Problemasresueltosypropuestosdecalculoenvariasvariables.Integrales m ultiples_0ex2dx =2PrimeraEdicion11deMayode2011Francisco Felipe Vilches Medinafrvilche@ing.uchile.clPrefacioLapresentecolecci ondeproblemas resueltos ypropuestos tienecomoob-jetivoexponerproblemastipodeintegraci onm ultiple(materiadesarrolladaenelcursodeC alculo3enlamayorpartedelasuniversidadesdelmundo),comotambienmostrartecnicasderesoluci onquefacilitenlacomprensi onyel c alculodel temaadesarrollar, el actual documentoestadestinadotantoparaestudiantescomoparapersonasquedeseeninteriorizarseenel tema,noobstantepuedetenermayorutilidadaalumnosdel cursodeC alculoenvariasvariables,asignaturadeltercersemestredeplancom undelacarreradeingenieracivil delaUniversidaddeChile, debidoaquelosproblemasposeenunnivel dedicultadacordealoqueseesperadeunalumnodelcurso,ademasdeestarcompuestoporejerciciostantodecontrolescomodeguasdea nosanteriores, el escritoconstadedospartesfundamentales, laprimeraconstar adetreintaproblemasresueltosdondeseexhibeel metodoylasoluciondel problema, enestaprimeraetapapartiremoscondiecisie-teparaposteriormenrellegaralostreinta, lasegundaparteincluyetreintaproblemaspropuestosmuchosdeellosconsurespectivasoluci ondondeellectorpuedecomprobarsusconocimientosenlamateria,larecienteedici ondeProblemasresueltosypropuestosdecalculoenvariasvariablespuedeserampliadaenfuturosa nos, cualquierdudaosugerenciacomotambinsiencuentraerrores enel documentofavor deenviar unmail aladireccionfrvilche@ing.uchile.cl.FranciscoVilchesMedinaSantiago,11demayodel2011ParteIProblemasresueltosPROBLEMASRESUELTOS 3P1 Seanf: [a, b] Ryg: [c, d] Rcontinuas.Mostrarque:__R[f(x)g(y)]dxdy=__baf(x)dx_ __dcg(y)dy_dondeR = [a, b] [c, d].Soluci on:Consideremoslaparticionde[a, b]:a = x1< x2< ... < xn= b, talquexi+1xi=b anLuegolasumadeRiemanndefser a:Sn=n1

i=0n1

j=of(Cij)(xi+1xi)(yj+1yj)Comoyest adenidaenelmismointervaloquex,usaremoslamismaparti-ci onparay,estoes:yj+1yj=b anLuego:Sn=n1

i=0n1

j=0f(Cij)_b an_2Ahorabien,Cij [a, b] [a, b] Cij= (xi, yi).Sn=n1

i=0n1

j=0f(xi, yi)_b an_2=n1

i=0n1

j=0f(xi)g(yi)_b an_2=n1

i=0n1

j=0f(xi)_b an_g(yi)_b an_=_n1

i=0f(xi)_b an___n1

j=0g(yj)_b an__4 PROBLEMASRESUELTOSLuego,comotantogyfsonintegrablesen[a, b].S1=lmnn1

i=0f(xi)_b an_yS2=lmnn1

j=0g(yj)_b an_convergenysuslmitesnodependendelosxieyjelegidos.Porlotantosetendr a:lmnSn=lmn_n1

