ECUACIONES DIFERENCIALES

CALCULI IVECUACIONES DIFERENCIALES

E

INTEGRANTES: ALVAREZ DAZA, Elvis Aa ANAYA TAQUIRE, Jhon CALDERON MEZA, Joel CONDOR SUAREZ, Robert ESTRADA ARMAS, Jos ESTRELLA SANTOS, Maribel MALLQUI HUERTO, Elquin MEZA CHACPA, Liliana REYES ANDRADE, William ROSALES SATURNO, Miguel INGENIERO: HUAMN DE LA CRUZ, Manuel Antonio SEMESTRE: IV

ECUACIN DIFERENCIAL APLICADA A LA FSICAAPLICACIONES A LOS CIRCUITOS ELCTRICOS SIMPLES:

Consideremos circuitos elctricos simples compuestos de un resistor y un inductor o condensador en serie con una fuente de fuerza electromotriz (f.e.m), a estos circuitos mostraremos en la figura a) y b) y su funcionamiento es simple de entender. I R E (a)

I R E (b) C A

La teora de los circuitos elctricos, que consisten de inductancias, resistores y capacitares, se basa en las leyes de Kirchhoff: El flujo neto de corriente a travs de cada nodo es ceroLa cada neta de voltaje alrededor de cada circuito cerrado es ceroAdems de las leyes de Kirchhoff, se tiene la relacin entre la corriente I en amperios, a travs de cada elemento del circuito, y la cada de voltaje V en volts, a travs de ese elemento; a saber,

Las leyes de Kirchhoff y la relacin corriente- voltaje para cada circuito proporcionan un sistema de ecuaciones algebraicas y diferenciales, a partir de las cuales puede determinarse el voltaje y la corriente en todo el circuito.Ahora estableceremos las relaciones siguientes:1una fuerza electromotriz (f.e.m) E (volts) producido casi siempre por una batera o un generador, hace fluir una carga elctrica Q (coulombios) y produce una corriente I (amperios). La corriente como la rapidez de flujo de la carga Q y puede escribirse: ------------------------------------------------------------ (1)2 un resistor de resistencia R (ohms) es una componente del circuito que se opone a la corriente y disipa energa en forma de calor. Produce una cada de voltaje que est dada por la ley de ohm.ER= RI---------------------------------------------------------- (2)3 un inductor de inductancia L (herios) se opone a cualquier cambio en la corriente produciendo una cada de voltaje de:EL= L ------------------------------------------------------- (3) 4 un condensador de capacitancia C (faradios) acumule o carga. Al hacerlo se resiste al flujo adicional de carga. Produciendo una lista de voltaje de:EC= --------------------------------------------------------- (4)Las cantidades R, L y C son generalmente constantes dependientes de los componentes especficos del circuito; E puede ser constante o una funcin del tiempo. El principio fundamental que gobierna estos circuitos es la ley de los voltajes de Kirchhoff. la suma algebraica de todas las cadas de voltaje alrededor de un circuito cerrado es cero.En el circuito de la figura a) el resistor y el inductor produce cadas de voltaje ER y EL, respectivamente, pero la f.e.m produce un aumento de voltaje E (es decir, una cada de voltaje de -E). Entonces la ley de los voltajes de Kirchhoff da:ER + EL E = 0------------------------------------- (5)

Remplazando (3), (4) en (5) se tiene:L + RI = E

Ejercicios desarrollados:1. una inductancia de 2 henrios y una resistencia de 10 ohms se conecta en serie con una f.e.m de 100volts, si la corriente es cero cuando t=0. cul es la corriente de 0,1 segundos? Datos:L=2 ; R=10; E=100 entonces la ecuacin que gobierna es:Solucin: L + RI = E Remplazando tenemos: 2 + 10I = 100Simplificando: + 5I = 50 Ecuacin lineal en I (amperios): se aplica el modelo matemtico de BERNOULLI:Y(x) =I (t) =

Reemplazando:I (t) =I (t) =I (t) =I (t) =I (t) =I (t) =Como: I (0)=0, por lo tanto: 0= 10 + C C =-10Ahora tenemos:I (t) =Si: t = 0, 1 seg.I (0, 1) =I (0, 1) = 3, 93 Amp. APLICACIN A LA CINEMATICATIRO PARABLICO CON ROZAMIENTO

Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actan sobre el cuerpo de masa m son como hemos visto ya El peso mg La fuerza de rozamiento Fr, que es de sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). Fr=-bmvv.Las ecuaciones del movimiento del cuerpo sern por tanto.

