Librocalculo y Edos

CALCULO INTEGRAL

41. INTEGRACION. Muchas de las aplicaciones de cálculo están relacionadas con el problema inverso así: La inversa de la multiplicación es la división, la inversa de la potencia la radicación, etc. Integrar una función es buscar una función original o función primitiva a partir de una derivada propuesta. La integración es la inversa de la derivación. Para identificar la integración, se utiliza el signo de la suma “deformado”, este signo fue la primera representación de la suma.

El cálculo integral podríamos expresarlo como: "Dado el diferencial de una función hallar su función original" La función que se obtiene se denomina Integral de la expresión diferencial dada. El procedimiento para hallar dicha integral se denomina Integración.

42. FORMULAS DE INTEGRACION Previo a la definición de reglas o fórmulas de integración se debe recordar que la constante puede escribirse delante del signo de integración así también, la integral de una suma algebraica es igual a la misma suma algebraica de sus términos.

Cdxyy

dxydy

dxdy

y

1

'́

1

xx

x

x

x

dx

dxdy

y

y

32

2

2

3

3

3

3'

wdvdudwdvdu

dxaadx

)(

Matrices y Cálculo Diferencial e integral 2 Ing. M.Sc. Washington Medina G.

Fórmulas elementales de integración

NOTA. Si bien es cierto que toda función es factible de derivarla, no toda integración puede ser resuelta

Cavvna

avv

dvav

Ca

varcsenva

vdvva

Cavvnav

dv

Ca

varcSen

va

dv

Cva

van

ava

dv

Cav

avn

aav

dv

Ca

varcTg

aav

dv

cctgvvcvdvC

ctgvvvdv

csenvCtgvdv

cvcvtgvdv

cvCCtgvdvvC

cvtgvdvv

cctgvvdvC

ctgvvdv

csenvvdv

cvsenvdv

cedve

ca

adva

cvv

dv

cn

vdv

cxdx

vv

vv

nn

v

)(122

.22

2.21

)(1.20

.19

12

1.18

12

1.17

1.16

)secln(sec.15

)ln(secsec.14

ln.13

seclncosln.12

sec*sec.11

sec*sec.10

sec.9

sec.8

cos.7

cos.6

.5

ln.4

ln.3

1.2

.1

222

2222

2222

22

22

22

22

22

22

2

2

1


directamente. Para cuando se presente estos casos, su solución requiere de métodos aproximados.

Ejemplo 54

Ejemplo 55

43. TÉCNICAS, MÉTODOS O ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN: Método de sustitución. Cuando no se puede aplicar directamente la fórmula de integración se debe sustituir al ejercicio planteado por otras variables que permitan encontrar su solución. Ejemplo 56

Ejemplo 57

Sustituciones trigonométricas Es aplicable esta sustitución cuando la integral contiene el radical de la forma indicada, sugiriendo el reemplazo correspondiente:

Ejemplo 58

Cx

Cx

xdx

211

211

CxaaCuaudua

dxdu

xaunsustituciódeoceso

xadxaxaadx

)ln(ln/

Pr

//

2

2

2/1

/1/

/1

/

duxdx

xdxdu

xu

xdxe x

Ce

Ce

due

xduxe

x

u

u

u

/1

22 /*

Cxx

xCxxx

x

dxxdxdxxdx

xxx ln

2

5ln

2

5

3

353)

153(

23

2322

)(*.3

)sec(*.2

)cos(*)(*.1

22

22

22

ttgaxax

taxax

taxótsenaxxa


)tgsecln(

sectg

sec

1tgtg

sec

sectg1

2

2

2

2

cc

dcdd

ddxxxx

dx

12 x

x

1

cxx

xsolución

)

1

1ln(

2

Integración por partes Si consideramos que la integral original a resolver es u * dv su resultado vendrá dado por la siguiente igualdad.

Donde u*dv es la integral planteada y las expresiones u, v y du son valores a determinarse de acuerdo a la facilidad de resolución que presenten. Al no existir una regla establecida para la determinación de las expresiones u,v, es recomendable asumir que dv es la expresión de la integral en la cual es factible aplicar la integración directa. En algunos casos para llegar a la respuesta será necesario aplicar varias veces la integración por partes

vduuvudv

udvvduvud

uvvuvu

vduuvudv

)*(

´´)´*(


Ejemplo 59 Ejemplo 60

Integrales de la forma AX2 + BX + C Para resolver la integral que presente la forma indicada y siempre y cuando no se pueda aplicar fórmulas de integración es conveniente transformar el trinomio de tal forma que

podamos expresarlo como: v2 a2 ó a2 v2 Ejemplo 61

CASO ESPECIAL. Cuando la integral presente la configuración siguiente:

Cxxx

Cx

xx

wdwww

x

dxxx

xwvwdwdv

xvxdxdvdwduwu

x

dxduxuwdwwdxdwxw

xdxxxdxxCos

)3cos3sen3(9

1

4ln

2)sensen(

9

1

*2

ln2

sencos

2

lncos9

133

ln3

22

22

2

cx

arctgcw

arctgw

dw

dxdwxw

x

dx

quedaríanostrinomioeldocomple

xx

dx

2

1

2

1

22

1

4

1

4)1(

:tan

52

2

2

2

cbxaxnmx

dx

2)(


Se sugiere utilizar el reemplazo mx+n = 1/ t, artificio que es aplicable también a la forma

la forma mx2 + n = 1/t.

43. Aplicación de la teoría de las fracciones racionales función racional entera. Es aquella cuya variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios. Si una integral es una fracción racional es decir, tanto el numerador como el denominador son funciones racionales y el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador, la fracción puede reducirse realizando la división, es decir:

D

RC

Dx

Nx

Pero, en caso de que la fracción R/D de posibilite la integración directa o la integración aplicando los métodos hasta el momento conocidos, es posible descomponer la expresión en fracciones parciales aplicando el método de los coeficientes indeterminados. Para descomponer fracciones vamos a considerar los siguientes casos, cada uno con un ejemplo explicativo: Primer caso. Los factores del denominador son todos de primer grado y ninguno se repite

Ejemplo 62

Segundo caso. Los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se repiten.

121 )(..........

)()()()( mx

N

mx

N

mx

N

mx

N

mx

Nnnnn

)3(15

1

)2(10

9

6

5

)3)(2(

52

15

1,

10

9,

6

5

56

223

0

6)23()(52

)3)(2(

)2()3()6(

)3)(2(

)6()23()(

32)3)(2(

52

2

222

2

xxxxxx

x

CBA

A

CBA

CBA

ACBAxCBAxx

xxx

xxCxxxBxxA

xxx

ACBAxxCBA

x

C

x

B

x

A

xxx

x


Ejemplo 63

)1(

2

)1(

1

)1(

21

)1(

1

2121

:

1:

03:

023:

1:

:mindet

)1(

)1()1()1(

)1(

1

)1()1()1()1(

1

233

3

0

2

3

3

23

3

3

233

3

xxxxxx

x

DCBA

sistemaeloresolviend

Ax

DCBAx

DCAx

DAx

adoserinescoeficientdemétodoelaplicando

xx

xDxxCxBxxA

xx

x

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

x

Tercer caso. El denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite.

