determinación de un modelo de geoide gravimétrico para puerto

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  • UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID

    Escuela Tcnica Superior de Ingenieros en Topografa, Geodesia y Cartografa

    DETERMINACIN DE UN MODELO DE GEOIDE GRAVIMTRICO

    PARA PUERTO RICO COMO SISTEMA DE REFERENCIA PARA LAS

    ALTITUDES ORTOMTRICAS

    Tesis Doctoral

    Autor:

    ELADIO E. MARTNEZ TORO

    Ingeniero Industrial y Topgrafo

    2014

  • Departamento de Ingeniera Topogrfica y Cartografa

    Escuela Tcnica Superior de Ingenieros en Topografa, Geodesia y Cartografa

    Tesis Doctoral: Determinacin de un modelo de geoide gravimtrico

    para Puerto Rico como sistema de referencia para las

    altitudes ortomtricas

    Autor: Eladio E. Martnez Toro

    Ingeniero Industrial y Topgrafo

    Director de Tesis: Abelardo Bethencourt Fernndez

    Doctor en Ciencias Fsicas

    Ao: 2014

    ii

  • El comit a evaluar la presente tesis doctoral, est formado por los siguientes doctores:

    PRESIDENTE: D........................................................................

    (..........................................................................)

    VOCALES: D........................................................................

    (..........................................................................)

    D........................................................................

    (..........................................................................)

    D........................................................................

    (..........................................................................)

    SECRETARIO: D........................................................................

    (..........................................................................)

    SUPLENTES: D........................................................................

    (..........................................................................)

    D........................................................................

    (..........................................................................)

    ha decidido otorgar la calicacin de

    Madrid, a ............................. de ........... de ...........

    El secretario del comit.

    iii

  • Dedicatoria

    A mi padre, D. Eladio E. Martnez Toro.

    Que siempre tuvo fe en m y fue mi apoyo incondicional.

    Para Lilian Graciela...

    v

  • Agradecimientos

    Quiero empezar esta seccin dando gracias al Dios Padre y creador de todo lo que nos rodea por darme

    la oportunidad de pasar por esta gran experiencia de aprendizaje y crecimiento personal. Una experiencia

    nica que no hubiese sido posible sin la ayuda de la persona que por los ltimos cinco aos ha estado

    guiando mi investigacin, el Dr. Abelardo Bethencourt Fernndez, mi director de tesis. Un profesional

    muy comprometido con su trabajo pero siempre dispuesto a sacar un poco de su tiempo para aconsejarme

    y compartir sus conocimientos. En los momentos ms difciles, cuando no veamos la luz al nal del tnel

    y pensbamos que estbamos en un camino sin salida, siempre tena unas palabras de aliento. Gracias a

    su dedicacin, experiencia y compromiso, hemos logrado salir adelante. Muchas gracias Abelardo.

    Quisiera tambin agradecer al Dr. Antonio Vzquez Hoehne, quien fue la primera persona que conoc

    al llegar a la Universidad Politcnica de Madrid. Desde el primer momento estuvo dispuesto a aconsejarme

    y a mostrarme el camino a seguir para completar esta aventura, aun cuando no era uno de sus estudiantes.

    Tambin al Dr. Santiago Ormeo Villajos junto a todos los profesores con los que tuve la oportunidad de

    compartir y aprender de sus conocimientos, a todos ellos mi ms sincero agradecimiento.

    Durante estos cinco aos, muchas personas me acompaaron en esta aventura. Muchos de ellos dejaron

    una gran huella en mi vida por lo que siempre les estar agradecido. Inmediatamente vienen a mi mente

    los dos primeros compaeros de estudio que conoc al llegar a Madrid, el Ingeniero Vladimir Gutirrez y el

    Dr. Joaqun A. Rincn. Con Vladimir compartimos muchsimas experiencias, fuimos compaeros de piso,

    compaeros de estudio y compaeros de laboratorio. Admiro a Vladimir porque es un profesional en todo

    el sentido de la palabra y un excelente padre de familia. Siempre estuvo dispuesto a echarme una mano en

    los asuntos informticos y s que sin su ayuda, parte de este trabajo no hubiese sido posible de realizar.

    A Vladi, Elia y a Vladimir Jr., muchas gracias por ser mi familia de Madrid durante casi cinco aos.

    De Joaqun puedo decir que ms que un amigo, fue un hermano y un compaero de mil batallas. Fueron

    muchas las horas que pasamos en el laboratorio de la Escuela de Topografa. Sus amplios conocimientos en

    sistemas de informacin geogrca y sus habilidades para encontrar soluciones a los continuos problemas

    informticos a los que me tena que enfrentar, fueron una gran ayuda para m. Muchas gracias Joaco, Elvia

    y Joaquincito por brindarme su amistad y abrirme las puertas de su casa. Siempre les estar agradecido.

    Finalizando con ese grupo cercano de compaeros de estudio est el Ingeniero Adolfo Javier Urrutia.

    Adolfo, compaero de piso por varios aos, un ser humano con un espritu aventurero increble que ante

    la adversidad, siempre saba cmo salir adelante. Gracias Adolfo por demostrarme que cuando se tiene un

    sueo, la nica opcin que tenemos es trabajar con todas nuestras fuerzas para alcanzarlo.

    Fueron cinco aos los que pasamos en el laboratorio de la Escuela de Topografa, cinco aos donde

    conocimos a grandes compaeros y amigos. Primeramente viene a mi mente el Dr. Alberto Hernndez. Aun

    recuerdo aquella primera salida de campo al Valle de los Cados, luego fueron muchsimas las oportunidades

    en las que pudimos intercambiar conocimientos y discutir nuestros trabajos. Finalmente, tras obtener

    Alberto su doctorado, fue la primera persona en leer mi tesis. Gracias Alberto por tu ayuda y consejos.

    Tambin recuerdo al Ingeniero Vctor Puente, sentado en el ltimo escritorio del laboratorio, todos los das

    trabajando en sus programas en Matlab. Gracias Vctor, porque tus conocimientos en Matlab y ayuda

    con el manejo de los modelos digitales del terreno hicieron posible que este trabajo nalmente saliera a la

    luz. Tambin quiero agradecer al Dr. Marcos Palomo, que con sus conocimientos en topografa, geodesia,

    teledeteccin y programacin, siempre tena algn truco para resolver esos problemas que a primera vista

    parecan casi imposibles de resolver. A todos ellos, muchas gracias.

    vii

  • Ya en pocas ms recientes, en el mismo laboratorio, pero viendo que cada da quedamos menos,

    estn los compaeros con los que comparto el da a da. Siempre dispuestos a echarme una mano con

    los temas relacionados al doctorado. Empezando con mis compaeros espaoles Ayar Rodrguez, Alberto

    Nuez e Isabel Blasco y continuando con mis compaeros latinoamericanos Xavier Molina de Ecuador

    y el siempre viajero Vctor Saldaa de Venezuela, fueron muchos los momentos de tertulia que pasamos

    discutiendo nuestros temas de investigacin. Siempre esperanzados en ser los primeros en terminar y salir

    lo antes posible del laboratorio. A todos ustedes, muchas gracias y les deseo el mayor de los xitos en sus

    respectivos trabajos.

    Tambin quiero agradecer a una familia muy especial, a mi familia adoptiva en Espaa. Unas personas

    que siempre me dijeron lo que necesites, ya sabes que cuentas con nosotros y cuando llego el momento,

    pusieron la accin en la palabra. Muchas gracias al Dr. Enrique Martn y a su esposa, mi compatriota

    Nieves, porque en todo momento me hicieron sentir como parte de su familia. Gracias a Diego y Andrea,

    a Marcos y Sofa y a Enrico y Clara porque desde el primer da me trataron como uno ms y en los

    momentos ms difciles, me demostraron que no estaba solo y que poda contar con ellos. A la Familia

    Martn Montalvo, muchsimas gracias.

    No quiero pasar por alto a todas esas personas, que aunque nos separaban muchos kilmetros de

    distancia, siempre me echaron una mano desde Puerto Rico. Entre esas personas esta el Agrimensor

    Hctor Sanabria, la Agrimensora y Profesora Ing. Linda Vlez y el Agrimensor Jos Rivera Cacho. Ellos

    entre otros muchos compaeros agrimensores del Colegio de Ingenieros y Agrimensores de Puerto Rico

    que en todo momento me ayudaron a conseguir nanciamiento para mis estudios y aportaron horas de

    su tiempo libre para ayudarme a realizar los trabajos de campo. A todos ellos, muchas gracias. De mi

    pueblo Sabana Grande, quiero agradecer a mi antiguo jefe, al alcalde Don Miguel G. Ortiz Vlez. Desde el

    primer momento que le comuniqu mis planes de venir a Espaa a realizar un doctorado, siempre estuvo

    dispuesto a ayudarme en lo que necesitara. Muchas gracias Papn por tu ayuda y gracias a todos mis

    antiguos compaeros de trabajo que siempre estuvieron dispuestos a ayudarme cuando as lo necesit.

    Quedan muchas otras personas que de una manera u otra me ayudaron para que esta aventura se hiciera

    realidad. Algunos de ellos ya no forman parte de mi entorno, pero a todos ellos, muchas gracias.

    Quiero agradecer a una persona muy especial para m, con la que quiero compartir el resto de mis

    das, a Lilian Graciela. Siempre escuch de su boca palabras de aliento, motivadoras y reconfortantes.

    Siempre me dijo tu puedes, fuerza Ela y sigue adelante que vers que al nal lo conseguirs. En

    todo momento crey y con en m y cuando mas necesit de su apoyo, all estuvo presente. Quizs sean

    muchos los kilmetros y horas de diferencia que nos separan, pero tu presencia siempre estar conmigo.

    Muchas gracias Lili. . .

