INDICE OBJETIVOS JUSTIFICACION 1. HISTORIA DE LOS SISTEMAS DE REFERENCIA UTILIZADOS EN GEODESIA 2. GRAVEDAD, MAPAS DE ANOMALÍAS Y EL GEOIDE 3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

3.1 GEODESIA 3.2 GEODESIA FÍSICA 3.3 TIPOS DE ALTURAS 3.4 CAMPO DE GRAVEDAD TERRESTRE 3.5 POTENCIAL DE GRAVEDAD

4. SUPERFICIES DE REFERENCIA

4.1 EL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN 4.2 GEOIDE 4.3. RELACIÓN ENTRE GEOIDE Y ELIPSOIDE

4.3.1. Altitud ortométrica 4.3.2. Altitud elipsoidal 4.3.3. Ondulación del geoide 5. GEOIDE

5.1 ANÁLISIS VECTORIAL. 5.2 GRAVÍMETROS 5.3 MODELOS DE GEOIDE 5.3.1 GLOBALES

5.3.1.1 EGM96 5.3.1.2 EGM08 5.3.1.3 GOCE: MODELO GLOBAL SATELITAL 5.3.2 REGIONALES 5.3.2.1TEOREMA DE STOKES – HELMERT 5.3.2.2 MÉTODO ASTROGEODÉSICO

5.4 EL GEOIDE OCEANICO 5.5 GEOIDE MAGMÁTICO 5.6 GEOIDE FOSA

CONCLUSIONES BIBLIOGRAFIA

INTRODUCCION

Desde aproximadamente el siglo VI a. C. se comenzó a especular acerca

de la esfericidad del planeta Tierra, encontrando que Thales de Mileto

fue el primero que dibujó una esfera geográfica. Hasta entonces, se

consideraba plana, pero la navegación sobre todo en pueblos como los

fenicios y griegos, acompañada de una gran cantidad de filósofos y

matemáticos hizo que se realizarán las primeras menciones acerca de

que la superficie terrestre en realidad fuera una esfera.

Está creencia fue plasmada sobre la realidad cuando Juan Sebastian el

Cano y Fernando Magallanes, consiguieron dar la vuelta a la Tierra

navegando.

Sin embargo, la Tierra no es una esfera perfecta, aunque para una

representación óptima de ésta, se utilice una esfera (elipsoide en

concreto), pues se trata de una superficie regular, pudiendo ser

descrita mediante fórmulas matemáticas (importante a la hora de

proyectar la superficie en un mapa).

La realidad es que la Tierra no responde a ninguna fórmula

matemática, pues es una superficie irregular. El planeta Tierra es en

realidad más parecido a un esferoide.

La forma real o teórica de la Tierra será el geoide. El geoide es la

superficie de nivel de altitud cero, que coincide con la superficie media

de los océanos en equilibrio prolongada por debajo de los continentes.

Hablando de una manera más coloquial, la Tierra tiene forma de patata

irregular, debido a las fuerzas de la gravedad y los diferentes

accidentes geográficos.

OBJETIVOS

Conocer la evolución del concepto de la forma

de la tierra.

Explicar el comportamiento del campo

gravitatorio de la Tierra.

Determinar una superficie global definida por

las superficies equipotenciales generadas por

la gravedad en los distintos sectores

terráqueos.

Identificar las principales superficies de

referencia geodésicas y la relación entre ellas.

Conocer los modelos globales de geoide

elaborados en los últimos años.

JUSTIFICACION

El geoide es una superficie de referencia utilizada en la geodesia para

determinar perfiles altimétricos, esto es frecuentemente por la

determinación de la cota sobre el nivel medio del mar de todos los puntos

de la zona que es mensurada.

Dado que el geoide es una superficie normal en todo punto en dirección

vertical, esto es en la dirección frecuente de la fuerza de gravedad, ésta es

la forma que mejor describe la superficie media de los océanos

descontando las variaciones de marea, corrientes marinas o eventos

meteorológicos, y por esto del planeta; así es que el geoide es

considerado como una superficie equipotencial (donde la fuerza de

gravedad tiene valores equiparables) sobre el nivel medio del mar.

Sin embargo desde el punto de vista cartográfico el geoide no puede ser

utilizado para determinaciones planimétricas precisas de una porción de

terreno porque aún si se lograra relacionar la correspondencia de los

puntos de la superficie de la Tierra no se podría poner en correspondencia

los puntos del geoide con un sistema cartesiano plano. Es por esto que en

la práctica no es factible usar el geoide para la creación de una planta

arquitectónica porque los datos derivados de la proyección sobre el

geoide de la superficie terrestre no pueden ser descritos sobre un plano.

Por consiguiente el geoide se utiliza principalmente para referenciar las

cotas de nivel.

Todo lo anterior ocurre porque es prácticamente imposible describir al

geoide con una fórmula matemática resoluble en un plano: para conocer y

representar el relieve del geoide sería necesario conocer en todo punto de

la superficie terrestre la dirección de la fuerza de gravedad, la cual por su

parte depende de la densidad que la Tierra posee en cada punto. Tal

conocimiento es aún imposible sin una cierta aproximación que deja

importante margen de error, resultando así poco operativa desde el punto

de vista matemático la definición del geoide.

1. HISTORIA DE LOS SISTEMAS DE REFERENCIA

UTILIZADOS EN GEODESIA

El primer documento sobre geodesia se debe a Thales de Mileto (625-547 a.C.) al que debemos el descubrimiento de la trigonometría. Su concepción de la Tierra era un disco plano flotando en un mar infinito. Más tarde Anaximandro De Mileto (611-545 a. C.), primero que introdujo el concepto de esfera celeste, contemporáneo de Thales, imaginó la Tierra como un cilindro con el eje en la dirección Este-Oeste. Anaxímenes retoma la idea de Thales, pero sitúa a la Tierra rodeada de mar flotando en el aire. La escuela de Pitágoras (580-500 a.C.) y Filolao (550 a.C.), situó a la Tierra girando junto con el resto de cuerpos celestes, alrededor de un fuego central. Este fuego era invisible porque otra Tierra lo encubría. Anaxágoras (500-428 a.C.) también reconoció como esférica la forma de la Tierra y la de la Luna, y explico los movimientos de estos astros. El primero que apunta la posibilidad de la gravedad fue Aristóteles (384-322 a.C.), quién además formuló el primer argumento plausible para la esfericidad de la Tierra, y que es el mismo en la actualidad. Estas precursoras teorías de la Tierra esférica y No-Geocéntrica se olvidarían muchos años, y durante milenios la Tierra seguiría siendo plana y centro del universo.

