GEOMETRIA - galeno

y t los primeros!!! Pag. 80

GEOMETRIA

SEGMENTOS

SEGMENTO:Es la porcin de recta limitada por dos puntos llamadosextremos. El segmento AB de la figura adjunta, se denota:

BAoAB . Los puntos A y B son los extremos.

Si la longitud o medida del segmento AB es 10 unidades,podemos escribir: AB = 10 m AB = 10. En este ltimocaso, la m se lee medida.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:Se llama as al punto que equidista de los extremos delsegmento dado.Notacin: M punto medio AB . AM = MB

SEGMENTOS CONGRUENTES:Dos segmentos son congruentes si tienen la mismalongitud. Donde AB CD nos seala que AB y CD , soncongruentes. La notacin aqu mostrada indica que AB =CD.

OPERACIONES CON SEGMENTOS:Adicin:

AB + BC + CD = ADTambin: AC + CD = AD

AB + BD = AD

Sustraccin:AC AB = BC

Tambin: AC BC = AB

Corolario: Las operaciones con segmentos gozan de lasmismas propiedades que las operaciones aritmticas.

Igualdad:Dos segmentos son iguales si tienen la misma longitud.Si: MN = 9 u y AB = 9 uLuego: MN = AB

Relacin de segmentos:Si se cumple que:

k3BCk2AB

32

BCAB

=

=

=

ANGULOS

Elementos:- Lados: OB,OA- Vrtice: O

Notacin:AOB, AOB

Medida:m AOB =

OM Bisectriz delPOQ

CLASIFICACIN:A. POR SU MEDIDA:

1. ngulo Nulo:

2. ngulos Convexos: 0 < < 180

ngulo Agudo

ngulo Recto

ngulo Obtuso

3. ngulo Llano:

4. ngulo Cncavo:

A B

A M B

A B C D

A B C

A B C D 0 < Se cumple:a > b > c

Propiedad 5. Relacin de existencia del tringulo.

Si: a > b > cSe cumple: b c < a < b + c

a c < b < a + c

a b < c < a + bObservacin:Para que el tringulo exista es suficiente que se verifiqueslo una de las relaciones anteriores.

PROPIEDADES ADICIONALES

1.Se cumple:x = + +

2.Se cumple: + = m + n

3.Se cumple:

x =2

nm +

ReginInterior

Reginexteriorrelativa aBC

Reginexteriorrelativa aAB

Regin exteriorrelativa a AC

A

B

C

z

x

y

A

B

CP

Q

R

a

b

c

A

B

C

z

x

y

z

a

bc

a

bc

x

m

n

m

x

n


GEOMETRIA4.

Se cumple: + = m + n

CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS1. Segn sus lados

Tringulo Escaleno: (a b c)

Se cumple:

Tringulo Issceles: (a = c b)

Se cumple: = < 90

AC : BaseTringulo Equiltero: (a = b = c)

Se cumple: = = = 60

2. Segn sus ngulosTringulos Oblicungulos

- Tringulo Acutngulo

< 90 ; < 90 ; < 90- Tringulo Obtusngulo

> 90 ; < 90 ; < 90

- Tringulo Rectngulo

BCyAB : catetos

AC : hipotenusaSe cumple: b2 = a2 + c2 T. de Pitgoras

1. En un tringulo ABC, la BCAmBACm = 4 . Si AB=4.Calcule el mayor valor entero de BC.A) 13 B) 15 C) 16D) 12 E) 14

2. En un triangulo KLM se trazan las medianas LQ y KP( LMPyKMQ ). Si LQ=24 y KP=30, entonces la mayorlongitud del lado KM es:A) 45 B) 55 C) 50D) 60 E) 65

3. En un tringulo ABC se trazan las bisectrices interiores AM y CNintersectndoce en I. se ubica el punto D exterior y relativo al ladoAC, de modo que AI=4, IC=12 y CD=15, calcular el mximo valorentero de AD, si AC toma su mnimo valor entero.A) 20 B) 21 C) 23D) 27 E) 25

4. ABC es un tringulo issceles (AB=BC) se ubica un punto interiorD de modo que 50=BADm .Si 30=DACm y 25=DCBm . Calcule DBCm .A) 5 B) 7 C) 10D) 9 E) 8

5. En un tringulo ABC, se traza la bisectriz interior del ngulo A y labisectriz exterior del ngulo C se interceptan en E, las bisectricesde los ngulos ABC y AEC, se interceptan en Q e interceptan allado AC en P y R. Si PQ=4 entonces PR mide:A) 4,5 B) 3 C) 5D) 3,5 E) 4

6. EN un tringulo ABC se trazan las bisectrices interiores BD y CF,luego se trazan los rayos FP y DP tal que:

23

=

PFCmBFPm y

23

=

PDBmCDPm Si =BACm , entonces la FPDm es:

A)10

60 B)10

54 C)

1036 D)

5218

E)10

90

7. Hallar la distancia del ortocentro al circuncentro, en un tringulorectngulo cuyos catetos mide 6 y 8 respectivamente.

A

B

C

a

b

c

A

B

C

a

b

c

A C

a

b

c

B

A

B

C

A

B

C

A

B Ca

bc

m

n


GEOMETRIAA) 4 B) 6 C) 7D) 3 E) 5

8. Hallar la distancia del ortocentro al baricentro en un tringulo cuyoscatetos miden 18 y 24.A) 5 B) 10 C) 14D) 12 E) 15

9. Segn en el grfico, calcular mADC , si : AE=ED,mACD = 40 y el tringulo ABC es equilteroA) 20B) 10C) 30D) 40E) 50

10. Segn el grfico: AB=BD y CD=CE Calcular x

A) 10 B) 30 C) 15D) 20 E) 60

11. Calcular mABC ,si AF=FC=DE=DF=EFA) 30B) 45C) 37D) 53E) 60

12. Calcular mACF, si BC=CD y -=50

A) 40 B) 50 C) 60D) 53 E) 45

13. Calcular el valor de x si : AE=EB=EF=FD=DC ymBAC= mFDE

A) 45/7 B) 45/11C) 45/4 D) 2230E) 2215

1. Calcular x. Si: AS = SQ; PB = BC

2. En el grfico: a+ b m n = 108; calcular x + y

3. Calcular x. Si + = 100

4. Calcular x si: AB = BC y DE = EF. Adems + =100

5. Segn el grfico, calcular , si: a + b + c + d = 340

6. Segn el grfico, calcular x.

a bxy

mn

a b

c d

2

x

70

A

B

C

S

x

P Q

x

22

A

B

CD

EF

x 80


GEOMETRIA

1. CEVIANAEs el segmento que une un vrtice con cualquier punto

del lado opuesto o de su prolongacin.

En el tringulo ABCBN : ceviana interior relativa a AC

BM : ceviana exterior relativa a AC

BL : ceviana exterior relativa a AC

2. MEDIANAEs la ceviana que biseca al lado relativo.

En el tringulo ABC

BM : mediana relativa a AC

Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa:La mediana relativa a la hipotenusa en un tringulorectngulo mide la mitad de dicha hipotenusa.

ABC : BM : mediana relativa a la hipotenusa

Entonces: BM =2

AC

3. BISECTRIZEs la ceviana que biseca al ngulo interior o exterior.

En el tringulo ABCAL : bisectriz interior relativa a BC

En el tringulo MQNQL : bisectriz exterior relativa a MN

Observacin: n > m

Propiedad de la Bisectriz:Todo punto situado sobre la bisectriz de un nguloequidista de los lados de dicho ngulo.

En la figura. OM : bisectriz del AOB

SI: P OMEntonces: PQ = PR OQ = OR

* Lo recproco de este problema es cierto.

4. ALTURAEs la ceviana perpendicular al lado relativo.

En el tringulo ABC

BH : altura relativa a AC

En el tringulo PQT

QM : altura relativa a PT

En el tringulo ABC

BH : altura relativa a AC

5. RECTA MEDIATRIZEs la recta que biseca perpendicularmente a un lado.

En el tringulo ABC

L : recta mediatriz relativa a AC

A

B

CM N L

A

B

CM

A

B

C

L

M N L

QT

nm

A

B

CH

A

B

M

R

QQ

O

a

a

P

m

m

A

B

CM

M P T

Q

A

B

CH

A

B

CM

L


GEOMETRIAPropiedad de la Mediatriz:Todo punto situado sobre la mediatriz de un segmentoequidista de los extremos del segmento.

OBSERVACIONES

1. En un tringulo issceles se cumple:

- Altura- Mediana- Bisectriz- Mediatriz

PROPIEDADES DE LOS NGULOS CON LAS LNEASNOTABLES1.

2.

3.

4.

1. En un tringulo ABC, calcular el ngulo formado porlas bisectrices de los ngulos A y C, sabiendo que lasuma de los ngulos exteriores A y C es 300.

2. En un tringulo ABC, se traza la altura AH y lamediana BM . Si AC mide 32, hallar HM.

3. En un tringulo MNP se trazan las medianas PQ yMO y la altura NR . Si MN = 6, NP = 8 y MP = 12, elpermetro del tringulo OQR es:

4. Se tiene un tringulo ABC (AB = BC), en AC se ubicael punto P, por dicho punto se traza la perpendicular aAC que interseca a AB en Q y a la prolongacinde CB en R. Calcular AB, si AQ = 6 y CR = 20.

5. En la figura mostrada calcular x.

6. Calcular el valor de x:

A) 30B) 45C) 60D) 75E) 15

7. El PQR es issceles: PQ = QR y mQ = 122.Calcular la medida del ngulo exterior en el vrtice R.

A) 122 B) 135 C) 147 D) 163 E) 151

8. Uno de los ngulos exteriores de un tringuloobtusngulo issceles mide 28. Calcular la medida deotro ngulo exterior.A) 28 B) 14 C) 7 D) 166 E) 152

9. Calcular el valor de z:

A) 96B) 72C) 84D) 82E) 92

10. En un ABC, recto en B, la altura BH y la bisectrizinterior AE se intersecan en el punto P. Si mBPE =52, calcular la mC.A) 12 B) 16 C) 28 D) 14 E) 32

A

B

P

Q

Mediatriz

AP = PB

AQ = QB

A

B

CH

BH

A

B

C

= 90 +2

=2

= 90 2

A

B

C

=2

2x

x

x

z70

64

60 70


GEOMETRIA11. En un ABC, mC mA = 46, se traza la bisectriz

exterior BE . Calcular la mBEC.A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

12. Calcular el valor de x:A) 60B) 53C) 45D) 30E) 15

13. En un ABC, recto en B, se traza la bisectriz interiorAE . Si AE = EC, calcular la mC.A) 30 B) 45 C) 53 D) 60 E) 75

14. En un ABC, AC = BC, la altura BH corta a la bisectrizinterior AE en el punto P. Si mBPE = 52, calcularmC.

A) 18 B) 28 C) 32 D) 42 E) 51

15. En un ABC, recto en B, se traza la altura BH .Calcular mA, si: mC + mABH = 56.A) 62 B) 56 C) 64 D) 66 E) 58

16. Hallar el ngulo formado por la interseccin de lasbisectrices de los ngulos exteriores de los ngulosagudos de un tringulo rectngulo.

A) 22 30 C) 60 E) 135B) 45 D) 90

17. En cierto sistema de medida la suma de los ngulosinternos en un tringulo es 18. Hallar x en dichosistema.

A) 3B) 12C) 15D) 9E) 11

18. En la figura: mA mC = 42, entonces y x es:

A) 7B) 21C) 42D) 87E) N.A.

19. Hallar x.

A) 10B) 20C) 30D) 40E) 80

20. Del grfico, hallar x si: AM = MC.

A) 10B) 15C) 30D) 37E) N.A.

21. Hallar x.

A) 40B) 60C) 80D) 120E) 160

22. En la figura, hallar x + y

A) 249B) 250C) 251D) 252E) 139

23. Del grfico hallar x.

A) 25B) 35C) 45D) 50E) 60

24. Hallar DC, si AB = 21 cm.

A) 10,5 cmB) 21 cmC) 42 cmD) 55 cmE) 63 cm

25. El ngulo B de un tringulo ABC mide 78, sobreACyBC,AB se toman los puntos M, N y P

respectivamente de manera que AM = MP y NC = NP.Calcular la medida del ngulo MPN.

