GUÍA DIDÁCTICA ACTUALIZADA
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GUÍA DIDÁCTICA
Asignatura: ALGEBRA BOOLEANA
Elaborada: Ing. José Arce Apolo / Dic-2018
Actualizada: Ing. Eva G. Villacreses S.
Semestre: Primero
ACTUALIZADA
FEB/ 2020
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G U I A D I D Á C T I C A
CARRERA: Tecnología en Redes y Telecomunicaciones
NIVEL: Tecnológico
TIPO DE CARRERA: Tradicional
NOMBRE DE LA ASIGNATURA: Álgebra Booleana
Cód. Asig.: RT-S2- ALBO
PRE- REQUISITO: Matemáticas
CO-REQUISITO: S/N
TOTAL HORAS: Teoría 54 Practica 18 Trabajo independiente: 40
NIVEL: Segundo
MODALIDAD: Presencial
DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Eva Villacreses
Copyright©2020 Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño. All rights reserved.
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Contenido
PRESENTACIÓN: ............................................................................................................5
ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA.. ..........................................................7
Unidad Didáctica I.............................................................................................................9
Título de la Unidad didáctica I: Teoría de Conjuntos .....................................................9
Introducción de la Unidad Didáctica I. ........................................................................9
Objetivo de la Unidad Didáctica I.....................................................................................9
Organizador Grafico de la Unidad Didáctica I...............................................................11
Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica I ...................................................12
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica I ................................................12
Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica I ................................................17
Actividad de Aprendizaje 3 de la Unidad Didáctica I ................................................17
Actividad de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica I ................................................22
Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica I ........................................................23
Unidad Didáctica II .........................................................................................................24
Título de la Unidad didáctica II: Sistema de Numeración ............................................24
Introducción de la Unidad Didáctica II ......................................................................24
Objetivo de la Unidad Didáctica II .................................................................................24
Organizador Grafico de la Unidad Didáctica II .............................................................25
Actividades De Aprendizaje de la Unidad Didáctica II .................................................26
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica II ...............................................26
Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica II .............................................27
Actividad de Aprendizaje 3 de la Unidad Didáctica II .............................................27
Actividad de Aprendizaje 4 de la Unidad Didáctica II ..............................................28
Actividad de Aprendizaje 5 de la Unidad Didáctica II ...............................................29
Actividad de Auto – Evaluación de la Unidad Didáctica II:...........................................33
Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica II .......................................................33
Unidad Didáctica III ........................................................................................................34
Título de la Unidad Didáctica III: Lógica Proposicional ................................................34
Introducción de la Unidad Didáctica III .....................................................................34
Objetivo de la Unidad Didáctica III ................................................................................34
Organizador Grafico de la Unidad Didáctica III ............................................................36
Actividades De Aprendizaje de la Unidad Didáctica III ................................................37
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica III ..............................................37
Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica III ..............................................39
Actividad de Auto – Evaluación de la Unidad Didáctica III...........................................54
Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica III ......................................................55
Unidad Didáctica IV ........................................................................................................56
Título de la Unidad didáctica IV: Relaciones y Funciones ...........................................56
Introducción de la Unidad Didáctica IV.....................................................................56
Objetivo de la Unidad Didáctica IV ................................................................................56
Organizador Grafico de la Unidad Didáctica IV ............................................................58
Actividades De Aprendizaje de la Unidad Didáctica IV ................................................59
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica IV ..............................................59
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Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica IV ..............................................71
Actividad de Auto – Evaluación de la Unidad Didáctica IV ..........................................79
Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica IV ......................................................80
Referencias .....................................................................................................................81
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PRESENTACIÓN:
Con la finalidad de afianzar los conocimientos de cada una de las asignaturas
correspondientes al estudio de la carrera de Tecnología Superior en Redes y
Telecomunicaciones, se han desarrollado un conjunto de guías didácticas, las mismas
que van a fomentar y cimentar los conocimientos que el estudiante debe adquirir,
específicamente en este documento, acerca de Álgebra Booleana.
El estudio de Álgebra Booleana, inicia con el aprendizaje y el desarrollo de habilidades
concernientes al desarrollo de diagrama de circuitos aplicando lógica matemática que
posteriormente se aplicará estos conocimientos en el diseño de una red informática.
El objetivo de esta asignatura es Desarrollar habilidades del pensamiento lógico para
resolver problemas relacionados con la Carrera de Redes y Telecomunicaciones.
Aplicar a su vez la Investigación Científica como base de su aprendizaje para dar
alternativas de solución de problemas relacionados con su carrera con orden, lógica
y pulcritud; para lo cual dividiremos el contenido temático en cuatro temas que son:
TEMA I: TEORÍA DE CONJUNTOS. Que permitirá diseñar conjuntos a partir de
planteamiento de casos de redes y telecomunicaciones identificando los sistemas
numéricos relacionados con el computador y las operaciones con conjuntos,
incentivando de esta manera la responsabilidad en el uso de la terminología adecuada
frente a las diferentes situaciones que se presenten en la vida cotidiana.
TEMA II: SISTEMA DE NUMERACIÓN. Donde se preparará para transformar los
diferentes sistemas de numeración e información relacionados con el computador a
un lenguaje entendible para el ser humano con el fin de resolver problemas,
demostrando criticidad en la implementación de conversión.
TEMA III: LÓGICA PROPOSICIONAL. Aspectos relacionados a la resolución de
problemas cotidianos mediante operadores y proposiciones lógicas dentro del área de
redes, mediante la aplicación de normativas y simplificaciones, demostrando
responsabilidad y respeto ante la opinión de criterios ajenos.
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TEMA IV: RELACIONES Y FUNCIONES. Distinguir las distintas formas algebraicas y
su aplicación al comportamiento de la situación, mediante la aplicación de sus
teoremas prácticos, para verificar el cumplimiento de dichas leyes, demostrando
cooperación y compañerismo con el uso de instrumentos de medida. Así como,
diseñar diagramas de circuitos eléctricos aplicando álgebra de Boole mediante
técnicas de simplificación para la correcta utilización al momento de su aplicación en
circuitos demostrando actitudes que estimulen la investigación.
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ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA
I. GENERALIDADES
Antes de empezar con nuestro estudio, debes tomar en cuenta lo siguiente:
1. Todos los contenidos que se desarrollen en la asignatura contribuyen a tu
desarrollo profesional, ética investigativa y aplicación en la sociedad.
2. El trabajo final de la asignatura será con la aplicación de la metodología de
investigación científica.
3. En todo el proceso educativo debes cultivar el valor de la constancia porque no
sirve de nada tener una excelente planificación y un horario, si no eres
persistente.
4. Para aprender esta asignatura no memorices los conceptos, relaciónalos con
la realidad y tu contexto, así aplicarás los temas significativos en tu vida
personal y profesional.
5. Debes leer el texto básico y la bibliografía que está en el syllabus sugerida por
el docente, para aprender los temas objeto de estudio.
6. En cada tema debes realizar ejercicios, para ello debes leer el texto indicado
para después desarrollar individual o grupalmente las actividades.
Para el desarrollo de asignatura se sugiere lo siguiente:
Un cuaderno de apuntes, calculadora.
Lea reflexivamente el texto guía, ahí constan todos los temas a los que
corresponden las actividades planteadas.
Cuando haya realizado esta lectura comprensiva, proceda a desarrollar las
actividades. No haga una copia textual, sino conteste con sus propias palabras.
Para realizar las actividades, además de la lectura puede ayudarse con la
técnica del subrayado, mapas conceptuales, cuadros sinópticos, etc.
Presente el trabajo desarrollado en computadora con el formato siguiente.
o Papel INEN A4, utilice sangría, márgenes, ortografía
o Margen Superior : 3 cm
o Margen Inferior : 2.5 cm.
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o Margen Izquierdo : 3.5 cm.
o Margen Derecho : 2.5 cm.
7. A continuación, te detallo las imágenes que relacionadas a cada una de las
actividades: Ilustración 1:Iconos a utilizar
Imagen Significado
SUGERENCIA
TALLERES
REFLEXIÓN
TAREAS
APUNTE CLAVE
FORO
RESUMEN
EVALUACIÓN
Fuente: Vicerrectorado Académico
Animo, te damos la bienvenida a este nuevo periodo académico.
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DESARROLLO DE ACTIVIDADES
Unidad Didáctica I
Título de la Unidad didáctica I: Teoría de Conjuntos
Introducción de la Unidad Didáctica I.
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto
tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no
conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.
La importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede
reconstruir toda la matemática, salvo la Teoría de Categorías. Se pueden definir los
siguientes conceptos y probar todas sus propiedades: par ordenado, relación, función,
partición, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los
reales, los complejos, etc.