Con la caída del imperio romano y la llegada de la edad media, con su oscurantismo y muy influenciada por la teología, todos estos conocimientos se olvidaron, y el avance en la ciencia fue nulo. La tradición Árabe no obstante recoge todo el conocimiento del mundo antiguo, que resurge de nuevo con las grandes exploraciones de Marco Polo (1210-1295).

Los conocimientos siguen avanzando y en 1687 la Ley de Newton marca el nacimiento de la ciencia moderna Según esta teoría la tierra debía ser más achatada por los Polos que en el Ecuador, esto no fue aceptado por un astrónomo de origen italiano llamado Cassini, y para zanjar esta cuestión la academia Francesa de Ciencias organizó dos expediciones, para medir arcos de meridiano, cerca del Ecuador y cerca del polo, el resultado dio la razón a Newton.

Los trabajos de Collin MacLaurin (1740) , demostraron la posibilidad de que un elipsoide achatado fuera la figura de equilibrio para una masa

fluida homogénea en rotación y de Clairaut (1743) que dio el valor del achatamiento en función de la gravedad y de la velocidad de rotación.

Carl Friedrich Gauss, fué el primer geodesta en definir la superficie del geoide en un sentido matemático estricto y lo describió en 1822 como "una superficie en la que cualquiera de sus partes intersecta las direcciones de la gravedad en ángulo recto y de la que es una parte la superficie oceánica en reposo en condiciones ideales.

Posteriormente, Friedrich Wilhem Bessel, en el año 1837 desarrolló las ideas de Gauss y definió a esta superficie como una superficie equipotencial a la que deben estar referidos todos los trabajos geodésicos. Luego, en 1872 Listing bautizó como "geoide" a esta superficie equipotencial.

Friedrich Robert Helmert sistematizó las ideas sobre las superficies equipotenciales en 1884 e incluyó su teoría completa en el reino de la geodesia.

El avance en las ciencias Físicas y en las Matemáticas estimula también el avance en la Geodesia, George Gabriel Stokes publica en 1883 una solución al problema de contorno de la geodesia física, mediante el establecimiento de la fórmula fundamental de la gravimetría (más exactamente en 1849) que más tarde Sergui Molodensky resolverá de forma más rigurosa.

Paralelamente a los trabajos anteriores, desde el comienzo del s. XIX, ya Laplace, Gauss, Bessel, entre otros, se dieron cuenta de que la hipótesis de un modelo de Tierra elipsoidal no se podía mantener cuando se efectuaban observaciones con gran aproximación.

2. GRAVEDAD, MAPAS DE ANOMALÍAS Y EL GEOIDE

El campo gravitatorio de la Tierra está representado de dos maneras principales: mapas y planos de geoide de la Tierra anomalías de gravedad.

Mapas de anomalías de gravedad (véase el globo abajo) muestran cuánto campo de gravedad real de la Tierra difiere del campo de gravedad de la superficie de la Tierra uniforme, sin rasgos distintivos. Las anomalías ponen de manifiesto las variaciones en la intensidad de la fuerza gravitatoria sobre la superficie de la Tierra. Anomalías de gravedad son a menudo debido a las concentraciones inusuales de la masa de una región. Por ejemplo, la presencia de cadenas montañosas por lo general causa la fuerza de gravedad para ser más de lo que sería en un planeta sin rasgos - anomalía de la gravedad positiva. Por el contrario, la presencia de fosas oceánicas o incluso la depresión de la masa de tierra que fue causado por la presencia de los glaciares hace miles de años puede causar anomalías de gravedad negativa.

Estos mapas "anomalía de la gravedad" muestran que los modelos de campo de gravedad de la Tierra sobre la base de datos del Satélite GRACE difieren de un modelo matemático simplificado que asume la Tierra es perfectamente liso y sin rasgos distintivos. Las áreas de color amarillo,

naranja o rojo son áreas en las que el campo de gravedad real es más grande que el modelo de rasgos de la Tierra predice, como las montañas del Himalaya en Asia Central (arriba a la izquierda del globo de la izquierda), mientras que los tonos cada vez más oscuros de azul indican los lugares donde el campo de gravedad es menor, como el área alrededor de la Bahía de Hudson en Canadá (en el centro superior del globo a la derecha). El geoide es una superficie de la Tierra hipotética que representa el nivel medio del mar en la ausencia de vientos, corrientes, y la mayoría de las mareas. El geoide es una superficie de referencia útil. Define la horizontal en todas partes y la gravedad actúa perpendicular a la misma. El nivel de un carpintero, se alinea a lo largo del geoide y un carpintero es sondear puntos sacudida por la vertical o perpendicular al geoide. El agua no fluirá en los acueductos si las tuberías están perfectamente alineadas a lo largo del geoide. Los topógrafos utilizan el conocimiento del geoide y la horizontal cuando se trazan las carreteras y fronteras.

3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 3.1 GEODESIA La Geodesia es la ciencia que estudia la forma y las dimensiones de la Tierra, así como el campo de gravedad y sus variaciones temporales (Gemael, 1999). Con el desarrollo tecnológico la geodesia a experimentado grandes avances gracias a las innovaciones en tecnología espacial, particularmente en el desarrollo satelital, como es el caso de la aparición de los sistemas de navegación global por satélites (GNSS) y el sistema de posicionamiento global (GPS), lo que permite determinar la posición de cualquier punto sobre la superficie terrestre. Nuevos campos de acción pasaran a formar parte del objeto de la Geodesia, pudiéndose citar, entre otros, la determinación de los parámetros definidores de los campos de gravedad, así mismo como las variaciones temporales de la grandes medidas, visto que, considerando la rigidez del planeta las deformaciones provenientes de la atracción de fuerzas externas hacen las coordenadas de un punto variables con el tiempo. Innovaciones como estas, representan importantes avances para los sistemas de referencia geodésicos en la obtención de posiciones planimétricas y altimétricas de gran precisión. 3.2 GEODESIA FÍSICA El área de la geodesia que se preocupa del estudio de la gravedad y sus aplicaciones geodésicas se llama Geodesia Física, ésta estudia el campo gravitatorio de la tierra, partiendo de las mediciones del mismo (mediante estaciones gravimétricas). 3.3 TIPOS DE ALTURAS • Altura Elipsoidal (h): Es la distancia entre la superficie del elipsoide y la superficie física de la Tierra. La magnitud y la dirección de este vector

dependen del elipsoide de referencia, en este caso si se utiliza las orbitas del sistema NAVSTAR GPS,este es el WGS84. • Altura Ortométrica (H): se define como la distancia vertical entre la superficie física de la Tierra y la superficie del geoide. Esta distancia se mide a lo largo de la línea de plomada, la cuales la curva que es tangencial a la dirección de la gravedad en cualquier punto. La línea de plomada no es una línea recta, ya que tiene una leve curvatura y giro, ya que la dirección de la gravedad varia dependiendo de las características de densidad local. En muchos casos prácticos las alturas ortométricas son también consideradas alturas sobre el nivel medio del mar. • Altura Geoidal (N): Conocida también como ondulación geoidal, es la distancia que separa al elipsoide del geoide.

