GuÃa de trabajo 2Âº medio-semana 8

Escuela Industrial San Antonio Establecimiento Particular Subvencionado gratuito

Sostenedor: Fundación Educacional San Antonio – RUT.: 65.624.710-K RBD: 2044-3

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¡+ Profesor: Marcos Araya (2°A-2°C-2°D) - Felipe Navarro (2°B) - Pablo Ibaceta (2°E) Objetivo de la clase: Mostrar que comprenden la función cuadrática f(x)= ax2 + bx + c ; (a≠0) • determinando puntos especiales de su gráfica

Tiempo para trabajar el material: 20 de julio al 24 de julio Tiempo de retroalimentación del material: 27 de julio al 31 de julio.

Nombre del alumno:

Estimado alumno, como profesores de matemática esperamos que te encuentres bien junto a tu familia, y que juntos se estén cuidando en estos fríos días, para que cuando llegue el momento nos podamos reencontrar en nuestro querido colegio. Te recordamos que en caso de contar con internet y poder acceder a la plataforma classroom, debes realizar y enviar tus tareas, además de aclarar tus dudas por esta plataforma. De lo contrario, debes hacer llegar tu trabajo al colegio en cuanto puedas, completando tu nombre en la parte destinada en recuadro superior.

Queremos que a al mismo tiempo que te cuidas, aprendas lo que más puedas. Un afectuoso saludo por parte de sus profesores de matemática. Cuídate mucho.

Función Cuadrática De años anteriores sabías que existen distintos tipos de funciones, dependiendo de la expresión algebraica que la defina. Considerando esto, llamaremos función cuadrática a toda función del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales y 𝑎 ≠ 0. A la gráfica de esta función se le llama parábola. A 𝑎 y 𝑏 se les llama coeficientes numéricos de 𝑥 y 𝑥, respectivamente. A c se le llama término independiente. A continuación se presenta la gráfica (parábola) de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥 en el plano cartesiano.

Guía de trabajo N°8 Matemática 2° medio



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Los elementos que caracterizan a la parábola se detallan en la siguiente gráfica:

Además de los puntos señalados anteriormente, existe un elemento que caracteriza a la parábola y que se denomina concavidad.

A continuación detallaremos cada uno de los elementos de anteriores, los cuales nos permitirán realizar la gráfica de una función cuadrática o asociar su gráfica a una expresión algebraica representativa.

Elementos de la parábola o función cuadrática

Recordemos que una función cuadrática es una expresión del tipo:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐

donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales y 𝑎 ≠ 0.

Teniendo en consideración esto comenzaremos por detallar los primeros tres elementos:

a. Concavidad: La parábola sera cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo dependiendo del valor de a (coeficiente numérico de 𝑥 ). Si a  >  0 (a es mayor que 0), entonces la parábola será cóncava hacia arriba. Si a < 0 (a es menor que 0), entonces la parábola será cóncava hacia abajo.

a  >  0 parábola será cóncava hacia a < 0 parábola será cóncava hacia abajo

Ej1: La gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 − 5 es cóncava hacia arriba ya que a = 1 y es mayor que 0.

Ej2: La gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2𝑥 − 5 es cóncava hacia abajo ya que a = -2 y es menor que 0.

X1 , X2 : se denominan intersecciones con el eje x

Y : se denomina intersección con el eje y

V : se denomina vértice de la parábola.



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Ej3: La gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 − 1 es cóncava hacia abajo ya que a = -2 y es menor que 0.

Actividad 1: Complete la tabla para determinar el tipo de concavidad de las siguientes funciones.

Función Valor de a Tipo de concavidad

𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 14𝑥 + 7

𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6𝑥

𝑓(𝑥) = 3 − 3𝑥

b. Intersección con el eje y: Corresponde al punto del plano por donde la parábola corta al eje y. Este punto está asociado al coeficiente c de la función cuadrática ya que siempre será de la forma (0,c)

Ej1: La gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 − 5 interseca al eje y en el punto (0,-5) ya que c =-5

Ej2: La gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2𝑥 + 1 corta al eje y en el punto (0,1) ya que c =1

Ej3: La gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 corta al eje y en el punto (0,-5) ya que c =-5

A continuación se presentan las gráficas de los ejemplos anteriores.



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Actividad 2: Complete la tabla para determinar el punto de intersección de la gráfica con el eje y de las siguientes funciones.

