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Germinal Cocho1 y Pedro Miramontes2

Desde las pinturas de las cuevas de Altamira hasta nuestros días, la hu-manidad se ha preocupado por plasmar en imágenes su concepción del

universo que le rodea. Las impresiones pictóricas, como retrato del entorno, dependen de los recursos técnicos de los cuales dispone el artista, que a su vez dependen del grado de desarrollo de la sociedad que los cobija, pero también están sujetas a la idea que el artista tiene de sí mismo, de los suyos, de sus orígenes y su papel en el universo; es decir, de la cosmogonía y de la ideología tanto del individuo como de la sociedad. Todas las civilizaciones han tenido su propio desarrollo pictórico en lo que se refiere a lo estilístico y a lo técnico, pero dado que nuestro mundo “occidental” (o, en ocasiones, “occidentalizado”) se basa fundamentalmente en el pasado grecolatino, no se hablará aquí de los desarrollos culturales que se dieron en otros lugares del mundo.

En la Grecia antigua no consideraban la posibilidad, por razones filosó-ficas, de representar los objetos tridimensionales de nuestro entorno sobre una superficie plana (Panofsky, 1989). Por esta razón la escultura prospera y relega la pintura a su uso decorativo en vasijas y muros.

En la Edad media tanto los retratos como el paisaje y las pinturas de grupo son planas y carentes de relieve. Pese a que el uso de la perspectiva ya era conocido en el ámbito de la arquitectura y las matemáticas clásicas. En el arte pictórico medieval, que debe de entenderse más como un conjunto de símbolos visuales que como un intento de retratar fielmente la realidad, se in-tentaba dar la sensación de profundidad mediante el tamaño de las figuras lo que se prestaba a ambigüedades pues también se estilaba que el tamaño de un personaje en un cuadro fuera proporcional a su importancia social (figura 1). Posiblemente sea el Giotto, entre los siglos xiii y xiv, el primer pintor en usar una perspectiva que, si bien resulta defectuosa para los estándares modernos, ya apunta hacia lo que Panofsky llama “la búsqueda del infinito a través de la perspectiva”. Curiosamente, el Giotto empleaba un método algebraico para

1 Instituto de Física, unAm.2 Facultad de Ciencias, unAm.

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el diseño de su perspectiva que únicamente funcionaba bien para ángulos pequeños pues él empleaba una relación lineal cuando ahora se sabe que la dependencia va como de una función seno. no sobra comentar que la relación entre las matemáticas y el arte, por muchos negada, siempre ha existido y el caso del Giotto (figura 1) es un ejemplo incontestable.

FigUra 1. Las bodas de Canaán (circa 1300), de Giotto di Bondone. Obsérvese la sen-sación de perspectiva creada por los ángulos formados por los muros.

A partir de ese momento, la pintura comienza un camino de unos tres siglos hasta llegar a la perfección en la representación del paisaje, de la figura humana y de los objetos cotidianos. Es verdad que ya hacia el siglo xvi las obras del Perugino (1447-1524) y de Piero della Francesca nos deslumbran con un manejo casi perfecto de la perspectiva (figura 2) y es esta herramienta matemática, aunada al desarrollo de la tecnología de los materiales de pintu-ra, que conduce a que, a finales del siglo xviii, el neoclasicismo alcance en la pintura una perfección casi fotográfica. Los franceses Jacques Louis David y Jean Auguste Dominique Ingres llevan este estilo a su máximo esplendor y no

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FigUra 2. La entrega de las llaves (1481), por Pietro Perugino.

es de extrañar que haya sido en ese país y en esa época donde el neoclasicismo llegara a su clímax pues es un acompañante natural de la Ilustración.

Casi de manera simultánea, y coincidentemente también en Francia, Joseph Nicéphore Niépce y Louis Daguerre inventan la fotografía (figura 3). Rápidamente, la pintura se enfrenta con desventaja y pierde (aunque la fotografía a color para las masas llega hasta el siglo xx) una de sus funciones más relevantes: la de copiar fielmente la realidad. El advenimiento y el rápido progreso de la captura de la realidad en emulsiones de sales de plata, aunados al hecho innegable de que el neoclasicismo ya no tenía una nueva propuesta que ofrecer en el campo de la pintura, fertilizan en terreno para que irrumpa, primero, el romanticismo y posteriormente una retahíla de estilos en la pintura: el simbolismo, el impresionismo, modernismo, prerrafaelismo, expresionismo y muchos más “ismos” hasta llegar a un estilo que, aparentemente, es la antí-tesis de la fotografía pues ya no guarda relación alguna con los objetos de la naturaleza: el abstraccionismo (en todas sus variantes).