3.4 CAMPO DE GRAVEDAD TERRESTRE El geoide como superficie de referencia fundamental, es una superficie cuya forma refleja la distribución de masas en la Tierra, entonces, hay que recordar cuál es la fuerza gravitatoria producida por una cierta distribución de masa, y su potencial asociado.

De esta forma, la gravedad o fuerza de gravedad, para un punto de la superficie terrestre, es el vector resultante entre el vector de la fuerza de atracción gravitacional ejercida por las masas terrestres (atracción newtoniana) y el vector de la fuerza centrífuga (causada por el movimiento de rotación), que actúan sobre la unidad de masa situada en este punto. El módulo del vector de la fuerza de gravedad será la aceleración de la gravedad para un punto determinado. Dado el concepto anterior, se analiza la ley de gravitación universal que fue formulada por Newton, como base de las leyes de Kepler. La cual nos dice: “la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa M sobre otra con masa mes directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d que las separa.”

La fuerza ejercida por las partículas es conocida como fuerza gravitacional, también conocida como fuerza de atracción gravitacional o fuerza de atracción de Newton. Vectorialmente, la fuerza ejercida por dos cuerpos M y m de dimensiones desconocidas, será:

De esta manera, se toma en cuenta que B, no puede ser considerada como despreciable, esto será el caso de un pequeño cuerpo A y la Tierra B, entonces puede ser tomado como si estuviera compuesto por un número de pequeños elementos de volumen dv, y la atracción de cada uno de estos elementos en A puede ser considerada en separado (Figura. 2.5). Si la variable independiente está designada por r, la densidad de masa en el interior del cuerpo por ρ(r), y dv es escogido suficientemente pequeño, de modo que ρ en dv puede ser considerado constante, obteniéndose la siguiente relación:

Las fuerzas gravitacionales son aditivas. Esto significa que la suma de las fuerzas producidas por los elementos dv es igual a la fuerza ejercida por todo el cuerpo B. Considerando los volúmenes dv infinitamente pequeños, la ecuación final está obtenida por la integración sobre el cuerpo B. Esta ecuación (2.6) puede ser usada en el estudio de la fuerza gravitacional de la Tierra sobre cuerpos cuya dimensión puede ser considerada despreciable con respecto a la Tierra. Ante todo para poder estudiar la gravitación es necesario conocer la distribución de densidad ρ(r) en el interior de la Tierra. El campo gravitacional está representado de forma global por la definición de un sistema de referencia rectangular geocéntrico, fijo a la Tierra, cuyo origen coincide con el centro de masa de la Tierra llamado geocentro, el eje z coincide con el eje medio de rotación de la Tierra, el eje x normal al eje zy está contenido en el plano meridiano medio de Greenwich, el eje

yes normal al plano xzy con una dirección tal que el sistema xyz sea directo. El plano xy se lo define como el plano ecuatorial. 3.5 POTENCIAL DE GRAVEDAD La atracción gravitacional producida por un cuerpo de masa M para untos exteriores del mismo, es derivada de un potencial armónico. Para la aplicación de atracción gravitacional en el estudio de campo de gravedad terrestre y sus relaciones con la forma de la Tierra van a ser necesarias algunas consideraciones adicionales. El vector gravedad, en un punto de la superficie terrestre es la fuerza resultante de la fuerza de atracción gravitacional F y la fuerza centrífuga C. Estas dos fuerzas actúan sobre un cuerpo (ver Figura. 2.6) donde la gravedad G se expresa como la suma vectorial de ambas (F y C), conforme la ecuación

La fuerza que se da por la rotación de la Tierra se denomina fuerza centrífuga y su dirección es siempre perpendicular al eje de rotación. La fuerza centrífuga está dada por:

Esta dado que en el Ecuador la fuerza centrífuga es de 3392 cm. seg-2, además se puede acotar que en los polos la fuerza centrífuga es nula. El potencial de gravedad (W) o geopotencial esta expresado por la suma del potencial de atracción (V) y el potencial centrífugo (Φ), conforme a la ecuación

El campo de gravedad, siendo un campo vectorial, posee magnitud, dirección y sentido. La magnitud puede ser obtenida a través de determinaciones relativas o absolutas mediante el uso de gravímetros. La unidad de medida de gravedades el Gal., y que está determinado por la relación:

4. SUPERFICIES DE REFERENCIA. Superficie Física de la Tierra La superficie física de la tierra está constituida por la topografía y el fondo oceánico, es aquí sobre esta superficie donde se realizan las observaciones geodésicas y topográficas. Sin embargo, debido a su forma irregular no es adecuada para cálculos matemáticos exactos. La superficie física de la tierra o también llamada superficie topográfica es más objetiva por su variedad de formas geomorfológicas e hidrográficas.

4.1 EL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN El elipsoide es una superficie matemática simple que mejor se aproxima a la forma de la Tierra. Dado que es una superficie matemática más que física la mayor parte de los cálculos geodésicos se realizan sobre la base de un elipsoide. Existen diferentes modelos de elipsoides utilizados en geodesia, denominados elipsoides de referencia. Las diferencias entre éstos vienen dadas por los valores asignados a sus parámetros más importantes: • Semieje ecuatorial o Semieje mayor (a): Longitud del semieje correspondiente al Ecuador, desde el centro de masas de la Tierra hasta la superficie terrestre. • Semieje polar o Semieje menor (b): Longitud del semieje desde el centro de masas de la Tierra hasta uno de los polos. Alrededor de este eje se realiza la rotación de la elipse base. Debido a que la tierra es ligeramente aplastada en los polos y algo abultada en el Ecuador, la figura geométrica que se le asemeja es un elipsoide de revolución de dos ejes. Dicho elipsoide se logra haciéndolo girar a este alrededor de su eje menor. A partir de las dimensiones de los semi-ejes a y b se definen los siguientes parámetros:

Alterando los valores de los coeficientes a y b se obtienen diferentes elipsoides. Se han propuesto diversos elipsoides de referencia, generalmente se conocen con el nombre de su creador. La razón de tener diferentes elipsoides es que ninguno de ellos puede adaptarse completamente a todas las irregularidades del Geoide, aunque cada uno de ellos se adapta razonablemente bien a una zona concreta de la superficie terrestre. Por tanto en cada país se utilizará el más conveniente en función de la zona del planeta en que se encuentre ya que el objetivo fundamental de un elipsoide es asignar a cada punto de la superficie del país donde se utiliza. Uno de los elipsoides de referencia más utilizados actualmente es el descrito en el sistema denominado World Geodetic System 84(WGS-84), desarrollado por el Departamento de Defensa de los EEUU, y que tiene como origen el centro de masas de la Tierra. Su popularidad se debe a que es el utilizado por el sistema de posicionamiento global por satélite GPS.