i=0f(xi)_b an___n1

j=0g(yj)_b an__ = S1 S2 existe, ynodependedelosCij=(xi, yj). As (escogiendolos(xi, yj) querealizanel m aximoymnimoencadarect angulo), hemos encontradounasucesi ondereticuladosSnparaloscuales:lmnSSn(f) ISn(f) = 0Luegofesintegrable.PROBLEMASRESUELTOS 5P2 Seanf, g : R2R, funciones acotadas e integrables enAR2rect angulo.Demuestreutilizandolaspropiedadesb asicasdeintegrabilidadque:12_[a,b][a,b](f(x)g(y)f(y)g(x))2=_baf2(x)dx_bag2(x)dx__baf(x)g(x)dx_2Soluci on:I =12_[a,b][a,b](f(x)g(y) f(y)g(x))2=12_ba_ba_f2(x)g2(y) 2f(x)f(y)g(x)g(y) + f2(y)g2(x)_dydx=12_ba_baf2(x)g2(y)dydx _ba_baf(x)g(x)f(y)g(y)dydx +12_ba_baf2(y)g2(x)dydx=12_baf2(x)dx _bag2(y)dy _baf(x)g(x)dx _baf(y)g(y)dy +12_baf2(y)dy _bag2(x)dx=12_baf2(x)dx _bag2(x)dx _baf(x)g(x)dx _baf(x)g(x)dx +12_baf2(x)dx _bag2(x)dx=_baf2(x)dx _bag2(x)dx __baf(x)g(x)dx_2Concluyendolopedido. (N otese que parapasar de laterceraalacuartalneaseus oel resultadoobtenidoenel P1, adem as seutiliz oel hechodequelavariableesmuda,porloquesereemplazaronxeycomovariablesdeintegraci onseg unconveniese)6 PROBLEMASRESUELTOSP3 Seaf: R2Rdeclase C2,pruebeque:2fxy=2fyxutilizandoelTeoremadeFubini.Hint: Denalafunciong(x, y)=2fxy(x, y) 2fyx(x, y), eintegresobreunrect anguloarbitrarioR R2. Luegojustiqueelhechodequeunafunci oncontinuaesnulassisuintegralcalculadasobrecualquierrect anguloesnula.Soluci on:Seag(x, y) =2fxy(x, y) 2fyx(x, y) yR=[a, b] [c, d] el rect angulodevertices(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)cona, b, c, darbitrarios,entonces:__Rg(x, y)dA =_ba_dc_2fxy(x, y) 2fyx(x, y)_dydx=_ba_dc2fxy(x, y)dydx _ba_dc2fyx(x, y)dydx=_dc_ba2fxy(x, y)dxdy _ba_dc2fyx(x, y)dydx (AplicandoFubini)=_dcfy(x, y)bady _bafx(x, y)dcdx=_dc_fy(b, y) fy(a, y)_dy _ba_fx(x, d) fx(x, c)_dx=_dcfy(b, y)dy _dcfy(a, y)dy _bafx(x, d)dx +_bafx(x, c)dx= f(b, y)dcf(a, y)dcf(x, d)ba+ f(x, c)ba= f(b, d) f(b, c) f(a, d) + f(a, c) f(b, d) + f(a, d) + f(b, c) f(a, c)= 0PROBLEMASRESUELTOS 7P4 Calcular:_20_1y2yex3dxdySoluci on:Dado que la funci on f(x) = ex3no posee primitiva elemental, la integral ite-rada no puede calcularse tal como est a por lo que necesitamos invertir el ordende integracion, la regi on de integraci on son los_(x, y)/0 y 2,y2 x 1_,de ambas desigualdades deducimos que 0 x 1 (ver nota al pie de la p agi-na)1, de la primera desigualdad se obtiene que 0 yy de la segunda y 2xluego0 y 2x,entoncesrevirtiendoelordendeintegraciontenemos:_20_1y2yex3dxdy =_10_2x0yex3dydx=_10_y22 ex3_2x0dx= 2_10x2ex3dx Usandoelc.vu = x3du = 3x2dx dx =du3x2yelT.F.C=23_10eudu=23(e 1)1Paradeterminar el dominiomaximal de xbastaver cual valor de y maximizaelintervaloenquesemuevelavariablex,enestecasoparay= 