Ejemplo 64.

Cuarto caso. El denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repiten

52

52

62

52

5262

52

5252

656523

6252

52625262

52

x

x

x

x

))(x(x

DCBA

DBC)Ax(D)(BxA)x(C

)D)(xx(Cx)B)(x(Ax

x

DCx

x

BAx

))(x(x

x

...)()()()( 221222

nnnn QPxx

FEx

QPxx

DCx

QPxx

BAx

QPxx

N

QPxx

BAx

QPxx

N

22


Para los casos cuando n es mayor que 2, para la integración es conveniente utilizar fórmulas de reducción, como la siguiente:

12212222232

12

1nnn )a(u

du)n)

)a(u

u

)a(n)a(u

dv

Ejemplo 65

Integración de funciones irracionales

Cuando la integral contiene potencias fraccionarias de la forma X ó mm

bxa , donde n es el

mínimo común múltiplo de las raíces existentes, es conveniente asumir la siguiente sustitución: x = zn ó (a + bx ) = zn

Integración de diferenciales binomias

Una diferencial de la forma dxbxax pnm

)( donde m, n, p son números racionales, se

llama diferencial binomia. Para su solución se plantea tres casos: CASO I. Cuando p sea entero positivo, será suficiente desarrollar el binomio de Newton o aplicar otra forma conveniente de integración..

CASO II. Cuando n

m 1 es igual a un número entero ó cero, y, p se asuma como una

fracción r/s , se efectúa la sustitución a + bxn = zs

CASO III. Cuando s

r

n

m

1 es igual a un número entero ó cero, y, p se asuma como una

fracción r/s, se efectúa la sustitución a + bxn = zsxn.

2x

5xln

343

20

2)49(x

27

5)49(x

8

2x

dx

343

20

2)(x

dx

49

27

5x

dx

343

20

5)(x

dx

49

8

343

20

49

27

343

20

49

8

2255

25

78

103

78

22

22

22

2

22

2

,D,C,BA

x

D

)(x

C

x

B

)(x

A

dx)(x)(x

xxdx

)x(x

xx


Integración de funciones trigonométricas Para su solución se plantean diversos casos, en los cuales se utilizan reducciones trigonométricas sencillas:

CASO I. Integrales de la forma xdxxCosnm

sen

- Si m ó n son números impares, enteros, positivos se sugiere aplicar las entidades

trigonométricas Sen2x = 1 – cos2x ó cos2x = 1 - sen2x, y, resolver la integral en las formas básicas conocidas.

- Si m y n son ambos números enteros, pares positivos, se recomienda usar las siguientes entidades trigonométricas:

xxx

xx

xx

2sen2

1cossen

2cos12

1cos

2cos12

1sen

2

2

CASO II. Integrales de la forma: nxdxmxnxdxmxmxdxmx coscossensen,cossen

Donde m n, se recomienda el uso de las siguientes fórmulas:

xnmxnmnxmx

xnmxnmnxmx

xnmxnmnxmx

coscos2

1coscos

coscos2

1sensen

sensen2

1cossen

CAS0 III. Integrales de la forma

xdxcxdxxdxcxdx nnnn sec,sectg,tg

Se recomienda usar las fórmulas:

1sectg,1sectg 2222 xcxcxx

44. CONSTANTE DE INTEGRACION

Es el valor que adopta la constante C para un caso particular de la variable, geométricamente, permite la graficación de un número infinito de curvas (familia de curvas) de igual pendiente, pero en diferente lugar geométrico.


Ejemplo 66. Encontrar la función cuya pendiente es y´= 2x-3 y pasa por el punto(3,5)

53

5995:tan

3

32)32(

2

2

'

xxy

ccteconsladecálculo

cxxy

dxxdxdxxdxyy

Ejemplo 67: En cada uno de los siguientes ejercicio a), b) hallar la función, si se tiene como datos la pendiente y un punto (x,y) por donde pasa la gráfica: a) y’ = x ; P(1,1)

b) y´ = xy (3,5)

Ejemplo 68: En cada punto de cierta curva y” = 20/x3 hallar la función sabiendo que la curva pasa por el punto (1,0) y, es tangente a la recta y = 5x-6

12:

2

1

22

11

´

1

1

2

2

2

xySolución

xyC

Cx

xydxyy

y

x

9.22

ln

9.22

96.1

2

95ln

2ln

5

3

2

2

xy

CcC

Cx

yxdxy

dy

y

x

xdxy

dy

xydx

dy


251510

251*151

100

0,1

1510

)1510

(

151

105

1

,

5'

65

10'

20'

2

2

23

xx

y

cc

yxparaccalculamos

cxx

yx

y

cc

xparaccalculamos

igualessonpendienteslascomo

y

xyrectaladerivamos

cx

ydxx

y

45. EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN:

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

xxx

dxeee

dxx

xxx

dxx

xxx

dxxx

dxxx

dxxx

xxx

)35(.14

)53(.13

)7(.12

)7(.11

)4

25(.10

)3

5(.09

)8

(.08

)3

(.07

)(.06

)(.05

)ln(.04

)155

(.03

.)3(.02

)73(.01

2

2

2

2

23

2

4/1

3 53/12/1

4/5

3/2

3

2


57.34

33.33

57.32

1.31

.30

.29

45cos7.28

)7

6(.27

)1

(.26

)7

3(.25

)2

22(.24

)13

)(2(.23

)84)(53(.22

)12(.21

)73

14(.20

)4

3(.19

)4

5(.18

)73

14(.17

)4

3(.16

)4

5(.15

2

2

2

7

2

2

2

2

23

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

dx

dxxx

dxxx

e

e

dxe

arcsenxdx

xdx

dxx

x

dxx

x

dxx

x

dxxx

x

dxxx

xx

dxxx

dxxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

x

x

x


4.54

.53

1.52

25.51

11.50

5.49

7.48

)25

(.47

)1

5(.46

))8(

(.45

)11

(.44

)7

(.43

)8)((.42

)12(.41

ln.40

7cos.39

5.38

.37

1.36

1.35

2

2

2

2

23

22

2

2

2/32

2

2

2

2

2

22

22

2

2

2

x

dx

dx

dxxx

dxx

x

dxx

x

xx

dx

yy

dy

xx

dx

dxxx

dxx

x

dxt

t

dxx

x

dxxx

dxxx

xdxx

xdxx

dxex

dxxe

xx

dx

xx

dx

x

x


xx

dx

xx

dx

xdx

dx

dxea

dxsenxe

dxxe

bea

dxe

xdxsen

dxxsenx

dxax

xxe

dxxe

dxxa

bax

dx

dxxx

dxxx

x

dxxxx

xx

dxxxx

x

dxxx

xxx

dx

xx

dx

xsen

xx

cox

x

x

x

x

x

5.76

)3)((.75

sec.74

73

.72

.71

.70

.69

.68

)cos(.67

)(.66

)1((.65

)ln(.64

)(.63

)(.62

)5((61

)1()1(.60

)2)(4)(7(

127.59

)3)(73(

5.58

127

4.57

)2)(3)(4(.56

)3)(4(.55

2

2

cos1

33

3

3

23/13/1

22

23

22

2

2

2

2


Integrar las siguientes expresiones aplicando formulas directas:

46. INTEGRAL DEFINIDA

Del teorema “ La diferencial de área limitada por una curva cualquiera, el eje de las x, una coordenada fija y una ordenada variable es igual al producto de la orden variable por el diferencial de la abscisa correspondiente “, así: du = y dx Si la curva AB es el lugar geométrico de y = f(x), entonces du = y dx. Siendo du la diferencial de área entre la curva, al eje de las x y dos coordenadas a, b, como se indica en la siguiente figura:

F E Y C D a b

dxx

xx

xx

dx

dxxx

dxx

dx

dxxx

dxx

x

dxxx

dxxx

3

2

24

24

32

22

2

25.85

2184

21.83

)17(.82

5.81

4.80

75.79

75.78

dxxx 25

477


Integrando tenemos.

CxFdxxfu )()(

Para determinar C, observamos que u = 0 cuando x= a Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene:

0 = F(a) + C ; C = -F(a)

obteniéndose : u = F(x) - F(a) El área CEFD que se pide es el valor de u en u = F(x) - F(a) cuando x = b, luego:

Area CEFD = F(b) - F(a)

TEOREMA “La diferencia de los valores de ydx para x=a y x=b da el área limitada por la

curva cuya ordenada es y, el eje de las x y las coordenadas correspondientes a x=a, y, x=b”. Esta diferencia se representa por:

Que se lee: “La integral desde a hasta b de ydx”. La operación se llama operación entre límites: a es límite inferior y b es límite superior. Puesto que siempre tiene un valor definido, asume el nombre de INTEGRAL DEFINIDA. Integral definida.- La integral definida es un valor resultante de la suma de valores infinitamente pequeños este concepto aplicado al concepto de áreas nos indica que la

integral definida considerada como el área bajo la curva es el límite cuando x O.

47. INTEGRAL IMPROPIA Se le da esta denominación a aquellas integrales cuyos límites son infinitos, en estos casos se propone para su solución la aplicación de los conceptos de límites.

Cuando la función y = f(x) es discontinua en un punto ubicado entre los límites (lo que puede detectarse para valores de x cuando el denominador es igualado a cero), se asumirá

b

a

b

aydxódxxf )(

n

i

b

a

ixifx

limdxXF

1

*)(0

)(

b

ab

a

dxxflimdxxf )()(


para los nuevos límites un valor menor y mayor al valor donde se produce lo

discontinuidad (asumimos el punto c), y se resolverá aplicando:

b

a

b

c

c

a

dxxflimdxxflimdxxf

)()()(

00

c

48. APLICACIONES DE LA INTEGRAL Cálculo de áreas: La teoría de integración permite el cálculo de áreas bajo la curva como un método exacto, cabe indicar que dichos cálculos son también realizables con métodos aproximados como el de Simpson, de los trapecios y otros, que no son considerados en el presente estudio pues se los puede enfocar en un tratado de Métodos Numéricos. Criterios para el cálculo de área bajo la curva

1. El área bajo la curva se encuentra aplicando la fórmula b

aydxA , (deducida del área

2. de una franja vertical de base x , altura y: A=x*y) considerando siempre que a<b.

3. Si el resultado encontrado es positivo el área está ubicada en un cuadrante positivo, o

sobre el eje de las x, cuando el resultado es negativo al área está ubicada bajo el eje de las x.

4. Si la curva cruza el eje x y el punto de cruce está ubicado entre a y b la fórmula

b

aydxA , nos dará un valor resultante de áreas.

b

x

x

aydxydxA

4.- Cuando se desea calcular el área comprendida entre 2 curvas, se deberá calcular los

puntos de intersección y aplicar la siguiente fórmula: dxyyAb

a 21 , donde y1 es la

función que abarca mayor cantidad de área.


5.- Cuando se busca el área comprendida entre 2 curvas es necesario tomar en cuenta que los límites máximos a, b son puntos de intersección de las curvas.

a b 6.- Cuando los límites asumidos a, b se extiende más allá de los puntos de intersección

vuelve a producirse una resultante de áreas considerando como eje divisorio a una de las curvas lo cual deberá definirse en el gráfico.

Ejemplo 69. Calcular el área limitada por y = x3/9, ubicada en el primer cuadrante, limitado entre x=0 y x=2. Procedimiento: 1.- Ubicar la franja de análisis 2.- Calcular el área bajo la curva indicada limitada entre los puntos a, b tomando como

referencia el eje x

b

a

dxyyA

xyya

)21(

)21(

2

2

0

4

2

0

3

9

4

36

9

uA

xA

dxx

A

ydxA

b

a

Y1

Y2

y

x 2

Y=x3/9


49. AREAS EN COORDENADAS POLARES Deducción de la fórmula de área

dA

ddA

darco

dtagdcomo

tagdarco

arcotagd

2

2

1

2

*

*

*

Ejemplo 70. Calcular el área limitada por P = a Sen + b Cos entre = 0 y = /2.

Nota: En el cálculo de coordenadas polares, en ejercicios como el que antecede, la gráfica no tiene trascendencia, dependiendo del tipo de función ,se deberá realizar la gráfica pues en funciones trigonométricas se pueden superponer áreas, igual análisis se recomienda para el cálculo de áreas comunes de dos funciones.