    Dejo para el nal a esas personas que siempre estuvieron pendientes de m, mi familia. Aunque no

    estuviera en Puerto Rico siempre le preguntaban a mi padre por m y se preocupaban por mi progreso. La

    pregunta acostumbrada era: Cundo regresa Eladio?... Muchas gracias a mis tos y primos pero muy en

    especial a la Dra. Luz Enid Martnez y al Dr. Jos Gerardo Martnez que cuando tuvieron la oportunidad

    de visitar Madrid, sacaron un poco de tiempo de sus vacaciones para compartir conmigo y me hicieron

    recordar lo que es el calor de la familia. Gracias a todos por tenerme siempre presente. Quiero terminar

    agradeciendo a mi padre Don Eladio E. Martnez Toro y a su esposa Lourdes. A mi padre le dedico

    este trabajo, a l porque siempre tuvo fe en m y me apoy en todo momento. Sus oraciones y consejos

    fueron muy importantes para m. S que sin su ayuda, hoy no podra decir, Don Eladio, ya acabe mi tesis.

    Simplemente, gracias.

    viii

  • ndice general

    1. Introduccin 5

    1.1. Descripcin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2. Justicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.3.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.3.2. Objetivos Especcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.4. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2. Metodologa 8

    2.1. Determinacin gravimtrica del geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.1.1. Campo gravitatorio terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.1.2. Campo gravitatorio normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.1.3. Campo de gravedad anmalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.1.4. Reducciones a la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.1.4.1. Reduccin aire libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.1.4.2. Reduccin de Bouguer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.1.4.3. Correccin clsica por efectos de la topogrca del terreno . . . . . . . . 22

    2.1.4.4. Reducciones Isostticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.1.4.5. Correccin por el efecto indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.1.4.6. Correccin a la gravedad por efectos atmosfricos . . . . . . . . . . . . . 28

    2.1.5. Modelos geopotenciales globales y regionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.5.1. EGM96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.1.5.2. EGM2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.1.5.3. GEOID03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.1.5.4. GEOID09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2.1.5.5. GEOID12A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.1.6. Segundo Mtodo de Condensacin de Helmert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.1.7. Tcnica de Sustitucin - Restitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.2. Determinacin geomtrica del geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.2.1. Sistemas de Altitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.2.1.1. Nmero geopotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.2.1.2. Altitudes dinmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.2.1.3. Altitudes elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.2.1.4. Altitudes ortomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    ix

  • 2.2.1.5. Altitudes ortomtricas Helmert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.2.1.6. Altitudes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.2.2. Dtum Verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.2.2.1. Nivel promedio del mar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.2.2.2. Dtum vertical de Norte Amrica de 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.2.2.3. Controles verticales en Puerto Rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.2.2.4. Dtum Vertical de Puerto Rico de 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.2.3. Determinacin de la precisin de las altitudes ortomtricas Helmert calculadas . . 50

    2.2.4. Ondulacin del geoide geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3. Descripcin del rea de estudio y fuentes de datos 55

    3.1. Datos de gravedad terrestre y martima (BGI y NOAA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3.2. Datos de gravedad obtenida por altimetra por satlite (Sandwell & Smith) . . . . . . . . 59

    3.3. Modelo digital del terreno (SRTM3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.4. Modelo digital de batimetra (GEBCO08 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    3.5. Modelo geopotencial global (EGM2008 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4. Anlisis y Validacin de Datos 65

    4.1. Comprobacin de la precisin de los modelos geopotenciales globales a lo largo de una lnea

    de nivelacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    4.1.1. Determinacin geomtrica del geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    4.1.1.1. Recuperacin e identicacin de las estaciones permanentes . . . . . . . . 66

    4.1.1.2. Campaa de observaciones con instrumentos de GNSS y determinacin de

    las altitudes elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.1.1.3. Campaa de observaciones gravimtricas y determinacin de los valores

    de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    4.1.1.4. Determinacin de los valores de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    4.1.1.5. Determinacin de las altitudes ortomtricas Helmert . . . . . . . . . . . . 70

    4.1.1.6. Determinacin de la ondulacin del geoide geomtrico . . . . . . . . . . . 74

    4.1.2. Anlisis de la precisin de los incrementos de la ondulacin del geoide . . . . . . . 74

    4.1.3. Anlisis de los incrementos de la ondulacin del geoide en funcin de las distancias

    entre lneas observadas y las diferencias de elevacin entre estaciones permanentes 79

    4.1.4. Ajuste de los valores absolutos de la ondulacin del geoide obtenido utilizando los

    distintos modelos geopotenciales globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    4.2. Determinacin del modelo digital topo-batimtrico para la zona de estudio . . . . . . . . . 83

    4.2.1. Pre-procesamiento del modelo digital del terreno SRTM3 . . . . . . . . . . . . . . 83

    4.2.2. Generacin de curvado a cota cero y extraccin de las lneas de costa . . . . . . . . 84

    4.2.3. Combinacin del modelo digital del terreno SRTM3 y el modelo batimtrico GEB-

    CO08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.3. Validacin de los datos de gravedad terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    4.3.1. Preparacin de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    4.3.1.1. Validacin grca inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    4.3.1.2. Transformacin de Dtum NAD27 a NAD83 . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    4.3.1.3. Transformacin de las observaciones al Sistema GRS80 . . . . . . . . . . 90

    x

  • 4.3.1.4. Bsqueda de observaciones repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    4.3.2. Validacin por altimetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    4.3.2.1. Resultado de la Bsqueda Final de Observaciones Repetidas . . . . . . . 95

    4.3.3. Validacin matemtica de las anomalas residuales utilizando colocacin . . . . . . 96

    4.3.3.1. Resultados de la validacin por colocacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    4.3.4. Anlisis de los datos de gravedad marinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    4.4. Determinacin de las anomalas de Faye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    4.5. Extrapolacin de anomalas de aire libre a partir de datos de un modelo digital del terreno 108

    4.5.1. Valor medio de las anomalas aire libre ajustadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    5. Determinacin del modelo del geoide gravimtrico 120

    5.1. Preparacion de la malla de anomalas residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    5.2. Solucin de la integral de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    5.2.1. Aproximacin Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    5.2.2. Modicaciones del ncleo de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    5.2.2.1. Modicacin de L. Wong y R. Gore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    5.2.2.2. Modicacin de P. Vanicek y A. Kleusberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    5.2.2.3. Modicacin de W. E. Featherstone, J.D. Evans y J.G. Olliver . . . . . . 128

    5.2.3. Resultados de la solucin de la integral de Stokes - N residual . . . . . . . . . . . 128

    5.3. Cmputo del efecto indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    5.4. Contribucin del modelo geopotencial EGM2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    5.5. Cmputo de los modelos del geoide gravimtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    5.6. Validacin de los modelos del geoide gravimtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    5.7. Ajuste del modelo gravimtrico del Geoide WG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    6. Conclusiones y Trabajos Futuros 138

    6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    6.2. Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    Bibliografa 141

    xi

  • ndice de guras

    2.1. Potencial de un cuerpo slido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.2. Sistema de coordenadas esfricas y rectangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.3. Geoide y elipsoide de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.4. Reduccin de la gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.5. Lmina de Bouguer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.6. Correcciones Topogrcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.7. Sistema de referencia para el cmputo de la Correccin Topogrca. . . . . . . . . . . . . 23

    2.8. Plantillas zona inuencia correcciones topogrcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.9. Diferentes casos de las coordenadas verticales del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.10. Topografa y compensacin Isosttica Modelo Airy - Heiskanen. . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.11. EGM96. Fuente: J. Frawley (NASA GSFC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.12. EGM2008. Fuente: U.S. National Geospatial-Intelligence Agency (NGA) . . . . . . . . . . 32

    2.13. GEOID03. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.14. GEOID09. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2.15. GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.16. Sistemas de Altitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.17. Altitudes Ortomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.18. Altitudes Normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.19. Estaciones permanentes con elevacin conocida del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.20. Red de Nivelacin del PRVD02. Fuente: Agrimensor Hctor Sanabria, HLCM Group . . . 49

    2.21. Primer tramo del PRVD02 nivelado por personal del NGS. Fuente: Google Earth . . . . . 49

    2.22. Estacin de origen del PRVD02 - 975 5371 A TIDAL. Fuente: Google Earth . . . . . . . . 50

    3.1. Datos de gravedad terrestres del BGI disponibles en la isla de Puerto Rico. Fuente: Bureau

    Gravimtrique International (BGI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3.2. Datos de gravedad marino del BGI disponibles para la regin de Puerto Rico. Fuente:

    Bureau Gravimtrique International (BGI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    3.3. Datos de gravedad marinos disponibles en la pgina de NOAA. Fuente: National Oceanic

    and Atmospheric Administration (NOAA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.4. Mapa de anomalas aire libre obtenidas mediante altimtrica con satlite. Fuente: Institution

    of Oceanography, University of California San Diego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.5. Datos existentes del modelo SRTM3 en la zona de estudio. Fuente: National Aeronautics

    and Space Administration (NASA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    xii

  • 3.6. Modelo batimtrico GEBCO08 para la zona de estudio. Fuente: British Oceanographic Data

    Centre (BODC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    3.7. Imagen de la cuadrcula de anomalas aire libre derivadas del EGM2008. Fuente: Bureau

    Gravimtrique International (BGI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4.1. Estaciones permanentes de la lnea de nivelacin del PRDV02 parcialmente destruidas. . 67

    4.2. Gravmetro LaCoste & Romberg modelo G-1001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    4.3. Perl de las altitudes ortomtricas a lo largo de la Lnea de Nivelacin del PRVD02. . . . 72

    4.4. Diferencias de los incrementos de la ondulacin del geoide en funcin de las distancias entre

    lneas base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4.5. Diferencias de los incrementos de la ondulacin del geoide en funcin de las diferencias de

    altitud entre estaciones permanentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4.6. Perl de la Ondulacin del Geoide obtenido con el EGM96 Ajustado. . . . . . . . . . . . 82

    4.7. Perl de la Ondulacin del Geoide obtenido con el EGM2008 Ajustado. . . . . . . . . . . 83

    4.8. Modelo digital del terreno SRTM3 de Puerto Rico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    4.9. Modelo SRTM3 tras el ltrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.10. Modelo digital de batimetra GEBCO08. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.11. Fusin de los modelos SRTM3 y GEBCO08. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    4.12. Grco inicial anomalas aire libre en funcin de las altitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    4.13. Vista inicial de los puntos de las anomalas aire libre sobre el terreno. . . . . . . . . . . . 88