0seobtiene0 x 1queeselrangomasgrandeparax,porejemploparay=32obtenemosque34 x 1queesunsubconjuntode0 x 18 PROBLEMASRESUELTOSP5a)Seag: [0, 1] Rintegrable.Pruebeque:_10__1xg(t)dt_dx =_10tg(t)dtb)Calcular:_10__1yeyxdx_dySoluci on:a) La regi on de integraci on son los {(x, y)/0 x 1, x t 1}, de ambasdesigualdadessetieneque0 t 1,delasegundadesigualdadsetienequex tydelaprimera0 x,entonces0 x t,entonces:_10__1xg(t)dt_dx =_10__t0g(t)dx_dt=_10tg(t)dtb)Invirtiendoelordendeintegraci onsetieneque:_10__1yeyxdx_dy =_10__x0eyxdy_dx=_10_xeyxx0_dx=_1 1e__10xdx=_1 1e_ x2210=e 12ePROBLEMASRESUELTOS 9P6 Calcular:_0e5xe10xxdxHint:Escribaelintegrandodelaintegralpedidacomounaintegraldenidaparaconvertirlaenunaintegraldoble.Soluci on:Usandoel Hintentregadonotemosquef(x)=e5xe10xx=_105eyxdy,entonces:_0e5xe10xxdx =_0_105eyxdydxInvirtiendoelordendeintegraci onenla ultimaintegraltenemosque:_0e5xe10xxdx =_0_105eyxdydx=_105_0eyxdxdy=_105_eyxy_0dy=_105dyy= ln(y)105= ln(10) ln(5)= ln(2)10 PROBLEMASRESUELTOSP72Pruebeque:_0ex2dx =2Soluci on:Consideremos la funcion de dos variables f(x, y) = ex2y2= ex2 ey2y lossubconjuntosde R2B(0, R), B(0, 2R)yCR=[R, R] [R, R], notemosqueB(0, R) CR B(0, 2R)porloque:__B(0,R)ex2y2dxdy __CRex2y2dxdy __B(0,2R)ex2y2dxdy (1)Esto ultimosedebeaque (x, y) R2, f(x, y)=ex2y2>0porloqueenlasumadedeniciondelaintegral existensoloterminospositivos, esto ultimoimplicaquesi A Bentonces__A ex2y2dxdy __B ex2y2dxdy.Pasandoacoordenadaspolareslasintegralesdeladesigualdad(1)setieneque:__B(0,R)ex2y2dxdy=_R0_20e2dd = (1 eR2)An alogamente:__B(0,2R)ex2y2dxdy=_2R0_20e2dd = (1 e4R2)Por otro lado notemos que__CRex2y2dxdy=_RR_RR ex2ey2dxdy y usan-doelresultadodelP1seconcluyeque:__CRex2y2dxdy=_RR_RRex2ey2dxdy=_RRex2dx _RRey2dyPerocomolavariableesmudaseobtieneque__CRex2y2dxdy=__RRex2dx_22ElcalculodeestaintegralesespecialmenterelevanteenProbabilidades,sucalculoescomplejoynoseesperaqueunalumnolaresuelvasinusodeindicacionessinembargosepresentasudemostracionparailustrarunadelasmuchasaplicacionesdelaintegralm ultipleyjusticarlaidentidaddelaportada.PROBLEMASRESUELTOS 11Reemplazandolosc alculoshechosenladesigualdad(1)setiene:(1 eR2) __RRex2dx_2 (1 e4R2)TomandolmitecuandoR enla ultimadesigualdadtenemos:lmR(1 eR2) lmR__RRex2dx_2lmR(1 e4R2)= __ex2dx_2 UsandoelteoremadelSandwichseconcluyeque:__ex2dx_2= =_ex2dx =Notando que la funci on f(x) = ex2es una funci on par se conluye nalmenteque:_0ex2dx =212 PROBLEMASRESUELTOSP8 CalculeI=_10_1w_1yex3dxdydwIndicacion:Escriba la integral de la forma_ _ _...dydxdwintegre una vez yluegoescribalaintegralresultantecomo_ _...dwdx.Soluci on:La region de integracion cumple las desigualdades 0 w 1 (1), w