Se deja a interés del lector estas observaciones y su respectiva comprobación

8

)(

448

)(

24

284

22

2)(4

1

4

1

22

1

2

1

22

22

0

902222

90

0

222

90

0

90

0

22

2222

90

0

2

baA

ababIIbaA

Cosab

Senbaba

A

dSenab

dCosbadbaA

dCosbCosabSenSenaA

dbCosaSenA

A

d


50. LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA

s

y

x

Longitud de arco de curvas en coordenadas polares:

dS

2/2

Ejemplo 71: Calcular la longitud del arco de la curva cuya ecuación es y = x 2 + 1 entre los límites x 1 = 3 y x 2 = 7 S 3 7

dyxS

íaanapor

dxyS

dxyds

dxs

xx

yS

xx

y

x

xS

yxs

B

A

B

A

2/

2/

2

2

2

2

2

2

2

22

1

:log

1

´1

1


51. CENTROS DE GRAVEDAD Es el punto CG(x,y) en el que se encuentra el cuerpo en equilibrio. Para el cálculo del centro de gravedad, se requiere del uso del efecto llamado Momento (momento es el efecto que una fuerza causa a un punto situado a una distancia de la ubicación de dicha fuerza)

Mc = Longitud * Distancia

Ma = Area * Distancia

Deducción de fórmulas

Ejemplo 72: Calcular el centro de gravedad del área limitada por y = x2, x = 4 y que está ubicada en el primer cuadrante

21.40

12

1

41

)(1

2'

2

2

2/

7

3

S

dxuS

dxxS

dxyS

xy

b

a

xydxMy

xydxMy

XydxMy

dAMy

)(

*

b

a

dxYMx

dxyMx

yydxMx

dAMx

2

2

2

1

2

1

2)(

*

4.102

10

)(2

1

2

1

2

0

4

5

4

0

4

4

0

2

Mx

XMx

dxXMx

dxYMx

YXYMx

64

4

0

4

4

4

0

3

4

0

My

XMy

dxXMy

dxXYMy

xXYMy

3

64

3

4

0

3

4

0

2

4

0

A

XA

dxXA

YdxA

)8.4;3(

4.102*

64*

364

364

CG

yAMx

XAMy


Ejemplo 73: Calcular el centro de gravedad de la figura

x

4

2

1 16 xy

2

42

2

0

32

2

2

0

2

0

322

2

2

2

0

2

2

4

0

32

1

4

0

4

0

322

1

2

4

0

2

1

3

84

3

16)4(

2

1

2

1

4

3

6416

3

128)16(

2

1

2

1

416

UdxxxxydxMy

UdxxdxyMx

UnidadesdxxydxA

UdxxxxydxMy

UdxxdxyMx

UnidadesdxxydxA

FIGURA Ai Mxi Myi

1 4 128/3 64/3

2 (restar) 16/3 8/3

3 112/3 56/3

)9

112,

9

56(:gra

9

56

3

356

*

9

112

3

3112

*

CGvedaddecentro

unidadesxxxAMy

unidadesyyyAMx

2

2 4 xy

y


52. AREAS LATERALES O SUPERFICIES DE REVOLUCION Un área lateral o superficie de revolución se engendra al hacer girar alrededor de un eje un arco limitado de la curva y = f(x)”. Deducción de la fórmula de superficie de revolución:

Considerando la superficie de revolución del gráfico, donde la longitud de arco está definida por:

xys 2

´1

Al hacer girar dicha longitud de una curva alrededor de un eje, siempre engendra una circunferencia y por ende crea un volumen de revolución “CUBIERTO POR UN CASCARON EXTERNO DENOMINADO AREA LATERAL O SUPERFICIE DE REVOLUCION”, esta superficie es calculable aplicando el siguiente análisis:

B

A

L

B

A

L

LL

XdsAíaanaPor

YdsA

YdsdAYSA

2log

2

22*

Se debe recordar que ds representa la longitud de arco de una curva y es calculable por:

yxsóxys 22

´1´1

Se aplicará una de ellas de acuerdo a la facilidad de resolución del problema.

2y

y

x


53. VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION: Al hacer girar dicha longitud de una curva alrededor de un eje, siempre engendra una circunferencia y por ende crea un volumen de revolución, este volumen es calculable aplicando el siguiente análisis:

1.- Girando la franja indicada alrededor del eje x, manteniendo la base de la franja fija en el

eje de giro, se crea un volumen en forma de una moneda, de donde se deduce que el volumen es igual al área del círculo multiplicado por el espesor.

dxyV

xYV

b

a

x

2

2 *

2.- Si se gira una franja horizontal alrededor del eje x tomando como base un radio Y, la

franja se movilizará en su totalidad haciendo un recorrido de 2, formando un cilindro hueco cuyo volumen vendría dado por:

b

a

y yxdyV

yXYV

2

**2

x

Franja a girar una revolución en el eje x

x

y2

y

x


En forma similar, se puede deducir fórmulas cuando se trabaje con el otro eje. El sentido de la franja, horizontal o vertical para el análisis, dependerá de la facilidad que el planteamiento presente para la integración y solución del problema.

Ejemplo 74. Calcular el volumen que se engendra al girar el área limitada por x=0, x=4, la función y=x2 , ubicada en el primer cuadrante: a) alrededor del eje x, b) alrededor del eje y. a) alrededor del eje x

5

256

5

4

0

54

0

4

4

0

2

xdxxdxyV

b) alrededor del eje y

x

y

y

y


1284

222

4

0

4

0

4

0

42

xdxxxxydxV

54. RELACION DE FORMULAS ENTRE MOMENTOS Y VOLUMENES. Con la finalidad de optimizar el tiempo de cálculo, se puede encontrar una relación de fórmulas entre momentos y volúmenes:

55. INTEGRALES MULTIPLES Permite resolver en forma objetiva problemas de cálculo de las aplicaciones anteriores, y en especial de volúmenes en el espacio (tres dimensiones), se debe tomar en cuenta el siguiente criterio: ”cuando se considera a una de las variables como tal, las otras permanecen como constantes”. Aplicación de integrales dobles: Se trabaja con dos diferenciales y se va creando las fórmulas.

dxdyAdydxAyxA

y

y

b

a

b

a

y

y

****

2

1

2

1

Y1

Y2

x

y

a b

MxV

dxyV

xyV

dxyMx

dxyMx

yydxMx

dAMx

x

b

a

x

b

a

2

*

2

1

2

1

2)(

*

2

2

2

2

MyV

yxdyV

yxyV

xydxMy

xydxMy

XydxMy

dAMy

y

b

a

y

b

a

2

2

**2

)(

*


Nota: Se debe integrar primero la diferencial correspondiente a las funciones.

dxYYxxdydxMyy

dxYYdxy

ydydxMxx

b

a a

y

y

y

y

b

b

b

a

y

y

b

a

12

122

1

2

2

1

2

1

2

1

En forma similar se puede aplicar al cálculo de áreas y volúmenes de revolución.

56. VOLUMENES BAJO UNA SUPERFICIE De acuerdo al siguiente análisis y gráfico se deduce que el volumen viene definido por:

dzdxdyVx

x

y

y

z

z 2

1

2

1

2

1

Se recomienda previo al análisis, y, con la finalidad de definir los límites de las integrales, trabajar previamente en el plano XY que por lo general constituye la base donde se va a levantar el volumen.