Es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su
primer tratamiento formal en el siglo XIX , concepto de conjunto es uno de las más
fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, en todas las
ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explica, los principios y
terminologías de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas
más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.
Objetivo de la Unidad Didáctica I
Diseñar conjuntos a partir de planteamiento de casos de redes y telecomunicaciones
identificando los sistemas numéricos relacionados con el computador y las
operaciones con conjuntos, incentivando de esta manera la responsabilidad en el uso
de la terminología adecuada frente a las diferentes situaciones que se presenten en
la vida cotidiana.
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Sistema de contenidos de la unidad didáctica I:
Tabla 1: Sistema de Contenidos de la Unidad Didáctica N. 1 Sistema de
conocimientos
Sistema de habilidades Sistema de Valores
Introducción y Generalidades
Dígitos significativos,
clasificación
Redondeo de cantidades y
valor absoluto
Notación científica
Teoría de Conjuntos
Conocer las principales
diferencias de los sistemas
numérico y teoría de
conjuntos.
Representar gráficamente
los dígitos significativos.
Definir correctamente el
redondeo y valor absoluto.
Interpretar los enunciados
en una notación científica.
Diagramar correctamente
los conjuntos de acuerdo a
su interpretación.
Responsabilidad al usar
la terminología correcta
frente a las diferentes
situaciones de la vida
cotidiana.
Puntualidad en la
entrega de actividades
realizadas dentro y fuera
del aula de clase.
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Organizador Grafico de la Unidad Didáctica I
Teoria de Conjuntos
Introducción
Su conocimiento no está fosilizado
Generalidades
incluido el cero dentro de los números naturales
Digitos Significativos
Miden la precisión general relativa de un valor
Redondeo y Valor Absoluto
Es su valor numérico sin tener en cuenta su signo,
sea este positivo o negativo.
Reducir el número de cifras manteniendo un
valor parecido
Notación Científica
es una abreviación matemática
Teoria de Conjuntos
Todas las matemática puede expresarse en
términos de conjuntos.
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Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica I
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica I
Dígitos Significativos
Los dígitos significativos miden la precisión general relativa de un valor. (Varsity,
2018)
En medidas, el último dígito significativo es el primero que tiene que estimar.
Por ejemplo, si estuviera midiendo algo con una regla marcada en centímetros, y
encontró que era 15 cm de largo y solo un poquito más, tendría que estimar los
milímetros – digamos 15.2 cm. Así el dígito correspondiente a los milímetros (en este
caso el lugar de las décimas) sería el último dígito significativo.
¿Cuántos dígitos significativos hay en un número?
Para contar el número de dígitos significativos en un número, haga esto:
1) Cuente todos los dígitos diferentes de cero.
2) Cuente cualquier cero que tenga algún dígito diferente de cero a su izquierda.
3) No cuente ningún otro cero.
Así, el número 0.000405100 tiene seis dígitos significativos. (Los primeros cuatro
ceros no cuentan; los otros tres ceros si, por la regla 2.)
Ejemplo
1. Todas las cifras diferentes de cero que expresen cantidades iguales o superiores a
la incertidumbre experimental son significativas.
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A la hora de contar el número de cifras exactas o significativas no se tiene en cuenta
los ceros que están a la izquierda de la primera cifra no nula.
2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos
3. Los ceros a la izquierda del primero dígito que no es cero sirven solamente para
fijar la posición del punto decimal y no son significativos.
4. En un número con dígitos a la derecha del punto decimal, los ceros a la derecha
del último número diferente de cero son significativos.
5. En un número que no tiene punto decimal y que termina con uno o más ceros (como
3600), los ceros con los cuales termina el número pueden ser o no significativos.
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El número es ambiguo en términos de cifras significativas. Antes de poder
especificar el número de otras cifras significativas, se requiere información
adicional acerca de cómo se obtuvo el número. Si el número es el resultado de una
medición, los ceros probablemente no son significativos. Si el número ha sido
contado o definido, todos los dígitos son significativos.
Se evitan confusiones expresando los números en notación científica. Cuando están
expresados en esta forma todos los dígitos se interpretan como significativos.
Reglas de operaciones con cifras significativas
Regla1: Los resultados experimentales se expresan con sólo una cifra dudosa e
indicando con +- la incertidumbre en la medida.
Regla 2: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha a partir del primer
dígito diferente de cero y hasta el dígito dudoso.
Regla 3: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del
resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas. (Practicas de
Laboratorio, 2019)
Un caso de especial interés es el de la resta. Citemos el siguiente ejemplo:
30,3475 – 30,3472 = 0,0003
Observemos que cada una de las cantidades tienen seis cifras significativas
y el resultado posee tan solo una. Al restar se han perdido cifras
significativas. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja con
calculadoras o computadores en donde haya cifras que se sumen y se
resten. Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para
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Regla 4: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del
resultado es igual al del factor con menos cifras
Operaciones Intermedias
No perder cifras significativas en las operaciones intermedias. Esto se asegura si todas
las operaciones intermedias se hacen con una o dos cifras de las realmente
significativas.
Sumas y Restas: La última cifra significativa se obtiene por simple inspección vidual
y tendrá la imprecisión debida al que sea más incierto.
Ejemplo: 2212.342 + 5.6 = 2217.9
Observe que, aunque 5.6 son sólo dos cifras significativas, el resultado tiene cinco
pero únicamente una decimal.
Multiplicaciones y Divisiones: El resultado de una operación de multiplicación,
división o elevación a una cierta potencia tiene usualmente el mismo número de cifras
significativas que la cantidad de la operación que tenga el menor número de cifras
significativas.
Ejemplo: 2.68 / 8.14732116 = 0.322
El número de cifras significativas del resultado es el del dato menor número de cifras
significativas.
Redondeo de Cantidades
Para el redondeo de cantidades con cifras significativas debemos tener presente lo
siguiente:
1. La última cifra retenida se incrementa en 1 si el primer dígito descartado es mayor
que 5.
Ejemplo:
Lea el siguiente documento :
https://aarrietaj.files.wordpress.com/2012/02/cifras-significativas.pdf
Realice los ejercicios propuestos.
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2. Si el dígito descartado es menor que 5 entonces el retenido no se altera
Ejemplo:
3. Cuando el primer dígito descartado es justamente 5 y no existen otros dígitos a su
derecha (por ejemplo, redondear a 3 cifras 41,75 o 3,8665) o si hay solamente
ceros (por ejemplo, redondear a tres cifras 41,7500 o 9,7250) entonces el número
retenido se aumenta en 1 sólo si al hacerlo se convierte en par.
4. Si el número descartado es justamente 5 y hay a su derecha dígitos diferentes de
cero, entonces el último retenido se aumenta en 1.
Redondee hasta la décima más próxima.
46.78; 20.35; 61.8; 17.63; 99.80; 66.92; 68.09; 67.2; 26.56; 67.73;
86.52; 8.5;
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Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica I
Valor absoluto
El valor absoluto de un número cualquiera A se define como la distancia del número
en cuestión a un origen previamente establecido y se representa como | A |. En este
sentido, no tiene signo; es decir, no tiene dirección. (Instituto Monterrey, 2019)
Actividad de Aprendizaje 3 de la Unidad Didáctica I
Teoría de Conjuntos
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se
puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.
Para denotar un conjunto, se usan letras mayúsculas.
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
Lea el siguiente ensayo científico:
http://www.escritoscientificos.es/trab21a40/cifrassignificativas/00cifra
s.htm
A partir de lo leído, redacte su criterio científico.
Lea el siguiente artículo:
http://www.itlalaguna.edu.mx/Academico/Carreras/Mecanica/MateI/1.3.-
%20Valor%20Absoluto.pdf
Una vez analizado el documento, realice los ejercicios planteados en las
páginas 33 al 36.
En el valor absoluto se dice que la magnitud de un número,
siendo una distancia NO tiene signo, es decir, NO tiene
dirección
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- Por extensión: Los elementos son encerrados entre llaves y separados por
comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre
llaves.
- Por comprensión: Los elementos se determinan a través de una condición que
se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal
que”.
- Diagramas de Venn: Son regiones cerradas que sirven para visualizar el
contenido de un conjunto o a las relaciones entre conjuntos.
- Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es
común para los elementos. (Smartic, 2018)
Ejemplo
Dada la descripción verbal “el conjunto de letras vocales”, expresarlo por extensión,
comprensión y diagramas de Venn.
Conjuntos con nombres específicos
- Conjunto vacío: Es aquel que no posee elementos. Ejemplo:
Describa 5 ejemplos de conjuntos, cada uno de las cuatro formas de enunciar.