A) 102 B) 80 C) 75 D) 60 E) 78

26. En la figura, ABCD es un cuadrado y el tringulo AMDes equiltero. Hallar x.

x

x

A

x

B

C

A

B C

x

y

x

100

A

B

CMx

3x

2x

A

B

CM R P

NQ

x

80

x

y

69

x

x

40

A

B

CD2


GEOMETRIA

A) 40B) 50C) 60D) 80E) N.A.

27. Hallar x:

A) 52B) 48C) 42D) 66E) 66

28. En la figura: AB = BC y BP = BQ, entonces:

A) = B) = 2C) = 3D) = 2E) = 3

29. En un tringulo issceles ABC, sobre su base AC setoma un punto P desde el cual se levanta unaperpendicular que corta al lado AB en M y a laprolongacin de CB en N. Calcular BN si AM = 15 cm yBC = 25 cm.

A) 5 cm B) 10 cm C) 15 cm D) 20 cm E) N.A.

30. Calcular (2a b) en la figura mostrada.

A) 100B) 110C) 120D) 130E) 140

31. En la figura hallar PQ si AH = 5 y BH = 12.

A) 5B) 7C) 8D) 10E) 12

32. Si las medianas relativa a los lados ACyBC de untringulo ABC miden 24 m y 18 m respectivamente,entonces el lado AC puede medir.

A) 20 B) 44 C) 36 D) F.D. E) N.A.

33. De la figura, hallar si mB=100 y mA = 3mC.( BF : Bisectriz del CBA ).

A) 10B) 20C) 25D) 40E) N.A.

34. Hallar x.

A) 70B) 100C) 110D) 125E) 145

35. La bisectriz del ngulo B y la mediatriz del lado BC deun tringulo ABC se interseca en un punto del ladoAC . Si mA = 57, hallar mB.A) 37 B) 47 C) 53 D) 67 E) 82

36. Segn el grfico, calcular , si mABN = mNBC ymBAC mBCA = 40

A) 40B) 45C) 80D) 90E) 110

37. El ngulo que forman la altura relativa a la base de untringulo issceles y la bisectriz de uno de sus ngulosiguales es 56. Cunto miden los ngulos iguales deltringulo?A) 62 B) 68 C) 70 D) 56 E) 48

38. Hallar x, si CM = MD y AN = NC.

A) 6B) 12C) 22D) 28E) 32

39. En un tringulo obtusngulo issceles ABC (AB = BC),la bisectriz del ngulo A forma con la altura relativa allado BC un ngulo de 30. Hallar la medida del nguloB del tringulo.

A) 60 B) 110 C) 80 D) 50 E) 100

40. El ngulo D de un tringulo AOD mide 32. Sobre elcateto OD se toma un punto P, desde el cual se trazaPQ perpendicular a la hipotenusa AD . Calcular lamedida del OMQ, siendo M el punto medio de AP .

A) 116 B) 25 C) 30 D) 40 E) N.A.

A

B C

D

Mx80

110

x

76

A

B

CP

Q

a

b

50

P

Q

HAC

B

A

B

CFH

x

110

A

B

CN

45

A B

C

D

N M

x22

62


GEOMETRIA

En todo tringulo, el segmento que tiene por extremos lospuntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y sulongitud es la mitad de la longitud de dicho tercer lado.

En el ABC:M: Punto medio de ABN: Punto medio de BCLuego: MN // ACMN: Base media

TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLESDe 45 y 45 De 30 y 60

De 15 y 75

BH : altura

Propiedad:

En el tringulo ABC, se cumple: b = a 3

TRINGULOS RECTNGULOS APROXIMADOS

De 37 y 53 De 14 y 76

De2

127y2

53 De 8 y 82

De2

143y2

37 De 16 y 74

1. En un tringulo issceles ABC (AC = BC), se unen lospuntos medios P y Q de AB y BC respectivamente. SiAC = 20 m, hallar BQ.

2. En la figura hallar la relacin entre AQyEP , si ABCDes un rectngulo.

3. En un tringulo ABC se traza AM (M punto mediode BC) y BD (D en AC ). BD corta a AM en P queresulta ser el punto medio de este ltimo. Si PD =7 cm, hallar PB.

4. Se tienen tres segmentos de recta AB , AC y AD demodo que mBAC=30, mCAD=45, DC AC ,CB AB , AC=2. Hallar la distancia de D a AB .

5. En un tringulo rectngulo la altura relativa a lahipotenusa divide a sta en dos segmentos tales queuno es el triple del otro. Hallar la medida del menorngulo del tringulo rectngulo.

6. En un cuadriltero cncavo APCO, mP=90,mA=30,O es cncavo y PC=PA=AO. Hallar lamC.

7. El permetro de un tringulo equiltero es 24, se unenlos puntos medios de los lados de dicho tringulo.Calcular la longitud del segmento que une los puntosmedios de dos lados de este ltimo tringulo.

NM

C

B

A 2ACMN =

5a3a

4a37

53a 17

14

76

a

4a

a 5

53/2

127/2a

2a

5a 2

8

82a

7a

a 10

37/2

143/2a

3a

25a

16

747a

24a

a a 2

a45

45 2aa

a 3

30

60

BH =4

AC

B

A C

a a120

30 30

b

a

1575

4aA

B

C

a ( )26 +a ( )26 A

B C

D

E

P

Q


GEOMETRIAA) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

8. En un tringulo ABC se unen los puntos mediosM y N de AB y BC respectivamente. Si MN = 10,calcular AC + MN.A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

9. M y N son los puntos medios de los lados AB y BCde un tringulo ABC. Si MN + AC = 12, hallar AC.

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

10. En la figura, hallar PQ.

A) 6B) 8C) 10D) 15E) 20

11. En un tringulo ABC, AB = 4, BC = 8. Se traza CPperpendicular a la bisectriz exterior del ngulo B.Siendo M punto medio de AC , hallar PM.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

12. En un ABC, AB = 12 y AC = 20. Se traza BE ,perpendicular a la bisectriz del A. (E, sobre dichabisectriz). Hallar la distancia de E, al punto medio M,de BC .

A) 3 B) 8 C) 4 D) 5 E) 6

13. Calcular el permetro de un tringulo rectngulo si loscatetos miden 20 y 15.

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 62

14. Calcular el permetro de un tringulo rectngulo si lahipotenusa mide 51 y un cateto mide 24.

A) 120 B) 100 C) 90 D) 80 E) 60

15. Calcular el permetro de un tringulo rectngulo si loscatetos miden 60 y 25.

A) 150 B) 120 C) 110 D) 100 E) 90

16. Hallar AC, si AB = 1+ 3

A) 2

B) 2 2C) 4D) 8 2E) N.A.

17. Calcular x

A) 5 3

B) 10 3C) 15D) 10E) 10 2

18. ABCD es un cuadrado de centro O y de lado 8 3 .Hallar CE.

A) 4( 3 1)

B) 2( 3 + 1)

C) 8( 3 1)

D) 2( 3 1)E) N.A.

19. Calcular AD, si BF = 2

A) 2 2

B) 3 2

C) 4 2

D) 5 2E) N.A.

20. Del grfico calcular b/a

A) 3 / 4

B) 6 / 3

C) 2 / 3

D) 3 / 2E) N.A.

21. ABCD y PQRD son cuadrados, calcular x si AB = 3PQ

A) 37B) 53C) 16D) 8E) 74

22. En la figura ABC es un tringulo equiltero. Hallar

PRPQ

; si AC = 4PB

A) 1/2B) 1/3C) 2/3D) 3/2E) N.A.

C

BA30

45

37 30

x

32

A

C

D

B

O

E60

x

A

C

D R

B

QP

2222

2338

b

a

A30

F

C

D

B

15

A

B

Q

C

P

R

A

B C

D

Q

P

12

16


GEOMETRIA

POLIGONOS

DEFINICINEs aquella figura geomtrica que se forma al unir tres oms puntos no colineales de un mismo plano, mediantesegmentos de recta, limitando una regin del plano.

Elementos- Vrtices: A, B, C, ........

- Lados: ,CD,BC,AB ........

Medidas de sus ngulos- Interiores: 1, 2, 3, ........- Exteriores: 1, 2, 3, ........

Elementos asociados- Diagonales: ,BD,AE,AD,AC

- Diagonales medias: ,MN ........

Regin poligonalEs la unin del polgono y su regin interior.

{Polgono} {Regin interior} = {Regin poligonal}

CLASIFICACINSegn la regin poligonal

Regin poligonal convexa

Regin poligonal cncavaSegn el nmero de datos:Tringulo : 3 ladosCuadriltero : 4 ladosPentgono : 5 ladosHexgono : 6 ladosHeptgono : 7 ladosOctgono : 8 lados

Nongono : 9 ladosDecgono : 10 ladosEndecgono : 11 ladosDodecgono : 12 ladosPentadecgono : 15 ladosIcosgono : 20 lados

Polgono equinguloEs aquel polgono en el cual sus ngulos interiores son deigual medida, en consecuencia sus ngulos exteriorestambin son de igual medida.

Polgono equilteroEs aquel polgono cuyos lados son de igual longitud.

Polgono regularEs aquel polgono equingulo y equiltero a la vez. Elpolgono regular es inscriptible y circunscriptible a doscircunferencias concntricas cuyo centro comn es elcentro del polgono.O : centro del polgono regular.AOB : ngulo central

PROPIEDADES FUNDAMENTALES1. Suma de las medidas de los ngulos interiores

Sm i = 180(n-2)donde n : nmero de lados

En todo polgono equingulo:

M i =n

)2n(180

2. Suma de las medidas de los ngulos exterioresEn todo polgono de regin interior convexa:

Sm e = 360

En todo polgono equingulo:

m e =n

360

3. Suma de las medidas de los ngulos centralesEn todo polgono regular:

Sm c = 360

m c =n

360

4. Nmero total de diagonales

a

a

a a

aa

A

BC

D

E F

a

a

a

a

a a

O

1

23

4

56

1

2 34

56

A

BC

D

EF M

N

REGININTERIOR


GEOMETRIAEn todo polgono:

# D =2

)3n(n

5. Nmero total de diagonales mediasEn todo polgono:

# Dm =2

)1n(n

1. Cul es el polgono cuyo nmero de diagonales esigual al nmero de vrtices?

2. Calcular el nmero de diagonales de un polgonoconvexo, si la suma de sus ngulos interiores es iguala 4,5 veces la suma de sus ngulos exteriores.

3. Cunto suman las medidas de los ngulos interioresde un polgono, donde el nmero de lados sea igual alnmero de diagonales de un heptgono regular?

4. En un polgono convexo, cada ngulo interior es a sungulo exterior como 7 es a 1. Cuntos lados tiene elpolgono?

5. Un polgono regular tiene 4 lados menos que otro y ladiferencia de las medidas de los ngulos centrales es45. Cuntos lados tiene dicho polgono?

6. La diferencia de medidas de un ngulo interior yexterior de un polgono regular es 90. Cuntos ladostiene dicho polgono?

7. En un polgono desde el punto medio de uno de suslados se trazan 99 diagonales medias. Calcule elnmero de diagonales de dicho polgono.

8. La suma de tres ngulos interiores consecutivos de unpentgono es 310. Qu ngulo forman lasbisectrices de los otros dos ngulos?

9. El doble del permetro de un polgono equivalenumricamente a la cantidad total de diagonalesque se puede trazar. Si cada lado del polgono mide1,75 cm, cuntos lados tiene el polgono?

10. En un polgono regular MNPQRS .., la mMNQ =90. Calcule el nmero de diagonales.

11. En un polgono equingulo ABCDE. .... en el cualDE//AB . Calcule el nmero de diagonales de dicho

polgono.