Este sistema de ecuaciones diferenciales acopladas se resuelven aplicando procedimientos numricos, por ejemplo, el mtodo de Runge-Kutta.Las condiciones inciales son las misma que en la seccin anterior t=0, v0x=v0cos , v0y=v0sen , x=0, y=0ActividadesEn el Apple introducimos: El valor del parmetro b en unidades m-1, en el control de edicin titulado b La velocidad inicial v0 en el control de edicin titulado Velocidad inicial. Se pulsa el botn titulado EmpiezaEl programa interactivo traza y calcula el alcance de los proyectiles disparados con ngulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45 (en color rojo).Compara estas trayectorias con la que seguira el mismo proyectil disparado con un ngulo de 45 en el vaco (en color azul).En la parte superior derecha del applet, se muestra el alcance (aproximado) de cada uno de los proyectiles. Podemos observar que el mximo alcance del proyectil no se obtiene para el ngulo de disparo de 45 sino para un ngulo inferior. Y como caba esperar, el alcance del proyectil disparado con 45 es inferior en un medio como el aire que en el vaco.

Alcance, altura mxima y tiempo de vueloEn el apartado anterior, se ha calculado la trayectoria del proyectil resolviendo un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden. En este apartado, vamos a integrar las ecuaciones del movimiento para calcular el alcance, el tiempo de vuelo y la altura mxima.Cambiamos de sistema de referencia, y escribimos las ecuaciones del movimiento en la direccin tangencial y en la direccin normal

donde es el radio de curvatura de la trayectoria.

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la direccin del vector velocidad cambia un ngulo d, que es el ngulo entre las tangentes o entre las normales. El mvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=d, tal como se aprecia en la figura.

Hemos de tener en cuenta que la curvatura de la trayectoria es negativa (figura de la derecha). La curva queda a la derecha de la tangente tomada en sentido de las x crecientes. La igualdad anterior se escribe para este caso

Las ecuaciones del movimiento en la direccin tangencial y en la direccin normal se convierten en una nica ecuacin diferencial de primer orden.

Haciendo el cambo de variable u=1/v2

Esta ecuacin es del tipo lineal (vase Puig Adam P., Curso terico-prctico de Ecuaciones Diferenciales aplicado a la Fsica y Tcnica. Biblioteca Matemtica, 1970. pgs. 29-30)Buscamos una solucin de la forma u=w()z()

Hacemos que

La integral se calcula fcilmente

Nos queda ahora que

Integramos por partes

Resolvemos esta ltima integral haciendo el cambio de variable t=tan(/2)

De este modo,

Finalmente,

La constante de integracin C2 se calcula a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la velocidad de disparo es v0 y hace un ngulo 0 con la horizontal (vase la figura ms abajo)

La funcin que relaciona el mdulo de la velocidad v y el ngulo , que forma la direccin de la velocidad (tangente a la trayectoria) con la horizontal es

Posicin del proyectildx=dscos=dcosUtilizando la ecuacin del movimiento en la direccin normal, y teniendo en cuenta que la trayectoria tiene curvatura negativa

Del mismo modody=dssen=dsen

Tiempo de vuelods=vdtd=vdt

El programa interactivo calcula el ngulo final que forma la direccin de la velocidad cuando y=0 (vase la figura ms arriba).

Conocido el ngulo final f se calcula el alcance x y el tiempo de vuelo t, resolviendo numricamente las integrales

APLICACIN A LA MECNICAEs posible que la aplicacin ms importante del clculo en la fsica sea el concepto de "derivada temporal"-- la tasa de cambio en el tiempo-- que se requiere para la definicin precisa de varios conceptos importantes. En particular, las derivadas con respecto al tiempo de la posicin de un objeto son significativas en la fsica Newtoniana: La velocidad (velocidad instantnea; el concepto de la velocidad promedio que prevalece en el clculo) es la derivada, con respecto al tiempo, de la posicin de un objeto.

La aceleracin es la derivada, con respecto al tiempo, de la velocidad de un objeto.

La Sobre aceleracin o el tirn es la derivada, con respecto al tiempo, de la aceleracin de un objeto.