De las formas de expresar un conjunto cual considera usted que
debe ser la más utilizada, y por que
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- Conjunto universal: Es aquel que contiene a todos los elementos bajo su
consideración.
- Conjunto finito: Es aquel cuyos elementos pueden ser contados
- Conjunto infinito: Es aquel cuyos elementos no pueden ser contados
- Conjuntos iguales: Si tienen exactamente los mismos elementos.
- Conjuntos desiguales: Si por lo menos difieren un elemento.
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- Conjuntos equivalentes: Si tienen la misma cantidad de elementos.
Operaciones de Conjuntos
- Unión de conjuntos: A y B es el conjunto de todos los elementos de A con
todos elementos de B sin repetir ninguno. Se lo grafica de la siguiente manera
Describa 5 ejemplos de conjuntos, de acuerdo a su nombre específico.
En que circunstancia se utilizan los conjuntos desiguales, para dennotar
que tipo de circunstncia.
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- Intersección de conjuntos: A y B es el conjunto de los elementos de A que
también pertenece a B. Se lo grafica de la siguiente manera
- Complementos de un conjunto: El complemento de un conjunto A con
respecto al conjunto Universal U es el conjunto de todos sus elementos de U
que no están en A. Se lo grafica de la siguiente manera
- Diferencia de conjuntos: La diferencias de los conjuntos A y B (en ese orden)
es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se lo
grafica de la siguiente manera. (GCGL, 2018)
Existen propiedades de conjuntos como: Asociativa, identidad,
impotencia, complemento, conmutativas, distributivas.
Analiza en casa cada una de ellas
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Actividad de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica I
Resuelva lo siguiente:
De los siguientes números indique cuántas cifras son significativas 12,0002 0,221212 0,000212 0,1425 0,001 10,00 10 0,10 22,1200111
Realice el enuncia de 5 conjuntos y derívelo a las siguientes formas de expresarse.
Realice 5 conjuntos de acuerdo su nombre específico
Realice los siguientes ejercicios
Los dígitos significativos son aquellos que representa un
valor de peso dentro de una cifra.
Los ceros a la izquierda no son significativos.
Existen cuatro formas de enunciar un conjunto
Las operaciones de conjuntos ayudan a mejorar el
análisis de problemas cotidianos.
Realice las siguientes operaciones de conjuntos
(A-B) U C
(CC – A) -B
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Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica I
Argumenta las operaciones y propiedades de conjuntos
mediante un mapa conceptual, planteando un ejercicio de
ejemplo en cada una de ellas
Evaluación Unidad I:
Se realizan los diferentes reactivos para evaluación de
conocimientos de la Unidad.
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Unidad Didáctica II
Título de la Unidad didáctica II: Sistema de Numeración
Introducción de la Unidad Didáctica II
A través del tiempo el hombre ha tenido contacto con un sistema; en cierta parte
también con los Sistemas de Numeración. De éstos se esquematizará su significado,
tipos; Sistema Binario, Decimal, Octal y el Hexadecimal.
Objetivo de la Unidad Didáctica II
Transformar los diferentes sistemas de numeración e información relacionados con el
computador a un lenguaje entendible para el ser humano con el fin de resolver
problemas, demostrando criticidad en la implementación de conversión.
Sistema de contenidos de la unidad didáctica II:
Sistema de
conocimientos
Sistema de
habilidades
Sistema de Valores
Sistema de numeración
decimal
Sistema de numeración
binaria
Sistema octal y hexadecimal.
Conversiones entre sistemas
Identificar y definir el
sistema de numeración
decimal.
Convertir de valores
decimales a binarios y
viceversa.
Convertir de valores
binarios y decimales a
valores octales y
hexadecimales.
Interpretar lenguaje de
máquina y entendido por
el computador al
lenguaje natural.
Criticidad y creatividad
en la implementación de
conversiones entre
sistemas.
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Organizador Grafico de la Unidad Didáctica II
Sistema de Numeración
Sistema de Numeración Decimal
Es un sistema de numeración posicional y es el sistema es
que todos utilizamos sin darnos
Sistema de Numeración Binaria
utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).
Sistema Octal y Hexadecimal
se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, A, B, C, D, E y F.
los números se representan mediante ocho dígitos
diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7
Conversiones entre sistemas
Ejercicios.
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Actividades De Aprendizaje de la Unidad Didáctica II
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica II
SISTEMA DE NUMERACIÓN
Los números se pueden representar en distintos sistemas de numeración que se
diferencian entre si por su base.
Así el sistema de numeración decimal es de base 10, el binario de base 2, el octal de
base 8 y el hexadecimal de base 16. El diseño de todo sistema digital responde a
operaciones con números discretos y por ello necesita utilizar los sistemas de
numeración y sus códigos. En los sistemas digitales se emplea el sistema binario
debido a su sencillez.
Cualquier número de cualquier base se puede representar mediante la siguiente
ecuación polinómica:
Siendo b la base del sistema de numeración. Se cumplirá que b>1; a i es un número
perteneciente al sistema que cumple la siguiente condición: 0 ≤ ai <b.
SISTEMA DECIMAL
Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por los árabes. Su
base es 10.
Emplea 10 caracteres o dígitos diferentes para indicar una determinada cantidad: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada símbolo depende de su posición dentro de la
cantidad a la que pertenece. (EcuaRed, 2019) Veámoslo con un ejemplo:
...... 1
1
0
0
2
3
1
21
bababababaN nnn
012
10 106103101136
21012
10 10210410610310142,136
Mira con atención este vídeo, aprenderás sobre el Sistema de
Numeración Decimal, entre otras cosas:
Por qué se llama decimal.
La tabla con los valores de las posiciones de las cifras.
La lectura y escritura de los números https://youtu.be/aAZV9hDyWXA
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Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica II
SISTEMA BINARIO
Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base
es 2
Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios).
Así, podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits (Tecnologia
Informatica, 2019).
Actividad de Aprendizaje 3 de la Unidad Didáctica II
SISTEMA OCTAL
Posee ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8.
Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversión
al sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 = 23 . Así, para convertir un número
de base 8 a binario se sustituye cada cifra por su equivalente binario.
Realiza 10 ejemplos de sistema de numeración
decimal
Realiza 10 ejemplos de sistema de numeración binaria
Realiza 10 ejemplos de sistema de numeración octal
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Actividad de Aprendizaje 4 de la Unidad Didáctica II
SISTEMA HEXADECIMAL.
Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base
es 16. Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de
simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se
pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24. La conversión de un número
hexadecimal a uno binario es muy sencilla al igual que en el sistema octal.
Realiza 10 ejemplos de sistema de numeración hexadecimal
Realizar una tabla Guía de las formas de convertir a los
diferentes sistemas
Considera usted que los equipos tendrían un mejor
funcionamiento si en vez de trabajar con sistema Binario, lo
hacen con otro tipo de Sistema.
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Actividad de Aprendizaje 5 de la Unidad Didáctica II
CONVERSIONES
CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y DECIMAL
Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la
cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de
todos sus dígitos cuyo valor sea 1. (Recursos Tic, 2019) Veamos dos ejemplos:
1011112 = 1.25+0.24+1.23+1.22+1.21+1.20 = 4510
101012= 1.24+0.23+1.22+0.21+1.20 = 2110
Si la conversión es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la
cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2. Los restos obtenidos en
cada división (0, 1), forman la cantidad binaria pedida, leída desde el último cociente
al primer resto. Se presentaran los ejemplos en forma de tabla debido a la dificultad
que supone utilizar el sistema tradicional de división con el editor:
Nº
Decimal Base Cociente Resto
107 2 53 1
53 2 26 1
26 2 13 0
13 2 6 1
6 2 3 0
3 2 1 1
10710= 11010112
Cuando tengamos un número con
decimales seguiremos el siguiente
procedimiento: multiplicaremos por 2 la
parte decimal y se toma como dígito binario
su parte entera. El proceso se repite con la
fracción decimal resultante del paso
anterior, hasta obtener una fracción
decimal nula, o bien hasta obtener el
número de cifras binarias que se desee.
Ejemplo: 107,645. Como anteriormente
Fracción
decimal
Multiplicado
por: Resultado
Dígito
binario
0,645 2 1,290 1
0,290 2 0,580 0
0,580 2 1,160 1
0.160 2 0,320 0
0,320 2 0.64 0
30
convertimos 107 a binario, el resultado de
la conversión quedaría así:
1101011, 101001012
0.64 2 1.28 1
0.28 2 0.56 0
0.56 2 1.12 1
CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y BINARIO
Si la conversión es de octal a binario cada cifra se sustituirá por su equivalente binario.