El elipsoide WGS-84define los parámetros geométricos para la Tierra indicados en la Tabla.

4.2 GEOIDE

Es una superficie de nivel que se aproxima al nivel medio del mar sin perturbaciones, la cual se prolonga por debajo de los continentes y cubre la Tierra en su totalidad. Puede ser imaginada como la superficie del mar libre de los efectos de rotación de la Tierra y mareas, siendo en todo punto perpendicular a la línea de plomada o dirección de la gravedad. Entonces el geoide es un modelo físico que busca representar la verdadera forma de la Tierra calculándola como una superficie de potencial de gravedad constante. Es importante señalar que debido a los efectos de variación en la densidad y distribución de masas de la Tierra, la forma del geoide es irregular; obedece de manera directa a los cambios en el campo de gravedad. La relación existente entre la superficie física de la tierra, el geoide y el elipsoide de referencia esta expresada en la figura.

4.3. RELACIÓN ENTRE GEOIDE Y ELIPSOIDE

Una vez ha sido aclarado el concepto de superficie de referencia, se

pueden definir varios tipos de alturas.

4.3.1. Altitud ortométrica.

La superficie de referencia en la medida de altitudes ortométricas es el

geoide. Este tipo de altura es especial por su significado puramente

geométrico. La altura ortométrica se define como la distancia vertical

entre la superficie física de la Tierra y la superficie del geoide. Esta

distancia se mide a lo largo de la línea de plomada, y responde a la

curva tangente a la dirección de la gravedad en cualquier punto. La línea

de plomada no es una línea recta, ya que tiene una leve curvatura y giro,

debido a que la dirección de la gravedad varía dependiendo de las

características de densidad local.

Evaluando matemáticamente el concepto de altitud ortométrica

partiremos del siguiente esquema:

Designemos por P0 la intersección del geoide con la línea de la plomada que pasa por el punto A. Sea C el número geopotencial de A, esto es:

Y sea H su altitud ortométrica, o sea, la longitud del segmento de la línea de la plomada entre P₀ y P. Sea O un punto a nivel del mar, esto es, sobre el geoide; ordinariamente se toma un punto apropiado sobre la costa. Sea A otro punto, conectado con O por un itinerario de nivelación. Entonces puede determinarse la diferencia de potencial entre A y O.

C es la cota geopotencial, se corresponde a la diferencia entre el potencial en el geoide y el potencial en el punto A. Como diferencia de potencial, el numero geopotencial C es independiente del itinerario de nivelación particular utilizado para relacionar el punto con el nivel del mar. Es el mismo para todos los puntos de una superficie de nivel; por lo tanto, puede considerarse como una media natural de la altitud aunque no tenga dimensiones de longitud, puesto que sus unidades son u.g.p. (unidades geopotenciales).

Puesto que C no depende del camino seguido, integrando a lo largo de la línea de la plomada:

De modo que:

Dónde:

Es el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada entre el geoide P₀, y el terreno A. Despejando de la formula (29):

Para determinar la altitud ortométrica necesitamos conocer la gravedad media a lo largo de la línea de la plomada, para ello partimos de la expresión (30). La aproximación más simple para su cálculo es la utilización de la reducción de Prey:

Donde gₐ es la gravedad media en el punto P del terreno. Sustituyendo la ecuación (32) en (31) e integrando:

g en gales, H en Km

g en gales, H en Km y C en unidades geopotenciales (u.g.p.) A veces en altas montañas y para muy alta presión es necesario aplicar a g una reducción más rigurosa. Las superficies con igual altitud ortométrica, no forman superficies equipotenciales. Si se formaran tales superficies, dos lugares con la misma altitud ortométrica deberían tener el mismo potencial. Bajo esta hipótesis, la ecuación (30), exige que la gravedad media a lo largo de las líneas de la plomada de estos dos lugares diferentes debe ser igual. Sin embargo, la aceleración de la gravedad depende de la altura, la latitud, así como de la distribución de las masas cercanas, por lo que podemos deducir que en dos puntos distintos la gravedad media no es constante ni en magnitud, ni en dirección. Así, dos puntos de igual altitud ortométrica no tienen por qué tener el mismo potencial gravitatorio, es decir, que los dos puntos no tienen por qué estar contenidos en la misma superficie equipotencial y por esto su cota geopotencial no tiene que ser necesariamente la misma. 4.3.2. Altitud elipsoidal Las altitudes que habitualmente manejamos en topografía, cartografía, ingeniería, etc., son las altitudes ortométricas H referidas al geoide; sin embargo el GPS no entiende de geoides ni de superficies de referencia terrestre. Lo que inicialmente obtenemos con el GPS son las coordenadas geométricas (x, y, z)GPS a partir de las cuales y mediante un proceso puramente matemático es posible determinar (φ, λ, h) GPS. Estas coordenadas se calculan conociendo distancias desde varios satélites a un receptor en la superficie terrestre y a partir de las posiciones que proporcionan los satélites con respecto al centro de masas de la Tierra, punto sobre el cual orbitan.

4.3.3. Ondulación del geoide En este proyecto pretendemos determinar con precisión la relación entre los modelos de geoide y las altitudes ortométricas a partir de mediciones de altitudes elipsoidales con GPS. Para establecer una relación entre ambas altitudes nos basaremos en el concepto de ondulación del geoide. Se expresa mediante la siguiente ecuación:

Para llegar a esta expresión, debemos tener en cuenta la proyección o reducción de cualquier punto sobre la superficie del elipsoide. Para ello utilizaremos la proyección de Pizzetti y la proyección de Helmert.

En un primer paso mediante la proyección de Pizzetti proyectaremos el punto P en el terreno sobre el geoide, P₀, según la vertical del punto o línea de la plomada, posteriormente, proyectar P₀ sobre el elipsoide, Q₀, según la normal al elipsoide en el punto P₀.

En un segundo paso mediante la proyección de Helmert, proyectaremos P directamente sobre el elipsoide, P’, según la normal al elipsoide.

La diferencia entre ambas proyecciones es mínima por lo que la expresión de la ondulación del geoide será la definida en la ecuación (35).