Las matemáticas

A lo largo de la historia se han dado intentos diversos y con intensiones diver-sas de analizar las obras de arte, en especial la pintura, desde una perspectiva matemática. Cuando Luca Pacioli escribió su De divina proportione en milán en

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la última década del siglo xv, no solamente rescata la proporción áurea, una de las aportaciones más notables de los matemáticos griegos, sino que la pone a disposición de la comunidad artística y científica para que emprendan dos tareas que a menudo marchan en paralelo: la construcción artística basada en la proporción áurea y el análisis geométrico con ella de obras ya existentes. Evidentemente, el análisis áureo del arte pictórico únicamente tiene sentido cuando se aplica al estudio de formas claramente discernibles como las huma-nas, animales, arquitectónicas o paisajes. Cuando volvemos la mirada al arte abstracto dicho análisis carece de sentido.

Sin embargo, en tiempo recientes, ha habido intentos de analizar las pinturas abstractas utilizando métodos e ideas de la matemática moderna; en particular, la geometría fractal y la dinámica caótica. El caso más sonado es el del pintor estadounidense Jackson Pollock. Los críticos adscriben a dicho artista en la corriente del expresionismo abstracto y aunque el análisis fractal de su obra ha despertado una viva polémica entre seguidores y detractores lo rescatable para nosotros es el empleo de la matemática para el análisis de una obra pictórica abstracta (Spehar et al., 2004; Aks y Sprott, 1996).

FigUra 3. Boulevar du Temple por Louis Daguerre. Esta fotografía fue tomada en 1838, doce años después de la que se considera la primera imagen fotográfica que fue captada por nicéphore niepce.

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En una primera impresión, el arte pictórico abstracto no guarda ninguna relación con los objetos que nos rodean, no tiene la intención de representarlos sino que hace uso de colores y formas por los sentimientos que puedan generar en los sentidos su combinación afortunada o por las asociaciones que provoca en las emociones del público. Subrayamos “en una primera impresión” pues aquí mostraremos que en la obra de algunos de los representantes más cons-picuos de este estilo, Paul Klee, Vasili Kandinsky y Piet Mondrian, existen regularidades y patrones que emergen a la luz gracias a las matemáticas.

Leyes de potencia

Las leyes de potencia han sido empleadas desde hace por lo menos un siglo cuando Zipf reportó su existencia cuando estudiaba la abundancia relativa de las palabras de un lenguaje (Zipf, 1932). Para comprender tanto la llamada “ley de Zipf” como para el propósito de analizar desde el punto de vista matemático algunas obras de pintura abstracta, es necesario partir de la una definición formal de lo que es una ley de potencia.

Consideremos la familia de funciones f(x)=axa. Esta familia se llama leyes de potencia y, como veremos, tiene propiedades muy relevantes.

una serie de manipulaciones elementales nos lleva a conclusiones inte-resantes:

f(ax)=(ax)a=aaxa=f(a)f(x)=kf(x)

En palabras: Un cambio de escala en el eje de las abscisas de la gráfica de f(x) se traduce en un cambio proporcional en el eje de las ordenadas con una constante de proporcionalidad k igual a f(a). Dicho de otro modo. Si se comprime o estira el eje horizontal por un factor dado y se estira o comprime el eje vertical por un factor igual al valor de la función del factor original, entonces la gráfica de la función queda invariante. Por esta razón, la familia de funciones que son las leyes de potencia tienen la propiedad de invarianza de escala. Es importante destacar que si hacemos una transformación logarítmica tanto en la variable dependiente como en la independiente:

log f(x)= a log (x) Obtenemos una recta cuya pendiente es el exponente a. En resumen, un

fenómeno que siga una ley de potencia, posee la propiedad de invarianza de

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escala y su representación gráfica en coordenadas logarítmicas es una línea recta. Cuando a=–1 (figura 4) se obtiene la ley de Zipf.

FigUra 4. Recta de pendiente –1 en coordenadas logarítmicas. El mismo lugar geométrico correspondería a una hipérbola en coordenadas lineales. Los fenómenos cuya gráfica de rango vs abundancia sigan este comportamiento se llaman leyes de potencia.

A las propiedades notables de las leyes de potencia se deben agregar el hecho de que ocurren con frecuencia como expresión análitica de leyes feno-menológicas (empíricas) como son la ley de Zipf, la de Lotka y la conocida ley de Gutemberg-Richter.

Sin embargo, cuando ellas se analizan con cuidado, se observa en algunos casos, para idiomas como el chino mandarín que se apartan de la recta ideal en coordenadas logarítmicas en la cola que se encuentra en el lado derecho de la gráfica (véase figura 5).