Tendremos en cuenta la siguiente tabla para hacer la conversión de modo más rápido:
Carácter octal Nº binario
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111
Ejemplo: 55,358
Resultado: 101 101, 011 1012
Si la conversión es de binario a octal se realiza de modo contrario a la anterior
conversión, agrupando los bits enteros y los fraccionarios en grupos de 3 a partir de la
coma decimal. Si no se consiguen todos los grupos de tres se añadirán, los ceros que
sean necesarios al último grupo, veámoslo con un ejemplo:
Ejemplo: 11011111,111112
Resultado: 237,768
Observa como ha sido necesario añadir un
cero en la última agrupación de la parte
entera y otro en la parte fraccionaria para
completar los grupos de 3 dígitos.
Agrupación Equivalente octal
010 2
011 3
111 7
, ,
111 7
110 6
31
CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y DECIMAL
Si la conversión es de octal a decimal se procederá como observas en el ejemplo:
7408= 7.82+4.81+4.80 = 48410
Si la conversión es de decimal a octal se procederá de modo similar a la conversión
de decimal a binario, pero dividiendo entre 8 (Calculadora Conversor, 2019).
Comprueba los resultados en el siguiente ejemplo:
42610 = 6528
CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y HEXADECIMAL
La conversión entre binario y hexadecimal es igual al de la conversión octal y binario,
pero teniendo en cuenta los caracteres hexadecimales, ya que se tienen que agrupar
de 4 en 4. La conversión de binario a hexadecimal se realiza según el ejemplo
siguiente:
Sistema binario Sistema
Hexadecimal
0000 0
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
0101 5
0110 6
0111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
Ejemplo: 1011111,1100012
Agrupando obtenemos el siguiente
resultado:
0101 1111, 1100 01002
Sustituyendo según la tabla logramos la
conversión esperada:
5F, C416
32
1110 E
1111 F
La conversión de hexadecimal a binario simplemente sustituiremos cada carácter por
su equivalente en binario, por ejemplo:
69DE16= 0110 1001 1101 11102
Revisa el siguiente link para que refuercen tus conocimientos sobre
este tema:
http://www.librosmaravillosos.com/sistemasnumeracion/pdf/Sistem
as%20de%20numeracion%20-%20S%20V%20Fomin.pdf
Los sistemas de numeración decimal son con base 10.
Los sistemas de numeración octal son con base 8.
Los sistemas de numeración binario son con base 2.
Los sistemas de numeración hexadecimal son con base
16.
Realizar 5 conversiones
Binario – Decimal
Decimal – Binario
Octal – Decimal
33
Actividad de Auto – Evaluación de la Unidad Didáctica II:
Realice los siguientes ejercicios:
1. Para pasar de binario a decimal
a) 110012 Solución: 2510
b) 10110110112 Solución: 73110
2. Para pasar de decimal a binario
a) 86910 Solución: 11011001012
b) 842610 Solución:
100000111010102
3. Para pasar de binario a octal
a) 1110101012 Solución: 7258
b) 11011, 012 Solución: 33,28
4. Para pasar de octal a binario
a) 20668 Solución:
0100001101102
b) 142768 Solución:
0011000101111102
5. Para pasar de binario a hexadecimal
a) 1100010002 Solución: 18816
b) 100010,1102 Solución: 22,C
6. Para pasar de hexadecimal a binario
a) 86BF16 Solución:
10000110101111112
b) 2D5E16 Solución:
00101101010111102
7. Para pasar de octal a decimal
a) 1068 Solución: 7010
b) 7428 Solución: 48210
8. Para pasar de decimal a octal:
a) 23610 Solución: 3548
b) 5274610 Solución: 1470128
Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica II
Se realizarán los respectivos reactivos, los mismos que
serán subidos en la plataforma de la Institución
34
Unidad Didáctica III
Título de la Unidad Didáctica III: Lógica Proposicional
Introducción de la Unidad Didáctica III
La lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples
representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas lógicas,
representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones
de mayor complejidad.
La lógica proposicional trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores, o
variables interpretables como entidades. En lógica proposicional si bien no hay signos
para variables de tipo entidad, sí existen signos para variables proposicionales (es
decir, que pueden ser interpretadas como proposiciones con un valor de verdad
definido), de ahí el nombre proposicional. La lógica proposicional incluye además de
variables interpretables como proposiciones simples signos para conectivas lógicas,
por lo que dentro de este tipo de lógica puede analizarse la inferencia lógica de
proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna
de las proposiciones más simples.
Objetivo de la Unidad Didáctica III
Resolver mediante operadores y proposiciones lógicas problemas cotidianos dentro
del área de redes, mediante la aplicación de normativas y simplificaciones,
demostrando responsabilidad y respeto ante la opinión de criterios ajenos.
Sistema de contenidos de la unidad didáctica III:
Sistema de
conocimientos
Sistema de habilidades Sistema de Valores
Formas lógicas básicas,
operadores.
Formas proposicionales
Identificar y definir los
diferentes formas lógicas
básicas y sus operadores.
Clasificar las formas
lógicas de acuerdo a su
clase.
Liderazgo y buen juicio al
manipular correctamente
35
Sistema de
conocimientos
Sistema de habilidades Sistema de Valores
Variables, proposiciones
Tautología, contradicción y
contingencia
Aplicaciones de las tablas de
verdad
Manipular variables a partir
de datos lógicos.
Simplificar los resultados
mediante normativas
fundamentadas.
Resolver sentencias
lógicas a partir de tablas de
verdad.
las variables y
operadores lógicos.
36
Organizador Grafico de la Unidad Didáctica III
Lógica Proposicional
Formas Logicas básicas y Operadores
Se utilizan letras minúsculas tales como p,
q, r,
Conectores:
Disyunción
Conjunción
Bicondicional
Condicional
Formas Proposicionales
Es un enunciado declarativo al que puede
asignarse valores de verdad (verdadero; falso)
Variables, Proposiciones
Proposición Simple. a aquel enunciado o
proposición que no tiene conectores lógicos.
Proposición Compuesta:por consiguiente, están
separadas por diferentes conectores lógicos.
Tautologia, Contingencia y Contradicción
Tautologia: siempre son verdaderas
Contingencia: Mezcla de valores verdaderos y falsos
Contradicción: siempre son falsas
Aplicaciones de las Tablas de Verdad
Ejercicios Practicos
37
Actividades De Aprendizaje de la Unidad Didáctica III
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica III
Proposición
Una proposición es todo enunciado al que se le puede asignar uno y sólo uno
de los valores de verdad, que son:
VERDADERO (V) o FALSO (F)
Por lo general, las proposiciones se representan con las letras minúsculas del
alfabeto, desde la letra p en adelante, es decir, p, q, r, s, t, ... etc. (Fernandez, 2019)
Ejemplo
a) La expresión 15 + 5 = 21 es una proposición que se puede indicar brevemente de
la forma
p: 15 + 5 = 21
cuyo valor de verdad es falso, lo que se indica mediante V(p) = F
b) Sea la proposición
q: Santa Fe es una provincia argentina V(q) = V
c) Sea la proposición
r: el número 15 es divisible por 3 V(r) = V
Funciones Proposiciones
Si en la proposición "cinco es mayor que tres" (en símbolos es 5 > 3) reemplazamos
al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si
convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número real
cualquiera, entonces el enunciado x > 3 se denomina función proposicional y se anota
p(x) o p(x).
38
Una función proposicional en una variable o indeterminada x es un enunciado en el
que aparece x como sujeto y que se convierte en una proposición cuando se le
asigna un valor específico a la variable. (UNMSM, 2017)
Ejemplo
Sea la función proposicional p(x): 2x-5 = 3. Si se remplaza x por 4 y x por 2, se
obtienen, respectivamente, los siguientes valores de verdad: p(4) = V y p(2) = F
Ejemplos
p(x): 2x + 5 > 11. Si x = 4, p(4) = 13 13 > 11 (Verdadero)
q(y): 3y + 7 = 11. Si y = 5, q(5) = 22 22 = 16 (Falso)
r(x): 2x + 1 = 5. Si x = 2, r(2) = 5 5 = 5 (Verdadero)
Observación
Las proposiciones pueden ser simples o compuestas, estas últimas constan de dos o
más enunciados simples.
Ejemplo
Sea la siguiente proposición r
r: Pitágoras era griego y era geómetra.
P y q
Se observan dos proposiciones simples. La primera, p, nos afirma que Pitágoras era
griego y la segunda, q, que Pitágoras era geómetra.