12. En un octgono equingulo, ABCDEFGH, AB = 5 2 yBC = 7. Calcular AC.

13. Si el nmero de lados de un polgono le agregamos sunmero de vrtices se obtiene 20. Hallar su nmero delados.A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

14. De todos los polgonos regulares, cul es el queposee mayor ngulo central?A) Tringulo D) HexgonoB) Cuadrado E) DodecgonoC) Pentgono

15. En qu polgono se cumple que el nmero de susdiagonales excede al nmero de sus vrtices en 7?.(Dar el nmero de lados)A) 7 B) 8 C) 9 D) 11 E) 13

16. El nmero de ngulos rectos a que equivale la sumade los ngulos interiores de un polgono convexo es20. Hallar el nmero de sus lados.A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

17. Se sabe que un polgono convexo la suma de susngulos interiores es 540. Con este dato se pideaveriguar el nmero total de sus diagonales.A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

18. Hallar el nmero de diagonales de un polgono cuyosngulos interiores suman 900.A) 5 B) 9 C) 14 D) 20 E) N.A.

19. En qu polgono se cumple que el nmero de ladoses igual al nmero de diagonales?A) Pentgono C) Heptgono E) N.A.B) Hexgono D) Octgono

20. En qu polgono regular se cumple que la medida delngulo exterior es el doble de la medida del ngulointerior?A) Tringulo C) Pentgono E) N.A.B) Cuadriltero D) Hexgono

21. En qu polgono se cumple que el nmero de ladosms la mitad del nmero de vrtices es igual al nmerode diagonales?A) Pentgono C) Heptgono E) N.A.B) Hexgono D) Octgono

22. Hallar el nmero de lados de un polgono convexocuyos ngulos internos y externos suman 3 960.A) 21 B) 22 C) 24 D) 18 E) 20

23. Hallar el nmero de diagonales de un polgonoconvexo, sabiendo que su suma de ngulos interioreses igual a 2 340.A) 27 B) 35 C) 65 D) 15 E) 90

24. En un polgono regular se cumple que la suma demedidas de los ngulos interiores es 6 veces lamedida de un ngulo interior. Cuntos lados tienedicho polgono?A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) N.A.

25. Si al nmero de lados de un polgono se le aumenta 3,su nmero de diagonales aumentar en 15. Hallar elnmero de lados del polgono original.A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9

26. Cuntos lados tiene el polgono en el cual su nmerode diagonales aumenta en dos, al aumentar en uno elnmero de lados?A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) N.A.

27. Hallar x en la figura si el pentgono y el hexgono sonregulares.

x


GEOMETRIAA) 12B) 18C) 24D) 48E) N.A.

28. Cuntos lados tiene el polgono en el cual la suma desus ngulos internos y externos es 3780?A) 10 B) 15 C) 21 D) 25 E) N.A.

29. Cuntas diagonales tiene el polgono regular en elcual el ngulo externo es la mitad del interno?A) 12 B) 9 C) 14 D) 5 E) 8

30. Cuntos lados tiene el polgono cuyo nmero dediagonales excede en 133 al nmero de lados?

A) 20 B) 19 C) 18 D) 17 E) 16

31. Cuntos lados tiene el polgono donde el nmero delados excede en 2 al nmero de diagonales?A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) N.A.

32. Cuntos lados tiene el polgono regular en donde lamedida del ngulo central es la mitad de la medida delngulo interior?A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) N.A.

33. La medida de un ngulo central en un polgono regulares numricamente igual a 10 veces el nmero de ladosdel polgono. Cuntos lados tiene el polgono?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) N.A.

34. La diferencia de los nmeros de lados de dospolgonos regulares es 2 y sus ngulos centrales sonentre s como 3 es a 4. Calcular la medida del ngulointerno del polgono de mayor nmero de lados.

A) 135 B) 120 C) 144 D) 108 E) N.A.

35. El ngulo exterior de un polgono regular mide a,calcule la diferencia entre el nmero de diagonalesmedias y el nmero de diagonales de dicho polgono.

A)a

360 C)a

270 E)a

200

B)a

180 D)a

90

36. Dados los polgonos regulares mostrados, halla n si = 44

A) 20 B) 16 C) 22 D) 18 E) 24

37. Si aumentamos en 1 el nmero de lados de unpolgono, el nmero de diagonales aumenta en 6. Sidisminuimos en 1 el nmero de lados, el nmero dediagonales disminuye en:A) 6 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2

38. Calcule el nmero de lados de un polgono regular sitiene dos lados ms que otro, pero su ngulo centralmide 30 menos que la medida del otro.A) 9 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6

39. En un polgono convexo el nmero total de tringulosque se pueden formar trazando diagonales desde unsolo vrtice es al nmero de diagonales como 4 es a 9.Calcule el nmero de lados del polgono.

A) 9 B) 7 C) 5 D) 8 E) 6

40. El nmero de lados de un polgono aumenta en 10.Cada ngulo interior del nuevo polgono es 3 mayorque cada ngulo interior del original. Cuntos ladostiene el polgono original si es regular?A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 30

41. Cuando a un polgono se le aumenta 3 lados, elaumento del nmero de diagonales es igual al nmerode ngulos de 45 a que equivaldra la suma de losngulos interiores del polgono original. Cuntoslados tiene el nuevo polgono?A) 5 B) 6 C) 11 D) 12 E) 8

42. Los ngulos interiores B, C y D de un pentgonoconvexo: ABCDE miden 70, 160 y 50, qu nguloforman las prolongaciones de DEyBA ?A) 60 B) 90 C) 80 D) 100 E) N.A.

43. Cul es el polgono en el que se puede trazar 17diagonales distintas desde cuatro vrticesconsecutivos?A) Pentgono C) Heptgono E) EnegonoB) Hexgono D) Octgono

44. Al aumentar en tres el nmero de lados de unpolgono, el nmero de diagonales se duplica. Calculela suma de las medidas de los ngulos internos dedichos polgonos.A) 720 B) 900 C) 1080 D) 1440 E) 1260

45. Las medidas de los ngulos interiores de un polgonoconvexo estn en progresin aritmtica de razn 5;siendo la medida del menor: 120. Calcule el nmerode lados del polgono.A) 9 B) 8 C) 10 D) 12 E) 6

46. Calcule la suma de las medidas de los ngulosinteriores de un polgono cuyo nmero de diagonalesexcede en 8 al nmero de diagonales de otro polgonoque tiene un lado menos.A) 1800 B) 1440 C) 1260 D) 1620 E) 1980

PentgonoRegular

PolgonoRegular de n

lados


GEOMETRIA

CUADRILATEROSDefinicin. Es aquel polgono de cuadro lados. En todocuadriltero la suma de las medidas de sus ngulosinteriores es 360.

Cuadriltero Convexo ABCD

ElementosVrtices: A, B, C y D

Lados: DAyCD,BC,AB

Diagonales: BDyAC

+ + = 360

Cuadriltero Cncavo PQRT; cncavo en T

ElementosVrtices: P, Q, R y T

Lados: TPyRT,QR,PQ

Diagonales: QTy,PR

x + y + z + w = 360

CLASIFICACIN

1. Trapezoide. Es aquel cuadriltero cuyos ladosopuestos no son paralelos.

Trapezoide asimtrico

Trapezoide simtrico o bissceles

2. Trapecio. Es aquel cuadriltero que tiene dos ladosopuestos paralelos a los cuales se les denominabases.Si: AD//BC ABCD : trapecio

Elementos

Bases : BCyAD

Laterales: CDyAB

Base media: MNAltura : h

TIPOS DE TRAPECIOS

A. Trapecio Escaleno. Es aquel cuyos laterales son dediferente longitud.

En la figura:

AD//BC

AB CD ABCD es un trapecio escaleno

En la figura:

QR//PT

PQ RT

En el caso que: QRPQyPTPQ

PQRT es un trapecio escaleno, llamado trapeciorectngulo

B. Trapecio Issceles. Es aquel cuyos laterales son deigual longitud.

En la figura: Si: BC//AD y AB = CD ABC es un trapecio isscelesEntonces: mBAD = mADC; mABC = mBCDPA = PD; PB = PC AC = BDSus ngulos opuestos son suplementarios

Propiedades

1.

AD//BC MN : Mediana del trapecio

AD//BC//MN

MN =2

ba +

2.

BC//AD

Si: BQ = QD y AP = PC

BC//AD//PQ

PQ =2

ba

A B

C

D

A

B

C

D

P R

Q

T

a

a

b

b

Eje de simetra

A

B C

D

M Na

a b

bh

A

B C

D

P

Q R

T

A

B C

D

pa a

A

B C

D

M N

b

a

A

B C

D

P Q

b

a

P

Q

R

Tx

y

z


GEOMETRIAParalelogramo. Es aquel cuadriltero en el cual sus dospares de lados opuestos son paralelos.

AD//BCyCD//AB

ABCD es un paralelogramo

Propiedades- AB = CD y BC = AD- Sus ngulos opuestos son de igual medida- Sus diagonales se bisecan- Los ngulos consecutivos son suplementarios

Tipos de ParalelogramosA. Romboide

Si: AB BC y BD AC ABCD : romboide

B. Rombo

Si: AB = BC y BD AC ABCD : rombo

Consecuencia: BDAC C. Rectngulo

Si: AB BC, y adems es equingulo ABCD: rectnguloConsecuencia: AC = BD

D. Cuadrado

Si: AB = BC y AC = BD

ABCD: cuadradoConsecuencia: es equingulo y las diagonalesson bisectrices

1. En un trapecio ABCD (BC//AD), se tiene que AD=8, BC=2,DmAm = 2 y AH=1; siendo ADBH . Hallar AB.

A) 5 B) 6 C) 7D) 4 E) 8

2. Si ABCD y PQRD son cuadrados calcular MN. Siendo E y Fcentros de los cuadrados adems: AB= 24 y QR= 23 .

A) 2,5B) 6C) 3,5D) 4E) 2,8

3. En la figura mostrada. Calcular x si: AB=BC=CD.A) 10B) 20C) 30D) 40E) 15

4. En un trapecio ABCD (BC//AD), las bisectrices exteriores de losngulosA y B, se interceptan en el puntos P y las bisectrices exteriores delos C y D se interceptan en el punto Q. Si: AB+BC+CD+AD=13,entonces la longitud de PQ es:A) 5,5 B) 7,5 C) 6,5D) 4,5 E) 5

5. En un trapecio ABCD (BC//AD), la mediana MN (M pertenece a ABy N pertenece a CD) interceptan a las diagonales AC y BD en lospuntos P y Q respectivamente. Si MP=PQ=QN y BC=k, entonces lalongitud de AD es:A)

43k B)

2k C)

32k

D)52k E) k

6. En un cuadrado ABCD, se ubican los puntos medios M y N de AB yBC respectivamente. si AN intercepta a DM en el punto Q y AB=8entonces la longitud de CQ es:A) 7 B) 8 C) 5D) 4 E) 6

7. En un paralelogramo ABCD, las bisectrices de los ngulos BAD yADC se interceptan en el punto P. si la distancias de P al lado BCes 1 y la distancia de A al lado CD mide 8, entonces la distanciadel vrtice A al lado BC es:A) 3,5 B) 4,5 C) 3D) 5 E) 4

8. En un paralelogramo ABCD por el vrtice D se traza una recta LLque intercepta al lado AB. Luego se trazan la perpendiculares BBy CC a la recta LL (C pertenece a la prolongacin dede BD). Si la

A

B C

D

a a

b

b

A

B C

D

a a

b

b

n m

nm

A

B

D

C

a

a

a

a

m mn

n

A D

CB

m

m m

m

A

B C

D

m m

m m

A

B C

D

Q

R

PE

FM

N

A

BC

D7x

10x

5x


GEOMETRIAdistancia trazada desde el vrtice A a la recta CC es 18 BD=10,entonces la longitud de DC es:A) 3 B) 3,5 C) 4D) 4,5 E) 5

9. En un trapezoide ABCD se verifican las siguientes condiciones:== 90BCDmBADm y = 53ACDm por el

punto medio M de BC se traza MN perpendicular a AD. Si AN=4 yND=16, entonces la longitud de MN es:A) 12 B) 13 C) 16D) 15 E) 14

10. En un cuadriltero convexo ABCD, sus diagonales sonperpendiculares. Si: == 202 CADmBACm y

= 50BCAm entonces la ACDm es:A) 18 B) 30 C) 36D) 25 E) 37

11. Se tiene un trapecio rectngulo ABCD tal que== 90BmAm . (BC


GEOMETRIA14. El ngulo A de un paralelogramo ABCD mide 64.

Hallar la medida del ngulo B.

