Guia Ejercicios Resueltos Unidad 3

7/25/2019 Guia Ejercicios Resueltos Unidad 3

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UNIVERSIDAD SAN SEBASTINFacultad de Ingeniera y Tecnologa

Ciencias Bsicas

CienciasBsicas-UniversidadSanSebastin-2015

Gua de Ejercicios Resueltos

Tercera Unidad

CLCULO DIFERENCIAL

INGE1003

Errare humanum est:esta gua puede tener errores. Si encuentras alguno, por favor comuncaselo a tu profesor.Muchas gracias de antemano por tu ayuda!

1. Calcule la derivada de las siguientes funciones por definicin:

1.1) f(x) = sen(x) cos(x)

Solucin:

f(x) = lm

h0

f(x + h) f(x)

h = lm

h0

sen(x + h) cos(x + h)sen(x) cos(x)

h

= lmh0

(sen(x)cos(h) + sen(h) cos(x)) (cos(x) cos(h)sen(x) sen(h))sen(x) cos(x)

h

= lmh0

sen(x) cos(x)cos2(h)sen2(x)sen(h) cos(h) + cos2(x) sen(h) cos(h)sen(x)cos(x)sen2(h)sen(x) cos(x)

h

= lmh0

sen(x) cos(x)(cos2(h)sen2(h)) + (cos2(x)sen2(x)) sen(h) cos(h)sen(x) cos(x)

h

= lmh0

sen(x) cos(x) cos(2h) + cos(2x)sen(h) cos(h)sen(x) cos(x)

h

= lmh0

sen(x) cos(x)(cos(2h)1) + cos(2x)sen(h) cos(h)

h

= lmh0

2 sen(x) cos(x)cos(2h)1

2h + lm

h0

cos(2x) cos(h)sen(h)

h

= 2 sen(x) cos(x)0 + cos(2x) cos(0)1

= cos(2x)

1


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1.2) f(x) =x

x

Solucin:

f(x) = lmh0

f(x+h) f(x)h

= lmh0

(x+h)

x+h xxh

= lmh0

(x+h)

x+h xxh

(x+h)

x+h+x

x

(x+h)

x+h+x

x

= lmh0(x+h)x+h2 (x

x)

2

h

= lmh0

(x+h)3 x3h((x+h)

x+h+x

x)

= lmh0

((x+h) x)((x+h)2 + (x+h)x+x2)h((x+h)

x+h+x

x)

= lmh0h((x+h)2 + (x+h)x+x2)

h((x+h)x+h+xx)

= lmh0

(x+h)2 + (x+h)x+x2

(x+h)

x+h+x

x

=(x+ 0)2 + (x+ 0)x+x2

(x+ 0)

x+ 0 + x

x

=

3x2

2xx =3

2x

2


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2. Calcular, por definicin, la derivada de la funcin f(x) = 3x2 x en el puntoa= 1.

Solucin:

lmxa

f(x) f(a)x a = lmx1

3x2 x 2x 1 = lmx1

3x2 3

x 1

x 1x 1

= lmx1

3(x+ 1)(x 1)x 1 lmx1

x 1(x 1)(x+ 1)

= lmx1

3(x+ 1) lmx1

1x+ 1

= 112

3. Sea f : R Rdefinida por f(x) =

x3 + 5 ; x2ax+b ; x >2

determine los valores de los parmetros a y b

tal que f sea derivable en x0= 2.

Solucin:Para que f sea derivable en x0= 2necesariamente debe ser continua en x0= 2, por lo cual

f(2) = 23 + 5 = 13 = lmx2+

ax+b = 2a+b

As, 2a+b = 13 de donde b= 13 2a.Aplicando la definicin de derivada en x0 = 2 se tiene

lmx2

f(x) 13x 2 =

lmx2

x3 + 5 13x 2 = lmx2

(x 2)(x2 + 2x+ 4)x 2 = lmx2 x

2 + 2x+ 4 = 12

lmx2+

ax+b 13x 2 = lmx2+

ax+ 13 2a 13x 2 = lmx2+

a(x 2)x 2 = lmx2+ a= a

Por lo tanto tanto a= 12, de donde se deduce que b=11.Luego, para que la funcin sea derivable en x0= 2 se debe tener

f(x) =

x3 + 5 ; x212x 11 ; x >2

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4. Encontrar dydx

, para cada una de las siguientes funciones:

4.1) y= 5

(x3 + 1)2

Solucin:Pasando a potencia se tiene y = (x3 + 1)25 , luego aplicando los teoremas de derivacin

se tiene

dy

dx =

2

5(x3 + 1)

251 (3x2)

= 6

5x2(x3 + 1)

35

= 6

5

x2

5

(x3 + 1)3

4.2) y= sen2(x)

Solucin:por definicin y = (sen(x))2. Luego aplicando la regla de la cadena, obtenemos

dy

dx= 2sen(x) cos(x) = sen(2x)

5. Aplicando las reglas de derivacin, calcular la derivada de las siguientes funciones:

5.1) f(x) =x7 sen5(x3)

Solucin:

f(x) = 7x6 sin5(x3) +x75sin4(x3)cos(x3) 3x2= x6 sin4(x3)

7sin(x3) + 15x3 cos(x3)

5.2) g(x) = x2cos(x)

Solucin:

g(x) = 1(2 cos(x)) x(0 + sen(x))

(2 cos(x))2

= 12 cos(x) x sen(x)(2 cos(x))2

5.3) f(x) = 4

x cos(x) + 3

x2+x8ex

Solucin:

f(x) = 4

1

2

xcos(x) x sen(x)

6

x3+ (8x7ex +x8ex)

= 2

xcos(x) 4x sen(x) 6

x3+ 8x7ex +x8ex.

4


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5.4) f(x) =ex sen(x)(x2 + 3x+ 1)

Solucin:

f(x) =ex(sen(x)(x2 + 3x+ 1)) +ex(cos(x)(x2 + 3x+ 1) + sen(x)(2x+ 3))

=ex sen(x)(x2 + 3x+ 1) +ex cos(x)(x2 + 3x+ 1) +ex sen(x)(2x+ 3)

5.5) f(x) = x tan(x)

5x2 + 2x 1Solucin:

f(x) = (tan(x) +x sec2(x))(5x2 + 2x 1) x tan(x)(10x+ 2)

(5x2 + 2x 1)2

5.6) f(x) =(x2 +x)ln(x)

ex sen(x)

Solucin:

f(x) =((2x

+ 1) ln(x

) + (x2

+x

)

1

x)ex

sen(x

) (x2

+x

)ln(x

)(ex

sen(x

) +ex

cos(x

))(ex sen(x))2

5.7) f(x) = 2

x 3

x2

Solucin:escribimos la funcin como f(x) = 2x1 x 23 , as

f(x) = 2x2 23

x13

=

2

x2

2

3 3

x

5.8) h(x) = ln(x3) + sen(ex)

Solucin:escribimos la funcin como h(x) = 3 ln(x) + sen(x3)

h(x) = 3

x+ cos(ex)ex

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5.9) g(x) =

x sec(x3)

Solucin:

g(x) = 1

2

xsec(x3) +

x sec(x3)tan(x3)3x2

= sec(x3)

2

x + 3x2

x sec(x3)tan(x3)

5.10) h(x) =esen(x) tan(ln(3x2 + 1))

Solucin:

h(x) =

esen(x)

(cos(x)) (1) sec2 ln(3x2 + 1) 13x2 + 1

6x

= esen(x) cos(x) 6x sec2

ln(3x2 + 1)

3x2 + 1

6. Seaf : R{1} Rdefinida por f(x) = x2 2x+ 2

x 1 . Determine los puntos donde las rectas tangentesa la curva sean horizontales. Determine la ecuacin de las rectas tangentes.

Solucin:Como la pendiente de la recta tangente a un punto de la funcin cuya abscisa es x0 est dadapor m= f(x0), entonces debemos encontrar aquellos valores donde f(x) = 0.As, derivamos:

f(x) =(2x 2)(x 1) (x2 2x+ 2)

(x 1)2 = x2 2x(x 1)2 =

x(x 2)(x 1)2

Luego:

f(x) = 0 x(x 2)(x 1)2 = 0x1= 0 x2= 2

Adems:

f(x1) =f(0) =02

2 0 + 20 1 =2 f(x2) =f(2) =2

2

2 2 + 22 1 = 2

Es decir, las ecuaciones de las rectas tangentes son:

y=2 en el punto (0, 2).y= 2 en el punto (2, 2).

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7. Determine las rectas tangente y normal a la funcinf

(x

) =

(x+ 1)2sen

x2 +

2

4 2x2 + 1 , en el punto cuyaabscisa es x0 = 0.

