GUIA de CVV Ejercicios Resueltos y Pruestos

1

EJERCICIOS RESUELTOS

En la vida real existen muchas más problemas que dependen de su solución de dos o más variables. por ejemplo,

la presión que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene depende de la cantidad y

temperatura del fluido y del volumen del recipiente. la fuerza de atracción dedos cuerpos en el espacio depende

de la masa de cada uno de ellos y de la distancia entre ambos. el rendimiento real de una inversión depende del

tipo y la tasa de interés, del capital inicial, del plazo, incluso del porcentaje de inflación y de la fluctuación de la

moneda en la que esté hecha la inversión.

El volumen de una caja, v, depende del largo, x , del ancho, y , y de z la altura de la caja. los costos de una

empresa que fabrica dos tipos de artículos dependen de la cantidad de artículos de tipo I y la cantidad de

artículos de tipo II que produce. la temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su

presión.

1.-22),( xy

x

yyxFSea ¿A dónde manda F los puntos de la recta xy y xy ?

SOLUCIÓN: Haciendo un cambio de variable:

2 2( , )

yF x y y x

x …………………….……..…………………………………………….(1)

1Sea 1

y 21 1

u y x x u yy

u y y uy yv vv x

x v

uv uy x

v v

Reemplazando 2 en 1:

2 1Si ( , )

1

x xy x F x x

x

2 21 1Si ( , )

1 1

x x x xy x F x x

x x

2.-Describe el dominio de la función dada y haga un esquema que represente a este dominio.

.i ( , )y

f x y arcsenx

iii ( , ) (1 )f x y Ln y Ln x y

ii 16),( 2222 yxyxyxf iv 2( , ) ( )f x y arcsen x y

Solución

i)Sabemos que dominio del arcsen x es igual al ii) Para que exista f debe suceder que:

rango del sen x, que es [-1,1]. Luego,

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

0 16 0

16 0

16

16

( , ) : 16 .

x y x y

x y x y

x y x y

x y y x

Df x y x y y x

2

2 2

1 1

( , ) :

yy x y x

x

x y x

y x

y x

Df x y y x

iii) Para que exista f, debe suceder que:

0 1 1 0 0 1 1

0 0 1

y x y y x y

y y x y y x y x

(1 ) 0 0 (1 ) 0 (1 ) 0y Ln x y y Ln x y y Ln x y

( , ):( 0 ) ( 0 1Df x y y y x y x y x

iv) sabemos que el dominio del Arcsen x es igual al rango del sen x , que es el intervalo [-1, 1]. Luego,

2 2 2

2 2

2 2

1 1 1 1

1– 1 –

{ , : 1– 1 – }f

x y x y x y

y x y x

D x y y x y x

2

2

1– ¿ 1 1? ¡falso!

1 –

y x

y x

No hay intersección

3.-Hallar el dominio de la función f (x, y) = Arc Sen

yx

x

Solución:

Sabemos que el dominio del Arc sen x es igual al rango del sen x. Luego,

3

1 1 1 1

21 0 1 0 0 0

20 0

x x x

x y x y x y

x x x y y

x y x y x y x y

x y x

x y x y

]0[]0[

]2[]2[

]00[]00[

]002[[]002[

xyyxyy

xyxyyxxy

yxyyxy

yxyxyxyx

Df = {(x,y): (y 0 y -2) ( y 0 y -2x)}

4.-Hallar el dominio de la función ( , ) ln(4 )f x y x y

Solución:

Para que exista f, debe suceder que:

4 0 4

{ , : 4}f

x y xy

D x y xy

5.-Sea f: R2 R / f(x ,y) = Ln [Sig (1 + x

2 + y

2)]. Hallar el Dom (f) y Rang (f).

Solución:

Recordemos que:

Para que exista la función Ln x.

x debe ser mayor que 0, es decir

x > 0. Además,

0

y

1x

y ln x 0 1

0 1

0 0 1

ln x cuando x

ln x cuando x

ln x cuando x

x

y

1, 0

( ) ( ) 0, 0

1, 0

si x

f x sig x si x

si x

a) Dom (f)

Para que exista la función Ln [sig(1 + x2 + y

2)] , debe cumplirse que la función signo:

Sig(1 + x2 + y

2) > 0. Pero por definición, sabemos que Sig (1 + x

2 + y

2) = 1 > 0, cuando 1 + x

2 + y

2 > 0

Dom (f) = R2

b) Rang (f)

No puede suceder que 0< sig (1 + x2 + y

2) < 1

No puede suceder que sig (1 + x2 + y

2) > 1.

Sucede que cuando sig (1 + x2 + y

2) = 1, entonces

4

Ln [Sig(1 + x2 + y

2)] = 0 f(x,y) = 0 Z = 0

Rang (f) = {0}

6.-Si f : R2 R / f (x,y) = Sig [Ln (1 + x

2 + y

2)]. Hallar el Dom (f) y Ran (f).

Solución:

Por definición,

f (x,y) = Sig [Ln(1 + x + y)] =

0)1(ln,1

0)1(ln,0

0)1(ln,1

yxsi

yxsi

yxsi

luego,

(1 ) 0 1 1 .......................................................... 1

(1 ) 0 1 1 .......................................................... 2

(1 ) 0 0 1

Ln x y cuando x y y x

Ln x y cuando x y y x

Ln x y cuando x y

1 0 1 1 1

1 ............................ 3

x y x y

y x y x

Uniendo las gráficas de las desigualdades (1), (2), (3) se obtiene:

( ) {( , ) / - 1- }

( ) {-1,0,1}

Dom f x y y x

Rang f

7.-Hallar el dominio, rango y gráfica de f(x,y) = 221 yx

Solución:

Dom(f)

Para que exista 221 yx , 1 – x

2 – y

2 0 x

2 + y

2 1

Dom (f) = {(x,y) : x2 + y

2 1} que es una circunsferencia y su interior.