En este proyecto mediremos con gran precisión incrementos de altitudes elipsoidales entre puntos, y a partir de la siguiente expresión:

5. GEOIDE 5.1 ANÁLISIS VECTORIAL. Para comprender el concepto de geoide es necesario explicar lo siguiente: La fuerza que actúa sobre un cuerpo en reposo sobre la superficie terrestre es la resultante de la fuerza gravitacional y la fuerza centrífuga de la rotación de la Tierra. La resultante de estas dos se denomina fuerza gravitatoria. El potencial de la gravedad, W, es la suma de los potenciales de la fuerza gravitacional V y de la fuerza centrífuga Φ.

Donde la integral está extendida a toda la Tierra. Sabiendo que:

Y que el laplaciano en el exterior de las masas que generan el potencial es:

Siendo esta función armónica. Por lo tanto:

Esta función no es armónica. El vector gradiente de W:

De componentes:

Donde ḡ es el vector gravedad. La dirección de este vector es la línea de la plomada, o la vertical. A las superficies donde:

Se les denomina superficies equipotenciales o superficies de nivel. La diferencial total del potencial gravífico (1) será:

En notación vectorial, utilizando el producto escalar, se representaría:

Si el vector dl se toma a lo largo de una superficie de nivel W=W₀, entonces el potencial es constante y dW=0, por lo que la ecuación queda:

Como sabemos, cuando el producto escalar de dos vectores es 0, entonces estos dos vectores son perpendiculares entre sí. Por lo tanto, la ecuación expresa que el vector gravedad es perpendicular a la superficie de nivel que pasa por el mismo punto.

Las líneas que cortan normalmente a todas las superficies equipotenciales no son exactamente rectas sino ligeramente curvadas. Son las llamadas líneas de la plomada. Una vez que hemos dejado claro estos conceptos, podemos definir el geoide como la superficie equipotencial que mejor se ajusta al nivel medio del mar. 5.2 GRAVÍMETROS Los gravímetros son los instrumentos que nos permiten determinar la componente vertical de la aceleración de la gravedad (8) en un cierto lugar. Actualmente los gravímetros más utilizados son los que siguen el principio de la balanza de resorte. Los resortes de torsión y helicoidales se utilizan para generar las fuerzas necesarias. Primero consideraremos el resorte de torsión (figura 2). La masa m se localiza al final de la palanca de longitud a, la cual puede rotar alrededor del eje horizontal O. El ángulo entre la palanca y la plomada es α. El resorte de torsión que está montado en O, genera un momento de repulsión que es proporcional al ángulo α. Asumiendo m como la masa total del sistema, el equilibrio de los momentos generados por la fuerza de la gravedad y el resorte de torsión viene dado por:

donde τ es la constante de torsión, y es función de la longitud, el espesor y la elasticidad del alambre de torsión, y α₀ es el ángulo de pre-tensión del resorte.

De esta forma, los cambios de gravedad provocan cambios angulares, por lo tanto no se trata de una relación lineal. Al derivar (13) la sensibilidad de los rendimientos mecánicos del sistema es:

La sensibilidad puede aumentar eligiendo de forma correcta los parámetros del sistema. Simplificando (14) y sustituyendo (13) obtenemos:

De esta manera, la máxima sensibilidad se pueden conseguir para ciertas combinaciones de α 0 y α. Los casos α = 0º y α = 90º son de particular importancia. Para α = 0º el sistema empieza con péndulo invertido, usándose en este caso para medidas de gravedad dinámicas. Cuando α = 90º se alcanza el equilibrio horizontal de la balanza de resorte. La sensibilidad vendrá dada por la siguiente expresión:

Lo que indica que es un sistema de medición lineal. Para conseguir una precisión en la medición de ± 0.1 μmsˉᶻ y α₀ + α = 2π es necesario lograr una resolución angular de 0.013”. Para una palanca de longitud 0.1 m será necesaria una resolución de 6 nm en la lectura del desplazamiento. Mediante el uso de un resorte helicoidal se genera una fuerza contraria que da lugar al principio de equilibrio horizontal de la balanza de resorte. Esta fuerza contraria k( l –l₀) puede actuar bajo un ángulo arbitrario sobre la palanca que lleva la masa m. La línea que une el eje de rotación O con el punto donde el muelle está montado se desvía con un ángulo δ respecto a la vertical, figura 15. El esfuerzo de torsión generado por el muelle viene dado por:

La situación de equilibrio de los momentos generados por la fuerza de gravedad y fuerza del resorte viene dado por:

Derivando los rendimientos:

De la figura 15 tendremos:

Así que:

Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos la sensibilidad:

La sensibilidad de este sistema no lineal puede aumentar sustancialmente mediante la elección adecuada de los parámetros del sistema. Si la duración de la descarga del muelle es aproximadamente cero (longitud cero del resorte) en las expresiones 18 y 22, l₀ ha de ser cero.

Por esto la distancia d será proporcional a la gravedad.

Lacoste & Romberg

El diagrama simplificado del gravímetro presenta una masa en un extremo de una viga horizontal. En el otro extremo de la viga encontramos dos cables finos que actúan como una bisagra sin fricción sobre la viga. La bisagra actúa como un resorte eliminando los daños en el instrumento por un choque de la masa. La viga se apoya desde un punto anterior a la masa por un muelle en reposo. El muelle se encuentra en un ángulo de aproximadamente 45 grados respecto a la horizontal. El instrumento lee cuando la posición de la masa se encuentra en su origen, para ello se aplica o resta una fuerza levantando el extremo superior del muelle. Esto se consigue a través de una serie de palancas. Estas a su vez se controlan con tornillos de alta precisión que mediante una caja de cambios reduce su movimiento. Estos sistemas deben estar debidamente calibrados, ya que de ellos depende la calidad de la medición. La siguiente imagen muestra un esquema del gravímetro:

5.3 MODELOS DE GEOIDE A partir de modelos de geoide podemos calcular los valores de ondulación de geoide. Existen diferentes modelos: • Globales • Regionales 5.3.1 GLOBALES Los modelos geopotenciales globales vienes dados por (Cnm, Snm). Para la obtención de estos valores se utilizan los siguientes datos: • Datos obtenidos mediante satélites. • Datos gravimétricos terrestres.

