocondicionalas posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes. Las probabilidades de transicin son constantes. UnacadenadeMarkovq={qt}teNesunprocesoestocsticodeMarkovdiscreto.Un proceso estocstico se llama de Markov si conocido el presente, el futuro no depende delpasado,estoquieredecir,quedadaunavariableestocsticaqt-1quedenotael estadodelprocesoeneltiempot-1,entonceslaprobabilidaddetransicinenel momento t se define como: P[qt = ot | qt-1 = ot-1] APLICACIONES a)Fsica LascadenasdeMarkovsonusadasenmuchosproblemasdelatermodinmicayla fsicaestadstica.Ejemplosimportantessepuedenencontrarenla Cadenade Ehrenfest o el modelo de difusin de Laplace. b)Meteorologa Si consideramos el clima de una regin a travs de distintos das, es claro que el estado actualsolodepende del ltimoestadoynodetodalahistoriaens,demodoquese pueden usar cadenas de Markov para formular modelos climatolgicos bsicos. c)Modelos epidemiolgicos UnaimportanteaplicacindelascadenasdeMarkovseencuentraenel proceso Galton-Watson.steesunprocesoderamificacinquesepuedeusar,entreotras cosas,paramodelareldesarrollodeunaepidemia(vase modelajematemticode epidemias). d)Internet El pagerank deunapginaweb(usadopor google ensusmotoresdebsqueda)se define a travs de una cadena de Markov, donde la posicin que tendr una pgina en el buscador ser determinada por su peso en la distribucin estacionaria de la cadena. e)Simulacin LascadenasdeMarkovsonutilizadasparaproveerunasolucinanalticaaciertos problemas de simulacin tales como el Modelo M/M/1. INVESTIGACIN OPERATIVA II APLICACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV Ingeniera de Sistemas Pgina 10 f)Juegos de azar Sonmuchoslosjuegosdeazarquesepuedenmodelaratravsdeunacadenade Markov.Elmodelodela ruinadeljugador,queestablecelaprobabilidaddequeuna persona que apuesta en un juego de azar eventualmente termine sin dinero, es una de las aplicaciones de las cadenas de Markov en este rubro. g)Economa y Finanzas LascadenasdeMarkovsepuedenutilizarenmodelossimplesdevaluacinde opcionesparadeterminarcundoexisteoportunidadde arbitraje,ascomoenel modelodecolapsosdeunabolsadevaloresoparadeterminarlavolatilidadde precios. h)Msica Diversos algoritmosdecomposicinmusical usancadenasdeMarkov,porejemploel software Csound o Max MODELO MATEMTICO: Notacin: -Pij: Probabilidad de cambiar del estado i al estado j. -P: Matriz formada por los valores de Pij (Matriz de transicin) -Si(t): Probabilidad de encontrarse en el estado i en el periodo t. -S(t): Vector d e probabilidad de estado en el periodo t. Planteamiento: ( ) ( ) ( ) 1 ..... ..........2= + + + t S t S t Sn i. n estados 1 .. ..........2 1= + + +in i iP P P La transicin de un periodo al siguiente se expresa como: ( ) ( )P t S t S = +1 Para el primer periodo: P S S ) 0 ( ) 1 ( = Para el segundo periodo: 2) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( P S P S S = = En general: tP S t S ) 0 ( ) ( = INVESTIGACIN OPERATIVA II APLICACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV Ingeniera de Sistemas Pgina 11 Formalmente, una cadena de Markov se define como (Q,A), donde Q = {1,2,,...,N} son los posibles estados de la cadena y A = (aij)nxnes una matriz de transicin de estados en el modelo.Si A(t) = aij(t)nxn es independiente del tiempo entonces el proceso se llama homogneo ylasprobabilidadesdetransicindeestadossondelaformaaij(t)=P[qt=j|qt-1=i] con las siguientes propiedades: LacondicinfundamentaldequeseaunacadenadeMarkovestablecequelas probabilidades de transicin y emisin dependen solamente del estado actual y no del pasado, esto es,P[qt = j | qt-1= i,qt-2 = k, ... ] = P[qt = j | qt-1= i] = aij(t). Porejemplo,lasecuenciaresultantedelanzarunamonedakvecesesunproceso estocstico. Los estados del sistema son dos: cara y sello. Estos a su vez conforman el espaciomuestralpuessonelconjuntodetodoslosestadosposiblesdenuestro experimento. III.- CADENA INFINITA DE MARKOV Un modelo de Markov consiste en un conjunto de estados discretos. Este conjunto es exhaustivoydescribetodoslosposiblesestadosdondeelsistemapuedeestar.La transicin del estado i a j ocurre con una probabilidadpij. Podemos pensar en un modelo de Markov como una simple lnea de transferencia. Se puedepensarendosmquinasyenuninventario.Cadamquinaesdescritaporsu tiempo de operacin, su tiempo para la falla y su tiempo para la reparacin. El tiempo deprocesoserefierealacantidaddetiempoenquedemorahacerunaparte.El tiempoparalafalla,es eltiempo que ocurre entrela ltimareparacin yelsiguiente dao. El tiempo para reparacin, es el tiempo que transcurre entre el ultimo dao y el momento en que la mquina est disponible para operar. Estas cantidades pueden ser determinanticas, en estos casos se obtienen estados discretos y una cadena de Markov contransicionesdiscretas(otiemposdiscretosenlacadenadeMarkov).Tambin puede ser continuo con variables aleatorias. Seasumequelaprimeramquinanuncadejadeseralimentadaylaultimamaquina nunca es bloqueada. SemodelaparaunamaquinayastenerunaideabsicadelacadenadeMarkov.En este caso el estado de la maquina se describe por su estatus, Wi, donde: INVESTIGACIN OPERATIVA II APLICACIN DE LAS CADENAS DE MARKOV Ingeniera de Sistemas Pgina 12 Wi = 1mquina disponible 0mquina e reparacin M1 Inventario M2 La cadena se puede representar as: Donde de 0 a 1 se da la probabilidad de repararse. Donde de 1 a 0 se da la probabilidad de falla. 0 1 Estasprobabilidadesseobtienenalobservarlasmquinasenoperacinporunlargo periododetiempo.Estosdatossepuedenrecopilarparadeterminarqueporcentaje de tiempo la mquina est siendo reparada e igual para el porcentaje de tiempo que la mquina esta disponible para el trabajo. Ahoralosestadosdeesteprocesoconsistenenelestatusdecadamquinamsla cantidad de material presente en el sistema. Especficamente, el estado del sistema es: S=(n,W1,W2),Donde: n= # de piezas en inventario + # piezas en la mquina 20