Solucin:

Calculamosf(x):

f(x) =

2(x+ 1)sen

x2 +

2

4

+ (x+ 1)2cos

x2 +

2

4

1

2

x2+

2

4

2x

2x2 + 1 (x+ 1)2sen

x2 + 2

4

1

2

2x2+12 4x

2x2 + 12

Luego evaluamos en x0= 0 para obtener:

f(0) =

(0 + 1)2 sen

02 +

2

4

2 02 + 1= 1

f

(0) =

2(0 + 1)sen02 + 24

+ (0 + 1)2 cos

02 +

2

4

1

2

02+

2

4

2 0

2 02 + 1 (0 + 1)2 sen02 + 24

12

202+1

2 4 0

2 02 + 1

2

= 2

As, se construyen las rectas:

Recta tangente: y f(x0) =f(x0)(x x0)y 1 = 2(x 0)y = 2x+ 1Recta normal: y f(x0) = 1

f(x0)(x x0)y 1 =1

2(x 0)y =1

2x+ 1

Grficamente:

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8. Conjeture una frmula para la derivada de orden n de la funcin f(x) = ln(x).

Solucin:Calculamos las primeras seis derivadas:

f(x) = 1

x =x1 f(x) =x2 =1

x2 f(x) = 2 x3 = 2

x3

f(iv)(x) =2 3 x4 =6x4

f(v)(x) = 2 3 4 x5 =24x2

f(vi)(x) =2 3 4 5 x6 =120x6

De lo que conjeturamos: f(n)(x) =(1)n1(n 1)!

xn , nN.

9. Para y(x) = sen(sen(x)). Muestre que: y(x) + tan(x)y(x) +y(x)cos2(x) = 0.

Solucin:Calculamos y(x) e y(x)

y(x) = cos(sen(x)) cos(x)y(x) =sen(sen(x)) cos(x) cos(x) cos(sen(x)) sen(x)

=sen(sen(x)) cos2(x) cos(sen(x)) sen(x)Ahora, reemplazamos

y(x) + tan(x)y(x) +y(x)cos2(x)

=sen(sen(x)) cos2(x) cos(sen(x)) sen(x) + tan(x) cos(sen(x)) cos(x) + sen(sen(x)) cos2(x)

=

sen(sen(x))

cos2(x)

cos(sen(x))

sen(x) +sen(x)

cos(x)cos(sen(x))

cos(x) + sen(sen(x))

cos2(x)

=sen(sen(x)) cos2(x) cos(sen(x)) sen(x) + sen(x) cos(sen(x))+ sen(sen(x)) cos2(x)= 0

Es decir: y(x) + tan(x)y(x) +y(x)cos2(x) = 0.

10. Determine el valor de la expresin 2

f

2

f

2

+

1

2f

2

para la funcin definida por

f(x) =x cos(x).

Solucin:Calculamos f(x), f(x) y f(x)

f(x) = cos(x)

x sen(x)

f(x) =sen(x) sen(x) x cos(x) =2sen(x) x cos(x)f(x) =2cos(x) cos(x) +x sen(x) =3cos(x) +x sen(x)

Evaluamos en x=

2 y obtenemos:

f(x) = cos

2

2sen

2

=

2

f(x) =2sen

2

2cos

2

=2

f(x) =3cos

2

+

2sen

2

=

2

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As:2

f

2 f

2+1

2

f 2 = 2

2

2+1

2(

2) =

2

21 = 0

11. Calcule la derivada de las siguientes funciones

11.1) y= f(x) = 7x sen(x2)

Solucin:Aplicando la frmula de derivacin de funciones exponenciales, obtenemos:

dy

dx = 7x sen(x

2) ln(7) 1 sen(x2) +x cos(x2) 2x= 7x sen(x

2) ln(7) sen(x2) + 2x2 cos(x2)

11.2) y=

x3

+ cos xtanx

Solucin :

y=

x3 + cos(x)tan(x) ln(y) = tan(x) ln x3 + cos(x)

1y y = sec2(x) 1

2

x ln x3 + cos(x)+ tan(x) 1

x3 + cos(x) (3x2 sen(x))

De donde procedemos a despejar y, obtenindose:

y = dy

dx= 1

2xsec2(

x)

ln x3 + cos(x)+3x2 sen(x)

x3 + cos(x) tan(

x) x

3 + cos(x)tan(x)

12. Considere la expresinx2 y3 +x y= 7 y encuentre el valor de dydx

.