• Datos de altimetría por satélite. Combinando estos datos se obtiene una mejor solución que utilizando solo uno de ellos. Esta solución depende de la precisión de las medidas que nos proporcionan los satélites y la disponibilidad de datos gravimétricos. A partir de estos datos se aplicaría la siguiente ecuación para la determinación de la ondulación del geoide:

Dónde: a : semieje mayor del elipsoide. r: distancia del centro del elipsoide al punto. M: la masa terrestre localizada en el interior del elipsoide. G: la constante de gravitación universal. γ: la gravedad normal en el punto. Pnm: funciones de Legendre. Cnm y Snm: Constantes de Stokes. θ, λ: Colatitud geocéntrica y longitud en el punto. 5.3.1 Modelos globales 5.3.1.1 EGM96 Este modelo fue desarrollado mediante la colaboración de distintos centros de investigación, fundamentalmente al Laboratory for Terrestrial Physics -NASA Goddard Space Flight Center y la National Imagery and Mapping Agency, aunque también han colaborado la Hughes - STX Corporation, Ohio State University y The University of Texas at Austin. Se han utilizado para su elaboración gran cantidad de datos de gravedad, incluso de zonas en donde antes no se disponían (zonas del océano Ártico, Groenlandia y la Antártida), observaciones láser a satélites (TOPEX/POSEIDON, Stella, etc.), observaciones Doppler a satélites (SEASAT, RADCAI, etc.), altimetría de satélite, observaciones GPS, observaciones TDRSS, observaciones SST Doppler, etc.

Este modelo está definido hasta el grado 360, es decir, se han calculado hasta orden de 131000 coeficientes armónicos. Ha sido desarrollado para ser utilizado, principalmente, como referencia geodésica, determinación de órbitas de satélites más precisas, con fines oceanográficos y, para estudios geofísicos.

Las calibraciones realizadas sobre el error cometido en la determinación de este geoide/modelo geopotencial proporcionan los errores medios cuadráticos, que se exponen a continuación. En áreas continentales, 28 cm, en latitudes comprendidas entre 66° y 82°, 21 cm, considerando toda la superficie terrestre, 18 cm, en áreas oceánicas, 12 cm, y en latitudes inferiores a 66°, sólo 11 cm. Se ha de notar que estos errores son entre dos y tres veces inferiores a los que se estimaron para anteriores geoides de precisión, como por ejemplo, los JGM-1, 2 y 3 (Joint Gravity Model).

5.3.1.2 EGM08 Este modelo ha sido desarrollado por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial de los EE.UU. Esto supuso un gran logro para la cartografía mundial, en el campo de lagravedad. Por primera vez en la historia geodésica moderna, se determina un modelo armónico esférico completo en grado y orden 2159, junto con otros coeficientes armónicos esféricos (SHCs) que se extienden hasta el grado 2190 y orden 2159. Este nuevo modelo ofrece un nivel sin precedentes en la resolución espacial de muestreo (~ 9 km) para la recuperación de valores de la gravedad en todo el globo, y contribuye de una manera más exitosa a los constantes esfuerzos de la comunidad geodésica por conseguir un modelo de campo gravitatorio de mayor resolución y precisión. Este modelo ha sido evaluado por el IAG (International Association of Geodesy) y el IGFS (International Gravity Field Service) en un área de Grecia a través de mediciones GPS y nivelaciones a lo largo de una línea base de 30 Km. Los resultados obtenidos muestran que el modelo de geoide se adapta con una desviación típica de entre 3 y 5 cm/Km, mejorando los 9 cm/Km del EGM96. Está disponible en forma de malla de 1' x 1' y de 2.5' x 2.5', incluso en formato GIS de ESRI, con valores de ondulación sobre WGS84.

5.3.1.3 GOCE: MODELO GLOBAL SATELITAL

El satélite GOCE por sus siglas en ingles “Explorador del Campo Gravitatorio y la Circulación Oceánica” ha sido desarrollado por la Agencia Espacial Europea (ESA), iniciándose una nueva fase en la historia de la observación terrestre por parte de Europa. Puesto en órbita (263 km de altitud) en Marzo de 2009, y con una vida operativa de 24 meses, GOCE recopilará datos de gravitación tridimensionales de todo el planeta. Los datos originales se procesarán en tierra y sus resultados tendrán una gran utilidad en: En geodesia aportando un modelo de referencia unificado para mediciones de altura en todo el mundo, sin interrupciones entre los sistemas de altitud de diferentes masas terrestres, países y continentes. Esto permitirá un mejor estudio de los cambios del nivel del mar, con la posibilidad de compararlos con los más de 200 años de registro de los niveles del mar en todo el planeta.

En el campo de la geofísica, la combinación de los resultados de GOCE con datos magnéticos, topográficos y sismológicos permitirá crear mapas 3D detallados de los cambios de densidad de la corteza y el manto superior terrestres. Será un gran aporte para la mejora de todos los tipos de modelación de las cuencas sedimentarias, las fracturas, los movimientos tectónicos y el cambio vertical mar-tierra, que redundará en una mayor comprensión de los procesos que originan riesgos naturales. Su instrumento principal es un sofisticado gradiómetro de gravedad electrostático que cuenta con seis acelerómetros de gran sensibilidad, montados en parejas a lo largo de tres ejes perpendiculares en una estructura de carbono-carbono sumamente estable. La misión no medirá la gravedad en sí, sino las minúsculas diferencias de gravedad entre los pares de acelerómetros con 50 cm de separación. En el caso de la oceanografía, un conocimiento más profundo del campo gravitatorio reducirá mucho las dudas que existen sobre el calor del océano y la transferencia de masa, lo que se traducirá en una mejora extraordinaria de los modelos globales de circulación de los océanos y de previsión climática. GOCE también ampliará nuestros conocimientos sobre el lecho rocoso del casquete polar en Groenlandia y en la Antártida. Con un mapa exacto del geoide será más fácil determinar la órbita de los satélites que monitorizan la capa de hielo y, así, aumentar la precisión de las mediciones. Los datos recopilados por GOCE tendrán una precisión de 1 a 2 cm en la altitud del geoide y de 1 mGal en la detección de anomalías del campo gravitatorio. GOCE ofrecerá mejor resolución espacial, de 100 km, en comparación con los cientos o miles de kilómetros de las misiones anteriores.

Los resultados que arroja la misión están en la actualidad procesándose y la comunidad científica tiene desde Marzo de 2011 acceso al modelo de geoide satelital más preciso jamás producido. En este proyecto se contempló, al conocerse de la existencia de este nuevo geoide, la posibilidad de poder extraer datos del mismo y poder compararlos con los resultados del proyecto. Finalmente se decidió hacer únicamente referencia al mismo, considerándose oportuno recomendar que éste sea objeto de estudio para otro proyecto fin de carrera debido a la complejidad que presenta por sí solo. 5.3.2Regionales El modo de obtención de los modelos regionales se fundamenta en diferentes métodos: • Teorema de Stokes – Helmert • Método astrogeodésico

5.3.2.1Teorema de Stokes – Helmert El teorema de Stokes es de fundamental importancia para la geodesia, ya que nos permite determinar el geoide a partir de los valores de la gravedad observados en la superficie de la Tierra. Teorema de Stokes establece que:

Siendo:

Dónde:

Podemos determinar la ondulación del geoide en cualquier punto mediante la siguiente expresión:

Siendo N₀ un factor de escala que se obtiene como consecuencia de las diferencias entre la masa del elipsoide y de la Tierra, y de la diferencia del potencial del elipsoide y del geoide.