Rang(f)

Como Z = 221 yx Z 0 Z

2 = 1 – x

2 – y

2

Z 0 x2 + y

2 = 1 – Z

2 0 ya que x

2 + y

2 0

Z 0 1 – Z2 0 z 0 Z

2 1

Z 0 -1 Z 1

Z [0,1] R

Curvas de nivel: 2 2 2 2 2 2c 1 x y 1– c 1 x y c : circunsferencias

110

5

2 2

22

2 2

22

2 2

2 2

0 1 - 0 1

1 1 15 1 -

4 4 16

1 1 3 1 -

2 2 4

1 1 - 12 0

Si c x y

c x y

c x y

c x y

Trazas

Si x = 0 Z2 = 1 –y

2 :parábola en el plano yz

Si y = 0 Z2 = 1 –y

2 :parábola en el plano xz

8.-Bosquejar el gráfico de la función f(x , y) = |x| + |y|

Solución: |x| + |y| = c

Si c = 0 |x| + |y| = 0 x = y = 0

Si c = 1 |x| + |y| = 1

01||

01||

ysiyx

xsiyx

i) Si |x| + y = 1 1 0..............................................................(1)

1 0..............................................................(2)

x y si x

x y si y

ii) Si |x| - y = 1 1 0..............................................................(3)

1 0...............................................................(4)

x y si x

x y si y

Graficando las rectas (1), (2), (3), (4):

xy 1 xy 1

1 xy1 xy

zc

1c

z

0c y

x

y

0c 1c

Bosquejar el gráfico de la función 2 2 , f x y x y

6

9.-Calcular 22

22

)0,0(),( 22

7lim yx

yx

yx

a) Condición necesaria pero no suficiente:

Solución: Reemplazar y por curvas que pasan por (0, 0):

Si 022

7

22

72

22

)0,0(),(222

222

)0,0(),(limlim

k

xk

xkx

xkxkxy

yxyx

Si 022

7

22

722

42

)0,0(),(422

422

)0,0(),(

2

limlim

xk

xk

xkx

xkxkxy

yxyx

Si 0

22

7

1)22(

1)7(

2

2

2

)0,0(),(2

22

2

22

)0,0(),(limlim

x

xsen

x

xsenx

xxsenx

xxsenx

xsenyyxyx

En coordenadas polares: Decir que (x,y) (0,0) equivale a decir que r 0 (independientemente el valor

de ).

2

7

22

7),(

2222

2222

2222

SenrCosr

SenrCosr

SenrCosrrg

Senry

CosrxSi

022

70),(

22

22

)0,0(),(0limlim

yx

yxrg

yxr

b) Condición suficiente:

||0||0/0,0022

722

22

)0,0(),(lim yx

yx

yx

yx

2 2

2 2

70

2 2

x y

x y

2 22 2 2 2 2 2 42

2 2 2 2 2 2 2 2

7 7 7 7

2 2 2 2 2

x yx y x y x y yy

x y x y x y x y

7

2|| y

10.-Verificar que 3

89

23

)0,0(),(lim yx

yx

yx

no existe

Solución: Reemplazando y por curvas que pasen por (0,0):

Si 0)0(

)0(80

29

23

)0,0(),(lim

x

xy

yx

;

7

Si 01

8

3

80

6

2

)0,0(),(9

23

)0,0(),(limlim

x

x

xx

xxx

yxyx

;

Si 08

69

43

)0,0(),(

2

lim

xx

xxxy

yx

;

Si 42

889

9

)0,0(),(99

33

)0,0(),(

3

limlim

x

x

xx

xxxy

yxyx

39

23

)0,0(),(

8lim yx

yx

yx

11.-Calcular )1)(1(

)1)(1(2

43

)1,1(),(lim

yx

yx

yx

Solución:

6)1)(1(

)1)(1)(1)(1(

)1)(1(

)1)(1(2

2223

)1,1(),(2

43

)1,1(),(limlim

yx

yyxxx

yx

yx

yxyx

12.-Calcular

2

2( , ) (0,1)

( 2 3)(1 )

( 1)limx y

y y Cos x

x y

Solución:

)1(

)1)(1)(3(

)1(

)1)(32(2

)1,0(),(2

2

)1,0(),(limlim xCosx

xCosxCosy

yx

xCosyy

yxyx

2

)1,0(),( )1(

)3(lim

x

xSen

Cosx

y

yx

22

4)1(

)1(

)3( 2

Cosx

y

13.-Calcular: 24

22

)1,3(),( )1()3(

9966lim

yx

yxxxyyx

yx

24

2

)1()3(

)1(9)1(6)1(

yx

yyxyx

Solución:

24

2

)1,3(),( )1()3(

)3)(1(lim

yx

xy

yx

Reemplazando y por curvas que pasen por (3,1)

y

x

2)3(1 xy

)1,3(

3

xy

8

Si

2

4

2

)1,3(),(2

4

2

)1,3(),(

3

3)3(

33

3

13

)3(

313

3 limlimx

x

xx

xx

xx

xy

yxyx

2

( , ) (3,1)

3( 3) 00

9( 3) 1 1limx y

x

x

2 2

4 2( , ) (3,1)

6 6 9 9

( 3) ( 1)limx y

x y xy x x y

x y

14.-Calcular:

0

1lim

2

21

5

)13)(21(

0

2)0,0(),(

lim

x

xCos

xCosxSen

yx

yCosxCos

x

yx

Solución:

y

yCos

x

xSen

yx

yCosxCos

yxyx 3

)13(32

5

)13)(21(limlimlim

02

2

02

)0,0(),(

03

31*6 limlim

03

2

0

y

yCos

x

xSen

yx

15.-Calcular: yx

ee yx

yx

)1)(1( 2

)0,0(),(lim

Solución:

)1)(1(1;1

*1)1)(1( 2

2

00

2

)0,0(),(limlimlim

yyyy

y

x

x

yx

yx

eeey

e

x

e

yx

ee

)1(*1

*1

limlimlim000

y

y

y

y

x

x

ey

e

x

e

Por otro lado,

)1ln(ln11.?1

lim0

uexueueSeax

e xxx

y

)1(ln ux

9

xy

xy

xy

2

2

)1(1

)1(1

Así,

uyyy

x

yuu

u

u

u

x

e1

0000)1ln(

1

)1ln(1

1

)1ln(

)1(1limlimlimlim

1

0

1 11

lnlim(1 )u

x

eLn u

Por tanto:

2)2(1)11)(1(1)1()1(1)1)(1( 0

2

)0,0(),(lim

eyx

ee yx

yx

16.-Analizar la continuidad de la función:

)1,1(),(,0

)1,1()1,1(),(,)1()1(

)1)(1(

),( 24

2

yx

puntoelenyxyx

xy

yxf

Solución:

i) 0)1,1( f

1

1

Si ]1)1[()1(

)1(

)1()1(

)1)(1(22

3

)1,1(),(24

2

)1,1(),(limlim

xx

x

xx

xxxy

yxyx

2

( , ) (1,1)

1 00

( 1) 1 1limx y

x

x

Si 4

4

)1,1(),(224

2

)1,1(),(

2

)1(2

)1(

]1)1(1[)1(

)1](1)1(1[)1(1 limlim

x

x

xx

xxxy

yxyx

= 2

1

2

1lim

)1,1(),(

yx

y

x

10

),(lim)1,1(),(

yxfyx

f no es continua en (1,1)

DERIVADAS PARCIALES

Definición: Sea f: U R2 R una función definida en un conjunto abierto U de R

2 y sea p = (X0, Y0)

U. Definimos la Derivada Parcial de f con respecto a x en el punto p como:

h

yxfyhxfp

x

f

h

)(),()(0000

0lim

, cuando este límite existe.