    4.14. Vista nal de los puntos de las anomalas aire libre sobre el terreno tras la correccin de

    dtum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    4.15. Observacin sospechosa con su zona de amortiguamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    4.16. Observacin sospechosa con zonas del SRTM3 con diferencias entre 10 metros. . . . . . 934.17. Observacin sospechosa con los centrides en las zonas de diferencias de 10 metros. . . 944.18. Directorio de los programas de Gravsoft en la plataforma de Python. Fuente: PyGravsoft . 97

    4.19. Programa EMPCOV para determinar la ecuacin de covarianza emprica. Fuente: PyGravsoft 97

    4.20. Programa COVFIT empleado para resolver la funcin de covarianza. Fuente: PyGravsoft 98

    4.21. Programa GEOCOL para realizar el procedimiento de colocacin. Fuente: PyGravsoft . . 99

    4.22. Programa GEOEGM para calcular los valores de las anomalas residuales. Fuente: PyGravsoft100

    4.23. Interpolacin kriging de las anomalas aire libre obtenidas mediante altimetra por satlite. 104

    4.24. Recorte para extraer los puntos con valores de anomalas aire libre para la zona terrestre. 105

    4.25. Recorte para extraer los puntos con valores de anomalas aire libre para la zona martima. 106

    4.26. Diferencias entre las anomalas aire libre medidas y las anomalas aire libre determinadas

    apartir del Modelo Digital del Terreno en funcion de la altitud. . . . . . . . . . . . . . . . 110

    4.27. Histograma de las diferencias entre las anomalas aire libre a partir del modelo digital del

    terreno y las anomalas aire libre validadas Ajuste Global. . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    4.28. Representacin de las anomalas aire libre calculadas en las zonas 19N 1, 19S 2, 19N

    3 y 20S 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    4.29. Representacin de las anomalas aire libre calculadas a partir del modelo digital del terreno

    en las zonas 19N 1, 19S 2, 19N 3 y 20S 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    4.30. Representacin de la combinacin de las anomalas para realizar el ajuste por zonas. . . . 113

    xiii

  • 4.31. Anomalas aire libre determinadas a partir del modelo digital del terreno (puntos negros)

    en cuadrcula ajustadas en funcin al plano formado por las anomalas aire libre medidas

    (crculos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    4.32. Histograma de las diferencias entre las anomalas aire libre a partir del modelo digital del

    terreno y las anomalas aire libre validadas- Ajuste por Zonas. . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    4.33. Malla con todos los datos de anomalas aire libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    4.34. Localizaciones con valores de anomalas aire libre calculadas a un radio de 1 minuto de arco

    de un punto de la malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    4.35. Datos utilizados para realizar la regresin lineal y determinar el valor medio de la anomala

    de Faye en funcin de la altitud del punto de la malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    4.36. Anlisis de regresin lineal para un punto de la malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    5.1. Zona de cmputo del modelo del geoide gravimtrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    5.2. Vista parcial del cmputo de la ondulacin del geoide con el modelo EGM2008. . . . . . . 130

    5.3. Vista parcial del resultado nal del cmputo de la ondulacin del geoide con el modelo

    EGM2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    5.4. Descripcin del GEOID12A. Fuente: National Geodetic Survey (NGS ) . . . . . . . . . . . 134

    5.5. Estaciones de referencia del NGS utilizadas para la validacin de los modelos del geoide. . 134

    5.6. Vista nal del modelo del Geoide WG ajustado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    xiv

  • ndice de tablas

    2.1. Constantes del elipsoide internacional GRS80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.2. Valores de las coordenadas interiores e inferiores del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.3. Valores de las correcciones atmosfricas a la gravedad g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.4. Resultados Estudios de Helmert, Niethammer y Mader. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.1. Datos de gravedad terrestre descargados de la pgina del BGI. . . . . . . . . . . . . . . . 57

    3.2. Ficheros descargados con los imagenes en formato rster del SRTM3. . . . . . . . . . . . . 62

    4.1. Valores de las altitudes elipsidicas con su desviacin estndar. . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4.2. Valores de gravedad en las estaciones permanentes del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . 71

    4.3. Valores de la elevacin y las altitudes ortomtricas Helmert calculadas. . . . . . . . . . . . 73

    4.4. Valores de las altitudes ortomtricas con su desviacin estndar. . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.5. Valores de la ondulacin del geoide geomtrico en las estaciones de la lnea de nivelacin

    del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.6. Resultados del cmputo de los valores de la ondulacin del geoide en la estacin de origen

    de la lnea de nivelacin del PRVD02. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.7. Valores de la ondulacin del geoide en la lnea de nivelacin del PRVD02 obtenida con los

    distintos modelos geopotenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    4.8. Resumen de los resultados del anlisis de las diferencias de los incrementos de la ondulacin

    del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    4.9. Resumen transformacin de Dtum NAD27 a NAD83. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    4.10. Tabla comparativa transformacin de GRS67 a GRS80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    4.11. Resultados del anlisis de la comparacin de altitudes BGI SRTM3. . . . . . . . . . . . 92

    4.12. Resumen validacin por altimetra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    4.13. Resultados de la comparacin de altitudes BGI SRTM3 tras la validacin por altimetra. 95

    4.14. Resumen del resultado de la validacin por colocacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    4.15. Estadsticos nales de las observaciones validadas por altimetra y por colocacin. . . . . . 101

    4.16. Muestreo de los cruces de lneas en un mismo itinerario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    4.17. Resumen del resultado de los valores de las anomalas aire libre obtenidas mediante alti-

    metra por satlite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    4.18. Resumen de la interpolacin de las altitudes y las profundidades. . . . . . . . . . . . . . . 107

    4.19. Lmites de la malla para el cmputo del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    4.20. Lmites de la malla exterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    4.21. Resumen del resultado del cmputo de las correcciones topogrcas. . . . . . . . . . . . . 108

    xv

  • 4.22. Resumen del resultado del clculo de las anomalas de Faye. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    4.23. Resumen del cmputo de las anomalas aire libre a partir de un modelo digital del terreno. 109

    4.24. Resumen del clculo de las anomalas aire libre a partir del modelo digital del terreno en

    las estaciones con valores de gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    4.25. Resumen del cmputo del ajuste global de las anomalas aire libre a partir del modelo

    digital del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    4.26. Resumen del cmputo del ajuste por zonas de las anomalas aire libre a partir del modelo

    digital del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    4.27. Resumen del ajuste por zonas geogrcas de la malla de anomalas aire libre obtenidas a

    partir de un modelo digital del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    4.28. Resumen del cmputo del valor medio de las anomalas de Faye. . . . . . . . . . . . . . . 119

    5.1. Anomalas de Faye para la zona terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    5.2. Anomalas aire libre del modelo EGM2008 para la zona terrestre. . . . . . . . . . . . . . . 121

    5.3. Anomalas residuales para la zona terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    5.4. Anomalas aire libre para la zona martima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    5.5. Anomalas aire libre del modelo EGM2008 para la zona martima. . . . . . . . . . . . . . 122

    5.6. Anomalas residuales para la zona martima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    5.7. Valores anomalas residuales de las mallas utilizadas para el cmputo del geoide. . . . . . 123

    5.8. Resultados de la solucin de la integral de Stokes N residual. . . . . . . . . . . . . . . . 128

    5.9. Resultados de la aportacin del primer trmino y del segundo trmino variando el radio de

    inuencia (25, 50, 75 y 100 km). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    5.10. Resultado del cmputo del efecto indirecto total variando los radios de inuencia. . . . . . 129

    5.11. Aportacin de las zonas de inuencia en el cmputo del efecto indirecto. . . . . . . . . . 129

    5.12. Aportacin del modelo EGM2008 para el cmputo del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    5.13. Resultados del cmputo de la ondulacin del geoide para los modelos del geoide gravimtrico.132

    5.14. Estaciones de referencia del NGS utilizadas para validar los modelos del geoide. . . . . . . 133

    5.15. Valores de la ondulacin del geoide en las estaciones de validacin del NGS. . . . . . . . . 134

    5.16. Resumen de los resultados del anlisis de las diferencias de los incrementos de la ondulacin

    del geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    5.17. Resultados del ajuste por mnimos cuadrados del modelo del Geoide WG. . . . . . . . . . 136

    xvi

  • Resumen

    El geoide, denido como la supercie equipotencial que mejor se ajusta (en el sentido de los mnimos

    cuadrados) al nivel medio del mar en una determinada poca, es la supercie que utilizamos como referen-

    cia para determinar las altitudes ortomtricas. Si disponemos de una supercie equipotencial de referencia

    como dtum altimtrico preciso o geoide local, podemos entonces determinar las altitudes ortomtricas de

    forma eciente a partir de las altitudes elipsoidales proporcionadas por el Sistema Global de Navegacin

    por Satlite (Global Navigation Satellite System, GNSS ).

    Como es sabido uno de los problemas no resueltos de la geodesia (quizs el ms importante de los

    mismos en la actualidad) es la carencia de un dtum altimtrico global (Sjoberg, 2011) con las precisiones

    adecuadas. Al no existir un dtum altimtrico global que nos permita obtener los valores absolutos de

    la ondulacin del geoide con la precisin requerida, es necesario emplear modelos geopotenciales como

    alternativa. Recientemente fue publicado el modelo EGM2008 en el que ha habido una notable mejora

    de sus tres fuentes de datos, por lo que este modelo contiene coecientes adicionales hasta el grado 2190

    y orden 2159 y supone una sustancial mejora en la precisin (Pavlis et al., 2008).

    Cuando en una regin determinada se dispone de valores de gravedad y Modelos Digitales del Terreno

    (MDT) de calidad, es posible obtener modelos de supercies geopotenciales ms precisos y de mayor

    resolucin que los modelos globales. Si bien es cierto que el Servicio Nacional Geodsico de los Estados

    Unidos de Amrica (National Geodetic Survey, NGS ) ha estado desarrollando modelos del geoide para

    la regin de los Estados Unidos de Amrica continentales y todos sus territorios desde la dcada de los

    noventa, tambin es cierto que las zonas de Puerto Rico y las Islas Vrgenes Estadounidenses han quedado

    un poco rezagadas al momento de poder aplicar y obtener resultados de mayor precisin con estos modelos

    regionales del geoide. En la actualidad, el modelo geopotencial regional vigente para la zona de Puerto

    Rico y las Islas Vrgenes Estadounidenses es el GEOID12A (Roman y Weston, 2012). Dada la necesidad

    y ante la incertidumbre de saber cul sera el comportamiento de un modelo del geoide desarrollado nica

    y exclusivamente con datos de gravedad locales, nos hemos dado a la tarea de desarrollar un modelo de

    geoide gravimtrico como sistema de referencia para las altitudes ortomtricas.