Esto nos ha llevado a proponer una generalización de la ley de potencia o, dicho de otra manera si se prefiere, una ley de potencias de dos exponentes

f(x) = A(N+1-x)b

xa

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Donde N es el número total de casos, x la variable independiente y A, a y b parámetros por determinar. A es un factor de escala desprovisto de informa-ción relevante y nótese que cuando b=0 se obtiene como caso particular una ley de potencias estilo Zipf. Esta función es una variante de la función Beta, de amplio uso en la física matemática, y de aquí en adelante nos referiremos a ella como “la función beta discreta generalizada” (Fbdg).

Analizando la pintura abstracta

Hemos hecho análisis extensos de obras abstractas pero en este ensayo nos remitimos a tres autores de la escuela abstraccionista, tomando cuidado de no caer en casos extremos como el tristemente célebre Negro sobre negro de Kazimir S. Malevich. Elegimos una muestra de Vasily Kandinsky, Paul Klee y Piet mondrian en la cual hubiera formas geométricas discernibles. Los cuadros analizados fueron: Círculos en un círculo y Acento en rojo (Kandinsky), Flora en la arena, Fuego en el atardecer (Klee) y Composición A (mondrian). En cada uno de

FigUra 5. Diagrama en coordenadas logarítmicas de la frecuenia de palabras en el idioma chino mandarín (línea azul). Obsérvese que se aparta del comportamiento de la ley de Zipf.

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ellos se hizo la medición del área de los elementos geométricos regulares, en algunos casos círculos y en otros rectángulos, se ordenaron de mayor a menor y se representaron en una gráfica semilogarítmica. A continuación se hace una transformación logarítmica para proceder a determinar los parámetros de la función (1) por el método de los cuadrados mínimos.

Los resultados hablan por sí mismos. En la figura 6 se muestra la gráfica con la representación de los datos y el ajuste teórico para el cuadro Círculos en un círculo de Kandinsky, el cuadro mismo se incluye como una inserción en la gráfica.

Se procedió análogamente con Acento en rojo (Kandinsky), Flora en la are-na, Fuego en el atardecer (Klee) y Composición A (mondrian). En todos los casos el ajuste de los datos al modelo es tan impresionantemente bueno que se puede afirmar que la Fbdg es la ley empírica para esos ejemplos. En la realidad, se han hecho muchos más ejemplos y todos son buenos, mostramos únicamente una pequeña fracción de ellos (figuras 7 y 8).

FigUra 6. Diagrama de rango vs frecuencia en coordenadas semilogarítmicas del tamaño de los elementos circulares en el cuadro Círculos en un círculo, de Kandinsky.

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FigUra 7. Diagrama de rango vs frecuencia en coordenadas semilogarítmicas del tamaño de los elementos rectangulares en el cuadro Flora en la arena, de Klee.

FigUra 8. Diagrama de rango vs frecuencia en coordenadas semilogarítmicas del tamaño de los elementos regulares en el cuadro Acento en rojo, de Kandinsky.

Discusión

Se piensa, incorrectamente desde nuestro punto de vista, que existe una se-paración tajante entre arte y ciencia. A la primera se le atribuye ser el canal por el cual se expresa la imaginación ilimitada y sin trabas, mientas que la segunda se pone como ejemplo de actividad racionalmente fría y sin lugar para

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las emociones. En este ensayo mostramos que esa separación no corresponde a la realidad; aun en el abstraccionismo, el estilo pictórico aparentemente más alejado del mundo material, los artistas de manera inconsciente siguen pautas que los llevan a crear productos con una asombrosa regularidad y que caen en una clase de universalidad. Esto se podría deber a que la premisa de que el arte es la expresión de una imaginación infinita y sin límites no es completamente cierta: los pintores tienen un amplio margen de maniobra pero están sujetos a restricciones que separan lo imaginable de lo viable. Tienen que laborar con los materiales existentes, con los colores existentes, con las formas que el universo nos proporciona, con las restricciones de nuestros sentidos que acotan nuestra percepción (el rango de colores y sonidos que somos capaces de percibir es muy pequeño), etc. Tomando en cuenta estas consideraciones, no resulta raro que la ciencia encuentre regularidades en las artes y que estos descubrimientos tienden puentes entre la brecha artificial entre razón y emoción.

Referencias

1 Panofsky, E. 1989. La perspectiva como forma simbólica. Barcelona: Tusquets.Tusquets.2 Spehar B., C.W.G. Clifford, B.R Newell y R.P. Taylor. 2003. “Universal

aesthetic of fractals”. Computers and Graphics. 27, pp. 813-820.3 Aks, D. y J.C. Sprott. 1996. “Quantifying aesthetic preference for chaotic

patterns”. Empirical Studies of the Arts. 14, pp. 1–16.4 Zipf, G.K. 1932. Selected Studies of the Principle of Relative Frequency in Language.

Harvard University Press.