También, definimos la Derivada Parcial de f con respecto a y en el punto p como:

h

yxfhyxfp

x

f

h

)(),()(0000

0lim

, cuando este límite existe.

En general, la Derivada Parcial de f con respecto a xi en el punto p se define como:

h

xxxfxxxxfxxxx

x

f nni

h

ni ),...,,(),...,,...,,(),...,,...,,(2121

0

21

lim

Si es que

este límite existe.

Nota: Geométricamente, las derivadas parciales nos mide la pendiente de la recta tangente de la curva

generada por la intersección de la superficie Z = f (x,y) con un plano en el punto p = (x0,y0)

1.-: Sea f :U R2 R |2| que f (x,y) = x

2 + y

2. Calcular las derivadas parciales de f en el punto (1,0).

0yy

)](,[ pfp

0y

)](,[ pfp

0xx

0x

11

Solución:

222)()(),(),(

)0,1(0

2222

00limlimlim

xh

hx

h

yxyhx

h

yxfyhxf

x

f

hhh

222)()(),(),(

)0,1(

2

0

2222

00limlimlim

yh

hhy

h

yxhyx

h

yxfyhxf

y

f

hhh

Si y = 0 z = x2

x =1 z = 1 + y2

Esto significa que la curva f (x,0) = x2 esta en el

plano y = 0(x z) y tiene pendiente 2 en x = 1.

f (1, y) = 1 + y2 está en el plano x = 1(yz) y

tiene pendiente 0 en y = 0

2. Sea; f (x1,x2,…, xn) = Ln (x1,x2,…, xn) calcular

n

i ix

f

1

)1,...,1,1(

Solución:

f (x1,x2,…, xn) = Ln (x1,…xi-1, xi xi+1,…, xn)

Luego,

1 1

1 1

( , , , , , , )

, , , , , ,

i i i i n

i

i i i i i n

x x x x xxf

x x x x x x

1 1

1 1

, , , , , 1

, , , , , ,

i i i n

i i i i n i

x x x x

x x x x x x

11

1)1,...,1,1(

ix

f

n

i

n

ii

nx

f

1 1

1)1,...,1,1(

3.- a. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie

Z = x3y + 5 y

2 con el plano x = 2, en el punto en el que y = 1.

b. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie

Z = x2 + y

3 x con el plano y = 2, en el punto en el que x = 2.

Solución:

21 yz 21 yz

0m

2m

12

a)

3 2

2

( , ) 5

2 (2, ) 8 5

8 10

(2,1)8 10(1) 18T

z f x y x y y

Si x f y y y

fy

y

fm

y

b)

2 3

2

( , )

2 ( ,2) 8

2 8

(2,2)2(2) 8 12T

z f x y x y x

Si y f x x x

fx

x

fm

x

5.-Obtener las derivadas parciales:

a) f (x, y, z) = yxzxzy zzyyxx

b) f (x, y, z, u) = uyxuzy zx

Solución: 9 9 9 9 9 9. ; ,v v v u uSug u vu u u muv a a ma u a cte

a) 0011

mzzmyyzxyxx

f xxzy

Análogamente obtenemos y

f

y

z

f

b) ( ) 1( ) .1y z u x y u y z u x y uf

y z u x z x z Ln zx

=( ) 1( ) y z u x y u y z u x y uy z u x x z x z Ln z

=

zx

zyxzx uyxuzy ln

6.-Sea 5642 2123),( xyxyxyxf . Verifique que ),(6 yxf

y

fy

x

fx

Solución:

41012.2726 32554 xyyxy

fyxxy

x

f

Reemplazando en la igualdad:

z

T

y

z

x

2: xT

T

2: yT

13

)2123(6)1012()2726( 5642432554 xyxyxxyyxyyxxyx

56425425642 12721810122726 xyxyxxyyxxyxyx

564252642 127218127218 xyxyxyxxyx

7.-Calcular las derivadas parciales de la función dada; siendo g una función continua.

a)

y

dttgx dttgyxf

1)(

)(),( b)

y

xx

y

dttg

dttgdttgyxf

)(

)()(),(

Solución:

a)

y

a

y

a

dttg

a

a

dttgdttgdttgdttgdttgyxf

x

x )()()()(),( 1

1

)(

)(

)(0;0)()(1

ygy

fxgdttgg

x

f x

b)

y

x

xdttg

a

dttg

adttgdttgyxf

)()(

)()(),( 1

9 9

1

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

x y y y y y

a a x a a

x y

x

x x

y

fg g t dt g t dt g t dt g g t dt g t dt g t dt

x

g g t dt g x g g t dt g x

g g t dt g x g g t dt g x

)()()()( xgdttggxgdttggx

f x

y

x

y

De manera análoga calculamos y

f

8.-Encontramos las derivadas parciales de u = f (x,y,z) definida implícitamente por

zyxuzuyx 22

Solución:

zuy

xyz

x

uxzy

x

uzuy

zyx

uuz

x

uyx

x

u

2

22)2(

22:

14

zuy

uxz

y

uuzx

x

uzuy

zxx

uzuu

x

uy

y

u

2)2(

2:

zuy

uxy

y

uuyx

z

uzuy

yxuz

uzuu

z

uy

z

u

2)2(

2:

22

2

8.-Hallar las derivadas parciales de 2do orden de la función f(x,y) = e-x/y

+ Ln (y/x) si (x,y) (0,0)

Solución:

2

2

2 2 2 3

2 2

2

3 2 2 3

2

2 2 2

2 2

2 3 4 2

1 1 1

1 1 1

11

1 1

1 1

2 1

x x

y y

x x x

y y y

x x

y y

x x x

y y y

x

y

x x

y y

yf xe e

yx y y x

x

f x xe e e

y x y y y y y

f x xxe eyy y y y

x

f x xe e e

x y y y y y

fe

x y x

f x xe e

y y y y

10.-Calcular las derivadas parciales de f (x,y) =

22 1

x

y

t dte

Solución:

2 22 2 2

4 4

2 2

1 1 1

1 3 3 1

1 1

( , )

(4 ) 4

(2 ) 2

x c xt t t

y y c

x x

y y

f x y e dt e dt e dt

fe x x e

x

fe y y e

y

11.-Sea Z = (x,y) una función real de variable real, diferenciable en R. Demuestre que la función dada

satisface la expresión dada.