    Para desarrollar un modelo del geoide gravimtrico en la isla de Puerto Rico, fue necesario implementar

    una metodologa que nos permitiera analizar y validar los datos de gravedad terrestre existentes. Utilizando

    validacin por altimetra con sistemas de informacin geogrca y validacin matemtica por colocacin

    con el programa Gravsoft (Tscherning et al., 1994) en su modalidad en Python (Nielsen et al., 2012), fue

    posible validar 1673 datos de anomalas aire libre de un total de 1894 observaciones obtenidas de la base

    de datos del Bureau Gravimtrico Internacional (BGI). El aplicar estas metodologas nos permiti obtener

    una base de datos anomalas de la gravedad able la cual puede ser utilizada para una gran cantidad de

    aplicaciones en ciencia e ingeniera.

    Ante la poca densidad de datos de gravedad existentes, fue necesario emplear un mtodo alternativo

    para densicar los valores de anomalas aire libre existentes. Empleando una metodologa propuesta por

    Jekeli et al. (2009b) se procedi a determinar anomalas aire libre a partir de los datos de un MDT.

    Estas anomalas fueron ajustadas utilizando las anomalas aire libre validadas y tras aplicar un ajuste de

    mnimos cuadrados por zonas geogrcas, fue posible obtener una malla de datos de anomalas aire libre

    uniforme a partir de un MDT.

    Tras realizar las correcciones topogrcas, determinar el efecto indirecto de la topografa del terreno

    y la contribucin del modelo geopotencial EGM2008, se obtuvo una malla de anomalas residuales. Estas

    1

  • anomalas residuales fueron utilizadas para determinar el geoide gravimtrico utilizando varias tcnicas

    entre las que se encuentran la aproximacin plana de la funcin de Stokes y las modicaciones al ncleo

    de Stokes, propuestas por Wong y Gore (1969), Vanicek y Kleusberg (1987) y Featherstone et al. (1998).

    Ya determinados los distintos modelos del geoide gravimtrico, fue necesario validar los mismos y para

    eso se utilizaron una serie de estaciones permanentes de la red de nivelacin del Datum Vertical de Puerto

    Rico de 2002 (Puerto Rico Vertical Datum 2002, PRVD02 ), las cuales tenan publicados sus valores de

    altitud elipsoidal y elevacin. Ante la ausencia de altitudes ortomtricas en las estaciones permanentes de

    la red de nivelacin, se utilizaron las elevaciones obtenidas a partir de nivelacin de primer orden para

    determinar los valores de la ondulacin del geoide geomtrico (Roman et al., 2013). Tras establecer un

    total de 990 lneas base, se realizaron dos anlisis para determinar la `precisin' de los modelos del geoide.

    En el primer anlisis, que consisti en analizar las diferencias entre los incrementos de la ondulacin

    del geoide geomtrico y los incrementos de la ondulacin del geoide de los distintos modelos (modelos

    gravimtricos, EGM2008 y GEOID12A) en funcin de las distancias entre las estaciones de validacin, se

    encontr que el modelo con la modicacin del ncleo de Stokes propuesta por Wong y Gore present la

    mejor `precisin' en un 91,1% de los tramos analizados. En un segundo anlisis, en el que se consideraron

    las 990 lneas base, se determinaron las diferencias entre los incrementos de la ondulacin del geoide

    geomtrico y los incrementos de la ondulacin del geoide de los distintos modelos (modelos gravimtricos,

    EGM2008 y GEOID12A), encontrando que el modelo que presenta la mayor `precisin' tambin era el

    geoide con la modicacin del ncleo de Stokes propuesta por Wong y Gore. En este anlisis, el modelo

    del geoide gravimtrico de Wong y Gore presento una `precisin' de 0,027 metros en comparacin con la

    `precisin' del modelo EGM2008 que fue de 0,031 metros mientras que la `precisin' del modelo regional

    GEOID12A fue de 0,057 metros. Finalmente podemos decir que la metodologa aqu presentada es una

    adecuada ya que fue posible obtener un modelo del geoide gravimtrico que presenta una mayor `precisin'

    que los modelos geopotenciales disponibles, incluso superando la precisin del modelo geopotencial global

    EGM2008.

    2

  • Abstract

    The geoid, dened as the equipotential surface that best ts (in the least squares sense) to the mean

    sea level at a particular time, is the surface used as a reference to determine the orthometric heights. If

    we have an equipotential reference surface or a precise local geoid, we can then determine the orthome-

    tric heights eciently from the ellipsoidal heights, provided by the Global Navigation Satellite System

    (GNSS ).

    One of the most common and important an unsolved problem in geodesy is the lack of a global

    altimetric datum (Sjoberg, 2011)) with the appropriate precision. In the absence of one which allows us

    to obtain the absolute values of the geoid undulation with the required precision, it is necessary to use

    alternative geopotential models. The EGM2008 was recently published, in which there has been a marked

    improvement of its three data sources, so this model contains additional coecients of degree up to 2190

    and order 2159, and there is a substantial improvement in accuracy (Pavlis et al., 2008).

    When a given region has gravity values and high quality digital terrain models (DTM), it is possible

    to obtain more accurate regional geopotential models, with a higher resolution and precision, than global

    geopotential models. It is true that the National Geodetic Survey of the United States of America (NGS )

    has been developing geoid models for the region of the continental United States of America and its

    territories from the nineties, but which is also true is that areas such as Puerto Rico and the U.S. Virgin

    Islands have lagged behind when to apply and get more accurate results with these regional geopotential

    models. Right now, the available geopotential model for Puerto Rico and the U.S. Virgin Islands is the

    GEOID12A (Roman y Weston, 2012). Given this need and given the uncertainty of knowing the behavior

    of a regional geoid model developed exclusively with data from local gravity, we have taken on the task

    of developing a gravimetric geoid model to use as a reference system for orthometric heights.

    To develop a gravimetric geoid model in the island of Puerto Rico, implementing a methodology that

    allows us to analyze and validate the existing terrestrial gravity data is a must. Using altimetry validation

    with GIS and mathematical validation by collocation with the Gravsoft suite programs (Tscherning et al.,

    1994) in its Python version (Nielsen et al., 2012), it was possible to validate 1673 observations with

    gravity anomalies values out of a total of 1894 observations obtained from the International Bureau

    Gravimetric (BGI ) database. Applying these methodologies allowed us to obtain a database of reliable

    gravity anomalies, which can be used for many applications in science and engineering.

    Given the low density of existing gravity data, it was necessary to employ an alternative method

    for densifying the existing gravity anomalies set. Employing the methodology proposed by Jekeli et al.

    (2009b) we proceeded to determine gravity anomaly data from a DTM. These anomalies were adjusted

    by using the validated free-air gravity anomalies and, after that, applying the best t in the least-square

    sense by geographical area, it was possible to obtain a uniform grid of free-air anomalies obtained from a

    DTM.

    After applying the topographic corrections, determining the indirect eect of topography and the

    contribution of the global geopotential model EGM2008, a grid of residual anomalies was obtained. These

    residual anomalies were used to determine the gravimetric geoid by using various techniques, among which

    are the planar approximation of the Stokes function and the modications of the Stokes kernel, proposed

    by Wong y Gore (1969), Vanicek y Kleusberg (1987) and Featherstone et al. (1998). After determining

    the dierent gravimetric geoid models, it was necessary to validate them by using a series of stations of

    the Puerto Rico Vertical Datum of 2002 (PRVD02 ) leveling network. These stations had published its

    3

  • values of ellipsoidal height and elevation, and in the absence of orthometric heights, we use the elevations

    obtained from rst order leveling to determine the geometric geoid undulation (Roman et al., 2013).

    After determine a total of 990 baselines, two analyzes were performed to determine the ' accuracy ' of the

    geoid models. The rst analysis was to analyze the dierences between the increments of the geometric

    geoid undulation with the increments of the geoid undulation of the dierent geoid models (gravimetric

    models, EGM2008 and GEOID12A) in function of the distance between the validation stations. Through

    this analysis, it was determined that the model with the modied Stokes kernel given by Wong and Gore

    had the best 'accuracy' in 91,1% for the analyzed baselines. In the second analysis, in which we considered

    the 990 baselines, we analyze the dierences between the increments of the geometric geoid undulation

    with the increments of the geoid undulation of the dierent geoid models (gravimetric models, EGM2008

    and GEOID12A) nding that the model with the highest 'accuracy' was also the model with modifying

    Stokes kernel given by Wong and Gore. In this analysis, the Wong and Gore gravimetric geoid model

    presented an `accuracy' of 0,027 meters in comparison with the 'accuracy' of global geopotential model

    EGM2008, which gave us an `accuracy' of 0,031 meters, while the 'accuracy ' of the GEOID12A regional

    model was 0,057 meters. Finally we can say that the methodology presented here is adequate as it was

    possible to obtain a gravimetric geoid model that has a greater 'accuracy' than the geopotential models

    available, even surpassing the accuracy of global geopotential model EGM2008 .

    4

  • Captulo 1

    Introduccin

    1.1. Descripcin del problema

    La forma tradicional de obtener las altitudes ha sido a partir de las redes de nivelacin de alta precisin

    que materializan la componente vertical del sistema de referencia. Sin embargo estas redes son muy

    costosas y difciles de mantener, por lo que muchos pases carecen de esta infraestructura. Aun tenindola,

    las obtencin de altitudes precisas por estos mtodos clsicos adems de ser muy complicada, requiere una

    costosa inversin en tiempo y dinero. Un ejemplo de esto es la problemtica an existente en el momento

    de determinar rigurosamente las altitudes ortomtricas. La obtencin de estas altitudes se hace muy

    complicada ya que nos enfrentamos al problema de tener que evaluar el valor medio de la gravedad a lo

    largo de la lnea de la plomada cuando consideramos los efectos de la topografa del terreno (Tenzer et al.,

    2005). As pues, disponer de una supercie equipotencial de referencia como dtum altimtrico preciso o

    geoide local es de gran importancia por cuanto ello nos permitira determinar las altitudes ortomtricas de

    forma eciente a partir de las altitudes elipsoidales proporcionadas por el Sistema Global de Navegacin

    por Satlite (Global Navigation Satellite System, GNSS ). Si bien esto es cierto para cualquier pas tanto

    ms lo es para aquellas regiones que carecen de una red de nivelacin, como es el caso de algunas zonas

    en el Caribe, especcamente en el rea de Puerto Rico.