Considera si es verdadero o falso el resultado
6x + 6 > 10. Si x = 2
2x + 8 > 30. Si x = 4
x + 3 > 2. Si x = 1
21x + 15 > 30. Si x = 0
39
Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica III
Operaciones Lógicas
A partir de proposiciones simples es posible generar otras, las compuestas. Es decir,
se puede operar con proposiciones utilizando para ello ciertos símbolos llamados
conectivos lógicos.
Operación Símbol
o Significado
Negación
Conjunción o producto lógico
Disyunción o suma lógica
Implicación
Doble implicación
Diferencia simétrica o Disyunción
excluyente
~
“no …..” o “no es cierto que …
“…. y ….”
“… o …” (en sentido incluyente)
“… implica …”, o “si… entonces …”
“… si y sólo si …”
“ … o …” (en sentido excluyente)
Negación
Dada una proposición p, se denomina negación de p a otra proposición denotada por
~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Esta ley que
define a la negación lógica o simplemente negación, se presenta generalmente, en
forma resumida utilizando una tabla de doble entrada denominada tabla de verdad.
La tabla de verdad de la negación es:
p ~p
V
F
F
V
Ejemplo
Sea la proposición p: 3 > 1, su negación es ~ p: 3 ≤ 1.
Se observa que V(p) = V y V(~ p) = F
Observamos que al valor V
de p, la negación le hace
corresponder el valor F, y
viceversa.
40
Conjunción o Producto Lógico
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la
proposición compuesta p q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si
lo son las dos proposiciones componentes (en todo otro caso, es falsa). Es una
operación binaria.
Ejemplos
a) Sean las proposiciones
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
Entonces la conjunción entre p y q es
p q: 5 es un número impar y 6 es un número par
Se obtienen los siguientes valores de verdad:
V(p q) = V
V(~p q) = F
b) Sean las proposiciones
r: todos los número pares son divisibles por 2
~ r: existe un número par que no es divisible por 2
Se trata de una operación unitaria, pues se define para una
proposición.
41
¿Qué valor de verdad tiene la proposición compuesta r ~ r?
Cualquiera sea la proposición p ¿qué valor de verdad tiene p ~ p?
Disyunción o Suma lógica
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la
proposición p q (se lee “p o q”) cuya tabla de valores de verdad es:
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
La disyunción o es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad de la disyunción
se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el
lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente
indistintamente. Para evitar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se
utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que muestra que la disyunción
sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas, o bien, se utiliza la disyunción
excluyente para interpretar otra situación.
Ejemplo
Sean las proposiciones
p: 5 es un número impar y q: 6 es un número par
La proposición compuesta que indica la disyunción entre p y q es
p q: 5 es un número impar o 6 es un número par
Obtenga la forma proposicional en base a:
a: Obtengo buenas notas. b: Gano una beca.
a: Trabajo mucho. b: Recibo un bajo sueldo.
42
El valor de verdad del enunciado compuesto anterior es
V(p q) = V
El valor de verdad del enunciado compuesto ~ p ~ q es V(~p ~q) = F
Implicación o Condicional
Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces q)
cuya tabla de valores de verdad es:
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de
la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si
el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
Considera usted, que el uso de Conectores lógicos facilita el
desarrollo de ejercicios prácticos del uso de la Red.
Si se tienen las proposiciones:
a: Tengo un libro de Trigonometría. b: Tengo un libro de Álgebra.
a: Estoy en Quito. b: Estoy en Guayaquil.
43
Sean las proposiciones
p: José es mendocino y q: José es argentino
La proposición compuesta p implica q es
p q: Si José es mendocino, José es Argentino
V(p q)= V
V(p ~q)= F
V(q p)= F
Expresiones sinónimas
p q
Si p entonces q
Si p, q
Todo p verifica q
p implica q
p sólo si q
q si p
q cuando p
Si además V( p q ) =V, se dice que: p es condición suficiente para q y q
es condición necesaria para p
Ejemplo
a) Sean las funciones proposicionales
r (x): x > 2
s (x): x2 > 4
El enunciado si x > 2 entonces x2 > 4, es una proposición verdadera, por lo cual r es
condición suficiente para s, y s es condición necesaria para r.
El enunciado si x2 > 4 entonces x > 2, es una proposición falsa, por lo cual s no es
condición suficiente para r, y r es condición necesaria para s.
44
b) Sea la función proposicional 2x + 5 ≥ 13, ¿Es x ≥ 0 una condición necesaria,
suficiente, o necesaria y suficiente para que la proposición sea verdadera?
c) La siguiente implicación es verdadera:
"Si el triángulo T es equilátero, entonces T es isósceles"
En este caso, se tienen las proposiciones
p: T es triángulo equilátero y q: T es triángulo isósceles
La proposición p es condición suficiente para q, es decir, que un triángulo sea
equilátero es suficiente para asegurar que es isósceles. Por otra parte, T es equilátero
sólo si es isósceles; es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea
equilátero.
Implicaciones Asociadas
Dada la implicación p q, que llamaremos directa, existen varias implicaciones
asociadas, una de ellas es la implicación contrarrecíproca ~q ~p. Haciendo la
tabla de verdad
p q p q ~p ~q ~q ~p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
se observa que los valores de verdad de las implicaciones p q y ~q ~p son
iguales. Se dice que las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes, es decir,
tienen el mismo valor de verdad.
¿Cómo son los valores de verdad de la implicación p q y de la denominada
implicación recíproca q p?
45
Si se tienen las proposiciones:
a: Juan gana el concurso. b: Juan dona $ 10 000.
A partir de la proposición:
Encuentre: Reciproca, Contra reciproca e Inversa.
Doble Implicación o Bicondicional
Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p si y
sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es
P q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
46
La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen
el mismo valor de verdad.
La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su
recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse
mediante la tabla de (p q) (q p), como vemos:
p q p q q p (p q) (q p)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
Ejemplo
Sea el enunciado
a = b si y sólo si a² = b²
donde a y b son números reales cualesquiera.
Se observa que el enunciado está compuesto por las proposiciones:
p: a = b y q: a² = b²
Como V(p q) =V y V(q p) = F, entonces V(p q) = F
OBSERVACIÓN
La doble implicación p q, es una operación equivalente a la conjunción de las
implicaciones
(p q) (q p)
Si V(p q) = V, entonces V(p q) = V y V(q p) = V. Se tiene, observando el valor
de verdad de la primera implicación, que p es condición suficiente para q y, teniendo
en cuenta la segunda implicación, ocurre que p es condición necesaria para q.
Es decir, si V(p q) = V, entonces p es condición necesaria y suficiente para q y,
análogamente, q es también condición necesaria y suficiente para p.
47
Proposiciones Lógicamente Equivalentes
Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son
idénticas. De ser así se denota: p q
Ejemplo
Sea la proposición compuesta p q, recordamos su tabla de verdad
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Ahora bien, si analizamos la proposición compuesta ~p q, su tabla de verdad es
p ~p q ~p q
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
Se observa que las tablas de valores de verdad de ambas proposiciones son iguales.
Se dice que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso
particular lo simbolizamos:
(p q) (~p q)
Dadas las proposiciones:
a: Un triángulo es equilátero. b: Un triángulo es equiángulo.
48
Clasificación de Proposiciones: Tautología, Contradicción y
Contingencia
Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo
denominamos fórmula lógica.
Por ejemplo,
~ { (p q) (s t) }
Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad son siempre
verdaderos para cualquier combinación de los valores de verdad de las proposiciones
componentes, se dice que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica.
Ejemplo
Analizando la proposición p ~p mediante la tabla de verdad, se tiene:
p ~p p ~p
V
F
F
V
V
V
Se observa que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p,
la proposición p ~p es siempre verdadera. Luego, la proposición compuesta p ~p
es una tautología.
Ejemplo
Sea la fórmula lógica { ( p q ) p } q
La tabla de valores de verdad es:
p q p q { ( p q ) p } q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
49
Se observa que, independientemente de la combinación de valores de verdad de las
proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre verdadero. Esta
fórmula es una tautología.
Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que
para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha
fórmula es siempre falso, se dice que dicha fórmula es una Contradicción.
Ejemplo
Analicemos la fórmula lógica p ~p
p ~p p ~p
V
F
F
V
F
F
La fórmula es siempre falsa, es una Contradicción.
NOTA: Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que
contiene al menos un valor V y otro F) es una Contingencia.
Cuantificación de las Funciones Proposicionales
Cuantificadores
A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales
mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x,
introducimos los símbolos “x” y “x”, llamados cuantificador universal y
cuantificador existencial, respectivamente. Las expresiones:
“para todo x, se verifica p(x) ” se denota en símbolos por x : p(x)
”existe x, tal que se verifica p(x)” se denota en símbolos por x : p(x)
corresponden a una función proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer
caso, y existencialmente en el segundo.
Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las
proposiciones particulares asociadas a ella. Para asegurar la verdad de una
proposición cuantificada existencialmente es suficiente que sea verdadera alguna de
las proposiciones asociadas a la función proposicional.
50
Ejemplos
a) Todo número natural es entero.
b) Existen números enteros que son naturales.
c) Todo número entero es racional
d) Existen números irracionales que son naturales
Negación de Funciones Proposicionales Cuantificadas
Un problema de interés, no sólo en Matemática, sino en las restantes ciencias, es la
negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, la negación de
"Todos los enteros son impares" ( x : p(x))
es
"Existen enteros que no son impares" ( x / ~p(x))
Luego, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el
cuantificador en existencial y se niega la función proposicional. ¿Cómo se niega una
función proposicional cuantificada existencialmente?
Demostración Matemática
Todo teorema matemático se puede formular como una implicación
p q
Hipótesis Tesis
Premisa Conclusión
Esta implicación puede ser V o F.
51
En el caso de ser falsa, basta con un contraejemplo para refutarla. En el caso de ser
verdadera, hay que realizar una demostración.
Refutación
V(p q) = F, sólo sucede en el caso de que V(p) =V y V(q) = F, por lo que
V(p ~ q) = V, razón por la cual, para dar un contraejemplo, se debe verificar que
V(p ~ q) = V
Ejemplo
Sea el enunciado “si x (natural) es un número impar, entonces es múltiplo de 3”.
Como la implicación es falsa, para refutarla, hay que buscar un número que sea impar
pero que no sea múltiplo de 3, por ejemplo 7.
Método Directo
p q
Verdadera Falsa
Contraejemplo Demostración
Métodos Indirectos
Contrarrecíproco Contradicción
Cuando se puede usar el proceso de refutación
52
Demostración
Para realizar una demostración, se usan los llamados métodos directos o indirectos.
Método directo: a partir de la verdad de p se debe concluir en la verdad de q.
Ejemplo
Sea el enunciado “si n es un número par entonces n.m es par para todo número entero
m”.
Demostración
Si n es un número par, n se puede escribir de la forma 2.k, siendo k un número entero,
es decir
n = 2.k, luego m.n = m.(2.k)
= 2.(m.k)
= 2. t
Luego m.n es par ya que puede escribirse como 2.t, siendo t un número entero.
Métodos indirectos:
I) Se utiliza la implicación contrarrecíproca, es decir, demostrar la verdad de p q es
equivalente a mostrar la verdad de ~q ~p.
Ejemplo
Sea la implicación directa “siendo n entero, si n2 es par entonces n es par”
La implicación contrarrecíproca es “siendo n entero, si n es impar entonces n2 es impar”
Demostrando la verdad del enunciado contrarrecíproco se demuestra la verdad de la
implicación directa.
Demostración
Si n es impar, puede escribirse de la forma n = 2k+1, siendo k un número entero, luego
n2 = (2k + 1)2
= 4 k2 + 4k + 12
53
= 2 (2 k2 + 2k) + 1, que es un número impar, luego, si n2 es par entonces n es
par.
II) Por contradicción, como V(p q) = V, y se sabe por hipótesis que V(p) =V y se
debe concluir que V(q) =V, entonces V(p ~ q) = F o una contradicción.
Ejemplo
Probar que el opuesto de un número real es único.
EJERCICIOS.
Resuelve los siguientes ejercicios:
1.-) Si la proposición ((p q) r) (p p) es verdadera y VL(r)=0,
determina VL(p) y VL(q)
2.-) Consideremos las siguientes proposiciones:
p: x=0 es la única solución de la ecuación x2 + x=0
q: x=0 es una solución de la ecuación x2 + x=0
r: La ecuación x2 - 1=0 tiene solución en el conjunto de
los números reales
Encuentra el valor lógico de las proposiciones:
i) (p q) r
ii) p (q r)
iii) (p q) r
iv) (r)((p ) q)
3.-) Si la proposición (pq)(rp) es falsa y VL(q)=0; hallar VL(p) y
VL(r)
54
Actividad de Auto – Evaluación de la Unidad Didáctica III
Resuelva los siguientes casos:
EJERCICIOS No. 1.
Valida las siguientes Proposiciones.
p1: Todo polinomio de Grado 2 tiene solución en los reales.
p2: Toda ecuación lineal tiene solución en los racionales.
p3: Toda ecuación lineal tiene solución en los naturales.
p4: Un polinomio es lineal si el grado mayor es 1.
p5: Los polinomios aceptan exponentes fraccionarios.
p6: El número 9 NO es PAR NI es PRIMO.
p7: El cinco es un número PRIMO.
p8: El 4 es divisor del 50.
p9: 6x – 10 = 0 NO tiene solución en los enteros.
EJERCICIOS No. 2.
Con las siguientes proposiciones construya las Inferencias que se piden. Valídelas.
p: 5 y 9 son números impares.
q: 5 x 9 es un número impar.
a).- p q:
b).- p q:
c).- p q:
d).- p q:
e).- q p:
1. VERIFICA QUE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ES UNA
TAUTOLOGÍA.
p p
p ( p q) q
p’ ( p q)
[(p q) (q r)] (pr)
(p q) {[p (q r)] q (p r)
2. OBTÉN LA TABLA DE VERDAD DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
PROPOSICIONALES:
(p q’) (p’ q)
55
(p q r) (p’ q r’) (p’ q’ r’)
Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica III
Se realizan los respectivos reactivos para evaluación de la
unidad
56
Unidad Didáctica IV
Título de la Unidad didáctica IV: Relaciones y Funciones
Introducción de la Unidad Didáctica IV
El control digital, y en particular el binario, está presente en todos los campos de la
vida, desde los sistemas de refrigeración hasta los complejos sistemas de control de
vuelo. Aunque los circuitos electrónicos de estos sistemas pueden tener niveles
de complejidad muy diferentes, todos se basan en combinaciones de elementos más
pequeños llamados puertas lógicas, las cuales se construyen a partir de transistores
y elementos pasivos.
Objetivo de la Unidad Didáctica IV
Diseñar circuitos eléctricos aplicando álgebra de Boole mediante técnicas de
simplificación para la correcta utilización al momento de su aplicación en circuitos
demostrando actitudes que estimulen la investigación.
Sistema de contenidos de la unidad didáctica IV:
Sistema de
conocimientos
Sistema de habilidades Sistema de Valores
Introducción a álgebra
booleana
Circuitos básicos
Aplicaciones de las tablas de
verdad a los circuitos
Identificar la funcionalidad
del álgebra booleana en el
área de las redes y
telecomunicaciones.
Identificar los circuitos
básicos y su respectivo
dispositivo hardware.
Interpretar los circuitos
digitales mediante tablas
de verdad.
Cooperación y
compañerismo con el
uso de los instrumentos
para la elaboración de
circuitos.
Eficiencia en el
desarrollo
simplificaciones de
expresiones booleanas.
57
Sistema de
conocimientos
Sistema de habilidades Sistema de Valores
Símbolos booleanos
Teorema de Boolano
Complemento de una
expresión booleana
Simplificación de expresiones
Booleanas
Resolver ejercicios
aplicando mapas de
Karnaugh.
Expresar enunciados en
un diagrama digital
Simplificar expresiones
58
Organizador Grafico de la Unidad Didáctica IV
Relaciones y Funciones
Introducción a Algebra Booleana
Es una rama especial del álgebra que se usa principalmente en electrónica digital
Circuitos Basicos
El funcionamiento el mismo ya sea éste simple o
complejo. El voltaje, tensión o diferencia de potencial (V)
Aplicaciones de las tablas de verdad a los circuitos
Circuitos aritmÈticos digitales
Circuito semisumador
Simbolos booleanos
AND
OR
NOT
Complemento de una expresion Booleana
contiene los términos de la forma normal disyuntiva
completa que faltan en la función dada
demostrar fácilmente que f'(x,y,z) = x' + z que es el
resultado obtenido.
Simplificaciones de Expresiones Boolenas
Ejercicios Practicos
59
Actividades De Aprendizaje de la Unidad Didáctica IV
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica IV
Estados y Función Lógica.
Los elementos que constituyen los circuitos digitales se caracterizan por admitir sólo
dos estados. Es el caso por ejemplo de un conmutador que sólo puede estar
ENCENDIDO o APAGADO, o una válvula hidráulica que sólo pueda estar ABIERTA
o CERRADA.