Por ejemplo, si la posicin de un objeto est determinada por la ecuacin:

Entonces la velocidad del objeto es:

La aceleracin del objeto es:

y el tirn del objeto es:

Si la velocidad de un objeto est dada como una funcin del tiempo, entonces la derivada de dicha funcin con respecto al tiempo, describe la aceleracin del objeto como una funcin del tiempo.Aplicacin a la mecnica: muchos problemas importantes de la mecnica y la fsica se resuelven explicados por los mtodos de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Por ejemplo, problemas de movimiento rectilneo conducen a ecuaciones diferenciales de primer orden o segundo orden, y la aceleracin de los problemas depende de la resolucin de estas ecuaciones.Antes de explicar algunos ejemplos, hay que recordar que: (1) , ,Siendo V y a, respectivamente, la velocidad y la aceleracin en cualquier instante (=t), y s la distancia del mvil en este instante a un origen fijo sobre la trayectoria.

Ejercicio 1.En un movimiento rectilneo la aceleracin es inversamente proporcional al cuadro v de la distancia s, y es igual a -1 cuando s=2. Esto es:(2) Aceleracin = a = Adems. V=5 y s = 8, cuando t = 0a) Hallar V cuando s = 24.Solucin. De (2) y (1), empleamos la ltima forma de a, obtenemos (3) Multiplicando ambos miembros por ds e integrando, resulta:(4) , osea, .Sustituyendo en (4) las condiciones dadas V=5, s=8, encontramos = 24. Luego (4) se convierte en:(5) De esta ecuacin, si s=24, resulta v=

b) Hallar el tiempo de que transcurre cuando el punto se mueve de:

S=8 a s=24.Solucin:Despejamos V de (5), obtenemos(6) Separando las variables s y t y despejando t, teniendo en cuenta los limites dados, s = 8, s = 24, encontramos para el tiempo transcurrido.(7) NOTA: empleamos la primera forma de (1) para a, (2) es equivalente a.

Un tipo importante de movimiento rectilneo es aquel en el que la aceleracin y la distancia estn en razn constante y tienen signos contrarios.Entonces podemos escribir (8) a = Siendo = magnitud de (a) a la unidad de distancia.Teniendo presente que una fuerza y la aceleracin que esta fuerza causa difieren solo en magnitud, vemos en este caso que la fuerza efectiva se dirige siempre hacia el punto s=0, y que, en magnitud, es directamente proporcional a la distancia s. el movimiento se llama VIBRACION ARMONICA SIMPLE.De (8) tenemos, empleando (1),(9) Una ecuacin lineal se segundo orden en s y t, con coeficientes constantes. Integrando, obtenemos la solucin completa,(10) De (10), por derivacin,(11) Es fcil ver que el movimiento definido por (10) es una oscilacin peridica entre las posiciones externas s=b y s=-b, determinadas por:(12) , periodo = En efecto, podemos reemplazar las constantes c1 y c2 en (10) por otras constantes b y A tales que:(13) C1 = bsenA , C2 = bcosASustituyendo estos valores, (10) se reduce a: (14) S = bsen (Kt + A), segn (4) que es lo que quera demostrar.En los siguientes ejercicios el movimiento armnico simple se perturba por otras fuerzas. En todos los casos el problema depende de la resolucin de una ecuacin de una de las formas (G) y (H).Ejercicio 1.En un movimiento rectilneo es:(15) a = Adems, V=2 y s = 0 cuando t=0a) Hallar la ecuacin del movimiento (s en funcin t).Solucin: de (15) tenemos, empleando (1).(16) Que es una ecuacin de la forma (G).Las races de la ecuacin auxiliar + r +

Luego la solucin general es (16) es (17) Segn las condiciones dadas, s = 0 cuando t =0. Sustituyendo estos valores en (17) , encontramos c1 = 0, luego (18) Derivando, a fin de determinar V, obtenemos:(19) Sustituyendo valores dados, v = 2 cuando t = o, tenemos 2 = c2-Con este valor C2, (18) se convierte en:(20) Mecanica Elemental.

El estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la accion de un conjunto de fuerzas ex- ternas, fue una de las principales motivaciones para el planteamiento y solucion de las ecuaciones diferenciales.

F (r(t), v(t), t) =Xexternasd mv(t) = m a(t) ,

dtv(t) = dr(t)para sistemas con m = cte (partculas) y con v(t) la velocidad y r(t) la

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