    Como es sabido uno de los problemas no resueltos de la geodesia (quizs el ms importante de los

    mismos en la actualidad) es la carencia de un dtum altimtrico global (Sjoberg, 2011). El geoide, denido

    como la supercie equipotencial que mejor se ajusta (en el sentido de los mnimos cuadrados) al nivel

    medio del mar en una determinada poca, no es accesible actualmente desde los dtum altimtricos locales

    con suciente precisin, por lo que resulta imposible la unicacin de los mismos. Al no existir un dtum

    altimtrico global que nos permita obtener los valores absolutos de la ondulacin del geoide, es necesario

    emplear modelos geopotenciales como alternativa. Los modelos geopotenciales pueden dividirse en globales

    y regionales. Los modelos globales vienen dados por los coecientes de Stokes correspondientes al desa-

    rrollo del potencial en armnicos esfricos y algunas otras constantes que los determinan. Sus valores se

    obtienen esencialmente mediante tres fuentes de datos. Los que proceden de la observacin del movimiento

    perturbado de los satlites articiales de la Tierra que contribuye proporcionando los coecientes de menor

    grado (mayor longitud de onda). La altimetra de satlite, que permite disponer de valores asociados a

    los ocanos, y por ltimo de gravimetra terrestre (y muy recientemente aerotransportada) a partir de los

    que se determinan los coecientes de mayor grado y por lo tanto de mayor resolucin (menor longitud de

    5

  • CAPTULO 1. INTRODUCCIN

    onda). Durante mucho tiempo el mejor Modelo Geopotencial Global (Earth Gravitational Model, EGM )

    para nes geodsicos fue el EGM96, de grado y orden 360, con una resolucin de 55,5 kilmetros (Lemoine

    et al., 1998). Recientemente fue publicado el modelo EGM2008 en el que ha habido una notable mejora

    en las tres fuentes de datos mencionadas anteriormente, este modelo contiene coecientes adicionales hasta

    el grado 2190 y orden 2159 y supone una sustancial mejora en la precisin (Pavlis et al., 2008). A partir

    de estos modelos geopotenciales globales es posible calcular las magnitudes gravimtricas derivadas, en

    particular el geoide.

    1.2. Justicacin

    Cuando en una regin determinada se dispone de valores de gravedad y modelos digitales del terreno

    de calidad es posible obtener modelos de supercies geopotenciales ms precisos y de mayor resolucin

    que los modelos globales. Estas supercies equipotenciales locales ajustadas al dtum altimtrico nacional

    o regional no son estrictamente hablando un geoide, aunque en la literatura cientca abunda esta ter-

    minologa especicando a veces para ellos el trmino local como son los casos del IGG2005 (Corchete

    et al., 2005), Ibergeo2006 (Sevilla, 2006), ITG2009 (Corchete, 2010) o del GEOID12A (Roman y Weston,

    2012), adoptaremos en adelante esta terminologa. Para su realizacin se parte de un modelo global que

    constituye una primera aproximacin, a partir de la cual mediante variaciones introducidas a la frmula

    de Stokes (que es la solucin al problema de valores de contorno geodsico), se calcula una malla de valores

    de ondulacin del geoide para la citada regin.

    Si bien es cierto que el Servicio Nacional Geodsico de los Estados Unidos de Amrica (National

    Geodetic Survey, NGS ) ha estado desarrollando modelos del geoide para la regin de los Estados Unidos

    de Amrica continentales y todos sus territorios desde la dcada de los noventa, tambin es cierto que las

    zonas de Puerto Rico y las Islas Vrgenes Estadounidenses han quedado un poco rezagadas al momento

    de poder aplicar y obtener resultados de mayor precisin con estos modelos regionales del geoide. En estos

    momentos la isla de Puerto Rico no cuenta con un modelo del geoide local por lo que siempre ha sido

    necesario esperar que los modelos del geoide que desarrolla el NGS sean validados para los Estados Unidos

    de Amrica continentales y luego adaptados para esta regin. Dada esta necesidad y ante la incertidumbre

    de saber cul sera el comportamiento de un modelo del geoide desarrollado nica y exclusivamente con

    datos de gravedad locales, nos hemos dado a la tarea de desarrollar un modelo de geoide gravimtrico

    como sistema de referencia para las altitudes ortomtricas.

    1.3. Objetivos

    Los objetivos de esta tesis doctoral han sido divididos en dos secciones; objetivo general y los obje-

    tivos especcos los cuales fueron necesarios completar para poder alcanzar el objetivo general de esta

    investigacin.

    1.3.1. Objetivo General

    Desarrollar un modelo de geoide gravimtrico para Puerto Rico que pueda ser utilizado como un

    sistema de referencia para la determinacin de las altitudes ortomtricas.

    6

  • CAPTULO 1. INTRODUCCIN

    1.3.2. Objetivos Especcos

    Desarrollar una metodologa que nos permita determinar las altitudes ortomtricas con la mayor

    precisin posible.

    Comprobar la precisin de los modelos geopotenciales globales y/o regionales disponibles para la

    zona de Puerto Rico.

    Analizar y validar datos de gravedad terrestre existentes.

    Desarrollar una base de datos de anomalas de gravedad conable que nos permita realizar otros

    trabajos relacionados con medidas gravimtricas.

    Desarrollar la metodologa para determinar anomalas aire libre partiendo de los datos de un modelo

    digital del terreno.

    Validar el modelo del geoide gravimtrico utilizando estaciones permanentes del NGS las cuales

    tienen valores ociales de su elevacin y altitud elipsoidal.

    1.4. Estructura de la tesis

    Esta tesis doctoral est estructurada en seis captulos. En el Captulo 2 se presenta la metodologa

    relacionada con la determinacin gravimtrica del geoide, la teora del campo gravitatorio terrestre, del

    campo de gravedad normal y del campo de gravedad anmalo. Adems presentamos la metodologa re-

    lacionada con la determinacin del geoide geomtrico, sistemas de altitudes y dtum verticales. En el

    Captulo 3 se presenta una descripcin del rea de estudio y de las distintas fuentes de datos utilizadas

    durante esta investigacin. En el Captulo 4 se presenta el anlisis y validacin de datos utilizados para la

    comprobacin de la precisin de los modelos geopotenciales globales a lo largo de una lnea de nivelacin,

    la determinacin de un modelo topo batimtrico para la zona de estudio, el anlisis y validacin de los

    datos de gravedad terrestre y la determinacin de anomalas aire libre partiendo de los datos de un modelo

    digital del terreno. En el Captulo 5 presentamos la aplicacin prctica para la determinacin del modelo

    gravimtrico del geoide donde implementamos distintas metodologas que van desde la aproximacin plana

    de la funcin de Stokes a las distintas modicaciones del ncleo de la funcin de Stokes. Finalmente en el

    Captulo 6 se presentan las conclusiones y sugerimos varias lneas de investigacin futuras que han sido

    generadas a partir del desarrollo de un modelo gravimtrico del geoide como sistema de referencia para

    las altitudes ortomtricas en Puerto Rico.

    7

  • Captulo 2

    Metodologa

    En este captulo se presenta una descripcin de la metodologa utilizada para determinar el modelo

    del geoide gravimtrico adems de los conceptos bsicos de la teora del campo gravitatorio terrestre,

    del campo de gravedad normal, el campo de gravedad anmalo y las reducciones a la gravedad. Adems

    presentamos una descripcin de los modelos geopotenciales globales y regionales disponibles para la regin

    de Puerto Rico, la metodologa relacionada al Segundo Mtodo de Condensacin de Helmert y a la Tcnica

    de Sustitucin Restitucin. Finalmente se presenta la metodologa relacionada con la determinacin

    geomtrica del geoide la cual incluye una descripcin de los diferentes sistemas de altitudes y de los

    dtum vigentes en la zona de estudio.

    2.1. Determinacin gravimtrica del geoide

    2.1.1. Campo gravitatorio terrestre

    Las fuerzas que actan sobre un cuerpo en reposo sobre la supercie terrestre son las resultantes de la

    fuerza gravitacional y de la fuerza centrfuga de la rotacin de la Tierra. Estas fuerzas son determinantes

    al momento de denir o determinar la supercie del geoide. El potencial gravitatorio W, se dene como

    la suma de los potenciales de la fuerza gravitacional V, y de la fuerza centrfuga y puede ser expresado

    de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):

    W = V + (2.1)

    De acuerdo con la ley de gravitacin de Newton el potencial gravitatorio se puede denir como:

    V = G

    v

    ldv (2.2)

    DondeG es la constante de gravitacin de Newton con un valor aproximado de 6, 674281011m3kg1s1, es el valor promedio de la densidad de la Tierra, l es la distancia entre el elemento de masa denido

    como dm y el punto de inters denominado como P denido por las coordenadas (X, Y, Z) ( Figura 2.1)

    y dv es el elemento de volumen de un cuerpo slido en la Tierra (Heiskanen y Moritz, 1967).

    8

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Figura 2.1: Potencial de un cuerpo slido.

    El potencial V es continuo en todo el espacio y se hace cero en el innito. Las primeras derivadas del

    potencial, seran las componentes de la fuerza y tambin son continuas en el espacio, algo que no sucede con

    las segundas derivadas. En puntos donde la densidad cambia discontinuamente, alguna segunda derivada

    tendr una discontinuidad. Esto es as debido a que el potencial en el interior de las masas satisface la

    Ecuacin de Poisson (Heiskanen y Moritz, 1967).