A) 70 B) 85 C) 116 D) 122 E) 125

15. En la figura adjunta el cuadriltero ABCD es unromboide. Hallar .

A) 15B) 30C) 40D) 45E) 60

16. En la figura, ABCD es un rectngulo. Calcular x.

A) 20B) 30C) 35D) 40E) 45

17. En un trapecio rectngulo ABCD se verifica que: mA= mB = 90 y mC = 150. Hallar la medida delngulo D.

A) 10 B) 15 C) 30 D) 45 E) 60

18. Las medidas de los ngulos interiores de un trapezoideson entre s como 1, 2, 3 y 4. Hallar la medida delmenor ngulo del trapezoide.

A) 20 B) 26 C) 30 D) 34 E) 36

19. En la figura, AD//BC y AC = AD. Calcular x.

A) 15B) 30C) 45D) 60E) 70

20. La base mayor de un trapecio mide 24. Calcular labase menor, sabiendo que es congruente con elsegmento que une los puntos medios de lasdiagonales.

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12

21. En un paralelogramo ABCD la bisectriz interior delngulo A interseca a BC en R. Hallar AD si CD = 8;RC = 6.

A) 10 B) 9 C) 11 D) 14 E) 13

22. Se tiene un cuadrado ABCD, interiormente seconstruye un tringulo equiltero AMD. Se prolongaCM hasta un punto F tal que CF = DF. Halla lamCFD.

A) 15 B) 10 C) 30 D) 45 E) N.A.

23. En un trapecio la mediana y el segmento que une lospuntos medios de las diagonales estn en la relacinde cuatro a tres. Hallar en qu relacin estn lasbases.

A) 2/3 B) 3/5 C) 1/7 D) 2/7 E) 1/8

24. En un paralelogramo ABCD cuyo ngulo A mide 45 yAB = 8, se traza la altura BH relativa a CD (H en

CD ) si AD = 7 2 . Calcular HD.

A) 2 B) 1 C) 3 D) 2/3 E) 5/4

25. En un rectngulo ABCD, se sabe que CD = 6 cm labisectriz del ngulo A corta a BC en Q tal que: (BQ)(QC) = 24 cm2. Calcular la longitud del segmento queune los puntos medios de CDyAQ .

A) 4 cm C) 6 cm E) 9 cmB) 7 cm D) 8 cm

26. En un paralelogramo ABCD (AD > AB) se traza labisectriz interior BE (E en AD); si AB mide 6. Hallarla longitud del segmento que une los puntos medios de

ECyBD .

A) 4 B) 3 C) 2 D) 6 E) 2,5

27. Se tiene un cuadriltero ABCD mA = mC = 90desde el punto medio M de BC se traza la

perpendicular MN al lado AD (N en AD ). Hallar MNsi AB = 10; CD = 20; mD = 53.

A) 13 B) 16 C) 12 D) 11 E) 10

28. Se tiene un romboide ABCD se prolonga BD hasta E,por A se traza una paralela a BD que corta a laprolongacin de CE en F. Hallar AF, BD = 6, DE = 4.

A) 12 B) 14 C) 16 D) 13 E) 15

29. En un romboide ABCD, el ngulo exterior de B es los5/13 del ngulo interior en D. Calcular la medida delmenor ngulo.

A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100

30. La diagonal de un rectngulo mide 10 y su base 8. Sisu permetro es el mismo que el de un rombo cuyadiagonal menor es igual a la altura del rectngulo. Digacunto mide la diagonal mayor del rombo.

A) 2 5 C) 4 5 E) 5 2

B) 2 10 D) 4 10

31. En un cuadrado ABCD, en la prolongacin AD seubica el punto E, tal que: mACE = 82. Calcular elpermetro del cuadrado si CE = 25.

A) 60 B) 50 C) 70 D) 80 E) 75

32. En un trapezoide ABCD la suma de las medidas de losngulos interiores de A y B es 200. Hallar la medidadel menor ngulo que forman las bisectrices de losngulos exteriores de C y D.

A

B C

DHF

60

A

B C

D

x

140

A

B C

D

x

105


GEOMETRIAA) 50 B) 100 C) 60 D) 80 E) 120

33. En un trapezoide ABCD las bisectrices interiores de losngulos A y B se cortan en P. Si la mAPB = 30 ymD = 20. Hallar la mC.

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 25

34. Se tiene el rombo ABCD. Desde O punto deinterseccin de las diagonales, se traza OQ (Q punto

medio de AD ). Si OQ = 3. Hallar el permetro delrombo.

A) 24 B) 12 C) 18 D) 20 E) 16

35. Si las diagonales de un trapecio dividen a la medianaen tres partes iguales. En qu relacin estn lasbases.

A) 3:2 B) 3:1 C) 2:1 D) 4:1 E) N.A.

36. Interiormente a un cuadrado ABCD se construye eltringulo equiltero AFD. La prolongacin de BF cortaa CD en P. Hallar la mDFP.

A) 30 B) 45 C) 15 D) 75 E) 60

37. En un paralelogramo ABCD se traza la bisectriz delngulo C que corta a AD en E y a la prolongacin deBA en F. Si ED = 6 y BF = 10. Hallar el permetro dedicho paralelogramo.

A) 40 B) 36 C) 30 D) 32 E) 30

38. En un trapezoide ABCD, mB = 80 y mC = 150.Hallar el menor ngulo formado por la bisectriz interiordel ngulo A y la bisectriz exterior del ngulo D.

A) 30 B) 20 C) 25 D) 35 E) 40

39. Se tiene un trapezoide ABCD, mB = 144. mBCD =60, BC = CD = AD. Hallar la mACB.

A) 6 B) 8 C) 12 D) 15 E) 18

40. Se tiene un cuadriltero ABCD, si mBCD = 60. mD= 90 y BC = CD = AD. Hallar la mBAC.

A) 45 B) 30 C) 15 D) 20 E) 10

41. En un trapecio ABCD ( BC // AD ), se cumple: AB = BC= 2; mBAC = mADC = y mACD = 90 + . HallarAD.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2

42. En un romboide ABCD, AB = 3 y BC = 14 lasbisectrices interior y exterior del ngulo D intersecana la recta BC en los puntos M y N. Calcular la longituddel segmento que une los puntos medios de

MDyAN .

A) 3 B) 4 C) 5 D) 3,5 E) 10

43. En un rectngulo ABCD, se traza BDCH luego se

traza CM bisectriz del ngulo ACH. Calcular BC si

AM = 6 y CM = 4 2 (M en AD ).

A) 3 B) 6 C) 10 D) 12 E) 10 2

44. Calcular la base mayor AD de un trapecio ABCD en elcual BC=CD. La bisectriz exterior del ngulo C corta ala prolongacin de AD en F y el segmento que unelos puntos medios de AC y BF mide 12 m.

A) 6m B) 12m C) 18m D) 24m E) 30m

45. En un romboide ABCD mA


GEOMETRIA

CIRCUNFERENCIA

DEFINICINSe denomina circunferencia al lugar geomtrico de todoslos puntos de un plano cuya distancia a otro punto delmismo plano llamado centro, es constante. Esta longitudconstante se denomina radio.

Centro : O

Radio : OP , OP = R

Cuerda : CD

Dimetro : AB , AB = 2R

Secante : m

Tangente : nArco : CD , CTD

Flecha o Sagita: MHPunto de

tangencia : TLongitud de la

circunferencia: 2piRrea del crculo: piR2

pi = 3.1416 pi = 22/7

CRCULOEs aquella superficie plana determinada por la unin deuna circunferencia y su regin interior.PROPIEDADES1.

Si: L es tangente

OTes radioEntonces:

OT L ; =90

2. Si: O es centro ABON

Entonces:AM = MB ; mAN = mNB

3. Si mAB = mCD

Entonces: AB = CD ; OM = ON

4. Si: m//CD//AB

Entonces: mAC = mBD ;

mCT = mTD

5. Si: PByPA son tangentes y O es centro.

Entonces: PA = PB ; =

TEOREMA DE PONCELETEn todo tringulo rectngulo la suma de las longitudes delos catetos es igual a la suma de las longitudes de lahipotenusa y el dimetro de la circunferencia inscrita.

Se cumple:a + b = c + 2r

NotaInradio : Radio de la circunferencia inscrita.Circunradio : Radio de la circunferencia circunscrita.

TEOREMA DE PITHOTEn todo cuadriltero circunscrito a una circunferencia, lasuma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a lasuma de las longitudes de los otros dos lados.

Se cumple:a + c = b + d

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIASCOPLANARES

Circunferencias Exteriores

O1 O2 > R + r

Circunferencias Tangentes Exteriores

O1 O2 = R + r

Circunferencias Secantes

R r < O1 O2 < R + r

OA B

C

DM

H R P

mn

T

A M

O

N

B

L

TO

A

M

O

N D

C

B

A

C

B

D

T m

A

B

P

O

C

A B

ab

c

r

A

BC

D

a

b

c

d

O1

R

O2

r

O1 O2

Rr

O1

R

O2

r


GEOMETRIACircunferencias Tangentes Interiores

O1 O2 = R r

Circunferencias Interiores

O1 O2 < R r

Circunferencias Concntricas

14. En la figura adjunta, P, Q, R, S y T son puntos de tangencia.Hallar SURm . Si adems = 44ABCm

A) 44B) 68C) 22D) 46E) 23

15. OA y OB, son radios de una circunferencia de centro O, sobre elmenor arco AB se toma un punto F. Si el ngulo AFB mide 130,halle la medida del ngulo AOB.

16.A) 160 B) 168 C) 140D) 130 E) 100

17. Hallar el permetro del tringulo ABC, si A, B y C son centros.

A) 10B) 15C) 5D) 20E) 25

18. Se prolonga el dimetro BA de una circunferencia de centro O,hasta el punto P y se traza la tangente PT. Hallar la medida delarco TB, si PT mide igual que el radio.A) 45 B) 60 C) 120D) 135 E) 150

19. Desde un punto P, exterior a una circunferencia, se traza latangente PA y la secante PBC, siendo 32 la medida del nguloAPC. Hallar la medida del ngulo ABM, si M es punto medio delarco BC.A) 122 B) 102 C)128D) 106 E) 118

20. Hallar x, si = 80ALQm

A) 60 B) 68 C) 40D) 130 E) 80

21. Calcular x

A) 60B) 68C) 100D) 130E) 80

22. Se trazan dos circunferencias secantes en A y B, la tangentecomn ms lejana a A es CD (C y D son los puntos de tangencia).En el arco AC se ubica un punto M, tal que la prolongacin de MAintersecta al arco AD en N. Calcular la medida del arco AN, si elarco AM mide 100 y MN es tangente a la circunferencia quecontiene a C, A y D.

A) 60 B) 70 C) 100D) 50 E) 80

23. ESi: arco AC menos arco CD es igual a 40 Hallar x

A) 60B) 68C) 100D) 130E) 80

24. En la figura E, F, P y Q son puntos de tangencia BE=PQ, BF=a.Halle la longitud del radio de la circunferencia inscrita en eltringulo ABC.A) a/2B) 2aC) aD) 3a

E) a/3

O1

R

O2

rT

R

O1 O2

r

rR

O

A

E

B

C

F

P Q

L x

BA

F

Q

CA

B

PA

C

D

Q

S R

U

T

. ..

A B

C 10

40

x

x

A

B

C

D


GEOMETRIA25. En un tringulo ABC, se inscribe una circunferencia con puntos de

tangencia P, Q y R a los lados AB, BC y AC respectivamente, setraza la circunferencia ex-inscrita relativa al lado BC, que estangente a AC en N. Si QC=4, AN=10 y AP=2(BQ) entonces BQmide:A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

26. De la figura mostrada es verdad?I. BM=NCII. MN=AB-ACIII. CP=p-AB (p semipermetro ABC)IV AL=p

A) I y II B) I II y III C) IIID) Todas E) II

47. Calcular la longitud del radio de la circunferenciainscrita en un tringulo rectngulo cuyos catetos miden15 m y 20 m.

A) 10 m C) 5 m E) F.D.B) 2,5 m D) 4 m

48. Un punto dista 8 m del centro de una circunferencia dedimetro 10 m. Hallar la distancia mnima del punto ala circunferencia.

A) 1 m C) 3 m E) 5 mB) 2 m D) 4 m

49. En un tringulo ABC se inscribe una circunferencia,cuyo punto de tangencia con BC es M. Si AC = 10 y elpermetro del tringulo es 42, hallar BM.