Z

z

x y

x

y

Se debe recordar que al trabajar con tres ejes (x,y,z), el espacio se divide en octantes, como lo indica el siguiente gráfico:


57. EJERCICIOS DE Aplicación Identificada el área limitada por las funciones indicadas y UBICADA EN EL PRIMER CUADRANTE , calcular: - El área plana limitada por las funciones indicadas - El perímetro que bordea dicha área - El área lateral que cubre al volumen engendrado al girar el área mencionada alrededor

del eje x - El área lateral que cubre al volumen engendrado al girar el área mencionada alrededor

del eje y. - El volumen que se engendra al girar dicha área alrededor del eje x - El volumen que se engendra al girar dicha área alrededor del eje y - El centro de gravedad de dicha área -

0,4,94

0,2,93

00,4,2592

0,4,91

4,5,0,63.90

,5,5.89

0,03,54.88

0,5.87

0,586

22

222

22

2

2

22

2

yxyxy

yxyxy

yxxxyyx

xxxyxy

xxyxyxy

xyxyy

xyyxxy

yxxy

yxxy

95. Calcular el volumen limitado arriba por la superficie z = 6 - x – y, dentro de y = 5 – x, y los planos coordenados

96. Calcular el volumen limitado arriba por z = 4 – y2, abajo por el plano z = 0, y, dentro de

los planos y = x2 , y=2, x=0 97. Calcular el volumen limitado arriba por z = 9 – x2 – y2 , sobre el plano z = 0 y en el

interior de x2 + y2 = 9 98. Calcular el volumen limitado arriba por z = x2 , sobre z = 0, y por los planos y = 0, y = 5,

x = 2, x = -2.

99. Calcular el volumen limitado arriba por z = 16 - x2 , y los planos y=4 – x, x=0, y=0, 2 = 0 100. Calcular el volumen limitado arriba por z = 9 – x2 – y2 , y por los planos z = 0, y = 0, x = 0, x + y = 3

Se recomienda resolver para fines de aprendizaje los ejercicios 93 y 94 aplicando franja vertical y franja horizontal


58. SOLUCION DE LOS PROBLEMAS PLANTEADOS

)3

5;

3

10(

6

250

6

125

3

250

3

125

25502252252550102

25

86

CGMyMxVyVx

ALyALxPerímetroArea

)2

15;

4

15(

4

625

2

62575.981

2

62549.1963625

006.16925025164.63162587.25303

125

87

CGMyMxVyVx


)673.1;938.2(6

209

6

119

3

209

3

1675

3

119

3

1645

87684412858.1115

88

CGMyMxVyVx


)389.4;344.1(719.2878.8

438.5354.7208.1225755.17493.7652.3056

554.17466.7088.5.5300.58148.15792.20360.22

617.6848.1533.2236.2022.2835.1343.720.11

89

CGMyMx

VyVx

ALyALx

PerímetroArea

)603.3;299.4(417.44234.37

833.88167.11100467.74533.378

087.17249.2299597.50613.102613.9811024

493.1940168.391333.10667.112

90

CGMyMx

VyVx

ALyALx

PerímetroArea

)2;1(667.2333.5

333.58333.13667.104.6067.17

587.18071.7515.11216.37984.16232.20

294.9647.4647.4667.2667.2333.5

91

CGMyMx

VyVx

ALyALx

PerímetroArea


)743.2;267.2(334.2060.24

667.40667.42333.8320.49133.34333.83

832.77834.11509464.11525464.4050

147.23293.91854.75968.8667.10635.19

92

CGMyMx

VyVx

ALyALx

PerímetroArea

)80.0;8402.1(134.6667.2

267.12333.136.2533.5667.28

935.33971.16964.16172.17657.5515.11

476.9222647.4333.32333.5

93

CGMyMx

VyVx

ALyALx

PerímetroArea

verticalfranjaconsolución

)80.0;8402.1(134.6667.2

267.124.6667.1833.5833.13

935.33971.16964.16172.17657.5515.11

476.9222647.4333.3667.26

93

CGMyMx

VyVx

ALyALx

PerímetroArea

horizontalfranjaconsolución

)634.0;28.1(299.0

42298.185.013.1

512.154182.733.4841.8188.4453.4

647.62085.2562.2562.1619.0943.0

94

CGMyMx

VyVx

ALyALx

PerímetroArea

verticalfranjaconsolución

)634.0;28.1(299.0

42698.1526.4507.6

512.154182.733.4841.8188.4453.4

647.62085.2562.2562.1886.1448.3

94

CGMyMx

VyVx

ALyALx

PerímetroArea

horizontalfranjaconsolución

00.27100

67.10699

67.2698

24.12797

31.496

33.3395


ECUACIONES DIFERENCIALES, CONCEPTOS BASICOS

59. ecuación diferencial. Es una función o una ecuación en la que interviene dicha función, y, una o más de sus derivadas, es decir es una ecuación que establece una relación entre la variable independiente x, la función buscada y = (x) y sus derivadas y', y'', y''', y ... y(n) Simbólicamente se representa como:

F( x, y, y', y'', y''', y... y(n)) = 0 Otra forma de representar es:

0..,.........,,,(2

2

n

n

dx

yd

dx

yd

dx

dyyxF

60. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales.


El campo de acción de estas ecuaciones es ilimitado permitiendo resolver problemas de Física, Química, Biología, Ingeniería, crecimiento de población. 61. Tipo de una ecuacion.

Dependiendo del número de variables independientes, las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias o parciales. Ecuacion diferencial ordinaria . Es una ecuación que tiene una sola variable independiente, así:

Ecuación diferencial parcial. Cuando una función depende de 2 o más variables, las derivadas serán parciales, por lo que dicha ecuación se denomina "Ecuación en derivadas parciales " así.

03 dy

du

dx

du

62. Orden de una ecuación diferencial. El orden es la máxima derivada que aparece en una ecuación, así.

)(0'2'''

)0'

ordenterceryy

ordenprimery

63. Grado de una ecuación. Es el exponente de la derivada de mayor orden, así:

),(0'5)''(3''' 2 gradoprimerordenterceryyy

Ejemplo 75 1. Identificar y clasificar las siguientes ecuaciones:

IIIVparcialydz

yd

dx

dy

IIIordinadiadx

yd

IIIVaordinadiriydx

yd

dx

dy

ORDENGRADOTIPO

03

5

03

5,,,

2

2

2

2

5,,,

2

2

023

033''

2

2

dx

dy

dx

yd

yy


64. Solución de una ecuación diferencial. Y = f(x) se denomina solución de una ecuación diferencial cuando al reemplazar Y y sus respectivas derivadas en dicha ecuación, esta se transforma en una identidad.

Ejemplo 76 Determinar si y = e-2x es solución de la ecuación diferencial

)(00

0

''

'

02'3''

264

4

2

222

2

2

2

SOLUCIONESSIigualdadlacumplecomo

y

y

y

yyy

eee

e

e

e

xxx

x

x

x

Comprobar si y = 3e-2x +5e-x es solución de la ecuación diferencial Y''+3y' +2y=0

)(00

''

'

512

56

53

2

2

2

SOLUCIONESSIigualdadlacumplecomo

lduferenciaecuaciónlaenosreemplazam

y

y

y

ee

ee

ee

xx

xx

xx

65. Solución general y particular de las ecuaciones diferenciales Solución particular. Es cualquier solución que se obtiene asignando valores específicos a la constante arbitraria C. Es decir la solución particular es el resultado específico de una solución general a la cual se le designa valores de x y y conocidos como condiciones que pueden ser, dependiendo de cómo se establezcan de dos tipos de problemas: de valores iniciales y de valores en la frontera.

