Guia de Ejercicios Resueltos Certamen 2

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  • UNIVERSIDAD DEL BIO-BIO

    INGENIERIA DE TRANSPORTES 1 SEMESTRE DEL 2013

    GUIA DE EJERCICIOS RESUELTOS PARTICION MODAL

    Ejercicio 1

    Usted requiere estimar cuantas estudiantes usaran bicicletas en vez de preferir caminar.

    Para ello, usted requiere estimar un modelo de particin modal que considere dos

    alternativas: caminata y bicicleta.

    a) Encuentre una especificacin de las funciones de utilidad de este modelo, asumiendo que se proyecta cobrar $P por cada vez que se utiliza la bicicleta. Su

    modelo debe como mnimo ser capaz de estimar valores subjetivos del tiempo de

    viaje de los estudiantes. Explicite claramente los supuestos que utiliza para su

    especificacin propuesta.

    b) Discuta el efecto que tendra en su modelo, el cambio de lugar de algunas clases impartidas, en particular en lo que respecta a los coeficientes.

    c) Utilizando la especificacin explicada en la pregunta anterior, muestre cul es la utilidad marginal del tiempo y cul es el valor subjetivo del tiempo (VST).

    d) Muestre la expresin matemtica de la probabilidad de elegir bicicleta, sin asumir distribucin de probabilidades alguna, y utilizando la especificacin explicada en a).

    e) Si hubiera n modos, en donde se incluye la bicicleta, muestre tambin la expresin matemtica para calcular su probabilidad de eleccin, sin asumir ninguna

    distribucin en particular, asumiendo que hay independencia en las alternativas.

    f) Muestre la expresin matemtica de la probabilidad de elegir bicicleta, pero asumiendo una distribucin Gumbel para los errores estocsticos y la especificacin

    explicada en a). Qu tipo de modelo de eleccin resulta?

    g) Explique matemticamente (en forma breve) en que consiste estimar el modelo anterior con los datos discutidos en f)

    h) Utilizando el modelo estimado, plantee una expresin matemtica para calcular

    , la demanda (nmero) de estudiantes que utilizan la bicicleta en un da tipo. Sea lo ms explcito posible en su notacin.

    i) Se calcula que el proyecto de las bicicletas cuesta $N millones de pesos. Utilizando el valor subjetivo del tiempo estimado VST, encuentre cual debe ser la demanda

    (numero) de estudiantes para el proyecto se justifique.

  • j) Utilizando (h) y (i), establezca una regla de decisin para asesorar a la persona que quiere saber si el proyecto es rentable socialmente.

    Solucin

    a) Una formulacin sencilla, es considerar una funcin de utilidad determinista, del tipo lineal, que refleje los atributos ms importantes de ambos modos. Para cada

    alternativa, las funciones de utilidad pueden ser:

    = . +

    = + .

    Consideramos que el modo caminata tiene atributos que nos conocemos, no

    consideramos o que son difciles de medir (razn para colocar una constante

    modal). Tambin consideramos que hay suficientes bicicletas para todo estudiante

    que elija este modo. Por ltimo y de forma intuitiva, consideramos que estos son los

    atributos que mayor relevancia tienen a la hora de elegir un modo sobre otro (en

    general, el costo y el tiempo son los atributos de mayor relevancia en la

    particin modal)

    b) Dependiendo de la distancia a la cual se cambian las clases, tendra efectos distintos, aunque la eleccin de modos depende de muchos otros atributos (para este

    caso, propsito del viaje, inicio del viaje, etc.) Si la distancia a la cual se cambiaron

    las clases aumenta, se esperara que la eleccin favorezca el modo bicicleta. Lo

    contrario ocurrira si las distancias disminuyen, es decir se favorecera el modo

    caminata. Notemos que estos cambios no afectan a los coeficientes, debido a que

    cambian los atributos, razn por la cual se realiza un modelo de este tipo. Pero si

    realizramos una estimacin de los coeficientes, con la condicin expuesta, es

    probable que estos coeficientes cambien.

    c) La utilidad marginal, de cualquier ndole, representa cuanto cambia la utilidad si se

    aumenta o se disminuye en una unidad el valor de un atributo. En particular para

    nuestra formulacin, la utilidad marginal del tiempo ser para cada modo:

    El valor subjetivo del tiempo VST, nos indica cuanto cuesta el tiempo en unidades monetarias y se calcula como la razn entre la utilidad marginal del

    tiempo y del costo

    d) Recordemos que la teora de la utilidad aleatoria, asume se tiene una componente de

    error , con una cierta distribucin de probabilidades. De la teora de distribuciones

  • de probabilidades, la funcin de densidad (la que describe la distribucin) a travs

    de la funcin de distribucin acumulada (al integrar bajo un cierto valor), nos

    entrega la probabilidad de eleccin. Para dos modos cualesquiera tenemos:

    ( (1 2)) = ()12

    Para el modo bicicleta, tenemos que:

    = ()

    e) De forma anloga a la pregunta anterior, si asumimos la probabilidad de eleccin del modo bici, para n modos tenemos:

    La expresin anterior es igual a:

    2

    3

    (2,, 3,

    , ,)(2,, 3,, , ,)

    k es el conjunto de todos los modos, excepto la bicicleta

    Si hay independencia de las alternativas, error en la estimacin de la probabilidad de

    eleccin de la bicicleta, no depende de los errores en los otros modos, as:

    : 3

    (2,)(3,)

    (,)(2,)(3,) (,)2

    f) Si se los errores se distribuyen Gumbel, es decir su funcin de densidad es:() =

    Por lo que la probabilidad de eleccin del modo bicicleta ser:

    g) Implica maximizar la funcin de verosimilitud, que corresponde a la multiplicacin

    de las probabilidades de elegir el modo que fue en la realizad elegido, encontrando

    los coeficientes de las funciones de utilidad, antes especificadas. Se elige este mtodo estimador, en vez de la regresin lineal, debido a que la variable

    dependiente (la eleccin), es discreta, por lo que la regresin lineal no es vlida (es

    vlida cuando las variables aleatorias son discretas)

  • h) La demanda de estudiantes que utilizarn la bici, ser: = en donde T es la cantidad total de viajes que se realizan tanto en bicicleta como a pie (un buen

    estimador es simplemente la cantidad total de estudiantes) y es la probabilidad de usar bicicleta, segn el modelo de particin modal anterior

    i) El proyecto que se plantea se justifica si la inversin es menor o igual que el ahorro total en tiempo de viajes de los estudiantes, es decir:

    $ =

    $

    $

    Es decir para que el proyecto sea rentable, la demanda por la bicicleta, debe ser

    mayor a la razn entre el monto de inversin y el VST.

    j) De las preguntas anteriores se tiene: $

    $

    Problema 2

    Usted est interesado en estimar la eleccin del modo de viaje al centro de Concepcin de

    funcionarios pblicos que viven en San Pedro de la Paz. Usted ha recolectado informacin

    de 100 individuos respecto a los tres modos principales: Auto, Bus y Bus-Biotrn

    combinado. Asuma que las tres primeras observaciones son las siguientes:

    a) Escriba explcitamente la forma funcional de la utilidad del individuo 1 para la

    alternativa Bus- Biotrn

    b) Escriba explcitamente la forma funcional de un modelo MNL (Logit Multinomial) til para modelar la probabilidad de que un individuo 2 elija la alternativa bus

    (Puede escribir las funciones de utilidad de manera sinttica, explicando su

    notacin).

    c) Escriba la funcin de verosimilitud correspondiente, necesaria para estimar los coeficientes de la funcin de utilidad. Sea explcito en cmo se incorporan los datos

  • de los tres individuos anteriores, aunque puede escribir las funciones de utilidad de

    manera sinttica, explicando su notacin.

    d) Dos modelos han sido estimados, uno MNL (Logit Multinomial) y otro HL (Logit jerrquico) (entre parntesis, se muestra el test t). Critique brevemente la calidad de

    cada uno de ellos.

    Coeficiente MNL HL

    Constante modal auto 0.33 (2.3) 0.34 (2.9)

    Constante modal bus 0.14 (2.7) 0.34 (2.9)

    Costo -0.001 (-1.6) -0.002 (-1.6)

    Tiempo de viaje en

    vehculo

    -0.025 (-2.5) -0.046 (-2.6)

    Tiempo de acceso y espera -0.040 (-2.5) -0.046 (-2.9)

    Coeficiente (nido de transporte pblico)

    0.6 (0.8)

    e) Escriba el valor subjetivo del tiempo de viaje en vehculo del individuo 1, segn cada modelo. Escriba el valor subjetivo del tiempo de acceso y espera del individuo

    2, segn cada modelo.

    f) Utilizando los datos del modelo MNL y sin calcular la probabilidad explcitamente, comente qu escenario es ms favorable para la particin modal del bus del

    individuo 1

    Solucin:

    a) La funcin de utilidad queda de la forma: = +

    que representa la utilidad del usuario n para la alternativa i, es la parte funcional y es el error en los atributos (atributos no considerados o mal medidos).Tambin podemos formular como:

    = + ,, + .,., + . .

    Dnde:

    : Constante modal del bus-biotrn para el individuo i ,: Parmetro del costo del bus-biotrn para el individuo i .,: Parmetro del tiempo de viaje del bus-biotrn para el individuo i

    . : Parmetro del tiempo de acceso y espera del bus-biotrn para el individuo ,: Valor del atributo j (costo, TV, TA) para el individuo i.