A) 11 B) 12 C) 10 D) 13 E) 9

50. Hallar: AM, si: AB + CD = 86; BC = 24 y PD = 14.

A) 14B) 24C) 32D) 36E) 21

51. En la figura: AB = 5; AD = 4 y CD = 3. Hallar BC.

A) 1B) 2C) 3D) 4E) N.A.

52. En un tringulo rectngulo la hipotenusa y el inradiosuman 12. Hallar el permetro del tringulo.

A) 6 C) 24 E) 36 B) 12 D) 18

53. El permetro de un tringulo rectngulo es 90 cm y elradio de la circunferencia inscrita, 4 cm. Calcular lalongitud de la hipotenusa.


54. La mediana de un trapecio rectngulo circunscrito auna circunferencia mide 18 cm y uno de los ngulos,53. Calcular el radio de la circunferencia inscrita.


55. En un tringulo ABC, recto en B, se traza la altura BH .Calcular BH, si r1, r2 y r3 son los inradios de lostringulos ABC, AHB y BHC, respectivamente, y r1 + r2+ r3 = 6 cm.

A) 9 cm C) 10 cm E) 6 cmB) 8 cm D) 7,5 cm

56. Hallar el inradio del tringulo ABC.

A) 5B) 6C) 7D) 10E) 15

57. Dos circunferencias secantes tienen radios delongitudes 8 y 4. El centro de la menor est sobre lamayor. Hallar la medida del ngulo que forma la lneade los centros con una recta tangente a ambascircunferencias.

A) 30 B) 60 C) 15 D) 75 E) N.A.

58. En la figura, AB + CD = AD, hallar (R + r), si BC = 6u.

A) 2 mB) 6 mC) 3 mD) 1,5 mE) 12 m

59. Hallar PT. P y T: puntos de tangencia.

A) 15B) 17C) 19D) 21E) 22

60. La suma del dimetro de la circunferencia inscrita conel dimetro de la circunferencia circunscrita a untringulo rectngulo es 18. Calcular la suma de loscatetos.

A

B

C

D

T

P

M

O

A

B

C

D

A

B

C

D

R

r

A

9

B

C

PM

T

H

13

A

B

CD

E F

14

A

B

C KP

Q

N

M

L


GEOMETRIAA) 6 B) 12 C) 18D) 36 E) N.A.

61. Haciendo centro en los vrtices de un tringulo ABCde lados 5, 7 y 8 se trazan circunferencias tangentesexteriormente dos a dos. Hallar la medida del radio dela circunferencia menor.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

62. Si: AB + AC = 12 y el semipermetro del tringulo ABCes 12 m. Hallar EB + QC.

A) 6B) 8C) 10D) 12E) N.A.

63. La circunferencia exinscrita al tringulo ABC relativa aBC, determina el punto de tangencia Q en laprolongacin de AC . Se sabe que AB = 13, BC = 9 yAC = 18. Hallar QC.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

64. En la figura, BE + BP = 29 y FQ = 17. Calcular r.

A) 3B) 4C) 6D) 9E) N.A.

65. Sea ABCD en cuadriltero convexo, tal quemC=mABD=90, AD=BC + CD, AB = 20. Hallar lasuma de los inradios de los tringulos ABD y CBD.

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) N.A.

66. Si ABCD es un rectngulo , mTBC = mABT, TB TE = 2. Hallar R.

A) 1B) 2C) 3D) 4E) N.A.

67. Hallar r si AB = 10 y EF = 8.

A) 0,5B) 1C) 2D) 3E) N.A.

68. Se tiene tres circunferencias de radios 1, 2 y 3unidades, tangentes exteriores entre s, dos a dos. Elradio de la circunferencia inscrita de tringulo formadode unir los centros de las primeras circunferencias es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

69. Calcular el permetro del tringulo sombreado si: PA =8 m.

A) 4B) 8C) 16D) 32E) N.A.

70. En la siguiente figura, las rectas QRyPQ,PR sontangentes a la circunferencia en los puntos A, B y C, siPR = 9 cm, QR = 7 cm y PQ = 8 cm. Hallar el valor dePC .

A) 3,5 cmB) 2 cmC) 3 cmD) 5 cmE) 4 cm

71. Si desde un punto que dista 17 m del centro de unacircunferencia se puede trazar una tangente que mide15 m. Cunto mide el radio de dicha circunferencia?

A) 5 m B) 6 m C) 7 m D) 8 m E) 9 m

72. La tangente trazada desde un punto que dista 2 m deuna cirunferencia mide 4 m. Cunto mide el radio dedicha circunferencia?

A) 3 m B) 4 m C) 5 m D) 6 m E) N.A.

73. En la figura siguiente, EF es tangente a lacircunferencia inscrita en el ABC. Hallar el permetrodel EBF, si AB = 10 m; BC = 12 m y AC = 11 m.

A) 9 mB) 15 mC) 14 mD) 18 mE) 11 m

74. Hallar el permetro del ABC, si ra = 12 cm y mA= 60.

A) 24 cmB) 16 cm

C) 12 3 cmD) 36 cm

A) 24 3 c

A

B

C

E

Q

O

A

B

C

E

D P

A

B C

DE QT

R

A B

C

Q

P R

A C

E

B

F

A

B

C

ra

A

B

C

EFb

br

2b

A

B

C

E

F

r

Q

P


GEOMETRIA

CIRCUNFERENCIA II

NNGGUULLOOSS EENN LLAA CCIIRRCCUUNNFFEERREENNCCIIAA

ngulo Central

O : centro =

ngulo Inscrito

2

=

ngulo Ex inscrito

2+

=

ngulo Semi Inscrito

T: punto de tangencia

2

=

ngulo Interior

2+

=

ngulo Exterior

2

=

T: punto de tangencia

2

=

2

=

Adems se cumple:

+ = 180

A y B son puntos detangencia.

Adems se cumple: + = 180A y B son puntos de tangencia.

1. Calcular mBM, si ABCD es un cuadrado.

2. En la figura el tringulo ABC es issceles (AB = BC) ymBCD = 20, calcular mRB + mAD.

3. Hallar x si + = 133. O : centro.

4. Del grfico; calcular: + si los polgonossombreados son regulares.

5. Si: TP = 4 y AB = 6, calcular mTL.

T

A

B

P

O P

C

A

T

A

B

CD

R

A

B C

M

D

A

T

B

LP

O

A

B

O

C

D

x


GEOMETRIA

A

BC

DOx25

100

6. En la figura: AD = DE y mABR = 25. Calcular lamDCE (A y C: puntos de tangencia).

7. Hallar el valor de x siendo O el centro de lacircunferencia.

A) 80B) 60C) 40D) 20E) N.A.

8. En la figura, hallar x.

A) 9B) 19C) 24D) 38E) N.A.

9. En la figura, hallar: si B es punto de tangencia.

A) 105B) 135C) 150D) 170E) 175

10. Hallar x.

A) 50B) 60C) 70D) 80E) N.A.

11. Hallar x.

A) 15B) 30C) 45D) 60E) 75

12. En la figura, hallar x, si: mA + mC = 110.

A) 70B) 60C) 55D) 40E) 35

13. En la figura, hallar .

A) 30B) 40C) 60D) 70E) 80

14. Si: B y C son puntos de tangencia, calcular .

A) 15B) 25C) 30D) 45E) 50

15. Hallar x si AB es dimetro.

A) 40B) 60C) 80D) 100E) 120

16. Si: O es centro, hallar .A) 100B) 110C) 115D) 120E) 150

17. En la figura, hallar

A) 90B) 100C) 110D) 115E) 120

18. Si: O es centro, hallar

A) 120B) 135C) 150D) 160E) N.A.

19. Si: O es centro, hallar x.A) 5B) 10C) 15D) 20E) 30

A

B

C

DE

R

A

B

C

D

x

38

50

A

B

C

O

A B

C D

E

x 50

A

B

C

O

20

30

A

B

O O

A

B

E

O

45

B

Ax

C

B

O80

A

B

Cx 20

A

B CN

Mx

A

B

C

x

A

F

M2


GEOMETRIA

A

B

C

DO

145

x

20. En la figura, calcular (x + y).

A) 40B) 60C) 80D) 160E) N.A.

21. Si: mAC = 2mDE, hallar 2(x + y).

A) 15B) 30C) 90D) 120E) 150

22. Hallar ( )

A) 50B) 60C) 80D) 120E) N.A.

23. Hallar si B es punto de tangencia.

A) 31B) 78C) 102D) 156E) 172

24. Si: AN es dimetro, hallar

A) 22B) 34C) 68D) 88E) N.A.

25. En la figura, mBC = 50, AB : dimetro, mCP = 90,hallar .

A) 65B) 75C) 80D) 85E) N.A.

26. En la figura, calcular x.

A) 35

B) 45C) 55D) 60E) 75

27. En la figura, calcular .

A) 9B) 18C) 36D) 54E) N.A.

28. Del grfico, AB = BC y mBD = 50. Calcular x.

A) 40B) 25C) 50D) 60E) 30

Del grfico, calcular x, siendo mAB = mBC.

A) 80B) 70C) 60D) 40E) 50

29. Del grfico, C y T son puntos de tangencia. Hallar x.

A) 20B) 2230C) 15D) 18E) 30

30. Del grfico, calcular x.

A) 85B) 95C) 75D) 65E) 90

31. Del grfico, calcular x.

A) 15B) 18C) 20D) 2230E) 24

y

AB

CD

x80

y

A

B

CD

x

30

E

A

BC

D

a

2a

3a

9a

A

B

CO

N

68

AB

C

Q

P

B78

A

B

O P2

xA

D

B

C

x

AP

B

C

60

A B C

T

x

2x

x

85

95

A

B

C

O

x6x


GEOMETRIA32. En la figura O1 y O2 son centros, tal que AB , es

tangente. Calcular: .

A) 45B) 30C) 34,5D) 36E) 37,5

33. En la figura BCDF es un paralelogramo BD//AE ;calcular la mFEA, si: mCDF = 60.

A) 15B) 18C) 30D) 24E) 16

34. En la figura, hallar: A + B + D; si mBC = 45 y mAE= 55.

A) 80B) 100C) 130D) 140E) N.A.

35. Calcular x, si O es centro.

A) 135B) 155C) 150D) 145E) 130

36. AE es tangente, mAB = 150. Hallar mBC.

A) 150B) 120C) 160D) 135E) N.A.

37. Del grfico, A, B, C y D son puntos de tangencia.Calcular x.

A) 20B) 30C) 35D) 40E) 45

38. Si O y O1 son centros y mNB = 80, hallar mPM.

A) 100B) 120C) 130D) 140E) 160

39. Hallar , si: MN//RS .

A) 80B) 60C) 90D) 100E) N.A.

40. En la figura PF es tangente M es punto medio delarco AB. Hallar x.

A) 90B) 100C) 110D) 120E) 130

41. Hallar x.

A) 42B) 38C) 36D) 33E) 30

42. Hallar .

A) 12B) 15C) 18D) 21E) 24

43. En la figura O es centro y B el punto de tangencia.Calcular x.

A) 26B) 13C) 39D) 28E) 32

A

B

O1

O2

A

B

E

60

C

D

F

A B

C

D

E

80

x

O

A

B

C

E50

A

C

B

D

x3x2x

A

N

B

M

P O

O1

R S

M NO

AB

F

x

P

M

40

x

156

18

A

B

CO

x 26


GEOMETRIA

PUNTOS NOTABLESASOCIADOS A UN TRIANGULO

ORTOCENTRO

Es el punto de concurrencia de las alturas deltringulo, cuya ubicacin depende de la naturaleza deltringulo.En el tringulo acutngulo

H: ortocentro del ABC

En el tringulo rectngulo

B: ortocentro del ABC

En el tringulo obtusngulo

H : ortocentro del ABC

INCENTROEs el punto de concurrencia de las bisectrices

interiores del tringulo; siempre es interior al tringulo yequidista de los lados, por lo tanto es el centro de lacircunferencia inscrita en el tringulo.

I : incentro del ABC

r : inradio del ABC

EXCENTROEs el punto de concurrencia de dos bisectrices

exteriores y una bisectriz interior trazada del tercer vrtice;se encuentra exteriormente y equidista de los lados deltringulo, por lo tanto es el centro de la circunferencia ex inscrita. Todo tringulo tiene tres ex centros.Ea : ex centro relativo a BC

CIRCUNCENTROEs el punto de concurrencia de las mediatrices de los

lados del tringulo, dicho punto equidista de los vrtices deltringulo, por lo tanto es el centro de la circunferenciacircunscrita al tringulo. La ubicacin del circuncentrodepende de la naturaleza del tringulo.

