Ecuación Diferencial de Orden Superior edos

Cátedra: Ecuaciones Diferenciales

Ecuación Diferencial de Orden Superior

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PAEZ

DIRECCIÓN DE ESTUDIOS BÁSICOS Y GENERALES

Romina Betancourt

: Ecuaciones Diferenciales


REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PAEZ

Y GENERALES

Sección: 30312

Romina Betancourt


2

INDICE

1. Ecuación Diferencial de Orden Superior con Coeficiente

Constante……………………………………………………………………….03

1.1. Método del operador Inverso……………………………………………….05

2. Sistema de E.D.O lineales de orden superior:……………………………......07 2.1. Eliminación de Funciones arbitrarias…………………………………...08

3. Ecuaciones diferenciales lineales en Derivadas parciales

de orden dos: Definición……………………………………………………….09 3.1. Notación y Ejercicios………………………………………………………11 3.2. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Parciales de segundo

orden…………………………………………………………………….….12

3

1) Ecuación Diferencial de Orden Superior con Coeficiente Constante

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

( ) ( 1 ) ( 2 ) '1 2 1 0( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( ) 0n n n

n n na y x a y x a y x a y x a y x− −

− −+ + + + + =

cada una de sus soluciones tiene la forma:

( )

2

3

( )

1 21 2 1 0

1 21 2 1 0

1 21 2 1 0

E c u a c i ó n a u

( )

` ( )

` ` ( )

` ` ` ( )

. . .

( )

. . . 0

. . . 0

. . . 0

r x

r x

r x

r x

n n r x

n r x n r x n r x r x r x

n n n

n n n r x

n n n

n n n

n n n

y x e

y x r e

y x r e

y x r e

y x r e

a r e a r e a r e a r e a e

a r a r a r a r a e

a r a r a r a r a

− −

− −

− −

− −

− −

− −

=

⇒ =

⇒ =

⇒ =

⇒ =

⇒ + + + + + =

⇒ + + + + + =

⇒ + + + + + =

x i l i a r a s o c i a d a a la e c u a c i ó n h o m o g é n e a1 4 4 4 4 4 4 42 4 4 4 4 4 4 43

CASO 1 : La ecuación auxiliar tiene n raíces reales y distintas :

1 2, ,...,n

r r r , por lo tanto existen n soluciones linealmente independientes de la

forma:

1

2

3

1

2

3

( )

( )

( )

....

( ) n

r x

r x

r x

r x

n

y x e

y x e

y x e

y x e

=

=

=

=

Por lo tanto la solución general será:

31 21 2 3( ) ... / , 1, 2, ...,nr x r xr x r x

n iy x c e c e c e c e c lR i n= + + + + ∈ =

CASO 2 : La ecuación auxiliar tiene al menos una raíz real de multiplicidad

m: r , por lo tanto debido a esta raíz existen m soluciones linealmente

independientes de la forma:

CASO 3 : La ecuación auxiliar tiene al menos una raíz compleja de multiplicidad m: r i

soluciones linealmente independientes de la forma:

1 1 2 1

1 2 2 2

2 21 3 2 3

1 2

( ) c o s ( ) ( ) ( )

( ) c o s ( ) ( ) ( )

( ) c o s ( ) ( ) ( )

. . . . . . . .

( ) c o s ( ) ( ) ( )

x x

m x m x

m m

y x e x y x e s e n x

y x x e x y x x e s e n x



α α

α α

= =

= =

= =

= =

En donde si

entonces la ecuación diferencial se denomina no homogénea.

Operador inverso

funciones reales de una sola variable real con condiciones de todas las funciones que intervienen son continuas, existe un operador inverso que es un operador integral.

Dicho operador inverso vienen dado por la función de Green. Explicitémoslo considerando una ecuación diferencial de ord

En este caso existe un operador integral

Tal que se cumple:

La ecuación auxiliar tiene al menos una raíz real de multiplicidad

, por lo tanto debido a esta raíz existen m soluciones linealmente

independientes de la forma:

1

2

23

1

( )

( )

( )

. . . .

( )

r x

r x

r x

m r x

m

y x e

y x x e

y x x e

y x x e−

=

=

=

=

La ecuación auxiliar tiene al menos una raíz compleja de r iα β= ± , por lo tanto debido a esta raíz existen 2m

soluciones linealmente independientes de la forma:

1 1 2 1

1 2 2 2

2 21 3 2 3

1 11 2

( ) c o s ( ) ( ) ( )

( ) c o s ( ) ( ) ( )

( ) c o s ( ) ( ) ( )

. . . . . . . .

