Introducción a los sistemas de EDOs lineales

Introducción a los SLs

Introducción a los sistemas de EDOs lineales

Rafael Ramírez Ros

Métodos Matemáticos 1


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1 Definiciones

2 Problemas de concentracionesUn depósitoDos depósitosTres depósitos

3 Problemas de muellesMuelle clásicoPéndulo de Wilberforce


Definiciones

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1 Definiciones




Definiciones

Formulación inicial

Un sistema lineal (SL) de primer orden es un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias lineales (EDOLs) deprimer orden de la forma

x ′1 = a11(t)x1 + · · · + a1n(t)xn + b1(t),x ′2 = a21(t)x1 + · · · + a2n(t)xn + b2(t),

......

......

x ′n = an1(t)x1 + · · · + ann(t)xn + bn(t),

donde t es la variable independiente y ′ = d/dt .Datos: Coeficientes aij(t) y términos no homogéneos bi(t),que son funciones continuas en algún intervalo I ⊂ R.Incógnitas: Funciones x1(t), . . . , xn(t).


Definiciones

Formulación matricial

Escribiremos el SL anterior como x ′ = A(t)x + b(t), donde

x =

x1...

xn

, A =

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

, b =

b1...

bn

.


Definiciones

Tipos de SLs

El sistema es homogéneo si y sólo si b(t) ≡ 0.SLH = Sistema Lineal Homogéneo.SLNH = Sistema Lineal No Homogéneo.El sistema es a coeficientes constantes si y sólo si loscoeficientes aij(t) (y, por tanto, la matriz A(t)) sonconstantes (es decir, no dependen de t).n es la dimensión del sistema.


Problemas de concentraciones

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1 Definiciones





Un depósito

Un único depósito: Unidades, parámetros & incógnita

Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Parámetros: r = caudal salida/entrada, γ = concentraciónde una sustancia X en la entrada y V = volumen.Incógnita: c(t) = concentración de X en el instante t

- -

r m3/h

γ kg/m3

r m3/h

c(t) kg/m3

V m3

c(t) kg/m3

Figure: Un único depósito con una salida y una entrada.



Un depósito

Un único depósito: Hipótesis & modelización

Primera hipótesis: El volumen V se mantiene constante,luego el caudal de salida es igual a r .Segunda hipótesis: La sustancia se distribuye de formainmediata y uniforme por todo el depósito, luego laconcentración de salida es igual a c(t).Cantidad dentro = Vc(t) kg→ variación = Vc′(t) kg/h.Entrada = rγ kg/h. Salida = rc(t) kg/h.Vc′ = variación = entrada− salida = rγ − rc, luego

c′ = −pc + pγ,

donde p = r/V = porción del depósito que se renueva porhora (tiene unidades 1/h).



Un depósito

Un único depósito: PVI, solución & interpretación

Para encontrar la concentración c(t) necesitamos conocerla concentración inicial c(0) = c0.La solución del problema de valor inicial (PVI)

c′ = −pc + pγ, c(0) = c0,

esc(t) = γ + e−pt (c0 − γ).

Interpretación: Independientemente de cuál sea laconcentración inicial, la concentración dentro del depósitotiende a igualarse a la concentración de entrada.La EDO c′ = −pc + pγ es un SLNH 1D a coeficientesconstantes.



Dos depósitos

Dos depósitos: Unidades, parámetros & incógnitas

Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Parámetros: r = caudal trasvase, Vj = volumen depósito j .Incógnitas: cj(t) = concentración depósito j , instante t .

-r m3/h

r m3/h

c1(t) kg/m3

c2(t) kg/m3

V1 m3

c1(t) kg/m3V2 m3

c2(t) kg/m3

Figure: Dos depósitos conectados formando un circuito cerrado.



Dos depósitos

Dos depósitos: Hipótesis & modelización

Primera hipótesis: Los caudales de trasvase coinciden,luego los dos volúmenes se mantienen constantes.Segunda hipótesis: La sustancia se distribuye de formainmediata y uniforme en cada depósito, luego lasconcentraciones de trasvase son c1(t) y c2(t).Variación depósito j : Vjc′j (t) kg/h.Entrada depósito j : rci(t) kg/h, con i 6= j .Salida depósito j : rcj(t) kg/h.Ecuaciones de balance en cada depósito:

Primero: V1c′1 = variación = entrada− salida = rc2 − rc1,

Segundo: V2c′2 = variación = entrada− salida = rc1 − rc2.