En el tringulo acutngulo

321 L,L,L : mediatrices

O : circuncentro del ABCR : circunradio

En el tringulo rectngulo


O : es circuncentro del ABCR : circunradioEn el tringulo obtusngulo

A

B

C

Ea

A

B

C

Eara

ra

ra

A

B

C

R R

R

OL1

L2

L3

Circunferencia circunscrita

A

B

C

R

O

L1

L2

L3

A

B

CH

A

B

C

DE

F

H

A

B

CD

E

F

H

A

B

C

I

A

B

C

Ir

r

r

Circunferenciainscrita

A

B

C

OL1

L2

L3

R


GEOMETRIA


O : es circuncentro del ABCR : circunradio

Propiedades:

Si O es el circuncentro se cumple:

1. OA = OB = OC = R 2. mAOC = 2mABC

BARICENTROEs el punto de concurrencia de las medianas de una

superficie triangular; siempre es un punto interior.El baricentro divide a cada mediana en dos

segmentos, cuya razn es de dos a uno.

G : baricentro de la regin triangular ABC.

Propiedad: BG = 2(GM) ; AG = 2(GF) ; CG = 2(GE)

1. La suma de las longitudes de las medianas de untringulo es 48 cm. Calcular la suma de las distanciasdel baricentro a cada uno de los vrtices.

2. Si G es el baricentro del tringulo equiltero ABC y GC= 4, hallar la longitud del lado.

3. En un tringulo ABC cuyo circunradio mide 10.Calcular AC siendo mABC = 37.

4. Del grfico, hallar x siendo K circuncentro del tringuloABC.

5. En el tringulo acutngulo ABC se sabe que: mA mC = 48. Hallar la medida del ngulo HBO, si H esortocentro y O es circuncentro del tringulo.

6. En un tringulo ABC, de circuncentro K y excentrorelativo a BC E. Calcular mBKC, siendo mBEC =50.

7. En el grfico mostrado, calcular x, si IM = MC. I esincentro.

8. En la figura, halla x+y, si = 20.

9. En un tringulo ABC de incentro I y excentro Erelativo a AB . Calcular la mABC si AE = AI.

10. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, de incentroI y excentro E relativo a BC , si AC = IE, calculemBCA.

11. La longitud de la circunferencia inscrita en un tringuloes 12pi. Calcular la suma de las distancias del incentroa los lados de dicho tringulo.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 18

12. La suma de las distancias del circuncentro a losvrtices de un tringulo es 15. Calcular la longitud deldimetro de la circunferencia circunscrita.

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

13. La suma de las distancias del baricentro a cada uno delos vrtices de un tringulo es 18. Calcular la suma delas longitudes de las medianas de dicho tringulo.

A) 9 B) 12 C) 21 D) 25 E) 27

14. En un tringulo ABC de ortocentro O se sabe quemAOC = 2 mABC. Hallar mOCB.

A) 30 B) 45 C) 60 D) 15 E) 75

15. Si la distancia del baricentro de un tringulo a uno desus vrtices mide 12 cm, halla la longitud de lamediana que parte de dicho vrtice.A) 12 cm C) 24 cm E) 48 cmB) 18 cm D) 36 cm

A

B

C

O

A

B

C

EG

F

a

a

b b

c

c

M

A

B

C

H

IM

x2525

70

A

B C

xy

2 2

A

B

C

K70

80 x


GEOMETRIA16. En un tringulo ABC: BM es mediana y G el

baricentro, si GM = 3, hallar BG.A) 7 B) 8 C) 6 D) 5 E) 9

17. Sea H el ortocentro de un tringulo acutngulo ABC,BH prolongado corta a AC en P, calcular la mAPB.

A) 90 B) 45 C) 60 D) 100 E) 80

18. El ngulo A de un tringulo ABC mide 60. Calcular lamedida del ngulo IAC, si I es el incentro del tringulo.

A) 30 B) 60 C) 45 D) 37 E) 53

19. Sea O el circuncentro de un tringulo ABC. Si OA = 4,hallar OB + OC.

A) 9 B) 10 C) 5 D) 7 E) 8

20. Si la distancia del incentro de un tringulo ABC al ladoAC es 6, hallar la distancia de dicho punto al ladoAB .

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

21. El ngulo B de un tringulo ABC mide 80, calcular lamedida del ngulo AIC, siendo I el incentro deltringulo.

A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150

22. Calcular x si O es circuncentro del tringulo ABC.

A) 80B) 90C) 75D) 95E) 70

23. Sean H y O, ortocentro y circuncentro de un tringuloequiltero ABC. Si AB = 2 3 , calcular HO.

A) 1 B) 2 C) 0 D) 1,5 E) N.A.

24. Si E es el excentro de un tringulo ABC, referente aBC , mA = 80, calcular mEAC.

A) 35 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

25. El ngulo B de un tringulo ABC mide 50. Calcular lamedida del ngulo AEC, si E es el excentro referenteal lado BC .

A) 15 B) 20 C) 22 D) 25 E) 28

26. Dado el tringulo ABC donde mB = 120, calcularmAOC, si O es el circuncentro.

A) 100 B) 60 C) 120 D) 90 E) 160

27. En un tringulo equiltero la distancia del baricentro alpunto medio de uno de sus lados es 1 m. Hallar laaltura del tringulo.

A) 4 m B) 3 m C) 3,5 m D) 4,5 m E) N.A.

28. La distancia del ortocentro al baricentro de un tringulorectngulo es 50 m. Calcular el dimetro de lacircunferencia circunscrita.

A) 100 m C) 75 m E) N.A.B) 150 m D) 200 m

29. En un tringulo ABC los lados son proporcionales a 3,4 y 5. Si su permetro es 36 m, hallar la distancia delbaricentro al circuncentro.

A) 2 m B) 5/2 m C) 1,5 m D) 3 m E) N.A.

30. En un ABC se trazan las medianas BDyAEcortndose ambas en el punto G. Si AE+BD= 24, hallarAG+GB.

A) 16 B) 8 C) 12 D) 15 E) N.A.

31. En el ABC: O circuncentro. Hallar x.

A) 60B) 70C) 80D) 90E) 75

32. En el ABC: E excentro. Hallar .

A) 70B) 80C) 90D) 75E) 65

33. En el ABC, I incentro. Hallar x.

A) 40B) 35C) 36D) 45E) 60

34. En el ABC, O circuncentro. Hallar x.

A) 40B) 50C) 30D) 60E) 45

35. En un cuadrado ABCD se toman M y N puntos mediosde los lados ADyAB respectivamente. Si DMyBNse intersecan en un mismo punto P y PC = 10, hallarAP.

A

B

CO

x

A

B

C

O

x

20 30

A

B

C

E

40

60

A

B

C

O

80

70

x

A

B

C

I

80

70

x


GEOMETRIA

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) N.A.

36. De los siguientes enunciados, cules son verdaderos:I. En un tringulo ABC, si el circuncentro y el

incentro se encuentra en un mismo punto P,entonces el tringulo es equiltero

II. En todo tringulo, el incentro y baricentro losencontramos dentro del tringulo.

III. Dos bisectrices exteriores y una interior relativas aun mismo lado concurren siempre en un mismopunto.

A) Slo I C) I y III E) TodasB) Slo II D) II y III

37. En el tringulo obtusngulo PQR, C es circuncentrosi PR = 8 y PC = 5, hallar x.

A) 100B) 110C) 115D) 127E) N.A.

38. En un tringulo ABC de circuncentro O la mA = 74y la mOCA = 14. Hallar AB si OC = 3.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

39. Se tiene un tringulo ABC de circuncentro O lamediatriz de BC corta a la prolongacin de BA en My la mediatriz de AB a la prolongacin de BC en N.Hallar la mONB si mOMC = 10.

A) 10 B) 20 C) 15 D) 25 E) 5

40. El ngulo S de un tringulo obtusngulo issceles LSDmide 140. Calcular la medida del CLO, sabiendo queC y O son el circuncentro y el ortocentrorespectivamente de dicho tringulo.

A) 140 B) 90 C) 100 D) 135 E) 120

41. Dado un tringulo issceles, se trazan las bisectricesexteriores de los ngulos iguales. Si stas forman unngulo que es 4 veces el ngulo desigual. Determinarel complemento del ngulo igual.

A) 80 B) 20 C) 10 D) 60 E) 70

42. Se tiene un tringulo ABC, en cuyo exterior se ubica el

punto O, tal que BO es bisectriz exterior del ngulo B

y CO es bisectriz exterior del ngulo C. Si el nguloBOC mide 70, hallar la medida del ngulo A.

A) 40 B) 60 C) 80 D) 110 E) 140

43. En un tringulo ABC, mA = 80. Se trazan lasbisectrices interior y exterior de C, as como la bisectrizexterior de B. Estas tres lneas al cortarsemutuamente, forman un tringulo, Cul es el valor delmenor ngulo de dicho tringulo?

A) 50 B) 45 C) 40 D) 60 E) N.A.

44. Hallar el valor de x, en la figura:

A) 14 B) 18 C) 22 D) 26 E) 32

45. En un tringulo ABC se sabe que mEIC - mIEC =40, sabiendo que I es el incentro y E es excentro

relativo a BC . Calcular la mABC.

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

46. Se tiene un tringulo issceles ABC (AB = BC) en el

cual se traza la ceviana CF . Si O es el circuncentrodel tringulo AFC. Calcular la mOCF sabiendo que lamABC = 36.

A) 9 B) 12 C) 18 D) 27 E) 36

47. En la figura, AB es dimetro y H cualquier punto de

AB , EM = HM y HN = NB. Hallar el valor de x.

A) 45 B) 60 C) 80 D) 90 E) 100

P

Q R

x

C

A

B

C

R

x

26

a+12

(52a)

52a

A O H N B

E

PM x

F


GEOMETRIA

PROPORCIONALIDADDE SEGMENTOS

RAZN DE SEGMENTOSEs el cociente de sus longitudes expresado en una

misma unidad de medida; entonces de acuerdo a lo

mencionado la razn de CDyAB es el nmeroCDAB

.

Ejemplo:

Si AB = 10 cm y CD = 15 cm, entonces la razn de AB y

CD esCDAB

=32

cm15cm10

=

SEGMENTOS PROPORCIONALES

Dos segmentos CDyAB son proporcionales a otros

dos, RTyPQ , si:

CDAB

=RTPQ

Ejemplo:AB = 2cm, CD = 4cm y PQ = 3cm, RT = 6cm, como

CDAB

=21 y

RTPQ =

21 , entonces CDyAB son

proporcionales a RTyPQ .

TEOREMA DE THALESTres o ms rectas paralelas, determinan en una recta

secante a ellas, segmentos que son proporcionales, a lossegmentos determinados por las mismas rectas paralelasen cualquier otra secante a ellas.

Si: 321 L//L//L

Entonces:EFDE

BCAB

=

Tambin:EFDF

BCAC

=

DEDF

ABAC

=

COROLARIO

Si: 321 L//L//L por Tales: NCBN

MABM

=

En el ABC: si AC//MN se cumple:

NCBN

MABM

=

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

En todo tringulo, los lados concurrentes con unabisectriz interior son proporcionales a los segmentosdeterminados por dicha bisectriz en el lado al cual esrelativa.

En el ABC:

nm

ac

=

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

En todo tringulo, los lados concurrentes con unabisectriz exterior son proporcionales a los segmentosdeterminados por dicha bisectriz en el lado al cual esrelativa.

En el ABC:

nm

ac

=

TEOREMA DEL INCENTRO

En todo tringulo el incentro determina en la bisectrizsegmentos proporcionales a la suma de los ladosadyacentes al ngulo bisecado y el tercer lado.