Problemas de valores iniciales. Se constituye de una ecuación diferencial de orden n y un conjunto de condiciones independientes, todas ellas válidas para el mismo punto inicial, así; si la ecuación es:

F( x, y, y', y'', y''',... y(n)) = 0 (ecuación que define el problema) , x = a el punto inicial,

entonces, y(a)= y(o) , y'(a) = y'(o) , y''(a) = y''(o) , y''' = y'''(o) , y(n) (a) = y(n)

(o) Gráficamente, la solución de un problema de valores iniciales se representa así:


F(x,y) = 0 X = a

Problemas de valores en la frontera. Este tipo de problemas deben establecerse con condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos del dominio , por ejemplo; en

particular, si x = a y x = b, es decir que el dominio de soluciones está en el intervalo

cerrado [a , b] Ejemplo 77: Verificar si la solución de la ecuación diferencial xy' -3y = 0 es y = cx3, y, si es solución, calcular la solución particular para la condición inicial x = 3 y = 2

Derivando la solución: Y' = 3cx2

Reemplazando en la ecuación diferencial: x(3cx2) - 3 (cx3) = 0

3cx3 - 3cx3 = 0 , 0 = 0 , por lo tanto, y = cx3 Si es solución

Reemplazando las condiciones iniciales en la solución, se obtiene que 27

2C

Por lo tanto, la solución particular es xC3

27

2

Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial dada, representa una familia de curvas conocidas como curvas solución, una por cada valor asignado a la constante arbitraria.


Ejemplo 78: resolver la ecuación y’ +x2 =7, para la condición inicial P(3,5)

73

7tan

7:,Re

37

)7(

)7(

7

7'

3

3

2

2

2

2

xxYtoloPor

Csoluciónlaenyxemplazando

Cx

xY

dxy

dxdy

dx

dy

y

x

x

x

x

UNA ECUACION DIFERENCIAL SE CONSIDERA RESUELTA CUANDO SE HA REDUCIDO A UNA EXPRESION EN TERMINOS INTEGRALES, PUEDA O NO EFECTUARSE LA INTEGRACION

66. Ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er orden y de 1er grado. Este tipo de ecuaciones puede reducirse a la forma Mdx + Ndy = 0, donde M y N son funciones de x o de y. Las ecuaciones diferenciales que pertenecen a esta clase o forma son: I. Ecuaciones diferenciales con variables separadas II. Ecuaciones homogéneas III. Ecuaciones Lineales IV. Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal. Ecuaciones con variables separadas: Cuando la ecuación diferencial puede reducirse a la forma F(x)dx+ F(y)dy =0 (1) donde F(x) es función de x únicamente y F (y) es función de y únicamente. El procedimiento de resolución se conoce como de "Separación de variables" y la solución se obtiene por integración directa así:

donde C es una constante arbitraria. Ecuaciones homogéneas.

CdyyFdxxF )()(


Para aplicar el método de solución es necesario previamente comprobar la homogeneidad de la función de análisis, de acuerdo al siguiente análisis: FUNCION HOMOGENEA: la función f(x,y) se llama homogénea de grado N con respecto a las variables x, y, si

para todo valor se cumple la siguiente Identidad f(x, y) = n f(x,y) donde es una constante arbitraria o un número real

Ejemplo 79. Comprobar si las funciones 3 33),( yxyxf y 2),( yxyyxf

son homogénea e identificar el grado.

En conclusión, la función es homogénea y de grado 1

La función es homogénea de grado 2 (el grado viene dado por el exponente de ).

La ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es homogénea cuando M y N son

funciones homogéneas de x, e, y, y del mismo grado. Para su resolución se sugiere el siguiente procedimiento:

1. Se expresa el ejercicio como M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

2. Se comprueba si M, N son homogéneas y del mismo grado

3. Al comprobarse el criterio de homogeneidad, se utiliza el artificio y = vx 4. Se sustituye y = vx lo cual da como resultado una ecuación diferencial

dependiente de las variables v, x, luego de lo cual se puede separar las variables y para su resolución aplicar el método de separación de variables.

Ejemplo 80

),(),(

3 33),(

3 3333),(

3 3)(

3)(),(

),(),(

yxfyxf

yxyxf

yxyxf

yxyxf

yxfn

yxf

),(2

),(

)2

(2

),(

222),(

2)())((),(

yxfyxf

yxyyxf

yxyyxf

yyxyxf


)()1)(1(

ln)1)(1(

ln

)1)(1(lnln

)1ln(2

1ln)1ln(

2

1

)1()1(:Re

22

22

22

22

22

generalsoluciónyxcx

cyx

x

cyxx

Cyxx

Cy

ydy

x

dx

x

xdxsolver

Ejemplo 81

Ejemplo 82: Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (2,1) y cuya pendiente en

un punto cualquiera es: )1(´x

yy

)()2)(3(

)2ln()3ln(0)2()3(

0)3)(2(

)3(

)3)(2(

)2(

0)3()2(Re

generalsoluciónCyx

yxy

dy

x

dx

xy

dyx

xy

dxy

dyxdxysolver


Ecuaciones diferenciales lineales

Las ecuaciones diferenciales lineales son de la forma y’+ Py = Q donde P y Q son

funciones de x únicamente, ó constantes. Cuando en este tipo de ecuaciones, Q es diferente de cero es una ecuación lineal NO HOMOGENEA, cuando Q = 0, es Homogénea. Procedimiento de solución (según sugerencia de Granville):

1. Expresar el problema en la forma y’+ Py = Q

2. Utilizar el artificio y = uz, derivar considerando que u , z son funciones de x, y,

reemplazar en la ecuación propuesta:

QzPudx

du

dx

dzu

QPuzdx

duz

dx

dzu

*

3. Calcular u integrando 0 Pudx

du ,Por facilidad de resolución, en el cálculo de u

es conveniente asumir la constante de integración igual a cero.

4. Calcular z integrando integrando Qdx

dzu , reemplazando previamente el valor

de u calculado en el punto .

5. Expresar la respuesta multiplicando u*z Ejemplo 83 Resolver la ecuación y’ – y = ex

)(082

81*2*222

ln2ln2

ln

)21ln(ln

0)21(

0)21()21(

21(

0)21(

0)1(

0)()(

1hom,

0)(

2

22

2

21

particularsolucionxyx

cccxyx

CxyxCx

yxx

cvx

v

dv

x

dx

xv

xdv

xv

vdx

xdvdxv

dxvxdvvdx

dxvxxxdvvdxx

xdvvdxdyvxy

gradodeogeneasfuncionessonyxNxM

dxyxxdyx

yx

dx

dy


Sugerencia de aplicación del método anterior Este método parte del hecho de deducir una fórmula general para la solución de la ecuación y’ +py = q.

