Música fractal

Matemáticas e a súa didáctica 2010

Abraham Felpeto

Raúl Campo

Iván Cabana

Música fractal

¿Qué es una fractal?

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

Posee detalle a cualquier escala de observación. Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).

Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.

(aclaración: Esta dimensión es comúnmente confundible con la entropía de Kolmogórov o la dimensión de Minkowski Bouligand. La dimensión de Hausdorff-Besicovitch se obtiene como un punto de inflexión del valor de la potencia elegida en la longitud de Hausdorff cuando esta pasa de ser infinita a ser nula. La longitud de Hausdorff es la suma del diámetro topológico elevado a una potencia "s" de un recubrimiento entero del objeto a partir de entornos o cubrimientos de diámetro delta o menor a este del propio objeto.)

Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

Características:

Autosimilitud: Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son

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normalmente de este tipo.

Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-BesicovitchEntre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:

La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.

La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.

Definición por algoritmos recursivosPodemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:

Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones:

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El conjunto de Cantor

La alfombra de Sierpinski

El triángulo de Sierpinski

La curva de Peano

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La curva del dragón

En esta imágen se muestran los 13 primeros pasos.

El copo de nieve de Koch

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La Esponja de Menger

Fractales de algoritmos de Escape, definidos por una relación de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo):

El conjunto de Mandelbrot:

Conjunto de Julia:

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El fractal de Lyapunov.

Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos, no deterministas:

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El movimiento browniano

El vuelo de Lévy

Los paisajes fractales.

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Árboles brownianos.

Éstos últimos son producidos por procesos de agregación por difusión limitada.

Fractales en la música

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Demostración de la fractalidad en algunas obras clásicas.

Encontrar fractales, por ejemplo en la naturaleza, resulta muy fácil. Y es que los fractales tienen menor o mayor presencia en los diferentes entornos y objetos que podemos encontrar en la realidad.

Posiblemente el caso más espectacular es la demostración de que la música clásica contiene formas fractales en su interior. La música clásica de Beethoven es un ejemplo muy representativo.

Pero también existe poesía fractal e incluso formas de escritura fractal que ponen de manifiesto la relación que existe entre la realidad y las matemáticas.

En la música

Beethoven, junto con Bach y Mozart pasaron a la historia como grandes compositores de obras clásicas de increíble majestuosidad y belleza. Pero lo que reveló hace años el estudio de los fractales es que también están integrados en obras clásicas.

El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no, para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una dimensión fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.

A continuación hay un completo análisis de la pieza “Primera Escossaien” de Beethoven donde se demuestra que existe una estructura fractal interna en la obra.

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Como la imagen muestra la pieza esta formada por un total de 32 unidades o compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una. A: de la 1 a la 16; B: de la 17 a la 32. A su vez se dividen en 2 períodos. Periodo A: 1 y 2; periodo B: 3 y 4, que se fraccionan en 2 partes: a y a' compuestas por 4 unidades (1, 2, 3, 4) agrupadas cada una de a 2 (1 y 2).

Presenta esta melodía un balance simétrico de 2 partes. Cada sucesiva subdivisión de 32 unidades es una unidad binaria y una réplica más pequeña de la unidad más larga que la contiene. Sus divisiones forman motivos y pequeñas unidades de estructuras binarias autosimilares.

"Períodos" y "Secciones" son construcciones de pequeñas unidades acumuladas dentro de un gran grupo binario (A y B). La forma binaria es, probablemente la más corriente en la música encontrándose distintas variedades de esta forma. Incluso la forma ternaria (ABA) está constituida sobre motivos binarios y también las forma sonata.Cada sección (A y B) son construcciones con unidades binarias. Desde entonces sinfonías y conciertos usan formas sonatas teniendo el mismo tipo de

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estructura jerárquica.

La forma de "Escossaien" de Beethoven no es una excepción entre las composiciones musicales, muchas composiciones son estructuradas de manera similar con unidades de 4 y de 2 compases.

En conjunto pues la obra se divide en 32 --> 16 --> 8 --> 4 --> 2, una sucesión binaria que goza de autosimilitud propia de una estructura fractal.