15

a) 2 2( , ) (3 ) ; 2 3 4

f ff x y x x y xy x yz

x y

b) ( , ) ( ) ; ( 1).x y y f ff x y e xe x z x

x y

Solución:

a) yyxxzy

fyxxyxx

x

f2)3(';)3(2)3)(3(' 22222

Luego:

yzyxyx

yxyxyxyxxyyx

yxyxxyxxyxxxy

4)3(4

)3('6)3(4)3('6

)]3('2[3)]3(2)3('3[2

22

232223

22222

b) )]()('[)()(' yyyyxyyxyyyx xexeeeexeeexex

f

)]()('[)()(' yyyyxyyxyyyx xexexeeexexeexey

f

Luego,

)()'(')()(' yyyxyyyyx xexexeexexeexe

)(')()(' yyxyyyxyyxy xeexexexexeexe

11)( xzxxee yyx

DERIVADAS DIRECCIONALES

Sea la función f: U Rn R. Sea p U y sea v R

n un vector unitario. Definimos la derivada

direccional de la función f en el punto p y en la dirección del vector unitario v como:

1 2

1 2

( )1. ( ). ( ). ... ( ).

( ) ( ) ( )2. lim

n

n

h o

f p f f fp v p v p v

v x x x

f p f p hv f xp

pv h

1.-Calcular la derivada direccional de la función 221),( yxyxf , en el origen, en la dirección

del vector u = (a, b)

Solución:

16

|||| u

uv es un vector unitario en la dirección de u.

0)0,0(

)1(;,),(

2

1

22

222222

x

fyxx

x

f

ba

b

ba

a

ba

bav

0)0,0(

)1( 2

1

22

y

fyxy

x

f

0)0,0()0,0()0,0(

2222

ba

b

y

f

ba

a

x

f

v

f

2.-Calcular la derivada direccional de la función f (x,y,z) = x Lny + y Ln z + z Ln x, en el punto

p = (1, 1, 1), en la dirección del vector v = (a, a, a).

Solución:

1101

1)1ln()1,1,1(ln

x

f

x

zy

x

f

101)1ln(1

1)1,1,1(ln

y

fz

y

x

y

f

101)1ln(1

1)1,1,1(ln

z

fx

z

y

z

f

3

1,

3

1,

3

1

3

),,(),,(2222 a

aaa

aaa

aaa

v

vu

Por tanto, 33

3

3

11

3

11

3

11

)1,1,1(

u

f

3.-Calcular la derivada direccional de la función f (x,y) = 5x2 y

3 en el punto p = (1,1) en la dirección del

vector tangente al círculo x2 + y

2 = 2 en p.

Solución: La dirección del vector tangente al círculo debe ser ortogonal al punto p = (1,1) del círculo x2 +

y2 = 2 ; y un vector (x,y) cualquiera es ortogonal a (1,1) si (x,y).(1,1) = 0, es decir, si x + y = 0. por

ejemplo el vector (-1,1). Luego,2

)1,1(v .

Por otro lado, 10)1,1(

10 3

x

fxy

x

f

17

15)1,1(

15 22

y

fyx

y

f

22

52/5)2/1(15)2/1(10

)(

v

pf

4.-Calcule la derivada direccional de la función f (x,y) = x Sen y en el punto (3,0), en la dirección del

vector tangente a la parábola y = x2 en el punto (1,1).

Solución:

Y Hallando v:

)1,1(),(donde),)((': khhxhfkyT

2)1(')('2)(' fhfxxf

Luego, )1(21: xyT

)2,1(),1,2(donde,012 1 nnyx Así,

X

5

2,

5

1

)2,1(

)2,1(

1

1

n

nv

Por otro lado, 3)0,3(;0)0,3(

x

fyCosx

y

f

x

fySen

x

f

5

6

5

23

5

10

)0,3(

v

f

5.-Sea la f (x,y) = x2+y

2 ¿En qué dirección es igual a cero la derivada de ésta función en el punto (1, 1)?.

¿En que dirección es igual a cero la derivada de esta función en los puntos del círculo unitario

x2 + y

2 = 1?.

Solución:

a) Rpta.- En la dirección del vector ortogonal al vector (1, 1), es decir, en la dirección del vector del

vector (x,y) tal que (x, y). (1, 1) = 0, o sea, x + y = 0. Por ejemplo, (-1, 1). Así,

2

2,

2

2

2

1,

2

1

)1()1(

)1,1(

)1,1(

)1,1(22

v

En efecto, 02

2)1,1(

2

2)1,1()1,1(

x

f

x

f

v

f

2 2

2 2 02 2

2xy

)1,1(

T

18

b) Rpta.- En la dirección del vector tangente al círculo x2 + y

2 = 1.

6.-Dada f (x,y) = ex e

y y un punto p = (0,0). Compruebe que la derivada direccional de f en p, en la

dirección de (la tangente a) la curva de nivel que pasa por p [es decir, la curva f (x,y) = f (p)] es igual

a cero.

Solución:

)1().()(

vpfp

v

f

i) Hallandof (p):

)1,1()(

),()(

pf

eeeepf yxyx

ii) Hallando v:

Curva de nivel: f (x,y) = f (0,0)

2

1,

2

1

2

)1,1(

)1,1()1,1(,.0

0ln)(1lnln

11

1

1

1

00

n

nventonces

nnAquiyx

eyxe

eeeee

yx

yxyx

02

1,

2

1).1,1(

)1,1(

v

f

GRADIENTE

Sea f : U Rn R una función y p = (x1, x2,…xn) U

Definimos el gradiente de f en p como:

)(,...,

)(,

)()(

21

p

x

fp

x

fp

x

fpf

n

También, redefinimos la derivada direccional de f en p y en la dirección del vector unitario v como:

vpfv

pf.)(

)(

Observaciones:

z

x

y

)( 00 yxp )(pfp v)(pf

v

pf

)(

19

(1) f (p) Rn es un vector perpendicular a la curva (o superficie)

de nivel de f que pasa por p y además nos dice en que dirección

se tiene el mayor crecimiento de la función f en el punto p.

(2) Si v está en la dirección del f (p), entonces v

pf

)(es máximo

(3) y está dado por )()(

pfv

pf

, donde v = f (p)

(4) Si v es perpendicular al f (p), entonces v

pf

)(= 0

1.-Calcular la derivada direccional de la función f (x,y,z,) = x2 + Cos (x+y) – z

2. en p = (1,-1,1) en la

dirección de un vector ortogonal a la superficie de nivel de f que contiene a p.