y 1(2),y x 1(3), de(2)y(3)considerandoawunn umerojoseobtienequew x 1yquew y x(vernotaalpiedelap agina)3,entonces:I =_10_1w_1yex3dxdydw=_10_1w_xwex3dydxdw=_10_1w_xex3wex3_dxdwLa nueva regi on de integracion son los {(w, x)/0 w 1, w x 1}, cam-biamosnuevamenteloslmitesdeintegraci onobteniendo0 x 1, 0 w x,entonces:I =_10_1w_xex3wex3_dxdw=_10_x0_xex3wex3_dwdx=12_10x2ex3dx Usandoelc.vu = x3du = 3x2dx dx =du3x2yelT.F.C=16_10eudu=e 163Notemos que cambiar el orden de integracion en este caso es equivalente al de cambiarel ordenenunaintegral dobledondelasfuncionesdependientesdelaprimeravariable,enestecasolas funciones f(w) =wyf(w) =1presentes enladesigualdad(2), sonconsideradosn umerosjos,esdecircomosilasfuncionesestuvieranevaluadasporalg unnumerowpertenecientealdominiodadoparaw,enestecasow [0, 1]PROBLEMASRESUELTOS 13P9 Unapir amideest alimitadaporlostresplanoscoordenadosyelplanox +2y +3z= 6.Representar els olido y calcular suvolumenporintegracionm ultiple.Soluci on:El planox + 2y + 3z=0intersectaal planoz=0enlarectadeecuaci onx + 2y= 6,esta ultimarectaintersectaalejexenelpuntodecoordenadas(6, 0, 0), deestosededucequeloslmitesdeintegraci onseran0 x 6,0 y 3 x2,0 z 2 x3 2y3 ,entonces:V =_60_3x20_2x32y30dzdydx=_60_3x20_2 x3 2y3_dydx=_60_2_3 x2_x3_3 x2_(3 x2)23_dx=_60_x212 x + 3_dx=_x336 x22+ 3x_60= 614 PROBLEMASRESUELTOSP10 Calcular el volumen del solido bajo el plano 3x+8y +6z= 24 y sobrela regi on del plano XY limitada por la par abola y2= 2x, la recta 2x+3y= 10yelejex.Soluci on:Notemos quelas curvas del planoXYseintersectanenel puntodecoor-denadas (2,2,0) por loquelaregi ondel planoXYpuedeser descritapor_(x, y)/0 y 2,y22 x 5 3y2_,naturalmente0 z 4 4y3 x2,en-tonces:V =_20_53y2y22_44y3 x20dzdxdy=_20_53y2y22_4 4y3x2_dxdy=_20_4x53y2y224xy353y2y22x2453y2y22_dy=_20_y416+23y3916y210712y +554_dy=y58020+y4620316y32010724y220+554y20=25+83 32 1076+552=33730PROBLEMASRESUELTOS 15P11 Calcularelvolumendels olidobajoelplanoz=4xyqueest asobrelacircunferencuiax2+ y2= 16.Soluci on:El recintodeintegraci onsatisfacelas ecuaciones encoordenadas cartesia-nasx2+ y2 16(parteinternadelcilindro),z 0(partesuperioralplanoXY)y z 4x (parte inferior al plano z= 4x), pasando a coordenadas polaresestasinecuacionessetienequeel recintodeintegracioncumple 4 (1),z 0 (2), z 4cos() (3), dado que z 0 y 0 se tiene que cos() 0(por(3))paratodoslospuntosdelrecinto(puesz 0)luego 2 2dadoqueen(2)yen(3)eslibresetieneque0 4por ultimode(2)y(3)seobtiene0 z 4cos(),resumiendo,loslmitesdeintegracionson:0 4, 2 2,0 z 4cos(),entonces:V =_40_ 22_4cos()0dzdd=_40_ 2242cos()dd= 4_402(sin())22d= 8_402d= 8_33_40=512316 PROBLEMASRESUELTOSP12 Hallarelvolumenlimitadoporx2+ y2+ z2= 4,x2+ y2= 3z.Soluci on:Dado que la esfera de ecuacion x2+y2+z2= 4 pone la tapa superior del re-cinto de integracion y el paraboloide de ecuaci on x2+y2= 3z pone la inferiorsededucequeelrecintoseraaquelqueencoordenadascartesianassatisfagalas ecuaciones x2+y2+z2 4 y x2+y2 3zpasando a coordenadas polareslascondicionesanterioressonequivalentesa2+ z2 4 (1)y2 3z (2),notandoqueel paraboloideintersectaalaesferaalaalturaz=1, esdeciren los puntos tales que x2+y2= 3 y z= 1, entonces el recinto de integraci onser aencoordenadaspolares0 3,0 2,23 z _4 2,la ultimadesigualdadsededucedelasdesigualdades(1)y(2),de(2)setiene23z yde(1) al despejar zconsiderandoz 0pues paratodopuntopertenecientealparaboloidesetienez 0sededucez _4 2juntandolas ultimas2desigualdadessetiene23 z _4 2,entonces:V =_30_20_ 4223dzdd=_30_20__4 233_dd= 2_30__4 233_d=_2_30_4 2d_4630= _41udu 32Usandoelc.vu = 4 2yelT.F.Cenlaintegral=1632332=196PROBLEMASRESUELTOS 17P13 Hallarelvolumenlimitadoporlassupercies(x 1)2+ (y 1)2= 1,z= xy,z= 0.Soluci on:El recinto de integracion satisface en coordenadas cartesianas las inecuaciones(x1)2+(y 1)2 1, z xy, z 0 Para este problema usaremos coordena-daspolaresmodicadas,esdecirutilizaremoslatransformacionT(, , z) =(x, y, z) = (cos() + 1, sin() + 1, z)cuyojacobianoesJ(T) = ,pasandolas inecuaciones anteriores a polares modicadas tenemos que la regi on satis-face 2 1 (1), z (1+cos())(1+sin()) (2),z 0 (3), de (1) se deduceque0 1, dadojonoexisterestricci onsobreluego0 2de(2)y(3)sededuceque0 z 1 + (cos() + sin()) + 2cos()sin(),entonces:V =_10_20_1+(cos()+sin())+2cos()sin()0dzdd=_10_20_1 + (cos() + sin()) + 2cos()sin()_dd=_10_20_ + 2(cos() + sin()) + 3cos()sin()_dd=_10_20+ 2sin()202cos()20+ 3sin2()220_d= 2_10d= 210= 18 PROBLEMASRESUELTOSP14 Hallarelvolumendelsolidolimitadoporloscilindrosx2+ y2= a2yx2+ z2= a2.Soluci on:El solidoal estarlimitadoporloscilindrosindicadoscumplelasdesigual-dadesx2+ y2a2yx2+ z2a2delaprimeraysegundadesigualdadseobserva que a x a, de la primera dado x jo se tiene que a2x2y a2x2y de la segunda se deduce que a2x2 z a2x2porloque:V =_aa_a2x2a2x2_a2x2a2x2dzdydx=_aa_a2x2a2x22a2x2dydx= 2_aa_2a22x2_dx= 4a2_aadx 4_aax2dx= 8a34x33aa= 8a38a33=16a33PROBLEMASRESUELTOS 19P15 Calcule:___R_x2+ y2+ z2dxdydzdondeR =_(x, y, z) R3|1 x2+ y2+ z2 9, 0 z _x2+ y2_.Soluci on:Usando la transformaci on T(r, , ) = (rcos()sen(), rsen()sen(), rcos())(coordenadasesfericas)conJ(T)=r2sen()setienequelaregi ondeinte-graci onsonlos1 r29 1 r 3, 0 rcos() rsen() 0 cos() sen(),como0 cos() [0,2],adem ascos() sen() 1 tan()(notandoquecos() 0para [0,2], porloquepodemosdividiraambosladosdela ultimadesigualdadsinalterarel conjuntosolu-ci