En el ABC I: incentro

bca

nm +

=

A

B

C

D

E

F

L1

L2

L3

A

B

C

M

L1

L2

L3

N

A

B

CD

ac

m n

A

B

C D

ca

mn

A

B

C

I

c

b

am

n


GEOMETRIA

1. En un rectngulo ABCD, P y Q son puntos de BC y ADrespectivamente tal que AP//CQ, BP=3PC y { }HQCPD = , seaHM perpendicular a AB (M en AB) si BM=6 entonces la longitud deAM es:A) 12 B) 15 C) 16D) 24 E) 18

2. En un tringulo ABC, se ubican D en BC y E pertenece a AB y F enBD de modo que AD//EF y ED//AC. Si BDBF

74

=y BD=7.

Calcule la longitud de BC.A) 43/4 B) 45/4 C) 47/4D) 51/4 E) 49/4

3. En un tringulo ABC, BC=12. Se traza la bisectriz AD y la medianaBM que son perpendiculares. Calcular BD.A) 7 B) 5 C) 3D) 8 E) 4

4. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los ngulos B y D, secortan en un punto E, de la diagonal AC. Si AB=15, BC=10 yCD=12, hallar AD.A) 15 B) 17 C) 18D) 19 E) 20

5. En la figura, B es punto de tangencia y BD//AF. Hallar la longitudde AF, si AB=18 y BC=10.

A) 4 B) 5 C) 3D) 8 E) 2

6. Del grfico, el valor de x es:A) 30 B) 2230 C) 53D) 2630 E) 45

7. En un tringulo ABC, E es punto de AB y F un punto de BC, Talesque: AmEFBm = , AC=36, EB=24 y BC=40. Hallar EF.A) 20 B) 18 C) 9,6D) 21,6 E) 12

8. En un tringulo ABC por los vrtices A y C pasa una circunferenciaque corta a AB en M y BC en N. la tangente trazada por C, esparalela a AB. Si AC=2 y BC=16, hallar NC.A) 8 B) 7 C) 10D) 9 E) 12

9. En un tringulo ABC, AB=6, BC=8 y AC=7. Por B, se traza latangente a la circunferencia circunscrita, cortando en P a laprolongacin de CA. Hallar PA.

A) 7 B) 8 C) 9D) 14 E) 12

10. Un trapecio ABCD, est inscrito en una circunferencia. Por C, setraza tangente a la circunferencia, cortando a la prolongaron de ADen el punto F. Si BC=10 y AC=16, hallar AF.

A) 15 B) 25 C) 10D) 25,6 E) 12

11. Se tiene un tringulo escaleno ABC inscrito en una circunferencia,tal que la recta que contiene a la bisectriz exterior de B interceptaen F a la prolongacin de AC y en M a la circunferencia circunscritaBC=3, BF=9, BM=4. Hallar AB.

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

12. Un cuadriltero ABCD est inscrito en una circunferencia dedimetro AD. Se trazan las perpendiculares BM y CN hacia eldimetro AD, de modo que MN=7 y ND=9. Halle la distancia desdeD hacia la recta BC.

A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

13. En un tringulo ABC se traza la bisectriz interior AD y por D laparalela DE a AC (E en AB), si BD=6, DC=10 y ED=4, calcular BE.

A) 1,3 B) 1,2 C) 3,4D) 2,4 E) 2,3

14. Sobre los lados AB y BC de un tringulo ABC se ubican M y Nrespectivamente, tal que 2AM=3MB y BN=3NC, si MN y ACprolongados se cortan en P. Calcular CP, si AC=14.

A) 4 B) 5 C) 3D) 8 E) 6

15. En un tringulo ABC, BC=12. Se traza la bisectriz AD y la medianaBM que son perpendiculares. Calcular BD.

A) 7 B) 5 C) 3D) 8 E) 4

16. En un cuadrado ABCD de centro O se ubica el punto L en AD, talque AL=2LD, en la prolongacin de OLse ubica el pinto P, tal que = 90OAPm .Calcule OL/LP.

A) 1/3 B) 1/2 C) 3/4D) 1/5 E) 2/3

17. Los lados de un tringulo ABC miden: AB=3, BC=4 y AC=5. setrazan la altura BH y la bisectriz interior AD las cuales se cortan enP. Evaluar BP.

A) 1,4 B) 1,5 C) 1,3D) 1,8 E) 1,6

18. En un cuadrado ABCD de centro O se toma en CD el punto R ypor O se traza una recta perpendicular a AR que interfecta a BCen P. Calcular CR, Si BP=3A) 4 B) 5 C) 3D) 8 E) 6

A

B C D

E

F

2n n 3n

x xx


GEOMETRIA

19. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, se ubican los puntos Py Q sobre BC y AC respectivamente , tal que CP=CQ=2,

{ }RBQAP = , se traza una recta que contiene a R y C,intersecando a AB en S, luego la prolongacin de QP interseca a laprolongacin de AB en L. Si AB=10 y AC=8, calcule LS.

A) 12 B) 16 C) 20D) 26 E) 24

20. En un tringulo ABC, se traza una recta que contiene al baricentrode la regin triangular e interseca a los lados AB y AC en P y Qrespectivamente. Si AP(QC+PB(AQ)=40, calcule (AP)(AQ).A) 26 B) 39 C) 40D) 41 E) 45

21. Se tiene un triangulo ABC de modo que AB=18 y AC=15. Luego setraza MN//AC (M en AB y N en BC). Calcular MN, si BM=6.A) 4 B) 5 C) 3D) 8 E) 6

22. Determinar la altura de una torre cuya sombra es de 30m, si sesabe que en el mismo instante un bastn de 50cm produce unasobra de 20cm.A) 74 B) 75 C) 73D) 78 E) 76

23. En un tringulo ABC, se traza la ceviana BD tal queDBCmAm = . Calcular BC, si: AD=7 y DC=2.

A) 4 B) 5 C) 3D) 8 E) 6

24. Un trapecio ABCD (BC//AD, BC es menor que AD) se encuentrainscrito en una circunferencia. Se toma el punto P sobre el arco ADtal que { }RBPAD = ; Si PA=5, PC=15 y PD=9. Hallar PR.A) 4 B) 5 C) 3D) 8 E) 6

1. La razn de dos segmentos es 3/5. Si uno de ellosmide 8 cm ms que el otro, cunto mide el segmentomenor?

A) 1 cm B) 12 cm C) 13 cm D) 9 cm E) 8 cm

2. En la figura, calcular AH + GB, si HI = IJ = JB, HE = 7 yCB = 8.

A) 42B) 40C) 28D) 45E) 43

3. Si: L1 // L2 // L3 // L4, calcular x.

A) 4

B) 6C) 8D) 9E) 12

4. En la figura se tiene que EF//CD//AB . Calcular DF BD.

A) 8,5B) 7,5C) 8,6D) 7,6E) 7

5. Del grfico hallar 3m si L1 // L2 // L3.

A) 2B) 4C) 6D) 9E) 12

6. Del grfico calcular y x si L1 // L2 // L3.

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

7. Hallar x si AC + BD = 48.

A) 6B) 12C) 14D) 16E) 18

8. En la figura L1 // L2 // L3. Hallar x

A) 5B) 6C) 7D) 8E) N.A.

9. En la figura: CF//BE//AD ; AC = 15, AB = 3, DF = 20.Hallar DE.

A) 4B) 5C) 7

A B

CD

E F

GH

I

J

A

B

C

D

E

F

47

2x+1 5x5

L1

L2

L3

L4

x+3

2x5

L1

L2

L3

6

15

2m

3m+4

L1

L2

L3

x

yx3

y+4

8

10

A

12

21

7

B

C

D

E

F

G

H

x

8

3

16

x

L1

L2

L3

A

B

D

C

E

F


GEOMETRIAD) 5.5E) N.A.

10. Hallar x, si L1 // L2 // L3.

A) 20B) 15C) 8D) 10E) 6

11. A partir del grfico mostrado se pide calcular x, si PQ

es paralelo a BC y AD .

A) 2B) 3C) 1D) 1/2E) 2/3

12. En la figura L1 // L2 // L3 // L4. Hallar FH EG, siEH = 27.

A) 4B) 6C) 8D) 9E) 12

13. En la figura, se cumple que: AO/2 = OB/3 = BC/4.Halla MO, si MP = 45 y L1 // L2 // L3

A) 10B) 12C) 14D) 16E) 18

14. En la figura que se muestra, el segmento MN esparalelo a AB , adems: AM = 2MC y BN = 5 cm.Cuntos mide NC?

A) 3,5 cmB) 2,5 cmC) 1,5 cmD) 1 cmE) 3 cm

15. Considerando el grfico anterior y asumiendo que BNexcede a NC en 2. Calcular NC, si adems AM = 3 yMC = 2.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

16. Del grfico calcular x si: 4(AB) = 3(BC); EF = 8.

A) 1B) 2C) 4D) 6E) 8

17. Si en el tringulo ABC de la figura AC//DE , entoncesel tringulo ABC es:

A) Escaleno C) Issceles E) Issceles yB) Rectngulo D) Equiltero rectngulo

18. Del grfico, calcular: E =m.bn.a

A) 1B) 2C) 3D) 2/3E) 3/2

19. Hallar AR, si AB = 6, BC = 8 y AC = 7.

A) 3B) 2C) 1D) 3,5E) 1,5

20. En un tringulo ABC si AB = 18; BC = 12 y AC = 15, setraza la bisectriz BF . Calcular la longitud de AF .

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

L1

L2

L3

A

C1,5

1B

L4D

E

F

G

H2

L1

L2

L3

A

248

x+9B

C

D

E

F5

A

B C

D

E Fx

a

b

m

n

RA

B

C

A

B

C

D E

5

1x1

x+3

A

B

CP

N

MO

L1

L2

L3

A

B C

D

QPx

42 2

2

A

B

CM

N


GEOMETRIA

MEDIDAS DE ANGULOSTRIGONOMETRICOS

1. CONCEPTOEs aquel ngulo generado por la rotacin de una semirrectaalrededor de un punto fijo (centro de giro).

Elementos :OA: Lado InicialOB: Lado Final

O: Vrtice

2. TIPOS DE NGULOS

NG. NG.POSITIVO : NEGATIVO :

OBS. : Los ngulos trigonomtricos son ilimitados.

3. NGULO DE UNA VUELTA

Es aquel ngulo generado por la rotacin completa de unasemirrecta.

4. SISTEMAS DE MEDIDAS DE NGULOS

4.1. SEXAGESIMAL o INGLS

360vuelta11 = 1vuelta =360

601'1 = 1 = 60

60'1''1 = 1 = 60

1 = 60 1 = 3600

4.2. CENTESIMAL o FRANCS

400vuelta11g = 1 vuelta = 400g

adems:

1g = 100m1m = 100s

1g = 10000s4.3. RADIAL o CIRCULAR

Unidad: radin (rad)

1 radin: Es aquel ngulo central que determina sobre lacircunferencia un arco (L) cuya longitud es igual al radio(r).

L = rAdems:

1 vuelta = 2pi rad

donde:pi = 3, 1416pi = 22/7

OBS.:1 vuelta = 360 = 400g =2pi rad

vuelta = 180 = 200g =pi radLuego:pi rad = 180pi rad = 200g

9 = 10g

5. FORMAS PRCTICAS DE CONVERSIN

En general:

dadoSist.pedido.Sist

dado.Sistelen.Ang

pedidoSist.elenAngulo

=

6. RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS

En general:

KR200C

180S

=

pi==

Donde:S: N de grados sexagesimalesC: N de grados centesimalesR: N de radianes

Tambin:

pi=

pi=

R200C;R180S

RELACIN PARTICULAR :

10C

9S

=

L

SentidoHorario

A

B

AO

SentidoAntihorario

O

B

A

OB

r

r

o 1rad


GEOMETRIA

NIVEL I :

1).- Calcula:

rad10/216270360N

g

pi

+=

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/3

2).- Calcula un ngulo en radianes, Si:

2S+5C = 13, 6

a) pi/10 rad b) pi/100 radc) pi/1000 rad d) pi/50 rade) pi/40 rad

3).- Calcula un ngulo en radianes, si cinco veces lamedida en centesimales menos cuatro veces la medidaen sexagesimales, todo multiplicado por la medida enradianes es igual a 2, 8pi.

a) pi/5 rad b) pi/4 rad c) pi/10 radd) pi/6 rad e) pi/100 rad

4).- Reduce :

R20)SC()SC(P pi++pi=

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 100

5).- Calcula :o

o

8rad10

1550Tg

pi

+=

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) N.A.