    4V = 4G (2.3)

    Dnde:

    4V = 2V

    x2+2V

    y2+2V

    z2(2.4)

    El smbolo 4 representa el operador laplaciano y tiene la forma de:

    2

    x2+

    2

    y2+

    2

    z2(2.5)

    En el espacio donde la densidad es cero, la Eq. 2.3 se convierte en:

    4V = 0 (2.6)

    Conocida como la Ecuacin de Laplace. Sus soluciones se llaman funciones armnicas por lo que el

    potencial gravitatorio es una funcin armnica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas,

    porque all satisface la Ecuacin de Poisson (Heiskanen y Moritz, 1967).

    Las funciones de los armnicos esfricos pueden ser expresadas en coordenadas esfricas. (Ver Figura

    2.2)

    9

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Figura 2.2: Sistema de coordenadas esfricas y rectangulares.

    Si consideramos el radio vector r , la distancia polar y la longitud geocntrica , podemos expresar

    las coordenadas cartesianas por las siguientes ecuaciones:

    x = r sin cos (2.7)

    y = r sin sin (2.8)

    z = r cos (2.9)

    Si sustituimos las Eq. 2.7, la Eq. 2.8 y la Eq. 2.9 en la ecuacin de Laplace 4V (Eq.2.4), podemosobtener la ecuacin de Laplace en coordenadas esfricas (Heiskanen y Moritz, 1967).

    4V = 1r2

    r

    (r2V

    r

    )+

    1

    r2 sin

    (sin

    V

    )+

    1

    r2 sin2

    2V

    2(2.10)

    Cuya solucin es el potencial V en trminos de los armnicos esfricos, quedando expresado de la

    siguiente manera:

    V =GM

    r

    (1 +

    n=2

    nm=0

    (ar

    )n[Cmn R

    mn (, ) + S

    mn K

    mn (, )]

    )(2.11)

    Donde si Cmn y Smn son constantes adimensionales, denominadas constantes de Stokes que determinan el

    potencial y Rmn (, ) yKmn (, ) son funciones denominadas armnicos esfricos de supercie, o armnicos

    de Laplace, denidos como (Heiskanen y Moritz, 1967):

    Rmn (, ) = Pmn (cos ) cosm (2.12)

    Kmn (, ) = Pmn (cos ) sinm (2.13)

    10

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Siendo Pmn (cos ) las funciones de Legendre de grado n y orden m. As pues podemos expresar el

    potencial V como:

    V =GM

    r

    (1 +

    n=2

    nm=0

    (ar

    )n[Cmn cosm+ S

    mn sinm]P

    mn (cos )

    )(2.14)

    Donde el termino n comienza en 2 debido a que el origen del sistema de coordenadas se encuentra

    ubicado en el centro de masas de la Tierra.

    El potencial de las fuerzas centrfugas debido a la rotacin de la Tierra viene dado por la expresin

    (Heiskanen y Moritz, 1967):

    =1

    22(x2 + y2

    )(2.15)

    Las fuerzas centrfugas no son conservativas ya que su potencial no cumple la ecuacin de Laplace:

    4 = 2

    x2+2

    y2+2

    z2= 22 (2.16)

    Y si combinamos la Eq. 2.16 con la Ecuacin de Poisson (Eq.2.3), obtenemos la Ecuacin de Poisson

    generalizada para el potencial gravitatorio de W (Heiskanen y Moritz, 1967).

    4W = 4G+ 22 (2.17)

    Las supercies equipotenciales del campo gravitatorio terrestre vendrn dadas por la expresin:

    W (x, y, z) = W0 = constante (2.18)

    El geoide es una supercie equipotencial y l mismo se dene como una prolongacin del nivel medio del

    mar hacia los continentes, pero este tema se discutir detalladamente en la Seccin 2.1.3.

    Como hemos mencionado, el potencial gravitatorio terrestre W es la suma de los potenciales de la

    fuerza gravitacional y de la fuerza centrfuga. El mismo quedara denido de la siguiente manera (Heiskanen

    y Moritz, 1967):

    W = W (x, y, z) = V + = G

    v

    ldv +

    1

    22(x2 + y2

    )(2.19)

    Sustituyendo la Eq. 2.14 en la Eq. 2.19, podemos expresar el potencial gravitatorio W en trminos de

    los armnicos esfricos:

    W (r, , ) =GM

    r

    (1 +

    n=2

    nm=0

    (ar

    )n[Cmn cosm+ S

    mn sinm]P

    mn (cos )

    )+

    1

    22r2 sin2 (2.20)

    Si introducimos en la Eq. 2.20 el trmino m, denominado Constante de Helmert:

    m =2a3

    GM(2.21)

    La ecuacin del potencial gravitatorio W en trminos de los armnicos esfricos nalmente quedara

    11

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    expresada de la siguiente manera:

    W (r, , ) =GM

    r

    (1 +

    n=2

    nm=0

    (ar

    )n[Cmn cosm+ S

    mn sinm]P

    mn (cos ) +

    1

    2m( ra

    )3sin2

    )(2.22)

    Por razones de clculo resulta ms conveniente expresar el potencial en funcin de los armnicos

    esfricos de supercie totalmente normalizados:

    Pmn (cos ) =

    (2 0,m) (2n+ 1)

    (nm)!(n+m)!

    Pmn (cos ) (2.23)

    Y:

    Cmn

    Smn=

    1

    (2 0,m) (2n+ 1)(n+m)!

    (nm)!

    {Cmn

    Smn(2.24)

    Siendo:

    0,m

    {= 1 sim = 0

    = 0 sim 6= 0(2.25)

    Con lo que la expresin del campo gravitatorio terrestre vendr dada por:

    W (r, , ) =GM

    r

    (1 +

    n=2

    (ar

    )n nm=0

    [Cmn cosm+ S

    mn sinm

    ]Pmn (cos ) +

    1

    2m( ra

    )3sin2

    )(2.26)

    2.1.2. Campo gravitatorio normal

    Tradicionalmente se ha denido la forma de la Tierra como una esfera, algo que podra entenderse

    como una primera aproximacin de la forma de la Tierra. Si considerramos una segunda aproximacin de

    la forma de la Tierra, podramos denirla como un elipsoide de revolucin. Aunque se sabe que la Tierra

    no es exactamente un elipsoide, considerarla como tal es muy prctico debido a la facilidad para manejar

    matemticamente el mismo. Adicionalmente, las diferencias entre el campo gravitatorio real y el del

    campo normal del elipsoide son tan pequeas que pueden permitir las linealizacin de las ecuaciones en

    que intervenga tal diferencia.

    Consideraremos un elipsoide cuya supercie es equipotencial de su propio campo de gravedad, que

    tiene la masa de la Tierra y gira con su velocidad angular. Todas las propiedades geomtricas y fsicas del

    elipsoide normal quedan determinadas por el semieje mayor a, por el coeciente de segundo orden J2 para

    cuyo valor se toma el coeciente de segundo grado y orden cero de la Tierra, la masa total de la Tierra

    (M) y la velocidad angular (Heiskanen y Moritz, 1967).

    Si consideramos un elipsoide S0 como:

    x2 + y2

    a2+z2

    b2= 1 (2.27)

    Por denicin seria una supercie equipotencial donde:

    U = U (x, y, z) = U0 = constante (2.28)

    12

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Y el componente del vector de la gravedad normal quedara denido por:

    = gradU (2.29)

    En la XVII Asamblea General de la Unin Internacional de Geodesia y Geofsica (International Union

    of Geodesy and Geophysics, IUGG) fue adoptado como elipsoide internacional el Sistema Geodsico de

    Referencia 1980 (Geodetic Reference System 1980, GRS80 ) (Moritz, 2000). En la Tabla 2.1 se presentan

    los constantes que denen el elipsoide internacional GRS80 :

    Tabla 2.1: Constantes del elipsoide internacional GRS80.Radio en el ecuador a = 6 378 137m

    Constante gravitacional geocntrica de la Tierra GM = 3 986 005 108m3s2Factor de forma dinmica de la Tierra J2 = 108 263 108

    Velocidad angular de la Tierra = 7 292 1011rad s1

    La constante del factor de forma dinmica de la Tierra J2 se determina como ya dijimos como el

    coeciente C20 denido como:

    J2 =C AMa2

    (2.30)

    Donde C representa el momento de inercia respecto al eje de Z, A es el resultado del promedio de los

    momentos de inercia respecto a los ejes de X y Y, M es la masa total de la Tierra y a es el radio en el

    ecuador (Heiskanen y Moritz, 1967).

    Podemos denir como el aplanamiento del elipsoide:

    =(a b)a

    (2.31)

    La primera excentricidad e, est denida como:

    e2 =a2 b2

    a2(2.32)

    Como segunda excentricidad e, la cual est denida como:

    e2 =a2 b2

    b2(2.33)

    Finalmente podemos utilizar la abreviatura m para denir la siguiente expresin (Heiskanen y Moritz,

    1967):

    m =2a2b

    GM(2.34)

    Como hemos mencionado previamente, el elipsoide de referencia es una supercie con un potencial

    de la gravedad normal constante. El potencial de la gravedad normal tambin puede ser expresado en

    trminos de los armnicos esfricos (Heiskanen y Moritz, 1967):

    U =GM

    r

    (1

    n=1

    J2n

    (ar

    )2nP2n (cos )

    )(2.35)

    13

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Donde el trmino J2n puede ser determinado utilizando la siguiente expresin (Heiskanen y Moritz,

    1967):

    J2n = (1)n+13e2n

    (2n+ 1) (2n+ 3)

    (1 n+ 5nJ2

    e2

    )(2.36)

    La gravedad normal en el ecuador e y la gravedad normal en los polos p pueden ser determinadas

    utilizando las siguientes expresiones (Heiskanen y Moritz, 1967):

    e =GM

    ab

    (1m m

    6

    eq0q0

    )(2.37)

    p =GM

    a2

    (1 +

    m

    3

    eq0q0

    )(2.38)

    Donde los trminos q0 y q0 pueden denirse como (Heiskanen y Moritz, 1967):

    q0 =1

    2

    [(1 +

    3

    e2

    )arctan e 3

    e

    ](2.39)

    q0 = 3

    (1 +

    1

    e2

    )(1 1

    e2arctan e

    ) 1 (2.40)

    Si relacionamos la gravedad normal en el polo p y la gravedad normal en el ecuador e, podemos

    denir el aplanamiento gravimtrico el cual puede ser expresado como (Heiskanen y Moritz, 1967):

    =p ee

    (2.41)

    Si introducimos la latitud geogrca sobre el elipsoide , que se dene como el ngulo entre la normal

    del elipsoide y el plano ecuatorial, podemos obtener la formula rigurosa para determinar la gravedad

    normal sobre el elipsoide conocida como la Frmula Somigliana de 1929 (Heiskanen y Moritz, 1967).