Para representar estos dos estados se usan los símbolos ‘0’ y ‘1’. Generalmente, el
‘1’ se asociará al estado de conmutador CERRADO, ENCENDIDO, VERDADERO,
y el ‘0’ se asocia al estado de conmutador ABIERTO, APAGADO o FALSO.
En el circuito de la Figura 2-1 se representa el estado del conmutador con la variable
S y el de la lámpara con la variable binaria L. En la tabla se observa la relación entre
ambas.
La función lógica es aquella que relaciona las entradas y salidas de un circuito
lógico. Puede expresarse mediante:
1. Tabla de verdad: Es ella se representan a la izquierda todos los estados posibles
de las entradas (en el ejemplo, el estado del conmutador) y a la derecha los estados
correspondientes a la salida (en el ejemplo, la lámpara).
60
2. Función booleana: Es una expresión matemática que emplea los operadores
booleanos (en el ejemplo, L = S).
Puertas Lógicas Elementales.
Una puerta lógica es un elemento que toma una o más señales binarias de entrada
y produce una salida binaria función de estas entradas. Cada puerta lógica
se representa mediante un símbolo lógico. Hay tres tipos elementales de puertas:
AND, OR y NOT. A partir de ellas se pueden construir otras más complejas, como
las puertas: NAND, NOR y XOR.
Puerta AND.
El funcionamiento de la puerta lógica AND es equivalente al de un circuito con dos
conmutadores en serie como el de la Figura 2-2. En dicho circuito es necesario que
los dos conmutadores estén cerrados para que la lámpara se encienda.
La relación entre las posiciones de los conmutadores y el estado de la
lámpara se muestra en la tabla de verdad.
La relación es la siguiente: la lámpara se enciende sólo si el conmutador
A Y el conmutador B están a ‘1’, es decir, L = A (AND) B. Esta relación se conoce
como AND.
Al realizar un circuito existe alguna compuerta más
utilizada. Si es así indique cual y por que
61
Las puertas AND pueden tener más de dos A
entradas. En la Figura 2-3 se representa una puerta B
L AND de tres entradas. C
Figura 2-3. AND de tres entradas.
La salida de una puerta AND es verdadera (‘1’) si, y sólo si, todas las entradas son
verdaderas. Esta operación corresponde a una multiplicación lógica binaria que
para dos entradas sería: L= A ·B .
Puerta OR.
La compuerta OR es denominada como la compuerta de “cualquiera o todo”. Su
expresión en el Álgebra de Boole es representada por una suma. Esta compuerta se
encuentra en estado activo siempre y cuando una de sus entradas tenga un estado
binario activo “1”. Para lograr un estado inactivo “0” a la salida, es necesario que todas
sus entradas se encuentren en estado inactivo “0”.
En la expresión booleana abreviada el símbolo + significa OR por lo tanto la expresión
se puede leer como Q = A OR B.
CIRCUITO REPRESENTATIVO DE LA COMPUERTA OR
Se puede representar mediante un circuito que tenga dos interruptores en paralelo, al
accionar un interruptor permite cerrar el circuito y por lo tanto el flujo de la corriente.
Un interruptor abierto corresponde a inactivo “0” y el interruptor cerrado corresponde a
activo “1”.
62
DIAGRAMA DE TIEMPO DE LA COMPUERTA OR
Para analizar circuitos lógicos complejos es útil bosquejar un diagrama de tiempo en
el cual muestre simultáneamente los niveles de las entradas y salidas de un circuito
en función del tiempo. En el siguiente diagrama de tiempo se ilustra cada posible
combinación de valores de entrada y las salidas correspondientes de la compuerta
lógica OR, en otras palabras, nos proporciona un resumen gráfico de las relaciones
entrada/salida
COMPUERTA OR DE 3 ENTRADAS
Es posible encontrar compuertas OR con 3 entradas. La expresión del algebra
booleana no cambia, por lo tanto, la salida de la compuerta OR de 3 entradas es igual
a la suma de sus entradas.
63
Se cumple lo mismo mencionado que una compuerta de 2 entradas: Se encuentra en
estado activo siempre y cuando una de sus entradas tenga un estado binario activo
“1”, para lograr un estado inactivo “0” a la salida es necesario que todas sus entradas
tengan un estado inactivo “0”. (Mecatronica, 2019)
Puerta NOR.
La compuerta NOR es una combinación de las compuertas OR y NOT, en otras
palabras, es la versión inversa de la compuerta OR. Al tener sus entradas en estado
inactivo “0” su salida estará en un estado activo “1”, pero si alguna de las entradas
pasa a un estado binario “1” su salida tendrá un estado inactivo “0”.
CIRCUITO REPRESENTATIVO DE LA COMPUERTA NOR
Se puede representar mediante un circuito con los interruptores y salida en paralelo,
para tener la salida en estado activo “1” es necesario que ambos interruptores se
encuentren abiertos, mientras alguno de los interruptores se encuentre cerrado la
salida “y” tendrá un estado binario “0”.
Un interruptor abierto corresponde a inactivo “0” y el interruptor cerrado corresponde a
activo “1”.
64
Nota: Si se quiere implementar el circuito se deben tener cuidado, ya que al tener
cualquier interruptor cerrado se provoca un corto circuito. Se recomienda usar una
fuente de alimentación con protección contra corto circuito.
DIAGRAMA DE TIEMPO DE LA COMPUERTA NOR
Para analizar circuitos lógicos complejos es útil bosquejar un diagrama de tiempo en
el cual muestre simultáneamente los niveles de las entradas y salidas de un circuito
en función del tiempo. En el siguiente diagrama de tiempo se ilustra cada posible
combinación de valores de entrada y las salidas correspondientes de la compuerta
lógica NOR, en otras palabras nos proporciona un resumen gráfico de las relaciones
entrada/salida.
COMPUERTA NOR DE 3 ENTRADAS
Es posible encontrar compuertas NOR con 3 entradas. La expresión del algebra
booleana de la compuerta NOR de 3 entradas es igual a inversa o negada de la
suma de sus entradas.
65
Al tener un estado lógico “1” en alguna de sus entradas obtendremos a la salida un
estado lógico “0” o inactivo, para tener la salida activa es necesario que todas las
entradas se encuentren en un estado lógico “0”. (Mecatronica, 2019)
COMPUERTA NAND
La compuerta NAND, también conocda como AND negada o inversa o NOT-AND, es
una combinación de las compuertas D yNOT que se represnta con la compuerta AND
con un círculo a la salida, al tener sus entradas activas “1” la salida se encuentra
Realice el siguiente ejercicio
Realice un cuadernillo con las formas
básicas de las compuertas. (gráfico y tabla de
valor)
66
inactiva “0”, otra variación con respeto a las entradas mantendrá su salida en estado
activo “1”.
CIRCUITO REPRESENTATIVO DE LA COMPUERTA NAND
Se puede representar mediante un circuito con dos interruptores en serie y la
lámpara en paralelo, debemos recordar que el flujo de corriente circula por dónde se
tenga menor resistencia.
Un interruptor abierto corresponde a inactivo “0” y el interruptor cerrado corresponde
a activo “1”.
La lámpara se apaga cuando ambos interruptores están cerrados y permanece
encendida mientras cualquier interruptor este abierto.
Nota: Si se quiere implementar el circuito se deben tener cuidado, ya que al tener los
interruptores cerrados se provoca un corto circuito. Se recomienda usar una fuente
de alimentación con protección contra corto circuito.
DIAGRAMA DE TIEMPO DE LA COMPUERTA NAND
Para analizar circuitos lógicos complejos es útil bosquejar un diagrama de tiempo en
el cual muestre simultáneamente los niveles de las entradas y salidas de un circuito
en función del tiempo. En el siguiente diagrama de tiempo se ilustra cada posible
combinación de valores de entrada y las salidas correspondientes de la compuerta
lógica NAND, en otras palabras nos proporciona un resumen gráfico de las relaciones
entrada/salida.
67
COMPUERTA NAND DE 3 ENTRADAS
Es posible encontrar compuertas NAND con 3 entradas. La expresión del algebra
booleana no cambia, por lo tanto, la salida de la compuerta NAND de 3 entradas es
igual a la negación de la multiplicación de sus entradas.
COMPUERTA LÓGICA XOR
La compuerta XOR, también conocida como “OR exclusiva”, se le denomina la
compuerta de “algunos pero no todos”, su expresión Booleana es una suma binaria de
un dígito cada uno y el resultado obtenido será la salida. La salida tiene un estado
activo “1” al tener las entradas en estados diferentes (Una activa y otra inactiva).