5.3.2.2 Método astrogeodésico Este método fue muy utilizado, pero actualmente está prácticamente en desuso. En este método debemos conocer la desviación de la vertical. Esta queda definida como el ángulo que forma la normal geodésica (normal a la superficie del elipsoide) y la normal astronómica (tangente a la dirección de la línea de la plomada o vertical del lugar) en un punto de la superficie terrestre.

La desviación de la vertical se descompone en:

Dónde:

Tal y como vemos en la figura 10:

Deducimos:

Integrando la desviación de la vertical a lo largo de un perfil:

Dónde:

Siendo α el azimut entre A y B. Sustituyendo (22) y (34) en (32) se obtiene:

5.4 EL GEOIDE OCEANICO

Uno de los rasgos más característicos de nuestro planeta es la existencia de los mares. Los océanos cubren el 71% de la superficie terrestre con una profundidad media de 3200 metros.

"Anteriormente, por figura de la Tierra se entendía al Geoide. Geoide es la superficie de nivel que coincide con la superficie del agua en reposo de los océanos idealmente extendida bajo los continentes de modo que la dirección de las líneas verticales cruce perpendicularmente esta superficie en todos sus puntos. Esta superficie es convexa y cerrada en todas sus partes. Debido a que la figura del geoide depende de la distribución de masas en el interior de la tierra desconocida para nosotros entonces rigurosamente hablando es indeterminable. Su elaboración teórica da la posibilidad de estudiar exactamente la figura terrestre a partir de mediciones realizadas sobre la superficie de la Tierra sin utilizar hipótesis alguna sobre su estructura interna. En la teoría de Molodensky se ha introducido una superficie auxiliar llamada Cuasi-geoide, la cual coincide con la superficie en reposo de los océanos y se aleja muy poco de la superficie del geoide en los lugares que corresponden a Tierra Firme. Esta superficie juega el papel de nivel del mar y desde ella se calculan las alturas topográficas.

Los océanos no son masas de agua en reposo sino que por el contrario están en continuo movimiento ofreciendo una dinámica compleja en la que sobresalen las mareas de origen cósmico o planetario, las olas que resultan del contacto de la atmósfera con el líquido de los mares y las corrientes que obedecen a condiciones físico-químicas (temperatura y reacciones químicas) debido a la radiación solar.

Geoide oceánico

Los cambios de la cantidad de agua contenida en el océano también determinarían modificaciones en el nivel del mar. En consecuencia el nivel del mar desciende cuando se forman los glaciares y sube cuando se funden.

Esta superficie es difícilmente observable, aún en pleno océano donde las olas y las mareas pueden ser promediadas; las diferencias de temperatura, salinidad, los vientos, etc. modifican el nivel medio.

Teniendo en cuenta su larga historia, damos por supuesto que el océano mundial en la actualidad se modifica muy lentamente con el tiempo, si es que en realidad se modifica.

Tanto su irregular superficie topográfica, como sus mares o su atmósfera, están sujetos a deformaciones que llamamos mareas, sean éstas terrestres, oceánicas o atmosféricas.

Las superficies en las cuales el potencial de gravedad es constante se llaman superficies equipotenciales o de nivel. De acuerdo a las propiedades de los fluidos en equilibrio, la superficie promedio de las grandes masas de agua: mares, océanos, etc. son superficies equipotenciales. Se elige una de ellas, llamada geoide -la superficie promedio de los océanos- para definir un nivel cero a partir del cual se medirán las alturas. De hecho, esta superficie es difícilmente observable. En los continentes, el geoide está definido de manera indirecta.

Variaciones anuales del nivel medio del mar en metros para algunas zonas del mundo.

Al igual que la dinámica terrestre deforma las redes geodésicas horizontales, también altera las altimétricas. Los cambios en la posición vertical de la superficie topográfica se deben principalmente a:

-Mutación de la superficie de referencia (geoide o cuasi-geoide) como consecuencia de las modificaciones en la distribución de las masas internas terrestres, generadas por subducción, obducción, desplazamiento o choque de las placas tectónicas.

-Variación de la superficie de referencia por cambio del nivel medio del mar a través del tiempo, incluyendo deshielo polar y cambios en la temperatura oceánica.

-Los movimientos verticales resultantes de deformaciones corticales, de la acomodación de capas sedimentarias y modificaciones en el relieve topográfico.

Estos tres aspectos demandan del seguimiento continuo del marco de referencia vertical, con el propósito de establecer su variación y mantener la vigencia de las alturas definidas, mediante su actualización permanente.

Si la variación del geoide se debe a fuerzas externas e internas que actúan sobre la corteza y modifican su nivel medio se debería calcular los parámetros de otro geoide para calcular los diferentes tipos de alturas.

5.5 GEOIDE MAGMÁTICO.

Es una superficie de nivel que coincide con la superficie de separación

entre La Corteza Terrestre y la primera capa del manto incandescente de

la Tierra (discontinuidad de Mohorovicic) totalmente extendida bajo las

placas tectónicas de la corteza terrestre que sirve como nivel de referencia

para calcular las alturas geológicas de Formación.

Sistemas De Referencia

Para explicar un poco qué es la altura de un punto hay que remarcar: ¿con respecto a qué?. Podemos hablar en este caso de tres sistemas de referencia. El propio sistema GPS, el elipsoide y el geoide.

La Tierra tiene una figura geométrica que no corresponde a una figura de revolución perfecta. Decimos que es como una esfera pero achatada por los polos, quizás se parece más a una pera, u otras definiciones.

Lo que sí podemos es encajarla dentro de una de estas figuras geométricamente perfectas. El elipsoide se define como esa figura que mejor contiene a la forma real de la Tierra. Es sustituir la Tierra por otra ideal y sobre ella efectuar las mediciones.

El geoide tiene una base menos matemática. Si unimos los puntos de la Tierra que tienen igual gravedad y esta gravedad es la que hay en la superficie del mar, se nos forma también una figura geométrica, pero ya

no regular y perfecta, sino con deformaciones que suben y bajan dependiendo de la composición y de la densidad de la masa de tierra situada debajo de cada punto. Digamos que, el elipsoide es una figura matemática mientras que el geoide es una figura física.

Y por otro lado, es posible crear un sistema propio de referencia. En el espacio, tres puntos que no estén alineados nos crean un sistema de referencia y podemos referir a él, cualquier otro punto del mismo.