    =ae cos

    2 + bp sin2

    a2 cos2 + b2 sin2 (2.42)

    Para efectos computacionales, la formula mayormente utilizada es la siguiente (Moritz, 2000):

    = e1 + k sin2 1 e2 sin2

    (2.43)

    Con un valor de k denido por (Moritz, 2000):

    k =bpae 1 (2.44)

    La frmula de la gravedad normal puede ser expandida en la serie (Moritz, 2000):

    = e

    (1 +

    n=1

    a2n sin2n

    )(2.45)

    14

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Donde los trminos a2n son denidos como (Moritz, 2000):

    a2 =1

    2e2 + k (2.46)

    a4 =3

    8e4 +

    1

    2e2k (2.47)

    a6 =5

    16e6 +

    3

    8e4k (2.48)

    a8 =35

    128e8 +

    5

    16e6k (2.49)

    Al expandir la Eq. 2.45 , la misma queda expresada como (Moritz, 2000):

    = e(1 + a2 sin

    2 + a4 sin4 + a6 sin

    6 + a8 sin8 )

    (2.50)

    Sustituyendo los valores del GRS80 en la Eq. 2.50 , obtenemos la siguiente expresin (Moritz, 2000):

    GRS80 = e(1 + 0, 005 279 0414 sin2 + 0, 000 023 2718 sin4 + 0, 000 000 1262 sin6 + 0, 000 000 0007 sin8

    )ms2

    (2.51)

    En el caso del GRS80, e toma un valor de 9,7803267715 m2s2. Esta ecuacin presenta un error rela-

    tivo de 1010, correspondiente a 103ms2 = 104mGal (Moritz, 2000).

    Tambin podemos considerar la expansin convencional de la serie abreviada la cual podemos repre-

    sentar de la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):

    = e(1 + sin2 + 1 sin

    2 2)

    (2.52)

    Y los trminos y 1 en aproximacin de segundo orden vienen dados por las siguientes expresiones:

    = 2m 32J2

    75

    14J2m

    9

    8J

    2

    2

    117

    56m2 (2.53)

    1 = 9

    32J

    2

    2 +3

    4J2m+

    9

    32m2 (2.54)

    Si sustituimos los parmetros del GRS80 en la Eq. 2.52 , obtenemos la ecuacin abreviada de la

    gravedad normal (Moritz, 2000).

    GRS80 = 9, 780 327(1 + 0, 005 3024 sin2 0, 000 0058 sin2 2

    )ms2 (2.55)

    La cual tiene una precisin de 1ms2 = 0, 1mGal (Moritz, 2000).

    Si queremos obtener la gravedad normal en un punto de latitud , situado a una altitud h por encima

    del elipsoide, h , podemos utilizar la siguiente expresin (Heiskanen y Moritz, 1967):

    h = e

    [1 2

    a

    (1 + +m 2 sin2

    )h+

    3

    a2h2]

    (2.56)

    15

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Finalmente deniremos la curvatura media del elipsoide, la cual viene dada por:

    J =1

    2

    (1

    M+

    1

    N

    )(2.57)

    Donde M y N son los radios principales de curvatura; M es el radio medio en la direccin del me-

    ridiano y N es el radio de curvatura normal. Estos trminos pueden ser expresados de la siguiente manera:

    M =a(1 e2

    )(1 + e2 sin2

    ) 32

    (2.58)

    N =a(

    1 + e2 sin2 ) 1

    2

    (2.59)

    Y el radio de curvatura en el polo puede ser expresado como:

    c =a2

    b2(2.60)

    2.1.3. Campo de gravedad anmalo

    Como hemos mencionado anteriormente, entre el potencial gravitatorioW y el potencial de la gravedad

    normal U existe una pequea diferencia que se puede designar como T (Heiskanen y Moritz, 1967), tal

    que:

    W (x, y, z) = U (x, y, z) + T (x, y, z) (2.61)

    Donde T se llama el potencial anmalo o potencial perturbador. Si el potencial gravitatorioW denido

    como el geoide se puede expresar de la siguiente manera:

    W (x, y, z) = W0 (2.62)

    Y consideramos el potencial normal U del elipsoide de referencia:

    U (x, y, z) = W0 (2.63)

    Si ambos tienen un mismo potencial U0 = W0, un punto P del geoide se puede proyectar como un

    punto Q en el elipsoide por medio de la normal elipsidica. La distancia de P a Q entre el geoide y el

    elipsoide se llama ondulacin del geoide y se designa como N. (Figura 2.3)

    16

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Figura 2.3: Geoide y elipsoide de referencia.

    Si consideramos el vector de la gravedad g en el punto P y el vector de gravedad normal ~Q en elpunto Q, la diferencia entre ambos vectores se puede denir como el vector de la anomala de la gravedad

    4g (Heiskanen y Moritz, 1967).4g = gP ~Q (2.64)

    Un vector est compuesto por su magnitud y direccin, por lo que la diferencia en la magnitud es lo

    que se conoce como la anomala de la gravedad 4g (Heiskanen y Moritz, 1967).

    4g = gP Q (2.65)

    Tambin podemos comparar los vectores de gravedad ~g y de gravedad normal ~ en el punto P, obte-

    niendo el vector de la perturbacin de la gravedad ~g (Heiskanen y Moritz, 1967).

    ~g = ~gP ~P (2.66)

    Y su diferencia en magnitud quedara expresada como la perturbacin de la gravedad g (Heiskanen

    y Moritz, 1967).

    g = gP P (2.67)

    Lo ms importante de la anomala de la gravedad4g es que la misma puede ser obtenida directamente,es decir, la gravedad g es medida sobre la supercie de la Tierra y luego reducida al geoide y la gravedad

    normal se calcula sobre el elipsoide.

    Hay varias relaciones que se pueden hacer partiendo de las expresiones que acabamos de denir. El

    potencial normal U en el punto P, lo podemos denir como (Heiskanen y Moritz, 1967):

    UP = UQ +

    (U

    n

    )Q

    N = UQ N (2.68)

    17

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    De la misma manera podemos denir el potencial gravitatorio W en el punto P como (Heiskanen y

    Moritz, 1967):

    WP = UP + TP = UQ N + TP (2.69)

    Por lo que podemos concluir que:

    WP = UQ = W0 (2.70)

    Obteniendo:

    T = N (2.71)

    Que tambin puede ser expresado de la siguiente manera:

    N =T

    (2.72)

    Conocida como la Frmula de Bruns la cual relaciona la ondulacin del geoide con el potencial per-

    turbador (Heiskanen y Moritz, 1967).

    Puesto que:g = gradW (2.73)

    = gradU (2.74)

    Podemos decir que:g =

    grad (W U) = gradT

    [T

    x,T

    y,T

    z

    ](2.75)

    Considerando que:

    g = Wn

    , = Un

    .= U

    n(2.76)

    Ya que las direcciones normales n y n casi coinciden, podemos decir que la perturbacin de la gravedad

    viene dada por:

    g = gP P = (W

    n Un

    ).=

    (W

    n Un

    )(2.77)

    Quedando expresado de la siguiente manera:

    g = Tn

    (2.78)

    Dado que la altitud h se mide a lo largo de la normal, tambin podemos escribir la expresin de la

    siguiente manera:

    g = Th

    (2.79)

    Considerando que podemos denir la gravedad normal en el punto P como:

    P = Q +

    hN (2.80)

    Tenemos entonces que:

    Th

    = g = gP P = gP Q

    hN (2.81)

    18

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Si consideramos la denicin de la anomala de la gravedad 4g (Eq. 2.65) y teniendo en cuenta laFrmula de Bruns (Eq. 2.72), podemos obtener la siguiente ecuacin equivalente:

    T

    h 1

    h+4g = 0 (2.82)

    Conocida como la Ecuacin Fundamental de la Geodesia Fsica ya que relaciona la cantidad medida

    4g con el potencial anmalo desconocido T. (Heiskanen y Moritz, 1967) Debido a que 4g es conocidasolo sobre la supercie del geoide, esta ecuacin solo puede usarse como una condicin de contorno. Para

    considerar esta ecuacin no puede haber masas fuera del geoide, algo que no es posible, ya que las medidas

    no se realizan sobre el geoide sino en la supercie. Por esta razn es necesario eliminar el efecto de las

    masas y reducir la gravedad al geoide utilizando algunas aproximaciones que sern discutidas ms adelante.

    Si en la expresin anterior se desprecian los trminos de primer orden, es decir los trminos del orden

    de T, N , queda de la siguiente forma:

    T

    r+

    2

    RT +4g = 0 (2.83)

    Resultando en la aproximacin esfrica de la condicin de contorno fundamental (Heiskanen y Moritz,

    1967).

    Dnde:

    4g + 2Tr

    +T

    r= 0 si r = R (2.84)

    4T = 0 si r > R (2.85)

    El signicado exacto de esta aproximacin esfrica debe ser cuidadosamente analizado ya que solo

    debe usarse en ecuaciones que relacionan las pequeas cantidades T, N, 4g, etc. Como el aplanamiento es muy pequeo, las formulas elipsdicas se pueden desarrollar en serie de potencias en funcin de , y

    entonces los trminos que contienen T y N se desprecian (Heiskanen y Moritz, 1967).

    Si consideramos las coordenadas esfricas, sobre el geoide tenemos que r = R y si designamos T (R, , )

    simplemente como T, resolviendo la Eq. 2.83 podemos obtener la ecuacin de Stokes:

    T =R

    4

    4g S () d (2.86)

    Dnde:

    S () =1

    sin 2 6 sin

    2+ 1 5 cos 3 cos ln

    (sin

    2+ sin2

    2

    )(2.87)

    Es la funcin de Stokes (Heiskanen y Moritz, 1967).