    Por ejemplo, para el individuo 1 el modo Bus-Biotren, su utilidad determinstica

    ser:

  • 1 = 1 + ,1 630 + .,1 60 + . 15

    b) La forma funcional del Logit Multinomial, surge de considerar que los errores se distribuyen Gumbel, asi:

    =exp ()

    exp () (Probabilidad de que el individio i escoja la alternativa n)

    De forma ms especfica se tiene que:

    ,2 =exp (,2)

    exp(,2) + exp(,2) + exp (,2)

    Nota: Notemos que general, el parmetro , esta presente en la formulacin del Logit (que representa la media de la distribucin Gumbel, pero no se puede estimar por separado de , por lo que se estima un *=, considerndolos como un solo coeficiente)

    c) La funcin de mxima verosimilitud, en general se representa:

    =1

    = ()

    con indica si el modo i fue elegido por la persona n. Si fue elegido el modo i = 1, sino vale 0

    Para este caso:

    = ,1,2,3

  • d)

    e) Los valores subjetivos del tiempo de viaje para ambos casos sern:

    f) Un aumento del tiempo de viaje en automvil de un 50% o una disminucin de la tarifa en un 50%.

  • PROBLEMA 3

    a) Suponga que usted est estudiando la generacin de viajes en una cierta ciudad, para lo

    cual utiliza un modelo de anlisis por categoras, basado en una encuesta de viajes, en que

    ha dividido los hogares segn nmero de personas y tasa de motorizacin. Se tiene una

    muestra que corresponde al 10% de la poblacin. Los resultados se reportan en las tablas

    siguientes:

    Distribucin de hogares en la muestra

    N de

    personas

    Tasa de motorizacin

    0 1 2 ms Total

  • 2413421 XXZV M2

    donde la nueva variable es:

    casootroen

    autosmstienehogarelsiX

    0

    212

    cul es el signo esperado de los parmetros beta y qu relaciones de orden se puede establecer

    entre ellos? Adems, seale cmo se espera que sea 1 en relacin a la constante del modelo M1.

    Explique.

    Solucin

    a) Primero se calculan las tasas de generacin de viajes por hogar:

    Tasas de generacin de viajes

    n de personas Tasa de motorizacin

    0 1 2 ms

  • 2 5 3 170* * 4.20 70* *7.10 70* *3.32 70* *5.12 702.9

    7 7 4 4V viajes

    b) Como los modelos estn calibrados con variables Dummy, los parmetros (o suma de

    ellos) representan directamente los viajes generados por una categora de hogar.

    Opcin 1

    Para un hogar sin autos y menos de 4 personas (A), no se activa ninguna variable, luego

    01 V , necesariamente.

    Para un hogar con 1 auto y menos de 4 personas, 31 V (1). Lgicamente, estos

    hogares generan ms viajes que (A) 03

    Para un hogar con dos o ms autos y menos de 4 personas, 41 V (2), por la

    misma razn que el caso anterior 04

    Por ltimo, para un hogar sin autos con ms de 4 personas: 21 V , que al tener

    ms personas que (A) tambin genera ms viajes 02

    Uniendo (1) y (2), y sabiendo que un hogar con 2 ms autos genera ms viajes que uno con 1

    auto, 34 . Los dems parmetros son incomparables.

    Por construccin, la constante de M1 representa los viajes generados por hogares con menos de 4

    personas y 2 ms autos, mientras la constante de M2 ( 1 ) representa los viajes de un hogar sin

    autos y menos de 4 personas. Luego, por la variable tasa de motorizacin, 23.51

    Opcin 2

    4 0 1

    1 2 4 3 1 4 2

    1: 5.23 1.59 1.5 0.6

    2 :

    M V Z X X

    M V Z X X

    Evaluando en M1 para cada categora e igualando con lo obtenido de M2, se tiene que:

  • Hogares con menos de cuatro personas y sin auto:

    1

    1

    1: 5.23 1.5 3.733.73

    2 :

    M V

    M V

    Hogares con menos de cuatro personas y 1 auto:

    3 1

    1 3

    1: 5.23 0.6 4.634.63 4.63 3.73 0.9

    2 :

    M V

    M V

    Hogares con menos de cuatro personas y 2 o ms autos:

    4 1

    1 4

    1: 5.235.23 5.23 3.73 1.5

    2 :

    M V

    M V

    Hogares con 4 o ms personas y sin auto:

    2 1

    1 2

    1: 5.23 1.59 1.5 5.325.32 5.32 3.73 1.59

    2 :

    M V

    M V

    Lo cual era esperable, dado que es la misma variable para ambos modelos.

  • PROBLEMA 4