Solucin : Al considerar la relacin x2 y3 +x y = 7, tras una breve inspeccin, concluimos que noes posible despejar y como funcin de x ni x en funcin de y, por lo cual, para obtener dy

dx deberemos

aplicar derivacin implicita. As, tenemos:

d

dx(x2 y3 +x y) = d

dx(7)

ddx

(x2 y3) + ddx

(x y) = 0d

dx(x2) y3 +x2 d

dx(y3) +

d

dx(x) y+x dy

dx = 0

2 x y3 +x2 3 y2 dydx

+ 1 y+x dydx

= 0

De esta ltima ecuacin despejamos dydx

obteniendo:

dy

dx =2xy

3 +y

3x2y2 +x

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13. Encuentre los puntos de la curva2x2

3y2 + 2y= 1

donde la recta tangente es perpendicular a la recta de ecuacin x+y = 2.

Solucin:Derivamos implcitamente:

4x 6y dydx

+ 2 dydx

= 0

Despejamos la derivada dy

dx:

dy

dx

= 2x

3y 1Luego, como la pendiente de la recta x+y = 2 es m=1 , y adems, la recta tangente a la curvadebe ser perpendicular con sta, entonces:

dy

dx (1) =1 dy

dx= 1 2x

3y 1= 12x= 3y 1x =3y 1

2

Reemplazando x= 3y 1

2 en la curva y despejando:

23y 12

2

3y2 + 2y = 1

9y2 6y+ 12

3y2 + 2y = 19y2 6y+ 1 6y2 + 4y = 2

3y2 2y 1 = 0(3y+ 1)(y 1) = 0

As: y1= 1, y2=13

. Luego, reemplazamos:

y1= 1 = x1 = 3 1 12

= 1

y2=13

= x2=3 13 1

2 =1

Es decir, los puntos son (x1, y1) = (1, 1) y (x2, y2) =

1, 1

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14. Determine las rectas tangente y normal a la curva

x2

+y2

ex = yx2+y2

en el punto (x0, y0) = (0, 1).

Solucin:Inicialmente tenemos

x2 +y2

ex = yx

2+y2

Aplicamos logaritmo natural y obtenemos:

ln(x2

+y2

) x = (x2

+y2

) ln(y)Derivamos:

2x+ 2y dydx

x2 +y2 1 = 2x+ 2y dy

dx ln(y) + x

2 +y2

y dy

dx

Reemplazamos el punto (x0, y0) = (0, 1) y despejamos dy

dx:

2 0 + 2 1 dydx

02 + 12 1 = 2 0 + 2 1 dy

dx ln(1) +0

2 + 12

1 dy

dx

2 dydx

1 = dydx

dy

dx = 1

As las rectas tangente y normal sern:

Recta tangente: y 1 = 1 (x 0) y = x+ 1

Recta normal: y 1 =1 (x 0) y =x+ 1

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15. Determine las rectas tangente y normal a la curva

x2

+y3

yex = yx4+y2

en el punto (x0, y0) = (0, 1).

Solucin:aplicamos logaritmo natural y derivamos

ln

x2 +y3

yex

= ln

yx

4+y2

ln(x2 +y3)

ln(yex) = (x4 +y2)ln(y)

ln(x2 +y3) ln(y) ln(ex) = (x4 +y2)ln(y)

ln(x2 +y3) ln(y) x= (x4 +y2)ln(y)

d

dx

2x+ 3y2 yx2 +y3

y

y 1 = (4x3 + 2y y)ln(y) + (x4 +y2) y

y

Evaluamos en x= 0 e y= 1 y despejamos y:

2 0 + 3 12 y02 + 13

y

1 1 = (4 13 + 2 1 y) ln(1) + (04 + 12) y

1

3y y 1 =y y= 1

Entonces, la pendiente de la recta tangente ser mt = 1, por ende, la pendiente de la recta normal sermn =1. Es decir:

Ecuacin de la recta tangente: y 1 = 1 (x 0) y = x+ 1.Ecuacin de la recta normal: y 1 =1 (x 0) y=x+ 1.

