Guía 11

Operaciones y propiedades básicas

Una operación es un conjunto de reglas que permiten obtener otras cantidades o expresiones.

Las siete operaciones básicas de la Aritmética son:

Suma

La operación suma consiste en obtener el número total de elementos a partir dos o más cantidades.

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

2. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

3. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

4. Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

 a − a = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

La suma de números naturales no cumple esta propiedad.

Resta

La resta o sustracción es la operación inversa a la suma.

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado,c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta

No es Conmutativa:

a − b ≠ b − a

Multiplicación

Multiplicar dos números consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado

(a · b) · c = a · (b · c)

2. Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

3. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a

4. Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad.

5. Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

División

La división o cociente es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número está contenido en otro número.

D : d = c

Los términos que intervienen en un cociente se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Tipos de divisiones

1. División exacta:

Cuando el resto es cero.

D = d · c

2. División entera:

Cuando el resto es distinto de cero.

D = d · c + r

Propiedades de la división

1. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

2. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0: a = 0

3. No se puede dividir por 0.

Teoremas y leyes booleanas

Leyes básicas del Álgebra de Boole: 

– Leyes conmutativas de la suma y multiplicación.

 – Leyes asociativas de la suma y multiplicación. 

– Ley distributiva.

Leyes Conmutativas

 • El orden en que se aplica a las variables la operación OR es indiferente: A+B = B+A • El orden en que se aplica a las variables la operación AND es indiferente: Ley conmutativa de la suma para dos variables Ley conmutativa de la multiplicación para dos variables.

AB = BA

Leyes Asociativas 

• Al aplicar la operación OR a más de dos variables, el resultado es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables:

Ley asociativa de la suma para tres variables

 A + (B + C) = (A + B) + C

 • Al aplicar la operación AND a más de dos variables, el resultado es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables: Ley asociativa de la suma para tres variables:

 Ley asociativa de la multiplicación para tres variables

A(BC) = (AB)C

Ley Distributiva

 • Aplicar la operación OR a dos o más variables y luego aplicar la operación AND al resultado de la operación y a otra variable aislada, es equivalente a aplicar la operación AND a la variable aislada con cada uno de los sumandos y luego aplicar la operación OR a los productos resultantes. • Esta ley también expresa el proceso de sacar factor común, en el que la variable común se saca como factor de los productos parciales.

Ley distributiva para tres variables

A (B + C) = AB + AC

Formas canónicas: miniterminos y maxiterminos

Formas canónicas

A partir de una tabla de verdad es posible obtener múltiples expresiones para la misma función, y todas estas expresiones son equivalentes entre ellas.

Miniterminos

La primera forma canónica está formada por la suma de productos (miniterminos) y se desarrolla tomando la tabla de verdad  y eligiendo las combinaciones de entradas en las que la salida se hace 1 descartando las que son igual a 0.

Maxiterminos

La segunda forma canonica esta formada por el producto de sumas (maxiterminos) y se desarroll tomando la tabla de verdad y eligiendo las combinaciones de entradas en las que la salida se hace 0 y descartando las que son igual a 1.

Tabla de la verdad

Tabla de valores de verdad, es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes

Existen 5 tabla de la verdad o valores de a verdad las cuales son:

La tabla del " Y" o conjunción La tabla del " O" o disyunción La tabla del entonces o condicionalLa tabla de la equivalencia o el bicondicional La tabla de la negación 

Tabla de la conjunción La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

Tabla de la disyunción 

La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

Tabla del condicional

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Tabla del bicondicional 

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de Verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

Tabla de la negación:

La negación es un operador que opera.  Sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

Mapa de Karnaugh

Construcción del mapa-K.

Las variables de entrada pueden combinarse de 16 formas diferentes, por lo que el mapa de Karnaugh tendrá 16 celdas, distribuidas en una cuadrícula de 4 × 4.

