Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MATEMÁTICA IV

SECCIÓN: 03

CICLO 02/2014

ING. EDUARDO ESCAPINI.

GUIA DE EJERCICIOS SUGERIDA SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Parte I.

En los siguientes ejercicios defina el orden y la linealidad de la ecuación diferencial presentada.

1)

2)

3)

4)

Comprobar que las siguientes funciones son soluciones de las ecuaciones indicadas.

1)

2)

3)

4)

Calcule los valores de m tales que , sea solución de cada ecuación

diferencial.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

1)

2)

Determine los valores de m tales que , sea solución de cada ecuación

diferencial.

1)

2)

Hallar la E.D cuya solución es conocida:

1)

2)

PARTE II. Hallar la solución general o particular de las E.D. dadas:

Indicaciones: A continuación se pide resolver los problemas de Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables (E.D.V.S), Homogéneas (E.D.H), de Coeficientes Lineales (E.D.C.L), Exactas (E.D.E), con Factor Integrante (E.D.F.I), Lineales (E.D.L), de Bernoulli (E.D.B), y de Ricatti (E.D.R); ya identificadas.

Ejercicios E.D.V.S

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ejercicios de E.D.H.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ejercicios E.D.C.L

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ejercicios E.D.E

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

9) Determine el valor de K y resuelva la siguiente E.D si es exacta. .

10) Determine la función , tal que la siguiente ecuación

diferencial sea exacta. .

A veces es posible transformar una ecuación diferencial no exacta, en una exacta multiplicándola por un factor integrante . En los siguientes problemas se pide

comprobar que la función , sea un factor integrante de la ecuación diferencial.

1)

2)

3)

Ejercicios de E.D.F.I

1)

2)

3)

Ejercicios E.D.L

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ejercicios de E.D.B

1)

2)

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

3)

4)

5)

6)

Ejercicios E.D.R

1)

2)

3)

4)

5)

PARTE III. A continuación se presentan una serie de ejercicios de los cuales se le pide que halle la solución general o particular para cada una de las ecuaciones diferenciales planteadas.

1. ;

solución:

2.

3. ;

solución: =c

4.

5. , para y(0)=6 ;

solución:

6.

7. ;

solución: - =

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8.

9. , para y(-3)=0 y sabiendo que: ;

solución:

10.

11. ;

solución:

12.

13. ;

solución:

14.

15. , para y(1)=4;

solución:

16.

17. ;

solución:

18.

19. ;

solución:

20.

21. ;

solución:

22.

23. ;

solución:

24.

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25. ;

solución:

26.

27. ;

solución:

28. ;

solución:

No resueltas para la primera derivada.

1. (y’)3-y’=1+x, Sol. x=p3-p-1, y=

2.

3.

4.

5. Y=m(y’)2+n(y’)3, m y n son constantes. Sol. x=2mp+ , y=mp2+np3

6.

Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dadas.

a)

b)

c)

d)

e)

Encontrar las trayectorias isogonales de la familia de curvas dadas.

1)

2)

3)

4)

5)

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Aplicaciones:

Se sabe por observaciones experimentales, que para una precisión satisfactoria en muchas circunstancias, la temperatura de la superficie de un objeto cambia con una rapidez que es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la de sus alrededores (temperatura ambiente). Esto es algunas veces conocido como la “Ley de Enfriamiento de Newton”. Encuentre la ecuación diferencial que obedece la ley de Newton y aplíquela para resolver los siguientes problemas.

a) Si la temperatura del aire es 28°C y la sustancia se enfría de 100°C a 80°C en 12 minutos, ¿en qué momento estará a una temperatura de 50°C?

b) Supóngase que la temperatura de una taza de café es de 200°F inmediatamente que ha sido hervida. Un minuto después se ha enfriado a 190°F en un cuarto a 70°F. ¿Qué período debe transcurrir (suponiendo que es aplicable la ley de enfriamiento de Newton), para que el café esté a 150°F?

c) Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior, en donde la temperatura del aire es de 5°F. Después de 1 minuto el termómetro marca 55°F y después de 5 minutos marca 30°F. ¿Cuál fue la temperatura inicial de la habitación?

Si se sabe que una población de cualquier índole aumenta en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de individuos presentes en dicho instante. Resuelva cada uno de los siguientes problemas que se le plantean.

i) En cualquier tiempo t la cantidad de bacterias en un cultivo crece a razón proporcional al número de bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 bacterias, después de 10 horas hay 2000 especímenes, ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?

ii) Una estimación de la tasa de crecimiento de cierta población es de 1.5% por año. ¿Cuántos años tomará para que la población se duplique?

iii) Se espera que la población del mundo se duplique en los siguientes 30 años ¿Cuál es la tasa de crecimiento?

iv) El tiempo para duplicarse cierto virus es de 3 años. ¿Cuánto tiempo tomará que el virus aumente 10 veces su nivel de población actual?

v) Un cultivo de bacterias duplica su población cada 4 horas. Si la población inicial es de 100, hallar una expresión para la población en cualquier tiempo. Determinar cuando llegara a 6000 la población.

vi) En una explotación ganadera de 1,000 cabezas de ganado se detecta un animal contagiado de un virus. Se supone que la rapidez con la que el virus se propaga es proporcional al producto de la cantidad de animales contagiados y el tiempo transcurrido. Hallar el momento en el cual todos los animales han sido contagiados si se observa que después de 4 días hay 10 animales con el virus.