68
Símbolo de la compuerta XOR
El símbolo de la Compuerta XOR en los estándares IEEE e IEC se muestra a
continuación:
CIRCUITO REPRESENTATIVO DE LA COMPUERTA XOR
Su representación es mediante cuatro interruptores que se encuentran acoplados
mecánicamente a su valor negado, de este modo cuando A se cierra entonces A' se
abre y viceversa, lo mismo ocurre con el interruptor B con respecto al B'.
Un interruptor abierto corresponde a inactivo “0” y el interruptor cerrado corresponde a
activo “1”.
Cuando los interruptores A y B se encuentran ambos en estado lógico “1” o ambos
en estado lógico “0” la salida tiene un estado inactivo “0” por lo tanto la lampara se
representa como apagada.
Cuando uno de los interruptores se encuentra abierto o en estado lógico “0” y el otro
cerrado o en estado lógico “1”, entonces la salida tiene un estado activo “1” por lo
tanto la lampara se enciende.
69
DIAGRAMA DE TIEMPO DE LA COMPUERTA XOR
Para analizar circuitos lógicos complejos es útil bosquejar un diagrama de tiempo en
el cual muestre simultáneamente los niveles de las entradas y salidas de un circuito
en función del tiempo. En el siguiente diagrama de tiempo se ilustra cada posible
combinación de valores de entrada y las salidas correspondientes de la compuerta
lógica XOR, en otras palabras nos proporciona un resumen gráfico de las relaciones
entrada/salida.
CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA COMPUERTA XOR
La compuerta XOR con 2 entradas está diseñado usando las compuertas AND, OR y
NOT como se muestra a continuación:
También es posible construir la compuerta XOR de la siguiente manera:
Compuerta XOR con compuertas NOR
70
Compuerta XOR con compuertas NAND
Compuerta XOR con compuertas AND, OR y NAND
COMPUERTA XOR DE 3 ENTRADAS
Es posible encontrar compuertas XOR con 3 entradas.
Se tiene un estado lógico “1” al tener únicamente en alto una de sus entradas y las
otras en estado lógico “0”, también si todas sus entradas se encuentran en estado
lógico “1” o activo.
71
Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica IV
Algebra de Boole.
Proporciona una notación para describir funciones lógicas y define un número
de operaciones que se pueden realizar con el fin de simplificarlas.
El álgebra de Boole define variables, constantes y funciones para describir sistemas
binarios, y una serie de teoremas que permiten manipular expresiones lógicas.
Constantes booleanas: Se definen dos: ‘0’ (estado FALSO) y ‘1’ (VERDADERO).
Variables booleanas: Son magnitudes que pueden tomar diferentes valores en
diferentes momentos. Pueden representar señales de entrada o de salida y reciben
nombres de caracteres alfabéticos como: A, B, X, Y. Sólo pueden tomar los valores ‘0’
o ‘1’.
Funciones booleanas: Describen el comportamiento del sistema. Cada operación
lógica (suma, multiplicación, negación, ...) posee una notación en el álgebra
booleana, como se muestra en la Tabla 2-1.
72
En la además de los símbolos distintivos vistos con anterioridad se muestran los
símbolos rectangulares que con frecuencia se emplea en la documentación industrial.
( ) que indica inversión cuando se coloca a la entrada o en la salida de un
elemento lógico.
Teoremas Booleanos.
Hasta ahora se ha visto como generar expresiones booleanas para describir una
función especificada en una tabla de verdad o un diagrama lógico, pero estas
expresiones no son siempre las más sencillas. El álgebra de Boole define varios
teoremas para simplificar dichas expresiones.
Realice un mapa conceptual sobre ALGEBRA BOOLENA
73
Simplificación de funciones.
Mediante la aplicación de los teoremas.
Para simplificar una expresión algebraica se pueden aplicar los teoremas booleanos
vistos con anterioridad.
74
Homogeneización de una función con puertas NAND.
A menudo es más sencillo y económico a la hora de realizar un circuito emplear sólo
un tipo de puerta lógica. En varias familias lógicas las puertas NAND son las más
simples, por lo que resulta útil poder construir circuitos usando sólo éstas.
75
Homogeneización de una función con puertas NOR.
En algunas familias lógicas las puertas NOR son las más simples.
76
Mapas de Karnaugh.
Es un método gráfico de representación de la información que se encuentra en la
tabla de verdad. Permite simplificar una función booleana de manera sencilla. En un
mapa de Karnaugh cada combinación posible de entradas está representada por una
caja dentro de una rejilla, y el valor correspondiente de la salida se escribe dentro de
la caja. Las cajas están escritas de forma que al cambiar de una a otra sólo varía una
de las entradas. La secuencia corresponde al código Gray.
Simplificación del mapa de Karnaugh.
Se pueden agrupar dos términos adyacentes porque por características del mapa
de Karnaugh sabemos que sólo difieren en el estado de una entrada. Por tanto,
cualquier par de elementos adyacentes que contenga un ‘1’ se pueden representar
mediante una expresión simplificada.
Considera usted que las simplificaciones de expresiones
van de la mano con los diferentes tipos de variables que
existen
77
La fila superior e inferior se consideran adyacentes, al igual que las columnas
derecha e izquierda.
Se puede simplificar también agrupando cuatro términos adyacentes. Se
pueden combinar cuatro ‘1’ siempre que representen todas las combinaciones de dos
variables.
78
Para realizar las agrupaciones se siguen las siguientes reglas:
1. Primero se construirán los grupos de celdas más grandes posibles.
2. Agregar grupos más pequeños, hasta que cada celda que contenga un ‘1’ se
haya incluido al menos una vez.
3. Eliminar los grupos redundantes, aún cuando se trate de grupos grandes.
Los mapas de Karnaugh también se pueden emplear para simplificar expresiones
con más de cuatro variables de entrada, pero el método se complica. Por lo general
para muchas entradas se emplean técnicas de ordenador automatizadas, como el
método desarrollado por McCluskey.
79
Sistemas Combinacionales. Funciones Lógicas Básicas.
Las puertas básicas pueden combinarse para formar circuitos lógicos más complejos
que realicen muchas operaciones útiles. Algunas de las funciones lógicas
combinacionales más comunes son: comparación, aritmética, conversión de códigos,
codificación, decodificación y selección de datos.
Comparador Binario.
La comparación de magnitudes se realiza mediante un circuito lógico denominado
comparador. Un número en formato binario se introduce en la entrada A y otro en
la entrada B. Las salidas M, I, m, indican la relación entre los dos números,
produciendo un nivel alto en la línea de salida correspondiente, es decir, M =’1’ si A>B,
I =’1’ si A=B y m =’1’ si A<B .
Actividad de Auto – Evaluación de la Unidad Didáctica IV
Resuelva lo siguiente
80
Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica IV
Se realizan los respectivos reactivos para evaluación de la
Unidad
81
Referencias
Calculadora Conversor. (04 de 10 de 2019). Obtenido de https://www.calculadoraconversor.com/pasar-octal-a-decimal/
EcuaRed. (01 de 12 de 2019). Obtenido de https://www.ecured.cu/Sistema_decimal Fernandez, A. (01 de 03 de 2019). UNi. Obtenido de
http://di002.edv.uniovi.es/~labra/FTP/LPROP.pdf GCGL. (22 de 07 de 2018). Global Estudio. Obtenido de https://edu.gcfglobal.org/es/los-
conjuntos/operaciones-entre-conjuntos/1/ Instituto Monterrey. (15 de 05 de 2019). Obtenido de
https://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U02_L2_T1_text_final_es.html
Mecatronica. (21 de 06 de 2019). Obtenido de https://www.mecatronicalatam.com/es/tutoriales/electronica/compuertas-
logicas/compuerta-or/ Mecatronica. (23 de 06 de 2019). Obtenido de
https://www.mecatronicalatam.com/es/tutoriales/electronica/compuertas-logicas/compuerta-nor/
Practicas de Laboratorio. (30 de 04 de 2019). Obtenido de https://sites.google.com/site/laboratoriodefisicaifiluz/practicas-de-laboratorio/practica-
no-1/cifras-significativas/operaciones-con-cifras-significativas Recursos Tic. (07 de 11 de 2019). Obtenido de
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esotecnologia/quincena5/4q2_contenidos_2b.htm
Smartic. (07 de 01 de 2018). Obtenido de https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/la-teoria-de-conjuntos-como-tecnica-de-estudio/
Tecnologia Informatica. (24 de 08 de 2019). Obtenido de https://www.tecnologia-informatica.com/el-sistema-binario/
UNMSM. (08 de 09 de 2017). Obtenido de http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/Filosofia/intro_logica/1_parte.pdf
Varsity. (14 de 07 de 2018). Obtenido de https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/significant-digits