( ) c o s ( ) ( ) ( )

x x

x x

x x

m x m x

m m





α α

α α

α α

α α

β β

β β

β β

β β− −

= =

= =

= =

= =

la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero si


Operador inverso: Dado un operador diferencial lineal sobre un espacio de funciones reales de una sola variable real con condiciones de contorno homogénea, en el que todas las funciones que intervienen son continuas, existe un operador inverso que es un

Dicho operador inverso vienen dado por la función de Green. Explicitémoslo considerando una ecuación diferencial de orden n sin constante:

En este caso existe un operador integral

Tal que se cumple:

4

La ecuación auxiliar tiene al menos una raíz real de multiplicidad

, por lo tanto debido a esta raíz existen m soluciones linealmente

La ecuación auxiliar tiene al menos una raíz compleja de , por lo tanto debido a esta raíz existen 2m

( ) c o s ( ) ( ) ( )

( ) c o s ( ) ( ) ( )

( ) c o s ( ) ( ) ( )

( ) c o s ( ) ( ) ( )

x x

m x m x




y x x e x y x x e s e n xα α

β β

β β

β β

β β

la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero si


Dado un operador diferencial lineal sobre un espacio de contorno homogénea, en el que

todas las funciones que intervienen son continuas, existe un operador inverso que es un

Dicho operador inverso vienen dado por la función de Green. Explicitémoslo

En este caso existe un operador integral dado por:

1.1. Método del Operador Inverso Método del Operador Inverso

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2) Sistema de E.D.O lineales de orden superior:

Un sistema de ecuaciones diferenciales de 2x2 de primer orden tiene la

1 1 1 1 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 2 2 2 2

( ) ´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a x u x b x v x a x u x b x v x f x


+ + + =

+ + + =

Un sistema de ecuaciones diferenciales de 2x2 de segundo orden tiene la forma:

11 11 12 12 13 13 1

21 21 22 22 23 23 2

( ) ´́ ( ) ( ) ´́ ( ) ( ) (́ ) ( ) (́ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ´́ ( ) ( ) ´́ ( ) ( ) (́ ) ( ) (́ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a x u x b x v x a x u x b x v x a x u x b x v x f x


+ + + + + =

+ + + + + =

Entonces, se puede definirpodemos definir una ecuación diferencial

aparece es de orden n

Esta ecuación se dice que es lineal si la función incógnita o sus derivadas no están multiplicadas por si mismas o si tampoco aparecen en forma de funciones

compuestas (por ejemplo, puede atacarse conviorden. Para hacer esto se definen las

El sistema de ecuaciones diferenciales puede escribirse en forma de ecuación matricial como:

Sistema de E.D.O lineales de orden superior:

Un sistema de ecuaciones diferenciales de 2x2 de primer orden tiene la

1 1 1 1 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 2 2 2 2

( ) ´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



+ + + =

+ + + =

Un sistema de ecuaciones diferenciales de 2x2 de segundo orden tiene la

11 11 12 12 13 13 1

21 21 22 22 23 23 2

( ) ´́ ( ) ( ) ´́ ( ) ( ) (́ ) ( ) (́ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ´́ ( ) ( ) ´́ ( ) ( ) (́ ) ( ) (́ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



+ + + + + =

+ + + + + =

e puede definir la ecuación diferencial lineal de primer orden podemos definir una ecuación diferencial de orden n como:

, donde la derivada mayor que n-ésimo.


compuestas (por ejemplo, ). Una ecuación diferencial lineal de orden superior puede atacarse convirtiéndola en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Para hacer esto se definen las n funciones incógnita adicionales dadas por:

. Puesto que:

El sistema de ecuaciones diferenciales puede escribirse en forma de ecuación

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Un sistema de ecuaciones diferenciales de 2x2 de primer orden tiene la forma:

1 1 1 1 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 2 2 2 2

( ) ´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



+ + + =

+ + + =

Un sistema de ecuaciones diferenciales de 2x2 de segundo orden tiene la

11 11 12 12 13 13 1

21 21 22 22 23 23 2

( ) ´́ ( ) ( ) ´́ ( ) ( ) (́ ) ( ) (́ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ´́ ( ) ( ) ´́ ( ) ( ) (́ ) ( ) (́ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



+ + + + + =

+ + + + + =

la ecuación diferencial lineal de primer orden

onde la derivada mayor que


). Una ecuación diferencial lineal de orden superior ecuaciones diferenciales de primer

funciones incógnita adicionales dadas por:

Puesto que:

El sistema de ecuaciones diferenciales puede escribirse en forma de ecuación

2.1) Eliminación de Funciones arbitrarias

EDP's hacen intervenir funciones arbitrarias, parece lógico que se obtengan EDP por el proceso inverso de eliminar tales funciones.