Solución:

a) Hallando la superficie de nivel de f :

La superficie de nivel de f que sostiene a p = (1,-1,1) esta dada por:

C = x2 + Cos (x+y) – z

2

y como p = (1,-1,1) pertenece a esta superficie de nivel, satisface su ecuación:

C = (1)2 + Cos (1-1) – (1)

2 C = 1

Luego, la superficie de nivel pedida es:

01)(),,( 22 zyxCosxzyxf

b) Hallando v:

El vector ortogonal a f (x,y,z) en p es el f (1,-1,1):

)2,0,2()1,1,1()2),(),(2(),,( fzyxSenyxSenxzyxf Así,

2

2,0,

2

2

22

2,

22

0,

22

2

8

)2,0,2(

2,0,2

)2,0,2(

)1,1,1(

)1,1,1(

f

fv

Por otro lado,

)2,0,2()1,1,1()2),(),(2(),,( fzyxSenyxSenxzyxf

)(pf

vp

20

222

220

2

22

2

2,0,

2

2).2,0,2().(

)(

vpf

v

pf

2.-Calcular el ángulo entre los gradientes de las funciones f (x,y,z) = xy2 z

3 en los puntos

(1,1,1) y (1,-1,-1)

Solución:

)3,2,(,,),,( 22332 zxyxyzzyz

f

y

f

x

fzyxf

Luego, )3,2,1()1,1,1(y)3,2,1()1,1,1( ff

Por tanto (1,1,1) (1, 1, 1) (1,2,3) ( 1,2,3)

(1,1,1) (1, 1, 1) 14 14

f fCos

f f

7

6

14

12

14

1341

Cos

7

6CosArc

3.-Sean f (x,y) = x Sen y + y Sen y, p = (0,) y u = (2,3). Escriba la descomposición del vector f (p) en

sus componentes ortogonales, una de las cuales está en la dirección del vector u. Es decir, determine el

escalar tal que f (p) = u + w, donde w es un vector ortogonal a u.

Solución:

),(),( xSenyCosxxCosyySenyxf

),0()00,0(),0()( SenCosCosSenfpf

Luego, como wupf )( , entonces

1 2

1 2

1 1

2 2

( ,0) (2,3) ( , )

( ,0) (2 ,3 )

2 2

3 0 3

w w

w w

w w

w w

Como w u w. u = 0 1 2( , ) (2,3) 0w w

( 2 , 3 ) (2,3) 0

0942

21

0132

13

2

4.-Determinar un vector normal a la gráfica de la función f (x,y) = Sen (Sen x cos y) en el punto p =

(,).

Solución:

El vector normal a la gráfica de una función f (x,y) en el punto p, está dada por

Np =

1,,

y

f

x

f. Luego,

( , )

( ( )( ), ( ) ( ),1)

( ( ) ( ), ( )( ),1)

[ (0)[( 1)( 1)], (0)(0),1] ( 1,0,1)

Np Cos Sen xCos y Cos xCos y Cos Sen xCos y Sen x Sen y

N Cos Sen Cos Cos Cos Cos Sen Cos Sen Sen

Cos Cos

5.-Considere las funciones 2 2; 3 2 , ; 7 3f x y x y g x y ln x y .Demuestre que la

derivada direccional de la función f en el punto p = (1,1), en la dirección del gradiente de la función g en

p es igual a la derivada direccional de la función g en p, en la dirección del gradiente de la función f en p.

Solución:

Debemos demostrar queu

pg

u

pf

)()(,

donde)(

)(,

)(

)(

pg

pgv

pf

pfu

vg

gg

xyxg

uf

ffyxyxf

)3,7(132

1

)1,1(

)1,1()3,7()1,1()3,

7(),(

)4,6(132

1

)1,1(

)1,1()4,6()1,1()4,6(),(

(1,1) 1 21 2 3(1,1) (6,4) ........................................................(1)

2 13 13

(1,1) 1 21 2 3(1,1) (7, 3) .....................................................(2)

2 13 13

ff

u

gg

v

De (1) y (2) concluimos que v

pg

u

pf

)()(

6.- ¿En qué dirección es nula la derivada de la función 22

22

),(yx

yxyxf

en el punto (1,1)?

22

Solución: Sabemos que si f (x0 y0) v entoncesv

yxf oo

),(= 0

Luego, )1,1()1,1()(

,)(

4),(

222

22

222

2

f

yx

yx

yx

xyyxf

Así, 212121 0),()1,1( vvvvvv

Por tanto los vectores unitarios perpendiculares a (1,-1) son:

)1,1(2

1

)1,1(

)1,1(v

Por tanto, 0)1,1(

v

fen la dirección del vector )1,1(

2

1v

7.-Determine el (o los) puntos de la gráfica de la función (si los hay) z = f (x,y) = 2x2 + 3xy + 5y

2, para

los que el vector N = (3,2,-3) es un vector normal.

Solución: N

De la gráfica se observa que

Np // N Np = N

)1,3/2,1()1,33,34(

3/1

)3,2,3()3,2,3()1,33,34(

yxyx

yxyx

1( 3)4 3 1 4 3 1 .............................(1)93

2 183 10 31

.............................(2)(4)3 331

x y x y y

x y yx

Reemplazando (1) y (2) en z = f (x,y):

961

125

961

125

31

15

93

1

31

83

31

82

22

zz

8 1 125 1 1 125( , , ) , , 8, ,

31 93 961 31 3 31pz x y z

8.-Determine el (o los) puntos de la gráfica de la función dada (si lo hay), para los que el vector N dado,

es un vector normal:

a) )4,3,1(),1ln(),( Nzyxyxf

),,( zyxp

),( yxfZ

N

x

y

z

1,,

y

f

x

fNp

23

b) )3,0,0(,),( 22 NyxSenyxf

Solución de a:

1 2// , , 1 ( 1, 3,4) ( , 3 ,4 )

1 2 1 2

1

4

Np N Np Nx y x y

Por igualdad de ternas:

IONCONTRADICCyx

yx

yxyx

)(3

84

3

821

4

3

21

1

4214

1

21

1

punto alguno.

Solución de b:

2 2 2 2

2 2 2 2

.2 .2// , , 1 (0,0, 3)

2 2

1(0,0, 3 )

3

Cos x y x Cos x y yNp N Np N

x y x y


0

0

22

22

22

22

yx

yxCosy

yx

yxCosx

Aquí no puede sucedes que 22 yx = 0 , x = 0, y = 0.