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SOLUCIONES:

1) Un gran depósito está lleno con 500 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb de sal por galón se bombea al tanque a razón de 5 gal/min; la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. Luego determine la concentración de la mezcla que sale del tanque 3 minutos después.

2) Si un tanque contiene 200 litros de un líquido y en éste se disuelven 30 gramos de sal.

Una salmuera que contiene 1 gramo de sal por litro se bombea al tanque con una intensidad de 4 litros por minuto. La solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentre el número de gramos de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.

3) Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galón a un tanque que inicialmente contiene 400 galones de cerveza con un 3% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interior con una rapidez de 3 gal/min, en tanto que el líquido mezclado se extrae con una rapidez de 4 gal/min.

a) Obtenga el número de galones de alcohol que hay en el tanque en un instante cualquiera.

b) ¿Cuál es el porcentaje de alcohol que hay en el tanque después de 60 minutos? c) ¿Cuánto demorará el tanque en vaciarse?

4) Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb de sal

disuelta. A dicho tanque le entra salmuera con 0.5 lb de sal por galón y a razón de 6 gal/min. El contenido del tanque está bien mezclado y de él sale a razón de 4 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos.

5) Supóngase que una gota de lluvia esférica se evapora a una rapidez proporcional a su

área superficial. Si su radio original es de 3 mm y una hora después se ha reducido a 2 mm. Determinar una expresión para el radio de la gota en función del tiempo.

6) Una alberca cuyo volumen es de 10,000 L contiene agua con el 0.01% de cloro. Empezando en t=0, desde la ciudad se bombea agua que contiene 0.001% de cloro, hacia el interior de la alberca a razón de 5L/min, y el agua de la alberca fluye hacia el exterior a la misma velocidad. ¿Cuál es el porcentaje de cloro en la alberca al cabo de una hora? ¿Cuándo tendrá el agua de la alberca 0.002% de cloro?

7) La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a razón de 3 cm3/seg, y sale de él a la misma velocidad. El órgano tiene un volumen líquido de 125 cm3. Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el órgano es de 0.2 gr/cm3, ¿Cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante t, si

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inicialmente no había vestigio alguno del medicamento? ¿Cuándo la concentración del medicamento en el órgano será de 0.1 gr/cm3?

8) El aire del interior de un pequeño cuarto con dimensiones de 12x8x8 metros contiene un 3% de monóxido de carbono. Empezando en t=0, se sopla aire fresco que no contiene monóxido de carbono, hacia el interior del cuarto a razón de 100 m3/min. Si el aire del cuarto sale al exterior a través de una abertura a la misma velocidad, ¿Cuándo tendrá el aire del interior del cuarto 0.01% de monóxido de carbono?

9) Una solución de salmuera de sal fluye a razón constante de 4L/min, hacia el interior de un depósito que inicialmente contiene 100L de agua. La solución contenida ene l depósito se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior a razón de 3L/min. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de 0.2kg/L, determinar la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de t minutos. ¿En qué momento la concentración de sal contenida en el depósito será de 0.1kg/L?

10) Un gran depósito está lleno con 500 litros de agua pura. Una salmuera que contiene 2 gramos de sal por litro de agua, se bombea al interior a razón de 5L/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Hallar la cantidad de gramos de sal que hay en el depósito en un instante cualquiera. Resolver este mismo problema suponiendo que la solución se extrae con una rapidez de 10L/min, y calcular cuánto tiempo pasará para que se vacíe el depósito.

CAÍDA LIBRE

i) Un cuerpo de masa 73kg se suelta a una altura de 30.5 metros. Asumiendo que no hay resistencia del aire hallar:

a) Una expresión para la velocidad del cuerpo en un momento t.

b) Una expresión para la posición del cuerpo en un momento t.

c) El tiempo requerido por el cuerpo para llegar al suelo.

ii) Un objeto de 4N de peso se deja caer por su propio peso desde una altura de 1,000 metros. En su trayectoria encuentra una fuerza de rozamiento producida por el viento que es proporcional a la velocidad que lleva en cada instante, con constante de proporcionalidad igual a 0.05. Encontrar las ecuaciones de la velocidad y la posición para cualquier instante. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que alcanza una velocidad de 73 m/seg? ¿A qué altura se encuentra del suelo en ese instante?