Otro ejemplo es el Scherzo, construido sobre un compás de 3 tiempos, tiene un motivo claramente identificable: 2 corcheas y una negra ( ) como acorde desplegado en forma descendente.El principal motivo consiste en 2/8 (dos corcheas) agregadas en conjunto en 1/4 (una negra) como acorde.

Este motivo ternario (porque está compuesto por 2 corcheas y una negra(2+1=3)), es repetido en todas las partes del Scherzo. El Scherzo tiene formas ternarias y binarias en varias escalas.

Estas combinaciones son abundantes en toda la literatura musical.Las formas fractales fueron generadas al usar una simple fórmula repetitiva y una "semilla" o "motivo". Esta semilla es la forma básica usada para generar un fractal.Todas las partes de un árbol pueden ser hechas por una línea geométrica básica y una simple regla de transformación.

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Suite para cello No.3 de Bach. En ella, se puede encontrar un patrón fractal formado por las duraciones (el ritmo) de los elementos. El motivo inicial consta de dos corcheas y una negra (sus duraciones serían 1,1,2). En la primera semifrase, este motivo se repite dos veces (AA) y varía en una tercera parte (B) que, nuevamente, dura el doble. A esta semifrase, le contesta otra de igual duración (s1, s1), y ambas concluyen con una especie de coda (s2) que, sí, lo habéis adivinado, dura exactamente el doble que las semifrases. El patrón se vuelve a repetir en la “macroestructura” , aunque, esta vez, varía ligeramente. Toda la sección descrita, con una duración de 8 compases, se interpreta dos veces seguidas sin variación (AA) y da paso a la segunda sección de la Bourré I (B): solo que esta no dura 16 compases como cabría esperar, sino 20. Curiosamente, aunque Bach indicó que esta segunda sección también se debía repetir, muchos cellistas optan por no hacerlo dando lugar a un fractal casi perfecto.

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Si os fijáis la forma que van dibujando todas estas obras es un conjunto de Cantor pues la forma que tiene es la siguiente:

Como estos 3 ejemplos podríamos poner otros más, como por ejemplo la coral Kunst der Fuge de Bach.

Compositores modernos de música fractal

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Cada vez son más los compositores que utilizan el caos o la geometría fractal como apoyo en sus composiciones. Las siguientes secciones introducen a un par de ellos, pero son muchos más. En el artículo de Tac Leung [3] se presen-tan algunas historias personales relacionadas con estos compositores.

Phil Thompson y Organised Chaos

Phil Thompson es un programador y músico amateur afincado en Londres.Comenzó a componer música fractal como un hobby, hasta que una pieza suya emitida por la radio de Bristol atrajo la atención de un gran número de británi-cos. En octubre de 1998 se publicó su primer álbum, "Organized Chaos".

Las composiciones de Thompson tienen como base el conjunto de Mandelbrot. Él no considera su trabajo como composición, sino como "descubrimiento" y afirma que "es algo mágico cuando encuentras una bella imagen fractal y des-cubres que su fórmula esconde una bonita pieza musical en un determinado punto o puntos" [11]. Thompson es el desarrollador del programa Gingerbread [2].

Gary Lee Nelson y la ruta fenicia

En su obra "The voyage of the Golah Iota", Gary Lee Nelson explota las propie-dades de la ecuación logística como origen de una síntesis granular.6La síntesis se construye incrementando gradualmente el parámetro de creci-miento r de la ecuación logística, comenzando en la zona no caótica de la ecuación, adentrándose en la zona caótica y volviendo atrás.

La composición es una metáfora en la que se describe un hipotético viaje de una galera fenicia, llamada Iota desde las calmadas aguas mediterráneas del norte de áfrica a las orillas tranquilas de Brasil a través de las tormentas y los vientos del Atlántico [1].