Dos depósitos

Dos depósitos: SL & PVI

pj = r/Vj = porción depósito j que se renueva por hora.La formulación matricial de las dos EDOs anteriores es unSLH 2D a coeficientes constantes: c′ = Ac, donde

c =

(c1c2

), A =

(−p1 p1

p2 −p2

).

Para encontrar el vector concentración c(t) necesitamosconocer el vector concentración inicial c(0) = c0.Queremos resolver el PVI

c′ = Ac, c(0) = c0 =

(γ1γ2

).

Si γ1 = γ2, entonces c0 es un punto de equilibrio: Ac0 = 0,luego c(t) ≡ c0.



Dos depósitos

Dos depósitos: Solución & interpretación

Solución:

c1(t) =V1γ1 + V2γ2

V1 + V2+

V2(γ1 − γ2)

V1 + V2e−(p1+p2)t ,

c2(t) =V1γ1 + V2γ2

V1 + V2+

V1(γ2 − γ1)

V1 + V2e−(p1+p2)t .

Interpretación: Como el circuito es cerrado, ambasconcentraciones tienden a igualarse al valor

V1γ1 + V2γ2

V1 + V2,

que es la media ponderada de las concentraciones γ1 y γ2.



Dos depósitos

Dos depósitos: Cantidad conservada

S(c1, c2) = V1c1 + V2c2 = cantidad total de sustancia X enel circuito (en kg).La función S(c1, c2) es una cantidad conservada, pues suderivada temporal es idénticamente nula:

dSdt

= (V1c1 + V2c2)′ = V1c′1 + V2c′2

= (rc2 − rc1) + (rc1 − rc2) ≡ 0.

Comprobación: Evaluamos la función S(c1, c2) usando lassoluciones c1(t) y c2(t) dadas en la página anterior:

S(c1(t), c2(t)) ≡ V1γ1 + V2γ2 = S(c1(0), c2(0)), ∀t ∈ R.

Interpretación: El circuito es cerrado, luego la sustancia Xno puede entrar en el (ni salir del) circuito.



Tres depósitos

Ejercicio: Tres depósitos en circuito cerrado cíclico

Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Trasvases: 1→ 2, 2→ 3 y 3→ 1.Parámetros: r = caudal, Vj = volumen depósito j .Incógnitas: cj(t) = concentración depósito j , instante t .Primera hipótesis: Los caudales de trasvase coinciden,luego los volúmenes se mantienen constantes.Segunda hipótesis: La sustancia se distribuye de formainmediata y uniforme en cada depósito.Ejercicio: Escribir el SLH 3D a coeficientes constantes quemodela este problema, buscar sus puntos de equilibrio yconjeturar las concentraciones límite.



Tres depósitos

Ejercicio: Tres depósitos en un circuito no cerrado

Suponiendo que los tres volúmenes se mantienen constantes,plantear el SLNH 3D a coeficientes constantes que modela elsiguiente circuito y conjeturar las concentraciones límite.

-

-

-

-

-

e1 kg/m3

r1 m3/h

e2 kg/m3

r2 m3/h

V1 m3

c1(t) kg/m3

V2 m3

c2(t) kg/m3

V3 m3

c3(t) kg/m3

Figure: Tres depósitos conectados en circuito no cerrado.


Problemas de muelles

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1 Definiciones





Muelle clásico

Muelle clásico: Descripción & hipótesis

Una masa cuelga de un muelle vertical y oscilaverticalmente.Hipótesis: La fuerza de recuperación del muelle esproporcional (y tiene sentido opuesto) al desplazamientodesde la posición de equilibrio (Ley de Hooke).Hipótesis: La fuerza de fricción es proporcional a lavelocidad y tiene sentido opuesto.



Muelle clásico

Muelle clásico: Parámetros, incógnitas & modelización

Parámetros:m = masa,λ = constante de Hooke,µ = coeficiente de fricción.

Incógnita: y(t) = desplazamiento vertical desde elequilibrio (teniendo en cuenta la masa).Modelización (segunda ley de Newton):

my ′′ = masa × aceleración =∑

fuerzas = −µy ′ − λy .

Ejercicio: ¿Por qué no aparece el peso P = mg en laanterior suma de fuerzas?