Los satélites de la configuración GPS crean su propio sistema que se llama WGS84 (World Geodetic System 1984). De estos tres sistemas al que se suelen referir todas la mediciones está definido el geoide. Nos da la altura sobre la superficie del mar.

5.6 GEOIDE FOSA

Es una superficie de nivel que coincide con la profundidad máxima del

océano idealmente extendida bajo la topografía submarina hasta las

masas continentales; sirve como nivel de referencia o nivel 0 el Geoide

fosa para medir la altura normal geológica de distintos puntos en la

superficie oceanográfica interna terrestre.

Conceptos básicos del sistema de referencia oceanográfico.

Una aplicación especial del sistema de referencia geológico es el geoide fosa: veamos algunas generalidades: "el fondo de los mares ha representado un problema insoluble para el hombre ; hasta épocas muy recientes. Con anterioridad al año 1920 toda investigación submarina se realizaba mediante sondeos mecánicos cuerdas y alambres métodos que únicamente daban la profundidad, métodos geodésicos que resultaban sobre manera erróneos y laboriosos. La aplicación de ondas ultrasonoras para el sondeo acústico significo un paso decisivo para el conocimiento del relieve submarino. Mediante su aplicación hemos tenido la sorpresa de hallar un relieve submarino mucho más accidentado que el terrestre y la de comprobar que los centros de los océanos no son las cubetas de sedimentación que se habían supuesto sino que el eje de los actuales geosinclinales están situados en la cercanía de las masas continentales.".

5.4.2 Alturas Submarinas

Dentro de este sistema de referencia se obtienen dos tipos de alturas:

Altura ortometrica submarina: es la distancia en magnitud que separa ese punto de la superficie de origen (geoide fosa) medida sobre la vertical física que pasa por dicho punto en un medio con densidad aproximadamente igual a 1 gramo / cm3.

Altura submarina: Las alturas normales están calculadas a partir de alturas dinámicas compensadas. Poseen las mismas ventajas que las alturas ortométricas, pero además hacen intervenir los valores de "g" medidos y no los teóricos determinados en medios con densidad aproximadamente igual a 1 gramo / cm3.

En este sistema se pueden calcular estas alturas porque se pueden medir la aceleración de la fuerza de Gravedad.

5.4.3 Justificación Del Geoide Fosa.

1. Las fosas oceánicas, al igual que las dorsales oceánicas, tienen especial interés para comprender como funciona la tectónica de placas. Mientras que unas se asocian con una plataforma continental, otras lo son con un arco de islas.

2. Descubrimos también que la profundidad media del océano es de 3730 metros y la altitud media de la Tierra es de 850 metros. El nivel medio de la corteza bajo el nivel del mar es de 2430 metros. Dicho en otros términos si nivelamos los continentes y llevamos los restos a las cuencas oceánicas, La tierra quedaría cubierta por una cubierta d agua de 2430 metros de espesor. Por eso es básico determinar otra forma de estudio geométrico para dichas superficies.

3. En una dorsal media oceánica el magma sube la superficie y brota a través del lecho marino para crear nueva corteza oceánica. La separación de las placas en una dorsal media oceánica y la creación de nueva corteza oceánica se llama expansión del suelo marino. Por esta razón se debe determinar otro método diferente a los existentes para el estudio geométrico para dichas superficies.

4. La expansión del suelo marino ocurre en forma intermitente y siguiendo índices variables. Por eso el geoide fosa sería una herramienta básica para calcular estos índices.

5. Para el estudio de las colisiones entre dos placas oceánicas:

En la fosa de las marianas en el borde oriental de las islas de las Filipinas en el océano Pacifico chocan dos placas de la corteza oceánica, la placa del Pacifico y la placa de las Filipinas. Cuando convergen dos placas oceánicas las placa más vieja y pesada se hunde por debajo de la más joven y menos densa.

6. Además el elipsoide fosa se puede utilizar para el cálculo de distancias, triangulaciones y trilateraciones sobre el lecho marino de una manera un poco más fácil.

Para lograrlo, es conveniente reducir los ángulos medidos, las bases y las grandes distancias al elipsoide magmático de las obtenidas en el elipsoide oceánico tradicional de la misma manera que se convierten coordenadas de un sistema a otro.

CONCLUSIONES

El sistema de referencia geológico aún no tiene un marco de referencia; Un Marco de Referencia es la materialización de un sistema de Referencia, constituido por un conjunto de coordenadas de objetos celestes, para los sistemas celestes y coordenadas y velocidades de estaciones repartidas por toda la Tierra para los terrestres; esa labor le corresponde a los nuevos geodestas del futuro.

Todos sabemos que la tierra no es esférica ni elipsoidal. Pero, no solo eso, ni siquiera es un cuerpo regular conocido achatado en los polos. Esta irregularidad hace que cada país, región o territorio, escoja el modelo de cuerpo geométrico (representación determinable matemáticamente o físicamente) que más se ajuste a la forma de la tierra en su territorio.

BIBLIOGRAFIA -HISTORIA DE LOS SISTEMAS DE REFERENCIA UTILIZADOS EN GEODESIA -GEOIDE OCEANICO -GEOIDE MAGMÁTICO - GEOIDE FOSA http://www.monografias.com/trabajos16/geoide/geoide.shtml#c -GRAVEDAD, MAPAS DE ANOMALÍAS Y EL GEOIDE http://earthobservatory.nasa.gov/Features/GRACE/page6.php -FUNDAMENTOS TEÓRICOS - GEODESIA - GEODESIA FÍSICA - TIPOS DE ALTURAS - CAMPO DE GRAVEDAD TERRESTRE - POTENCIAL DE GRAVEDAD -METODOLOGÍA PARA EL CÁLCULO DEL GEOIDE GRAVIMÉTRICO LOCAL DEL ECUADOR CONTINENTAL - ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO SUPERFICIES DE REFERENCIA -EL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN -GEOIDE -RELACIÓN ENTRE GEOIDE Y ELIPSOIDE -Altitud ortométrica -Altitud elipsoidal - Ondulación del geoide - GEOIDE - ANÁLISIS VECTORIAL. - GRAVÍMETROS - MODELOS DE GEOIDE -GLOBALES - EGM96 - EGM08 - GOCE: MODELO GLOBAL SATELITAL - REGIONALES -TEOREMA DE STOKES – HELMERT -MÉTODO ASTROGEODÉSICO

-DETERMINACIÓN GEOMÉTRICA DE LA ONDULACIÓN DEL GEOIDE A LO LARGO DE UN TRAMO DE LA REDNAP, OCAÑACUENCA Y SU COMPARACIÓN CON EL GEOIDE GEOMÉTRICO - UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS EN TOPOGRAFÍA, GEODESIA Y CARTOGRAFÍA -http://es.wikipedia.org/wiki/Geoide