Resolviendo la ecuación 0 Pudx

du tenemos:

ePdx

uPdxuPdxu ln0ln

Sustituyendo en Qdx

dzuenudoSustituyen e

Pdx

uzyendosustituyenyegrandodxQdz ePdx

int

CuQdxuy

uegrantefactoruncomodoconsideran ePdx

*

:int

1

Se recomienda este método siempre y cuando la integral sea favorable en su proceso de solución

Ejemplo 84 55

3'

x

x

yyresolver

cxyuzy

Solución

cxzdx

dz

dx

dzu

zdecálculo

uudx

du

udeCálculo

zudx

du

dx

dzu

uzdx

dzu

dx

duz

dx

dzu

dx

duz

dx

dyzuyArtificio

yy

e

eee

e

e

e

e

x

xxx

x

x

x

x

.5

.4

0

.3

,*.2

'.1


Ecuaciones diferenciales exactas (EDE). “La ecuación de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 se llama EDE si su primer miembro es la diferencial total de una función u(x,y). La condición necesaria y suficiente para que sea M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 EDE es:”

dx

dN

dy

dM

Para la solución de este tipo de ecuaciones se sugieren varios métodos, que los explicaremos en el proceso de resolución de ejercicios: Método sugerido por Earl Rainville: Ejemplo 85. resolver la ecuación 3x(xy – 2)dx + (x3 + 2y)dy = 0 1.- Comprobamos si es una EDE:

23

22

32

363

xdx

dNyxN

EDEdx

dN

dy

dM

xdy

dMxyxM

Cy

Cdxy

CuQdxuy

u

u

arítmicriteriosAplicando

u

xx

yy

xx

xxx

x

exe

ee

x

xx

dx

5

(*(

(*(*(

*

(

ln*ln(lnln

:coslog

55

3'

)5)5

)5)5)5

)5

)5

5

3

33

1

3

3)5ln(

)5ln(5

3

3

3


2. Determinamos F tomando M = dF/dx ó N = dF/dy según la facilidad que presente. dF/dx = M = 3x2y – 6x entonces: F = x3y – 3x2 + C(y) Se integró respecto a X manteniendo constante Y Determinamos C(y) considerando que la función F calculada satisface también a dN/dy:

)(3

3

2'

2'

223

223

2

)()(

3

)(

3

SoluciónCyxyxCFcomo

yxyxF

yCyC

yxNdy

dFCx

dy

dF

yy

y

Ejemplo 86 . resolver la ecuación 03223 dyyydyxdxxydxx utilizando la sugerencia

de Kisielov-Makarenko. Se comprueba que es EDE; y, a continuación:

SoluciónCyxyx

cywx

dyywdwdxx

xdyydxdwdx

dyxy

dx

dwxywsi

dyyxdyydxxydxx

dyyydyxdxxydxx

424

424

33

33

3223

)(2

424

0

:

0)(

0

Factores integrantes

Para aplicar estos factores integrantes, es suficiente recordar las siguientes diferenciales exactas que frecuentemente se presentan


22

2

2

)(arctg

)(

)(

)(

yx

ydxxdy

x

yd

y

ydxxdy

x

yd

y

xdyydx

y

xd

ydxxdyxyd

Determinación de factores integrantes.

Se sigue el siguiente procedimiento: Siendo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, aceptemos una

función (x,y) que sea factor integrante de tal manera que la ecuación Mdx + Ndy = 0

sea exacta.

xdeexclusivafunción

dx

dN

dy

dM

N

dx

dN

dy

dM

dx

dN

dy

dM

dx

dN

dx

dN

dy

d

dy

dM

dy

dM

dx

dN

dx

dN

Ndx

dM

dy

d

yxx

x

x

yxyxyxyx

'

1'

)(

0

}{}{

),()(

)(

)(

),(),,(),(),,(

De lo anterior, se deduce que:

1.- Si )(1

xfdx

dN

dy

dM

N

es función exclusiva de x , entonces


egrantefactorseráedxxf

int)(

2.- Si )(1

ygdx

dN

dy

dM

M

es función exclusiva de y, entonces

egrantefactorseráedyyg

int)(

Si ninguna de las condiciones indicadas se verifica, la ecuación no tiene ningún factor de

integración que sea función exclusivamente de x o de y. Ejemplo 86

CyyxyyxF

cc

Ncyxdy

dF

cyyxF

dxxyyyxMdxF

dx

dN

dy

dMcompruebasederivando

dyyxdxxyyyx

dyyxdxxyyyx

yx

yx

dx

dN

dy

dM

Nxf

xdx

dNxyx

dy

dM

dyyxdxxyyyx

eeee

ee

ee

eee

eeeee

e

eee

xxxx

yy

yxx

y

xx

xxx

xxxxx

x

xdxdxxf

22222222

)()(,

)(,́222

)(

2222

22222

22222222

2222

22)(

2

2

2

222

00

2

)222(

:

0])2()222[(

0])2()222[(

2)2(

)2(2)(

1)(

2242

0)2()222(

Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal Y´+ pY = Qyn

Si n = 0 Es una ecuación lineal Si n = 1 se puede resolver por separación de variable Si n > 1 No es lineal Y = uz


a. calculamos u manteniendo la constante de integración C=0. b. Calculamos z (como en el análisis del tema anterior, manteniendo la igualdad a Q unzn ,

es decir:

nnzQudx

dzu

Ejemplo 87. Resolver la ecuación diferencial xydx

xdy22 considerándola como lineal y,

COMPROBAR SU RESPUESTA RESOLVIENDOLA COMO ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGENEA

Solución como ecuación lineal:

64. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de II orden con coeficientes constantes. Sea la ecuación Y’’ + PY’ + QY = 0 (1) donde P, Q son constantes, para encontrar la solución general es suficiente considerar la solución particular partiendo de:

nn zQuPuzdx

zdu

dx

udz

xcxyuzy

xcz

dx

dzu

xux

u

dx

du

zx

u

dx

du

dx

dzu

x

zu

dx

duz

dx

dzuuzy

Qpyyx

yy

2

22

02

22

2*

*2

'22

´

2

2


20Pr0Pr

0Pr

:

'''

:

22

2

2

QrQre

qeeer

doSustituyen

eryrey

Derivando

ey

rx

rxrxrx

rxrx

rx

Entonces, si r es la solución de la ecuación (2), será la solución de la ecuación (1). A la ecuación (2) se la conoce como SOLUCION AUXILIAR O ECUACION CARACTERISTICA DE LA ECUACION, y, dependiendo de las soluciones de la ecuación (2), se presentan tres casos:

1. Si r1 y r2 son raíces reales e iguales (r1 = r2), la solución es: eCeCrr

xy2

2

1

1

2. Si r1 y r2 son raíces reales y distintas (r1 r2), la solución es: eCeCxx

y2

2

1

3. Si r1 y r2 son raíces imaginarias, la solución es: bxbxy CCeax

sencos21

Donde a, b donde a, b se determinan resolviendo la

ecuación cuadrática por medio de la fórmula Ax2 + Bx + C:

biar

A

ACB

A

Br

A

ACBBr

2

4

2

2

4

2

2

Donde: a = A

B

2 , b =

A

ACB

2

42

Para una mejor comprensión, la ecuación característica se la expresará con D en lugar de r, lo que permitirá relacionar con la DERIVADA.