Muelle clásico

Muelle clásico: SLH 2D & tipos de oscilaciones

Introduciendo la nueva incógnita z = y ′, transformamos laanterior EDOLH de segundo orden en el SLH 2D

y ′ = zz ′ = −λy/m − µz/m

Escribiremos el SLH 2D anterior como x ′ = Ax , donde

x =

(yz

), A =

(0 1

−λ/m −µ/m

).

Los VAPs de A determinan el comportamiento del muelle:oscilaciones armonicas (VAPs imaginarios puros),sub-amortiguadas (VAPs complejos conjugados),criticamente amortiguadas (VAP real doble) ysobre-amortiguadas (VAPs reales simples).



Muelle clásico

Muelle clásico: Conservación de la energía

La energía mecánica total del muelle es

E(y , z) =m2

z2 +λ

2y2.

donde mz2/2 es la energía cinética y λy2/2 es la energíapotencial elástica.Ejercicio: Comprobar que si no hay fricción: µ = 0,entonces el sistema conserva la energía mecánica.Indicación: Derivar la energía mecánica E(y , z) respecto ty comprobar, usando las dos ecuaciones del sistema, quesu derivada es idénticamente nula.Consecuencia: Cuando la energía cinética crece/decrece,la energía potencial elástica decrece/crece.



Péndulo de Wilberforce

Péndulo de Wilberforce: Descripción & hipótesis

Descripción: Una masa cuelga de un muelle flexible enforma de espiral, luego puede oscilar verticalmente otorsionalmente (girando).Hipótesis: El acoplamiento entre los dos tipos demovimiento consiste en que cada uno de ellos ejerce sobreel otro un efecto proporcional a su propio desplazamiento,con una constante de proporcionalidad común ε.




Péndulo de Wilberforce: Parámetros & incógnitas

Parámetros:m = masa,I = momento de inercia,λ1 = constante de Hooke del movimiento vertical,λ2 = constante de Hooke del movimiento torsional,µ1 = coeficiente de fricción del movimiento vertical,µ2 = coeficiente de fricción del movimiento torsional,ε = pequeño parámetro de acoplamiento.

Incógnitas:y(t) = desplazamiento vertical desde el equilibrio,θ(t) = desplazamiento torsional desde el equilibrio.




Péndulo de Wilberforce: Modelización & reducción

Modelización (segunda ley de Newton):my ′′ = −µ1y ′ − λ1y + εθ

Iθ′′ = −µ2θ′ − λ2θ + εy

Introduciendo las dos incógnitas auxilaresz = y ′ = velocidad vertical,Ω = θ′ = velocidad angular,

reducimos el anterior sistema de segundo orden al SLH4D de primer orden a coeficientes constantes

y ′ = zz ′ = −λ1y/m − µ1z/m + εθ/mθ′ = ΩΩ′ = −λ2θ/I − µ2Ω/I + εy/I




Péndulo de Wilberforce: Formulación matricial

Escribiremos el SLH 4D anterior como x ′ = Ax , donde

x =

yzθΩ

, A =

0 1 0 0

−λ1/m −µ1/m ε/m 00 0 0 1ε/I 0 −λ2/I −µ2/I

.

Los VAPs de A determinan el comportamiento del péndulo.Por ejemplo, si m = I = 1, λ1 = λ2, µ1 = µ2 = 0, ε espequeño y fijamos los valores iniciales

y(0) = 1, θ(0) = z(0) = Ω(0) = 0,

se obtiene una transferencia de energía entre los modosvertical y torsional, como se ve en este video de Youtube.

https://www.youtube.com/watch?v=S42lLTlnfZc




Péndulo de Wilberforce: Ejercicio

La energía mecánica total del péndulo de Wilberforce es

E(y , z, θ,Ω) =m2

z2 +I2

Ω2 +λ1

2y2 +

λ2

2θ2 − εyθ.

Ejercicio: Reconocer cada uno de los cinco sumandos dela expresión anterior.Ejercicio: Comprobar que si no hay fricción: µ1 = µ2 = 0,entonces el sistema conserva la energía mecánica.Indicación: Derivar la energía mecánica E(y , z, θ,Ω)respecto t y comprobar, usando las cuatro ecuaciones delsistema, que su derivada es idénticamente nula.Consecuencia: Cuando la energía del modo verticalmz2/2 + λ1y2/2 es grande/pequeña, la energía del modotorsional IΩ2/2 + λ2θ

2/2 es pequeña/grande.

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