16. Encuentre una expresin simplificada de f para la funcin:

f(x) =

arc cos (2x+ 1)

arc sen (2x2 +x) arctan(2x+ 1)

2

Solucin:para derivar, escribimos

f(x) =

u(x)

v(x) w(x)

2= f(x) = 2

u(x)

v(x) w(x)

u(x) v(x) u(x) v(x)v2(x)

w(x) + u(x)v(x)

w(x)

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Entre muchas otras expresiones, podemos escribir:

f(x) = 2

u(x)v(x)

w(x) u(x) v(x) u(x) v(x)v2(x)

w(x) + u(x)v(x)

w(x)= 2 u(x) w(x)

v3(x) u(x) v(x) w(x) u(x) v(x) w(x) +u(x) v(x) w(x)

= 2

u(x) w2(x) u(x)v2(x)

u2(x) w2(x) v(x)

v3(x) +

u2(x) w(x) w(x)v2(x)

Donde

u(x) = arc cos(2x 1) = u(x) = 2

1 (2x 1)2

v(x) = arc sen(2x2 +x) = v(x) = 4x+ 11 (2x2 +x)2

w(x) = arctan(2x+ 1) = w(x) = 21 + (2x+ 1)2

As:

f

(x) = 2

2 arccos(2x 1) arctan2(2x+ 1)

arcsen2(2x2 +x)

1 (2x 1)2

(4x+ 1) arccos2(2x 1) arctan2(2x+ 1)

arcsen3(2x2 +x)

1 (2x2 +x)2+

2 arccos2(2x 1) arctan(2x+ 1)

arcsen2(2x2 +x)(1 + (2x+ 1)2)

= 4 arc cos(2x 1) arctan(2x+ 1)

arcsen2(2x2 +x)

arctan(2x+ 1)

1 (2x 1)2+

(4x+ 1) arccos(2x 1) arctan(2x+ 1)

2 arcsen(2x2 +x)

1 (2x2 +x)2

arccos(2x 1)

1 + (2x+ 1)2

17. Determine el valor de las constantes a y b para que la recta y = 5x 3 sea la recta tangente al grficode la funcin f(x) =x3 +ax+b en el punto (1, 2)

Solucin:en primer lugar, el punto(1, 2)debe pertenecer al grfico de la funcin, es decir

f(1) = 2 13 +a 1 +b= 2 a +b = 1

Por otro lado, verificamos que el punto pertenece a la recta: 2 = 5 1 3. Ahora, derivamos la funcin yevaluamos en x= 1:

f(x) = 3x2 +a = f(1) = 3 12 +a = 3 +a

Luego, para que la recta sea la recta tangente al grfico de la funcin en el punto (1, 2) entonces lapendiente de la recta debe ser igual a la evolucin de la derivada de la funcin en x= 1, es decir:

m= 5 = f(1) 5 = 3 +a a= 2

Adems, como a+b= 1, entonces b=1. Finalmente, la funcin es f(x) =x3 + 2x 1.

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18. Muestre que la funciny = e2x(sen(2x)+cos(2x)), satisface la ecuacin diferencial ordinaria de segundoorden: y+ 4y+ 8y= 0.

Solucin:calculamos y e y

y(x) =2e2x(sen(2x) + cos(2x)) +e2x(2 cos(2x) 2 sen(2x)) =4e2x sen(2x)y(x) = 8e2x sen(2x) 4e2x 2 cos(2x) = 8e2x(sen(2x) cos(2x))

As:

y+ 4y+ 8y= 8e2x(sen(2x) cos(2x)) + 4 (4e2x sen(2x)) + 8 e2x(sen(2x) + cos(2x))= 8e2x sen(2x) 8e2x cos(2x)) 16e2x sen(2x) + 8e2x sen(2x) + 8e2x cos(2x)= 0

Lo que muestra que la ecuacin diferencial se satisface.

19. Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la relacinx4 + x2y2 = y2 en el punto para el cual

x0=

2

2 e y0 >0.

Solucin:primero, encontramos y0, reemplazando x0=

2

2 en la relacin y despejando:

22

4+2

2

2y20 =y

20 14+

12

y20 =y20 y20 =12 y0=

22

y0= 22

Como y0 >0, entonces y0=

2

2 . Ahora, derivamos implcitamente y despejamos y

4x3 + 2x y2 + x2 2y y = 2y y 4x3 + 2x y2 = 2y y x2 2y y y = x(2x2 +y2)

y(1 x2)

Reemplazamos en x0=

2

2 e y0=

2

2 y simplificamos:

y(x0,y0)=

2

2

2

22

2

+

22

2

2

2

1

2

2

2 = 3

As, la ecuacin de la recta tangente es:

y

2

2 = 3

x

2

2

y= 3x

2

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Guia Ejercicios Resueltos Unidad 3

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