on)porloque4 2, comonohayrestricci onparasetieneque0 2,entonces:___R_x2+ y2+ z2dxdydz =_31_20_ 24r3sen()dddr=_31_20r3cos()24ddr=22_31_20r3ddr=2_31r3dr=2r4431=2_81414_= 20220 PROBLEMASRESUELTOSP16 Calcule_30_40_ y2+1y2_2x y2+z3_dxdydzHint:Considereelcambiodevariableslineal:u =2x y2,v=y2,w =z3.Soluci on:Considerando la transformaci on lineal T(x, y, z) = (u, v, w) =_2x y2, y2, z3_tenemosqueJ(T) =uxuyuzvxvyvzwxwywz=1 12001200 013=16, perocomolatransformaci onvadesdelos puntos (x, y, x) a(u, v, x) ne-cesitamos |J(T)|1=6, laregi ondeintegracionsonlos(x, y, z)talesque0 z 3 (1), 0 y 4 (2),y2 x y2+ 1 (3), dividiendo(1)por3tenemosque0 z3 1 0 w 1dividiendo(2)por2setieneque0 y2 2 0 v 2comou=2xy2x=u +y2=u + v, porloquereemplazandoen(3)setienev u + v v + 1 0 u 1,entonces:_30_40_ y2+1y2_2x y2+z3_dxdydz = 6_10_10_20(u + w)dvdwdu= 12_10_10(u + w)dwdu= 12_10_u +12_du= 12_10udu + 6_10du= 12u2210+ 6u10= 6 + 6= 12PROBLEMASRESUELTOS 21P17 Unabolacentradaenel origenyderadioRsecortaporunplanohorizontal aunaalturah(0 0, a xy b, y2x2 1, x y, con0 < a < b_Solucion:12log_1+b1+a_P11 ConsidereI=_10_y0 (x2+ y2)dxdy +_21_2y0(x2+ y2)dxdya)CalculeIdirectamente.b)Dibujelaregi ondeintegraci on.c)CalculeIinvirtiendoelordendeintegraci on.P12 Unaplacademetal triangularhomogeneodemasaMtienevertices(0, 0), (1, 0), (0, 3).Encuentresumomentodeinercia,denidopor:Ix=__(x, y)y2dxdy, Iy=__(x, y)x2dxdydondeeslaregionquedenelaplacayesladensidad.PROBLEMASPROPUESTOS 25P13 Considerelaintegraliterada:_2a0__2ax2axx2f(x, y)dy_dxdondefesunafunci oncontinua.a)Hagaunbosquejodelaregiondeintegraci on.b)ExpreseIcomounaintegraliteradacambiandoelordendeintegracion.P14 Calcule:_10_1w(x w)sen(x3)dxdwSoluci on:12(1 cos(1))P15 Calcule:___R_x2+ y2+ z2dxdydzdondeR =_(x, y, z) R3|1 x2+ y2+ z2 9, 0 z _x2+ y2_P16 Sea = {(x, y) R2|x2+ y2 1, (x 1)2+ y2 1}y:T(u, v) =_uu2+ v2,vu2+ v2_a)Dibuje,encuentreydibujeDtalqueT(D) = .b)PruebequeTesinyectivaensudominio.c)Calcule__x(x2+ y2)2dxdy.P17 Calcular__D xdxdyenqueDeslaregi onacotadapor:x = y2, x = 2y y2, x = 2 2y y2Hint:Haciendoundibujobusqueuncambiodevariablesapropiado.26 PROBLEMASPROPUESTOSP18 Paracalcularlaintegral:I=_asen()0_ a2y2acot()ln(x2+ y2)dxdy, 0 < 0,dondeS= {(x, y) : x2+ y2 1}.(c)__dxdy(1+x2+y2)2, extendidaatodoel planoyacadaunode los recintoslimitadospory2= 2x.Solucion:(a)2;(b)I(p) =p1sip > 1,eI(p) = si0 < p 1;(c),22y22122.P30 Hallarlassiguientesintegralestriplesimpropias:(a) I(p, q, r) =___Ddxdydzxpyqzr, con p, q, r > 0, donde D = {(x, y, z) : 0 x, y, z 1} .(b)___R3dxdydz(x2+y2+z2+a2)2,a > 0.(c)___R3 e(x2+y2+z2)dxdydz.Solucion:(a)I(p, q, r) =1(1p)(1q)(1r)si0 < p, q, r< 1,ydivergenteenelrestodecasos;(b)2a ;(c)