La combinación de dígitos binarios en el mapa representa el resultado de la función por cada combinación de entradas. Por ejemplo, la celda en la esquina superior izquierda del mapa es 0, porque el resultado de la función es ƒ = 0 cuando A = 0, B = 0, C = 0, D = 0. De igual manera, la esquina inferior derecha es 10 porque el resultado de la función es ƒ = 10 cuando A = 1, B = 0, C = 1, D = 0.

Una vez construido el mapa de Karnaugh, la siguiente tarea es la de seleccionar conjunto de términos denominados subcubos de manera que se obtenga el menor número de subcubos posible. Estos subcubos se seleccionan formando grupos de rectángulos que encierren a los unos del mapa, las áreas deben ser potencia de 2 (ej. 1, 2, 4, 8, ...) y se debe tratar de agrupar el mayor número de unos posible. En resumen hay que tomar en cuenta al hacer estos grupos de unos (subcubos) lo siguiente:

Se puede visualizar también que los grupos pueden continuar en el lado opuesto como en el subcubo 1

de la figura dibujado en azul.

Debemos utilizar todos los unos del mapa.

Es mejor crear el menor número de grupos.

Los unos pueden estar en varios grupos.

El número de unos dentro de un grupo debe de ser cualquier potencia de 2.

Mientras más grande sea un grupo la simplificación de la función será mejor.

No es necesario que todos los grupos tengan el mismo tamaño.

Qué términos seleccionar va dependiendo de cómo se quiera realizar la simplificación, puesto que esta puede realizarse por minitérminoso por maxitérminos.

Los operadores lógicos

Los operadores lógicos son:

&& AND (el resultado es verdadero si ambas expresiones son verdaderas)

|| OR (el resultado es verdadero si alguna expresión es verdadera)

! NOT (el resultado invierte la condición de la expresión)

AND y OR trabajan con dos operando y retornan un valor lógico basadas en las denominadas tablas de verdad. El operador NOT actúa sobre un operando. Estas tablas de verdad son conocidas y usadas en el contexto de la vida diaria, por ejemplo: "si hace sol Y tengo tiempo, iré a la playa", "si NO hace sol, me quedaré en casa", "si llueve O hace viento, iré al cine". Las tablas de verdad de los operadores AND, OR y NOT se muestran en las tablas siguientes

El operador lógico AND

x y resultado

true true true

true false false

false true false

false false false

El operador lógico OR

x y resultado

true true true

true false true

false true true

false false false

El operador lógico NOT

x resultado

true false

false true

Los operadores AND y OR combinan expresiones relacionales cuyo resultado viene dado por la última columna de sus tablas de verdad. Por ejemplo:

(a<b) && (b<c)

es verdadero (true), si ambas son verdaderas. Si alguna o ambas son falsas el resultado es falso (false). En cambio, la expresión

(a<b) ||(b<c)

es verdadera si una de las dos comparaciones lo es. Si ambas, son falsas, el resultado es falso.

La expresión " NO a es menor que b"

!(a<b) 

es falsa si (a<b) es verdadero, y es verdadera si la comparación es falsa. Por tanto, el operador NOT actuando sobre (a<b) es equivalente a

(a>=b)

La expresión "NO a es igual a b"

!(a==b) .

es verdadera si a es distinto de b, y es falsa si a es igual a b. Esta expresión es equivalente a: (a!=b)

Compuertas LógicasLas compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos estados lógicos mencionados en lo anterior y funcionan igual que una calculadora, de un lado ingresas los datos, ésta realiza una operación, y finalmente, te muestra el resultado.

Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo, y la operación que realiza (Operación lógica) se corresponde con una tabla, llamada Tabla de Verdad, veamos la primera.Compuerta NOTSe trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si pones su entrada a 1 (nivel alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación lógica es s igual a a invertida

Compuerta ANDUna compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica es un producto entre ambas, no es un producto aritmético, aunque en este caso coincidan.*Observa que su salida será alta si sus dos entradas están a nivel alto*

Compuerta ORAl igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica, será una suma entre ambas... Bueno, todo va bien hasta que 1 + 1 = 1, el tema es que se trata de una compuerta O Inclusiva es como a y/o b*Es decir, basta que una de ellas sea 1 para que su salida sea también 1*

                                                                

Compuerta OR-EX o XOR

Es OR Exclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo que hará con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por b.*Al ser O Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1*

                                                                     

Actividades de apropiación del conocimiento (Conceptualización y Teorización).