Luego, sólo queda la posibilidad de que:

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

(2 1)0 ,

2

2 1, 0

2

nCos x y x y n

nx y k k

}0,/),(),{( 2222 kkyxyxfyx

24

9.-Se da la ecuación de una superficie S y un vector N . Determine el punto de S (si los hay) para los que

N es un vector normal a S.

a) ).6,3,2(,132 222 NzyxS

b) ).2,2,2(,4222 NzyxS

Solución:

Considerando como superficie de nivel:

)6,4,2(

0132),,( 222

zyxf

zyxzyxf

Como, )6,3,2()6,3,2()6,4,2(// zyxNfNf


2 2

34 3

4

6 6

x x

x y

x z

…………………………………………………….(*)

Como (x,y,z) está en la superficie S, satisface su ecuación, es decir,

).(..........41

81

8

411

8

24

8

9

8

8

1316

181)(3

4

32)(

2222

2222

2

2

Reemplazando () en (*):

41

8),1,

4

3,1(),,( Dondezyx

10.-Hallar los puntos del elipsoide x2 + 2y

2 + 3z

2 = 6 en los que la recta normal que pasa por ellos es

perpendicular al plano 4x – 6y + 3z = 7.

Solución:

Considerándolo como una superficie de nivel:

0632),,( 222 zyxzyxf

Como NfNf //

)3,6,4()3,6,4()6,4,2( zyx

),,( zyxp

F

)3,6,4( N

x

y

z

),,( zyxp S

N

x

y

z

z

f

y

f

x

ffN ,,

25


2 4 2

32 6 ....................................(1)

2

6 32

x x

y y

z z

Como (x,y,z) está en el elipsoide, entonces satisface su ecuación, es decir,

62

33

222

22

2

, de donde, como en el ejercicio anterior, obtenemos que:

37

2222

37

3762

37

62

37

24

2

1,

2

3,2),,( zyx

11.-Dada la superficie S = x2+2y

2 + 3z

2 + 2xy + 2xz + 4yz = 8, hallar los puntos en los cuales los planos

tangentes son paralelos al plano xy.

Solución:

i) Hallando la ecuación del plano 1:

)642,442,222(),,(

0842232),,(

1

222

oooooooooooo zyxzyxzyxzyxfN

yzxzxyzyxzyxf

Así, 1 : ( , , ) [( , , ) ( , , )] 0o o o o o of x y z x y z x y z

( ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 8 ..............................................(1)o o o o o o o o ox y z x x y z y x y z

ii) Por otro lado, la ecuación del plano paralelo al plano x, y es:

2 : 0 0 , .....................................................................(2)x y z c c cte

Luego, )1,0,0(,// 22121 NNN

),0,0()1,0,0()32,22,( ooooooooo zyxzyxzyx

),,0(

032

022

0

p

x

y

z

zyx

zyx

zyx

o

o

o

ooo

ooo

ooo

Hallando :

26

)22,22,0(

228432 222

p

Sp

12.-Encontrar las ecuaciones simétricas de la recta tangente a la curva de intersección de las superficies

2 2 2 2 2 2

1 2: 3 2 16 y : – 2 1S x y z S x y z en el punto (2,1, 2) . Además, hallar la

ecuación del plano normal.

Solución: 1 2: ( , , ) (2,1, 2) , dondeL x y z t a a N x N

i) Hallando a :

2 2 2 2 2 2

1 2

( , , ) 3 2 16 0; ( , , ) 2 1 0

( , , ) (6 , 4 , 2 ); ( , , ) (2 , 2 , 4 )

(2,1, 2) 2(6,2, 2); (2,1, 2) 2(2,1, 2)

F x y z x y z G x y z x y z

F x y z x y z G x y z x y z

N F N G

1 2 4 6 2 2 4 ( 5 2, 14 2, 2)

2 1 2 2

i j k

a N N

2 1 2

:25 2 14 2

x x zL

ii) La ecuación del plano normal es:

: -5 2, 14 2, 2 , , 2,1, 2 0

: 5 2 x 14 2 y 2z 6 2 0

x y z

13.-Determine la ecuación del plano tangente a la superficie z = x2 + xy que sea perpendicular a los

planos x + y – z = 3 y 2x – y + z = 4.

Solución:

)1,1,2(:

)1,1,1(:42:

3:22

1

2

1:

1

21

21

n

nzyx

zyxzyx

)3,3,0(

111

11221

kji

nxnN

Por otro lado, como NNpNNp //

1n

2n

Np

),,( zyxp

1

2

x

y

z

1S2S

2S

27

)3,3,0()1,,2(

)3,3,0(1,,

xyx

y

f

x

f

= 1/3

)1,1,0()1,,2( xyx


1

02

x

yx x = -1 y = 2

Reemplazando x e y en z = x2 + xy obtenemos que z = -1

Así. P = (-1,2,-1)

1:

333

03363

0)1(3)2(3)1(0

0)1,2,1)(3,3,0(

0)]1,2,1(),,[(*:

zy

zy

zy

zyx

zyx

zyxN

14.-Los puntos A=(2,5,3); B=(-1,-2,-3) son los extremos del diámetro de una esfera. Hallar las

ecuaciones de los planos tangentes a esta esfera en los puntos A y B.

Solución:

La ecuación de la esfera es:

2222 )()()( rwzkyhx

Hallando el centro y el radio:

2 2

2

2 1 5 2 3 3 1 3, , , , 0

2 2 2 2 2 2

1 3 94 47( , ) 1 2 (0 3)

2 2 4 2

47

2

A BC

r d C B

r

Luego, 2

47

2

3

2

1: 2

22

zyxS

Así considerándolo como una superficie de nivel:

C

B

A

28

2 2

2

1

1 3 47( , , ) 0

2 2 2

1 3 7( , , ) , (2,5,3) , , 3

2 2 2

3 7: , , 3 [( , , ) (2,5,3)] 0

2 2

F x y z x y z

F x y z x y z F

x y z

De donde 59673:1 zyx Análogamente: 35673:2 zyx

15.-Dada la ecuación de la esfera x2 + y

2 + z

2 = 4 y la ecuación de la recta

L: (x,y,z)= (4,0,0) + t (-1,1,1), t R. Determine la ecuación del plano que pasa por L y es tangente a la

esfera.