Eliminación de Funciones arbitrarias: Ya que las soluciones de las EDP's hacen intervenir funciones arbitrarias, parece lógico que se obtengan EDP por el proceso inverso de eliminar tales funciones.

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: Ya que las soluciones de las EDP's hacen intervenir funciones arbitrarias, parece lógico que se obtengan EDP por

3) Ecuaciones diferenciales lineales en Derivadas

Una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) para la función

tiene la siguiente forma:

Donde es una función lineal de

Una ecuación diferencial en derivadas parciales simple puede ser: u es una función de x completamente independientes de diferencial es:

donde f es una función arbitraria de

EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

que tiene la siguiente solución:

Donde c es cualquier valor constante (independiente de ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de tal forma que se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función determinarse si se especifica

Si u = u(x,y,z), una ecuación diferencial en derivadas parciales sería

Se denomina orden de la PDE al más alto grado de derivación parcial que aparece en la expresión.

Ecuaciones diferenciales lineales en Derivadas Parciales de orden dos


tiene la siguiente forma:

es una función lineal de y sus derivadas si:

y

Una ecuación diferencial en derivadas parciales simple puede ser: e y. Esta relación implica que los valores de

completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación

es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la

EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

que tiene la siguiente solución:

es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en

s parciales generalmente no es única; de tal forma que se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función

se especifica sobre la línea .


Se denomina orden de la PDE al más alto grado de derivación parcial que aparece

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arciales de orden dos:


Una ecuación diferencial en derivadas parciales simple puede ser: donde . Esta relación implica que los valores de u(x, y) son

. Por lo tanto la solución general de esta ecuación

. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la

). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en

s parciales generalmente no es única; de tal forma que se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función puede


Se denomina orden de la PDE al más alto grado de derivación parcial que aparece

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Así (1) : es una PDE de 2 orden, mientras que (2)

, es una PDE de primer orden.

La ecuación (1) es lineal ya que u y sus derivadas aparecen sin multiplicarse y no aparecen elevadas a potencias. La ecuación (2) es, en cambio, no lineal.

Se podrían hacer algunas consideraciones acerca de las PDE. Mientras que el número de constantes que hay que eliminar en una familia de curvas define el orden de la ecuación diferencial ordinaria de la que es solución, aquí la génesis se puede considerar vista de otro modo.

Sea una función de (x,y) que verifica que es de la forma: u(x,y) = f(x + y)·g(x - y) donde f y g son funciones arbitrarias. Entonces

a su vez

de donde se deduce que

Pero

Se ha llegado a una ecuación diferencial de 2° orden en derivadas parciales cuya solución tiene la forma

3.1. Notación y

parciales es muy común denotar las(Notación tensorial). Esto es:

Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como

para las derivadas espaciales y un punto (

) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de la onda, como:

(Notación matemática)

(Notación física)

Se ha llegado a una ecuación diferencial de 2° orden en derivadas parciales cuya solución tiene la forma

u(x,y) = f(x + y)·g(x - y)

Notación y ejercicios: En las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub(Notación tensorial). Esto es:

Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como

para las derivadas espaciales y un punto (

derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de la onda, como:

(Notación

(Notación física)

Otro ejercicio es el siguiente:

Otro ejercicio:

u = f(x + y) + g(x

11

Se ha llegado a una ecuación diferencial de 2° orden en derivadas parciales cuya

En las ecuaciones diferenciales en derivadas empleando sub-índices

Otro ejercicio:

u = f(x + y) + g(x - y)

3.3. Clasificación de las E

Ecuación Nombre

Laplace

Onda

Difusión

Helmholtz

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Parciales

Nombre Tipo Explicación

Laplace Elíptica se dice que es

determinante mayor a 0.Onda Hiperbólica se dice que es

matriz determinante menor a 0.

Difusión Parabólicas se dice que es

matriz determinante igual a 0.

Helmholtz Elíptica


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arciales de 2º orden:

Explicación

se dice que es elíptica si la matriz

tiene un determinante mayor a 0. se dice que es hiperbólica si la

tiene un determinante menor a 0. se dice que es parabólica si la

tiene un determinante igual a 0.


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