Realizar el estudio de los Sistema Numéricos Binario, Octal, Decimal y Hexadecimal, su aritmética, conversión entre ellos y su aplicación en los circuitos digitales:

Sistema de numeración binario.

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).

En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:

1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20, es decir:

8 + 0 + 2 + 1 = 11

Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:

10112 = 1110

Sistema de numeración octal

El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal. En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.

Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:

2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610

2738 = 149610

Sistema de numeración decimal:

El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.

El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.

En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:

5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:

500 + 20 + 8 = 528

En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número8245, 97 se calcularía como:

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos

8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:

8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal:

DECIMAL BINARIO OCTAL0 000 01 001 12 010 23 011 34 100 45 101 56 110 67 111 7

Sistema de numeración hexadecimal

En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.

Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:

1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160

 1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F16 = 671910

DECIMAL BINARIO HEXADECIMAL

0 0000 01 0001 12 0010 23 0011 34 0100 45 0101 56 0110 67 0111 78 1000 89 1001 910 1010 A11 1011 B12 1100 C13 1101 D14 1110 E15 1111 F

Realizar el análisis y comprensión del funcionamiento de los operadores lógicos, identificando las tablas de comportamiento, las ecuaciones con las que se representan, y simbología utilizada para cada una de ellas, que le permitan describir el comportamiento de un equipo electrónico que requiera

para su desempeño. Realice un resumen en el que se identifique cada uno de los Operadores Lógicos, con su símbolo lógico, ecuación y tabla de comportamiento.

Realice un cuadro comparativo entre las diferentes tecnologías o Familias Lógicas TTL y CMOS de circuitos integrados digitales en el que se diferencien, niveles lógicos, tensiones, potencia, corrientes de funcionamiento, tiempos y velocidad de respuesta, Fan out, temperatura de funcionamiento y referencias más comerciales:

Comparación de las FamiliasLa siguiente Tabla compara algunas características de varias familias lógicas populares disponibles 

en el mercado actual. Las secciones siguientes entregan explicaciones breves de los distintos parámetros.

Familias Lógicas

Si bien existen muchas familias tecnológicas disponibles, estas pueden ser divididas rigurosamente en   tres   grandes   categorías:   Lógica   Transistor-Transistor   (TTL),   lógica   de   Semiconductor Complementario   de  Metal-Óxido   (CMOS),   y   lógica   de   Emisor  Acoplado   (ECL).   TTL   y   ECL   son tecnologías bipolares que difieren en las técnicas de implementación, en tanto que CMOS (una tecnología MOS) difiere en la estructura y operación fundamental de los transistores.

TTLLa designación " bipolar" se refiere esencialmente al componente básico utilizado en la construcción de esta familia de circuitos integrados, el transistor bipolar. El uso de un transistor bipolar en el driver de salida y en el buffer de entrada de una función lógica, da lugar a una conexión directa Transistor-a-Transistor (TTL). Tecnologías más antiguas eran interconectadas mediante componentes pasivos como resistencias o diodos.

Desde el diseño TTL original, varias mejoras han sido empleadas para reducir la potencia e incrementar la velocidad. Común a estos ha sido el uso de diodos Schottky, los cuales, irónicamente no dan lugar a conexiones estrictamente TTL. Consecuentemente, los dos nombres, Schottky y TTL, son usados en combinación: LS (Schottky de Baja Potencia), ALS (Schottky Avanzado de Baja Potencia), y FASTTM (Schottky Avanzado) TTL.