Solución:

04),,( 222 zyxzyxf

04

0),,4(*)2,2,2(

0)]0,0,4(),,[(::

4:: 222

mzqymxn

zyxqnn

zyxNpPlano

zyxSEsfera

Hallando n, m, q:

De la figura: 0)2,2,2(*)1,1,1( qmnNpa

n = m + q…………………………….. (1)

(m,n,q) S n2 + m

2 + q

2 = 4………………………………………………. (2)

(m,n,q) mn + mm + qq – 4n = 0

4 – 4n = 0 n = 1…………………………………. (3)

Reemplazando (3) en (1): 1 = m + q q = 1 – m ………………………… (4)

Reemplazando (4) y (3) en (2): 1 + m2 + 1 – 2m + m

2 = 4

2

510222 2

mmm …………… (5)

Reemplazando (5) en (4): 2

51

2

511

q

)2,2,2( qmnNp

)0,0,4(aL

PS

29

8)51()51(2

042

51

2

51:

zyx

zyx

16. Sea C = (3,4,5) el centro de una esfera que pasa por el origen. Hallar la ecuación del plano tangente en

el origen y de su plano paralelo.

Solución:

0543

01086

0)]0,0,0(),,[(*)10,8,6(:

)10,8,6(

))5(2),4(2),3(2(

50543

;50)5()4()3(

)()()(:

1

222

222

2222

zyx

zyx

zyx

Np

zyxN

r

zyx

rqzkyhxs

100543:2543: 2

2

2 zyxrzyx

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

LA DIFERENCIAL. Si 2:f U es diferenciable en U , entonces

, ; , ; , ,d f x y f x x y y f x y f x x y y f x y d f x y

,f f

df x y dx dyx y

valor aproximado.

Aplique la diferencia para calcular aproximadamente en valor de:

1) 1.2 0.98Arctag 2) 2

3.1 4.9 2.1

Solución:

1) ,f x y Arctag x y

a)Puntos cercanos: 1 , 1x y . Luego debemos calcular

, , ,f x x y y f x y d f x y . Es decir,

¿ 1.2 , 0.98 1,1 1,1 ?f f d f , donde 1,1 1,1 1,1f f

d f d x d yx y

b) calculando 1,1 , 1,1 , 1,1 ;f f

f d xx y

y d y :

)5,4,3(R

1

2

x

P y

30

1

2

2 2

2

1,1 1 1 2

11 12, 1,1

101 2 1

1 11,1

51

f Arctag Arctag

xf f

f x y Arctag x yx xx y x x y

f f

y yx y

Por lo tanto,

1.2 1.2 1 0.2

0.98 0.98 1 0.02

x x x d x

y y y d y

c) calculando 1,1d f : 1 1

1,1 0.2 0.02 0.01610 5

d f

d) 1.2 ; 0.98 1,1 1,1f f d f

1.1071

1.2 0.98 2 0.016 1.1231Arctag Arctag

, 1.2 ; 0.98 1.1231

1.1231 1.1071

0.016

Aquí f

Error

2) a) 1

2, , xf x y z y z

b) puntos cercanos: 3, 5, 2x y z .Luego debemos calcular

, , , , , ,f x x y y z z f x y z d f x y z es decir,

3.1;4.9 ; 2.1 3,5,2 3,5,2f f d f

c) calculando , , 3,5,2 , 3,5,2f f

dx dyx y

y 3,5,2

f

z

3.1 3.1 3 0.1

4.9 4.9 5 0.1

2.1 2.1 2 0.1

x x x d x

y y y d y

z z z d z

Por otro lado,

12 3

12 2

212

11

2

11

2

3,5,2 5 2 3

13,5,2 1.098

, ,1

2 3,5,2 0.37

13,5,2 0.037

x

x

x

x

f

f fy z Lm y z

x x xf x y z y z

f fy z y

y x y

f fy z

z x z

31

d) calculando 3,5,2d f ;

3,5,2 3,5,2 3,5,2 3,5,2

1.098 0.1 0.37 0.1 0.037 0.1 0.1431

f f fd f d x d y d z

x y z

e) 2

3.1 4.9 2.1 3,5,2 3,5,2 3 0.1431 2.8569f d f

Sea ,z f x y y sean x y y los incrementos de x e y respectivamente.

La diferencial de x : dx x

La diferencial de y : dy y

La diferencial de z : f f

dz dx dyx y

nota: z x d z con error máximo: z dz error

1. Usando diferenciales, calcular el máximo error que se comete al calcular el volumen de un recipiente

cilíndrico de 15cm de radio y 20cm de altura y 3mm de espesor.

Solución: 3 0,3mm cm el volumen del cilindro es: 2.V r h r h

Para 15, 20, 0,3, 0,3r h r h

el incremento del volumen del recipiente cilíndrico es:

, ,V V r r h h V r h

15 0,3 ; 20 0,3 15,20V V V

3791,7662cm

Por otro lado, la diferencia del volumen:

V V

dV dr dhr h

2

2

3

2

2 15 20 0,3 15 0,3

777,5442

r hdr r dh

r

cm

Por tanto, el máximo error cometido es:

3791,7662 777,5442 14,222V dV cm

2. Una lata de cerveza mide 12cm de alto y tiene 3cm de radio en la base. El fabricante quiere reducir la

altura en 0,2cm y el radio en 0,3cm. ¿Qué cantidad dejaran de beber los consumidores por cada lata de

cerveza?

Solución: Volumen de la lata: 2V r h

Para 3, 12, 0,3r h r y 0,2h el incremento del volumen es:

; ,V V r r h h V r h

3mm

3mm

32

3

3 0,3; 12 0,2 3,12

270,246 339,292

69,046

V V V

cm

Y la diferencia del volumen es:

V V

dV r hr h

2

2

3

2

2 3 12 0,3 3 0,2

67,858 5,655

73,513

r h r r h

cm

Por tanto los comunicadores beberán 373,513cm menos de cerveza y con un error cometido de:

3

3

69,046 73,513

4,467

V dV cm

cm

3. Estimar el porcentaje de cambio del volumen de un cilindro si el radio aumente en 1% y la altura

disminuye en 1,5%.

Solución.

Nos piden: 100% 100

100 ?%

V V Vx

V x V V

11% 0,01

100

1,51,5% 0,015

100

El volumen del cilindro es: 2V r h

El incremento del volumen del cilindro es: 1% 1,5%r r h h

Para 0,01 0,015r r h h es aproximado

2

2

2 2

2

2

2

2 0,01 0,015

2 0,01 0,015

2 0,01 0,015

0,005

V VV dV r h

r h

r h r r h

r h r r

r h r h

r h

r h

2

2

100100

0,005100

0,005 100

0,5

% 0,5%

V Vx

V V

r h

r h

x

4. Sea A el área de un triángulo con lados a y b que forman un ángulo de 60º3

. Si a disminuye

en 3% y b aumenta en 4% , estimar el porcentaje de cambio de A .