    Tambin podemos expresar la Eq.2.87 en trminos de los polinomios de Legendre (Heiskanen y Moritz,

    1967).

    S () =n=2

    2n+ 1

    n 1Pn (cos) (2.88)

    19

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Finalmente, por la Frmula de Bruns (Eq. 2.72), podemos obtener:

    N =R

    4

    4g S () d (2.89)

    Conocida como la frmula de Stokes o integral de Stokes (Heiskanen y Moritz, 1967). Esta frmula

    nos permite determinar el geoide utilizando datos gravimtricos.

    2.1.4. Reducciones a la gravedad

    El uso de la frmula de Stokes para la determinacin del geoide requiere que las anomalas de la

    gravedad estn reducidas a la supercie del geoide, y la condicin impuesta para la obtencin de la

    Ecuacin Fundamental de la Geodesia Fsica exige que el campo debe ser armnico en el exterior de las

    masas que lo generan. Esto implica dos condiciones importantes: la gravedad debe referirse al geoide y no

    puede haber masas fuera del geoide.

    Esto requiere que las masas topogrcas sean eliminadas (restituyendo el efecto que esto produce

    condensndolas en una capa sobre el geoide o de alguna otra forma) y que la medida de gravedad que fue

    realizada en la supercie de la Tierra en un punto P, sea bajada al geoide a un punto conocido como P0. (Ver Figura 2.4)

    Figura 2.4: Reduccin de la gravedad.

    2.1.4.1. Reduccin aire libre

    La primera reduccin que presentaremos es la reduccin aire libre. La misma lo que pretende es

    reducir la gravedad observada a la supercie del geoide. Como se ha supuesto que no existen masas entre

    la supercie del terreno y el geoide, la estacin P queda al aire libre. La misma puede ser expresada de

    la siguiente manera (Heiskanen y Moritz, 1967):

    F.= g

    HH (2.90)

    Donde F es la reduccin aire libre, H es la altura expresada en metros y g es la gravedad medida. Para

    20

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    nes prcticos se utiliza el gradiente de la gravedad normal, quedando expresada de la siguiente manera

    (Heiskanen y Moritz, 1967):

    F.=

    HH = 0, 3086H (mGal) (2.91)

    Esta reduccin es la que da base a la anomala aire libre (Heiskanen y Moritz, 1967):

    4gAL = gP + 0, 3086H Q (2.92)

    La anomala aire libre lo que hace es aplicarle a la gravedad medida en P la reduccin aire libre y

    luego restarle la gravedad normal sobre el elipsoide Q . Estas sern las anomalas que utilizaremos para

    los propsitos de nuestra investigacin.

    2.1.4.2. Reduccin de Bouguer

    El propsito de la reduccin de Bouguer es la eliminacin de todas las masas topogrcas, es decir

    todas las masas exteriores que afectan al geoide. Primeramente deniremos la lmina de Bouguer. Esta

    lmina asume que alrededor de la estacin donde se realiza la medida de gravedad existe una capa innita

    completamente plana y horizontal y que las masas entre el geoide y la supercie tienen una densidad

    constante. (Ver Figura 2.5)

    Figura 2.5: Lmina de Bouguer.

    Podemos expresar el efecto gravitacional de la lmina de Bouguer de la siguiente manera (Heiskanen

    y Moritz, 1967):

    AB = 2GH (2.93)

    Donde la densidad estndar se dene como = 2, 67 gcm3 . Sustituyendo los valores numricos de la

    ecuacin, obtenemos entonces (Heiskanen y Moritz, 1967):

    AB = 0, 1119H (mGal) (2.94)

    Donde la altura H esta expresada en metros.

    21

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Al proceso de quitar la lmina de Bouguer y aplicar la reduccin aire libre, podemos llamarlo como la

    reduccin de Bouguer completa (Heiskanen y Moritz, 1967).

    gB = g AB + F (2.95)

    Sustituyendo los valores numricos, podemos obtener (Heiskanen y Moritz, 1967):

    gB = g + 0, 1967H (2.96)

    Si nalmente a la reduccin de Bouguer le restamos el valor de la gravedad normal referida al elipsoide

    de referencia, obtendremos la anomala de Bouguer (Heiskanen y Moritz, 1967).

    4gB = gB Q (2.97)

    2.1.4.3. Correccin clsica por efectos de la topogrca del terreno

    Las correcciones topogrcas bsicamente son un renado que considera las desviaciones topogrcas

    reales respecto a la lmina de Bouguer. El valor de la gravedad en un punto es inuenciado por la topografa

    circundante, por lo tanto es necesario compensar los excesos y defectos de las masas. (Ver Figura 2.6)

    Figura 2.6: Correcciones Topogrcas.

    En trminos generales, el terreno se descompone en prismas y aplicando algn tipo de algoritmo se

    puede calcular la atraccin de cada prisma hacia cada punto de inters. (Ver Figura 2.7).

    22

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Figura 2.7: Sistema de referencia para el cmputo de la Correccin Topogrca.

    En nuestro caso hemos aplicado el algoritmo propuesto por Nagy et al. (2000), el cual nos permite

    determinar los componentes para realizar el cmputo de la correccin topogrca.

    CTi,j = GLl=1

    Mm=1

    2q=1

    2r=1

    2s=1

    (1)(q+r+s)[q ln

    r + qrslqs+ r ln q + qrslrs

    s arctan( qrsqrs)]

    (2.98)

    1 = |xl xi| 4x2

    2 = |xl xi|+4x2

    (2.99)

    1 = |ym yj | 4y2

    2 = |ym yj |+4y2

    (2.100)

    1 = p 2 = Hl,m (Hi,j p) (2.101)

    qrs =2q +

    2r +

    2s (2.102)

    lrs =2r +

    2s (2.103)

    lqs =2q +

    2s (2.104)

    23

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Donde:

    G: es la constante gravitacional de Newton

    : es la densidad de la corteza terrestre

    xi, yj , Hi,j : son las coordenadas del punto donde se interesa calcular la correccin

    xl, ym, Hl,m: son las coordenadas de los puntos del relieve, donde hay un total de l m puntos

    4x ,4y: son los pasos de malla en la direccin de x, y

    p: es la profundidad a considerar en el punto donde se interesa realizar la correccin

    Con el advenimiento de los Modelos Digitales del Terreno (Digital Elevation Models, DEM ) ha sido posible

    sustituir la metodologa tradicional de las plantillas y tablas de Hayford y Bowie (1912) o las propuestas

    por Hammer (1939), facilitando el proceso de calcular las correcciones topogrcas mediante el mtodo

    de prismas. Para realizar esta operacin, es necesario descomponer el terreno en tres zonas con diferentes

    resoluciones. Para la Zona 1, de la cual podemos decir que es la zona de mayor inuencia, tiene una

    resolucin de 0,00166667 segundos de arco y un radio de 1 kilmetro. La Zona 2 tiene una resolucin

    de 0,0166667 minuto de arco y un radio 5 kilmetros. Finalmente la Zona 3, tiene una resolucin de

    0,08333333 minutos de arco y un radio de 167 kilmetros. (Ver Figura 2.8).

    Figura 2.8: Plantillas zona inuencia correcciones topogrcas.

    Ya determinados los radios de inuencia y la resolucin de cada zona, se procede a preparar las mallas

    digitales que contienen los datos de elevacin del terreno a distintas resoluciones y se procede a ejecutar

    el algoritmo. En trminos generales, el algoritmo primeramente identica las coordenadas del punto de

    inters en las matrices de elevaciones, luego se trunca la matriz alrededor del punto en funcin del radio

    de inuencia y nalmente se completa la ejecucin del algoritmo.

    La parte de mayor cuidado en la implementacin de este algoritmo es poder identicar los valores que

    deben tomar las coordenadas de los prismas en funcin de la ubicacin en el terreno donde se interesa

    calcular la correccin. En la Figura 2.9 se presentan los diferentes casos que podemos encontrar al momento

    de determinar las coordenadas verticales del prisma, segn donde se encuentre el punto de inters, ya sea

    en la parte continental o en la regin ocenica.

    24

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    Figura 2.9: Diferentes casos de las coordenadas verticales del prisma.

    En todos los casos, el trmino 1 se reere a la coordenada interior y el trmino 2 a la coordenada

    exterior. La Tabla 2.2 contiene los detalles de los valores asignados a las coordenadas 1 y 2.

    Tabla 2.2: Valores de las coordenadas interiores e inferiores del prisma.Zona Ocenica Continental

    Correcin en P(I)1 = HP (II)1 = HP Hi,j 1 = 0

    2 = 0 2 = HP 2 = Hi,j HP

    Correccin en Q0(I)1 = 0 (II)1 = Hi,j 1 = HP2 = HP 2 = 0 2 = Hi,j

    Tras calcular el valor de la correccin topogrca, en posible determinar el efecto total de las masas

    topogrcas, quedando representado como (Heiskanen y Moritz, 1967):

    AT = AB CT (2.105)

    2.1.4.4. Reducciones Isostticas

    El principio de la isostasia se basa en el concepto de que las masas topogrcas no se encuentran

    simplemente sobrepuestas sobre la corteza terrestre. Es decir, si las masas topogrcas solamente existieran

    sobre la supercie, al realizar las reducciones de Bouguer, se eliminaran todas estas irregularidades del

    campo gravco por lo que las anomalas de Bouguer seran muy pequeas, o tenderan a cero. El problema

    surge en los lugares montaosos, donde ocurre exactamente lo contrario, donde las anomalas se encuentran

    fuertemente relacionadas inversamente con la elevacin. Esta situacin ha generado el desarrollo de varias

    teoras como las de J.H. Pratt - Hayford y la de G.B. Airy - Heiskanen. En las mismas se ha tratado de

    25

  • CAPTULO 2. METODOLOGA

    explicar que en estos casos existe algn tipo de deciencia debajo de las montaas por lo que las masas

    topogrcas tienden a compensarse. En nuestro trabajo aplicaremos el Modelo de Airy Heiskanen. El

    principio del Modelo Airy Heiskanen propone que bajo las montaas existen unas races y bajo los

    ocanos existen unas anti races. Partiendo de que la densidad en la corteza se puede denir con el valor

    de 0 = 2