La característica superior de los TTL comparado a CMOS, en el pasado, ha sido su rapidez relativamente alta y elevada corriente de salida; estas ventajas están disminuyendo rápidamente como se verá en la próxima sección. Una familia de elementos, ABT (Tecnología BiCMOS Avanzada), utiliza circuitería TTL en las entradas y salidas, y tecnología CMOS entre medio -- intentando combinar las ventajas de los bipolares y de CMOS.

CMOSLos  transistores  de  Efecto  de Campo del  tipo Semiconductor  Complementario  de  Metal-Óxido (CMOS) difieren de los bipolares tanto en estructura como en operación. Las ventajas básicas de los CMOS son su baja  disipación de potencia y pequeña geometría  física.  Los adelantos en el diseño y fabricación han originado elementos CMOS de igual velocidad y capacidad de corriente de salida que los TTL. Una vez más, las mejoras han resultado en la evolución de clasificaciones adicionales: MG (CMOS Compuerta de Metal), HC (CMOS Compuerta de Silicio de Alta Velocidad), y FACTTM (CMOS Avanzado).La evolución más reciente en lógica CMOS ha sido la reducción del voltaje de alimentación sin sacrificar  el  desempeño.  La  nueva  familia  LCX es  un producto  de esta  tendencia.  Esta  familia resulta   de   los   esfuerzos   conjuntos   de   un   triunvirato   de   compañías   que   incluye   a  Motorola, Nacional,  y Toshiba.  Aun cuando cada compañía ha hecho su propio diseño y fabricación,  han 

acordado entregar especificaciones de desempeño idénticas. Además del voltaje de operación de 3V, las entradas y salidas LCX son tolerantes a la interconexión con elementos de 5V.

ECLLa   lógica   de   Emisor   Acoplado   (ECL)   deriva   su   nombre   de   la   configuración   de   amplificador diferencial   donde   cada   lado   del   amplificador   consiste   de   transistores   bipolares   de   entradas múltiples con sus emisores enlazados entre sí. Una polarización de entrada en el lado opuesto del amplificador  diferencial  provoca  que el  amplificador  opere  continuamente en el  modo activo. Consecuentemente, ECL consume una cantidad relativamente importante de potencia en ambos estados (uno o cero) pero también resulta en  las más rápidas velocidades de conmutación de todas las familias lógicas. Un beneficio inherente de ECL es el estrecho nivel de variación de la conmutación entre elementos (aproximadamente 800 mV) lo cual ayuda a reducir la generación de ruido.Han habido también muchos avances evolucionarios en ECL, siendo los siguientes algunos de los más prominentes: 100K (1975), 10KH (1981), y ECLinPSTM (1987). De muy reciente cosecha es la familia ECLinPS LiteTM de elementos de una función. Al enfocarse en la simplicidad, esta familia logra un muy elevado desempeño, reduciendo al mismo tiempo el tamaño del paquete.

Conclusiones

La diversidad de familias lógicas disponible para el diseñador lógico actual puede ser comparada a un escenario de buenas o malas noticias. Las malas noticias son que hay enormes razones entre los valores de desempeño superior e inferior-- velocidades de 500:1, potencia en 100,000:1, impulso de salida en 24:1, etc. La buena noticia es que hay múltiples opciones-- no muchos años atrás había muy pocas opciones. Es posible una selección óptima mediante la comparación de los parámetros de cada familia.

Unos pocos usuarios potenciales de elementos lógicos estándar podrían preocuparse de que, debido a la tendencia hacia chips con una mayor integración, algunos fabricantes abandonen las líneas de viejos productos. Esto podría eventualmente ocurrir; sin embargo, la demanda actual, proyectada por al menos la próxima década, indica que estas familias tienen un futuro muy sólido. Las aplicaciones diversas que siguen surgiendo para los productos semiconductores, baratos y confiables continúan creciendo. Hasta que ocurra un desarrollo totalmente revolucionario, estos artículos viejos pero buenos seguirán estando disponibles por un largo tiempo.

Actividad sistema de control de nivel de líquidos