El proyecto Strange Attractions

"Strange attractions" es un CD recopilatorio de música fractal con contribucio-nes de diez de los músicos más importantes del mundo dentro de este campo: Don Archer, Mehmet Okonsar, Phil Jackson, Chris Sansom, Brian E. Jones, Dave Strohbeen, José Oscar Marques, Phil Thompson, Patricia Mason y Armand Tur-pel. Incluirá composiciones realizadas con varios programas entre los que se encuentra Gingerbread. Se puede tener información sobre él en la dirección http://www.organised-chaos.com/oc/cdclub/cdclub.html

El sonido de las series numéricas

Una forma sencilla de crear una melodía es partir de una secuencia de núme-ros enteros positivos e ir asignando a cada uno una determinada nota musical, por ejemplo, do para el 1, re para el 2, etc. Para obtener un buen resultado es

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necesario que los valores de la secuencia estén acotados de manera que las notas generadas no pertenezcan a octavas muy alejadas.

La secuencia de Morse-Thue [10] es una secuencia binaria con propiedades sorprendentes. La secuencia puede generarse recursivamente comenzando con un 0 y duplicando en cada paso la longitud de la secuencia al añadirle la secuencia complementaria a la actual: 0, 01, 0110, 01101001, . . .

Otra forma de generar la secuencia de Morse-Thue se basa en calcular la pari-dad (la suma de los dígitos módulo 2) de cada número de la secuencia 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . representada en binario, 0, 1, 10, 11, 100, 101, . . . La secuencia re-sultante es la secuencia de Morse-Thue, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, . . .

La primera forma explicada para construir la secuencia la hace claramente aperiódica (nunca se repite). Con todo, la secuencia tiene una propiedad toda-vía más importante: la secuencia infinita es autosemejante. Si tomamos solo la segunda componente de cada dos (o la cuarta de cada cuatro, o la octava de cada ocho,. . . ) obtenemos la misma secuencia.

A pesar de las sorprendentes propiedades de la secuencia, el hecho de que cada componente tome solo dos posibles valores, la hace poco interesante si lo que se pretende es generar música a partir de ella, como se comentó al co-mienzo de esta sección. Sin embargo, con un pequeño cambio, podemos obte-ner una secuencia con la que poder generar fácilmente una melodía.

El cambio consiste en calcular la suma de todos los dígitos de la representación binaria del número, en lugar de su paridad. Ahora, por tanto, a partir de la se-cuencia 1, 10, 11, 100, 101, . . . obtendremos 1, 1, 2, 1, 2, 2, . . . El cuadro 2 muestra las primeras componentes de la secuencia y la melodía que resulta al hacer corresponder cada número con una nota (comenzando con do para el va-lor 1). La figura muestra esta misma melodía con notación musical.

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Software musical

Durante nuestra presentación intentaremos mostrar brevemente programas para crear música fractal por ordenador.

Musinum

The Well Tempered Fractal

Gingerbread

Conclusiones

La geometría fractal y la teoría del caos han obligado a muchos científicos a observar con otros ojos la complejidad del mundo. Algunos músicos han aplica-do esta nueva visión a sus composiciones para producir piezas que desencade-nan en los oyentes reacciones de muy diversa índole: desde la fascinación al aburrimiento.

La música fractal se mueve en la frontera entre la monotonía y la sorpresa, en-tre la aleatoriedad y la predicibilidad. Su complejidad probablemente impida que llegue al gran público, aunque quizás sea demasiado pronto para juzgar una manifestación musical que cuenta con poco más de una década de vida. Tampoco las primeras imágenes del conjunto de Mandelbrot permitían pre-sagiar la belleza de sus simas inacabables.

Bibliografía

Juan Antonio Pérez Ortiz (2000): Música fractal, el sonido del caos. Departa-mento de Lenguajes y Sistemas Informáticos Universidad de Alicante

[1] Gary Lee Nelson, Wind, sand and sea voyages: an application of granular synthesis and chaos to musical composition, http://www.timara.oberlin.edu/people/~gnelson/papers/Gola/gola.htm.[2] Phil Thompson. Gingerbread: the Mandelbrot music generator, docu-mentación del programa, http://www.organised-chaos.com/oc/ginger/ginger.html.

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[3] Tac Leung, The music makers, http://www.discovery.com/stories/technology/fractals/musicmakers.html.Wikipedia: http://es.wikipedia.org

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