6).- En un tringulo ABC, las medidas de los ngulosinternos son:

rad10

xC;x10B;x9A g pi===

Entonces el tringulo es:a) Equilterob) Isscelesc) Rectngulod) Rectngulo Isscelese) Escaleno

7).- Calcula la medida de un ngulo en radianes si:

S + C = 95

a) pi/ rad b) pi/2 rad c) pi/3 radd) pi/4 rad e) pi/5 rad

8).- Calcula el valor de:

+pi

+pi

=

6rad10

40rad3Q

g

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 59).- Halla la medida de un ngulo en radianes, si:

pi+

pi=

pi 2CR

101

5SR

61R

2

2

a) pi b) 2pi c) 3pi d) 4pi e) 5pi

10).- Si se cumple que: 262 63 = aaaHalla a .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11).- Reduce :E = ( )

SCSC

CCSC

+

+

522

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12).- Los ngulos de un cuadriltero AMOR se miden entres sistemas diferentes. El ngulo A mide 30, el nguloM mide 5/6pi rad y el ngulo O mide 90g. Determina lamedida del ngulo R.

a) pi/20 rad b) 11pi/20 radc) pi/30 rad d) 3pi/20 rad e) N.A.

13).- Halla el ngulo en radianes que cumple con larelacin:

4354

=+SC

14).- Calcula el equivalente de 20g.

a) 10 b) 9 c) pi/4 radd) pi/10 rad e) pi/18 rad

15).- Calcula el equivalente de pi/12 rad.

a) 10 b) 10g c) 15d) 15g e) 24

NIVEL II

1).- Calcula el equivalente de pi/48 rad.a) 215 b) 315 c) 245d) 345 e) 515

2).- Convierte a centecimal : 27

a) 5m b) 50m c) 25md) 30m e) 45m

3).- Convierte a centesimal : 81

a) 50s b) 150s c) 250s

d) 200s e) 125s

4).- La suma de dos ngulos es 80g y su diferencia es 18.Encuentra uno de los ngulos en sexagesimales.

a) 40 b) 45 c) 82d) 13 e) 15


GEOMETRIA

5).- Se tienen dos ngulos suplementarios, tales que eldoble del menor es igual al mayor disminuido en 30.Halla el mayor en radianes.

a) 13 pi/7 rad b) 13 pi/20radc) 13 pi/18rad d) 5 pi/18rade) pi/18rad

6).- Sabiendo que S y C representan lo convencional paraun ngulo y adems: C S = 4Halla la medida circular de

a) pi/4 rad b) pi/2rad c) pi/5radd) pi/8rad e) pi/9rad

7).- Determina la medida circular de un ngulo que verifica :S = x - 10

C = x + 10 ;siendo S y C lo conocido.

a) pirad b) pi/2rad c) pi/4radd) pi/6rad e) 2pirad

8).- Determina la medida circular de un ngulo que verifica :S + C + R = 383,1416

Siendo S, C y R lo conocido.

a) pirad b) pi/2rad c) pi/4radd) 2pirad e) pi/6rad

9).- Halla la medida circular de un ngulo que cumple :

81R20110C1

9S

=

+

pi

+

+

a) pi/20 rad b) pi/10rad c) pi/4radd) pi/5rad e) pi/8rad

10).- Halla la medida circular de un ngulo que cumple :

R380

RCS

CS pi

+pi

=

++

a) 5 pi/9 rad b) 10 pi/9 rad c) pi/9radd) 3 pi/10rad e) 9 pi/10rad

11).- Determina el valor de a (a>0) para que sea falso:g

g

11a

11=

4. NGULO CUADRANTALES

Son aquellos ngulos en posicin normal, cuyo lado finalcoincide con cualquier de los 4 semiejes coordenados. Losngulos cuadrantales no pertenecen a ningn cuadrante.

ngulo Cuadrantal = 90K = kpi/2

Donde : K = nmero entero

5. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOSCUDRANTALES

0 90 180 270 360

Sen 0 1 0 -1 0Cos 1 0 -1 0 1Tan 0 N 0 N 0Cot N 0 N 0 NSec 1 N -1 N 1Csc N 1 N -1 N

6. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS

I II III IV

Sen + + - -Cos + - - +Tan + - + -Cot + - + -Sec + - - +Csc + + - -

1).- Calcula el cos en la figura:

a)1010

b)510

c)910

d) 10

2).- Calcula: sec - tan

a) -1b) 1/3c) -3d) 1e) N.A.

3).- Calcula:

cot ; si sen = 1/3 y II C

a) -2 2 b)3

22

c)5

22 d) - 2 e) N.A.

4).- Indica el signo de:Q = sen220 tan250 cos150

a) (+) b) (-)c) (+) (-) d) faltan datos

5).- Calcula el valor de:E = 3sen90 + 5cospi + 2tan2pi

a) 1 b) 2 c) -3d) 2 e) 3

6).- Calcula el valor de:E = cos(senpi) + sec(tan0)

a) 1 b) 2 c) 0d) 2 e) 3

- = 360K = 2piK

RT () = R.T.()

90

0 (360)180

270

(1; -3)

y

x

(-3; 4)

y

x0


GEOMETRIA

7).- Calcula:T = cos1cos2cos3. ....cos180

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

8).- Si : tan = 2,4. Halla : senadems cos < 0

a)135

b)1312

c)1312

d)135 e) N.A.

9).- Indica el signo de:

P = sen140 - tan330 - cos250

a) (+) b) (-)c) (+) (-) d) faltan datos

10).- Si: cos =4140 y IV C

Halla : E = csc + cot

a) 9 b) 1/9 c) 9d) 1/9 e) N.A.

1).- Para el ngulo que se muestra se tiene que E(-2; -3).Halla:

M = cos + 3 13 cotg - sen

a) 27 13 /13 b) -25 13 /13

c) 31 13 /13 d) 7 13 /13

2).- Si P(-6; -8) al lado final del ngulo en posicinestndar, calcula:

sec +tg

a) 3 b) 3 c)31

d)31 e) 1

3).- Si el lado final del ngulo en posicin estndar pasapor el punto medio del segmento AB donde A(-1; 1) yB(5; 7), calcula: tg

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -4

4).- Si: IIC y IIIC, indica el signo de la siguienteexpresin:

M =tg

tgsen coscos.

=

+1

a) (+) b) (-) c) (+) (-)d) (+) y (-) e) No se puede afirmar

5).- De la figura halla:5sen + 13cos

a) 1b) 1c) 7d) 7e) 8

6).- Calcula tg+ctg

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) -4

7).- Si 8tg = 4 adems: IIIC, calcula:sencos

a) 2/13 b) 3/13 c) 6/13d) 6/13 e) 3/13

8).- Si: sen cos


GEOMETRIA

11).- Del esquema mostrado calcula Sec

a) - 5b) - 2/5c) - 10d) - 2/10e) - 2

9).- Si: Tg6x.Tg(x+20)= Sen 90A= 2Sen(x-10) + 4Sec18x

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

1.- CONCEPTOEs aquella circunferencia geomtrica inscrita en un sistemade coordenadas rectangulares, cuyo centro coincide con elorigen de coordenadas y cuyo radio es la unidad.

En donde:

A : Origen de arcosB : Origen de complementosA : Origen de Suplementos

M : Extremo del arco AM

2.- LNEAS TRIGONOMTRICAS

Es la representacin de las funciones trigonomtrica pormedio de segmentos.

2.1.- SENO: Est representado por la ordenada delextremo del arco.

en general : SenAM = Sen = MPAdems : -1 Sen 1

Entonces : (Sen)max = 1

(Sen)min = -1

2.2.- COSENO: Est representado por la abscisa delextremo del arco.

En general: Cos AM = Cos = MQ

Adems : -1 Cos 1

Entonces : (Cos)max = 1(Cos)min = -1

2.3.- TANGENTE: La tangente de un arco viene a ser lacoordenada del punto de interseccin entre el eje detangentes y la prolongacin del radio que pasa por elextremo del arco.

En general: TanAM = Tan = AT

Adems :Tan = AR

2.4.- COTANGENTE: Est representado por la abscisa delpunto de interseccin entre el eje de cotangentes y laprolongacin del radio que pasa por el extremo del arco.

En general:Cot AM = Cot = BR

2.5.- SECANTE: Viene a ser la abscisa del punto deinterseccin entre el eje de abscisas y la tangentegeomtrica trazada por el extremo del arco.

En general:SecAM = Sec = OS

Tambin : Sec = OL

(-2;1)

y

x

C.T

O

MQ

A

O

M

A

R

T

C.T

O

M

A

RB

A

O

M

SL A

A A

M(x, y)

(0, -1)

C.T

B

O

x

y

B (0, 1)

(1, 0)(-1, 0)

C.I

O

P

M

A


GEOMETRIA2.6.- COSECANTE: Viene a ser la ordenada del punto deinterseccin entre el eje de ordenadas y la tangentegeomtrica razada por el extremo del arco.

En general: CscAM = Csc = OL

1).- Si: 1= SenCoscalcula:

CscSenCosA +=

a) 1 b) 2 c) 2d) 3/2 e) 5/2

2).- Si: Cosx2III. Tgx1>Tgx2

a) VVV b) VFV c) FVFd) FVV e) FFV

3).- Afirma si es (V) o (F):I. La Tangente en el IIIC es creciente.II. El coseno en el IIC es creciente.III. El seno en el IVC es creciente.

a) VFF b) VFV c) VVFd) FVF e) FVV

4).- A partir de la figura calcula: PT.

a) Tg Senb) Tg Cosc) Tg (1-Cos )d) Tg (1-Sen )e) Tg (1+Cos )

5).- Afirma si es (V) o (F):I. Sen2>Sen3II. Cos4>Cos5III. Tg5>Tg6

a) VFF b) VFV c) FVFd) VVF e) VVV

6).- Simplifica:1Senx

3Cosx1CosxA+

++=

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 1/2

7).- Calcula el mximo valor de:

)(543 23 zyxzCosySenSenxF =

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 2

8).- Calcula el rea de la regin sombreada.

a) TgSen +b) )(

21 TgSen +

c) 2(Sen +Tg )d) )(

21 TgSen

e) )(2 SenTg 9).- En qu cuadrante las lneas seno y tangente son

creciente en valor relativo?

a) II y III b) I y IVc) III y IV d) I y IIIe) II y IV

10).- Calcula el rea de la regin sombreada.

a) Cos21 b) Sen

21

c) Sen d) Cos e) Cos2

11).- Determina el mnimo valor de:

)(352 22 zyxzTgyCosSenxF +=

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

12).- Si: 22

321

III. 21 TgxTgx >

a) VFF b) FVF c) VFV

O

M

A

L

X2+y2=1

P

A

T

X2+y2=1

P

C.T.


GEOMETRIAd) VVF e) FFV

13).- A partir de la C.T. Calcula:PQ

a) CosCos +b) CosCos c) CosCos d) ( CosCos + )e) 1+ CosCos

14).- De la figura, calcula el rea de la regin sombreada.

a) CosSen b) SenCos c) CosSen +d) )(

21 CosSen +

e) )(21 CosSen

15).- Si: k Zcalcula: TgkCoskSenkA 32 ++=a) 2 b) 2 c) 1d) (-1)k.2 e)(-1)k+1.2

1).- Calcula el intervalo de x:IICxCos =+ ;3)1(2

a) ] [3/1;1 b) ] [3/1;0c) ] [3/2;0 d) ] [3/2;1 e) ] [3;3

2).- Si se cumple 3a+aSen2x=b, halla el intervalo de (b/a).

a) ] [2;3 b) ] [3;3 c) ] [4;3d) ] [4;3 e) ] [3;3

3).- Halla el mximo valor de:wTgzSenCosyxSenA 232 21143 =

wzyx a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

4).- Afirma si es (V) o (F):

I. El seno en el IIC, decrece entre (0) y (-1).II. El coseno en el IIIC, crece entre (-1) y (0).III.La tangente en el IIC, crece entre( ) y (0).

a) FVF b) FVV c) VFVd) VVF e) FFV

5).- Calcula el rea de la regin sombreada:

a) 1/2 Cos b) Cosc) 2 Cos d) 3/2 Cos e) 3 Cos

6).- Si IC , calcula su valor a partir de:

=

31

422 CosCosSenSen

a) 37 b) 53 c) 30d) 7

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