Función Valor de c Punto de intersección

𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 14𝑥 + 7

𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6𝑥

𝑓(𝑥) = 3 − 3𝑥

c. Vértice: Corresponde al punto máximo (si es cóncava hacia abajo) o al punto mínimo (si es cóncava hacia arriba) de la gráfica de la función. Es el punto de inflexión de la parábola. El vértice de la parábola viene dado por el punto de la forma:

𝑉 =−𝑏

2𝑎, 𝑓

−𝑏

2𝑎

La expresión anterior indica que para determinar la primera coordenada del vértice, debemos

remplazar a y b en la expresión . Una vez obtenido el valor numérico de la expresión anterior, para

determinar la segunda coordenada, debemos evaluar (reemplazar, sustituir) el valor numérico en la función cuadrática.

Ej1: Para determinar el vértice de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 1

debemos determinar la primera coordenada del vértice, es decir, debemos remplazar a=1 y b=-2 en la

expresión .

−𝑏

2𝑎=

−(−2)

2 ∙ 1=

2

2= 1

Es decir, la primera coordenada del vértice es 1.

Para determinar la segunda coordenada, debemos evaluar (reemplazar, sustituir) 1 en la función cuadrática, es decir:

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 1

𝑓(1) = (1) − 2(1) + 1

𝑓(1) = 1 − 2 + 1

𝑓(1) = 0

Finalmente el vértice sería el par ordenado o punto (1,0). Que gráficamente podemos ver a continuación.



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Ej2: Para determinar el vértice de la función 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 2𝑥 + 3

debemos determinar la primera coordenada del vértice, es decir, debemos remplazar a=-1 y b=-2 en

la expresión .

−𝑏

2𝑎=

−(−2)

2 ∙ −1=

2

−2= −1

Es decir, la primera coordenada del vértice es -1.

Para determinar la segunda coordenada, debemos evaluar (reemplazar, sustituir) -1 en la función cuadrática, es decir:

𝑓(𝑥) = −𝑥 − 2𝑥 + 3

𝑓(−1) = −(−1) − 2(−1) + 3

𝑓(−1) = −1 + 2 + 3

𝑓(−1) = 4

Finalmente el vértice sería el par ordenado o punto (-1,4). Que gráficamente podemos ver a continuación.

Ej3: Para determinar el vértice de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2

debemos determinar la primera coordenada del vértice, es decir, debemos remplazar a= y b=

en la expresión .

=( )

∙= = −1

Es decir, la primera coordenada del vértice es 0.

Para determinar la segunda coordenada, debemos evaluar (reemplazar, sustituir) 0 en la función cuadrática, es decir:

𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2

𝑓(0) = −2(0) + 2

𝑓(0) =

𝑓(0) = 4

Finalmente el vértice sería el par ordenado o punto (0,2). Que gráficamente podemos ver a continuación.



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Actividad 3: Determine el vértice de las siguientes funciones.

a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 3 b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 8𝑥 − 2 c) 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 4𝑥 + 2

Solucionario

Actividad 1: Complete la tabla para determinar el tipo de concavidad de las siguientes funciones.

Función Valor de a Tipo de concavidad

𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 14𝑥 + 7 7 Hacia arriba

𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6𝑥 -3 Hacia abajo

𝑓(𝑥) = 3 − 3𝑥 -3 Hacia abajo

Actividad 2: Complete la tabla para determinar el punto de intersección de la gráfica con el eje y de las siguientes funciones.

Función Valor de c Punto de intersección

𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 14𝑥 + 7 7 (0.7)

𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6𝑥 0 (0,0)

𝑓(𝑥) = 3 − 3𝑥 3 (0,3)

Actividad 3: Determine el vértice de las siguientes funciones.

a) 𝑉 = (0, −3) b) 𝑉 = (−2, −10) c) 𝑉 = (2,6)



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Formativa

1) Determine cuál de las siguientes funciones cuadrática es cóncava hacia abajo. a) −14𝑥 + 7 + 7𝑥 b) 7𝑥 − 14𝑥 + 7 c) −14𝑥 + 7 − 7𝑥 d) −14𝑥 + 7𝑥 − 7

2) Determine la intersección con el eje y de la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥 − 𝑥 + 4

a) (4,0) b) (0,4) c) (0,-3) d) (-3,0)

3) Determine el vértice de la siguiente función.

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4𝑥 + 4 a) (1,2) b) (2,1) c) (-1,8) d) (0,4)

GuÃa de trabajo 2Âº medio-semana 8

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