Solución:

Sabemos que op

Senhip

3

a

b

ch

33

Luego, 3

3 2

hSen

a

También, sabemos que

3 3

2 2 2 4

bh bA a ab

Por otro lado, 3 3

4 4dA b d a a d b

2

3 3 40,03 0,04 0,013 0,017 0,013 3 0,017

4 4 3

0,017 0,030

Ab a b a a

a

a A

a

5. Una placa calentada de manera irregular tiene una temperatura ,T x y en ºC en el punto ,x y . Si

2,1 135, 2,1 16xT T y 2,1 15yT , calcular la temperatura en el punto 2.04 ; 0.97

Solución: , ,T x x y y T x y dT x y

2.04 ; 0.97 2.1 2.1 2.1 135 16 0.04 15 0.03 136.09T T

T T dx dyx y

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Halle el Dominio de las siguientes funciones:

4ln, xyyxf 22 44, yxyxf

y

yxyxf

1,

22 221 1, yxsenyxf

yxyxf ,

2

21

1

1tan,

y

xyxf

2. Grafique algunas Curvas de Nivel para cada una de las siguientes funciones.

yxyxf , yxyxf ln, ´

22 925, yxyxf 22

2,

yx

xyxf

34

xyyxf , 22

),( yxeyxf

3. Demuestre usando la definición de Límite

1042lim 22

)1,3(,

yxyx

yx 53lim 2

)2,1(,

yx

yx

2lim 22

)1,1(,

yx

yx 42lim 2

)4,2(,

yxx

yx

4. Use la definición para hallar las derivadas de primer orden a las siguientes funciones.

332 3, xyxyxyxf y

xyxf

2

3,

222,, zyxzyxf xzzyyxzyxf 222,,

5. Obtenga las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones.

a) yxxyzxxzyzzy zzyyxxzyxf ,,

b)

y

xArc

x

yArcsenyxf cos,

c) 4ln2222

ln,, eeezyxf xyzzyx

d) 312

,

zy

xyzsenyxf

e) mnnmnmf 11,

f)

22

2,

yx

xyArctagyxf

6. Sea u = f (x,y) , tal que x = rcosө y = rsenө. Demuestre que:

r

senucos

r

u

x

u

y

r

cosusen

r

u

y

u

7. Demuestre que si u = ln ( x2 + y

2 ) y

x

ytanv 1

y

v2

x

u

2

y

u

x

v

8. Sea z una función de 2 variables tal que 2

1

y

xz

. Demuestre que:

0y

fy

x

fx

9. Si

y

xtanz 1

, donde x = u sen v y = u cos v.

Demuestre que u

z

= 0 y

v

z

= 1

35

10. Sea

xy

y

xt Halle

x

t

,

y

t

11. Sea f(x,y), una función de dos variables, tal que:

y

1ln2

x

1ln2

eey

x)y,x(f

Demuestre que: y,xf4y

fy

x

fx

12. Sea f(x,y), una función de dos variables, tal que:

2x

1ln

2

1yln2

ey

x)y,x(f

Demuestre que: y,xf4y

fy

x

fx

2

22

2

22

13. Sea xy22 e,yxfz , Halle x

z

,

y

z

14. Sea yxz , )x(y Halle

x

z

14. Supongamos que una montaña tiene La forma de un semielipsoide

2 2( , ) 66 4f x y x y , donde el eje X son las coordenadas este-oeste, el eje Y norte-sur y el

eje Z es la altitud sobre el nivel del mar. En el punto 2;1;7 se encuentra un andinista:

a. ¿Cuál es la ladera mas pronunciada?

b. Si el Andinista se mueve en la dirección sur-este ¿esta ascendiendo o descendiendo?¿cual es su

rapidez?

c. Si el Andinista se mueve en la dirección este ¿esta ascendiendo o descendiendo?¿cual es su rapidez?

d. En la curva de nivel apropiada ubique y dibuje el vector gradiente 2;1f

e. ¿en que dirección esta recorriendo una trayectoria de nivel?

15. Sea y una función de dos variables tal que: y + z = x + ln(y), Halle 2

2

x

y

16. Sea y una función de dos variables de modo que:

x

ytankzyxln 1222

, tal que k

= ctte, Halle 2

2

x

y

17. Demuestre que la función x

y

xexyz , satisface la ecuación

xyzy

zy

x

zx

18. Demuestre que la función zy

yxxu

, satisface la ecuación:

36

1z

u

y

u

x

u

19. Sea

t

r

zettrfln

, , halle el valor de la constante “z” que satisface la ecuación:

r

f

ttr

t

f 12

19. Demuestre que la función

x

yfxxyz , satisface la ecuación

xyzy

zy

x

zx

20. Sea u = f (x,y) , tal que x = rcosө, y = rsenө. Demuestre que:

2

2

2

2

2

2

22

2

y

u

x

uu

r

1

r

u

r

1

r

u

21. Demuestre que si )y,x(fw , y que x = rcosө, y = rsenө.

2

2

222w

r

1

r

w

y

w

x

w

22. Sea z una función de dos variables tal que, 4ln2xyzzyx eeeln222

Halle x

z

,

y

z

23. Sea

x

yhxy)xy(fw Halle

y

w

,

x

w

24. Sea x

y

y

x)y,x(f

Demuestre que: 0

y

fy

x

fx

25. Sea z una función de dos variables tal que, )e2ln(y

x 4

z

Demuestre que: 0y

zy

x

zx

26. Sea xyfy

xw Demuestre que: w2

y

wy

x

wx

27. Sea

x

yfxyw Demuestre que: w2

y

wy

x

wx

28. Sean u y v funciones de “x” e “y” tal que:

yuv

yxu

Halle y

u

,

x

u

,

y

v

,

x

v

,

2

2

x

u

,

2

2

y

u

,

xy

u2

29. Sea yyx xegey,xf . Donde g(x,y). Demuestre que: )yx(zy

fy

x

fx

37

30. Sea z una función de dos variables tal que: x + y + z = xyz

Demuestre que: x

z

xy1

y2

x

z2

2

y

z

xy1

x2

y

z2

2

31. Demuestre que la función

x

yfxxyz , satisface la ecuación

xyzy

zy

x

zx

33. Verifique si )()cos(, kxsenkatAtxf , cumple con:

2

22

2

2

x

fa

t

f

; siendo A,a,k constantes

34. Sea

ztngex

zyxf yln,

111, halle

y

f

,

x

f

35. Sea t

r

zettrf 4

2

,

, halle el valor de la constante “z” que satisface la ecuación:

r

fr

rrt

f 2

2

1

GUIA de CVV Ejercicios Resueltos y Pruestos

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