Ejemplo 88 : Resolver la ecuación y” +4y’ +4y = 0 Ecuación característica: r2 + 4r + 4 = 0

(r + 2)2 = 0 r1 = r2 = -2

eCeCxx

Xy2

2

2

1

Ejemplo 89. resolver la ecuación y” +y’- 2 = 0


Ecuación característica: r2 + r - 2 = 0

(r + 2)(r – 1) = 0 r1 = -2 r2 = 1

eCeCxx

y2

2

1

Ejemplo 90: Encontrar la solución particular de la ecuación y” + 2y’ + 5y = 0 para las condiciones iniciales y=0, x=0, y’=1.

D2 + 2D + 5 = 0 su solución es: D = -1 2i a = -1, b = 2

)2sen2

1

2

1)0cos20sen(1

00sen0cos0

)2cos22sen()2sen22cos('

)(2sen2cos

2

00

2

1

0

2

0

1

21

21

particularsoluciónxy

xxxxy

generalsoluciónxxy

e

CeeC

CeCeC

eeCeeC

eCeC

x

xxxx

xx

64. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de n-simo orden con coeficientes constantes Dada la ecuación diferencial de la forma: Yn + p1Y n-1 + p2Y n-2 + ..............+ pnY = 0 su ecuación característica será: rn + p1r n-1 + p2r n-2 + ..............+ pn = 0, donde r es un factor diferencial que representa a cada derivada y su grado correspondiente, algunos editores prefieren expresarlo como Dn + p1D n-1 + p2Dn-2 + ..............+ Dn = 0 Resolviendo la ecuación característica, se encuentran sus raíces o soluciones y, dependiendo de ellas el resultado se irá CONSTRUYENDO según se presenten los tres casos antes indicados.

Ejemplo 91: resolver 0512104 yyyyyIIIIIIIV

0512104 rrrrIIIIIIIV

r1 = r2 = 1; r3 = r4 = 1 2i

xxxy eCeCeCeCxxxx

2sen2cos4321


65. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de n-simo orden con coeficientes constantes Sea la ecuación: Yn + p1Y n-1 + p2Y n-2 + ..............+ pnY = R(x) La solución viene dada por: Y = yh + yc, donde: Yh es la solución de la ecuación homogénea correspondiente, y,

Yc es cualquier solución particular de la ecuación originalmente planteada. Una vez que se ha explicado la solución de Yh, a continuación se detalla las sugerencias para resolver Yc, y completar el estudio para resolver una EDLNH, para lo que se requiere, aprender a CONSTRUIR UNA ECUACION HOMOGENEA PARTIENDO DE UNA SOLUCION PARTICULAR, como se explica a continuación: La propuesta es encontrar la ecuación homogénea partiendo de la solución, es decir, por

ejemplo, si el resultado es Ceax, proviene de una raíz D=a o del factor (D-a); análogamente,

CX eax , aparece cuando proviene de (D-a)2, respuestas como C eaxcosbx ó C eaxsenbx

corresponden a D=a bi o al factor [(D – a)2 + b2]. Lo que se deberá considerar simplemente es que si en la solución particular existen coeficientes, estos son irrelevantes, Ejemplo 92: Encontrar la ecuación homogénea cuya solución es y = 4e2x + 3e-x

4e2x Ce2x m = 2 (m – 2)

3e-x Ce-x m = -1 (m + 1) (D – 2)(D + 1) = 0

D2 - D – 2 = 0 Y” - Y’ – 2Y = 0 Una vez concluido este estudio, la solución de una EDLNH se puede resolver aplicando el METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS, que consiste en definir o calcular dichos coeficiente, tomando en cuenta que el método es aplicable solamente cuando el miembro derecho de la ecuación es una solución particular de alguna ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.

Se debe recordar que la propuesta del método es convertir a la EDLNoH propuesta en una EDLHcon coeficientes constantes.

Ejemplo 93 Resolver la ecuación: Y” + Y’ – 2Y = X + 5cos2X


senxxxececYg

generalSolución

ecuacionesdesistemasiguienteelobtienese

propuestaldiferenciaecuaciónlaenemplazo

xDsenxCcy

xDxCsenBcy

xDsenxCBxAyc

YcdeecoeficientdeaciónDeter

xDsenxCBxAececYg

parcialgeneralSolución

DDDD

YcyYhdenUnificació

DbaDbax

DDxeex

YcdeCálculo

ececyDDDD

YhdeCálculo

xx

xx

oxx

xx

k

DCBA

AB

B

DC

DC

22cos62

1

.6

Re

242cos4

2cos222

22cos

min.5

22cos

.4

0)4()1)(2(

.3

2)(2,02cos5

0,0

.2

0)1)(2(02

.1

2

2

1

,,

,

2

2

1

22

2222

0

2

21

2

2612

1

02

22

062

4026

Hemos visto que el método de los coeficientes indeterminados es aplicable a la solución de ciertas ecuaciones diferenciales: aquellas en las que el segundo miembro es una solución particular de la E.D.L.H. con coeficientes constantes.


BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA DEMIDOVICH, B. Problemas y ejercicios de análisis matemático, Edit. Paraninfo, quinta edición , 1976, Madrid. MURRAY, Spiegel, Algebra Superior, Edit. McGraw-Hill, 1969, México LARSON, Roland. Cálculo y Geometría Analítica, Edit. McGraw-Hill, tercera edición, 1989, México. PURCEL, Edwin. Cálculo diferencial e integral, Edit. Prentice Hall, 1992, México KAPLAN, Wi;lfred, Cálculo avanzado, Edit. Continental, décima edición, 1960, México. TAYLOR, Howard, Cálculo diferencial e integral, Edit. Limuna, décimo quinta edición, 1976, México. GRANVILLE, Smith, Cálculo diferencial e integral, Edit. Hispano América, 1973, México. LANG, Serge, Cálculo I, Edit. Interamericano, 1973, E.U.A. APOSTOL, Tom, Cálculus, Edit. Reverté, 1965. KREIDEI, Donald, Ecuaciones diferenciales ELSGOLTZ, L. Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional, Edit. Mir, 1977, Moscú

Librocalculo y Edos

Documents

Transcript of Librocalculo y Edos